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13.1基本立体图形13.1.1棱柱、棱锥和棱台学习目标核心素养1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义．(重点)2．掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特点及相关概念．(易错、易混点)3．能运用这些结构特点描述现实生活中简单物体的结构．(难点)1.通过观察棱柱、棱锥、棱台的生成过程，抽象出对应的定义，进一步提升学生的数学抽象素养．2．借助于具体空间图形来解决问题，提升学生的直观想象的数学素养.1．我们生活中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？2．观察下列几何体，它们有什么共同特点？3．上述几何体分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得？1．棱柱的相关概念及特点(1)棱柱的相关概念一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱．平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫作侧棱．(2)棱柱的特点棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．2．棱锥的概念及特点(1)棱锥的概念当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥．顶点：由棱柱的一个底面收缩而成的点；侧棱：相邻侧面的公共边；底面：棱柱的未收缩为一个点的底面；(2)棱锥的特点棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．3．棱台的概念及特点(1)棱台的概念用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台．侧棱：相邻侧面的公共边；(2)棱台的特点棱台的两个底面是相似的多边形，侧面都是梯形，侧棱延长后都相交于一点．4．多面体的概念棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的空间图形．由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)棱柱的侧面是平行四边形．()(2)棱台的侧棱延长后不一定交于一点．()(3)棱台的侧面是梯形．()(4)面数最少的多面体是四面体．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．(一题多空)如图所示的空间图形中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．①③④⑥⑤[由棱柱、棱锥和棱台的定义知，①③④符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，②是一个三棱柱被截去了一段，⑤符合棱台的定义．故①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]3．下列叙述是棱台性质的是________．(填所有正确的序号)①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都平行；④侧棱延长后交于一点．[答案]①②④4．三棱锥是________面体．四[因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体．]棱柱、棱锥和棱台的概念①五棱柱中五条侧棱长度相同；②三棱柱中底面三条边长度都相同；③三棱锥的四个面可以都是钝角三角形；④棱台的上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1.(2)下列说法正确的是________．①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点．(3)下列三个命题，其中不正确的是________．①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．[思路点拨]判断空间图形结构特征的主要依据是棱柱、棱锥、棱台的概念．(1)①③④(2)③(3)①②③[(1)由棱柱的特点知命题①正确；三棱柱的底面不一定为等边三角形，所以命题②不正确；如图所示，取以点O为端点的三条线段OA，OB，OC，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝100°，且OA＝OB＝OC，这时△AOB，△BOC，△COA都是钝角三角形，只有△ABC为等边三角形，可让点C沿OC无限靠近点O，则∠ACB就可趋近于100°，所以每个面都可以是钝角三角形，故命题③正确；由棱台的定义知，棱台是由棱锥截得的，截面是棱台的上底面，故上底面的面积一定小于下底面的面积，所以命题④正确．综上所述，可知①③④正确．(2)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，③正确．(3)必须用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，③不正确．]对于判定关于棱柱、棱锥、棱台的命题真假的问题，求解的关键是抓住棱柱、棱锥、棱台的概念与特征．除此之外，还可以利用举例或找反例的方法来判断．[跟进训练]1．给出下列几个命题：①棱柱的侧面不可能是三角形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有4个面；④将一个正方形沿不同方向平移得到的空间图形都是正方体．其中真命题是________．①②③[①②均为真命题；对于③，一个图形要成为空间空间图形，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题；对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的空间图形才是正方体，故④不正确．故填①②③.]简单多面体的结构特点及截面11111 CC1∥BB1，请你判断这个空间图形是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的空间图形的特征，在立体图中画出截面．[思路点拨]依据棱柱的定义进行判断．[解](1)因为这个空间图形的所有面中没有两个互相平行的面，所以这个空间图形不是棱柱．(2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；在BB1上取F点，使BF＝2；连接C1E，EF，C1F，则过C1，E，F的截面将空间图形分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2；截去部分是一个四棱锥C1-EA1B1F.认识一个空间图形，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些空间图形组成的组合体，并能用平面分割开．[跟进训练]2．如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的空间图形是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并指出底面．如果不是，请说明理由．[解](1)是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边形BCC1B1形成的空间图形，符合棱柱的定义．(2)截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB1-CFC1，其中△BEB1与△CFC1是底面．截面BCFE左边的部分是四棱柱ABEA1-DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．多面体及多面体的表面展开1．观察下面四个空间图形，这些空间图形都是多面体吗？怎样定义多面体？(1)(2)(3)(4)[提示]这四个空间图形都是多面体，多面体是由若干个平面多边形围成的空间图形．2．多面体哪些性质可以作为它的特征性质？[提示]多面体的每一个面都是多边形．3．根据图(1)(2)所给的空间图形的表面展开图，画出立体图形．(1)(2)[提示]将各平面图折起来的空间图形如图所示．(1)(2)【例3】画出如图所示的空间图形的表面展开图．(1)(2)[思路点拨]作出模型，将模型剪开，观察展开图．[解]表面展开图如图所示：(1)(2)多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．[跟进训练]3．给出如图所示的正三角形纸片，要求剪拼成一个正三棱柱模型，使它的表面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标在图中，并写出简要说明．[解]如图，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下的部分沿虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好可以拼成这个正三棱柱的上底.1．本节课的重点是理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，难点是在描述和判断空间图形结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)有关棱柱结构特征的解题策略．(2)判断棱锥、棱台形状的方法．(3)绘制展开图和由展开图还原空间图形的方法．3．本节课的易错点是理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系中出现偏差而致错．1．下列四个命题中正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱D[A中棱柱的底面可以是任何平面多边形，B中棱锥的底面可以是任何平面多边形，C中棱锥被经过顶点和底面的平面分成的两部分都是棱锥，D中棱柱被平行于底面的平面分成两个棱柱．]2．(一题两空)棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是________．[答案]3相等3．如图所示，不是正四面体的展开图的是________．①②③④③④[可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]4．画一个六面体：(1)使它是一个四棱柱；(2)使它由两个三棱锥组成；(3)使它是五棱锥．[解]如图所示．(1)是一个四棱柱；(2)是一个由两个三棱锥组成的空间图形；(3)是一个五棱锥．(1)(2)(3)莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
第十章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数....................................................................................... - 1 -10.1.1两角和与差的余弦.................................................................................... - 1 -10.1.2两角和与差的正弦.................................................................................... - 5 -10.1.3两角和与差的正切.................................................................................... - 8 -10.2二倍角的三角函数............................................................................................. - 11 -10.3几个三角恒等式................................................................................................. - 15 - 10.1两角和与差的三角函数10.1.1两角和与差的余弦知识点两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？[提示]不成立．重点题型类型1两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；(2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°．[解](1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝3 2．(2)原式＝cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋6 4．(3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝2 2．1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．类型2已知三角函数值求角【例2】已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值．以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos α，sin β的值，在此基础上，借助cos(α＋β)的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.[解]因为α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010，所以cos α＝1－sin2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22．由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π．因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4．已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围； 第三步：根据角的范围写出所求的角. 类型3 给值求值问题【例3】 (对接教材P 51例3)已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<3π2，π2<β<π，求cos(α－β)．[解] ∵sin α＝－45，π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35．又∵sin β＝513，π2<β<π， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．1．(变条件)若将本题改为已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<2π，0<β<π2，求cos(α－β)．[解] ∵sin β＝513，0<β<π2， ∴cos β＝1－sin 2β＝1213． 又sin α＝－45，且π<α<2π，①当π<α<3π2时，cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665；②当3π2<α<2π时，cos α＝1－sin 2α＝35， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．综上所述，cos(α－β)＝－5665或1665．2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－45，π<α<3π2，cos(α－β)＝1665，π2<β<π．求sin β．[解] ∵sin α＝－45，且π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35． 又∵π2<β<π， ∴－π<－β<－π2， ∴0<α－β<π． 又cos(α－β)＝1665，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16652＝6365， ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1665＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×6365＝－1213， ∴sin β＝1－cos 2β＝513．1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．10.1.2 两角和与差的正弦知识点 两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦公式：S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． (2)两角差的正弦公式：S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． (3)辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， 令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcos x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba ，φ为辅助角．重点题型类型1 两角和与差的正弦公式的简单应用 【例1】 求下列各式的值： (1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (2)2cos 55°－3sin 5°sin 85°．(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值. (2)注意角的差异与变换：55°＝60°－5°，85°＝90°－5°.[解] (1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°) ＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133° ＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝12． (2)原式＝2cos (60°－5°)－3sin 5°sin (90°－5°)＝cos 5°＋3sin 5°－3sin 5°cos 5°＝cos 5°cos 5°＝1．1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．类型2 给值求值【例2】 已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求cos(α＋β)的值．注意⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2＋(α＋β)，可通过求出3π4＋β和π4－α的正、余弦值来求cos (α＋β).[解] 由0＜β＜π4，π4＜α＜3π4得 －π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，cos(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365．解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式. 类型3 形如a sin x ＋b cos x 的函数的化简及应用【例3】 (对接教材P 54探究)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，求函数f (x )的值域．等式a sin x ＋b cos x ＝A sin (x ＋φ)中A 和φ一定存在吗？它们与a ，b 有什么关系？[解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π， ∴π3≤x －π6≤5π6． ∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤1．∴函数f (x )的值域为[1，2]．1．(变结论)本例条件不变，将函数f (x )用余弦函数表示． [解] f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x sin π3－cos x cos π3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3．2．(变结论)本例条件不变，求函数f (x )的单调区间． [解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，与π2≤x ≤π取交集得π2≤x ≤2π3，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3；由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2，得2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3，与π2≤x ≤π取交集得2π3≤x ≤π， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π．此类问题的求解思路如下：首先将函数f (x )化简为f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式；,然后借助辅助角公式化f (x )为f (x )＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)的形式；最后，类比y ＝sin x 的性质，树立“x ＋φ”的团体意识研究y ＝f (x )的性质.10.1.3 两角和与差的正切知识点 两角和与差的正切公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？[提示](1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．重点题型类型1条件求值问题【例1】已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4．2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4可以用tan 2α表示出来.[解]tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝5＋31－5×3＝－47，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tan(α＋β)－tan(α－β)1＋tan(α＋β)tan(α－β)＝5－31＋5×3＝18，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－471＋47＝311．求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.类型2 给值求角【例2】 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β．利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan (α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值.[解] 因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan α＜0，tan β＜0．又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0．又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3．1．给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．类型3 T (α±β)公式的变形及应用【例3】 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．当一个代数式中同时出现“tan α＋tan β”及“tan α tan β”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？[解] ∵3tan A ＋ 3 tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33．又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6． ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．10.2 二倍角的三角函数知识点 倍角公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan α．(1)T 2α对任意角α都成立吗？(2)倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？[提示] (1)不是．所含各角要使正切函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．重点题型类型1 直接应用二倍角公式求值【例1】 (对接教材P 63例1)已知sin 2α＝513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．[解] 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π． 又因为sin 2α＝513， 所以cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213． 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169；tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119．对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，…．类型2逆用二倍角公式化简求值【例2】化简：2cos2α－12tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－αsin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α．[解]原式＝2cos2α－12sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2α－12sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－α·cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1．1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．类型3活用“倍角”关系巧解题【例3】已知sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513，0＜x＜π4，求cos 2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x的值．本题中角“π4－x”与角“π4＋x”有什么关系？如何借助诱导公式实现cos 2x与sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x的转换？[解]∵⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＋⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝513，又0＜x＜π4，∴π4＜x＋π4＜π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝1213．∴cos 2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2413．1．(变结论)本例条件不变，求cos 2x．[解]∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，由sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513，得cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝1213，cos 2x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169．2．(变结论)本例条件不变，求sin 2x－2sin2x1－tan x的值．[解]∵⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＋⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝π2，∴cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513．∵sin 2x－2sin2x1－tan x＝2sin x cos x－2sin2x1－sin xcos x＝2sin x(cos x－sin x)cos x－sin xcos x＝2sin x cos x＝sin 2x，又sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－2×25169＝119169．∴sin 2x －2sin 2x 1－tan x＝119169．当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有：(1)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；(2)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1；(3)sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错.10.3 几个三角恒等式知识点1 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2， sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2， cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2， cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2．知识点2 半角公式与降幂公式半角公式降幂公式sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α，tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin αsin 2α＝1－cos 2α2， cos 2α＝1＋cos 2α2， tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2．重点题型类型1 应用和差化积或积化和差求值【例1】 求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50° 的值． [解] 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14 ＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70° ＝34．套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.类型2 万能代换公式的应用 【例2】 设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．利用万能代换公式，分别用t 表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明.[证明] 由sin θ＝2tan θ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan 2θ2＝(1＋t )21＋t 2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan 2θ2＝2(1＋t )1＋t2， 故1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.类型3 f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质【例3】 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．[解] f (x )＝53×1＋cos 2x 2＋3×1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4． ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－22．∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．1．(变结论)本例中，试求函数f (x )(x ∈R )的对称轴方程． [解] f (x )＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ． 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ．2．(变条件)本例中，函数解析式变为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )，求f (x )的单调减区间．[解] ∵f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z ．1．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 (1)运用和、差、倍角公式和重要恒等式化简． (2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式．(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，研究其性质． 2．对三角函数式化简的常用方法 (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，化为“一个角”的函数．。
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以下是这本书的内容列表：一、第一章：向量代数向量代数是数学中非常重要的一个分支，它与几何代数和线性代数紧密相关。
本章主要讲解了向量的基本概念、向量的坐标表示、向量的数量积、向量的夹角和向量的投影等内容。
二、第二章：空间几何空间几何是高中数学中比较难的一个内容，它需要学生掌握三维空间的几何概念和方法。
本章主要讲解了空间点、直线、平面的基本性质、空间几何中的投影与距离、直线与平面的位置关系等内容。
三、第三章：解析几何解析几何是数学中的一种方法，它利用坐标系和代数工具来研究几何问题。
本章主要讲解了直线和圆的方程、二次曲线的方程、曲线的参数方程和极坐标方程等内容。
四、第四章：导数导数是微积分中比较重要的一个概念，它用来描述函数的变化率和斜率。
本章主要讲解了导数的定义、导数的几何意义、连续函数和可导函数的关系，以及常用的导数公式等内容。
五、第五章：应用题应用题是数学中比较实用的一种题型，它可以帮助学生应用所学的数学知识来解决实际问题。
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