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2012年上海市普陀区高三数学试卷一模文科试卷(含答案)

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2011学年度第一学期普陀区高三年级质量调研 数学试卷 （文科） 2011.12说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答．．．．．题纸的相应位置．．．．．．．，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. 函数22()sin cos22x x f x =-的最小正周期是 .2. 二项式6)1(xx -的展开式中的常数项是 ．（请用数值作答）3. 函数()2log 11y x =-+的定义域是 .4. 设1e 与2e 是两个不共线的向量，已知122AB e k e =+ ，123CB e e =+ ，122CD e e =-，则当A B D 、、三点共线时，k = .5. 已知各项均为正数的无穷等比数列{}n a中，11a =+，31a =-，则此数列的各项和S = .6. 已知直线l 的方程为230x y --=，点(1,4)A 与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 .7. 如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果S 的值为 .8. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为0)，则该双曲线的标准方程为 .9. 如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm 2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm 2.10. 给出问题：已知A B C △满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判定A B C △的形状.某学生的解答如下：解：（i ）由余弦定理可得，第9题图第7题图22222222b c aa c ba b bcac+-+-⋅=⋅，⇔()()()2222222abc a b ab-=-+，⇔222c a b =+,故A B C △是直角三角形.（ii ）设A B C △外接圆半径为R .由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos R A A R B B = sin 2sin 2A B ⇔=A B ⇔=，故A B C △是等腰三角形.综上可知，A B C △是等腰直角三角形.请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. . 11. 已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S .若1020S =，2060S =，则3010S S = .12.一个球面上，则此球的体积为 .13. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,,9 的9个小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法共有 种.14. 设*N n ∈，n a 表示关于x 的不等式144log log (54)21n x x n -+⨯-≥-的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a = .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15. “lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 （ ）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件.第13题图16. 设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，则θ的值为 （ ）A. arccos a π-；B. arccos a ；C. arccos a -；D. arccos a π+.17. 设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，3|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为 （ ）A. M N ；B. M N ；C. R M N ð；D. R M N ð. 18. 对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是（ ）A ．若a m ⊥，a n ⊥，m αÜ，n αÜ,则a α⊥；B ．若a b ，b αÜ，则a α ；C ．若a βÜ，b βÜ，a α ，b α ,则αβ ；D ．若αβ ，a αγ= ，b βγ= ，则a b .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）已知函数()2f x kx =+，0k ≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22A B i j =+，函数6)(2--=x x x g . 当x 满足不等式()()f x g x >时，求函数()1()g x y f x +=的最小值.20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图,已知圆锥体S O 的侧面积为15π，底面半径O A 和O B 互相垂直，且3O A =，P 是母线B S 的中点.（1）求圆锥体的体积；（2）异面直线S O 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．AB第20题图21. （本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知A B C △中，1A C =，23A B C π∠=.设B A C x ∠=，记()f x AB BC =⋅.（1） 求()f x 的解析式及定义域；（2） 设()6()1g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足n n n pa a 21+=+*(N )n ∈. （1） 求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2） 若抽去数列{}n a 中的第一项、第四项、第七项、……、第23-n 项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3） 在（2）的条件下，试求数列{}n b 的前n 项和n T 的表达式.23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）设点F 是抛物线L ：x y 42=的焦点，),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P 是抛物线L 上的n 个不同的点（3n ≥，*N n ∈）.（1）若抛物线L 上三点1P 、2P 、3P 的横坐标之和等于4，求||||||321FP FP FP ++的值； （2）当3n >时，若021=+++n FP FP FP ，求证：n FP FP FP n 2||||||21=+++ ； （3）若将题设中的抛物线方程x y42=推广为22y px =(0)p >，请类比小题（2），写出一个更一般化的命题及其逆命题，并判断其逆命题．．．的真假. 若是真命题，请予以证明；若是假命题，请说明理由.2011学年度第一学期普陀区高三质量调研数学试卷参考答案 201112PT一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. π2；2. 20-；3. （文） )1(∞+，； （理）(0,1)(12) ，； 4. 8-； 5. 2232+； 6. )2,5(； 7. 3； 8. 1922=-yx ； 9. 196；10. 等腰或直角三角形； 11. （文）6；（理）7； 12. （文）π34；（理） 29π；13. （文）108；（理）181； 14. 1*341,N n n -⋅+∈.三、解答题（满分74分）： 19.（本题满分12分） 解：由题意知：)0,2(kA -、)2,0(B ，则)2,2()2,2(==kAB可解得：1=k ，即2)(+=x x f因为)()(x g x f >，即622-->+x x x ，解不等式得到()4,2-∈x2()15()2g x x x y f x x +--==+2(2)5(2)112522x x x x x +-++==++-++因为()4,2-∈x ，则()6,0)2(∈+x 所以35212)(1)(-≥-+++=+x x x f x g ，当且仅当212+=+x x ，即12=+x ，1-=x 时，等号成立. 所以，当1-=x 时，)(1)(x f x g +的最小值为3-.xCBA20.（本题满分12分）解：（1）由题意，15O A SB ππ⋅⋅=得5B S =，故4SO ===从而体积2211341233V O A SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=.（2）如图2，取O B 中点H ，联结PH AH 、.由P 是SB 的中点知P H SO ∥，则A P H ∠(或其补角)就是异面直线S O 与P A 所成角.由SO ⊥平面O A B ⇒PH ⊥平面O A B ⇒PH AH ⊥.在O A H ∆中，由O A O B ⊥得2AH ==；在R t A P H ∆中，90AHP O ∠=，122P H SB ==，2AH =，则tan 4AH APH PH∠==，所以异面直线S O 与P A所成角的大小arctan4.21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）如图，在ABC ∆中，由23A B C π∠=，x BAC =∠，可得x ACB -=∠3π，又 1A C =，故由正弦定理得2sin sin()sin33ABBC AC xx ππ===-⇒)3AB x π=-、BC x =.则函数()f x AB BC=⋅ 2||||cos sin sin()333A B B C x x ==- ππ21sin sin )322x x x =-212sin 63x x =-112cos 2)66x x =+-11sin(2)366x π=+-，其中定义域为0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π.说明：亦可用积化和差方法化简：2111()sin sin()[coscos(2)]cos(2)33333336f x x x x x ==-=---=--ππππ.（2）()6()12sin(2)16g x m f x m x m =+=+-+π由0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π可得52(,)666x πππ+∈⇒)62sin(π+x ]1,21(∈.显然，0m ≠，则1O 当0>m 时，()(1,1]g x m ∈+，则)(x g 的值域为]23,1(⇔231=+m ⇔21=m ；2O 当0m <时，()[1,1)g x m ∈+，不满足)(x g 的值域为]23,1(；因而存在实数21=m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第二小题满分5分，第3小题满分6分）（1）解：由n n n pa a a 2,211+==+得222+=p a ，42223++=p p a ，又因为存在常数p ，使得数列{}n a 为等比数列，则3122a a a =即)422(2)22(22++=+p p p ，所以1=p .故数列{}n a 为首项是2，公比为2的等比数列，即nn a 2=.此时11222++=+=n n n n a 也满足，则所求常数p 的值为1且*2(N )n n a n =∈.（2）解：由等比数列的性质得：（i ）当*2(N )n k k =∈时，kk n a b 332==；（ii ） 当*21(N )n k k =-∈时，13132--==k k n a b ，所以312*322,21,(N )2,2,n n nn k b k n k +⎧=-⎪=∈⎨⎪=⎩. （3）（文科）解：注意到21{}n b -是首项14b =、公比8q =的等比数列，2{}n b 是首项28b =、公比8q =的等比数列，则（i ）当2n k =*(N )k ∈时，21321242()()n k k k T T b b b b b b -==+++++++4(81)8(81)8181kk--=+--2128121281277nk⋅-⋅-==；（ii ）当21n k =-*(N )k ∈时，12212212812581258128777n kkkn k k k T T T b +-⋅-⋅-⋅-==-=-==.即12*25812,217(N )12812,27n n nn k T k n k+⎧⋅-⎪=-⎪=∈⎨⎪⋅-⎪=⎩.（3）（理科）解：（续文科解答过程）假设存在正整数n 满足条件，则1111118133n n n n n nnnnT T b b b T T T T +++++==+=⇔=，则（i ）当*2,(N )n k k =∈时， 3212122288888128121281237k kkn k kknkb b T T +++⋅====⇒=⋅-⋅-1k ⇒=，即当2n =时满足条件；（ii ）当*21,(N )n k k =-∈时， 128788968581258123197kkkn k k knnb b T T +⋅====⇒=⋅-⋅-.因为*N k ∈，所以此时无满足条件的正整数n . 综上可得，当且仅当2n =时，1113n nT T +=.23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分） （理）解：（1）抛物线L 的焦点为(,0)2p F ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，分别过123P P P 、、作抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、.由抛物线定义得123112233123||||||||||||()()()222p p pFP FP FP P Q P Q P Q x x x ++=++=+++++623321=+++=px x x因为2p =，所以3321=++x x x ， 故可取，，)2,1()2,21(21P P 3P )6,23(满足条件.（2）设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、.由抛物线定义得 123112233||||||||||||||||n n n FP FP FP FP P Q P Q P Q P Q ++++=++++123()()()()2222n p p pp x x x x =++++++++123()2n np x x x x =+++++又因为1230n FP FP FP FP ++++=⇒123()()()()02222n p p p p x x x x -+-+-++-=⇒221np x x x n =+++ ；所以123||||||||n FP FP FP FP ++++ 123()2n np x x x x =+++++ np =.（3） ①取4=n 时，抛物线L 的焦点为(,0)2p F ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，),(444y x P 分别过123P P P 、、4P 、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、4Q 、.由抛物线定义得=+++44332211Q P Q P Q P Q P +++=244321p x x x x ++++p 4=，则p x x x x 24321=+++，不妨取22,411p y p x ==；,22p x =p y =2；,23p x =p y -=3；443,42p x y ==，则=+++4321FP FP FP FP (p x x x x 24321-+++，)4321y y y y +++2⎛= ⎝⎭0≠.故1,42p P ⎛⎫⎪⎝⎭，2,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，4342p P ⎛ ⎝⎭是一个当4n =时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)② 设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作 抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由123||||||||n FP FP FP FP np ++++=及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221np x x x n =+++ .因为上述表达式与点111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、的纵坐标无关，所以只要将这n 点都取在x 轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则 =+++n FP FP FP 21(,221np x x x n -+++ )21n y y y +++(=,0)21n y y y +++ ，而021>+++n y y y ，所以021≠+++n FP FP FP .（说明：本质上只需构造满足条件且120n y y y +++≠ 的一组n 个不同的点，均为反例.） ③ 补充条件1：“点i P 的纵坐标i y （1,2,,i n = ）满足 1230n y y y y ++++= ”，即： “当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++= ，且点i P 的纵坐标i y （1,2,,i n = ）满足1230n y y y y ++++= ，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.事实上，设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由12||||||n FP FP FP np +++=，及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221np x x x n =+++ ，则=+++n FP FP FP 21(,221np x x x n -+++ )21n y y y +++(=,0)21n y y y +++ ，又由1230n y y y y ++++= ，所以1230n FP FP FP FP ++++=，故命题为真.补充条件2：“点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称”，即：“当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.（证略）23.（文）（1）解：抛物线L 焦点(1,0)F ，准线l 方程为：1-=x .由抛物线定义得11||1FP x =+ ，22||1FP x =+ ，33||1FP x =+，∴ 73||||||321321=+++=++x x x FP FP FP .（2）证明：由)0,1(F ，),1(111y x FP -=，),1(222y x FP -=，…，),1(n n n y x FP -= ， 1230n FP FP FP FP ++++=⇒0)1()1()1(21=-++-+-n x x x ，即n x x x n =+++)(21 .则12||||||n FP FP FP +++)1()1()1(21++++++=n x x xn x x x n ++++=)(21 n 2=.（3）经推广的命题：“当3n >时，若021=+++n FP FP FP ，则np FP FP FP n =+++||||||21 .” 其逆命题为：“当3n >时，若np FP FP FP n =+++||||||21 ，则021=+++n FP FP FP ”. 该逆命题为假命题.不妨构造特殊化的一个反例：设2p =，4n =，抛物线x y 42=，焦点)0,1(F .由题意知：1234||||||||8FP FP FP FP +++=；根据抛物线的定义得：8)1()1()1()1(4321=+++++++x x x x ⇒44321=+++x x x x ；不妨取四点坐标分别为)0,0(1P 、)2,1(2P 、)2,1(3-P 、)22,2(4P ，但0)22,0()22,1()2,0()2,0()0,1(4321≠=+-++-=+++FP FP FP FP ，所以逆命题是假命题.。

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2012上海市高考数学试卷及参考答案

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1. 计算：设i 为虚数单位，则31ii-=+ . 2.（理）若集合{}|210A x x =+>，{}|1|2B x x =-<，则A B = . 3.（理）函数2()1cosx f x sinx=-的值域是 .4.（理）若(2n =-，1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 .5.（理）在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .6.（理）有一列正方体，其棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为1V ，2V ，⋅⋅⋅，n V ，⋅⋅⋅，则12()n n lim V V V →∞++⋅⋅⋅+= .7.（理）已知函数||()x a f x e -=，a 为常数. 若()f x 在区间[1，)+∞上是增函数，则a 的取值范 围是 . 8.（理）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9.（理）已知2()y f x x =+是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1f =，则(1)g -=.10.（理）如图所示，在极坐标系中，过点(2M ，0)的直线l 与极轴的 夹角6πα=， 若将直线l 的极坐标方程写成()f ρθ=的形式，则()f θ= .11. 三位同学参加跳远、跳高、铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 . 12.（理）在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅ 的取值范围是 . 13.（理）已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0A ，0)、1(2B ，5)、(1C ，0)，那么函数()(01)y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 14.（理）如图所示，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =. 若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=， 其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值为 .15. 若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-α lxOMDCBAC ．2b =-，1c =-D ．2b =-，3c =16. 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mxny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17. （理）设412341010x x x x ≤<<<≤，5510x =. 随机变量1ξ取值1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的 概率均为0.2，随机变量2ξ取值122x x +，232x x +，342x x +，452x x +，512x x +的 概率均为0.2. 若记1D ξ、2D ξ分别是随机变量1ξ、2ξ的方差，则（ ）A ．12D D ξξ>B ．12D D ξξ= C ．12D D ξξ<D ．1D ξ与2D ξ的大小关系和1x ，2x ，3x ，4x 取值有关 18.（理）设125n n a sin n π=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+. 则在1S ，2S ，⋅⋅⋅，100S 中，正数的个数（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10019.（理）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC的中点. 已知2AB =，22AD =，2PA =.①求PCD 的面积；②求异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20. 已知函数()(1)f x lg x =+.①若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；②如果()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =(12)x ≤≤的反函数.21. 海事救援船对一艘失事船只进行定位：以失事船只的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，且以1海里为单位长度. 则救援船只恰好在失事船只正南方向12海里A 处，如图所示. 现假设：失事船只的移动路径可视为抛物线21249y x =，定位后救援船只立即沿直线匀速前往救援，且救援船只出发t 小时后，失事船只所在位置的横坐标为7t .①当0.5t =时，写出失事船只所在位置P 的纵坐标. 若此时两船PyxOABCPDE恰好会合，求救援船只速度的大小和方向；②问救援船只的时速至少是多少海里才能追上失事船只？ 22.（理）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C xy -=.①过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；②设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；③设椭圆222:41C xy +=，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离为定值.23.（理）对于数集{1X=-，1x ，2x ，⋅⋅⋅，}n x ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向 量集{|(Y a a s == ，)t ，s X ∈，}t X ∈，若对任意的1a Y ∈ ，存在2a Y ∈，使得 120a a ⋅=，则称X 具有性质P . 例如，{1-，1，}2具有性质P .①若2x >，且{1-，1，2，}x 具有性质P ，求x 的值；②若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x =；③若X 具有性质P ，且11x =，2x q =，q 为常数，求有穷数列1x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的通 项公式.——————————————————参考答案（理） 1.12i -2. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭3.53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 4. 2arctan 5. 160-6. 877.(],1-∞8.33π 9.1-10.16sin πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭11. 2312. []2,513. 54 14. 22213c a c -- 15.B16. C 17. A 18.D19. ①23 ②4π 20. ①21,33⎛⎫-⎪⎝⎭②310(02)x y x lg =-≤≤21. ①速度为949海里/小时，方向为北偏东 730arctan 弧度 ②2522. ①28②略③定值为3323. ①4②略 ③1(1,2,,)k k x q k n -==⋅⋅⋅。

上海市普陀区2013届高三上学期一模考试数学文试题--含答案

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2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷考生注意： 2013.11.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式1|2|≤-x 的解为 .2. 函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3. 若集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B = . 4. 【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为 .5. 【文科】若函数x x f 3log 1)(-=，则=--)8(1f.6. 若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 的通项公式 为 .7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意 取两个，则编号的和是奇数的概率为 （结果用最简分数表示）8. 在210(2x 的二项展开式中，常数项等于 . 9. 若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,22πϕπ<<-图，则=)0(f .10. 在ABC △中，若2AB AC ⋅=,7-=⋅= .11. 【文科】若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=)10(f _.A BCD 1A 1B 1C 1D （第4题图）12.【文科】若1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，则2111MF MF +的最小值为 .13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 .14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是 .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 已知函数=y )(x f (R x ∈)，则“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的…………………………………………………………………………………………（ ） （A ）充分非必要条件. （B ）必要非充分条件. （C ）充要条件. （D ）非充分非必要条件.16. 【文科】双曲线17922=-+-λλy x （97<<λ）的焦点坐标为…………………………（ ） （A ）)0,4(±. （B ）)0,2(±. （C ）)4,0(±. （D ）)2,0(±.17. 已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，则b a +的值不可能．．．是…………………（ ） （A ）7. （B ）8. （C ）9. （D ）10.18. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断正确．．的是…………………………………………………………………………………（ ） P（第13题图）SBACEHGF（A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1）？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. 52、求动点A 的轨迹方程；53、记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 的面积.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.（第20题图）（第19题图）6cm已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A ． （1）求c ； （2）求)42cos(π-B 的值．22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.【文科】)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）若函数b ax x f +=)(，n mx x g +=)(，)(x f 与)(x g 互为“H 函数”,证明：)()(b g n f =.（2）若集合]2,2[-=M ，函数2)(x x f =，x x g cos )(=，判断函数)(x f 与)(x g 在M 上是否互为“H 函数”，并说明理由.（3）函数xa x f =)((0a a >≠且1)，1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”,求a 的取值范围及集合M .23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.【文科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n n B B ⋅=+，其中*n N ∈．（1）求2OA 的坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上； （2）记四边形11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？若存在，求P 的值；若不存在，请说明理由．2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【文科】 605.93 6.32n a n =-（*N n ∈）7.538.180 9.1- 10.3 11【文科】102 12.1 13.1:1 14.)2,43[二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 16. 17. 18. BBDC三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.【解】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分=V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分（2）πππ369442=⨯⨯==R S 球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m所用胶的质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分 答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】（1）由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分 所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形………2分 4||=KF …………2分所以84421=⨯⨯=∆AFK S …………2分21.【解】（1）在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=…………2分 )31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分（2）由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中， 由正弦定理，得sin sin a bA B = 则36343226sin sin =⨯=⋅=a Ab B …………2分 由于B 为锐角，则33cos =B ……2分 313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分【文科】22. 【解】（1）证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,则对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f = 恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 （2）假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，则对于任意的M x ∈))(())((x f g x g f = 恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分.当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，则1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.（3）由题意得，11+=+x x a a（0>a 且1≠a ）………2分变形得，1)1(=-a a x，由于0>a 且1≠a 11-=a a x，因为0>xa ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分23.【解】（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (若学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。

上海市普陀区2012届高三一模考试-解答参考

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2011学年度第一学期普陀区高三质量调研数学试卷参考答案 201112PT一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. π2；2. 20-；3. （文） )1(∞+，； （理）(0,1)(12) ，； 4. 8-； 5. 2232+； 6. )2,5(； 7. 3； 8. 1922=-yx ； 9. 196；10. 等腰或直角三角形； 11. （文）6；（理）7； 12. （文）π34；（理） 29π；13. （文）108；（理）181； 14. 1*341,N n n -⋅+∈.二、选择题（每题5分，满分20分）：三、解答题（满分74分）： 19.（本题满分12分） 解：由题意知：)0,2(kA -、)2,0(B ，则)2,2()2,2(==kAB可解得：1=k ，即2)(+=x x f因为)()(x g x f >，即622-->+x x x ，解不等式得到()4,2-∈x2()15()2g x x x y f x x +--==+2(2)5(2)112522x x x x x +-++==++-++因为()4,2-∈x ，则()6,0)2(∈+x 所以35212)(1)(-≥-+++=+x x x f x g ，当且仅当212+=+x x ，即12=+x ，1-=x 时，等号成立. 所以，当1-=x 时，)(1)(x f x g +的最小值为3-.xCBA20.（本题满分12分）解：（1）由题意，15O A SB ππ⋅⋅=得5B S =，故4SO ===从而体积2211341233V O A SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=.（2）如图2，取O B 中点H ，联结PH AH 、.由P 是SB 的中点知P H SO ∥，则A P H ∠(或其补角)就是异面直线S O 与P A 所成角.由SO ⊥平面O A B ⇒PH ⊥平面O A B ⇒PH AH ⊥. 在O A H ∆中，由O A O B ⊥得2AH ==；在R t A P H ∆中，90AHP O ∠=，122P H SB ==，2AH =则tan 4AH APH PH∠==，所以异面直线S O 与P A所成角的大小arctan4.21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）如图，在ABC ∆中，由23A B C π∠=，x BAC =∠，可得x ACB -=∠3π，又 1A C =，故由正弦定理得2sin sin()sin33ABBC AC xx ππ===-⇒)3AB x π=-、BC x =.则函数()f x AB BC =⋅ 2||||cos sin sin()333A B B C x x ==- ππ21sin sin )322x x x =-212sin 63x x =-112cos 2)66x x =+-11sin(2)366x π=+-，其中定义域为0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π.说明：亦可用积化和差方法化简：2111()sin sin()[coscos(2)]cos(2)33333336f x x x x x ==-=---=--ππππ.（2）()6()12sin(2)16g x m f x m x m =+=+-+π由0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π可得52(,)666x πππ+∈⇒)62sin(π+x ]1,21(∈.显然，0m ≠，则1O 当0>m 时，()(1,1]g x m ∈+，则)(x g 的值域为]23,1(⇔231=+m ⇔21=m ；2O 当0m <时，()[1,1)g x m ∈+，不满足)(x g 的值域为]23,1(；因而存在实数21=m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第二小题满分5分，第3小题满分6分） （1）解：由n n n pa a a 2,211+==+得222+=p a ，42223++=p p a ， 又因为存在常数p ，使得数列{}n a 为等比数列，则3122a a a =即)422(2)22(22++=+p p p ，所以1=p .故数列{}n a 为首项是2，公比为2的等比数列，即nn a 2=.此时11222++=+=n n n n a 也满足，则所求常数p 的值为1且*2(N )n n a n =∈.（2）解：由等比数列的性质得：（i ）当*2(N )n k k =∈时，kk n a b 332==；（ii ） 当*21(N )n k k =-∈时，13132--==k k n a b ，所以312*322,21,(N )2,2,n n nn k b k n k +⎧=-⎪=∈⎨⎪=⎩. （3）（文科）解：注意到21{}n b -是首项14b =、公比8q =的等比数列，2{}n b 是首项28b =、公比8q =的等比数列，则（i ）当2n k =*(N )k ∈时，21321242()()n k k k T T b b b b b b -==+++++++4(81)8(81)8181kk--=+--2128121281277nk⋅-⋅-==；（ii ）当21n k =-*(N )k ∈时，12212212812581258128777n kkkn k k k T T T b +-⋅-⋅-⋅-==-=-==.即12*25812,217(N )12812,27n n nn k T k n k+⎧⋅-⎪=-⎪=∈⎨⎪⋅-⎪=⎩.（3）（理科）解：（续文科解答过程）假设存在正整数n 满足条件，则1111118133n n n n n nnnnT T b b b T T T T +++++==+=⇔=，则（i ）当*2,(N )n k k =∈时， 3212122288888128121281237k kkn k kknkb b T T +++⋅====⇒=⋅-⋅-1k ⇒=，即当2n =时满足条件；（ii ）当*21,(N )n k k =-∈时， 128788968581258123197kkkn k k knnb b T T +⋅====⇒=⋅-⋅-.因为*N k ∈，所以此时无满足条件的正整数n . 综上可得，当且仅当2n =时，1113n nT T +=.23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分） （理）解：（1）抛物线L 的焦点为(,0)2p F ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，分别过123P P P 、、作抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、.由抛物线定义得123112233123||||||||||||()()()222p p pFP FP FP P Q P Q P Q x x x ++=++=+++++623321=+++=px x x因为2p =，所以3321=++x x x ， 故可取，，)2,1()2,21(21P P 3P )6,23(满足条件.（2）设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、.由抛物线定义得 123112233||||||||||||||||n n n FP FP FP FP P Q P Q P Q P Q ++++=++++123()()()()2222n p p pp x x x x =++++++++123()2n np x x x x =+++++又因为1230n FP FP FP FP ++++=⇒123()()()()02222n p p p p x x x x -+-+-++-=⇒221np x x x n =+++ ；所以123||||||||n FP FP FP FP ++++ 123()2n np x x x x =+++++ np =.（3） ①取4=n 时，抛物线L 的焦点为(,0)2p F ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，),(444y x P 分别过123P P P 、、4P 、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、4Q 、.由抛物线定义得=+++44332211Q P Q P Q P Q P +++=244321p x x x x ++++p 4=， 则p x x x x 24321=+++，不妨取22,411p y p x ==；,22p x =p y =2；,23p x =p y -=3；443,42p x y ==，则=+++4321FP FP FP FP (p x x x x 24321-+++，)4321y y y y +++2⎛= ⎝⎭0≠.故1,42p P ⎛⎫⎪⎝⎭，2,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，43,42p P ⎛⎫⎪⎝⎭是一个当4n =时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)② 设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作 抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由123||||||||n FP FP FP FP np ++++=及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221np x x x n =+++ .因为上述表达式与点111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、的纵坐标无关，所以只要将这n 点都取在x 轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则 =+++n FP FP FP 21(,221np x x x n -+++ )21n y y y +++(=,0)21n y y y +++ ，而021>+++n y y y ，所以021≠+++n FP FP FP .（说明：本质上只需构造满足条件且120n y y y +++≠ 的一组n 个不同的点，均为反例.）③ 补充条件1：“点i P 的纵坐标i y （1,2,,i n = ）满足 1230n y y y y ++++= ”，即： “当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点i P 的纵坐标i y （1,2,,i n = ）满足1230n y y y y ++++= ，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.事实上，设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由12||||||n FP FP FP np +++=，及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221np x x x n =+++ ，则=+++n FP FP FP 21(,221np x x x n -+++ )21n y y y +++(=,0)21n y y y +++ ，又由1230n y y y y ++++= ，所以1230n FP FP FP FP ++++=，故命题为真.补充条件2：“点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称”，即：“当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.（证略）23.（文）（1）解：抛物线L 焦点(1,0)F ，准线l 方程为：1-=x .由抛物线定义得11||1FP x =+ ，22||1FP x =+ ，33||1FP x =+，∴ 73||||||321321=+++=++x x x FP FP FP .（2）证明：由)0,1(F ，),1(111y x FP -=，),1(222y x FP -=，…，),1(n n n y x FP -= ， 1230n FP FP FP FP ++++=⇒0)1()1()1(21=-++-+-n x x x ，即n x x x n =+++)(21 .则12||||||n FP FP FP +++)1()1()1(21++++++=n x x xn x x x n ++++=)(21 n 2=.（3）经推广的命题：“当3n >时，若021=+++n FP FP FP ，则np FP FP FP n =+++||||||21 .” 其逆命题为：“当3n >时，若np FP FP FP n =+++||||||21 ，则021=+++n FP FP FP ”. 该逆命题为假命题.不妨构造特殊化的一个反例：设2p =，4n =，抛物线x y 42=，焦点)0,1(F .由题意知：1234||||||||8FP FP FP FP +++=；根据抛物线的定义得：8)1()1()1()1(4321=+++++++x x x x ⇒44321=+++x x x x ；不妨取四点坐标分别为)0,0(1P 、)2,1(2P 、)2,1(3-P 、)22,2(4P ，但0)22,0()22,1()2,0()2,0()0,1(4321≠=+-++-=+++FP FP FP FP ，所以逆命题是假命题.。

普陀区一模高三数学试卷

普陀区一模高三数学试卷

普陀区一模高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 已知等差数列{a_n}的前三项分别为1，4，7，则该数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 函数y = 2x - 3与x轴的交点坐标为（）A. (1, 0)B. (3, 0)C. (-3/2, 0)D. (0, -3)4. 已知圆心在原点，半径为5的圆的方程为（）A. x^2 + y^2 = 25B. x^2 + y^2 = 16C. x^2 + y^2 = 9D. x^2 + y^2 = 495. 已知抛物线y^2 = 4px（p > 0）的焦点坐标为（）A. (p, 0)B. (-p, 0)C. (0, p)D. (0, -p)6. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，直线m的方程为x - y + 3 = 0，直线l与直线m的交点坐标为（）A. (-1, -3)B. (1, 3)C. (-1, 1)D. (1, -1)7. 已知复数z = 1 + i，那么|z| =（）A. √2B. 2C. √3D. 18. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为（）A. 4B. -1C. 1D. 79. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，那么f'(x) =（）A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x - 2C. x^2 - 6x + 2D. x^2 - 6x - 210. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），且f(-1) = 0，f(1) = 0，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。