类型3 坡度(坡比)问题

坡度坡比的概念
一、什么是坡比?
坡比，即坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，即坡角的正切值(tan∠a值∠a为斜坡与水平面夹角)。

「亦即
tan∠α」。

通常用“i”表示。

坡比计算公式：
tana=i(坡度)
a表示坡角
二、什么是坡度?
坡度(slope)是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度(或叫做坡比)用字母i表示。

【即坡角的正切值(可写作：i=tan坡角=h:l)】
坡度计算公式：
表示坡度最为常用的方法，即两点的高程差与其水平距离的百分比，其计算公式如下：坡度 = (高程差/水平距离)x100%
使用百分比表示时，
即：i=h/l×100%
例如：坡度3% 是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)3米 ;1%是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)1米。

依次类推.
从坡率和斜率的内容可以看出，两者在计算公式和定义上是有一定区别的。

坡度系数:
在已知b 边长度,c 边长度=b*坡度系数.
坡度系数就是c 和b 的比值. K=c/b
坡度：
即两点的高程差与其水平距离的百分比其计算公式如下：坡度= (高程差/水平距离)x100% 使用百分比表示时，即：i =h/l×100%
放坡系数:
在已知a 边高度(即挖方深度) 的时候,b 边长=a*放坡系数
放坡系数就是b 和a 的比值. 通常用于计算土方.还有找坡:已知b 边长,a 边高度=b*找坡系数. 通常用于楼地面和屋面的找坡.
坡度比:
是1:2，是指坡面的垂直高度h和水平宽度l的比是1：2，也就是说水平宽度l是垂直高度h 的2倍
案例1
别墅坡屋面坡度比是1:1.5投影面积是180平方米请问坡屋面的面积怎么计算
解答：坡度1:1.5,水平为1.5,升高为1,角度a=arctg(1/1.5)=33.7°,斜边长L=1/SIN(a)=1.8,坡屋面面积为S=(1.8/1.5)*180=2160平方米.
斜边长可以这样算L=(1.5^2+1^2)^(1/2)=1.8
案例2
坡度系数1：4,即水平4米,高度为1米
解答：简单说就是底边每延伸1米高度抬高（或下降）2厘米.!以第一个例子来说,他的坡屋面系数为4.123/4（4的平方+1的平方之和再开方,也就是17的开方）,即1.0308,所以1.0308就是坡屋面系数!当你计算斜面屋顶的面积就用1.0308*平面的面积!或者用勾股定理算一下就得出来了.
坡度系数=斜边/底边=l/b
坡度%=对边/底边=h/b。

坡度坡比计算范文坡度和坡比是地理学和土木工程领域常用的两个概念，用于描述地表或土地的倾斜程度。

在这篇文章中，我们将详细介绍坡度和坡比的计算方法，并讨论它们在实际应用中的意义。

一、坡度的定义和计算方法1.坡度的定义坡度反映的是地表或土地的倾斜程度，通常用百分比或度数表示。

具体来说，坡度是由一点到另一点的高程差除以两点之间的水平距离，在百分比形式下，坡度等于高程差除以水平距离的乘以100。

2.坡度的计算方法a)三点法：假设我们需要计算点A和点B之间的坡度，可以选择点A、B以及其中间的第三点C，然后计算AC和BC之间的高程差以及AC的水平距离。

坡度等于高程差除以水平距离的乘以100。

b)两点法：如果只有点A和点B的高程数据，可以直接计算AB之间的高程差以及AB的水平距离，然后按照三点法的方法计算坡度。

c)坡度计算器：现代地理信息系统（GIS）软件通常都有坡度计算的功能。

用户只需输入高程数据和两点之间的水平距离，软件就会自动计算出坡度的值。

二、坡比的定义和计算方法1.坡比的定义坡比是指高程差与水平距离之间的比值，是一个无单位的值。

坡比的大小可以用来评估地表的倾斜程度和地形的陡峭程度。

通常，较大的坡比意味着较陡的坡度。

2.坡比的计算方法坡比的计算方法和坡度类似，但是由于坡比是一个比值，所以不需要将其乘以100。

具体计算方法如下：坡比=高程差/水平距离不同国家和领域对于坡比的定义可能有所不同，有些地区也可能使用其他与坡度相关的术语，比如坡度比和坡度百分比。

三、坡度和坡比的应用意义1.地形评估：坡度和坡比是评估地形陡峭程度和地势起伏的重要指标。

在地形分析和地貌研究中，研究人员可以根据坡度和坡比的数值来划分地形类型和地貌单元，比如确定山地、丘陵或平原地区。

2.土地利用规划：坡度和坡比对于土地利用规划和土地资源管理也非常重要。

较陡的坡度和较大的坡比通常会限制土地的利用，比如较陡的坡度不适宜农业活动，而较大的坡比可能导致土壤侵蚀和水土流失。

一、知识概述1、仰角、俯角仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示．说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．2、坡角和坡度坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则．如图所示说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形．3、象限角象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示．二、重点难点疑点突破1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了．一般有以下三个步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．2、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角．(2)把数学问题转化成解直角三角形问题．如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答案并注明单位．三、典型例题讲解1、测量河宽例1、如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：(1)列出你测量所使用的测量工具；(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离．分析：这是一个实际问题，要求B到CD的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有AB的式子表示AC和AD，而AC＋AD=m，可运用解方程的方法求出AB即可．解：(1)测角器、尺子；(2)测量示意图如下图所示；测量步骤：①在公路上取两点C，D，使∠BCD，∠BDC为锐角；②用测角器测出∠BCD=α，∠BDC=β；③用尺子测得CD的长，记为m米；④计算求值．(3)解：设B到CD的距离为x米，作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CAtanα，点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)．2、仰角、俯角问题例2、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图）.问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？分析：解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算树AB的高度.解：过点C作CE⊥AB，垂足为E.在Rt△CBE中，在Rt△CAE中，故AB=AE＋BE=≈4×1.73=6.92（米）＜8（米）.因此可判断该保护物不在危险区内.3、坡角、坡度(坡比)例3、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？分析：首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题．点评：(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称．(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形．(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边．4、象限角例4、如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题．解：根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=180°-30°-120°=30°,AB=BC=8，作CD⊥AB于D．∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度．在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，点评：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．5、开放探究题例5、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．(1)请问1号救生员的做法是否合理？(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点B？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，)分析：(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断．(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间，再作判断．点评：掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题，如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键．。

解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。

2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。

3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。

变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。

3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。

坡度比算法
坡度比是指垂直高度变化与水平距离变化之间的比值，用来描述地面的倾斜程度。

坡度比的计算公式为：坡度比 = 垂直高
度变化 / 水平距离变化。

其中，垂直高度变化是指起点和终点之间的垂直距离差，水平距离变化是指起点和终点之间的水平距离。

坡度比可以以不同形式表示，例如百分比、比例或度数。

常见的表示方式有：
1. 百分比形式：坡度比 = (垂直高度变化 / 水平距离变化) ×100%
例如，如果垂直高度变化为10米，水平距离变化为100米，则坡度比为10%。

2. 比例形式：坡度比 = 垂直高度变化 : 水平距离变化
例如，如果垂直高度变化为2米，水平距离变化为10米，则坡度比为2:10或简化为1:5。

3. 度数形式：坡度角度 = arctan(垂直高度变化 / 水平距离变化) 通过使用反正切函数（arctan）计算，得到坡度的角度值。

这个角度表示了坡面的倾斜程度。

需要注意的是，坡度比的计算可以根据具体情况选择适合的单位和表示方式。

在实际应用中，选择合适的计算公式和单位可以更好地描述和比较地面的倾斜情况。

《坡比、坡度问题》教案一．教学三维目标(一)知识目标以直角三角形为载体，继续巩固练习锐角的各个三角函数，并逐步学会解关于坡度角和相关角度的问题．(二)能力目标通过实例渗透数学基本知识，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力，进一步融入数形结合的数学思想和方法．(三)情感与价值观培养学生应用数学知识解决简单数学问题的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．二、教学重点、难点和疑点1．重点：熟练运用有关三角函数知识．2．难点：用三角函数的基本知识去解决简单的实际问题．3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．三、教学过程1．探究活动一教师出示投影片，出示例题．例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．（1）（2）分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例。

教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．2．探究活动二例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？分析：这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E 在一条直线上。