1-1有理数的意义数轴绝对值 - 教师

1.2.4绝对值（第1课时）一、教学内容解析本节课的教学内容是绝对值.绝对值是笫一章有理数的一个重要内容，首先它可以促进学生对数轴、相反数概念的理解，其次它将冇理数的运算归结到了非负数的运算，我们以有理数的加法的知识框图为例，可以发现，如果没有绝对值的概念，则有理数的加法是很难进行运算的.最后绝对值还是有理数比较大小的借助数轴，给出了绝对值的定义，是数形相依的意识的具体体现；由绝对值的定义，归纳出了绝对值的性质，运用了分类讨论的思想；同时，通过观察具体数的绝对值，归纳岀了求任意一个数的绝对值的方法，渗透了从特殊到一般的学习方法；这些对今后的学习其它知识有很大的帮助.在教科书中，绝对■值的概念是借助距离概念加以定义，在数轴上，一个点由方向和距离（长度）确定；相应地，一个实数由符号与绝对值确定•这里，“方向” 与“符号”对应，“距离”与“绝对值”对应，又一次体现了数与形的结合、转化.所以，绝对值可以理解为距离这一几何量的代数表示.因此，在学习绝对值的概念吋，注意从实际问题引入，通过所创设的情境，引入了绝对值的概念•在学习了绝对值的定义后，概括出了绝对值的性质，而其性质将会是以后学生求一个数的绝对值时的首选方法.因此，可以确定本节课的教学重点为：绝对值的定义和性质.学生学情分析北京汇文屮学是北京市示范性屮学，同吋承担了北京市东城区教委创立的小学六年级“少年科学班”的教育教学工作，我所授课班级就是该“少年科学班”, 该班学生数学基础较好，学生个性活泼，思维活跃，积极性高，学习完正数与负数、数轴、相反数的内容后，通过随堂测试，发现该班大部分学生的成绩接近我校初一年级的平均分.但是，学生的抽象概括能力仍相对薄弱，思维过程不够完善，对符号P、"I及其意义的理解存在一定困难.从实际问题引入，抽象出绝对值的概念，有益于学生借助自身的生活经验感知概念.因此，木课的教学教学难点是：抽象出绝对值概念的过程.三、教学目标设置(1)知识技能：了解绝对值的表示方法，理解绝对值的概念，会求有理数的绝对值.(2)数学思考：经历绝对值概念的抽象与形成的过程，和归纳绝对值的性质过程，体会数形相依和分类讨论的观点.(3)问题解决：经丿力将实际问题抽象为数学问题的过程，从几何、代数两个角度得到求一个数的绝对值的方法.(4)情感态度：通过归纳绝对值的性质的过程，获得数学活动的经验.同时，通过实际情境，受到爱国主义教育.四、教学策略分析(1)在学习课标、研读教材的基础上，把绝对値这部分的内容划分为两课吋，第一课吋即木课吋得到绝对值的定义和性质，第二课吋得到有理数比较大小的方法并综合运用绝对值的定义和性质解决问题.(2)本节课采取教师启发引导与学生探究相结合的方式，使学生亲身休验得到绝对值的定义和性质过程.(3)促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习.(4)根据“以学定教”的原则，及时调整教学方案.五、教学过程1 •创设情境，引入概念情境1通过抗战胜利阅兵视频引出问题.2015年9 JJ 3 H,在北京举行的纪念抗H战争腔利70周年的阅兵活动屮，一个受阅方阵自东向西经过长安街，则该方阵在行进时共冇几次和北京城屮轴线与长安街的交汇处的距离为20米？师生活动：学生先一起回答问题后，教师再建系，引导学生通过数轴解释问题. 请其他学生修止或补充•教师点评.设计意图：通过实际情境，让学生感知距离是只考虑长度，不考虑方向的•同时, 通过建系，让学生体会在数轴上求出表示一个数的点与原点的距离.为Z后学生自己建系、自己举例做好铺垫•同时，在教学中，渗透爱国主义教育.情境2哈利法塔在75层和100层各有一间避难所•如果发生火灾时，一位游客恰好在85层•如果仅从距离的角度考虑，他会选择哪一层的避难所呢？师生活动：学生先一起冋答问题后，教师再建系，引导学生通过数轴解释问题. 请其他学生修止或补充•教师点评.设计意图：通过实际情境，让学生感知在考虑这个问题时，只考虑距离，不考虑方向•同时，再次通过建系，让学生体会在数轴上求出表示一个数的点与原点的距离•为之后学生口己建系、口己举例做好铺垫.情境3小明家正东3千米处有家超市A,正东2 T米处有家超市C ,正西2千米处有家超市B.如呆仅从距离的角度考虑，他会选择哪家超市？小明家正东3千米处有家超市正东2千米处有家超市C,正西2千米处有家超市〃•如果仅从距离的角度考虑，他会选择哪家超市？B OC A匹鰹I号一师生活动：学生先一起回答问题后，再由学生建立数轴解释问题•请其他学生修正或补充•教师点评.设计意图：通过实际情境，再次让学生感知在考虑距离的不用考虑方向的特征，同时•同时，通过自己建系，培养学生的建模能力，并再次体会在数轴上求出表示一个数的点与原点的距离•为之后自己举例、学习绝对值的概念做好铺垫. 提出问题：你能举出类似的例子吗？师生活动：学生自己举例子，自己建系，请其他学生修正或补充.教师点评.设计意图：让学生体会出在实际生活屮，只考虑距离，不考虑方向的事例是大量存在的.已引入绝对值的概念.§1.2.4绝对值一. 定义：一般地，数轴上表示数d的点与原点的距离叫做数d的绝对值•记作|Q|.Ml---- •• ---- o a—>举例：B O■C-34-1 0 123|-2|2.辨识概念，深化认识通过借助绝对值的定义，求出具体数的绝对值.例1・在数轴上画出表示下列各数的点，并求岀下列各数的绝对值.1 33,-2, 2, 1-, -2.5, 0.3 4师生活动：学生现在数轴上画出毎个数对应的点，再依次求出毎个数的绝对值, 并说明理由•教师点评.设计意图：引导学生借助数轴，求出一个数的绝对值，并口述理由，加深学生对绝对值概念的理解•在设计题目时，设计了三个止数，三个负数和零共三种情况, 方便学生之后概括性质.思考观察这七个数的绝对值，你能从中发现什么规律？活动1：请同学们先思考，再相互讨论.设计意图：引导学生通过观察例1屮七个数的绝对值，发现并概括出绝对值的性质•培养学生的观察和概括能力.得岀的结论：(1) 一个正数的绝对值是它本身;(2) 一个负数的绝对值是它的相反数；(3) 0的绝对值是0.师生活动：引导学生利用绝对值的性质，重新计算例1中七个数的绝对值，并说 明理由•教师点评.活动：请学生以一问一答的形式，计算一个数的绝对值，并说明理曲•教师点评. 设计意图：加深学生对绝对值概念的理解的绝对值，并为之后借助符号语言概括 绝对■值的性质提供素材.思考 2： \a\=?活动2：请同学们先思考，再相互讨论.二性质：⑴如果a>09那么|4二a ；(2) 如果 a=O 9 那么|a|= 0；(3) 如果 a<0,那么|a|= -a,小结：回顾所学的绝对值的知识，同时回顾得到绝对值概念的过程.设计意图：回顾所学知识，帮助学生解决Z 后的练习，同时，回顾得到绝对值概 念的过程，让学生体会数形相依、分类讨论的思想方法，以及从特殊到i 般的学 习方法.练习1 •判断下列说法是否正确.(1) 符号相反的数互为相反数；(2) —个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；(3) —个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远;⑷当a#0时，|a|总是大于0练习2•判断下列各式是否正确：(3)-5=|-5|.练习3•如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负 数，从轻重的角度看，哪个球最接近标准？卜5 师生活动：学生回答问题，并说明理由•教师点评设计意图：引导学生解决不同类型的题目，加深学生对绝对值3•理解应用，巩 概念3.5 +0.7 -2.5 -0.6概念的理解.4•归纳总结，布置作业小结：通过今天这节课，你有哪些收获和感受? 师生活动：学生谈收获和感想，教师点评.作业：教材习题1.2：5, 10, 12.思考题：若|a|=-a,求d的取值范围.设计意图：根据学生的情况，留不同难度的作业，设置一道思考题，让学有余力的同学完成，可以加深学牛对绝对值概念的理解，并提高学牛的学习兴趣.。

第03讲数轴要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：(1)原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.(2)长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．(3)原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如π.要点诠释：(1)一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.题型一、数轴概念例1.画一条______，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作_______，选取某一长度作为______，规定直线上向右的方向为_______，就得到_______．【答案】【答案】水平直线原点单位长度正方向数轴例2.数轴的三要素是_____________、正方向和单位长度；【答案】【答案】原点.【分析】直接利用数轴的概念得出即可.【详解】解：数轴的三要素是：原点、正方向和单位长度.故答案为：原点.例3.在数轴上，原点表示的数是( )A.1B.0C.-1D.不能确定【答案】【答案】B【分析】根据数轴的意义，实数与数轴上的点是一一对应的，故所有的有理数均能可以数轴上的点表示，根据实数与数轴的关系，原点表示0.【详解】数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，原点用表示数字0．故选：B．例4.数轴上的单位长度()A.只能取0.5cm作为一个单位长度B.只能取1cm作为一个单位长度C.可以取0.5cm作为一个单位长度，也可以根据需要任意选取D.同一数轴上的单位长度可以不相同【答案】【答案】C例5.下列数轴的画法正确的是()A. B.C. D.【答案】【答案】C【分析】依据数轴的三要素进行分析即可．【详解】解：A、单位长度不统一，且没有正方向，故A错误；B、正方向不对，故B错误；C、符合数轴的三要素，故C正确；D、没有原点和单位长度，故D错误．故选：C．本题主要考查的是数轴的三要素，掌握数轴的三要素是解题的关键．例6.下列数轴表示正确的是()A. B.C. D.【答案】【答案】D【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向和单位长度逐一判断即可．【详解】 A.没有表示出正方向，故该选项错误；B.数轴从左到右依次是-3，-2，-1，故该选项错误；C.单位长度不统一，故该选项错误；D.符合数轴的三要素，故该选项正确；故选：D．题型二、数轴上的点表示有理数例7.(1)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数____．(2)正数大于零，负数________零，正数________负数．【答案】【答案】大小于大于例8.原点是____，从符号看，原点右边的数都是____的，原点左边的数都是____的．【答案】【答案】0正负例9.数a和b在数轴上表示的点如图所示，那么以下关于a,b的式子正确的是()A.a>-1B.a>bC.a<-2D.b>2【答案】【答案】C【分析】根据数a和b在数轴上的位置可判断各式．【详解】解：由图可知：-3<a<-2<0<1<b<2，所以a>-1，b>2，a>b不成立，故选C．例10.在数轴上位于-3和3之间(不包括-3和3)的整数点有()A.7个B.5个C.4个D.无数个【答案】【答案】B【分析】先列举出-3和3之间(不包括-3和3)的整数，然后再统计即可．【详解】解：-3和3之间(不包括-3和3)的整数有：-2，-1,0,1,2，共5个．故选B．例11.画出数轴，在数轴上标出下列各数的点，并将这些数按从小到大的顺序用“<”号连接起来．5，-3.5，2，-1，【答案】【答案】图见解析，-3.5<-1<2<5【分析】先画出数轴并在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“<”号将这些数连接起来．【详解】解：画出数轴并表示出各数如图所示，根据数轴的特点从左到右用“<”号将这些数连接起来，-3.5<-1<2<5例12.如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数．【答案】【答案】点A，B，C，D，E表示的数分别是0，-2，1，2.5，-3例13.学校运动场、饭堂和教室位于同一直线上，教室位于饭堂右边，相距500米，运动场位于饭堂左边，相距800米，如图，在直线上用点O表示饭堂，试仿照图在下面直线上标出表示教室、运动场的点：①直线上任取一点O表示原点；②一般规定向右为正方向(画向右的箭头表示)；③规定1个单位长度表示100米的长，于是，在点O的右边，与O距离5个单位长度的点A表示_________的位置：点O的左边，与O距离8个单位长度的点B表示_______的位置．【答案】【答案】教室运动场例14.小强早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小兵家，继续向东跑了1.5km到达小颖家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东跑回到自己家．(1)以小强家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小兵家，用点B表示出小颖家，用点C表示出学校的位置；(2)求小兵家与学校之间的距离；(3)如果小强跑步的速度是250m/min，那么小强跑步一共用了多长时间？【答案】【答案】(1)见解析；(2)3km；(3)36min【分析】(1)根据题意画出即可；(2)计算2-(-1)即可求出答案；(3)求出每个数的绝对值，相加可求小明一共跑了的路程，再根据时间=路程÷速度即可求出答案．【详解】解：(1)根据题意得：小兵家的位置对应的数为2，小颖家的位置对应的数为3.5，学校的位置对应的数为-1，如图所示：(2)2--1=3km．答：小兵家与学校之间的距离是3km．(3)2+1.5+-4.5+1=9km．，9km=9000m，9000÷250=36min答：小强跑步一共用了36min．题型三、数轴上的动点问题例15.在数轴上，点A表示-3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数()A.1B.-8C.1或-8D.1或-7【答案】【答案】D【分析】分两种情况：沿数轴向正方向和负方向移动进行讨论即可解答．【详解】解：若沿数轴向正方向移动4个单位长度，则点B表示的数为-3+4=1，若沿数轴向负方向移动4个单位长度，则点B表示的数为-3-4=-7，所以则点B表示的数为1或-7，故选：D．例16.数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，若点B表示的数为1，则点A表示的数是___．【答案】【答案】3【详解】【分析】首先画出数轴，然后再根据题意可得点B向右平移2个单位长度就是A，进而可得答案．点A表示的数：1+2=3，故答案为：3.例17.在数轴上点A表示有理数-2，那么将点A向右移动3个单位得到的数是____，那么将点A向左移动a 个单位得到的数是____．【答案】【答案】1-2-a．【分析】利用数轴上点的移动左减右加即可得出结论．【详解】解：A表示有理数-2，那么将点A向右移动3个单位得到的数是-2+3=1；将点A向左移动a个单位得到的数是-2-a．故答案为：1，-2-a．例18.数轴上，点M表示-2，现从M点开始先向右移动3个单位到达P点，再从P点向左移动5个单位到达Q 点.(1)点P、Q各表示什么数？(2)到达Q点后，再向哪个方向移动几个单位，才能回到原点？【答案】【答案】(1)P:1,Q:4;(2)向右移动4个单位，才能回到原点【分析】(1)利用数轴上点的移动规律：左减右加得出P，Q各表示什么数；(2)根据得出Q点表示的数与原点的位置，回答问题即可.【详解】解：(1)点M表示-2，P点表示-2+3=1，Q点表示1-5=-4；(2)-4在原点的左边，距离原点4个单位，所以向右移动4个单位，才能回到原点.1.规定了______、______和_______的______叫数轴．【答案】【答案】原点正方向单位长度直线2.如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是()A. B.C. D.【答案】【答案】D【分析】由数轴有三要素：原点，正方向，单位长度，及单位长度的一致性，原点往右为正数，原点往左为负数，逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：数轴有三要素：原点，正方向，单位长度，A选项的数轴没有原点，故A不符合题意；B选项的数轴的单位长度不一致，故B不符合题意；C选项的数轴原点左边的数标注的不对，故C不符合题意；D选项的数轴符合要求，故D符合题意；故选：D.3.有理数m、n在数轴上的位置如图所示，下列判断正确的是( )A.m<0B.m>1C.n>-1D.n<-1【答案】【答案】D【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案．【详解】解：A、数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得m>0，故A错误；B、-1的相反数1在m的右边，由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，m<1，故B错误；C、数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，n<-1，故C错误；D、数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，n<-1，故D正确；故选：D．4.把数轴上表示数2的点移动5个单位后，表示的数为()A.7B.3C.7或3D.7或-3【答案】【答案】D 【分析】在数轴上找出表示2的点，向左或向右移动5个单位即可得到结果．【详解】解：把数轴上表示数2的点移动5个单位后，表示的数为7或-3．故选：D ．5.正数在原点______边，负数在原点______边．【答案】【答案】右左6.写出数轴上点A ,B ,C ,D ,E 所表示的数：解：点A 表示______；点B 表示______；点C 表示______；点D 表示______；点E 表示_____．这五个点中，表示正数的点有____个．【答案】【答案】0-21 2.5-327.在数轴上，将表示2的点A 沿数轴向右移动4个单位长度得到的数是______．【答案】【答案】6【分析】根据数轴的特点进行解答即可．【详解】解：将表示2的点向右移动4个单位后，对应点表示的数为2+4=6．故答案为：6．8.利用数轴比较-312，2，0，-1，12，-4的大小，并用“<”把它们连结起来．【答案】【答案】数轴见解析，-4<-312<-1<0<12<2【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，数轴上的点比较大小的方法是左边的数总是小于右边的数，即可得出答案．【详解】解：如图所示：-4<-312<-1<0<12<2．9.如图，数轴上点A 表示的数为-5，点B 表示的数为7．动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒．(1)①A 、B 两点之间的距离为 ，线段AB 的中点表示的数为 ．②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为 ，点Q 表示的数为 ．(2)当t =4时，描述P 、Q 两点的位置关系．【答案】【答案】(1)①12，1；②(2t -5)，(-t +7)；(2)当t =4时，P ，Q 两点重合．【分析】(1)①根据两点间的距离公式求出A 、B 两点之间的距离，根据中点坐标公式可求线段AB 的中点表示的数；②根据点P ，Q 的出发点、运动方向及运动速度，可用含t 的代数式表示出点P ，Q 表示的数；(2)将t =4分别代入(2t -5)和(-t +7)中，比较后即可得出结论．【详解】解：(1)①AB =|-5-7|=12，所以线段AB 的中点表示的数为-5+7 ÷2=1．故答案为：12；1；②因为动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，所以t 秒后，点P 表示的数为(2t -5)，点Q 表示的数为(-t +7)．故答案为：(2t -5)；(-t +7)；(2)当t =4时，2t -5=3，-t +7=3．因为3=3，所以当t =4时，P ，Q 两点重合．。

第一章有理数全章教案有理数教学目标〔知识与技能〕1、了解正数、负数的实际意义，会判断一个数是正数还是负数。

2、掌握数轴的画法，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数。

3、理解相反数、绝对值的几何意义和代数意义，会求一个数的相反数和绝对值.4、会利用数轴和绝对值比较有理数的大小。

5、理解乘方的意义，会进行乘方的计算。

掌握有理数加减、乘除、乘方的混合运算。

6、通过实例进一步感受大数，并能用科学记数法表示；了解近似数和有效数字的概念。

〔过程与方法〕1、经历探索有理数运算法则和运算律的过程，体会类比、转化、数形结合等思想方法.2、培养学生应用数学知识的意识，提高学生运用知识解决实际问题的能力。

〔情感、态度与价值观〕1、通过教学活动，激励学生学习数学的兴趣；使学生感受数学知识与现实世界的联系。

2、给学生渗透辩证唯物主义思想。

重点难点有理数的运算是重点；准确理解负数、绝对值的意义和运算符号的确定是难点。

课时分配1.1正数和负数2课时1.2有理数5课时1.3有理数的加减法3课时1.4有理数的乘除法5课时1.5有理数的乘方4课时本章小结2课时人教版数学第一章有理数全章教案1．1．1 正数和负数的概念〔教学目标〕1、了解负数产生是生活、生产的需要；2、掌握正、负数的概念和表示方法，理解数0表示的量的意义；3、理解具有相反意义的量的含义。

〔重点难点〕正确理解正、负数的概念，数0表示的量的意义和具有相反意义的量是重点；正确理解负数、数0表示的量的意义是难点。

〔教学过程〕一、负数的引入我们知道，数产生于人们实际生产和生活的需要。

[投影1～3：图1.1-1]人们由记数、排序，产生了数1，2，3 ；为了表示“没有”、“空位”引进了数0，测量和分配有时不能得到整数的结果，为此产生了分数和小数。

在生活、生产、科研中经常遇到数的表示与数的运算的问题。

[投影4]（1）北京冬季里某天的温度为－3～3℃，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？（2）有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队（4U1），黄队胜蓝队（1U0），蓝队胜红队（1U0），三个队的净胜球分别是2，－2，0，如何确定排名顺序？（3）2022年我国产量比上年增长1.8％，油菜籽产量比上年增长－2.7％，这里的增长－2.7％代表什么意思？上面三个问题中，哪些数的形式与以前学习的数有区别？数－3、－2、－2.7％与以前学习的数有区别。

有理数及其相关概念一、有理数的定义和性质（一）有理数的定义1、整数和分数统称为有理数。

有理数的分类：2、能够表示成一个既约分数mn （m 、n 都是整数，且m 、n 互质）的数叫有理数（有理数又叫可比数）；（二）有理数的性质1、有序性：任意两个有理数a 、b ，在,,a b a b a b >=<三种关系中，有且只有一个成立 。

2、封闭性：任何两个有理数的和、差、积、商（0不是除数）还是有理数。

3、稠密性：任何两个有理数之间都有无数个有理数。

例1、将下列循环小数化成分数。

（1）0.2 （2）0.6- （3）0.25 （4）0.34- （5）321.0 -例2、说明：边长为1的正方形的对角线不是有理数。

二、有理数的相关概念（一）数轴：（二）相反数：（三）绝对值：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记做a . 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

例3、（1）指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数．（2）已知点A 在数轴上对应的有理数为a ，将A 向左移4个单位长度后，再向右移动1个单位长度得到点B ，点B 对应的数为5.3-，则有理数=a ________．例4、化简下列各数：（1）)];([a --- （2）)]};([{m +-+- （3）)];([y x --- （4）)].([b a +-+例5、如果a 是一个不等于1-的负整数，试用“<”连接a 、a 1、a -、a1-这几个数．例6、（1）已知2=a ，5=b ，且b a >，试求a ，b 的值．（2）若032=-++y y x ，试求y x 32+的值．例7、设a 、b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||b a b a +=+；（2）||||||b a ab =；（3）||||a b b a -=-；（4）若b a =||，则b a =；（5）若||||b a <，则b a <；（6）若b a >，则||||b a >。

绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛.在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。

对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。

总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，请牢牢记住这一点。

二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

例1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简结果为（）A. 2a+3b-c B . 3b-c C . b+c D . c-b（第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题）解：由图形可知a v 0, c>b>0,且|c| > |b| >|a|，贝U a+b> 0, b-c v 0. 所以原式=-a+b+a+b-b+c = b+c，故应选（C）.三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，绝对值最小的数是零。

2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x< |x|。

3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。

4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等（显然如|6| = |-6| ，但6丰-6），只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。

四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。

即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例 2. 已知：|x-2|+x-2 = 0,求：(1)x+2 的最大值；(2)6-x 的最小值。

解：•/ |x-2|+x-2 = 0 ,••• |x-2| = -(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，• x-2 w 0,即卩x w 2，这表示x的最大值为2(1) 当x= 2时，x+2得最大值2+2= 4;(2) 当x= 2时，6-x得最小值6-2 = 42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的,就需先求零点,再分区间定性质,最后去掉绝对值符号。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---⋯---⎪⎩⎪⎨⎧⋯⋯655.351321413121321:，，负分数：如，，负整数：如负有理数零，，正分数：如，，如正整数正有理数有理数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯---⋯⎪⎩⎪⎨⎧⋯---⋯655.3512.53121321321，，负分数：如，，正分数：如分数，，负整数：如零，，正整数：如整数有理数1.1有理数相关的概念----专题一一 知识要点：1.负数：在正数前面加“—”的数； 0既不是正数，也不是负数 2有理数：整数和分数统称有理数有理数分类说明：①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复；③零是整数，零既不是正数，也不是负数.3. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.归纳数轴上的点的意义：一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示－a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

4. 互为相反数：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。

0的相反数是0.。

几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数分别位于原点两侧，且与原点的距离相等。

规定: 在任何一个数的前面添上一个"+"号,表示这个数本身;添上一个"-"号,就表示这个数的相反数.)0()0()0(0<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a5. 有理数的绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作︱a ︱（1）一个正数的绝对值是它本身；（2） 0的绝对值是0；（3） 一个负数的绝对值是它的相反数。

公式表示为： 对任何有理数a,总有︱a ︱≥0.6. 有理数大小的比较（1）.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

第一章有理数1.2 有理数1.2.4 绝对值第1课时一、教学目标【知识与技能】1.借助数轴初步理解绝对值的概念,能求一个数的绝对值．2.通过应用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用．【过程与方法】1.在绝对值概念形成的过程中,渗透数形结合等思想方法,并注意培养学生的概括能力。

2.能根据一个数的绝对值表示“距离”,初步理解绝对值的概念3.给出一个数,能求它的绝对值。

【情感态度与价值观】1. 从上节课学的相反数到本节的绝对值,使学生感知数学知识具有普遍的联系性。

2. 培养学生积极参与探索活动,体会数形结合的方法．二、课型新授课三、课时第1课时,共2课时。

四、教学重难点【教学重点】正确理解绝对值的概念,能求一个数的绝对值．【教学难点】借助数轴理解绝对值的几何意义,•根据绝对值定义和相反数的概念,理解绝对值的代数意义．五、课前准备教师：课件、三角尺、屋顶架结构图等。

学生：三角尺、铅垂纸、小刀。

六、教学过程（一）导入新课教师问1：两辆汽车从同一处O出发分别向东、西方向行驶10km,到达A、B两处.（出示课件2）它们的行驶路线的方向相同吗?学生回答：不相同.教师问2：它们行驶路程的距离(线段OA、OB的长度)相同吗?学生回答：相同在实际生活中,有时存在这样的情况,有些问题我们只需要考虑数的大小而不考虑方向．在我们的数学中,就是不需要考虑数的正负性,所走的路程只需要用正数来表示,这样就必需引进一个新的概念——绝对值．（二）探索新知1.师生互动,探究绝对值的概念教师问3：甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶,记向东行驶的里程数为正,两辆出租车都从O地出发,甲车向东行驶10km到达A处,记作___km,乙车向西行驶10km到达B处,记做_________km.（出示课件4）学生回答：+10,-10教师问4：以O为原点,取适当的单位长度画数轴,并在数轴上标出A、B的位置,则A、B两点与原点距离分别是多少？它们的实际意义是什么？（出示课件5）学生回答：A、B两点与原点距离都是10,线段OA表示向东行驶10千米,线段OB表示向西行驶10千米.教师问5：如果汽车每公里耗油0.15升,计算甲、乙两辆汽车各耗油多少升？学生回答：甲、乙两辆汽车各耗油1.5升.教师问6：计算汽车的耗油量时,我们考虑是+10或-10了吗？学生回答：没有.教师讲解：实际生活中有些问题只关注量的具体值,而与相反意义无关,即正负性无关,如汽车的耗油量我们只关心汽车行驶的距离和汽油的价格,而与行驶的方向无关；数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关,而与它所表示的数的正负性无关；这样我们得到了一个新的数学概念：一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记做|a|总结点拨：（出示课件6）2.师生互动,探究绝对值的性质教师问7：观察这些表示绝对值的数,它们有什么共同点？(出示课件8)|5|=5 |-10|=10 |3.5|= 3.5|100|=100 |-3|=3 |50|=50|-4.5|=4.5 |-5000|=5000 |0|=0……学生讨论后回答：都是正数或0,也就是非负数.教师问8：观察下面正数的绝对值,想一想一个正数的绝对值是什么？|3.5|= 3.5 |100|=100 |50|=50学生回答：一个正数的绝对是它本身.教师问9：观察下面负数的绝对值,想一想一个负数的绝对值是什么？|-10|=10 |-3|=3 |-4.5|=4.5 |-5000|=5000学生回答：一个负数的绝对值是它本身的相反数.教师问10：0的绝对值是什么？学生回答：0的绝对值是0.总结点拨：（出示课件9）结论1：一个正数的绝对值是正数.一个负数的绝对值是正数.0的绝对值是0.|a|≥0任何一个有理数的绝对值都是非负数!结论2：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.教师问11：字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗?（出示课件10）师生共同讨论后解答如下：(1)当a是正数时,｜a｜＝__a__；(2)当a是负数时,｜a｜＝＿-a＿；(3)当a=0时,｜a｜＝＿＿0＿.绝对值的判断法则：教师问12：相反数、绝对值的联系是什么？（出示课件11）学生回答：互为相反数的两个数的绝对值相等. 绝对值相等,符号相反的两个数互为相反数.例1：求下列各数的绝对值.（出示课件12）12, , -7.5, 0.师生共同解答如下：解：|12|=12；正数的绝对值等于它本身.,|-7.5|=7.5；负数的绝对值等于它的相反数.|0|=0. 0的绝对值是0.总结点拨：（出示课件13）求一个数的绝对值的步骤例2：填一填：（出示课件16）(1)绝对值等于0的数是___,(2)绝对值等于5.25的正数是_____,(3)绝对值等于5.25的负数是______,(4)绝对值等于2的数是_______.师生共同解答如下：答案：（1）0,（2）5.25,（3）-5.25,（4）2或-2易错提醒：注意绝对值等于某个正数的数有两个,它们互为相反数,解题时不要遗漏负值.总结点拨：（出示课件17）绝对值的性质(1)任何有理数都有绝对值,且只有一个.(2)由绝对值的几何定义可知,数的绝对值是两点间的距离,因此,任何一个数的绝对值都是非负数；在数轴上,一个数离原点的越近,绝对值越小,离原点越远,绝对值越大.(3)互为相反数的两个数的绝对值相等.(4)绝对值相等的两个数相等或互为相反数.例3：已知|x–4|+|y–3|=0,求x+y的值.（出示课件19）师生共同解答如下：分析：一个数的绝对值总是大于或等于0,即为非负数,如果两个非负数的和为0,那么这两个数同时为0.解：根据题意可知x - 4＝0,y - 3＝0,所以x＝4,y＝3,故x＋y＝7.总结点拨：几个非负数的和为0,则这几个数都为0.（三）课堂练习（出示课件21-25）1.如图,点A所表示的数的绝对值是( )A．3 B．-3C．D．2. 判断并改错：(1)一个数的绝对值等于本身,则这个数一定是正数. ( )(2)一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数. ( )(3)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一定相等. ( )(4)如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值一定不等. ( )(5)有理数的绝对值一定是非负数. ( )3. -2018的绝对值是______．4. ____的相反数是它本身,_______的绝对值是它本身,_______的绝对值是它的相反数．5. 的相反数是_____；若,则a= _____.6. 求下列各数的绝对值：3,3.14,,-2.8.7. 化简：| 0.2 |=______；=______；| b |=______ (b＜0)；| a – b | =______(a ＞b).8.正式排球比赛对所用的排球重量是有严格规定的,现检查5个排球的重量,超过规定重量的克数记作正数,不足规定重量的克数记作负数,检查结果如下：指出哪个排球的质量好一些,并用绝对值的知识加以说明.参考答案：1.A2.（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）√.3.20184.0,非负数,非正数.5. ,±26. 解：|3|=3；|3.14|=3.14；|-2.8|=2.8.7.0.2；,-b,a-b.8. 答：第五个排球的质量好一些,因为它的绝对值最小,也就是离标准重量的克数最近.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:①任何有理数都有唯一的绝对值,任意一个数的绝对值总是正数或0,•不可能是负数,即对任意有理数a,总有│a│≥0．②两个互为相反数的绝对值相等,即│a│=│-a│．③因为0的绝对值是0,而0的相反数是它本身0,因此可知绝对值等于它本身的数是正数或者零,绝对值等于它的相反数的数是负数或零．（五）课前预习预习下节课（1.2.4）12页到13页的相关内容。