河南科技大学数值分析(计算方法)期末试卷1及参考答案

[][][]0010012001,,()()n n f x x x x x x -+--参考答案一． 填空(每空3分，共30分)1. 截断误差2. )2(--x x ，2)1(-x x ， 10 3. 14.)(2)(21k k k k k k x f x x f x x x '---=+ 5. 6，5，26，9二． 计算1. 构造重节点的差商表：所以，要求的Newton 插值为：3()5(1)2(1)(2)(1)(2)(3)N x x x x x x x =--+--+---3243x x =-+插值余项是：2()()(1)(2)3!f R x x x ξ'''=--或：()[,1,2,3,4](1)(2)(3)(4)R x f x x x x x =----2.（1）解：()1f x =时，左10()1f x dx ==⎰，右01A A =+，左＝右得：011A A +=()f x x =时，左101()2f x dx ==⎰，右01B A =+，左＝右得：0112B A += 2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右1A =，左＝右得：113A =联立上述三个方程，解得：001211,,363A B A ===3()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右113A ==，左≠右 所以，该求积公式的代数精度是2（2）解：过点0，1构造()f x 的Hermite 插值2()H x ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：'212021200010(0)(0)(0)(0)(1()))(0H A H B H f A f B f H x dx A A ++++==⎰其求积余项为：1'1000()[(0)(1)(0)]()f x dx f A f f B f R A -++=⎰112201()()!))((13f H x dx x x dx f x dx η'''--==⎰⎰⎰ 120()(1)3!f x x dx ζ'''=-⎰ ()72f ζ'''=-所以，172k =-3.解：改进的Euler 公式是：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y ++++=+⎧⎪⎨=++⎪⎩具体到本题中，求解的公式是：11110.2(32) 1.40.60.1[3232](0)1n n n n n n n n n n n n y y x y y x y y x y x y y ++++=++=+⎧⎪=++++⎨⎪=⎩代入求解得：1 1.4y =,1 1.54y =222.276, 2.4832y y ==4．解：设3()25,f x x x =+-则2()32,f x x '=+ 牛顿迭代公式为：1()()k k k k f x x x f x +=-'322532k k k k x x x x +-=-+ 322532k k x x +=+将0 1.5x =代入上式，得1 1.34286x =，2 1.37012x =，3 1.32920x =,4 1.32827x =,5 1.32826x =4540.0000110x x --=<所以，方程的近似根5 1.32826x =5．解，Jacobi 迭代公式是：11231211131521333324k k k k k k k x x x x x x x ++++⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩Gauss-Seidel 迭代公式是：112311211131521333324k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩(2) 设其系数矩阵是A ，将A 分解为：A D L U =--，其中300020001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，000021200,000100000L U --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭Jacobi 迭代矩阵是：11030211()0020********J B D L U -⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭21033100100--⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪- ⎪⎝⎭Gauss-Seidel 迭代矩阵是：11300021()220000101000J B D L U ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20002112300006206000--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭021********--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭二． 证明证明：00x >且11()2k k kax x x +=+0k x ⇒> 所以有：111()222k k k k ka a x x x a x x +=+≥=即：数列k x 有下界；2111()()22k k k k k k kx a x x x x x x +=+≤+=所以，迭代序列k x 是单调递减的，由单调递减且有下界的数列极限存在可知序列k x 极限存在。

数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中，用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法？A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要特点是？A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中，辛普森法则是一种？A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中，截断误差通常与以下哪个概念相关？A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中，牛顿法的收敛速度通常？A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时，托马斯算法是一种________方法。

2. 多项式插值中，牛顿插值多项式可以通过________法来构建。

3. 数值积分中，高斯求积法是一种________方法。

4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。

5. 非线性方程的求解中，二分法是一种________方法。

三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。

2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法，并给出收敛域的计算公式。

3. 解释插值和拟合的区别，并举例说明各自的应用场景。

4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。

5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。

四、计算题1. 给定线性方程组如下，请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值： \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x)，给定插值节点如下，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式，并计算在x=π/4处的插值误差。

数值计算期末试题及答案1. 题目：求方程 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 在区间 [0, 2] 上的根。

解答：为了求解方程 f(x) = 0 在给定区间上的根，可以使用二分法或者牛顿法等数值方法。

这里我将采用二分法进行求解。

首先，观察方程在区间 [0, 2] 上的图像，可以发现 f(0) = -1，f(2) = 1，即方程在区间 [0, 2] 上存在根。

接下来，我们可以通过二分法逼近此根的位置。

二分法的基本思路是不断将给定区间一分为二，并判断根的位置在前半部分还是后半部分，然后继续在包含根的那一半区间内进行二分，直到达到所需的精确度为止。

具体的二分法迭代过程如下：1. 初始化区间左边界 a = 0，右边界 b = 2，以及精确度 eps。

2. 当 (b - a) > eps 时，执行以下步骤：a. 计算区间中点 c = (a + b) / 2。

b. 如果 f(c) 等于 0 或者在所需的精确度 eps 内，返回 c。

c. 否则，根据 f(c) 和 f(a) 的符号判断根的位置：- 如果 f(c) 和 f(a) 的符号相同，说明根在区间 [c, b] 中，更新 a = c。

- 否则，根在区间 [a, c] 中，更新 b = c。

3. 返回最终得到的近似根 c。

根据上述算法，我们可以得到方程 f(x) = 0 在区间 [0, 2] 上的近似根为c ≈ 1.521。

2. 题目：使用梯形法则计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。

解答：定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现。

其中，梯形法则是一种常用的数值积分方法。

梯形法则的基本思路是将定积分区间划分成多个小梯形，然后计算各个小梯形的面积之和作为近似解。

具体的步骤如下：1. 初始化定积分区间的左边界 a = 0，右边界b = π，以及划分的小梯形数量 n。

2. 计算每个小梯形的宽度 h = (b - a) / n。

数值分析2006 — 2007学年第学期考试课程名称：计算方法A卷考试方式：开卷[] 闭卷[V ] 半开卷[]IV 类充要条件是a 满足二、（18分）已知函数表如下1•设 f(0) = 0,f (1) =16 , f( 2) =46，则 f [0,1]= ,f[0,1,2]二2 •设 AJ<2-3-1，则X，A :=A 11 j —3 •计算积分xdx ，取4位有效数字。

用梯形公式求得的近似值为"0.5（辛普森）公式求得的近似值为，用 Spsn4•设f （x ）二xe x -3，求方程f （x ） =0近似根的牛顿迭代公式是 ，它的收敛阶是5 •要使求积公式 11[f (x)dx 拓一(0) + A , f (x 1)具有2次代数精度，则 捲= _________________ ,0 46 •求解线性方程组x 1 ax 2 = 4 , 12_3 （其中a 为实数）的高斯一赛德尔迭代格式收敛的1011 12 13 In x2.30262.39792.48492.5649三、(20分)构造如下插值型求积公式，确定其中的待定系数，使其代数精度尽可能高, 并指出所得公式的代数精度。

2f (x)dx ： A o f (0) A f (1) A2f(2)oX2 4 6 8y2 11 2840五、（14分）为求方程X ’ -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价 形式，并建立相应的迭代公式:试问上述两种迭代公式在 x 0 =1.5附近都收敛吗？为什么？说明理由。

（1）X =1 •丄，迭代公式X1Xk 1= 1-X k（2） X 2二1 ，迭代公式X —12（X k ）；X k 1六、（8分）给定线性方程组■12们253X2 =| 7_2-23一M3.丿（1）分别写出用Jacobi迭代法和Gauss-Siedel迭代法解此方程组的迭代公式的分量形式；（2）考查用Jacobi迭代法和Gauss-Siedel迭代法解此方程组的收敛性。

数值计算方法试题和答案解析(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x x k k n k k ( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

数值计算方法期末考试题Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 184.()()120f f <5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=--- []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2） 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X = 用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

7,2]= ,2]=8--参考答案一.填空 1. 舍入误差 2. 115,1,0 3.(1)(1)011()()()()()().(()())(1)!(1)!n n n n f f R x x x x x x x orR x w x n n ξξ+++=---=++4. 15.2211()()()2()()2k k k k k k k k k k k kx f x f x x x x orx x x f x f x x ++--=-=-''--6. 有7. 18. 1121212213k kk kx x x x ++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 二.计算1.解:构造差商表:--所以,22()2H x x x =+证明:设2()()()R x f x H x =-222(0)(0),(0)(0),(1)(1)f H f H f H ''=== (0)(0)(1)0R R R '∴=== 所以,可设2()()(1)R x k x x x =- 构造函数:22()()()()(1)t f t H t k x t t ϕ=---显然()(0)(0)(1)0x ϕϕϕϕ'====因为函数()t ϕ在所给的插值区间至少有4个根且函数()t ϕ'''存在, 所以函数()t ϕ'''在所给的插值区间至少有1个根,即存在一点ξ,满足: ()0ϕξ'''=又()()3!()t f t k x ϕ''''''=-()()()3!()0()3!f f k x k x ξϕξξ'''''''''∴=-=⇒=--所以22()()()(1)(1)3!f R x k x x x x x ξ'''=-=- 2.梯形公式为:(()())2b aT f a f b -=+1120.752+==复化梯形公式为:11(()2()())2n n i i hT f a f x f b -==++∑ 具体到本题中,可知0.2,0,1h a b ===461((0)2()(1))2i i hT f f x f ==++∑=0.1(1.5 5.456)0.6956⨯+= 3.改进的Euler 公式为:1111(,)((,)(,))2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y ++++=+⎧⎪⎨=++⎪⎩ 具体到本题中,则为212221()[()()()]2n n n n n n n n n n n n n n n n y y h x x y h y y x x y x h x h y h x x y ++⎧=++-⎪⎨=++-++++--+-⎪⎩--经化简为:210.820.180.220.024n n n n y y x x +=+++所以:(0.2)0.024y ≈0 (0.4)0.0949y ≈5解(1):A 为对称正定矩阵时, 线性方程组Ax b =可用平方根法求解. 由A A T =可知3,5a b ==.(2)因为矩阵A 对称正定,所以存在下三角阵L 使得:A LL T =即:1111213121222232313233333350035900591700l l l l A l l l l l l l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求得:112131223233l l l l l l ======即00L⎛⎫⎪⎪⎪=⎪所以,方程组Ax b=就转化为LL x bT=,令L x yT=,解下三角形方程组Ly b=得(y T=;解上三角形方程组L x yT=得(1,1,2)x T=-所以原方程组的解为: (1,1,2)x T=-5.解:Jacibo迭代公式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()3121223222k k kk k kk k kx x xx x xx x x+++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩Gauss-Seidel迭代公式为:----(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩三.证明: 设()1,,(11)2b a f x b a b a -=-=+=-左=右,左=右 2222(),(),()(),2b a f x x b a b a b a -=-=⨯+=-11左=右22左=右332(),b a f x x -=左=3,右322322()()2b a b ba ab a a b -+--=⨯+=2,左≠右 所以,该公式具有一次代数精度.。

1. 数值积分公式形如（15）1'0100()(0)(1)(0)f x dx A f A f B f =++⎰(1) 试确定求积公式中的参数010,,A A B ，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。

(2) 已知该求积公式余项'''[](),(0,1),R f kf ξξ=∈试求出余项中的参数k 。

（1）解：()1f x =时，左1()1f x dx ==⎰，右01A A =+，左＝右得：011A A +=()f x x =时，左101()2f x dx ==⎰，右01B A =+，左＝右得：0112B A +=2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右1A =，左＝右得：113A =联立上述三个方程，解得：001211,,363A B A ===3()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右113A ==，左≠右所以，该求积公式的代数精度是2 （2）解：过点0，1构造()f x 的Hermite 插值2()H x ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：'212021200010(0)(0)(0)(0)(1()))(0H A H B H f A f B f H x dx A A ++++==⎰其求积余项为：1'1000()[(0)(1)(0)]()f x dx f A f f B f R A -++=⎰112201()()!))((13f H x dx x x dx f x dx η'''--==⎰⎰⎰ 120()(1)3!f x x dx ζ'''=-⎰ ()72f ζ'''=- 所以，172k =-2. 设初值问题 101)0(23<<⎩⎨⎧=+='x y yx y .写出用改进的Euler 法解上述初值问题数值解的公式，若0.2h =，求解21,y y ，保留两位小数。

数值分析试卷及答案**注意：以下是一份数值分析试卷及答案，试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版，以确保整洁美观，语句通顺。

**---数值分析试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。

以下哪个选项不是数值分析的应用领域？A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中，稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。

以下哪个算法是稳定的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题（每题3分，共30分）1. 下面关于插值多项式的说法中，不正确的是：一般情况下，插值多项式的次数等于插值点的个数减1。

2. 线性方程组中，如果系数矩阵A是奇异的，则该方程组可能无解或有无穷多解。

......三、解答题（共50分）1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式，并选择合适的初始值进行计算。

解：割线法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1，x1 = 2 进行计算：迭代1次得到：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到：x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。

2. 对于一个给定的线性方程组，高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。

请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。

高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，然后再通过回代求解方程组的未知数。

求解步骤如下：步骤1：将方程组表示为增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量连接在一起。

步骤2：从第一行开始，选取第一个非零元素作为主元，然后通过行变换将其它行的该列元素消去。