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柯西积分公式讲稿

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3-4柯西积分公式及推论

3-4柯西积分公式及推论
第三章 复变函数的积分
哈 尔 滨 工 程 大 学
§3.4 柯西积分公式及其推论
学习要点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
掌握柯西积分公式 掌握高阶导数公式
一、柯西积分公式
哈 尔 滨 工 程 大 学
1. 问题的提出
设 f ( z ) 在 以 圆 C :| z z 0 | r0 ( 0 r0 )为 边 界 的 闭 圆 盘 上 解 析 ， f ( z )沿 C 的 积 分 为 零 。 考虑积分
哈 尔 滨 工 程 大 学
( 缩 小 )
C
复 变 函 数 与 积 分 变 换

f ( z0 ) z z0
C
d z f ( z0 )
C
d z 2 if ( z 0 ).
2. 柯西积分公式
哈 尔 滨 工 程 大 学
定理3.9 (柯西积分公式)
设 D是 以 有 限 条 简 单 闭 曲 线 C为 边 界 的 有 界 区 域 , 设 f ( z )在 D 及 C 所 组 成 的 闭 区 域 D 上 解 析 ， 那 么 在 D内 任 一 点 z， 有
4 dz 2 z 1
sin


z1 1 2
2 sin z 4 z1
z1
dz

z
2 i
4 z1
z 1

2 2
i;
哈 尔 滨 工 程 大 学
sin 2)

sin z

z dz

z 1 1 2
4 dz 2 z 1

z 1 1 2
4 z1 z1
复 变 函 数 与 积 分 变 换
I

复变函数课件：3_3柯西积分公式

复变函数课件：3_3柯西积分公式
证 取定z ∈ D, 作以z心，充分小的ρ > 0为半径的圆Lρ，
使以Lρ 为边界的闭圆盘包含在D内(如图).
记 D ρ 为D挖去以Lρ 为边界的 开圆盘所得到的闭区域.
f (ξ ) 于是f (ξ )及 在 D ρ 上连续,在区域Dρ内解析. ξ −z
所以由定理3.2.7有,
f (ξ ) f (ξ ) ∫L ξ − z dξ = ∫Lρ ξ − z dξ .
证 作以z0心，以ρ (0 < ρ < ρ 0 )为半径的圆Lρ，
根据多连通区域上的柯西积分定理得
f ( z) f ( z) ∫L z − z0 dz = ∫Lρ z − z0 dz.
上式对满足0 < ρ < ρ 0的任何ρ 成立，于是
f ( z) f ( z) ∫L z − z0 dz = lim0 ∫Lρ z − z0 dz. ρ→ f ( z) 下证 lim ∫ dz＝2π if ( z0 ). ρ →0 Lρ z − z 0 f ( z0 ) dz 由于2π if ( z0 ) = f ( z0 ) ∫ =∫ dz , 则 Lρ z − z Lρ z − z 0 0
π sin z 4 dz = ∫=2 z 2 − 1 z
∫
z +1 =
π sin z 4 dz + 2 1 z −1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 dz z2 − 1 1
2
2 2 = πi + πi = 2πi . 2 2
3z − 1 dz. 例3 计算I = ∫ | z | = 2 ( z + 1)( z − 3) 3z − 1 解 显然f ( z ) = 只有一个奇点z = −1在 | z |< 2 ( z + 1)( z − 3) 3z − 1 内, 且函数g ( z ) = 在 | z |< 2内解析,在 | z |≤ 2内连续. z −3

第二讲 柯西积分公式高阶导数

第二讲 柯西积分公式高阶导数

应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有

C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务




1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i

f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i

f ( ) d ) C z
1 2

2
0
f ( z0 Re )d
i
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值.
推论2 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C 1、 C 2 围成的二连通
C2在C1 区域 D内解析， 并在曲线 C1、C2上连续，
z0为D内一点，则 的内部， 1 f (z) 1 f (z) f ( z0 ) dz dz 2i C z z0 2i C z z0
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.

柯西积分公式及其推论

柯西积分公式及其推论

( K )
而 f ( ) d f ( ) d
C z
K z
f (z) d K z
K
f ( ) f (z) d z
z
D
K
C
2if (z) f ( ) f (z) d
K z
故
f ( ) d C z
2if (z)
K
f ( ) f (z) d z
f ( ) f (z)
z 2 z 1
z1
2i sin1
例2
计算积分
z
i
1
z
(
z
1 2
1)
dz
.
2
1
f (z)
解
z(
z
1 2
1)
1 z(z i)(z i)
z(z i) zi
a i,
因为 f (z) 在 z i 1内解析, 由柯西积分公式 2 1
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
z(z i) dz zi 1 z i
f
(z0 )
1
2 i
f ( ) d C z0
1
2 i
2 0
f
(z0 R ei Rei
)
Riei d
1 2π
2π 0
f
( z0
R ei )d.
例3 设f (z)在闭圆 z R上解析, 如果存在a 0, 使当 z R时
f (z) a
而且
f (0) a
试证,在圆 z R内, f (z)至少有一个零点.
设z h D 是D内另一点。
只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0
f (z h)

柯西积分公式及高阶导数公式市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件

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且z0在C
2) 柯西积分公式含义
函数在C内部任一点值可用它在边界上值经过积分 唯一确定。
尤其, 如C: |z-z0|R, z=z0+Reiq, 则上式成为
要注3)意柯:a西) 积f(z分)在公简式单应闭用曲: 可线求C及积其分内部C解zf-析(zz,)0 d z,
b) z0在C内部.
第6页
例1：求以下积分(沿圆周正方向)值:
第三章 复变函数积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
第1页
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内 绕z0任一正向简单闭曲线, 则
z0
在C内部作CR: |z-z0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z --
0y积分公式 ,
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,
1 f (z)
的z0分是段D内光z(的滑z一(或21个可点求1, 长)C是)J任orz意d(a一nz曲条线含,i1则z)0(在z内-部i区)域
z(z i) z-i
z0 i,
f (zz-0)i211πzi (C zzf-2(1zz)0dz1. ) dz 2
于的是分段光f滑((或z)可求长2)Joir(da6n曲z 线, 7则), 而1+i 在C内, 所以
f (1 i) f (z20) 2(1π-i 6C zf-(zz)10 d3z.i).
第21页
例6.
sin z
计算积分
C
z2
4 -1
dz,
其中
(1) C: z 1 1 ; (2) C: z - 1 1 ; (3) C: z 2.

3.3柯西积分公式

3.3柯西积分公式

C
2、关于柯西积分公式的说明: 关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在 内部任一点的值用它在边界上的 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. 这是解析函数的又一特征 值表示 (这是解析函数的又一特征 这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 分的一种方法 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. 表达式 (这是研究解析函数的有力工具 这是研究解析函数的有力工具) 这是研究解析函数的有力工具
2
z = −1
( 2)
∫
z −1 =
π sin z 4 dz = z2 − 1 1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 π sin z z + 1 dz 4 = 2 πi; = 2πi ⋅ 2 1 z −1 z +1
2 z =1
π sin z 由复合闭路定理, ( 3) ∫ 2 4 dz 由复合闭路定理 得 z −1 z =2 π sin z 4 dz = ∫=2 z 2 − 1 z
由复合闭路定理, 由复合闭路定理 得
ez ∫ z =3 z ( z 2 − 1) dz z ez ez e z ( z + 1) z ( z − 1) z 2 − 1 dz + =∫ 1 ∫ z −1 = 14 ( z − 1) dz + ∫ z +1 = 14 ( z + 1) dz z= z 4
§3.3 柯西积分公式
一、柯西积分公式
1、定理 设函数 f ( z ) 在简单闭曲线 C所围区域 D 内解析 , 、 上连续， z 在 D = D ∪ C 上连续， 0 为 D 内任一点 , 则
1 f (z) f (z0 ) = dz. ∫C 2πi z − z0

在无穷处的柯西积分公式

在无穷处的柯西积分公式

在无穷处的柯西积分公式
【最新版】
目录
1.柯西积分公式的概述
2.柯西积分公式的推导过程
3.柯西积分公式的应用领域
4.柯西积分公式的意义和影响
正文
一、柯西积分公式的概述
柯西积分公式，又称为柯西定理，是由法国数学家柯西（Cauchy）提出的一种积分公式。

该公式描述了函数在某一区域内的积分与其在无穷远处的值之间的关系，为数学分析领域中的一项重要成果。

二、柯西积分公式的推导过程
柯西积分公式的推导过程较为复杂，需要运用到许多高级数学知识，如极限、微积分等。

在推导过程中，柯西假设函数在某一区域内的积分等于该函数在该区域内的平均值与在无穷远处的值的比值。

通过一系列的推导和证明，柯西得出了积分公式。

三、柯西积分公式的应用领域
柯西积分公式在数学分析、物理学、经济学等多个领域中都有广泛的应用。

例如，在物理学中，柯西积分公式可以用来求解电场、重力场等问题；在经济学中，柯西积分公式可以用来描述生产函数等。

四、柯西积分公式的意义和影响
柯西积分公式的意义在于，它将积分与无穷远处的值联系起来，为求解积分提供了一种新的思路和方法。

柯西积分公式的影响深远，不仅推动
了数学分析的发展，也为其他学科的研究提供了有力工具。

柯西积分公式课件.

柯西积分公式课件.
f z z z0
f z z z0
的周线积分；
z z0 是被积函数 F z
在 C 内部唯一的奇点。
如果被积函数 F z 在 C 内部有两个及两个以上奇点时，
就不能直接应用柯西积分公式.
先找 C 内唯一的奇点，再找解析函数 f z
五、布置作业
课本 P143 10,12.
C
z0
D
---解析函数可用复积分表示。
f (z) 或 d z =2 π i f ( z0 ) C zz 0
---复积分的重要计算公式。
分析：函数 f ( z )在 K 上 的值将随
着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
C
K
z0
D

而
K
f (z) dz将接近于 z z0

K
f ( z0 ) dz (随着 减小) z z0
K
1 f ( z0 ) dz 2 if ( z0 ). dz f ( z 0 ) K z z0 z z0
三、典型例题
f (z)

C
f (z) d z =2 π i f ( z0 ) z z0
sin z 例1. dz , 其中C : z i 1. C z i
x
(A. Cauchy,法,1789-1857)
拉格朗日级数
天体力学
柯西积分 公式
微分方程
物理问题
ห้องสมุดไป่ตู้、柯西积分公式
内处处解析， 定理3.11 (柯西积分公式) 如果f z 在区域D
C为D内的任何一条正向简单闭曲线， 它的内部完全含于D，
z0为C内的任一点，则

柯西积分定理ppt课件

柯西积分定理ppt课件

1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
10
定理3.2.2' 设简单闭曲线L是单连通区域D的边界, f (z)在闭区域D D L上解析，则
L f (z)dz＝0.
定理3.2.3(推广的Cauchy积分定理) 设D是简单 闭曲线L所围成的区域. 若f (z)在D上解析，在 D D L上连续,则
第二节 柯西积分定理
• 一、单连通区域的柯西积分定理 • 二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式 • 三、多连通区域上的柯西积分定理
1
一、单连通区域的柯西积分定理
1. 问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关.
观察上节例2, 被积函数当 n 1 时为 1 ,
证 设L是光滑曲线z z(t)(a t b), z(a) , z(b) ,则
f (z)dz L
b F ' (z(t))z' (t)dt
a
F(z(t)) b a
F(z(b)) F(z(a)) F( ) F().
若L是分段光滑曲线，则可把积分分成几段计算，
再求和。
20
另证 由假设，根据推论3.2.1和定理3.2.6，
z
F(z) f ()d z0
是在D内确定的一个函数. 下证F ' (z) f (z),z D. 任意取定z1 D，令L0为D内连接z0与z1的一条简单曲线，
16
并取z D与z1充分接近，记L1 L0 z1z,则

第八讲柯西积分公式

第八讲柯西积分公式
1 < r < 2,
Ι=∫
C1
+∫
C2
= −π i + ∫
C2
ez z ( z − 2) dz z +1
ez = −π i + 2π i z ( z − 2)
2π = −π i + i 3e z = −1
C2 C1
−1
C3
2
0
r > 2, Ι = ∫
C1
+∫
C2
+∫
C3
2π = −π i + i+∫ C3 3e
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | ≤ M. d 为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |∆z| 适当地小使其满足 |∆z| < d/2,因此
1 1 | z − z0 |≥ d, ≤ , | z − z0 | d
C
z0
d
D
d | z − z0 − ∆ z |≥| z − z0 | − | ∆ z |> , 2 1 2 | ∆ z || f ( z ) | d s ML < , | I |≤ 1 ∫ | z − z0 |2 | z − z0 − ∆ z | <| ∆ z | π d 3 | z − z0 − ∆ z | d 2π C
f ( z ) =1及 2
=
2π i ⋅1 + 2π i ⋅ 2 = 6π i
ez 例题2 计算积分 Ι = ∫ dz C : z = r (r ≠ 1,2) C z ( z + 1)( z − 2) ez ( z + 1)( z − 2) ez dz = 2π i 解：0 < r < 1, Ι = ∫C = −π i z ( z + 1)( z − 2) z =0

柯西积分定理[内容充实]

柯西积分定理[内容充实]
第二节 柯西积分定理
• 一、单连通区域的柯西积分定理 • 二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式 • 三、多连通区域上的柯西积分定理
高等课件
1
一、单连通区域的柯西积分定理
1. 问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关.
观察上节例2, 被积函数当 n 1 时为 1 ,
2
Hale Waihona Puke dz.解因为 zez 在 z2 2
G :| z |
2内解析，
z | 1是 G 内的一条简单闭曲线,
根据柯西－古尔萨(Cauchy-Goursat)定理, 有
I
|z|1
zez z2
2
dz＝0.
高等课件
8
例3
计算积分
1
zi
1
z(z2
dz. 1)
2
解
z(
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
z
G
L vdx udy＝ (ux vy )dxdy 0, G
根据定理3.1.1得，
L f (z)dz＝L udx vdy iL vdx udy＝0.
高等课件
5
注：定理3.2.1是Cauchy于1825年建立的积分定理. 在定理中,除假设f (z)在D内的解析函数外,还要 假设f ' (z)在D内连续.
L1是在D内连接z0及z两点的任一条简单曲线,则f (z)沿 L1从z0到z的积分的值由z0及z所决定，而不依赖于曲线 L1。这时积分也可记作
z
f ( )d. z0
高等课件
14
二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式

柯西积分公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

柯西积分公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

K z z0
K z z0
Cz
z0
K
2 π if (z0 ) K
f (z) f (z0) d z z z0
|
f
因为f (z)-f (z0)|
(z)在
< .
z0连续, 任给
设以 z0为中心,
R
0 , 存在 0
为半径旳圆周K
, :
当 |z-z0|< 时,
|z-z0|=R全部
在C旳内部, 且R < .
C2 C1 C3
1 0
2
ez
i 2 i z(z 1) dz i 2 i 2 i e z
3e C3 z 2
3e
z(z 1)
z2
i 2 i e2 i
3e 3
二、 解析函数旳高阶导数
一种解析函数不但有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它旳值也可用函数在边界上旳值经过积分来表达. 这 一点和实变函数完全不同.
1
2
C
| Δ z || f (z) | d s | z z0 |2| z z0 Δ z |
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d为 z0 到 C上各点旳最短距离, 则取 |Dz| 适本地小使其满足 |Dz| < d/2,所以
C
|
z
z0
|
d,
|
z
1 z0
解 1) sin z dz 2 i sin z 0
z 4 z
z0
2) ( 1 2 )dz dz 2 dz
z 4 z 1 z 3
z 4 z 1 z 4 z 3
f ( z )1及 2
2 i 1 2 i 2 6 i

复变函数第7讲柯西积分公式

复变函数第7讲柯西积分公式

K z − z0
K | z − z0 |
<
ε R
∫
d
s
=
2π
ε
K
这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要 R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分 的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为
值为零才有可能, 因此, (3.17)式成立.
7
书本的描述(第46页，定理3.6)
定理3.6(柯西积分公式) 设D是由有限条简单 闭曲线C为边界的有界区域, f(z)在D内处处解 析,,则对D内任意一点z0有
i
O −i
x
C2
24
y
C C1
i
O −i
x
C2
根据复合闭路定理,
∫ ∫ ∫ ez d z =
ez d z +
ez d z
C (z2 +1)2
C1 (z 2 +1)2
C2 (z2 +1)2
25
由求导公式有
ez
∫ ∫ e z d z = ( z + i )2 d z =
C1 (z 2 + 1)2
C1 (z − i)2
1 f (z)
∫ f (z0 ) = 2 π i C z − z0 d z.
(3.21)
8
1 f (z)
∫ f
(z0 )
=
2πi
C
z
−
z 0
d
z.
(3.21)
(3.21)式称为柯西积分公式.
特别,如果C是圆周z=z0+Reiθ, 则(3.21)式成为
∫ 1
f (z0 ) = 2 π
2π
0 f (z0 + Reiθ )dθ .

柯西积分公式及其推论

柯西积分公式及其推论

2 ih C
( z h)k1( z)k1
(k 1)!
2 i
f ( ) C ( z)k2
d
k !
2 ih
C
f
(
)
(k 1)( z)k h h2O(1) ( z h)k1( z)k1
d
(k 1)!
2 i
f ( ) C ( z)k2
d
(k 1)!
2i
C
f
(
)[
(
z
1
h)k1(
| z | d,| z h | d,
设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度 是L，于是我们有
| h
2 i
C
(
z
f ( ) h)(
z)2
d
|
|h|
2
ML d3
,
因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。
现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时，
结论成立。取z及z+h同上，那么有
ds
ds .
K z
2 K
故 lim f ( ) d 2if (z)
0 K z 根据复周线积分定理,上面积分值与无关
即
C
f
( ) d
z
2 if
(z)
柯西积分公式
2定义3.4 在定理3.11条件下
1
2
i
C
f
(
) z
d
,
(z C)
称为柯西积分.
关于柯西积分公式的说明:
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具)

第二章第四节柯西公式

第二章第四节柯西公式

柯西公式的一个重要推论是解析函数可求任意阶导数.(p37)
f
z
1
2i
l
f
d.
z
由于z为区域的内点，积分变数在区域的境界线上， z 0 积分号下的函数 f z 在区域上处处可导，因此柯西公式
可在积分号下对z求导，得
f
z
1!
2 i
l
f
z
2
d
.
f n z n!
2 i
f l z n1d
za
0
由于z = a一般为[f(z) - f(a)]/(z - a)的奇点，因此，以a为圆心，ε为 半径作小圆C ε,于是在l 及C ε所围复通区域上， [f(z) - f(a)]/(z - a) 单值解析。按复通区域的柯西定理，
l
f
z
z
f a
adzCຫໍສະໝຸດ f z f adzza
(2.4.2)
yl
上式右端有
§2.4 柯西公式
(一) 有界区域的柯西积分公式 (二) 无界区域的柯西积分公式 (三) 解析函数的高阶导数 (四) 补充例题
(一) 有界区域的柯西积分公式
若f(z)在闭单通区域B上解析，l 为区域的境界线，a为B内的任
一点，则有柯西公式
f
a
1
2i
l
f z
zdz
a
(2.4.1)
如图：l 为区域B的境界线，z0 = a为区 域的内点。当z沿着l 变化时的函数关
0 C z a
0
由于(2.4.2)左端与ε无关,故必有
f z f a
l
dz 0 za
柯西公式得证. 柯西公式也可写成
f
z
1

-柯西积分公式

-柯西积分公式
§3.4 柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
f
(z0 )
1
2i
f (z) dz
C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
( 3 ) 积分曲线C 可以是解析区域D内部的包含z0的任意曲线
特别地, 若定理中区域D 为圆周C : z z0 rei围成, 则
1
f (z0 ) 2i
f (z)
1
dz
C z z0
2i
2 0
f
(z0 re i re i
C
C1
C2
C（1 z
3z 1 1)( z
3)
dz
3z 1 dz
C2 (z 1)( z 3)
3z 1
3z 1
z 3 dz z 1 dz
C1 z 1
C2 z 3
3z 1 2i 2i 3z 1
z 3 z1
z 1 z3
2i 4i 6i
C1
C2
1
34
例 设 f ( z ) 3 2 7 1 d , C 为正向圆周x2 y2 3
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :

第四节(柯西公式)

第四节(柯西公式)

0
R 0 时，
K
f z f z0 z z0


K
f z f z0 z z0
dz 0
1
说 明
i 提供了求
C
f z z z0
的方法 .
ii 若 f z 在 C 及 C 的内部解析，且
则 f z 在 C 的内部任意点的值也确
设 f z 在区域 D 解析， C 为 D 内任意一条简单 f z z z0
C
z0
D
证

C
1 2 i

C
1 dz f z 0 z z dz f z 0 z z0 2 i C 0
f z0
2 i
C
1
dz
C
.
K
f z z z0

4
)
9
作业
求 求 e
iz C
z i
dz• C z
:| z i | 1 dz• C :| z | 2
C
5 z z i
2
10
dz

C
f z0 z z0
dz

C
f z f z0 z z0
dz
K : z z0 R


K
f z f z 0 z z0
dz

K
f z f z0 z z0
dz 为常数，
ds

R
ds
K
2
0
R
f ( ) /( z ) 在区域上处处可导,因此可在积分号下对z求导
3
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1 2πi
C
f (z) z z0
d z.
f (z0
Δ z)
1 2πi
C
f (z) d z z z0 Δ z
f (z0 Δ z) f (z0 ) 1
f (z)
dz
Δz
2 π i C (z z0 )(z z0 Δ z)
因此
1
2πi
C
f (z) (z z0 )2
dz
f (z0
Δ z) Δz
1
2
| Δ z || f (z) | d s C | z z0 |2| z z0 Δ z |
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d
为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满足
|Dz| < d/2,因此
C
11
z | z z0 | d, | z
| z z0 Δ z || z
1
| z z0 Δ z |
z0 | d
z0 |
2, d
|I
, |Δ |
z | 1 2π
d, 2 C |z
| Δ z || z0 |2|
f z
(z) | z0
d
ds Δ
z
0
| |
Δ
D
z|
ML πd3
这就证得了当 Dz0时, I0.
这就证得了
f
(z0 )
z(z 2) z 1
3e
r 2,
C1
C2
C3
C2 C1 C3
1 0
2
ez
i 2 i z(z 1) dz i 2 i 2 i ez
3e C3 z 2
3e
z(z 1)
z2
i 2 i e2 i
3e 3
二、 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这 一点和实变函数完全不同.
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:
f
(n) (z0 )
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
d
z
(n 1, 2,
)
其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一
条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.
[证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
d
z
再利用同样的方法去求极限: lim f (z0 Δ z) f (z0 )
Δ z0
Δz
便可得
f
(z0 )
பைடு நூலகம்
2! 2πi
C
f (z) (z z0 )3
d
z
依此类推, 用数学归纳法可以证明:
f
(n) (z0 )
n! 2πi
C
(z
f (z) z0 )n1
C z(z 1)( z 2)
C : z r (r 1,2)
ez
解：0 r 1,
(z 1)( z 2) dz 2 i
ez
i
C
z
(z 1)(z 2)
z0
ez
1 r 2, i z(z 2) dz
C1
C2
C2 z 1
i 2 i ez
i 2 i
RK
C
f z
z z0
dz
2 if
z0
例1
解 1) sin z dz 2i sin z 0
z 4 z
z0
2) ( 1 2 )dz dz 2 dz
z 4 z 1 z 3
z 4 z 1 z 4 z 3
f ( z )1及2
2i 1 2i 2 6i
例题2
计算积分
ez
dz
C z z0
K z z0
R
D
f (z0 ) d z f (z) f (z0 ) d z
K z z0
K z z0
z C
z0
K
2 π if (z0 )
K
f (z) f (z0) d z z z0
由于f (z)在 z0连续, 任给
, 存在0
0 , 当 |z-z0|< 时, | f (z)-f
d
z
(
f
(n) (z)
n!
2 i
C
(
f ( )
z)n1
d
)
高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导,
而在于通过求导来求积分.
C
f (z)
2 i
(z z0 )n1 dz n !
f (n) (z0 )
例4 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r >1.
[解]
1)
C
cos (z
ez
ez
C1
(z i)2 (z i)2
dz
C2
(z i)2 (z i)2
dz
2
i
(z
ez i)2
(z
ez i)2
i 2 sin(1 )
z i
zi
4
例2 若n为自然数，试证明：
1) 2 ercos cos(r sin n )d 2 r n;
0
f (z0 )
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
d
z
1 2πi
C
(z
f (z) z0 )(z z0
Δ
z)
d
z
1 2πi
C
(z
Δ zf (z) z0 )2 (z z0
Δ
z)
d
z
I
现要证当Dz0时I0, 而
| I | 1 2π
C
Δ zf (z) d z (z z0 )2 (z z0 Δ z)
f (z0 )
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
dz
按定义
f
(
z0
)
lim
Δ z0
f (z0
Δ z) Δz
f (z0) ,
因此就是要证
1
2πi C
(z
f (z) z0 )2
d
z
f (z0 Δ z) f (z0 ) Δz
在Δ z 0时也趋向于零.
按柯西积分公式有
f
(z0 )
柯西积分公式课件
一、 柯西积分公式
定理 .(柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D
内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为
C内的任一点, 则
f (z0 )
1 2πi
C
f (z) z z0
d z.
or
C
f
z
z
z0
dz
2 if
z0
[证] f (z) d z f (z) d z
1) 函数
z
1)5
d
z;
cosz
( z 1)5
2)
C
ez (z 2 1)2
d
z
在C内的z=1处不解析,
但cosz在C内
却是处处解析的.
| C
cosz
(z 1)5
dz
2i (cosz)(4)
(5 1)!
z 1
5i
. 12
C1
CC12
C
ez
2) C (z2 1)2 dz C1 C2
C2
(z0)| < . 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |z-z0|=R全部在C的内部, 且R < .
C
f z
z z0
dz
2 if
z0
K
f (z) f (z0) d z z z0
| f (z) f (z0 ) | d s d s 2 π .
K | z z0 |