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现代密码学杨波课后习题讲解

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杨波, 《现代密码学(第2版)》06-1

杨波, 《现代密码学(第2版)》06-1

图6.1 MAC的基本使用方式
如果仅收发双方知道K，且B计算得到的MAC 与接收到的MAC一致，则这一系统就实现了以下 功能： ① 接收方相信发送方发来的消息未被篡改，这是 因为攻击者不知道密钥，所以不能够在篡改消息后 相应地篡改MAC，而如果仅篡改消息，则接收方 计算的新MAC将与收到的MAC不同。 ② 接收方相信发送方不是冒充的，这是因为除收 发双方外再无其他人知道密钥，因此其他人不可能 对自己发送的消息计算出正确的MAC。
第1轮 已知M1、MAC1，其中MAC1=CK(M1)。对 所有2k个可能的密钥计算MACi=CKi(M1)，得2k-n个 可能的密钥。 第2轮 已知M2、MAC2，其中MAC2=CK(M2)。对 上一轮得到的2k-n个可能的密钥计算MACi=CKi(M2)， 得2k-2×n个可能的密钥。
如此下去，如果k=αn，则上述攻击方式平均需要α 轮。例如，密钥长为80比特，MAC长为32比特， 则第1轮将产生大约248个可能密钥，第2轮将产生 216个可能的密钥，第3轮即可找出正确的密钥。
⑤ 已知x，找出y(y≠x)使得H(y)=H(x)在计算上是不 可行的。称满足这一性质的杂凑函数为弱单向杂凑 函数。 ⑥ 找出任意两个不同的输入x、y，使得H(y)=H(x) 在计算上是不可行的。称满足这一性质的杂凑函数 为强单向杂凑函数。
第⑤和第⑥个条件给出了杂凑函数无碰撞性的概念， 如果杂凑函数对不同的输入可产生相同的输出，则 称该函数具有碰撞性。
杂凑函数的目的是为需认证的数据产生一个“指 纹”。为了能够实现对数据的认证，杂凑函数应满 足以下条件： ① 函数的输入可以是任意长。 ② 函数的输出是固定长。 ③ 已知x，求H(x)较为容易，可用硬件或软件实现。 ④ 已知h，求使得H(x)=h的x在计算上是不可行的， 即满足单向性，称H(x)为单向杂凑函数。

现代密码学杨波课后习题讲解

现代密码学杨波课后习题讲解

选择两个不同的大素数p和q， 计算n=p*q和φ(n)=(p-1)*(q-1)。 选择整数e，使得1<e<φ(n)且e 与φ(n)互质。计算d，使得 d*e≡1(mod φ(n))。公钥为 (n,e)，私钥为(n,d)。
将明文信息M（M<n）加密为 密文C，加密公式为 C=M^e(mod n)。
将密文C解密为明文信息M，解 密公式为M=C^d(mod n)。
课程特点
杨波教授的现代密码学课程系统介绍了密码学的基本原 理、核心算法和最新进展。课程注重理论与实践相结合， 通过大量的案例分析和编程实践，帮助学生深入理解和 掌握密码学的精髓。
课后习题的目的与意义
01 巩固课堂知识
课后习题是对课堂知识的有效补充和延伸，通过 解题可以帮助学生加深对课堂内容的理解和记忆。
不要重复使用密码
避免在多个账户或应用中使用相同的密码， 以减少被攻击的风险。
注意网络钓鱼和诈骗邮件
数字签名与认证技术习题讲
05
解
数字签名基本概念和原理
数字签名的定义
数字签名的应用场景
数字签名是一种用于验证数字文档或 电子交易真实性和完整性的加密技术。
电子商务、电子政务、电子合同、软 件分发等。
数字签名的基本原理
利用公钥密码学中的私钥对消息进行签 名，公钥用于验证签名的正确性。签名 过程具有不可抵赖性和不可伪造性。
Diffie-Hellman密钥交换协议分析
Diffie-Hellman密钥交换协议的原理
该协议利用数学上的离散对数问题，使得两个通信双方可以在不安全的通信通道上协商出一个共 享的密钥。
Diffie-Hellman密钥交换协议的安全性
该协议在理论上被证明是安全的，可以抵抗被动攻击和中间人攻击。

《现代密码学(第2版)杨波 01

《现代密码学(第2版)杨波 01

保密通信系统的组成
明文消息空间M,密文消息空间C,密钥空间 K1和K2,在单钥体制下K1=K2=K,此时密钥K需 经安全的密钥信道由发送方传给接收方; 加密变换Ek1:M→C,其中k1∈K1,由加密器 完成; 解密变换Dk2:C→M,其中k2∈K2,由解密器 实现. 称总体(M,C,K1,K2,EK1,DK2)为保密通信系统.对 于给定明文消息m∈M,密钥k1∈K1,加密变 换将明文m变换为密文c,即 c=f(m,k )=E (m)m∈M,k ∈K
20世纪90年代,因特网爆炸性的发展把人类 带进了一个新的生存空间.因特网具有高度 分布,边界模糊,层次欠清,动态演化,而 用户又在其中扮演主角的特点,如何处理好 这一复杂而又巨大的系统的安全,成为信息 安全的主要问题.由于因特网的全球性,开 放性,无缝连通性,共享性,动态性发展, 使得任何人都可以自由地接入,其中有善者, 也有恶者.恶者会采用各种攻击手段进行破 坏活动.
如何产生满足保密要求的密钥以及如何将密 钥安全可靠地分配给通信双方是这类体制设 计和实现的主要课题. 密钥产生,分配,存储,销毁等问题,统称 为密钥管理.这是影响系统安全的关键因素. 单钥体制可用于数据加密,也可用于消息的 认证. 单钥体制有两种加密方式:
– 明文消息按字符(如二元数字)逐位地加密,称 之为流密码; – 将明文消息分组(含有多个字符),逐组地进行 加密,称之为分组密码.
在信息传输和处理系统中,除了预定的接收 者外,还有非授权者,他们通过各种办法 (如搭线窃听,电磁窃听,声音窃听等)来 窃取机密信息,称其为截收者. 截收者虽然不知道系统所用的密钥,但通过 分析可能从截获的密文推断出原来的明文或 密钥,这一过程称为密码分析,ห้องสมุดไป่ตู้事这一工 作的人称为密码分析员,研究如何从密文推 演出明文,密钥或解密算法的学问称为密码 分析学.

现代密码学_清华大学_杨波着+习题答案

现代密码学_清华大学_杨波着+习题答案

一、古典密码（1,2,4）解：设解密变换为m=D(c)≡a*c+b (mod 26)由题目可知密文ed 解密后为if，即有：D(e)=i ：8≡4a+b (mod 26) D(d)=f ：5≡3a+b (mod 26) 由上述两式，可求得a=3，b=22。

因此，解密变换为m=D(c)≡3c+22 (mod 26)密文用数字表示为：c=[4 3 18 6 8 2 10 23 7 20 10 11 25 21 4 16 25 21 10 23 22 10 25 20 10 21 2 20 7] 则明文为m=3*c+22 (mod 26)=[8 5 24 14 20 2 0 13 17 4 0 3 19 7 8 18 19 7 0 13 10 0 19 4 0 7 2 4 17]= ifyoucanreadthisthankateahcer4. 设多表代换密码C i≡ AM i + B (mod 26) 中，A是2×2 矩阵，B是0 矩阵，又知明文“dont”被加密为“elni”，求矩阵A。

解：dont = (3,14,13,19) => elni = (4,11,13,8)二、流密码 （1,3,4）1. 3 级 线 性 反 馈 移 位 寄 存 器 在 c 3=1 时 可 有 4 种 线 性 反 馈 函 数 ， 设 其 初 始 状 态 为 (a 1,a 2,a 3)=(1,0,1)，求各线性反馈函数的输出序列及周期。

解：设反馈函数为 f(a 1,a 2,a 3) = a 1⊕c 2a 2⊕c 1a 3当 c1=0，c2=0 时，f(a 1,a 2,a 3) = a 1，输出序列为 101101…，周期为 3。

当 c1=0，c2=1 时，f(a 1,a 2,a 3) = a 1⊕a 2，输出序列如下 10111001011100…，周期为 7。

当 c1=1，c2=0 时，f(a 1,a 2,a 3) = a 1⊕a 3，输出序列为 10100111010011…，周期为 7。

现代密码学_清华大学_杨波著_部分习题答案[1]

现代密码学_清华大学_杨波著_部分习题答案[1]
密文 C= E11,23(M)≡11*M+23 (mod 26) =[24 22 15 10 23 24 7 21 10 23 14 13 15 19 9 2 7 24 1 23 11 15 10 19 1]
= YWPKXYHVKXONPTJCHYBXLPKTB ∵ 11*19 ≡ 1 mod 26 (说明：求模逆可采用第 4 章的“4.1.6 欧几里得算法”，或者直接穷举 1~25) ∴ 解密变换为 D(c)≡19*(c-23)≡19c+5 (mod 26) 对密文 C 进行解密：
密文用数字表示为：
c=[4 3 18 6 8 2 10 23 7 20 10 11 25 21 4 16 25 21 10 23 22 10 25 20 10 21 2 20 7] 则明文为 m=3*c+22 (mod 26)
=[8 5 24 14 20 2 0 13 17 4 0 3 19 7 8 18 19 7 0 13 10 0 19 4 0 7 2 4 17]
⇒
Ri'
=
L' i −1
⊕
F
(
R' i −1
,
Ki' )
( ) ( ) ⇔
Li−1 ⊕ F (Ri−1, Ki )
'=
Li−1
⊕
F
(
R' i −1
,
Ki'
)
'
根据(i)(ii) 根据(iii)
⇔
F (Ri−1, Ki )
=
F
(
R' i −1
,
Ki' )
⇔
P(S
( E ( Ri −1 )
⊕

杨波, 《现代密码学(第2版)》02

杨波, 《现代密码学(第2版)》02

• 初始状态由用户确定。 • 当第i个移位时钟脉冲到来时，每一级存储器ai都将 其内容向下一级ai-1传递，并计算f(a1,a2,…,an)作为 下一时刻的an。 • 反馈函数f(a1,a2,…,an)是n元布尔函数，即n个变元 a1,a2,…,an可以独立地取0和1这两个可能的值，函数 中的运算有逻辑与、逻辑或、逻辑补等运算，最后 的函数值也为0或1。
例2.3 图2.11是一个5级线性反馈移位寄存器，其 初始状态为（a1,a2,a3,a4,a5）=(1,0,0,1,1)，可求出输 出序列为： 1001101001000010101110110001111100110… 周期为31。
图2.11 一个5级线性反馈移位寄存器
n级线性反馈移位寄存器的状态周期小于等于2n-1。 输出序列的周期与状态周期相等，也小于等于2n-1。
又由p(x)A(x)=φ(x)可得p(x)q(x)A(x)=φ(x)q(x)。
所以(xp-1)A(x)=φ(x)q(x)。 由于q(x)的次数为 p-n，φ(x)的次数不超过n-1，
所以(xp-1)A(x)的次数不超过(p-n)+(n-1)=p-1。
将(xp-1)A(x)写成 xp A(x)- A(x),可看出对于任意正整 数i都有ai+p=ai。 设p=kr+t, 0≤t<r，则ai+p=ai+kr+t=ai+t=ai，所以t=0，即 r | p。（证毕）
分组密码与流密码的区别就在于有无记忆性。 流密码的滚动密钥z0=f(k,σ0)由函数f、密钥k和指定 的初态σ0完全确定。 由于输入加密器的明文可能影响加密器中内部记忆 元件的存储状态，σi(i>0)可能依赖于k，σ0，x0， x1，…，xi-1等参数。

杨波, 《现代密码学(第2版)》07


由加密算法产生数字签字又分为外部保密方式 加密算法产生数字签字又分为外部保密方式 产生数字签字又分为 内部保密方式,外部保密方式是指数字签字是直 和内部保密方式,外部保密方式是指数字签字是直 接对需要签字的消息生成而不是对已加密的消息生 否则称为内部保密方式. 成,否则称为内部保密方式. 外部保密方式便于解决争议,因为第3方在处 外部保密方式便于解决争议,因为第 方在处 理争议时,需得到明文消息及其签字. 理争议时,需得到明文消息及其签字.但如果采用 内部保密方式, 内部保密方式,第3方必须得到消息的解密密钥后 方必须得到消息的解密密钥后 才能得到明文消息.如果采用外部保密方式, 才能得到明文消息.如果采用外部保密方式,接收 方就可将明文消息及其数字签字存储下来以备以后 万一出现争议时使用. 万一出现争议时使用.
由此可见,数字签字具有认证功能. 由此可见,数字签字具有认证功能.为实现上 条性质, 要求: 述3条性质,数字签字应满足以下要求: 条性质 数字签字应满足以下要求 ① 签字的产生必须使用发方独有的一些信息以防 伪造和否认. 伪造和否认. 签字的产生应较为容易. ② 签字的产生应较为容易. 签字的识别和验证应较为容易. ③ 签字的识别和验证应较为容易. ④ 对已知的数字签字构造一新的消息或对已知的 消息构造一假冒的数字签字在计算上都是不可行的. 消息构造一假冒的数字签字在计算上都是不可行的.
因此, 因此,在收发双方未建立起完全的信任关系且存在 利害冲突的情况下,单纯的消息认证就显得不够. 利害冲突的情况下,单纯的消息认证就显得不够. 数字签字技术则可有效解决这一问题. 数字签字技术则可有效解决这一问题. 类似于手书签字,数字签字应具有以下性质: 类似于手书签字,数字签字应具有以下性质: 应具有以下性质 能够验证签字产生者的身份, ① 能够验证签字产生者的身份,以及产生签字的 日期和时间. 日期和时间. 能用于证实被签消息的内容. ② 能用于证实被签消息的内容. 数字签字可由第三方验证, ③ 数字签字可由第三方验证,从而能够解决通信 双方的争议. 双方的争议.

杨波, 《现代密码学(第2版)》04-2

• 如果密钥太短，公钥密码体制也易受到穷搜索攻击。 因此密钥必须足够长才能抗击穷搜索攻击。 • 由于公钥密码体制所使用的可逆函数的计算复杂性 与密钥长度常常不是呈线性关系，而是增大得更快。 所以密钥长度太大又会使得加解密运算太慢而不实 用。因此公钥密码体制目前主要用于密钥管理和数 字签字。 • 第2种攻击法：寻找从公开钥计算秘密钥的方法。 目前为止，对常用公钥算法还都未能够证明这种攻 击是不可行的。
⑥ 加、解密次序可换，即 EPKB[DSKB(m)]=DSKB[EPKB(m)]
其中最后一条虽然非常有用，但不是对所有的算法 都作要求。
单向函数是两个集合X、Y之间的一个映射，使 得Y中每一元素y都有惟一的一个原像x∈X，且由x 易于计算它的像y，由y计算它的原像x是不可行的。
这里所说的易于计算是指函数值能在其输入长 度的多项式时间内求出，即如果输入长n比特，则求 函数值的计算时间是na的某个倍数，其中a是一固定 的常数。这时称求函数值的算法属于多项式类P，否 则就是不可行的。 例如，函数的输入是n比特，如果求函数值所用 的时间是2n的某个倍数，则认为求函数值是不可行 的。
以上认证过程中，由于消息是由用户自己的秘密钥 加密的，所以消息不能被他人篡改，但却能被他人 窃听。这是因为任何人都能用用户的公开钥对消息 解密。为了同时提供认证功能和保密性，可使用双 重加、解密。如图4.3所示。
图4.3 公钥密码体制的认证、保密框图
发方首先用自己的秘密钥SKA对消息m加密，用于 提供数字签字。再用收方的公开钥PKB第2次加密， 表示为 c=EPKB[ESKA[m]] 解密过程为
由gcd(m, q)=1及Euler定理得mφ(q)≡1 mod q，所以 mkφ(q)≡1 mod q ［mkφ(q)］φ(p)≡1 mod q mkφ(n)≡1 mod q 因此存在一整数r，使得mkφ(n) = 1+rq，两边同乘以 m=tp得 mkφ(n)+1 = m + rtpq = m + rtn

现代密码学 课后答案 第二版

9.选择题
答案：DCCCC. 7B
10.填空题
1.公钥密码体制的思想是基于陷门单向函数，公钥用于该函数的正向（加密）计算，私钥用于该函数的反向（解密）计算。
2.1976年，W.Diffie和M.Hellman在密码学新方向一文中提出了公钥密码的思想，从而开创了线代密码学的新领域。
3.公钥密码体制的出现，解决了对称密码体制很难解决的一些问题，主要体现一下三个方面：密钥分发问题、密钥管理问题和数字签名问题。
4.公钥密码算法一般是建立在对一个特定的数学难题求解上，那么RSA算法是基于大整数因子分解困难性、ElGamal算法是基于有限域乘法群上离散对数的困难性。
5.Rabin公钥密码体制是1979你M.O.Rabin在论文《Digital Signature Public-Key as Factorization》中提出的一种新的公钥密码体制，它是基于合数模下求解平方根的困难性（等价于分解大整数）构造的一种公钥密码体制。
1.Hash函数就是把任意长度的输入，通过散列算法，变换成固定长度的输出，该输出称为散列值。
2.13、Hash函数的单向性是指对任意给它的散列值h找到满足H（x)＝h的x。
3.14、Hash函数的抗碰撞性是指。
4.与以往攻击者的目标不通，散列函数的攻击不是恢复原始的明文，而是寻找散列函数的过程，最常用的攻击方法是生日攻击，中途相遇攻击。
4.1949年，香农发表《保密系统的通信理论》，为密码系统建立了理论基础，从此密码学成为了一门学科。
5.密码学的发展大致经历了两个阶段：传统密码学和现代密码学。
6.1976年，W.Diffie和M.Hellman在《密码学的新方向》一文中提出了公开密钥密码的思想，从而开创了现代密码学的新领域。

现代密码学_清华大学_杨波着+习题答案

现代密码学_清华⼤学_杨波着+习题答案设 A = ' ∞ ，= =≤ ? ≤ ∞ ' ? ≤ ? ≤ ∞ ' ? 可求得 A = '⼀、古典密码（1,2,4）11,23AGENCY ”加密，并使⽤解密变换 D 11,23(c)≡11-1(c-23) (mod 26) 验证你的加密结果。

解：明⽂⽤数字表⽰：M=[19 7 4 13 0 19 8 14 13 0 11 18 4 2 20 17 8 19 24 0 6 4 13 2 24]密⽂ C= E 11,23(M)≡11*M+23 (mod 26)=[24 22 15 10 23 24 7 21 10 23 14 13 15 19 9 2 7 24 1 23 11 15 10 19 1] = YWPKXYHVKXONPTJCHYBXLPKTB∵ 11*19 ≡ 1 mod 26 (说明：求模逆可采⽤第4章的“4.1.6欧⼏⾥得算法”，或者直接穷举1~25)∴解密变换为 D(c)≡19*(c-23)≡19c+5 (mod 26)对密⽂ C 进⾏解密：M ’=D(C)≡19C+5 (mod 26)=[19 7 4 13 0 19 8 14 13 0 11 18 4 2 20 17 8 19 24 0 6 4 13 2 24] = THE NATIONAL SECURITY AGENCY2. 设由仿射变换对⼀个明⽂加密得到的密⽂为 edsgickxhuklzveqzvkxwkzukvcuh ，⼜已知明⽂的前两个字符是“if ”。

对该密⽂解密。

解：设解密变换为 m=D(c)≡a*c+b (mod 26)由题⽬可知密⽂ ed 解密后为 if ，即有：D(e)=i ： 8≡4a+b (mod 26) D(d)=f ： 5≡3a+b (mod 26)由上述两式，可求得 a=3，b=22。

因此，解密变换为 m=D(c)≡3c+22 (mod 26)密⽂⽤数字表⽰为：c=[4 3 18 6 8 2 10 23 7 20 10 11 25 21 4 16 25 21 10 23 22 10 25 20 10 21 2 20 7]则明⽂为 m=3*c+22 (mod 26)=[8 5 24 14 20 2 0 13 17 4 0 3 19 7 8 18 19 7 0 13 10 0 19 4 0 7 2 4 17] = ifyoucanreadthisthankateahcer4. 设多表代换密码 C i ≡ AM i + B (mod 26) 中，A 是 2×2 矩阵，B 是 0 矩阵，⼜知明⽂“dont ” 被加密为“elni ”，求矩阵 A 。

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习题
4. 设多表代换密码 Ci AM i B(mod 26) 中，A是 2×2 矩阵， B 是 0 矩阵，又知明文“dont”被加密为“elni”，求矩阵A。
a b 解：设矩阵 A ， c d
dont=(3,14,13,19) elni=(4,11,13,8)
4 a b 3 11 c d 14 (mod 26)
解：由已知可得相应的密钥流序列为 1010110110⊕0100010001 =1110100111，又因为是3级线性 反馈移位寄存器，可得以下方程：
a1 a4 a5 a6 c3c2c1 a2 a 3 a2 a3 a4 a3 a4 a5 1 1 1 1 1 0 010 c3c2c1 1 0 1
习题
1. 3 级 线 性 反 馈 移 位 寄 存 器 在 c3=1 时 可 有 4 种 线 性 反 馈 函 数 ， 设 其 初 始 状 态 为 (a1,a2,a3)=(1,0,1)，求各线性反馈函数的输出序列及周期。
解：设反馈函数为 f(a1,a2,a3) = a1⊕c2a2⊕c1a3 当 c1=0，c2=0 时，f(a1,a2,a3) = a1，输出序列为 101101…，周期为 3。 当 c1=0，c2=1 时，f(a1,a2,a3) = a1⊕a2，输出序列如 下 10111001011100…，周期为 7。 当 c1=1，c2=0 时，f(a1,a2,a3) = a1⊕a3，输出序列为 10100111010011…，周期为 7。 当 c1=1，c2=1 时，f(a1,a2,a3) = a1⊕a2⊕a3，输出序 列为 10101010…，周期为 2。
13 a b 13 8 c d 19 (mod 26)
10 13 解得： A 9 23
第二章 流密码
知识点
1 流密码：利用密钥k产生密钥流，明文与密钥流 顺次对应加密
2 线性反馈移位寄存器：产生密钥流
图2.1 GF(2)上的n级反馈移位寄存器
习题
第一章
习题
1. 设仿射变换的加密是 E11,23(m) ≡ 11m+23 (mod 26) ，对明文 “ THE NATIONAL SECURITY AGENCY ”加密 ， 并使用解 密变换 D11,23(c)≡11-1(c-23) (mod 26) 验证你的加密结果。 解：明文用数字表示： m=[19 7 4 13 0 19 8 14 13 0 11 18 4 2 20 17 8 19 24 0 6 4 13 2 24] 密文 C= E11,23(m)≡11*m+23 (mod 26) =[24 22 15 10 23 24 7 21 10 23 14 13 15 19 9 2 7 24 1 23 11 15 10 19 1] = YWPKXYHVKXONPTJCHYBXLPKTB
1
1 1 1 1 0 1 c3c2c1 010 101 1 1 0
由此可得密钥流的递推关系为：
ai3 c3ai c1ai2 ai ai2
第三章 分组密码体制
习题
2. 证明 DES 的解密变换是加密变换的逆。 明文分组、密钥 加密阶段：初始置换、16轮变换、逆初始置换
习题
习题
4. 在 8 比特 CFB 模式中，如果在密文字符中出现 1 比特的错误， 问该错误能传播多远。 CFB模式：每次只处理输入的j比特，将上一次的密文用作 加密算法的输入以产生伪随机输出，该输出再与当前明文 异或以产生当前密文。
习题
习题
5.在实现 IDEA 时，最困难的部分是模 216+1 乘法运算。以下关系 给出了实现模乘法的一种有效方法，其中 a 和 b 是两个 n 比特的 非 0 整数。
习题
解：将明文分组： 15
18 11 4 M1 , M 2 4 18 0 4
……
将明文分组带入加密变换：Ci AM i B(mod 26) 可得密文：NQXBBTWBDCJJ…… 解密时，先将密文分组，再将密文分组带入解密变换： Mi A1 (Ci B)(mod 26) 可证得明文
习题
∵ 11*19 ≡ 1 mod 26 (说明：求模逆元可采用第 4 章的“4.1.7 欧几里得算法” ，或者直接穷举 1~25)
对密文 C 进行解密： m’=D(C)≡ 19*(c-23) (mod 26) =[19 7 4 13 0 19 8 14 13 0 11 18 4 2 20 17 8 19 24 0 6 4 13 2 24] = THE NATIONAL SECURITY AGENCY
n n
注意：(ab mod 2n)相当于 ab 的 n 个有效最低位，(ab div 2n) 是 ab 右移 n 位。 IDEA：明文、分组、密钥、8轮迭代（不是传统的feistel）、 输出变换
习题
习题
习题
第四章 公钥密码
习题
1.证明以下关系： (1) (a mod n) (b mod n), 则a b mod n (2) a b mod n, 则b a mod n (3) a b mod n, b c mod n, 则a c mod n 解：（1）设 a mod n ra , b mod n rb ，由题意得 ra rb ，且存在 整数 j , k ，使得 a jn ra , b kn rb , 可得 a b ( j k )n, 即n | (a b), 证得 a b mod n
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2．设n级线性反馈移位寄存器的特征多项式为 p( x) ，初始状态 为 (a1 , a2 ,…，an ) (00…01) ，证明输出序列的周期等于 p( x) 的阶。 定义2.2 设p(x)是GF(2)上的多项式，使p(x)|(xp-1)的 最小p称为p(x)的周期或阶。 定理2.3 若序列{ai}的特征多项式p(x)定义在GF(2)上， p是p(x)的周期，则{ai}的周期r | p。
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4. 用推广的 Euclid 算法求 67 mod 119 的逆元。 Euclid算法（辗转相除法） 推广的Euclid（P97）
解：
671 mod119 16 因此，
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5. 求 gcd(4655, 12075) 。
解： 12075 = 2×4655 + 2765 4655 = 1×2765 + 1890 2765 = 1×1890 + 875 1890 = 2×875 + 140 875 = 6×140 + 35 140 = 4×35+0 所以 gcd(4655, 12075)=35。
每轮迭代的结构和Feistel结构一样：
Li Ri 1 Ri Li 1 f ( Ri 1 , K i )
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3. 在 DES 的 ECB 模式中，如果在密文分组中有一个错误，解密后 仅相应的明文分组受到影响。然而在 CBC 模式中，将有错误传播。 例如在图 3-11 中 C1 中的一个错误明显地将影响到 P1和 P2 的结 果。 (1) P2 后的分组是否受到影响? (2) 设加密前的明文分组 P1 中有 1 比特的错误，问这一错误将在 多少个密文分组中传播? 对接收者产生什么影响? ECB模式：每个明文组独立地以同一密钥加密 CBC模式：加密算法的输入是当前明文组与前一密文组的异或
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x 2 mod 3 6.求下列同余方程组 x 1mod 5 （中国剩余定理） x 1mod 7
f(a1,a2,a3, a4) (1,1,0,1) (1,0,பைடு நூலகம்,1) (0,1,1,1) 1 1 1
输出 1 1 0
…… 输出序列为 11011 11011 …， 周期为 5。
(1,1,1,1)
(1,1,1,0) (1,1,0,1) ….
0
1 1 ….
1
1 1 ….
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6.已知流密码的密文串1010110110和相应的明文串 0100010001，而且还已知密钥流是使用3级线性反馈移位寄 存器产生的，试破译该密码系统。
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2. 设由仿射变换对一个明文加密得到的密文为 edsgickxhuklzveqzvkxwkzukvcuh，又已知明文的前两个字 符是“if”。对该密文解密。 解： 设加密变换为 c=Ea,b(m)≡a*m+b (mod 26) 由题目可知 明文前两个字为 if，相应的密文为ed,即有： E(i)=e ： 4≡8a+b (mod 26) E(f)=d ： 3≡5a+b (mod 26) 由上述两式，可求得 a=9，b=10。
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3.设多表代换密码中
3 15 A 10 1
13 21 9 1 21 10 6 25 ,B 8 17 4 8 23 7 2 17
加密为：Ci AM i B(mod 26) 明文为：PLEASE SEND…… 解密变换： Mi A1 (Ci B)(mod 26)
（2）由 a b mod n ，则存在整数k使a=b+kn，则b=a+(-k)n
b a mod n
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2.证明以下关系： (1) (a mod n) (b mod n) mod n (a b)mod n (2) (a mod n) (b mod n) mod n (a b) mod n
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3. 用 Fermat 定理求 3201 mod 11 Fermat定理：若p是素数，a是正整数且gcd(a, p)=1，则 ap-1≡1 mod p。
解： p=11，a=3，gcd（3,11）=1
由 Fermat 定理，可知 310≡1 mod 11，则(310)k ≡1 mod 11 所以 3201 mod 11= [(310)20×3] mod 11 = [( (310)20 mod 11)×(3 mod 11)] mod 11 = 3。