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4
t
当t
4
4
2 时， k
t2
4
7
取最大值
。
t
4
例4 已知 a( 3,1),b(1, 3),且存在实数k和t,
使得：xa(t2 23)2b, ykatb,
且 x y , 求：k t 2 的最大值。
t
变式：已知向量 a(cos,sin),b(cos,sin),且 a , b
满足关系 kab 3akb（, k 为正实数）
（1）求将a 与b 的数量积表示为关于 k 的函数 f ( k )
（2）求函数 f ( k )的最小值及取得最小值时a 与b 的夹角
四、向量在平面解析几何中的应用
例5.若直线2xyc0按向量 a(1,1)平移
后与圆 x2 y2 5 相切，则c的值是（ A）
（A)8或-2,（B)6或-4（, C)4或-6,（D)2或-8
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月28日星期 日2021/2/282021/2/282021/2/28
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/282021/2/28Februar y 28, 2021
2
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) k a b与 a 3b 垂直？
解（：1）k a b=k(1,2)+(-3,2=) (K-
a 3b=(1,2)-3(-3,2) =3(,120k,+42) )
ka b a 3 b (k a b )(a 3 b ) 0
得：10(k-3)-4(2k+2)=0解得: K=9.
K=9 k a b与 a 3b 垂直。
时
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) k a b与 a 3b 垂直？
（2）k a b 与 a 3b 平行？
平行时，它们是同向还是反向？
解：由题意得：10(2k+2)+4(k-3)=0解. 得：k 1
证明： 设 a (x 1 ,y 1 ),b (x 2 ,y 2 ) m a n b ( m x 1 n x 2 ,m y 1 n y 2 )
f ( m a n b ) ( m x 1 n x 2 , 2 m y 1 2 n y 2 m x 1 n x 2 ) m f( a ) ( m x 1 ,2 m y 1 m x 1 ) n f( b ) ( n x 2 ,2 n y 2 n x 2 ) f( m a n b ) m f( a ) n f( b )
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/282021/2/282021/2/28Feb-2128-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/282021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
解析：平移后的直线方程为：2xy3c0
由 d r 得 c 3 5 , 得c=8或-2
5
变式：已知直线 axbyc0与圆o
x2 y2 1 相12 交于A,B两点，且AB 3,
则 O AO B_______
例6.已知点 H(3,0), 点P 在 y 轴上，点Q在x
轴的正半轴上，点M直线PQ上，且满足：
x1 x2y1 y2 x12y12 x22y22
2.用向量法处理垂直
a b ab0x1x2y1y20
3.用向量法处理平行 a （ b b 0 ) 有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 a b
x1y2x2 y10
4.用向量法处理向量的模：
2
a
a
2
二、基础应用
例1.已知 a 与 b 是非零向量，且 abab
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/28
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
例4 已知 a( 3,1),b(1, 3),且存在实数k和t,
使得：xa(t2 23)2b, ykatb,
且 x y , 求：k t 2 的最大值。
解：
t
t23
3(t23)
x( 3 ,1
)
2
2
y( 31t,k 3t)
2
2
由 x y , 及其充要条件可得：k t (t 2 3)
kt2 3t2 t1(t 2)2 7
求 a 与 a b 的夹22
2
由 b a b ，得 ba ba 2 a b b
2
∴ 2a b a
22
2
22
2
∴ a b a 2 a b b 2 a a 3 a
∴ ab 3a
∴ cos a (a b)
2
a a b
a2 1 2
2
a
3
a ab a 3 a a 3 a
HPPM0,PM3MQ, 2
当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程。
五、小结
1.向量的基本知识点 2.向量在代数中的应用 3.向量在平面解析几何中的应用
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021 5:48:16 PM
k 1 时 k a b 与 a 3b 平行
3
3
此时 kab1(a3b)
3
k a b与 a 3b 反向.
三、向量在代数中的应用
例3. 已知向量 u (x, y)与 v(x,2yx)
的对应关系记作 v f (u)
求证：对于任意向量 a , b 及常数 m , n
恒有f(m a n b ) m f(a ) n f(b )
高考数学复习 强化双基系列课件
12《平面向量 －平面向量的应用》
1. 知识精讲: 掌握向量的概念、坐 标表示、运算性质，做到融会贯通， 能应用向量的有关性质解决诸如平 面几何、解析几何等的问题.
一、知识回顾
设向量 a(x1, y1) 与 b(x2,y2)的夹角为
1.用向量法求角
cos
ab
ab
