江苏高二数学复习学案 练习19 函数应用题 文

2019年江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--函数的实际应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1. 零点问题，在掌握二分法的解题步骤基础上，学会分析转化，能够把与之有关的问题化归为方程零点问题、2. 函数模型的实际应用问题，主要抓住常见函数模型的训练，如幂指对模型，二次函数模型，数列模型，分段函数模型等，解答的重点是在信息整理和建模上、3. 掌握解函数应用题的方法与步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2) 用相关的函数知识进行合理的设计，确定最正确的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)、1. 函数f(x)＝e x＋x －2的零点为x 0，那么不小于x 0的最小整数为________、2.关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负实根，那么实数a 的取值范围是________、3.某工厂的产值月平均增长率为p ，那么年平均增长率为________、4.某人在2017年初贷款 m 万元，年利率为x ，从次年初开始偿还，每年偿还的金额都是n 万元，到2018年初恰好还清，那么n 的值是________、【例1】 直线y ＝mx(m ∈R )与函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，12x 2＋1，x>0的图象恰有3个不同的公共点，求实数m 的取值范围、【例2】 某村计划建造一个室内面积为 800 m 2的矩形蔬菜温室、在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地、当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【例3】 2018年青奥会水上运动项目将在J 地举行、截至2017年底，投资集团B 在J 地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发、经调研，从2017年初到2018年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元、(1) B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2) 假设从2018年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，2018年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.假设B 集团投资成功的标准是：从2017年初到2018年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问B 集团投资是否成功？【例4】 函数f(x)＝－x 2＋8x ，g(x)＝6lnx ＋m.(1) 求f(x)在区间[t ，t ＋1]上的最大值h(t)；(2) 是否存在实数m ，使得y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，说明理由、1. (2017·浙江)x 0是函数f(x)＝2x＋11－x 的一个零点、假设x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，那么f(x 1)f(x 2)________0.(填“>”或“<”)、2.(2017·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x<A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)、工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________、3.(2017·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，假设一月至十月份销售总额至少达7 000万元，那么x 的最小值为________、4.(2017·重庆)设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的实根，那么m ＋k 的最小值为________、5.(2017·山东)某企业拟建造如下图的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π3立方米，且l ≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关、圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元、设该容器的建造费用为y 千元、(1) 写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2) 求该容器的建造费用最小时的r.6.(2017·福建)某商场销售某种商品的经验说明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数，销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克、(1) 求a 的值；(2) 假设该商品的成本为3元/千克， 试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大、(2017·湖南)(本小题总分值12分)如图，长方形物体E 在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c(c ∈R )、E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1) P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S 成正比，比例系数为110；(2) 其他面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d ＝100，面积S ＝32时、(1) 写出y 的表达式；(2) 设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少、解析：(1) 由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c|＋12，(2分)故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c|＋12＝5v (3|v －c|＋10). (6分)(2) 由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v－15 当c<v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝510－3c v＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 53c ＋10v －15，0<v ≤c ，510－3c v ＋15，c<v ≤10.( 8分)① 当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数、故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2. (10分) ② 当103<c ≤5时，在(0，c]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数；故当v ＝c 时，y min ＝50c . (12分)第4讲 函数的实际应用①假设f(－x)＝－f(2＋x)，那么f(x)的图象关于点(1,0)对称；②假设f(－x)＝f(2＋x)，那么f(x)的图象关于直线x ＝1对称；③假设y ＝f(x ＋1)是奇函数，那么y ＝f(x)关于点(1,0)对称；④假设y ＝f(x ＋1)是偶函数，那么y ＝f(x)关于直线x ＝1对称、【答案】①②③④2.二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)、设函数f(x)＝g x x .(1)假设曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值；(2)k(k ∈R )取何值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点、解：(1)设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0那么g ′(x)＝2ax ＋b ；又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴2a ＝2，∴a ＝1.又g(x)在x ＝－1时取最小值，∴－b 2＝－1，∴b ＝2.∴g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，∴c ＝m.∴f(x)＝g x x ＝x ＋m x ＋2.设P(x 0，y 0)，那么|PQ|2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m. ∴22m 2＋2m ＝2，∴m ＝2－1或m ＝－2－1.(2)由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋m x ＋2＝0，得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0.(*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝－m 2；当k ≠1时，方程(*)Δ＝4－4m(1－k)＞0.假设m ＞0，k ＞1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m 1－k 21－k＝1±1－m 1－kk －1；假设m ＜0，k ＜1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m 1－k21－k ＝1±1－m 1－kk －1； 当k ≠1时，方程(*)Δ＝4－4m(1－k)＝0，k ＝1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝1k －1.基础训练1.1解析：f(0)＜0，f(1)＞0，x 0∈(0,1)、2.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，5解析：由3a ＋25－a ＞1，得34＜a ＜5.3.(1＋p)12－14.m 1＋x 3x 2＋3x ＋3解析：m(1＋x)3＝n(1＋x)2＋n(1＋x)＋n.n ＝m 1＋x 3x 2＋3x ＋3.例题选讲例1解：作出函数f(x)的图象，可见要使直线y ＝mx(m ∈R )与函数f(x)的图象恰有三个不同的公共点，只要y ＝12x 2＋1(x ＞0)与直线y ＝mx(m ∈R )有两个交点，即12x 2＋1＝mx 有两个不等的正根，x 2－2mx ＋2＝0有两个不等的正根，∴{ Δ＝4m 2－8＞0m ＞0，解得m＞ 2.变式训练(2017·北京)函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2x ，x ≥2x －13，x ＜2，假设关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是________、【答案】(0,1)解析：f(x)＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x －1)3(x ＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，f(x)＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是(0,1)、例2解：设温室的长为xm ，那么宽为800x m 、由得蔬菜的种植面积为Sm 2：S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －4＝800－4x －1 600x ＋8＝808－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋400x ≤648(当且仅当x ＝400x 即x ＝20时，取“＝”)、答：当矩形温室的边长分别为20m ，40m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648m 2. 变式训练某学校拟建一块周长为400m 的操场如下图，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间区域矩形的长、宽分别为xm 、ym ，中间的矩形区域面积为Sm 2.那么半圆的周长为πy 2m ，因为操场周长为400m ，所以2x ＋2×πy 2＝400，即2x ＋πy ＝400.∴S ＝xy ＝12π·(2x)·(πy)≤12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋πy 22＝20 000π， 由{ 2x ＝πy 2x ＋πy ＝400，解得⎩⎨⎧ x ＝100y ＝200π.当⎩⎨⎧ x ＝100y ＝200π时等号成立、答：设计矩形的长为100m ，宽约为200π(≈63.7)m 时，面积最大、例3解：(1)设B 集团用于水上运动项目的投资为x 百万元，四年的总利润为y 百万元，由题意，y ＝0.2(100－x)＋x ＋10＝－0.2x ＋x ＋30，x ∈[0,100]、即y ＝－0.2(x －2.5)2＋31.25，x ∈[0,10]、 所以当x ＝2.5，即x ＝6.25时，y max ＝31.25.答：B 集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元、(2)由(1)知，在上缴资源占用费前，y max ＝31.25，y min ＝20.由题意，从2018年到2018年，B 集团需上缴J 地政府资源占用费共为2(1＋1.11＋1.12)＝6.62百万元、所以B 集团这四年的预期利润中值为31.25＋202－6.62＝19.005. 由于19.005100＝19.005%＞18%，所以B 集团投资能成功、答：B 集团在J 地投资能成功、注：假设水上运动项目的利润改为该项目投资额的算术平方根的k(k ＞0)倍，如何讨论？例4解：(1)f(x)＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16.当t ＋1＜4，即t ＜3时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递增、h(t)＝f(t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1)＝－t 2＋6t ＋7；当t ≤4≤t ＋1，即3≤t ≤4时，h(t)＝f(4)＝16；当t ＞4时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t 2＋8t.综上，h(t)＝{ －t 2＋6t ＋7，t ＜316，3≤t ≤4t 2＋8t ， t ＞4. (2)函数y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点、∵φ(x)＝x 2－8x ＋6lnx ＋m ，∴φ′(x)＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x ＝2x －1x －3x (x ＞0)，当x ∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x ∈(1,3)时，φ′(x)＜0，φ(x)是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x ＝1或x ＝3时，φ′(x)＝0.∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m －7，φ(x)极小值＝φ(3)＝m ＋6ln3－15.∵当x 充分接近0时，φ(x)＜0，当x 充分大时，φ(x)＞0.∴要使φ(x)的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须{ φx 极大值＝m －7＞0φx 极小值＝m ＋6ln3－15＜0，即7＜m ＜15－6ln3. 所以存在实数m ，使得函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln3)、高考回顾1.＜解析：f(x)在(1，＋∞)单调递增，f(x 0)＝0，f(x 1)＜0，f(x 2)＞0.2.60,16解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即f(4)＝c 4＝30c ＝60，f(A)＝60A ＝15A ＝16.3.20解析：3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，x ≥20.4.13解析：设f(x)＝mx 2－kx ＋2，那么方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根等价于⎩⎨⎧f 0f 100＜k 2m ＜1k 2－8m ＞0，因为f(0)＝2，所以f(1)＝m －k ＋2＞0，故抛物线开口向上，于是m ＞0,0＜k ＜2m ，令m ＝1，那么由k 2－8m ＞0，得k ≥3，那么m ＞k 2≥32，所以m 至少为2，但k 2－8m ＞0，故k 至少为5，又m ＞k 2≥52，所以m 至少为3，又由m ＞k －2＝5－2，所以m 至少为4，…，依次类推，发现当m ＝6，k ＝7时，m ，k 首次满足所有条件，故m ＋k 的最小值为13.5.解：(1)因为容器的体积为803π立方米，所以43πr 3＋πr 2l ＝803π，解得l ＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ，由于l ≥2r ，因此0<r ≤2，所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c ， 因此y ＝160πr －8r 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]、(2)y ′＝－160πr 2－16r ＋8πcr ＝8π[c －2r 3－20]r 2， 由于c>3，所以c －2>0，当r 3＝20c －2时r ＝320c －2， 令320c －2＝m ，那么m>0，所以y ′＝8πc －2r 2(r －m)(r 2＋mr ＋m 2)、 ①当0<m<2即c>92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m)时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点，②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减，所以r ＝2是函数y 的最小值点、综上，当3<c ≤92时，建造范围最小时r ＝2；当c>92时，建造费用最小时r ＝320c －2.6.解：(1)因为x ＝5时y ＝11，所以a 2＋10＝11a ＝2.(2)由(1)知该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润：f(x)＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6； f ′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，令f ′(x)＝0得x ＝4. 函数f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x ＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.答：当销售价格x ＝4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元、。

高二数学苏教新版（2019）专题复习《基本初等函数、函数的概念和性质》一．选择题（共12小题）1．（2021秋•福州期末）已知函数为偶函数，则2a+b＝（）A．3B．C．D．2．（2022春•马尾区校级月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（﹣1）＝﹣1，则f（2020）+f（2021）＝（）A．﹣1B．0C．1D．23．（2012秋•罗源县校级月考）函数y＝（）的值域为（）A．[）B．（﹣∞，2]C．（0，]D．（0，2] 4．（2021秋•仓山区校级期中）已知﹣2≤x≤﹣1，则下列函数中与函数y＝x不相同的函数是（）A．y＝B．y＝C．y＝﹣|x|D．y＝5．（2021秋•鼓楼区校级期中）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（）A．f（x）＝﹣B．f（x）＝3x C．y＝log3x D．f（x）＝6．（2021秋•福清市期中）设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3﹣0.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 7．（2020秋•鼓楼区校级期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．4.510C．450D．104.58．（2021秋•鼓楼区校级期中）以下关于函数f（x）＝2x的说法正确的是（）A．f（mn）＝f（m）f（n）B．f（mn）＝f（m）+f（n）C．f（m+n）＝f（m）+f（n）D．f（m+n）＝f（m）f（n）9．（2019秋•福州期中）有下列各式：①；②；③；④其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（2022春•福州期中）已知a＝lg2，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b 11．（2022春•鼓楼区校级期中）设，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c 12．（2021秋•福清市期中）已知幂函数在（0，+∞）上单调递减，则m的值为（）A．0B．1C．0或1D．﹣1二．填空题（共4小题）13．（2021秋•仓山区校级期末）正实数a，b，c满足a+2﹣a＝2，b+3b＝3，c+log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为．14．（2021秋•仓山区校级期末）已知函数f（x）＝log3（x2﹣ax+2a）在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为．15．（2020春•福州期末）已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断：（1）f（5）＝0；（2）f（x）在[1，2]上是减函数；（3）函数y＝f（x）没有最小值；（4）函数f（x）在x＝0处取得最大值；（5）f（x）的图象关于直线x＝1对称．其中正确的序号是．16．（2021秋•仓山区校级期中）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，如果它的值域恰好也是[﹣1，1]，那么f（x）的解析式可以是.（写出一个即可）三．解答题（共4小题）17．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）＝（a∈R），且f（1）＝5．（1）求a的值；（2）判断f（x）在区间（0，2）上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．18．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3．（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（2x）≥2f（x）．19．（2021秋•鼓楼区校级期中）已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．（1）若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数的值域；（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．20．（2020春•鼓楼区校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（，2），（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）定义：若函数自变量的取值区间为（a，b），其值域区间为（2a，2b），则称区间A 为该函数的倍值区间．（1）试求函数f（x）的形如（0，c）（c∈R）的倍值区间；（2）设函数g（x）＝|f（x）﹣3x|，试求函数g（x）的所有倍值区间．高二数学苏教新版（2019）专题复习《基本初等函数、函数的概念和性质》参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021秋•福州期末）已知函数为偶函数，则2a+b＝（）A．3B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】由已知结合偶函数定义可得f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），代入可求a，b，进而可求．【解答】解：因为为偶函数，所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），所以﹣a+b＝2，9＝﹣8a+b，解得，a＝﹣1，b＝1，此时f（x）＝为偶函数，满足题意，则2a+b＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．2．（2022春•马尾区校级月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（﹣1）＝﹣1，则f（2020）+f（2021）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据条件判断函数的周期是4，再利用函数的奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）＝f（x+4），∴f（x）是周期为4的周期函数，则f（2020）+f（2021）＝f（2020+0）+f（2020+1）＝f（0）+f（1），∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，由f（﹣1）＝﹣1，得f（1）＝1，则f（2020）+f（2021）＝f（0）+f（1）＝0+1＝1，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键，是基础题．3．（2012秋•罗源县校级月考）函数y＝（）的值域为（）A．[）B．（﹣∞，2]C．（0，]D．（0，2]【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】由二次函数可得x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，由复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和值域可得答案．【解答】解：令函数t（x）＝x2﹣2x，由二次函数的知识可知：当x＝1时，函数t（x）取到最小值﹣1，故t（x）≥﹣1，因为函数y＝为减函数，故≤＝2又由指数函数的值域可知，故原函数的值域为：（0，2]故选：D．【点评】本题为函数值域的求解，熟练掌握二次函数和指数函数以及复合函数的单调性是解决问题的关键，属基础题．4．（2021秋•仓山区校级期中）已知﹣2≤x≤﹣1，则下列函数中与函数y＝x不相同的函数是（）A．y＝B．y＝C．y＝﹣|x|D．y＝【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，y＝＝x（﹣2≤x≤﹣1），与y＝x（﹣2≤x≤﹣1）的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于B，y＝＝|x|＝﹣x（﹣2≤x≤﹣1），与y＝x（﹣2≤x≤﹣1）的对应关系不同，不是同一函数；对于C，y＝﹣|x|＝x（﹣2≤x≤﹣1），与y＝x（﹣2≤x≤﹣1）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，y＝＝x（﹣2≤x≤﹣1），与y＝x（﹣2≤x≤﹣1）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．5．（2021秋•鼓楼区校级期中）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（）A．f（x）＝﹣B．f（x）＝3x C．y＝log3x D．f（x）＝【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数单调性的性质与判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【分析】由常见函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．【解答】解：对于A，f（x）＝﹣是奇函数，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于B，f（x）＝3x是非奇非偶函数，不符合题意；对于C，y＝log3x是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，f（x）＝是奇函数，且在R上是增函数，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，属于基础题．6．（2021秋•福清市期中）设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3﹣0.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得a，b，c的范围即可得答案．【解答】解：∵a＝1.20.2，b＝0.91.2＜0.90＝1，又y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，∴1＜a＝1.20.2＜0.3﹣0.2＝（）0.2，∴b＜a＜c，故选：C．【点评】本题考查数的大小比较，考查有理指数幂与幂函数的单调性，是基础题．7．（2020秋•鼓楼区校级期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．4.510C．450D．104.5【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】可设8.0级地震释放出的能量为E1，5.0级地震释放出的能量为E2，根据条件得到lgE1﹣lgE2＝4.5，然后进行对数的运算，即可求出答案．【解答】解：设8.0级地震释放出的能量为E1，5.0级地震释放出的能量为E2，则lgE1﹣lgE2＝4.5，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的定义，考查了计算能力，属于基础题．8．（2021秋•鼓楼区校级期中）以下关于函数f（x）＝2x的说法正确的是（）A．f（mn）＝f（m）f（n）B．f（mn）＝f（m）+f（n）C．f（m+n）＝f（m）+f（n）D．f（m+n）＝f（m）f（n）【考点】有理数指数幂及根式．【专题】探究型；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由有理指数幂的运算性质逐一分析四个选项得答案．【解答】解：∵f（x）＝2x，∴f（mn）＝2mn，f（m）f（n）＝2m•2n＝2m+n，f（m+n）＝2m+n，f（m）+f（n）＝2m+2n，则f（m+n）＝f（m）f（n）．故选：D．【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础题．9．（2019秋•福州期中）有下列各式：①；②；③；④其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【考点】有理数指数幂及根式．【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】利用指数幂的运算性质即可判断出．【解答】解：由n次方根的定义可知①对，∵＝＝，∴②是错的；∵•＝a＝，∴③是错的∵a2+b2不是完全平方式，开不出来，所以④是错的．所以，只有①对．故选：B．【点评】本题考查了指数幂和根式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．10．（2022春•福州期中）已知a＝lg2，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；集合思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】可根据对数函数的单调性及对数的运算得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：lg2＜lg10＝1，，，∴a＜c＜b．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．（2022春•鼓楼区校级期中）设，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】先构造函数f（x）＝，再判断单调性，即可求解．【解答】解：设f（x）＝，则f′（x）＝，当x∈（0，e）时，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，∵2＜＜e，∴＜＜，∴c＜a＜b，故选：B．【点评】本题考查三个数大小的比较，其中构造函数再判断单调性是关键，属于中档题．12．（2021秋•福清市期中）已知幂函数在（0，+∞）上单调递减，则m的值为（）A．0B．1C．0或1D．﹣1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程和不等式求出m的值．【解答】解：幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以，解得，即m＝0．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．二．填空题（共4小题）13．（2021秋•仓山区校级期末）正实数a，b，c满足a+2﹣a＝2，b+3b＝3，c+log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为c＞a＞b．【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】根据指数函数、对数函数和一次函数的单调性即可得出a，b，c的范围，进而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵a+2﹣a＝2，a＞0，∴0＜2﹣a＜1，∴1＜a＜2，∵b+3b＝3，b＞0，∴1＜3b＜3，∴0＜b＜1，∵c+log4c＝4，c＞0，，∴2＜c＜4，∴c＞a＞b．故答案为：c＞a＞b．【点评】本题考查了一次函数、指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．14．（2021秋•仓山区校级期末）已知函数f（x）＝log3（x2﹣ax+2a）在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为[﹣1，2]．【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝log3（x2﹣ax+2a）在（1，+∞）上单调递增，∴函数t（x）＝x2﹣ax+2a在（1，+∞）上单调递增，且t（x）＞0，∴，求得﹣1≤a≤2，故答案为：[﹣1，2]．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．15．（2020春•福州期末）已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断：（1）f（5）＝0；（2）f（x）在[1，2]上是减函数；（3）函数y＝f（x）没有最小值；（4）函数f（x）在x＝0处取得最大值；（5）f（x）的图象关于直线x＝1对称．其中正确的序号是①②④．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别利用函数的奇偶性，单调性和周期性进行推理和判断，由f（1﹣x）+f（1+x）＝0得到f（1+x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），得到函数的周期为4．f（x+2）＝﹣f（x），【解答】解：（1）由f（1﹣x）+f（1+x）＝0得到f（1+x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），设t＝x﹣1．x＝t+1，∴f（t+2）＝﹣f（t），f（t+4）＝f（t）所以f（4+x）＝f（x），所以函数的周期是4．当x＝0时，f（1）+f（1）＝0，所以f（1）＝0，因为f（5）＝f（4+1）＝f（1）＝0，所以①正确．（2）因为y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，周期为4，f（x+2）＝﹣f（x），所以函数在区间[1，2]上单调递减，所以②正确．（3）函数有最小值，也有最大值，且是相反数，故③错，（4）∵偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，f（x+2）＝﹣f（x），∴函数f（x）在x＝0处取得最大值；（5）因为y＝f（x）是偶函数，所以f（2+x）＝﹣f（x），f（1）＝0所以函数关于（1，0）对称．故⑤错误因为偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，则在[0，1]上单调递减，且周期为4，所以y＝f（x）在x＝0处取得最大值，在x＝﹣1时取得f（﹣1）＝0．所以④正确，⑤错误．故答案为：①②④【点评】本题主要考查函数的奇偶性，单调性和周期性的综合应用，要求熟练掌握相应的性质．16．（2021秋•仓山区校级期中）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，如果它的值域恰好也是[﹣1，1]，那么f（x）的解析式可以是f（x）＝2x2﹣1.（写出一个即可）【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【分析】因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，故可构造函数模型，根据模型的性质，利用待定系数法求解方程即可【解答】解：因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，故可构造函数模型：f（x）＝ax2+b，又f（x）的值域恰好也是[﹣1，1]，所以可令函数经过（0，﹣1），（1，1），（﹣1，1），所以可得f（0）＝b＝﹣1，f（1）＝a+b＝1，解得a＝2，b＝﹣1，所以f（x）＝2x2﹣1，故答案为：f（x）＝2x2﹣1，（答案不唯一）．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．三．解答题（共4小题）17．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）＝（a∈R），且f（1）＝5．（1）求a的值；（2）判断f（x）在区间（0，2）上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．【考点】函数单调性的性质与判断；函数的值．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【分析】（1）由f（1）＝5直接代入即可求解a；（2）先设0＜x1＜x2＜2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断．【解答】解：（1）因为f（x）＝，所以f（1）＝1+a＝5，所以a＝4；（2）f（x）＝＝x+在（0，2）上单调递减，证明如下：设0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，1﹣＜0，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）（1﹣）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在区间（0，2）上单调递减．【点评】本题主要考查了待定系数求解函数解析式，还考查了函数单调性定义在单调性判断中的应用，属于基础题．18．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3．（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（2x）≥2f（x）．【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】（1）由题意，利用函数的奇偶性的定义，求出函数的解析式．（2）由题意，分类讨论，利用指数函数的单调性，求出不等式的解集．【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x+3．综上，可得f（x）＝．（2）当x≥0时，由不等式f（2x）≥2f（x）可得，22x+3≥2（2x+3），即22x﹣2×2x﹣3≥0，求得2x≥3，或2x≤﹣1（舍去），∴x≥log23．当x＜0时，由不等式f（2x）≥2f（x）可得，2﹣2x+3≥2（2﹣x+3），即2﹣2x﹣2×2﹣x﹣3≥0，求得2﹣x≥3，或2﹣x≤﹣1（舍去），∴x≤﹣log23．综上，不等式的解集为{x|x≥log23或x≤﹣log23 }．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，指数不等式的解法，属于中档题．19．（2021秋•鼓楼区校级期中）已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．（1）若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数的值域；（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意先求得a、b的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数的值域．（2）根据函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求得a、b的值，可得a+b的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数，函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），∴，∴，∴函数f（x）＝2x+1＞1，函数＝＜1．又＝＞0，故函数的值域为（0，1）．（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，若a＞1，函数f（x）＝a x+b为增函数，∴，求得a、b无解．若0＜a＜1，函数f（x）＝a x+b为减函数，∴，求得，∴a+b＝﹣．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性与特殊点，属于基础题．20．（2020春•鼓楼区校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（，2），（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）定义：若函数自变量的取值区间为（a，b），其值域区间为（2a，2b），则称区间A 为该函数的倍值区间．（1）试求函数f（x）的形如（0，c）（c∈R）的倍值区间；（2）设函数g（x）＝|f（x）﹣3x|，试求函数g（x）的所有倍值区间．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求函数f（x）的解析式即可；（Ⅱ）（1）由题意可知幂函数f（x）＝x2在区间（0，c）上单调递增，则2c＝c2，解出c的值即可；（2）根据函数的倍值区间的定义，分情况讨论，求出函数g（x）的所有倍值区间．【解答】解：（Ⅰ）设幂函数f（x）＝xα（α为常数），∵幂函数y＝f（x）图象过点（，2），∴，∴α＝2，∴幂函数f（x）＝x2；（Ⅱ）（1）∵幂函数f（x）＝x2，在区间（0，c）上单调递增，∴2c＝c2，解得c＝0或2，又∵c＞0，∴所求区间为（0，2）；（2）显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负．①若所求区间为（0，c）（c∈R）型区间，则|c2﹣3c|＝2c，解得c＝1或5；经检验，（0，1），（0，5）均符合条件；②若2c为抛物线顶点纵坐标，则，但，不合题意，舍去；③若所求区间不是（0，c）型区间，显然区间右端点不能超过3，且左端点应大于，在该单调减区间内，则该方程组无解，故所求区间为（0，1），（0，5）；【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，考查了新定义问题，准确理解新定义的内容是解题关键，属于中档题．考点卡片1．判断两个函数是否为同一函数【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少．2．函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．3．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．例1：已知曲线y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求l的方程．解：∵y＝x2+2x，∴y'＝2x+2，当x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以k＝4；所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：y﹣3＝4×（x﹣1），即4x﹣y﹣1＝0．故l的方程为：4x﹣y﹣1＝0我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出．（当然还有其他的，比方说截距式）例2：若函数y＝f（x）与y＝e x+1的图象关于直线y＝x对称，则f（x）＝解：函数y＝e x+1的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，所以f（x）是y＝e x+1的反函数，x＝lny﹣1（y＞0）即f（x）＝lnx﹣1，（x＞0）故答案为：lnx﹣1，（x＞0）本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于y＝x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视．【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．4．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．5．复合函数的单调性【知识点的认识】所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【解题方法点拨】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．【命题方向】理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．6．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．7．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域解：f′（x）＝﹣1＝∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．8．有理数指数幂及根式【根式与分数指数幂】规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义常考题型：例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝a（a＞0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵，∴B不正确；∵，∴C正确；∵∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【有理数指数幂】（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①a r a s＝a r+s（a＞0，r，s∈Q）；②（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．常考题型：例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、B、a m•a n＝a m•n C、（a m）n＝a m+n D、1÷a n＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，a m÷a n＝a m﹣n，故不成立；B中，a m•a n＝a m+n≠a m•n，故不成立；C中，（a m）n＝a m•n≠a m+n，故不成立；D中，1÷a n＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．9．指数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．10．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．11．对数值大小的比较【知识点归纳】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较。

高二数学函数应用2023练习题及答案1. 已知函数 f(x) = 2x + 3 和 g(x) = x^2 - 4x + 5，求解以下问题：（1）求 f(g(2)) 的值。

解析：首先计算 g(2)，代入 x = 2 得到 g(2) = 2^2 - 4 * 2 + 5 = 1。

然后使用 f 函数将 g(2) 作为参数代入，得到 f(g(2)) = f(1) = 2 * 1 + 3 = 5。

所以 f(g(2)) 的值为 5。

（2）求函数 h(x) = f(g(x)) 的表达式。

解析：根据题意，h(x) = f(g(x))。

将 g(x) 代入到 f(x) 中得到 h(x) = f(g(x)) = 2(g(x)) + 3 = 2(x^2 - 4x + 5) + 3化简后得到 h(x) = 2x^2 - 8x + 13。

所以函数 h(x) = 2x^2 - 8x + 13。

2. 一个长方形的长比宽多出 5，若长和宽的差为 1，求此长方形的长和宽。

解析：设长方形的宽为 x，则长为 x + 5。

根据题意，有 x + 5 - x = 1，解得 5 = 1。

所以此题无解。

3. 已知函数 f(x) = x^3 - 2x + 3 和 g(x) = x - 1，求解以下问题：（1）求 f(g(2)) 的值。

解析：首先计算 g(2)，代入 x = 2 得到 g(2) = 2 - 1 = 1。

然后使用 f 函数将 g(2) 作为参数代入，得到 f(g(2)) = f(1) = 1^3 - 2 * 1 + 3 = 2。

所以 f(g(2)) 的值为 2。

（2）求函数 h(x) = f(x) + g(x) 的表达式。

解析：根据题意，h(x) = f(x) + g(x)。

将 f(x) 和 g(x) 相加得到 h(x) = (x^3 - 2x + 3) + (x - 1)化简后得到 h(x) = x^3 - x - 2。

所以函数 h(x) = x^3 - x - 2。

函数的综合应用一、课堂活动【例1】填空题：1．已知m 是实数，函数()()2f x xx m =-，若()11f '-=-，则函数()f x 的单调减区间是 ．2．函数x x y cos 2+=在()0,π上的单调递减区间为 ．3．已知曲线()cos 1f x x x =+在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线10ax y -+=互相垂直，则实数a = ．4．直线4y x b =+是曲线41y x =-的一条切线，则实数b 的值为【例2】如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，:16:9MN NE ．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN= x(m)，液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)．(1)用x的代数式表示AM；(2)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；(3)当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？【例3】设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，．(1)当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； (2)若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；(3)若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．课堂小结二、课后作业1．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是2．函数()e x f x =+1，则()0f '= ．3．若函数343y x bx =-+有三个单调区间，则b 的取值范围是 ． 4．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为5．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3，则2a ＋b ＝6．已知f (x )＝x 3－3x ，过A (1，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则m 的取值范围是7．函数()()g x y f x =在求导时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得()()ln ln y g x f x =，两边求导数()()()()()ln f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()g x y f x '=()()()()()ln f x g x f x g x f x '⎡⎤'+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．运用此方法可以探求得知()10x y x x =>的一个单调增区间为_________．。

心尺引州丑巴孔市中潭学校学案4 函数及其表示方法，函数的定义域一、课前准备： 【自主梳理】1．函数的三要素： ， ， 。

2．相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备) 3．函数解析式的求法：① 定义法〔拼凑〕：② ③ ④ 赋值法． 4．假设{,,}A a b c =，{1,4}B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个．5．函数定义域的求法：①)()(x g x f y =，那么 ； ②)()(*2N n x f y n ∈=那么 ； ③0)]([x f y =，那么 ； ④)(log )(x g y x f =，那么 ．【自我检测】1． 函数()f x ax b =+，且(1)4f -=-，(2)5,(0)_________f f ==则．2． 设2:f x x →是集合A 到B 〔不含2〕的映射，如果{}1,2A =，那么________A B ⋂=．3． 函数y =的定义域是 ．4． 函数21log (32)x y x -=-的定义域是 ．5．函数2log (2)y x =+的定义域是 ．6．()f x 是一次函数，且[()]41f f x x =-，那么()f x 的解析式为 ．二、课堂活动： 【例1】填空题：〔1〕假设一次函数f (x )的定义域为[-3，2]，值域为[2，7]，那么f (x )= ．〔2〕函数y =xx x --224的定义域为 ．〔3〕假设f(21)1x x x++=(x >0)，那么f(x )= ．〔4〕假设函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，那么实数m 的取值范围是________． 【例2】给出以下两个条件：〔1〕f(x +1) = x + 2x ;(2)f(x )为二次函数且f(0) = 3，f(x +2)f(x ) = 4x + 2．试分别求出f(x )的解析式．【例3】某上股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q (万股)与时间t (天)的局部数据如下表所示：第t 天 4 10 16 22 Q (万股)36302418(1) 根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2) 根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的函数关系式；(3) 用y (万元)表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？ 课堂小结三、课后作业1．设函数f 1(x )=x 21，f 2(x )=x -1，f 3(x )=x 2，那么[]))0072((123f f f = ．2．函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 ．3．假设f (x ) =⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ，那么f (1)的值为 ．4．f (2211)11x x x x +-=+-，那么f (x )的解析式为 ． 5．函数f (x ) =xx -132 + lg (3x +1)的定义域是 ．6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y ) = f (x )+f (y )+2xy (x ，y ∈R )，f (1) = 2，那么f (3) = ． 7．函数f (x )，g (x )分别由下表给出x 1 2 3 f (x )131那么f ［g (1)］的值为 ，满足f ［g (x )］＞g ［f (x )］的x 的值是 ．8．函数ϕ(x ) = f (x ) + g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且ϕ〔31〕=16， ϕ(1) = 8，那么ϕ(x ) = ． 9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.假设f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，那么关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．10．f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－x ，x <0，(1) 求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2) 求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．11．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．〔1〕当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？〔2〕当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？四、纠错分析错题卡题 号 错 题 原 因 分 析x 1 2 3 g (x )321参考答案： 一、课前准备： 【自主梳理】1．定义域，值域，对应法那么；2．定义域，对应法那么；3． 换元法，待定系数法；4．8，9； 5． ①()0g x ≠②()0f x ≥③()0f x ≠④()0()1()0{f x f x g x >≠>且【自我检测】1．-1 2．{1} 3．[-2，2] 4．2(,1)(1,)3⋃+∞ 5．[3,)+∞ 6．12-213x x -+或二、课堂活动【例1】〔1〕5-4x x ++或 〔2〕[2,1)(1,0)(0,1)(1,2]--⋃-⋃⋃〔3〕2111(0)x x x ++>〔4〕[0，34)【例2】解：〔1〕令t =x +1，∴t ≥1，x =〔t -1〕2．那么f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1，即f (x )=x 2-1，x ∈［1，+∞)．〔2〕设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ，那么f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2．∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3，∴f (x )=x 2-x +3．【例3】解：(1)设表示前20天每股的交易价格P (元)与时间t (天)的一次函数关系式为P ＝k 1t ＋m ， 由图象得⎩⎨⎧ 2＝k 1×0＋m6＝k 1×20＋m，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝15m ＝2，即P ＝15t ＋2； 设表示第20天至第30天每股的交易价格P (元)与时间t (天)的一次函数关系式为P ＝k 2t ＋n ， 由图象得⎩⎨⎧6＝k 2×20＋n5＝k 2×30＋n，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－110n ＝8，即P ＝－110t ＋8． 综上知P ＝⎩⎨⎧15t ＋2， 0≤t<20－110t ＋8， 20≤t≤30(t ∈N )．(2)由表知，日交易量Q (万股)与时间t (天)满足一次函数关系式，设Q ＝at ＋b (a 、b 为常数且a ≠0)，将(4，36)与(10，30)的坐标代入， 得⎩⎨⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝40.所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的函数关系式为Q ＝40－t (0≤t ≤30且t ∈N )．(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎨⎧15t ＋2×40－t ，0≤t<20－110t ＋8×40－t ，20≤t≤30(t ∈N )．即y ＝⎩⎨⎧－15t 2＋6t ＋80，0≤t<20110t 2－12t ＋320，20≤t≤30(t ∈N )．当0≤t <20时，函数y ＝－15t 2＋6t ＋80的图象的对称轴为直线t ＝15， ∴当t ＝15时，y max ＝125；当20≤t ≤30时，函数y ＝110t 2－12t ＋320的图象的对称轴为直线t ＝60， ∴该函数在[20，30]上单调递减， 即当t ＝20时，y max ＝120． 而125>120，∴第15天日交易额最大，最大值为125万元． 三、课后作业1．007212． []+∞,33． 3 4． f (x )=212xx+5． 〔-31，1〕6． 6 7． 1， 2 8． 3x +x59． 解析：法一：假设x ≤0，那么f (x )＝x 2＋bx ＋c ． ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2， ∴⎩⎨⎧－42＋b·－4＋c ＝c ，－22＋b·－2＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋2，x≤0，2， x>0.当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1； 当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2． ∴方程f (x )＝x 有3个解．法二：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如下列图)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．答案：310． 解：(1)由，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2． (2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f [g (x )]＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x>0，x 2－4x ＋3，x<0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当－1<x <1时，f (x )<0， 故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2．∴g [f (x )]＝⎩⎨⎧x 2－2，x>1或x<－1，3－x 2，－1<x<1.11． 解 〔1〕当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为5000036003-=12，所以这时租出了88辆车．〔2〕设每辆车的月租金定为x 元，那么租赁公司的月收益为f (x )=〔100-500003)150)(500003----x x x ×50． 整理得f (x )=-502x +162x -21 000=-501(x -4 050)2+307 050．所以，当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050．即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元． 权所有：高考资源网( ks5u )。

高二函数练习题附答案1. 解方程：将函数 y = 2x^2 + 5x - 3 和 y = 4x + 1 进行图像比较，求出它们相交的点。

解析：要求两条函数图像的交点，即要求找出同时满足两个方程的x 和 y 的值。

将两个方程相等，得到等式：2x^2 + 5x - 3 = 4x + 1化简等式：2x^2 + x - 4 = 0因此，可以使用因式分解法或者配方法求解此二次方程。

将方程因式分解为：(2x - 1)(x + 4) = 0得到两个解：2x - 1 = 0 或 x + 4 = 0x = 1/2 或 x = -4将解 x 分别代入一开始的任一方程中，求得对应的 y 值，即可找到两个函数图像的交点坐标。

当 x = 1/2 时，代入 y = 2x^2 + 5x - 3，得到：y = 2(1/2)^2 + 5(1/2) - 3y = -1/2当 x = -4 时，代入 y = 2x^2 + 5x - 3，得到：y = 2(-4)^2 + 5(-4) - 3y = 25因此，两个函数图像相交于点 (1/2, -1/2) 和 (-4, 25)。

2. 求函数 y = x^3 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值，并指出取到最大最小值的点。

解析：要求函数在给定区间内的最大值和最小值，首先需要求出函数的导数，然后找出导数为零的点，再验证这些点的二阶导数来确定是极大值还是极小值。

对函数 y = x^3 求导数，得到：y' = 3x^2令 y' = 0，解方程得到导数为零的点：3x^2 = 0x = 0根据二阶导数的符号判断，当 x < 0 时，y' < 0；当 x > 0 时，y' > 0。

因此，x = 0 是函数的一个极小值点。

接下来，在给定区间 [-2, 2] 上，分别计算出函数的值以及导数的值：当 x = -2 时，y = (-2)^3 = -8当 x = 2 时，y = 2^3 = 8因此，在区间 [-2, 2] 上，函数的最小值为 -8，最大值为 8。

心尺引州丑巴孔市中潭学校学案18 函数与方程一、课前准备：【自主梳理】1． 函数的零点⑴把使函数)(x f y =的值为 的实数x 称为函数)(x f y =的零点． ⑵函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的 ，从图象上看，函数)(x f y =的零点就是它的图象与x 轴交点的 ．2． 零点存在定理假设函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条不间断的曲线，且 ，那么函数)(x f y =在区间 上有零点．思考：上述定理中的零点是否唯一？在什么条件下，)(x f y =在区间[]b a ,上有且只有一个零点． 3． 二分法对于在区间[]b a ,上连续不断，且 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间端点的两个值逐渐逼近)(x f 的零点，进而得到函数零点的近似值的方法叫做 ．【自我检测】 1．假设函数b ax x f +=)(的零点是3，那么函数ax bx x g +=2)(的零点是________. 2．函数32)(2-+=-x x f x 的零点个数为________.3．设方程2ln 72x x =-的解为x 0∈()1,+k k ，那么正整数k ＝ ________. 4函数)0()(2<++=a a x x x f 在区间()1,0上有零点，那么a 的取值范围是 ．5．用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次计算0)21(,0)0(><f f 可得其中一个零点∈0x ，第二次应计算 ，下一个有根的区间为 ．二、课堂活动：【例1】填空题：〔1〕函数123)(+-=a ax x f 在区间[]1,1- 上存在一个零点，那么a 的取值范围是 ． 〔2〕函数)5()3(x f x f -=+，且方程0)(=x f 有3个实数根，那么这三个实数根的和为 ． 〔3〕方程3121x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛的解x 0∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 1,11，那么正整数n ＝________． 〔4〕假设函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-；函数xx g lg )(= ，那么函数()y f x =与()y g x =的图象在区间[]5,5-内的交点个数共有_______个． 【例2】关于x 的一元二次方程01222=+++m mx x⑴假设方程有两根，其中一根在区间()0,1-内，另一根在区间()2,1内，求实数m 的取值范围． ⑵假设方程两根均在区间()1,0内，求实数m 的取值范围．【例3】⑴假设函数1)(2--=x ax x f 有且只有一个零点，求实数a 的值． ⑵假设函数a x x x f +-=24)(有4个零点，求实数a 的取值范围．课堂小结三、课后作业 1．函数m x m x x f +++=)2()(22在()1,1-上零点的个数为 ．2．当)2,1(∈x 时，不等式042<++mx x恒成立，那么m 的取值范围是 ． 3．假设函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点在区间)1,(+k k 上，那么k 的值为 ． 4． ⎩⎨⎧≥++-≤+=)1(,32)1(,3)(2x x x x x x f 那么函数()x x f x g 3)(-=的零点个数为 ．5．假设方程032=+-m x x在[]2,0上有解，那么实数m 的取值范围是 ． 6． 函数x x f x +=2)(，x x x g +=2log )(，x x x h +=3)(的零点依次为c b a ,,，那么c b a ,,由小到大的顺序是 ．7．设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时，)(x f 是单调函数，那么满足)43()(++=x x f x f 的所有x 之和是 ．8.设函数c bx x x x f ++=)( ①0,0>=c b时，0)(=x f 只有一个实数根； ②0=c 时，)(x f y =是奇函数； ③)(x f y =的图象关于点),0(c 对称； ④方程0)(=x f 至多有2个实数根．9． 二次函数1)(2+-=bx ax x f 〔1〕假设0)(>x f 的解集是)4,3(-，求实数b a ,的值；〔2〕假设a 为整数，2+=a b，且函数)(x f 在〔－2，－1〕上恰有一个零点，求a 的值. 10．)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是(0,5),且()f x 在区间[]4,1-上的最大值是12.〔1〕求)(x f 的解析式. 〔2〕是否存在整数,m 使得方程037)(=+xx f 在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？假设存在，求出m 的值；假设不存在，说明理由.四、纠错分析参考答案：自主梳理：1．零 实根 横坐标 2．0)()(<⋅b f a f ),(b a3．0)()(<⋅b f a f 二分法自我检测：1．0和31 2．2 3．2 4．()0,2- 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 )41(f )21,41( 课堂活动：【例1】1．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,511, 2．12 3．2 4．8【例2】记=)(x f 1222+++m mx x（1） 由题意，结合图象可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-0)2(0)1(0)0(0)1(f f f f 解得2165-<<-m（2） 由题意，结合图象可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)1(0)0(12200f f m解得2121-≤<-m【例3】〔1〕410-=或a〔2〕假设函数a x x x f +-=24)(有4个零点，即方程042=+-a x x 有4个根，令24)(x x x g -=，a x h -=)(， 那么)(x g 与)(x h 的图象应有4个交点，∴a 的取值范围是)0,4(-课后作业：1．1 2．5-≤m 3．1-和2 4．25．⎥⎦⎤⎢⎣⎡49,0 6．b c a << 7．8- 8．①②③ 9.解：〔Ⅰ〕不等式210axbx -+>的解集是(3,4)-， 故方程式210axbx -+=的两根是13x =-，24x = 。

心尺引州丑巴孔市中潭学校高二数学复习学案+练习26 含指数的函数 文26.含指数的函数〔如y = e x+ax +b ，及y (ax 2+ bxc )e x〕一、课前准备： 【自主梳理】1． 曲线f 〔x 〕在某一点〔x 0，y 0〕处切线方程为 ．2．'()x e= ；'()x a = .3．①求导数的四那么运算法那么：'(()())f x g x ±= .'(()())f x g x = .'()()f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(()0)g x ≠. 【自我检测】1. 函数x y xln 22-=的导函数为 . 2. 函数xxe y =的导函数为 .3. 函数()xe f x x=的导函数为 .4. 曲线xy e =在0x =处的切线方程 . 5. 直线12y x b =+为函数x y e =的切线方程，那么切点坐标为 . 6.函数()x f x e =的递增区间为 . 7. 函数()x f x e x =-的递减区间为 .8.函数ex e y x -=的极值为 .〔说明：以上内容学生自主完成〕 二、课堂活动：【例1】填空题：〔1〕曲线x x y 3⋅=在点P (1,3)处的切线方程方程为 .〔2〕曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 . 〔3〕函数()x y x k e =-的单调递增区间为 .〔4〕设函数2()1x e f x ax =+当43a =时，()f x 的极值点为 . 【例2】函数()e 1x f x ax =+-(a ∈R ，且a 为常数)．〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕当0a <时，假设方程()0f x =只有一解，求a 的值； 〔3〕假设对所有0x ≥都有()()f x f x -≥，求a 的取值范围． 【例3】 函数2()(2),x f x ax x e =-其中a 为常数，且0a ≥。

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 文（C 卷01）江苏版一、填空题 1．设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若仅存在两个的整数12,x x 使得()()120,0f x f x <<，则实数a 的取值范围是______． 【答案】253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】分析：设g （x ）=e x（2x ﹣1），y=ax ﹣a ，则存在两个整数x 1，x 2，使得g （x ）在直线y=ax ﹣a 的下方，由此利用导数性质能求出a 的取值范围．使得g （x ）在直线y=ax ﹣a 的下方， ∵g′（x ）=e x（2x+1）， ∴当x ＜﹣12时，g′（x ）＜0， ∴当x=﹣12时，[g （x ）]min =g （﹣12）=﹣212e -．当x=0时，g （0）=﹣1，g （1）=e ＞0，直线y=ax ﹣a 恒过（1，0），斜率为a ，故﹣a ＞g （0）=﹣1， 且g （﹣1）=﹣3e ﹣1＜﹣a ﹣a ，解得a ＜32e ．g （﹣2）≥﹣2a ﹣a ，解得a ≥253e， ∴a 的取值范围是[253e ， 32e）． 故答案为： 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭点睛：：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2．已知a 为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为____． 【答案】144，【解析】由题意得函数()f x 为奇函数. ∵函数()f x =∴()f x'=令()0f x '==，则21a x a =+. ∵函数()f x 的最小值为23- ∴0a >∴()0f x '>，得()()2110a a a x⎡⎤--+>⎣⎦.①当01a <<时，函数()f x的定义域为⎡⎣，由()0f x '>得x ≤<x ≤，由()0f x '<得x <<，函数()f x在⎡⎢⎣，上为增函数，在⎛⎝上为减函数. ∵(f =，f= ∴()min 23f x f ===-，则14a =②当1a >时，函数()f x 的定义域为[]1,1-，由()0f x '>得x << ()0f x '<得1x -≤<或1x <≤，函数()f x在⎛ ⎝上为增函数，在1,⎡-⎢⎣，⎤⎥⎦为减函数.∵f ⎛=⎝ ()1f =∴()min 23f x f ===-，则4a =. 综上所述， 14a =或4a =. 故答案为4，14. 3．设函数()33,,{ 2,.x x x a f x x x a -≤=->（1）若0a =，则()f x 的最大值__________．（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 2 (),1-∞4．已知函数f (x )＝x |x 2－3|．若存在实数m ，m ∈(0，，使得当x ∈[0，m ] 时，f (x )的取值范围是[0，am ]，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[1，3)【解析】f (x )＝x |x 2－3|()()223,{3,x x x x x -≥=-<，作出函数图像如图所示：当m ∈(2，时，此时f (x )的取值范围是()0,f m ⎡⎤⎣⎦. 所以()f m am =，即()23m m am -=，得(]231,2a m =-∈.综上：实数a 的取值范围是[1，3). 故答案为：[1，3).5．已知函数()23f x x x a =-在[]0,2x ∈的值域为[]0,4m ，则实数m 的最小值为_____． 【答案】12【解析】因为()[]23,0,2f x x x a x =-∈，所以()()22223f x xxa ⎡⎤=-⎣⎦ []0,2x ∈，，令[]2,0,4t x t =∈，则()()2322369g t t t a t at a t =-=-+， ()()()33g t t a t a =--'，（1）当0a ≤时， ()()()330g t t a t a '=--≥在[]0,4上恒成立，即函数()g t 在[]0,4上单调递增，则()()22444316g a m =-=，即3222m a =-≥；（2）当0a >时，函数()g t 在[]0,a 单调递增，在[],3a a 上单调递减，在[)3,a +∞上单调递增，且()()344g a g a a ==， ()()300g a g ==，①若4a ≥时，则()g t 在[]0,2单调递增，则()()22444316g a m =-=，即3242m a =->；②若44a a ≤<，即14a ≤<时， ()()32max 416g t g a a m ===，即2m =≥ 12； ③若44a >，即01a <<时， ()()()32max 444316g t g a m ==-=，即31222m a =-≥； 综上所述， 12m ≥，即实数m 的最小值为12. 6．已知函数()31243f x x ax =-+在[]1,2上单调递增，则a 的取值范围为______．【答案】12⎡⎤⎢⎥⎣⎦点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路： （1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解； （2）将函数()f x 在某区间上单调递增转化为()0f x '≥（但不恒为0）在该区间上恒成立.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (0)f x x x =>图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交x 轴于点E ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点F ，设线段EF 的中点T 的横坐标为t ，则t 的最大值是________． 【答案】112e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2211ln 112ln 11ln 1022m t m m m m -⎛⎫⎛⎫=--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭' m e ∴=当0m e <≤时112t e e ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭当m e >时112t e e ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，所以t 的最大值是112e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 点睛：求函数最值的五种常用方法 单调性法8．若函数定义在R 上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为__________. 【答案】【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合思想求解可得到结论. 详解：因为函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又在上是增函数，且，当或时，；当或时，，作出函数的草图，如图，则不等式等价为或，即或，则或，解得或，即不等式的解集为，故答案为.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解..9．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有，当时，，则下列结论正确的是___________.① 的图象关于对称② 的最大值与最小值之和为③方程有个实数根④当时，【答案】③【解析】分析：利用条件和函数为奇函数，结合时，，综合考虑函数图像，逐一判断四个结论的真假，可得结论.详解：是定义在上的奇函数，对，均有，，可得函数的周期为，且的图象关于对称，故①错误；无最大值，故②错误；方程的实数根个数等于与y-=图象的交点个数，结合函数图象简图，由图可知轴左边有六个交个，轴右边有四个交个共有个交点，即方程有个实数根，故③正确；当时，，则，当时，不符合，故④错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10．已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】（2，3]详解：由题意，当时，即方程有四个解，又由函数与函数大致形状可知，直线与函数的左右两支曲线与都有两个交点，当时，函数的最大值为，则，同时在上的最小值，当时，在上，要使恰有四个零点，则满足，即，解得，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．11．设函数，则使成立的的取值范围是___________.【答案】【解析】分析：首先判断函数为偶函数，再判断在单调递减，得到在单调递增，从而将原不等式转化为求解即可.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12．设已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=________．【答案】.【解析】分析：根据函数解析式的模式，结合题的条件，可以断定，又因为，所以知道，再结合对数函数的单调性，再加上，从而判断出最大值是，从而得到所满足的等量关系式，从而求得，进一步求得，这样很直接求得.点睛：该题考查的是有关指数幂的运算，但是需要先从题的条件中来确定底数和指数的大小，首先需要确定函数的图像，之后借助于绝对值的意义，可以得到两个函数值的大小相等的时候，对应真数之间的关系：互为倒数，再结合两个值的大小关系，从而确定出对应各自的范围，根据题意，进一步确定其值的大小，最后求得结果.13．已知为偶函数，则____________．【答案】4.【解析】分析：首先确定当时，，利用分段函数对应自变量的范围，代入相应的式子，求得，再利用偶函数的定义，确定，利用两个式子的对应项系数相等，求得，进而求得两个数的乘积.详解：当时，，则有，所以，所以，从而求得.点睛：该题考查的是有关分段函数形式的偶函数的解析式的求解问题，在解题的过程中，关键的步骤是建立起所满足的等量关系式，这就要求从解析式出发，所以对自变量的范围加以限制，将式子写出来，利用偶函数的定义，之后利用对应项系数相等求得结果.14．已知函数，，，若关于x的方程f(x)+g(x)=0有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是____．【答案】所以要使得方程有四个不同的实数解，则，只需有两个不同的实数解，即方程在上有两个解，即在上有两个解，转化为与在在上有两个解，又由，当时，，函数为单调递增函数，当时，，函数为单调递减函数，所以当时，函数有最大值，要使得与在在上有两个解，则，即．点睛：本题考查了由方程解得个数求解参数问题，解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象的综合应用，其中根据函数的奇偶性，把方程有四个不同的实数解，转化为方程在上有两个解是解答的关键，着重考查了转化的思想方法的应用，试题属于中档试题．二、解答题15．设函数()()212ln f x m x x mx =--+，其中m 是实数．(l ）若()12f = ，求函数()f x 的单调区间；(2）当()210f '=时，若(),P s t 为函数()y f x =图像上一点，且直线OP 与()y f x =相切于点P ，其中O 为坐标原点，求S 的值；(3) 设定义在I 上的函数()y g x =在点()00,M x y 处的切线方程为():l y h x =，若()()()()00·0g x h x x x x x ⎡⎤--<≠⎣⎦在定义域I 内恒成立，则称函数()y g x =具有某种性质T ，简称“T 函数”．当34m =时，试问函数()y f x =是否为“T 函数”？若是，请求出此时切点M 的横坐标；若不是，清说明理由．【答案】（1）增区间为+∞），减区间为（；（2）1s =；（3）是“T 函数”， 2. 构造函数()()()2000000132132ln 2444F x f x x x x x x x x ⎛⎫=--+--+-+ ⎪⎝⎭其导数为()()0014'2F x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭分别讨论002x <<和02x >时()'F x 的符号以及进一步讨论()F x 的单调性可知()y f x =在()0,2和()2,+∞上不是“T 函数”，故02x =，经检验符合． 解析：（1）由()11212f m m m =-+=-=，得32m =， ()2132ln 22f x x x x ∴=-+（0x >）， ()223234'22x x f x x x x +-∴=-+=， 由()'0f x >得：34x -+> ；由()'0f x <得：304x -+<<()f x的单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调减区间为⎛ ⎝⎭． （2）由()'210f =，得3m =， ()222ln 3f x x x x ∴=-+． ()2'43(0)f x x x x∴=-+>， 所以切线的斜率243k s s =-+．又切线OM 的斜率为222ln 3s s s k s -+=，所以， 243s s -+= 222ln 3s s s s -+，即2ln 10s s +-=，设2l n 1y s s =+-， 1'20y s s∴=+>，所以，函数2ln 1y s s =+-在(0,＋∞)上为递增函数，且1s =是方程的一个解，即是唯一解，所以，．当002x << 时，004x x >，则在004,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有()'0F x > ，故在004,x x ⎛⎫⎪⎝⎭上()F x 单调递增，故当004,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()()00F x F x >=，所以在004,x x ⎛⎫⎪⎝⎭有()()00F x x x ->；当02x > 时， 004x x >，则在004,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有()'0F x > ，故在004,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()F x 单调递增，故当 004,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有()()00F x F x <=，所以在004,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭有()()00F x x x ->；因此，在()()00,22,x ∈⋃+∞上()f x 不是“T 函数”． 当02x =时， ()()22'02x F x x-=-≤，所以函数()F x 在()0,+∞上单调递减．所以， 2x > 时， ()()20F x F <= ， ()()20F x x -<；02x <<时， ()()20F x F >=， ()()20F x x -<．因此，切点为点()()2,2f ，其横坐标为2．点睛：曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率．对于满足某些特殊性质的切线，我们同样是设出切点的横坐标后，把问题归结横坐标应该满足的性质，（3）中横坐标0x 取值不容易求得，我们是先讨论了002x <<和02x >时()f x 不是“T ”从而得到02x =． 16．设函数f (x )＝12ax 2－1－ln x ，其中a ∈R ． （1）若a ＝0，求过点(0，－1)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，①求a的取值范围；②求证：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．【答案】(1) y＝－1ex－1 (2) ① (0，e)．②见解析【解析】试题分析：（1）设切点为T(x0，－1－ln x0)，得切线：y＋1＋ln x0＝－ ( x－x0)，将点(0，－1)代入求解即可；试题解析：（1）当a＝0时，f(x)＝－1－ln x，f ′(x)＝－．设切点为T(x0，－1－ln x0)，则切线方程为：y＋1＋l n x0＝－ ( x－x0)．因为切线过点(0，－1)，所以－1＋1＋ln x0＝－(0－x0)，解得x0＝e．所以所求切线方程为y＝－x－1．（2）① f ′(x)＝ax－＝，x＞0．(i) 若a≤0，则f ′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而函数f(x)在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意．(ii)若a＞0，由f ′(x)＝0，解得x＝．当0＜x＜时， f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞时， f ′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f()＝－ln－1＝－－ln．要使函数f(x)有两个零点，首先－－ln＜0，解得0＜a＜e．当0＜a＜e时，＞＞．因为f()＝＞0，故f()·f()＜0．又函数f(x)在(0，)上单调递减，且其图像在(0，)上不间断，所以函数f(x)在区间(0，)内恰有1个零点．考察函数g(x)＝x－1－ln x，则g′(x)＝1－＝．因为f()·f()≤0，且f(x)在(，＋∞)上单调递增，其图像在(，＋∞)上不间断，所以函数f(x)在区间(，] 上恰有1个零点，即在(，＋∞)上恰有1个零点．综上所述，a的取值范围是(0，e)．②由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1＜x2)，得两式相减，得a(x12－x22)－ln＝0，即a(x1＋x2) (x1－x2)－ln＝0，所以a (x 1＋x 2)＝．f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0等价于ax 1－＋ax 2－＜0，即a (x 1＋x 2)－－＜0，即－－＜0，即2ln ＋－＞0．点睛：导数背景下的零点问题，需结合函数的极值符号、函数的单调性及零点存在定理去考虑．而零点满足的不等式则需要通过构建新的不等式去证明，新的不等式对应的函数是一元函数，我们可以用导数去证明这个新的不等式．17．已知函数()214ln 22f x x a x x =---,其中a 为正实数． (1)若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； (2)求函数()y f x =的单调区间；(3)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证： ()()126ln f x f x a +<-．【答案】(1)1(2) 单调减区间为(0,2,()2++∞,单调减区间为(2+．（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得()12f '=，解得a 的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得12124,x x x x a +==，再化简()()12f x f x +，进而化简所证不等式为ln ln 20a a a a --+>，最后利用导函数求函数 ()ln ln 2g x x x x x =--+单调性，进而确定最小值，证得结论试题解析：(1)因为()214ln 22f x x a x x =---，所以()4af x x x=--'， 则()132f a ='-=,所以a 的值为1．(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==． 因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+--- ()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+- ()2116ln 4244ln 2a a a a a a =----=+- 要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>． 构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x x x+-='=--， ()g x '在()0,4上单调递增,又()()1110,2ln202g g ='-'=-,且()g x '在定义域上不间断, 由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x , 且001ln x x =． 则()g x 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 当()01,2x ∈时, 00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立． 所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证．18．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2xy e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayM x x =-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析． （1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底， 2.71828e =）【答案】(1)M 在x 2=时取最小值(2) 137(22e ⎤⎥⎦， 【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解.试题解析：（1）当1a =时， 22(1)1xe M x x x =>-+，∴ ()()()22212'1x x x e M x x --=-+ 列表得：∴M 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 ∴M 在2x =时取最小值； （2）∵()()()22212'(0)1xa x x e M a xx --=>-+ 根据（1）知： M 在()1,2上单调减，在()2,+∞上单调增∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴()()()434441223{ 72413M e e ae M e aeM e =≤=≤=>，解得： 13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137,22e ⎛⎤⎥⎝⎦． 19．已知函数()ln (0)xf x e x x =->的最小值为m ． ⑴设()()'g x f x =，求证： ()g x 在()0,+∞上单调递增；⑵求证： 2m >；⑶求函数()ln xmh x e e x =-的最小值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求导求出()g x ，再求导，利用导数的符号变换得到函数()g x 的单调区间；（2）由⑴可知()'f x 在()0,+∞上单调递增，再利用零点存在定理及函数的单调性进行求解；（3）分离参数，合理构造，利用导数研究函数的最值.∴()'f x 存在唯一的零点，设为0x ，则0x 1,12⎛⎫∈⎪⎝⎭且0010x e x -=当()00,x x ∈时， ()'0f x <；当()0,x x ∈+∞时， ()'0f x > 从而()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减 所以()f x 的最小值()000ln xm f x e x ==-∵0010xe x -= ∴001x e x = ∴00ln x x =- ∴0012m x x =+≥（当且仅当01x =时取等号） ∵0x 1,12⎛⎫∈⎪⎝⎭∴2m > （第二问也可证明1,ln 1xe x x x ≥+≤-，从而得到2m >）∴()'h x 存在唯一的零点，设为1x ，则1x ()1,m ∈且110mx e e x -=所以()h x 的最小值为()111ln xmh x e e x =-∵110m x e e x -= ∴11m x e e x =∴11ln x m x =-，即11ln m x x =+ 由⑵可知0000111ln ln m x x x x =-=+ ∴11ln x x +=0011ln x x + ∵ln y x x =+在()0,+∞上单调递增 ∴101x x =所以()h x 的最小值为()()00000001111111ln 1000000011111ln ln ln ln 0x x x x x x x mh x e e e e e e e x x x x x x x +=-=-=-⋅⋅=⋅+=20．设函数，.（1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值；（2）当函数在定义域内不单调时，求证：；（3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）【答案】（1）；（2）见解析；（3）1详解：（1）当时，，则在处的斜率为，又在处的斜率为，则，解得 .（2）函数，则 .∵，∴，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，由于开口向上，且只需要，得，因为，所以，故，当且仅当时取等号，命题得证 .所以存在，使得，即，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增.则取到最小值，所以，即在区间内单调递增，所以，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为1 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .。