课题函数的基本性质之函数的单调性.doc

函数的基本性质——单调性教案教学目标：1. 理解单调性的概念，掌握单调增函数和单调减函数的定义。

2. 学会判断函数的单调性，并能运用单调性解决实际问题。

3. 理解单调性在数学分析中的重要性，培养学生的逻辑思维能力。

教学内容：第一章：单调性的概念1.1 单调增函数1.2 单调减函数1.3 单调性的判断方法第二章：单调性的性质2.1 单调增函数的性质2.2 单调减函数的性质2.3 单调性与其他函数性质的关系第三章：单调性与最值3.1 单调性与函数最值的关系3.2 利用单调性求函数最值3.3 单调性在优化问题中的应用第四章：单调性与方程的解4.1 单调性与方程解的关系4.2 利用单调性求方程解4.3 单调性在实际问题中的应用第五章：单调性的应用5.1 利用单调性证明不等式5.2 单调性在实际问题中的应用案例分析5.3 单调性在数学竞赛中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入单调性的概念，引导学生思考为什么需要研究单调性。

2. 举例说明单调性在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。

二、新课讲解（20分钟）1. 讲解单调增函数和单调减函数的定义，引导学生理解单调性的本质。

2. 通过示例，讲解单调性的判断方法，让学生学会如何判断函数的单调性。

三、案例分析（15分钟）1. 分析单调性与函数最值的关系，引导学生学会利用单调性求函数最值。

2. 分析单调性与方程解的关系，让学生学会利用单调性求方程解。

四、课堂练习（10分钟）1. 针对本节课的内容，设计一些练习题，让学生巩固所学知识。

2. 引导学生思考单调性在实际问题中的应用，培养学生的应用能力。

2. 鼓励学生思考单调性在其他领域的应用，激发学生的创新意识。

教学评价：1. 通过课堂讲解、案例分析和课堂练习，评价学生对单调性的理解和掌握程度。

2. 关注学生在实际问题中运用单调性的能力，评价学生的应用水平。

3. 鼓励学生反思单调性在其他领域的应用，评价学生的创新意识。

函数的基本性质之单调性1.增函数：y随x的增大而增大的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）>f（x2）2.减函数：y随x的增大而减小的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）<f（x2）3.单调性：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为单调区间考点一：用定义证明函数的单调性方法：取值变形例：证明：函数y=x+在（0，上是减函数练：在上例中，若定义域换为（3，），那么函数的单调性如何？且画出在（0，）上的大致图像。

考点二：求单调区间方法：化简函数解析式画出函数图像确定单调区间例：指出函数y=-++3的单调区间练：指出函数y=-+3x+3的单调区间考点三：利用单调性确定参数指导思想：若y=f(x)在区间（a，b）上递增（减）就等价于（a，b）是增区间（减区间）的一个子集例：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2在区间（-，上是减函数，求实数a的取值范围练：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2的单调递减区间是（-，，求实数a的取值范围4.函数的最大值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最大值5.函数的最小值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最小值考点四：利用图像求函数最值例：已知函数f（x）=3-12x+5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值，最小值：（1）x R;(2)x；（3）x考点五：利用单调性求函数最值方法：定义法证明函数单调性求最值例：求函数f（x）=x+在x上的最大值及最小值。

练：求函数f（x）=x+在x上的最值。

函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。

教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。

(3) 举例说明函数单调性的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。

(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。

教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。

(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。

1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。

教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。

(3) 举例说明函数单调性性质的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。

(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。

教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。

(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。

第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。

教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。

(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。

(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。

教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。

3.2 函数的基本性质3.2.1 函数的单调性【知识梳理】1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1，x2，（1）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；（2）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数．2．单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．3．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么（1） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． （2） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 4．函数单调性的判断（1）定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．（2）复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． （3）图象法：利用图象研究函数的单调性． 5．函数的最值（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【考点分类精讲】考点1：函数单调性的判断与证明【考题1】求证：函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。

【举一反三】求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数．【考题2】求证：函数1)(2++=x x x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增函数．【举一反三】求证：函数x x x f -+=1)(2在其定义域上是减函数．【考题3】判断函数xax x f +=)((0>a )的单调性，并作出当1=a 时函数的图像．【考题4】判断函数1)(2-=x x f 在定义域上的单调性．【举一反三】（选做）已知228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间．考点2 函数的单调区间【考题5】写出下列函数的单调区间． （1）2()|23|f x x x =--（2）3||2)(2--=x x x f（3）223)(-+=x x x f（4）4444)(22++++-=x x x x x f【举一反三】求函数22311)(xx x f ---=的单调递减区间．考点3 函数的最值【考题6】设ax x x f -+=1)(2，其中1≥a ，求函数)(x f 在[a ，）∞+上的最值．【举一反三】 1．求函数1)(-=x xx f 在区间2[，]5上的最大值与最下值．2．设max {a ，b }表示两个数a 与b 的最大值，则max {|1|+x ，|2|-x }的最小值．3．已知函数f (x )=xax x ++22，[)1,x ∈+∞，（1）当12a =时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【考题7】求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的最大值与最小值．【举一反三】1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．3．已知函数3)1(2)(2--+=x a ax x f )0(≠a 在区间23[-，]2上的最大值是1，求实数a 的值．考点4 函数单调性的应用【考题7】函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3【举一反三】1．已知函数)0()(2>+=a xax x f 在),2(+∞上递增，则实数a 的取值范围是 ． 2．若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=）（）0,)2(0(,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上是增函数，则实数b 的取值范围是 ．3．若函数n mx x x f ++=2)(，对任意x 都有)2()2(x f x f +=-成立，试比较)1(-f ，)2(f ，)4(f 的大小关系．【考题8】定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0x >时，1)(>x f ，且对任意的,a b R ∈，有()()()f a b f a f b +=.（1）求证：(0)1f =；（2）求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()2()21f x f x x ->，求x 的取值范围．【举一反三】1．已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：)(x f 在R 上是减函数； （2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．1．设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两个实根1x 和2x 满足1021<<<x x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）试比较)0()1()0(f f f -与161的大小关系，并说明理由．3．设a ，b ，c 都是大于0的实数，且c b a >+，求证：ccb b a a +>+++111．【题型优化测训】一、选择题1．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥2．函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（ ）A ．25)1(≥fB ．25)1(=fC ．25)1(≤fD ．25)1(>f3．若()ax x x f 22+-=与()1+=x ax g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-⋃B ．()1,0C ．(]1,0D ．()(]1,00,1-⋃4．设()22f x x =-,若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围 （ ） A ．()0,2B ．(]0,2C ．(]0,4D ．()0,45．已知函数()x f 是R 上的增函数，()1,0-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，那么不等式()11<+x f 的解集的补集是 （ ）A ．(][),14,-∞⋃+∞B ．()1,2-C ．()1,4D ．(][),12,-∞-⋃+∞6．定义在R 上的函数()y f x =在(),2-∞上是增函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x = 则（ ） A ．()()13f f -<B ．()()03f f >C ．()()13f f -=-D ．()()23f f <7．用min {a ，b ，c }表示三个数a ，b ，c 中的最小值，设=)(x f min {x 2，x -10，2+x }，则)(x f 的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．已知()x f 在区间R 内是减函数，又0,,≤+∈∈b a R b R a ，则有（ ） A ．()()()()b f a f b f a f --≤+ B ．()()()()b f a f b f a f -+-≤+ C ．()()()()b f a f b f a f --≥+ D ．()()()()b f a f b f a f -+-≥+二、填空题9．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是____________．10．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，比较f (a 2－a ＋1) )43(f (填“>” 或“<”或“≥” 或“≤”)． 11．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝ ．12．设函数()f x x =-在[]3,0x ∈-上的最大值a ，最小值为b ，则a b +=________．13．设()f x 是R 上的增函数，且)()(2x a f x x f ->+对∀R x ∈都成立，则a 的取值范围是 ． 三、解答题14．已知()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，且2(1)(1)f x f x -<-，求x 的取值范围．15．已知函数()f x 对任意,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >， 求证：()f x 是R 上的增函数．16．对R x ∈∀，)(x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 的最大者，写出)(x f 的解析式并求其最小值．17．已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅． （1）求)1(f 的值；（3）解不等式0)]21([<-x x f ．18．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=，且当1>x 时，0)(<x f . （1）求)1(f 的值； （2）判断)(x f 的单调性；（3）若1)3(-=f ，求)(x f 在[2，9]上的最小值； （4）若1)3(-=f ，解不等式2|)(|-<x f。

函数的基本性质——单调性教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）能够运用单调性解决实际问题，如求函数的最值等。

2. 过程与方法：（1）通过观察实例，引导学生发现函数单调性的规律；（2）利用数形结合，让学生理解函数单调性的几何意义。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的概念及其判断方法；（2）单调性在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）理解函数单调性的几何意义；（2）如何运用单调性解决实际问题。

三、教学过程1. 导入：通过实例引入函数单调性的概念，激发学生的兴趣。

2. 新课讲解：（1）介绍函数单调性的定义及判断方法；（2）利用数形结合，讲解函数单调性的几何意义。

3. 案例分析：分析具体案例，让学生学会运用单调性解决实际问题。

4. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检验对单调性的掌握程度。

5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调单调性在数学中的重要性。

四、课后作业1. 完成练习册的相关题目；2. 选取一个实际问题，运用单调性进行解决。

五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对函数单调性的理解和运用能力。

关注学生在学习过程中的情感态度，激发学生对数学的兴趣。

六、教学活动设计1. 互动环节：学生分组讨论，举例判断给定函数的单调性；2. 探究活动：学生自主研究，分析函数单调性在实际问题中的应用；3. 小组合作：学生分组完成课后作业，相互检查，共同提高。

七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习状态；2. 练习完成情况：检查学生课后作业的完成质量，评价学生对单调性的掌握程度；3. 实际问题解决：评估学生在探究活动中的成果，检验学生运用单调性解决问题的能力。

课题3.4 函数的基本性质（2）——函数单调性学 科：高中数学课程类型：基础型课式类型：新授课执教老师：田红兵授课班级：高一（2）班一、教学目标1.理解单调函数（增函数、减函数）、单调区间（增区间、减区间）的概念和图像特征，能根据函数的图象判断单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性概念证明简单函数的单调性。

2.经历函数单调性概念抽象提炼的过程，体会数形结合的思想， 培养抽象概括、推理论证和语言表达的能力。

3.通过函数单调性概念的抽象过程，感受数学的严谨性，培养严谨的科学态度，养成良好的思维习惯。

二、教学重点及难点重点：函数单调性的概念难点：领悟函数单调性的本质, 掌握函数单调性的判断和证明三、教学用具准备：多媒体课件四、教学过程设计 策略与方法（一）情景引入1． 观察关于上海市园林绿地面积的图形，（见ppt ）问题：从1990年到2000年上海市园林绿地面积变化 由生活情境引入新课，趋势如何？ 激发兴趣，了解新概念预案：随年份的增加而增加。

在生活的原型，认识研问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 究单调性的必要性。

预案：长江水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的增加，函数值是增大还是减小，对于自变量增大时，函数值是增大还是减小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们继续研究这个问题。

(二).归纳探索，形成概念1.借助图象，直观感知问题1：观察函数x y 3=，22+-=x y ，x x y 22+-=，x y 1=的图象，自变量增大时，函数值有什么变化规律？ 策略与方法预案:(1)函数x y 3=在整个定义域内 y 随x 的增大而增大； 从初中学过的四类(2)函数22+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． 函数入手，通过观察图(3)函数x x y 22+-=在[)+∞,1上 y 随x 的增大而减小， 像直观感知函数单调性。

《函数的基本性质——单调性与最值》教学设计一、内容和内容解析函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。

一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。

另一方面，函数的单调性与最大（小）值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大（小）值在解决实际问题中有着相当重要的作用。

因此，两数单调性与最大（小）值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。

函数的单调性最大（小）值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大（小）值，也要求学生利用函数单调性和最大（小）值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大（小）值。

因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大（小）值的概念及其几何意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大（小）值，利用单调性和最大（小）值来解决实际问题，培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数学意识。

二、目标和目标解析1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单调性的直观认识。

再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随口变量的增大（减小）的规律，由此得出函数单调性的定义。

理解函数单调性的定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。

2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。

理解函数最值的定义，掌握求最值的基本方法和基本步骤，能解决相关实际问题。

3、利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大（小）值，解决H常生活中的实际问题，增进对数学应用价值的认识，激发学习数学兴趣与热情。

4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。

（一）函数单调性的定义1. 增函数与减函数一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，增函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是增函数。

减函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）>f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是减函数。

说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：xy 1=不能说 )0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＜f （x 2）或 f （x 1）＞f （x 2）。

2. 函数的单调性的定义如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。

例1 观察下列函数的其图象，指出其单调性． （1）1y x x=+；（2）11y x=-；例2 指出下列常见函数的单调性： （1）y c =（c 为常数）；【析】y 不随x 的增大而改变，无单调性． （2）y ax b =+（0a ≠）；【析】0a >，函数在R 上递增；0a <，函数在R 上递减． （3）2y ax bx c =++（0a ≠）； 【析】0a >，函数在(,)2b a-∞-上递减，在(,)2ba -+∞上递增；0a <，函数在(,)2b a-∞-上递增，在(,)2ba -+∞上递减．（4）ky x=（0k ≠）； 0k >，函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递减； 0k <，函数在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递增．（5）y x =；函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增． （6）y x =． 函数在(0,)+∞上递增．3. 判断函数单调性的方法和步骤（1）利用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2； ②作差f （x 1）－f （x 2）；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）；⑤下结论（即指出函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性）。