绵阳东辰2017年高中自主招生数学真卷

绵阳市2017年高中阶段学校招生暨初中学业水平考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共36分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每个小题只有一个选项最符合题目要求.1.中国人最早使用负数,可追溯到两千多年前的秦汉时期,-0.5的相反数是()A.0.5B.±0.5C.-0.5D.52.下列图案中,属于轴对称图形的是()3.中国幅员辽阔,陆地面积约为960万平方公里.“960万”用科学记数法表示为()A.0.96×107B.9.6×106C.96×105D.9.6×1024.如图所示的几何体的主视图正确的是()5.使代数式+有意义的整数x有()A.5个B.4个C.3个D.2个6.为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4cm,则旗杆DE的高度等于()A.10mB.12mC.12.4mD.12.32m7.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则n m的值为()A.-8B.8C.16D.-168.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8cm,圆柱体部分的高BC=6cm,圆锥体部分的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是()A.68πcm2B.74πcm2C.84πcm2D.100πcm29.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F 两点.若AC=2,∠AEO=120°,则FC的长度为()A.1B.2C.D.10.将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是()A.b>8B.b>-8C.b≥8D.b≥-811.如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E 作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为()A. B. C. D.12.如图所示,将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形.第1幅图中“•”的个数为a1,第2幅图中“•”的个数为a2,第3幅图中“•”的个数为a3,……,以此类推,则+++…+的值为()A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题,共104分)二、填空题:本大题共6个小题,每小题3分,共18分.将答案填写在相应的横线上.13.因式分解:8a2-2=.14.关于x的分式方程-=的解是.15.如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是.16.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是.17.将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置,点D在AB边上,△DEF绕点D 旋转,腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA,CB于M,N两点.若CA=5,AB=6,AD∶AB=1∶3,则MD+的最小值为.18.如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM=AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是,则的值是.三、解答题:本大题共7个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分)(1)计算:+cos245°-(-2)-1-;(2)先化简,再求值:÷,其中x=2,y=.20.(本题满分11分)红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查,从试验田中随机抽取了30株,得到的数据如下(单位:颗):182195201179208204186192210204 175193200203188197212207185206 188186198202221199219208187224(1)对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析,请补全下表中空格,并完善直方图:如图所示的扇形统计图中,扇形A对应的圆心角为度,扇形B对应的圆心角为度;(2)该试验田中大约有3000株水稻,据此估计,其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株.21.(本题满分11分)江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷?(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案?请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用.22.(本题满分11分)设反比例函数的解析式为y=(k>0).(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值;(2)若该反比例函数与过点M(-2,0)的直线l:y=kx+b的图象交于A,B两点,如图所示,当△ABO 的面积为时,求直线l的解析式.23.(本题满分11分)如图,已知AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N.(1)求证:CA=CN;(2)连接DF,若cos∠DFA=,AN=2,求圆O的直径的长度.24.(本题满分12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y=x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式;(2)证明:圆C与x轴相切;(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE∶MF的值.25.(本题满分14分)如图,已知△ABC中,∠C=90°,点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动,在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠NMC=45°.再过点N作AC的垂线交AB于点F,连接MF,将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF.已知AC=8cm,BC=4cm,设点M运动时间为t(s),△ENF与△ANF重叠部分的面积为y(cm2).(1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;(2)求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围;(3)当y取最大值时,求sin∠NEF的值.答案全解全析：一、选择题1.A只有符号不同的两个数互为相反数,所以-0.5的相反数是0.5,故选A.2.A A选项是轴对称图形,共有5条对称轴;B、D选项既不是轴对称图形,也不是中心对称图形;C选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故选A.3.B科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,故960万=9600 000=9.6×106,故选B.4.D由主视图的定义知选D.5.B由题意得解得-3<x≤,其中整数有-2,-1,0,1,故选B.6.B由题意可得∠ACB=∠ECD,∠ABC=∠EDC,∴△ABC∽△EDC.∴=,∴=,∴ED=12m,故选B.7.C由一元二次方程根与系数的关系得解得m=2,n=-4,故n m=(-4)2=16,故选C.8.C由陀螺的立体结构图可知,陀螺的表面积由底面圆面积、圆柱侧面积和圆锥侧面积组成.底面圆的半径r=4cm,底面圆的周长为2πr=8πcm,圆锥的母线长为=5cm,所以陀螺的表面积为π×42+8π×6+×8π×5=84πcm2,故选C.9.A∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=AC=.∵AD∥BC,∴∠OFC=∠AEO=120°,∴∠BFO=60°.∵EF⊥BD,∴∠BOF=90°,∴∠OBF=∠OCB=30°,∴∠COF=∠BFO-∠OCB=30°,∴OF=FC.∵OF=OB·tan30°=1,∴FC=1,故选A.10.D由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.将①代入②得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以Δ=(-8)2-4(8-b)=4b+32≥0,所以b≥-8,故选D.11.D∵在Rt△ABC中,点O是△ABC的重心,∴OC=CE,CE=AE=EB,∴∠B=∠BCE=30°,∠CAE=∠ECA=60°,∴△CAE是等边三角形.∵EF⊥AB,∴∠FEB=90°,∴∠CEF=30°,∴CF=EF,∴AF平分∠CAB,∴AM垂直平分CE,∴CM=CE,∴MO=CE=CM.∵MF=CM·tan30°=CM,∴==,故选D.12.C第1幅图中有3=1×3个“•”;第2幅图中有8=2×4个“•”;第3幅图中有15=3×5个“•”;……第19幅图中有399=19×21个“•”.所以+++…+=+++…+===,故选C.二、填空题13.答案2(2a+1)(2a-1)解析8a2-2=2(4a2-1)=2[(2a)2-12]=2(2a+1)(2a-1).14.答案x=-2解析∵-=,∴-=-,∴2(x+1)-(x-1)=-(x+1),∴2x+2-x+1=-x-1,∴2x=-4,∴x=-2.检验:当x=-2时,(x+1)(x-1)≠0,∴x=-2是原分式方程的根.15.答案(7,4)解析∵A(6,0),∴OA=6,又∵四边形ABCO为平行四边形,∴BC∥OA,BC=OA=6,∴点B的横坐标是1+6=7,纵坐标是4,∴B(7,4).16.答案解析列表如下:由表格可知,同时抛掷两枚质地均匀的骰子,共有36种结果,而符合“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果有9种,故所求概率P==.17.答案2解析∵∠B+∠BDN+∠BND=180°,∠BDN+∠FDE+∠ADM=180°,∠B=∠FDE,∴∠BND=∠ADM,又∵∠B=∠A,∴△BDN∽△AMD,∴=,∴DN·AM=MD·BD.∵AD∶AB=1∶3,∴BD=AB=4,∴DN·AM=4MD.设MD=x,则MD+=MD+=x+=()2-2··++2=+2,∴当=,即x=时,MD+取得最小值,为2.18.答案8-解析过H作HG⊥AC于点G,如图.∵AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠CAF.∵DE∥BF,∴∠EAF=∠AFC,∴∠CAF=∠AFC,∴CF=CA=2.∵AM=AF,∴AM∶MF=1∶2.∵DE∥BF,∴===,∴AH=1,S△AHC=3S△AHM=,∴×2GH=,∴GH=,∴在Rt△AHG中,AG==,∴GC=AC-AG=2-=,∴==8-.三、解答题19.解析(1)原式=0.2+--(4分)=++-(6分)=.(8分)(2)原式=÷(2分)=÷(3分)=÷(4分)=·=.(6分)当x=2,y=时,原式==-.(8分)20.解析(1)频数从左到右应填3,6;对应扇形图中区域从左到右应填B,A.(4分)补全直方图如图所示.(6分)扇形A对应的圆心角为×360°=72°,扇形B对应的圆心角为×360°=36°.(8分)(2)稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有3000×=900株.(11分)21.解析(1)设每台大型收割机1小时收割小麦a公顷,每台小型收割机1小时收割小麦b 公顷,(1分)根据题意得(3分)解得答:每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷,每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷.(4分) (2)设需要大型收割机x台,则需要小型收割机(10-x)台,(5分)根据题意得(7分)解得5≤x≤7,又x取整数,所以x=5,6,7,一共有三种方案.(9分)设费用为w元,则w=600x+400(10-x)=200x+4000,由一次函数性质知,w随x的增大而增大,所以当x=5时,w最小,即大型收割机5台,小型收割机5台时,费用最低,(10分)此时,费用为600×5+400×5=5000元.(11分)22.解析(1)由题意可得,正比例函数与反比例函数的一个交点坐标是(1,2),(2分)将其代入反比例函数解析式y=,得k=.(4分)(2)因为直线l过点M(-2,0),所以0=-2k+b,所以b=2k,所以直线l的方程可写为y=kx+2k,(5分)由消去y,得kx+2k=,因为k>0,所以x+2=,得x2+2x-3=0,(7分)解得x1=-3,x2=1,所以A(1,3k),B(-3,-k),(8分)所以S△ABO=S△AMO+S△BMO=×2(3k+|-k|)=,解得k=,(10分)所以直线l的解析式为y=x+.(11分)23.解析(1)证明:连接OF,∵ME与圆O相切于点F,∴OF⊥ME,即∠OFN+∠MFN=90°,(1分)∵∠OFN=∠OAN,∠OAN+∠ANH=90°,∴∠MFN=∠ANH,(3分)又∵ME∥AC,∴∠MFN=∠NAC,∴∠ANH=∠NAC,∴CA=CN.(5分)(2)∵cos∠DFA=,∠DFA=∠ACH,∴cos∠ACH=,(6分)在Rt△AHC中,设AC=5a,HC=4a,则AH=3a.由(1)知CA=CN,∴NH=a,(7分)在Rt△ANH中,利用勾股定理,得AH2+NH2=AN2,即(3a)2+a2=(2)2,解得a=2,(8分)连接OC,在Rt△OHC中,利用勾股定理,得OH2+HC2=OC2,设圆O的半径为R,则(R-6)2+82=R2,解得R=,(10分)∴圆O的直径的长度为2R=.(11分)24.解析(1)由题意知抛物线的解析式可化为y=a(x-2)2+1,(1分)因为抛物线经过点(4,2),所以2=a(4-2)2+1,解得a=,(2分)所以抛物线的解析式是y=(x-2)2+1=x2-x+2.(3分)(2)证明:由消去y,整理得x2-6x+4=0,(4分)解得x1=3-,x2=3+,(5分)将其代入直线方程,得y1=-,y2=+,所以B,D,因为点C是BD的中点,所以点C的纵坐标为=,(6分)利用勾股定理,可得BD==5,即半径R=,即圆心C到x轴的距离等于半径R,所以圆C与x轴相切.(7分) (3)连接BM、DM,因为BD为直径,所以∠BMD=90°,所以∠BME+∠DMF=90°,又因为BE⊥m,DF⊥m,所以∠MDF+∠DMF=90°,所以∠BME=∠MDF,所以△BME∽△MDF,所以=,即=,(9分)代入得=,化简得(t-3)2=4,解得t=5或t=1,(10分)因为点M在抛物线的对称轴的右侧,所以t=5,(11分)所以=.(12分)25.解析(1)能.(1分)如图,过F作FD⊥BC于点D,四边形MNEF为正方形时,易知MN=MF,∠FMD=∠NMC=45°,因为△CNM和△FDM都是等腰直角三角形,所以CM=MD=DF=t cm,所以BD=(4-2t)cm,易证△FDB∽△ACB,所以=,(2分)即=,解得t=.(4分)(2)如图,当点E恰好落在AB上时,连接ME,记EM与NF交于点O,由已知得,EO=OM=CM=t cm,所以EM=2OM=2t cm,易证△EMB∽△ACB,所以=,即=,解得t=2.(5分)当0<t<2时,易证△ANF∽△ACB,所以=,即=,解得NF=cm,(6分)此时y=·NF·NC=··t=-t2+2t;(7分)当2≤t≤4时,如图,设NE与AB交于点K,过K作KL⊥NF于点L,连接EM,交直线NF于点H,易证△KLF∽△ANF,所以=,因为NF=cm,且易知KL=NL,所以=,解得NL=cm,即KL=cm,(9分)此时y=·NF·KL=··=(8-t)2=t2-t+.综上所述,y=(10分)(3)由(2)知,当t=2时,y取得最大值,此时,点E恰好落在AB上,(11分)则有NM=t=2cm,∴NE=NM=2cm.过N作NG⊥AB,垂足为G,如图,∵AC=8cm,BC=4cm,∠C=90°,∴AB==4cm.易知△ANG∽△ABC,∴=,即=,∴NG=cm,(12分)∴sin∠NEF==.(14分)。

2017年四川省绵阳市中考数学试卷 第Ⅰ卷 （选择题，共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．）1．（2017年四川绵阳）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，－0.5的相反数是A ．0.5B.5C ．﹣0.5D ．5答案：A 解析：根据相反数的定义求解即可． 2．（2017年四川绵阳）下列图案中，属于轴对称的是答案：A 解析：本题考查轴对称图形的识别，判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．3．（2017年四川绵阳）中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里．“960万”用科学计数法表示为A ．0.96×107B ．9.6×106C ．96×105D ．9.6×102答案：B 解析：科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 4．（2017年四川绵阳）如图所示的几何体的主视图正确的是答案：D 解析：考查画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 5．（2017年四川绵阳）使代数式x x 3431-++有意义的整数x 有 A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个答案：B 解析：根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案． 6．（2017年四川绵阳）为测量操场上旗杆的高度，效力同学想到了物理学（第4题图） A B DC中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺．先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E ，标记好脚掌中心位置为B ．测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是50cm ，镜面中心C 距旗杆底部D 的距离为4m ，如图所示，已知小丽同学的身高是1.54cm ，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4cm ，则旗杆的高度等于A ．10mB ．12mC ．12.4mD ．12.32m答案：B 解析：根据题意得出△ABC ∽△EDC ，进而利用相似三角形的性质得出答案． 7．关于x 的方程2x 2+mx +n =0的两根为－2和1，则n m 的值为A ．－8B ．8C ．16D ．－16答案：C 解析：利用根与系数的关系求解即可．8．（2017年四川绵阳）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB=8cm ，圆柱部分的高BC=6cm ，圆锥体部分的高CD=3cm ，则这个陀螺的表面积是A ．68πcm 2B ．74πcm 2C ．84πcm 2D ．100πcm 2答案：C 解析：圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．9．（2017年四川绵阳）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ,F 两点．若AC =23，∠AEO =120°，则FC 的长度为A ．1B ．2C ．2D ．3答案：A 解析：10．（2017年四川绵阳）将二次函数y =x 2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是A ．b ＞8B ．b ＞－8C ．b ≥8D ．b ≥－8答案：D 解析：二次函数向下平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到y =（x －3）2+1，再结合与一次函数y =2x +b 有公共点，联立方程组，建立关于x 的一元二次方程，利用一元二次方程有解的条件△≥0，可求出b 的范围．11．（2017年四川绵阳）如图，直角△ABC 中，∠B =30°，点O 是△ABC 的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点E ．则MFMO的值为 （第8题图）D CBAA BCDEFO（第9题图） （第11题图）BA ．21B ．45C ．32D ．33答案：D 解析：根据三角形的重心性质可得OC =32CE ，根据直角三角形的性质可得CE =AE ，根据等边三角形的判定和性质得到CM =21CE ，进一步得到OM =61CE ，即OM =61AE ，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF =33AE ，MF =21EF ，依此得到MF =63AE ，从而得到MF MO的值． 12．（2017年四川绵阳）如图所示，将形状、大小完全相同的“形，第1幅图形中“a 1，第2a 2，第3幅图形中“为a 3，…，以此类推，则193211111a a a a +⋯+++的值为 A ．2120B ．8461C ．840589D ．760431答案：C 解析：首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律， a 1=3=1×3，a 2=8=2×4，a 3=15=3×5，a 4=24=4×6，…，a n =n （n +2）；进而求出即可．第Ⅱ卷（非选择题，共104分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13．（2017年四川绵阳）因式分解：8a 2－2= ． 答案：)12)(12(2-+n n解析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式进行分解即可．14．（2017年四川绵阳）关于x 的分式方程xx x -=+--111112的解是 ． 答案：2-=x 解析：观察可得最简公分母是（x +1）（x －1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．15．（2017年四川绵阳）如图，将平行四边形ABCO 放置在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．若点A 的坐标是（6,0），点C 的坐标是（1,4），则点B 的坐标是 ．答案：（7，4） 解析：根据平行四边形的性质及A 点和C 的坐标求出点B 的坐标即可．：∵四边形ABCO 是平行四边形，O 为坐标原点，点A 的坐标是（6，0），点C 的坐标是（1，4），∴BC =OA =6，6+1=7，∴点B 的坐标是（7，4）．16．（2017年四川绵阳）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶第1幅图 第2幅图 第3幅图 第4幅图数”的概率是 ． 答案：41解析：画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数，然后根据概率公式求解．17．（2017年四川绵阳）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA 、CB 于M 、N 两点．若CA =5，AB =6，AD ∶AB =1∶3，则MD +DNMA ⋅12的最小值为 ．答案：32 解析：先求出AD =2，BD =4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD +∠A =∠E D F +∠BDN ，然后求出∠AMD =∠BDN ，从而得到△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得DNMDBD MA =，求出MA •DN =4MD ，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．18．（2017年四川绵阳）如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM =31AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ，若AC =2，△AMH 的面积是121，则ACH∠tan 1的值是 ． 答案：158- 解析：利用平行和角平分线先得出AC =CB =CF =2;再利用平行得到△AMH 与△CMF相似，结合AM =31AF ，得出△AMH 的面积与△ACH 面积的关系，以及△CMF 的关系，求出△ACH 的面积和△CMF 的面积；从而求出三角形ABF 的面积，取MF 的中点N ，可得△CAN 是直角三角形，将∠ACH 转化到∠CAM ，最终转化到∠F ，则可求出结论．三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（2017年四川绵阳）（本题共2个小题，每小题8分，共16分）（1）计算：21245cos 04.012----︒+-）（； （1）原式=2121)22(2.02---+………………………………………………4分 A HED BC FM（第18题图）（第17题图）CAB DEFNM=21212151-++…………………………………………………………………6分 =107………………………………………………………………………………8分 （2）先化简，再求值：（yx yxy x x y xy x y x 2)22(222-÷--+--），其中x =22，y =2． （2）原式=y x yy x x x y x y x 2)2()(2-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡----……………………………………………………2分 =y x yy x y x 2)211(-÷---………………………………………………………………3分 =yx yy x y x y x y x 2)2()()()2(-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅----……………………………………………………4分 =yx y y x y x y x y --=-⋅-⋅--12)2()(………………………………………………6分 当222==y x ，时，22211-=-=--y x ．……………………………………………8分 20．（2017年四川绵阳）（本题满分11分）红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查，从试验田中随机抽取了30株，得到的数据如下（单位：颗）：182 195 201 179 208 204 186 192 210 204 175 193 200 203 188 197 212 207 185 206 188 186 198 202 221 199 219 208 187 224（1）对抽取的30株水稻穗谷粒数进行分析，请补全下表中空格，并完善直方图：上图所示的扇形统计图中，扇形A 对应的圆心角为 度，扇形B 对应的圆心角为 度； （2）该试验田中大约有3000株水稻，据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有对手（颗）株？解：（1）频数从左到右应填：3，6；对应扇形图中区域从左到右应填：B ，A ；……………4分正确完成直方图；……………………………………………………………………………6分 扇形A 对应的圆心角为72度，扇形B 对应的圆心角为36度．………………8分 （2）9003093000=⨯（株）．…………………………………………………………………11分 思路分析：（1）根据表格中数据填表即可，利用360°×其所占的百分比求出扇形对应的圆心角度数；（2）用360°乘以样本中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻所占百分比即可． 21．（2017年四川绵阳）（本题满分11分）江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元．两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元．有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．解：（1）设1台大型收割机每小时收割小麦a 公顷，1台小型收割机每小时收割小麦b 公顷…1分根据题意，得⎩⎨⎧=+=+5.2524.13b a b a ，……………………………………3分解得⎩⎨⎧==3.05.0b a ．………………………………4分（2）设需要大型收割机x 台，则需要小型收割机（10－x ）台，…………………………5分 根据题意，得⎩⎨⎧≥-+≤-+8)10(6.05400)10(400600x x x x ，…………………………………7分解得75≤≤x ，又x 取整数，所以x =5，6，7，一共有3种方案．……………9分 设费用为w 元，则4000200)10(400600+=-+=x x x w ．由一次函数性质知，w 随x 增大而增大．所以x =5时，w 值最小，即大型收割机5台，小型收割机5台时，费用最低，………………………………………………………………………………10分此时，所有费用w =600×5+400×5=5000（元）．……………………11分 思路分析：（1）此题可设1台大型收割机和1台小型收割机工作1天各收割小麦a 公顷和b 公顷，根据题中的等量关系列出二元一次方程组解答即可；（2）大收割机为x 台，则小收割机为（10－x ）台．由“两种收割机共15台，要求两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元．列出关于x 的不等式组，通过解不等式组求得整数x 的值． 22．（2017年四川绵阳）（本题满分11分）如图，设反比例函数的解析式为y =xk3（k ＞0）． （1）若该反比例函数和正比例函数y =2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值； （2）若该反比例函数于过点M （－2,0）的直线l ：y =kx +b 的图象交于A ，B 两点．如图所示，当△ABO 的面积为316时，求直线l 的解析式．解：（1）根据题意，正比例函数与反比例函数的一个交点坐标是(1，2)，…2分 代入反比例函数解析式x k y 3=，得32=k ．…………………………4分 （2）因为直线l 过点M （－2，0）．代入直线方程，得0=－2k +b ，所以b =2k ，所以直线l 方程可写为y =kx +2k ，……5分联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=x ky kkx y 32，消去y ，得x k k kx 32=+， 因为k >0，所以xx 32=+，得0322=-+x x ，…………………………7分 解得1321=-=x x ，，所以A （1，3k ），B （－3，－k ），……………………8分所以△ABO 的面积=316)3(221=-+⨯⨯=+k k S S BMO AMO △△，解得34=k ．………………………………………………10分所以直线l 的解析式为：3834+=x y ．……………………………………11分思路分析：（1）由题意可得A （2，4），利用待定系数法即可解决问题；（2）把M （－2，0）代入y =kx +b ，可得b =2k ，可得y =kx +2k ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==kkx y xk y 23消去y 得到x 2+2x －3=0，解得x =－3或1，推出B （－3，－k ），A （1，3k ），根据△ABO 的面积为316，可得21•2•3k +21•2•k =316，解方程即可解决问题． 23．（2017年四川绵阳）（本题满分11分）如图，已知AB 是圆O 的直径．弦CD ⊥AB ，垂足为H ．与AC 平行的圆O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N ． （1）求证：CA =CN ; （2）连接DF ，若cos ∠DF A =54，AN =210，求圆O 的直径的长度．（1）证明：连接OF ，∵ME 与圆O 相切与点F ，∴OF ⊥ME ，即∠OFN +∠MFN =90°，…………………………1分 ∵∠OFN =∠OAN ，∠OAN +∠ANH =90°， ∴∠MFN =∠ANH ，（等量代换）…………………………………3分 又∵ME ∥AC ，∴∠MFN =∠NAC ，∴∠ANH =∠NAC ． ∴CA =CN ．…………………………………………5分 （2）解：∵cos ∠DF A =54，所以cosC =54，……6分 在直角△AHC 中，设AC =5a ，HC =4a ，则AH =3a由（1）知，CA =CN ，∴NH =a ，……7分 在直角△ANH 中，利用勾股定理， 得222AN NH AH =+,即222)102()3(=+a a ，解得a =2，……………8分连接OC ，在直角△OHC 中，利用勾股定理，得222OC HC OH =+, 设圆O 的半径为R ，则2228)6(R R =+-，解得325=R ，……………10分 所以圆O 的直径长度为3502=R ．……………………………………………………11分 方法2：同（2）中，解得a =2，连接BC ，因为AB 为直径，所以∠ACB =90°，由射影定理，得 AB AH CA ⋅=2，即AB ⋅=6100，解得AB =350．…………………11分 思路分析：（1）连接OF ，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M +∠FOH =180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M =∠C =2∠OAF ，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN =90°－∠OAF =∠ANC ，由此即可证出CA =CN ；（2）连接OC ，由圆周角定理结合cos ∠DF A =54、AN =210，即可求出CH 、AH 的长度，设圆的半径为R ，则OH =R ﹣6，根据勾股定理即可得出关于R 的一元一次方程，解之即可得出R ，再乘以2即可求出圆O 直径的长度．（第23题图）24．（2017年四川绵阳）（本题满分12分）如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的顶点坐标是（2,1），并且经过点（4,2）．直线y =21x +1与抛物线交于B ，D 两点，以BD 为直径作圆，圆心为点C ，圆C 于直线m 交于对称轴右侧的点M （t ，1）．直线m 上每一点的纵坐标都等于1． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：圆C 与x 轴相切；（3）过点B 作BE ⊥m ，垂足为E ，再过点D 作DF ⊥m ，垂足为F ．求BE ∶MF 的值．解：（1）设抛物线方程为k h x a y +-=2)(，因为抛物线的顶点坐标是（2，1），所以1)2(2+-=x a y …………………………1分 又抛物线经过点（4，2），所以1)24(22+-=a ，解得41=a ，………………2分 所以抛物线的方程是2411)2(4122+-=+-=x x x y ．……………………………3分 （2）联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=1212412x y x x y ，消去y ，整理得0462=+-x x ，………………………4分解得531-=x ，532+=x ，…………………………5分代入直线方程，解得25251-=y ，25252+=y ， 所以B （252553--，），D （252553++，），因为点C 是BD 的中点，所以点C 的纵坐标为25221=+y y ，………………………6分利用勾股定理，可算出BD =5)()(221221=-+-y y x x ，即半径R =25， 即圆心C 到x 轴的距离等于半径R ，所以圆C 与x 轴相切．…………………………7分 （3）连接BM 和DM ，因为BD 为直径， 所以∠BMD =90°，所以∠BME +∠DMF =90°，又因为BE ⊥m 于点E ，DF ⊥m 于点F ， 所以∠BME =∠MDF ， 所以△BME ∽△MDF ，所以DF EMMF BE =，……………………………9分 即112121--=--y x t t x y ， 代入得2523)53()53(25-23+--=-+t t ， 化简得4)3(2=-t ，解得t =5或t =1，………………………………10分因为点M 在对称轴右侧，所以t =5，………………………11分 所以215+=MF BE …………………………………………………12分 法2：过点C 作CH ⊥m ，垂足为H ，连接CM ，由（2）知CM =R =52 ，CH =R -1=32，由勾股定理，得MH =2，…………………9分又HF =5212=-x x ， 所以MF =HF -MH = 5 -2，…………………10分又BE =y 1-1=32 -52，所以BE MF =5+12，………………………………………………12分思路分析：（1）知抛物线的顶点和其它任意一点，可设出抛物线的顶点式，代入点的坐标即可求出抛物线的解析式；（2）由抛物线与直线交于B 、D ，联立方程组，求出点B 点D 坐标，求出直径BD 的长度，从而求出半径，与C 的纵坐标进行比较，得出结论；（3）连接BM 和DM ，因为BD 为直径， 所以∠BMD =90°，所以∠BME +∠DMF =90°，又因为BE ⊥m 于点E ，DF ⊥m 于点F ，所以∠BME =∠MDF ，所以△BME ∽△MDF ，所以DFEM MF BE =，即112121--=--y x t t x y ，代入得2523)53()53(25-23+--=-+t t ，化简得4)3(2=-t ，解得t =5或t =1，因为点M 在对称轴右侧，所以t =5，所以215+=MF BE ．25．（2017年四川绵阳）（本题满分14分）如图，已知△ABC 中，∠C =90°，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm /s 的速度匀速运动，到达点B 停止运动，在点M 的运动过程中，过点M 作直线MN 交AC 于点N ，且保持∠NMC =45°，再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F ，连接MF ,将△MNF 关于直线NF 对称后得到△ENF ，已知AC =8cm ，BC =4cm ，设点M 运动时间为t （s ），△ENF 与△ANF 重叠部分的面积为y （cm 2）．（1）在点M 的运动过程中，能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由；（2）求y 关于t 的函数解析式及相应t 的取值范围；（3）求y 取最大值时，求sin ∠NEF 的值．25.（1）能，……………………………………………………………………1分如图，四边形MNEF 为正方形时，过F 作FD ⊥BC于点D ，则∠FMD =∠NMC =45°，所以CN =ND =DF =t ，易证△FDB ∽△ACB ，所以FD AC =BD BC，………………2分 即t 8 =4-2t 4 ，解得t =85．……………………………………4分 （2）当点E 恰好落在AB 上时，连接ME ，同（1），易证△EMB ∽△ACB ，所以EM AC =BM BC， 即2t 8 =4-t 4，解得t =2．……………………………………5分 当0<t <2时，连接EM ，易证△ANF ∽△ACB ，所以NF BC =AN AC， 即NF 4 =8-t 8 ，解得NF =4-t 2．…………………………6分 所以t t NC NF y ⋅-⋅=⋅⋅=)24(2121 t t 241-2+=，…………………………………7分 当42≤≤t 时，如图，设NE 与AB 交于点K ， 过K 作KL ⊥NF ，垂足为L ，连接EM ，交直线NF 于点H ．易证△KLF ∽△ANF ，所以LF NF =KL AN， 因为NF =4-t 2 ，所以t NL t NL t -=---824)24(， 解得NL =83 －t 3 ，即KL =83 －t 3，………………………………………9分 （第25题图） AB C MEN F所以)338()24(2121t t KL NF y -⋅-⋅=⋅⋅=31634121)8(12122+-=-=t t t ， 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31634121)20(24122t t t t t t y ．……………………………………10分（3）由题意知，当t =2，y 取得最大值，此时，点E 恰好落在AB 上，…………………………11分由（2）知，NM =2t =2 2 ，NF =4-t 2=3， 由勾股定理，得MF = 5 ，又因为222NF MF MN >+，所以，△NMF 为锐角三角形，…………………12分 所以MNFMF NMF NF ∠=∠sin sin ，即︒=∠45sin 5sin 3NMF ， 所以sin ∠NMF =31010 ，即sin ∠NEF =31010．………………………………14分思路分析：（1）若四边形MNEF 为正方形时，过F 作FD ⊥BC 于点D ，则∠FMD =∠NMC =45°，所以CN =ND =DF =t ，易证△FDB ∽△ACB ，所以FD AC =BD BC，代入求解；（2）当点E 恰好落在AB 上时，连接ME ，同（1），易证△EMB ∽△ACB ，所以EM AC =BM BC ，即2t 8 =4－t 4，解得t =2． 当0<t <2时，连接EM ，易证△ANF ∽△ACB ，所以NF BC =AN AC ，即NF 4 =8－t 8 ，解得NF =4－t 2． 所以t t NC NF y ⋅-⋅=⋅⋅=)24(2121t t 2412+-=，当42≤≤t 时，如图，设NE 与AB 交于点K ，过K 作KL ⊥NF ，垂足为L ，连接EM ，交直线NF 于点H ．易证△KLF ∽△ANF ，所以LF NF =KL AN ，因为NF =4-t 2 ，（第25题(2)图） A B C MEN F A （第25题图） B C M EN F D （第25题（2）图） A B C M EN FHKL所以t NL t NL t -=---824)24(，解得NL =83 －t 3 ，即KL =83 －t 3 ，所以 )338()24(2121t t KL NF y -⋅-⋅=⋅⋅= 31634121)8(12122+-=-=t t t ， （3）由题意知，当t =2，y 取得最大值，此时，点E 恰好落在AB 上，由（2）知，NM =2t =2 2 ，NF =4-t 2=3，由勾股定理，得MF = 5 ，又因为222NF MF MN >+，所以，△NMF 为锐角三角形，所以MNFMF NMF NF ∠=∠sin sin ，即︒=∠45sin 5sin 3NMF ，所以sin ∠NMF =31010 ，即sin ∠NEF =31010 ．。

2017高中自主招生考试数学模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A． m ＞3 B．m≥3C．m≤3D． m＜32．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）（2）（3）A．B．C． 0.3 D．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．等分D．随C点移动而移动4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣25．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．6．（3分）如图（6），已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A． 6圈B． 6.5圈C． 7圈D． 8圈7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图（7），则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）（6）（7）（8）A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个8．（3分）如图8，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（）A． 1 B．C． 2 D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=_________．10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________．11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=_________．（11）（12）12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD 的最小值为_________．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是_________．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是_________．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm．（15）（16）16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是_________cm．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC 交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．21．（15分）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C 的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．。

绵阳东辰学校高三第三次考试《数学试题》本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、科类填写在答题卡规定位置上.2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0。

5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第I 卷（非选择题，共90分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则A B =( ）A 。

{1} B.{12}， C 。

{0123}，，， D 。

{10123}-，，，，2为虚数单位）的虚部为（ )A.－2B.iC.－2i D 。

13．已知向量a ＝(1，2），b ＝(3，1),则b －a ＝ （ ）A 。

(－2,1）B 。

（2,－1）C 。

(2,0)D 。

（4，3）4．已知132a -=,21211log,log 33b c ==，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．下列有关命题的叙述，错误的个数为 ( )① 若p ∨q 为真命题,则p ∧q 为真命题。

② “5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件。

③ 命题P ：∃x∈R，使得x 2＋x －1〈0，则⌝p ：∀x∈R，使得x 2＋x －1≥0。

④ 命题“若,0232=+-x x则1=x ”的否命题为假命题A ．1B ．2C ．3D ．46．已知直线1+=x y 与曲线y ln()x a =+相切,则a的值为（ )A 。

绵阳东辰国际学校高中招生 数学测试题参考答案一、选择题1、C2、A3、B4、C5、D6、A7、A8、B9、D 10、B 二、填空题 11、—4；12、()()y x y x +--+33；13、1或0；14、43；15、32≤<-x ； 16、14a 2；17、OC ；18、①②④；19、173720、25：，21。

三、解答题 21、（1）（满分10分）计算： 解：原式=1+4—（）5-33+2+2-3…………………………4分=5—33+5+2+（3-2）…………………………8分 =14-34…………………………10分 （2）（满分10分） 解：原式=))(())(2y x y x yy x y x x -+÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+（…………………………3分 =y y x y x y x y x x ))(())((2-+⨯-+…………………………5分=yx2…………………………6分2690x x +=．()0132=+-++∴y x x …………………………8分 ⎩⎨⎧-=-=∴23y x …………………………9分 3=∴原式…………………………10分22、（满分12分）23、（满分12分）解：(1) 1或—7；…………………………2分；（2） 3和—4的距离为7，满足不等式的解对应的点在3与—4的两侧。

当x 在3的右边时（画图略）可得x ≥4 当x 在—4的左边时（画图略）可得x ≤5∴原不等式的解集为x ≥4或x ≤5…………………………7分（3）原问题转化为：a 大于或等于43+--x x 的最大值………………………8分 当x ≥3时，43+--x x =—7<0，当—4<x<3时，43+--x x =—2x —1随x 的增大而减小， 当x ≤—4时，43+--x x =7…………………………11分即43+--x x 的最大值为7，故a ≥7…………………………12分4分6分8分12分24、（满分12分）（1）证明：∵C D ⊥AB ，∠ABC=45° ∴⊿BCD 是等腰直角三角形， ∴BD=CD 。

试卷一一、选择题1.PM2．5是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．0．25×10-5B．2．5×10-5C．2．5×l0-6D．25×10-72.下列运算正确的是（）A.－（a－1）=－a－1B.（－2a3）2= 4a6C.（a－b）2=a2－b2D.a3+a2=2a53.如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的俯视图是()。

4.下列事件中确定事件是（）。

A.掷一枚均匀的硬币，正面朝上B.买一注福利彩票一定会中奖C.把4个球放入三个抽屉中，期中一个抽屉中至少有2个球D.掷一枚六个面分别标有1,2,3,4,5,6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上5.给出下列5个命题：a对角线相等的平行四边形是矩形；b平分弦的直接垂直弦，并且平分弦所对的两条弧；c三点确定一个圆；d相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；e相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。

其中正确的命题有（）A.0B.1C.2D.36.如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）7.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A． B． C． D．8.如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点P 从点E 出发沿EA方向运动，连接PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是（ ）A ． 8B ． 10C ． 3πD ． 5π9.如图，点A 是函数y=x 1的图象上的点，点B ，C 的坐标分别为B （-，-），C （，）．试利用性质：“函数y=x1的图象上任意一点A 都满足|AB -AC|=2”求解下面问题：作△BAC 的内角平分线AE ，过B 作AE 的垂线交AE 于F ，已知当点A 在函数y=x1的图象上运动时，点F 总在一条曲线上运动，则这条曲线为（ ）A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．反比例函数的曲线10. 如图，一副直角三角板满足△ACB=△EDF=90°，AC=BC ，AB=DF ，△EFD=30°，将三角板DEF 的直角顶点D 放置于三角板ABC 的斜边AB 上，再将三角板DEF 绕点D 旋转，并使边DE 与边AC 交于点M ，边DF 与边BC 于点N ．当△EDF 在△ABC 内绕顶点D 旋转时有以下结论：△点C ，M ，D ，N 四点共圆；△连接CD ，若AD=DB ，则△ADM △△CDN ；△若AD=DB ，则DN•CM=BN•DM ；△若AD=DB ，则CM+CN=2AD ；△若DB=2AD ，AB=6，则2≤S △DMN ≤4．其中正确结论的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题11.分解因式：a 3b －25ab= 。

2017-2018学年四川省绵阳市东辰国际学校高考数学模拟试卷（理科）（12）一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）=的定义域为（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，2）D．[1，2]2．已知复数（i为虚数单位），z的共轭复数为，则=（）A．2i B．﹣2i C．﹣2 D．23．设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．36 B．30 C．27 D．125．实数x，y满足不等式组，则ω=的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣1，]C．[﹣1，1）D．[﹣，1）6．执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（）A ．5B ．6C ．7D ．87．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（ ）A ．B ．C ．D ．8．“五•一”期间某志愿者服务队准备从甲、乙等7名志愿者中选派4人参加A 、B 、C 、D 四个旅游景点的志愿服务，每个旅游景点安排1名志愿者，若要求甲、乙两志愿者至少有1人参加，那么这4名志愿者去四个旅游景点的安排方法共有（ ）种． A ．30 B ．600 C ．720 D ．8409．已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ），且f （x +2）为偶函数，f （4）=1，则不等式f （x ）＜e x 的解集为（ ） A ．（﹣2，+∞） B ．（0，+∞） C ．（1，+∞） D ．（4，+∞）10．点A 、B 、C 是抛物线y 2=4x 上不同的三点，若点F （1，0）满足++=，则△ABF 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上． 11．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t ，），若﹣2与共线，则t= ． 12．（x 2﹣2x ﹣2）4的展开式中，x 3的系数为 ．（用数字填写答案）．13．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=2AD ，若将△ABD 沿直线BD 折成△A ′BD ，使得A ′D ⊥BC ，则直线A ′B 与平面BCD 所成角的正弦值是 ．14．经过双曲线﹣=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于M ，N 两点，若O 为坐标原点，△OMN 的面积是a 2，则该双曲线的离心率是 ．15．在四边形ABCD 中，AB=7，AC=6，，CD=6sin ∠DAC ，则BD 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．17．某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X（单位：元）的分布列；（Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，向量=（S n，1），=（2n﹣1，），满足条件∥，（1）求数列{a n}的通项公式，（2）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=1，f（b n+1）=．①求数列{b n}的通项公式，②设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2其离心率为e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（1）求a，b的值（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，•=0，求||+||的取值范围．21．已知a∈R，函数f（x）=e x+ax2，g（x）是f（x）的导函数，（Ⅰ）当a＞0时，求证：存在唯一的x0∈（﹣，0），使得g（x0）=0；（Ⅱ）若存在实数a，b，使得f（x）≥b恒成立，求a﹣b的最小值．2017-2018学年四川省绵阳市东辰国际学校高考数学模拟试卷（理科）（12）参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）=的定义域为（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，2）D．[1，2]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：1＜x＜2．∴函数f（x）=的定义域为（1，2）．故选：B．2．已知复数（i为虚数单位），z的共轭复数为，则=（）A．2i B．﹣2i C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==i﹣1，z的共轭复数为=﹣1﹣i，则=﹣1+i﹣1﹣i=﹣2．故选：C．3．设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：B．4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．36 B．30 C．27 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，且底面向左，底面是一个边长为3正方形，且四棱锥的高为4，∴几何体的体积V==12，故选：D．5．实数x，y满足不等式组，则ω=的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣1，]C．[﹣1，1）D．[﹣，1）【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）与点（﹣1，1）连线的斜率，由图可知的取值范围是，故选D．6．执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得：k=1，s=1，第1次执行循环体，s=1，不满足条件s＞31，第2次执行循环体，k=2，s=2，不满足条件s＞31，第3次执行循环体，k=3，s=6，不满足条件s＞31，第4次执行循环体，k=4；s=15，不满足条件s＞31，第5次执行循环体，k=5；s=31，不满足条件s＞31，第6次执行循环体，k=6；s=56，满足条件s＞31，退出循环，此时k=6．故选：B．7．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列，由等比数列的求和公式可得首项，进而由通项公式可得．【解答】解：设该女第n 天织布为a n 尺，且数列为公比q=2的等比数列，则由题意可得=5，解得a 1=，故该女子第4天所织布的尺数为a 4=a 1q 3=，故选：D ．8．“五•一”期间某志愿者服务队准备从甲、乙等7名志愿者中选派4人参加A 、B 、C 、D 四个旅游景点的志愿服务，每个旅游景点安排1名志愿者，若要求甲、乙两志愿者至少有1人参加，那么这4名志愿者去四个旅游景点的安排方法共有（ ）种． A ．30 B ．600 C ．720 D ．840 【考点】计数原理的应用．【分析】通过分类讨论，第一种是，当甲、乙两志愿者中只有1人参加，有=480种；第二种是，当甲、乙两志愿者都参加有=240种，再根据加法原理，可得总共的方法有720种，即可选出答案．【解答】解：①当甲、乙两志愿者中只有1人参加，有=480种；②当甲、乙两志愿者都参加有=240种，∴共有480+240=720种， 故选：C ．9．已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ），且f （x +2）为偶函数，f （4）=1，则不等式f （x ）＜e x 的解集为（ ） A ．（﹣2，+∞） B ．（0，+∞） C ．（1，+∞） D ．（4，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合． 【分析】构造函数g （x ）=（x ∈R ），研究g （x ）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f （x +2）为偶函数，∴y=f （x +2）的图象关于x=0对称 ∴y=f （x ）的图象关于x=2对称 ∴f （4）=f （0）又∵f （4）=1，∴f （0）=1设g （x ）=（x ∈R ），则g ′（x ）==又∵f ′（x ）＜f （x ），∴f ′（x ）﹣f （x ）＜0∴g ′（x ）＜0，∴y=g （x ）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．10．点A、B、C是抛物线y2=4x上不同的三点，若点F（1，0）满足++=，则△ABF面积的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出A，B，C点的坐标，再设出直线AB与x轴交于点D（m，0），进一步求出m，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据导数知识求出最值，则答案可求．【解答】解：抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），直线AB与x轴交于点D（m，0），∵，∴m=﹣∵点F（1，0）满足++=，∴点F是△ABC重心，∴x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，∴y12+y22=12﹣y32，y1+y2=﹣y3，∴2y1y2=（y1+y2）2﹣（y12+y22）=2y32﹣12∴S△ABF2=（1+）2（y1﹣y2）2=（﹣+y32）2（24﹣3y32）令y32=t≥0，y=（﹣2+t）2（8﹣t）令y′=0，则t1=2，t2=6．当t∈（0，2）时函数单调递减，当t∈（2，6）时函数单调递增，t∈（6，+∞）时函数单调递减且当t=0时y=，当t=6时y=，∴y max=．∴△ABF面积的最大值为．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．11．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．12．（x2﹣2x﹣2）4的展开式中，x3的系数为﹣32．（用数字填写答案）．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（x2﹣2x﹣2）4=[x2+（﹣2x﹣2）]4，利用展开式的通项公式T r+1，求出r=3和r=4时含x3的系数，从而求出结果．【解答】解：（x2﹣2x﹣2）4=[x2+（﹣2x﹣2）]4，其展开式的通项公式为T r+1=•x2（4﹣r）•（﹣2x﹣2）r，r=0、1、2、3、4；当r=3时，T4=•x2•（﹣2x﹣2）3，其中含x3的系数为••（﹣2）•（﹣2）2=﹣96；当r=4时，T5=•（﹣2x﹣2）4，其中含x3的系数为••（﹣2）3•（﹣2）=64；所以（x2﹣2x﹣2）4的展开式中，x3的系数为﹣96+64=﹣32．故答案为：﹣32．13．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是．【考点】直线与平面所成的角．【分析】过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．则可证明A′O⊥平面BCD，于是∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．设AD=1，在直角梯形中根据平面几何知识解出DO，从而得出A′O，得出线面角的正弦值．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．∵BC⊥A′D，BC⊥DE，A′D∩A′O=A′，∴BC⊥平面A′DE，∵A′O⊂平面A′DE，∴BC⊥A′O，又A′O⊥DE，BC∩DE=E，∴A′O⊥平面BCD．∴∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．在直角梯形ABCD中，过A作AO⊥BD，交BD于M，交DE于O，设AD=1，则AB=2，∴BD=，∴AM==，∴DM==．由△AMD∽△DMO得，即，∴DO=．∴A′O==．∴sin∠A′BO==．故答案为．14．经过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于M，N两点，若O为坐标原点，△OMN的面积是a2，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ=tan∠MON，求出F到渐近线y=x的距离为b，即有|ON|=a，△OMN的面积可以表示为•a•atanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan∠MON==，设FN⊥ON，则F到渐近线y=x的距离为d==b，即有|ON|==a，则△OMN的面积可以表示为•a•atanθ==，解得a=2b，则e====．故答案为：．15．在四边形ABCD中，AB=7，AC=6，，CD=6sin∠DAC，则BD的最大值为8．【考点】正弦定理．【分析】由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD．点D在以AC为直径的圆上（去掉A，B，C）．可得：当BD经过AC的中点O时取最大值，利用余弦定理可得：OB，可得BD的最大值=OB+AC．【解答】解：由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD．∴点D在以AC为直径的圆上（去掉A，B，C）．∴当BD经过AC的中点O时取最大值，OB2=32+72﹣2×3×7cos∠BAC=25，解得OB=5，∴BD的最大值=5+AC=8．故答案为：8．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；（2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）=，因此f（x）的最小正周期为．由，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）；（2）由，又A为锐角，则．由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc=40，故．17．某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X（单位：元）的分布列；（Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得100（a+0.0015+b+0.004）=1，300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455，由此能求出a．（Ⅱ）依题意知X的可能取值为3600、4800、5000、6000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅲ）由已知得5年中年销售额不低于5000元的年数ξ～B（5，），由此能求出5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得100（a+0.0015+b+0.004）=1，得100（a+b）=0.45，由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455，得300a+500b=2.05，解得a=0.0010．（Ⅱ）依题意知X的可能取值为3600、4800、5000、6000，∵P（X=3600）=0.1，P（X=4800）=0.4，P（X=5000）=0.35，P（X=3600）=0.15，∴X的分布列为：0.35+0.15=0.5，5年中年销售额不低于5000元的年数ξ～B（5，），∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为：．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，向量=（S n，1），=（2n﹣1，），满足条件∥，（1）求数列{a n}的通项公式，（2）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=1，f（b n+1）=．①求数列{b n}的通项公式，②设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示．，【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，可得S n=2n+1﹣2，再由当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1n=1时，a1=S1，即可得到所求通项公式；（2）①运用指数的运算性质和等差数列的定义，即可得到所求通项公式；②求得C n==，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）由向量=（S n，1），=（2n﹣1，），∥，可得S n=2n﹣1，即S n=2n+1﹣2，=（2n+1﹣2）﹣（2n﹣2）=2n，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=2，满足上式．则有数列{a n}的通项公式为a n=2n，n∈N*；（2）①f（x）=（）x，b1=1，f（b n+1）=．可得（）==（），即有b n+1=b n+1，可得{b n}为首项和公差均为1的等差数列，即有b n=n；②C n==，前n项和T n=1•+2•（）2+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n，T n=1•（）2+2•（）3+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1，相减可得，T n=+（）2+…+（）n﹣1+（）n﹣n•（）n+1=﹣n•（）n+1，化简可得，前n项和T n=2﹣．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AB中点O，连结PO、CO，由PA=PB可得PO⊥AB，利用特殊三角形的性质计算PO，OC，PC，可证PO⊥OC，于是PO⊥平面ABCD，故平面PAB⊥平面ABCD；（II）由面面垂直的性质可知∠CHO为CH与平面PAB所成的角，故当OH最小值，tan∠CHO=取得最大值．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结PO、CO，∵PA=PB=，AB=2，∴△PAB为等腰直角三角形，∴PO=1，PO⊥AB，∵AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴，又PC=2，∴PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，又AB∩CO=O，AB⊂平面ABCD，CO⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OC⊥AB，OC⊂平面ABCD，∴OC⊥平面PAB，∴∠CHO为CH与平面PAB所成的角．∵tan∠CHO=，∴当OH⊥PB时，OH取得最小值，此时tan∠CHO取得最大值．当OH⊥PB时，OH==．∴tan∠CHO==．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2其离心率为e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（1）求a，b的值（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，•=0，求||+||的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）当P为椭圆上下顶点时，△PF1F2内切圆面积取得最大值，设△PF1F2内切圆半径为r，利用==bc=r，化为，又，a2=b2+c2，联立解得a，c，b即可得出．（2）由满足∥，∥，•=0，可得直线AC，BD垂直相交于点F1，由（1）椭圆方程，F1（﹣2，0）．①直线AC，BD有一条斜率不存在时，||+||=14．②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x1，y1），C（x2，y2），与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0．利用根与系数的关系可得：==，把﹣代入上述可得：可得=，可得||+||=，设t=k2+1（k≠0），t＞1．即可得出．【解答】解：（1）设△PF1F2内切圆半径为r，由△PF1F2的面积为S=r（PF1+PF2+F1F2）=r（2a+2c），S最大，则r最大，当P为椭圆上下顶点时，△PF1F2的面积最大，其内切圆面积取得最大值，∵，∴．==bc=r=，化为，又，a2=b2+c2，联立解得a=4，c=2，b=2．（2）∵满足∥，∥，•=0，∴直线AC，BD垂直相交于点F1，由（1）椭圆方程，F1（﹣2，0）．①直线AC，BD有一条斜率不存在时，||+||=6+8=14．②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x1，y1），C（x2，y2），联立，化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴==，把﹣代入上述可得：可得=，∴||+||=，设t=k2+1（k≠0），t＞1．∴||+||=，∵t＞1，∴，∴||+||∈．综上可得：||+||的取值范围是．21．已知a∈R，函数f（x）=e x+ax2，g（x）是f（x）的导函数，（Ⅰ）当a＞0时，求证：存在唯一的x0∈（﹣，0），使得g（x0）=0；（Ⅱ）若存在实数a，b，使得f（x）≥b恒成立，求a﹣b的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数零点的判定定理进行判断即可．（Ⅱ）利用不等式恒成立，转化为求函数的最值，求函数的导数，判断函数的单调性求函数的最值进行求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵g（x）=f′（x）=e x+2ax，g′（x）=e x+2a，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（﹣∞，+∞）上的单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又g（﹣）=﹣1＜0，g（0）=1＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴存在唯一的x0∈（﹣，0），使得g（x0）=0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：（1）当a＜0时，则当x＜0时，g（x）＞0，即函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，这与f（x）≥b 矛盾；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当a=0，由e x≥b，得b≤0，∴a﹣b≥0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）当a＞0，由（Ⅰ）知当x∈（﹣∞，x0）时，g（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0；即f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）的最小值为f（x0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣其中x0满足+2ax0=0，故a=﹣且x0＜0，∵f（x）≥b恒成立，∴b≤f（x0），即﹣b≥﹣﹣ax02，于是a﹣b≥﹣﹣ax02=﹣（1+﹣），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣记h（x）=﹣e x（1+﹣），x＜0，则h′（x）=e x（x﹣1）2（x+1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由h′（x）＜0得x＜﹣1，即函数h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调时递减，由h′（x）＞0得﹣1＜x＜0，即函数h（x）在（﹣1，0）上单调递增，∴h（x）min=h（﹣1）=﹣，综上得a﹣b的最小值为﹣，此时x0=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2017-2018学年9月4日。

2017年绵阳东辰国际学校高中招生考试数学试题(考试时间:90分钟总分:150分)亲爱的同学们：四川高中前三强——绵阳东辰国际学校热烈欢迎你的到来,并由衷地为你即将“进一流高中，跟一流名师，创一流前途”而高兴！预祝你成功！一、选择题：（每题只有一个正确答案，本大题共10个小题，每题4分，共40分，将答案番号填在答题卷上）1、北京2008奥运的国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，用科学记数法表示应为（）A 425.810×2m B 525.810×2m C 52.5810×2m D 62.5810×2m2、从图1到图2的拼图过程中，所反映的关系式是（）A . x2+5x+6=（x+2）（x+3）B．x2+5x﹣6=（x+6）（x﹣1）C．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）=x2+5x+63、棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（）A . 36cm2B . 33cm2C . 30cm2D . 27cm24、二次三项式x2﹣4x+5的值（）A．可以等于0 B．大于1 C．不小于1 D．既可以大于0，也可以小于05、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A B C D6、下列四个命题中，正确的命题有（）①三角形三内角中至少有一个角不小于60度；②用边长相等的正五边形与正六边形的组合能镶嵌成一个平面；③如果a＞4，那么不等式（a﹣4）x＞4﹣a的解集是x＞﹣1；④Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB只有一个公共点，那么r=．A．1个B．2个C．3个D．4个7、若α，β是方程x2+（k﹣2）x﹣k+2=0的两个相异的实根，且0＜α﹣β＜2，那么k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜2B．2＜k＜2C．﹣2＜k＜2 D．﹣2＜k＜﹣2或2＜k＜23题图8、正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是AB 、CB 上的点，MN=4，以MN 为直径做半圆，点P 为半圆弧中点，点M 从点A 开给滑动，到点B 停止，在这个运动过程中，点P 的运动路径长是（ ） A ．2πB ．4﹣2C ．8﹣4D ．09、如图，△ABC 中，D 、E 是BC 边上的点，BD ：DE ：EC=3：2：1，M 在AC 边上，CM ：MA=1：2，BM 交AD ，AE 于H ，G ，则BH ：HG ：GM 等于（ ）A ．3：2：1B ．5：3：1C ．25：12：5D ．51：24：1010、如图，过△ABC 的顶点A 分别作对边BC 上的高AD 和中线AE ，D 为垂足，E 为BC 的中点，规定λA =，特别地，当点D 与E 重合时，规定λA =0．对λB 、λC 作类似的规定．给出下列结论： ①若∠C=90°，∠A=30°，则λA =1，λC =． ②若λA =1，则△ABC 为直角三角形． ③若λA ＞1，则△ABC 为钝角三角形；若λA ＜1，则△ABC 为锐角三角形． ④若λA =λB =λC =0，则△ABC 为等边三角形．其中，正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卷上） 11、因式分解：y x y xy x 4034201714522-+-+= ．12、函数026y ）（---=x x x中，自变量x 的取值范围是 ． 13、如图，一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1.2m ，太阳光线与地面的夹角60ACD ∠=，则AB 的长为 m ．14、如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙分别由点A （2，0）同时出发，沿矩形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是_____________.8题图9题图10题图60Ｄ13题15题图16题图14题图15、如图，点M 是反比例函数y=在第一象限内图象上的点，作MB ⊥x 轴于点B ．过点M 的第一条直线交y 轴于点A 1，交反比例函数图象于点C 1，且A 1C 1=A 1M ，△A 1C 1B 的面积记为S 1；过点M 的第二条直线交y 轴于点A 2，交反比例函数图象于点C 2，且A 2C 2=A 2M ，△A 2C 2B 的面积记为S 2；则S 1：S 2等于 . 16、如图放置的两个正方形，大正方形ABCD 边长为a ，小正方形CEFG 边长为b （a ＞b ），M 在BC 边上，且BM=b ，连接AM ，MF ，MF 交CG 于点P ，将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ，将△MEF 绕点F 旋转至△NGF ，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND ；②CP=b ﹣；③△ABM ≌△NGF ；④S 四边形AMFN =a 2+b 2；⑤A ，M ，P ，D 四点共圆，其中正确的结论有_______________________（填入正确结论的序号） .三. 解答题：(本大题共6小题， 共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17．(本题共2小题，满分14分)（1）（ 7分）计算：－22＋27＋(π－1)0－3×︒+-60tan 1； （2）（7分）先化简，再求值：2132446222--+-⨯+-+x x x x x x x ，其中x 为满足4<x 的非负整数解.18.（本题满分13分）下表为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的条形统计图如下图.依据上列图、表，回答下列问题：（1）其中观看男篮比赛的门票有 张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的 %；（2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地等完全相同且充分洗匀），问员工小亮抽到足球门票的概率是 ； （3）若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的81，试求每张乒乓球门票的价格.19、（本题满分13分）某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为300万千瓦/月．该厂计划从今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往后算，该厂第x （x 是正整数）个月的发电量设为y （万千瓦）． （1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω1（万元），将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω2（万元）？ADB C20、（本题满分15分）如图，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ，BD 相交于点E ，F 是边BA 延长线上一点，连接EF ，以EF 为直径作⊙O ，交DC 于D ，G 两点，AD 分别于EF ，GF 交于I ，H 两点． （1）求∠FDE 的度数；（2）试判断四边形FACD 的形状，并证明你的结论；（3）当G 为线段DC 的中点时，①求证：FD=FI ；②设AC=2m ，BD=2n ，求⊙O 的面积与菱形ABCD 的面积之比．21、（本题满分15分）如图，边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.22、（本题满分16分）抛物线y=a （x +1）（x ﹣3）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C ，∠ABC=45°． （1）求a 值；（2）点M 为抛物线上第一象限内一点，连接AM ，当∠CAM=45°时，求M 的坐标； （3）在条件（2）下，P 为抛物线上第一象限内一点，PR ∥AM 交AC 、BC 于R 、Q ，当PQ=时，求P 点坐标．。

2017四川单招考试真题卷普高数学答案一、选择题（每题3分，共60分）已知全集U=R，M={x|x^2-4<0}，N={1,2,3,4}，则CUM∩N=（）A. {4}B. {3,4}C. {2,3,4}D. {1,2,3,4}答案：A“G=”是“a,G,b成等比数列”的（）A. 充足不必要条件B. 必要不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不必要条件答案：C函数y=sin3xcos3x是（）A. 周期为π/3的奇函数B. 周期为π/3的偶函数C. 周期为π的奇函数D. 周期为π的偶函数答案：D已知平面向量a与b的夹角为90°，且a=(k,1)，b=(2,6)，则k的值为（）A. -3B. 3C. -1/3D. 1/3答案：A在等差数列{an}中，若S9=45，则a5=（）A. 4B. 5C. 8D. 10答案：B（继续设计题目，覆盖数列、函数、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计等高中数学主要知识点）二、填空题（每题4分，共20分）若函数f(x)=x^2-2ax+3在区间[1,3]上单调递增，则a的取值范围是_________。

答案：(-∞,1]已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，则a与b的夹角θ的余弦值为_________。

答案：√2/2（继续设计题目，考察函数的单调性、向量的夹角、解析几何中的距离和角度计算等）三、解答题（每题10分，共60分）求函数f(x)=x3-3x2+1的单调区间和极值。

答案要点：求导得f'(x)=3x^2-6x。

令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

判断单调性：当x<0或x>2时，f'(x)>0，函数单调递增；当0<x<2时，f'(x)<0，函数单调递减。

极值：x=0处取得极大值f(0)=1，x=2处取得极小值f(2)=-3。

已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2，求数列{an}的通项公式和前n项和Sn。