数学思想方法四：转化与化归思想课件

课前训练
1、 若a 1 4, (0 a 1), 则 a 1 ______。
a
a
2、已知a、b是方程 x2 +2x-7=0的两个根， (a+b=-2,ab=-7) 求 a2 +3b2+4b的值
3、
解方程： x x2
1
1 x2 4
例题分析
1、已知y x2 3xy 2 y2 ,求 y 的值
2y
x
解： y x2 3 y 2 y 2 , x2 3xy 2 0
方程两边都除以x2 , 得4( y )2 3( y ) 1 0
x
x
解得：y 1 或 y 1。 x4 x
点拨：把 y 作为一个整体，将已知等式化为关于 y
x
x
的一元二次方程，解方程求出 y 的值，过程简便。 x
例题分析
2、已知： x2 y2 20 xy x2 y2 81 0,求x、y的值。
解： x2 y2 20xy x2 y2 81 0, (x2 y2 18xy 81) (x2 y2 2xy) 0, (xy 9)2 (x y)2 0, xy 9 0且x y 0,解得x y 3
ＡE Ｇ
Ｏ Ｂ (1)
ＤＡＥ
Ｄ
Ａ
Ｈ
Ｏ
ＨＧ
Ｂ
Ｃ
Ｂ (2) Ｆ Ｃ
Ｄ
Ｃ Ｈ
(3)
n Ｏ
Ｆ m
∠ＡＢＥ，即等于正多边形的一个内角的度数．从特殊到一般，问 题（３）就可解．
课时训练
1、如图（１），等边△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ上的动点，以ＣＤ为 边，向上作△ＥＤＣ，连结ＡＥ。求证；
ＡＥ∥ＢＣ
（２）如图（２），将（１）中等边△ＡＢＣ的形状改为以ＢＣ为 底边的等腰三角形。所作△ＥＤＣ改成相似于△ＡＢＣ。请问：是 否仍有ＡＥ∥ＢＣ？证明你的结论。

六大数学思想之四：转化与化归1.什么是转化与化归？转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。

化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

2. 转化与化归的主要方式：1、等价转化，2、空间图形问题转化为平面图形问题，3、局部与整体的相互转化，4、特殊与一般的转化，5、非等价转化，6、换元、代换等转化方法的运用，7、正与反的转化,8、数与形的转化，9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实际问题与数学语言的转化等.3.转化与化归思想的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．题型一正难则反的转化：Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．Esp2: 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化：解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．Esp3: 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x－1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．Esp4: 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.题型三主与次的转化：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量。

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法。

一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决,总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.1.转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.（2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。

（3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解。

2。

常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：（1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元"把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式)与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径。

（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的。

（5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。

随着国家经济的发展，科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。

2 φ1<0， 3x －x－2<0， 2 ∴ 即 2 解得－3<x<1. φ－1<0， 3x ＋x－8<0，
故当x∈ 都有g(x)<0.
2 － ， 1 3
时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，
专题
数学思想方法
第四讲 化归与转化思想
2．化归与转化思想 根据熟知的数学结论和掌握的数学 题目解法，把数学问题化生疏为熟练、化 困难为容易、化整体为局部、化复杂为简 单、化空间为平面、化高维为低维的解决 问题的思想方法就是化归思想与转化思 想.
► 探究点二 化归与转化思想的应用 例 3 (1)[2012· 江西卷] 设数列{an}， {bn}都是等差数列． 若 a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则 a5＋b5＝________. (2)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c， 且(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，则角 A 的大小为________．
[解析] (1)方法一：设 cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列，∴{cn} 是等差数列．设其公差为 d，则 c1＝7，c3＝c1＋2d＝21，解得 d＝7， 因此，c5＝a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.故填 35. 方法二：设 cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列， ∴{cn}是等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， 即 42＝7＋(a5＋b5)，因此 a5＋b5＝42－7＝35.故填 35. (2)因为(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，由正弦定理得 (2sinB－ 3sinC)cosA＝ 3sinAcosC， 即 2sinBcosA 2sinBcosA＝ 3sin(A＋C)，则 2sinBcosA＝ 3sinB. 因为 0<B<π，所以 sinB≠0， 3 π 所以 cosA＝ ，于是 A＝ . 2 6

两个定点的距离之和为定值却是一个熟悉的结论,即动点的轨迹是椭圆,而动点 P 是两条直线的交点,这又是一个熟悉的问题,因此,本题就转化为,两条直线交点 的轨迹是否为椭圆的问题.解题的方向明确了.求出直线方程,再求交点的轨迹,然 后判断这一轨迹是否为椭圆,其焦点是否为定点.
因为 c (0,a) ， i (1,0) ，,所以 c i ,a ， i 2c 1,2a.
4.化归与转化思想
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问 题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思 想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是 未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化 归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题， 要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是 熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等 等.事实上,前面讲的函数和方程思想就是把表面不是函数的问题化归为函数问 题求解,分类与整合思想是把一个复杂的题目分解成若干个小题求解,而数形结 合思想则是把代数问题转化为图形求解,或者把几何问题转化为代数运算求解.
r2 a ex1
2
2 2 x1 ,
所以,
r1r2
2
1 2
x12
,
①
这里, r1 与 r2 的积用 x1 的代数式来表示.
直线方程为
y
y1
x1 2 y1
x
x1
,
即 x1x 2 y1 y 2 y12 x1 0 ,
②
因为
A x1,

则a≥ x ，x∈(0， ］恒成立.
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模拟训练
【点评】 本题主要考查转化思想和分类整合思想，分类讨论实 质上也是一种转化思想. 解法1 采用的是分类讨论的方法, 将比较复杂问题通过分类转化 为一些较简单的问题进行求解, 而每一分类中又将恒成立的问题又转 化为最值问题.
1 (0，］, 变为不等式一边为参数 , 另一边为含有x的代数式，a只要大 2 1 1 于或等于y= x ，x∈(0， ］的最大值就满足上式要求. x 2
消去x2得2 x12
2 1 x1 2 6m 1 0 ， m m
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模拟训练
2 1 ∴x1∈R，∴Δ= 8 2 6m 1>0, m m 1 ∴(2m+1)(6m2-2m+1)<0，∴m< . 2 1 即当m< 时，抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称. 2
x12 满足 2 x1 x 1
2 x2 x1 x 2 m 3 , 2 2 2 x2 1 . x2 m
2 x12 x 2 m( x1 x 2 6), ∴ 1 x x . 1 2 m
行转化, 使问题逐次达到规范化、模式化，直至问题的解决.
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模拟训练
1. 函数f (x)=cos2x-2 3 sinxcosx的最小正周期是__________.
π 【解析】 ∵f(x) =cos2x-2 3 sinxcosx=cos2x- 3 sin2x=-2sin 2x ,
祝您高考成功！
作文成绩
语文作文课上, 老师布置了一篇500字的作文。
下课铃响了, 一学生发现自己只写了250字, 灵机一动,在

授课学案知识回顾与练习转化与化归思想方法：就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．3． 转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象．(2)化归到何处去，即化归目标．(3)如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心．知识讲解与练习类型一 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2 (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q＝________. (2)已知函数f (x )＝a x a x ＋a(a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________．一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果．(1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________.(2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________.类型二 相等与不等的转化例2 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，则显得非常简捷有效．定义运算：(ab )x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(ab )x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(ba )x <0的解集为________．类型三 常量与变量的转化例3 对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是______________．在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．类型四 正与反的相互转化例4 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．否定性命题，常要利用正、反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c 使得f (c )>0，求实数p 的取值范围．课堂总结及评价在将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题．(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题. 作业布置及反馈1． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29，则a 10＝________.2． 若方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 取得最大值为________．3． 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ →的值为________．4． 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．5． 已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是_______________________________________________________．6． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是____________．7． 抛物线y ＝x 2中的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，则常数m 的取值范围是____________．8． 已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎡⎤0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．。

如图，台风中心位于点 ，并沿东北方向 PQ移动，已知台风移动的速度为 千米 时， 移动， 千米/时 移动 已知台风移动的速度为40千米 受影响区域的半径为260千米，B市位于点 千米， 市位于点 市位于点P 受影响区域的半径为 千米 的北偏东75°方向上，距离P点 千米． 的北偏东 °方向上，距离 点480千米． 千米 （1）说明本次台风是否会影响 市； ）说明本次台风是否会影响B市 2）若这次台风会影响B市 B市受台风 （2）若这次台风会影响B市，求B市受台风 影响的时间． 影响的时间．
例1 已知 x + x + 1 = 0, 求 x + 2 x + 2010 的的。
2 3 2
例2 解方解 2( x − 1) − 5( x − 1) + 2 = 0.
2
1 1 4 例3 已知 x + = 2, 则 x + 4 的的为 __________ . x x
已知正方形的边长为a， 例4 已知正方形的边长为 ，以各边为直径 在正方形内画半圆，求所围成的图形（ 在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影 部分）的面积。 部分）的面积。
如图,在梯形 在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD, 例6 如图 在梯形 中 对角线AC,BD交于点 且AC⊥BD.已知 交于点O,且 ⊥ 对角线 交于点 已知 AD=3,BC=5,求AC的长 的长. 求 的长
如图， 分别是正三角形ABC、正 例7 如图，点E、D分别是正三角形 、 分别是正三角形 、 四边形ABCM、正五边形 中以C点为 四边形 、正五边形ABCMN中以 点为 中以 顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的 延长线交AE于点 点，且BE=CD，DB延长线交 于点 ． ， 延长线交 于点F． 1））若将条件“正三角形、正四边形、正 求图1中∠AFB度数，并证明 ， 、 中 度数， （（3）若将条件“正三角形、正四边形图3中 ）求图2中∠AFB的度数为 中 度数 并证明CD2=BD•EF 2）图 中 的度数为______， 的度数为 五边形”改为“ 边形” 其它条件不变， 度数为_______，在图 、图3中， 五边形”改为 边形 在图2、 ∠AFB度数为“正n边形”，其它条件不变， 度数为 ， 中 ；（填 可用含n的代数式 成立” 则∠AFB度数为 （1）中的等式 _______. 填“成立”或“不成 ）中的等式_____ ；（ （可用含 的代数式 度数为 表示，不必证明） 表示，不必证明） 不必证明） 立”，不必证明）

经验证 f(x)＝xsin 2πx 满足题意，则 f52＝0.
答案
4 (1)5
(2)0
热点分类突破
专题八 第4讲
类型二 相等与不等的转化
例 2 若关于 x 的方程 9x＋(4＋a)·3x＋4＝0 有解，则实数 a 的
取值范围是________．
本
讲 栏
可采用换元法，令t＝3x，将问题转化为关于t
目 开
本 讲 栏
对任意实数 x 都有 xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则 f52＝________.
目 开
解析
(1)根据题意，所求数值是一个定值，
关 故可利用满足条件的直角三角形进行计算．
令 a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC 为直角三角形， 且 cos A＝45，cos C＝0，
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专题八 第4讲
栏 目
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，
开 关
达到化归的目的．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明
特殊化后的问题、结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于
解决的问题．
思想方法概述
专题八 第4讲
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转
本
讲 成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，
栏
目 因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情
开
关 形的问题中．
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专题八 第4讲
若二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区 间[－1,1]内至少存在一个值 c 使得 f(c)>0，求实数 p 的取值范 围．

设 φ(x)=2x-ln x(x>0),则
所以当
1
φ'(x)=2-
1
0<x< 时,φ'(x)<0;当
2
所以 φ(x)在区间
所以 φ(x)≥φ
1
2
1
0, 2
=
2-1
.

1
x> 时,φ'(x)>0.
2
上单调递减,在区间
1
=1-ln2=1+ln
1
,
+∞
2
上单调递增,
2>0.所以,当 x>0 时,不等式 f(x)>g(x)恒成立.
1
h'(x)=1
=
-1
(x>0).

所以,当0<x<1时,h'(x)<0;
当x>1时,h'(x)>0.
所以h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
所以当x>0时,h(x)=(x-1)-ln x≥h(1)=0.
所以,当 x>0
e +(-1)-ln
时,
>0

恒成立,即 f(x)>g(x)恒成立.
题后反思 函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、
不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因
(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目
时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.
(4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.
(5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问

转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.1.转化与化归的原则1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.2简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.3直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.4正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：1直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.3数形结合法：研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换获得转化途径.4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的.5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现.新的教学体制的出现,化归与转化的思想将是贯穿整个中学教学的一种主要的思想,所以在教学过程中要把这种思想溶入进去,让学生体会个中的精髓.关健词化归；转化；分析；联想１.化归与转化解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题相对来说,对自己较熟悉的问题,通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.化归与转化思想的核心,是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题.从而求得原问题的解决.它的基本形式有：化未知为已知,化难为易,化繁为简,化曲为直等等.化归与转化的思想也不是随时能用,或随便用的,它需要遵循一定的原则,从而达到转化的正确性,实现这种思想的作用.下面我就来谈谈我对这种方法的理解.２．化归与转化的原则化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.转化有等价转化和非等价转化,等价转化的作用就不用说,而不等价转换,如果没明确的附加条件,那就失去它的价值了.所以化归与转化就需要遵循一定的原则:2.1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.除了及少数的原始知识外,整个中学的数学知识的学习就是在实现转化为旧的知识而得到的.例如:学二元一次方程就用化元法转化为一元一次方程;学一元二次方程用降幂法转化为一元一次方程;函数与方程之间的转化等等.2.2简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.这个原则大部分学生都知道,他们都会想把问题简单化,达到求解的过程.这个原则可以在无以记数的数学简便方法中体现出来.2.3和谐化原则：化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.也就是说整个转化的过程中,要符合思维规律,虽然思维可以多样化,可以无以为边的想象,但也要能被人接受并能理解.体现出现在国家倡导的和谐社会.2.4直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.这个主要在函数与图象的联系中体现出来.把某些枯燥乏味的代数问题转化为图形来解决,能直观的解决问题.2.5正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.反证法的应用把这个原则表现的淋漓尽致,学生能理解到其中的精髓可是可以受用无穷的,包括在生活中的应用.2.6 现实化原则:所学所用所理解的道理要用于社会实践,同时要满足社会人才的需求.3．化归与转化的方法化归与转化的方法,在千变万化的题目中,方法也各不相同,也无以统计,这里就只讲解几中常用,学生也容易理解的.3.1 直接转化法:直接把新的知识转化为前续知识.这个在讲解新课的时候,尽量让学生去体会,让他们能自己解决新的问题,获取新的知识,接着把新的知识吸收,继续解决新的问题.3.2 构造法:这个是个重要的方法,有不少题目,不能直接解决和转化,缺少了媒介,让不少学生无从下手,这时就需要构造一个数学情境,建立一个数学模型,把问题溶入进去,使问题简单化,直观化,从而达到求解的过程.3.3 数与形的转化:这个主要用于函数问题的解答和某些图型中的某些量的关系.数形结合是数学学习的一种重要的思想.3.4 换元法:这个重要是把一些繁杂的,但又有重复性的题目简单化,更直观.这个主要用于方程的解答.3.5 相等与不相等之间的转化:这个主要用与不等式的证明和函数区间.3.6 实际问题与数学理论的转化:理论联系实际的一种方法.也是学生情感方面的培养.3.7 特殊与一般之间的转化:公式法解一元二次方程就是把特殊的一般化了.同时也可以说把具体的抽象化了.3.8 数学各分支之间的转化:数学本来就是一个连贯的整体,把各分支有机的联系起来,让人感到它的魄力.同时也能解决数学以外的我问题.5 总结提炼数学新课标要求学生不仅要学会知识,还要能用所学的知识解决新问题,并能总结归纳,化为新的知识并接受,这样才能满足社会人才的需求.化归与转化就是将待解决或未解决的问题,通过转化归结为一个已经能解决的问题,或者归结为一个比较容易解决的问题,或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题,最终求得原问题的解决.懂得化归和转化的基本方向是简单化、熟悉化、和谐化.化归和转化需要广泛和灵活的联想,联想的基础是扎实的基础知识、基本技能和基本方法.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题.。

b=（1+sin2x+cos 2x，0），
∴f（x）=a·b=(1-tan x)(1+sin 2x+cos 2x)
cosxsinx•(2cos2 x2sinxcosx) cosx
2(cos2 xsin2 x) 2cos2x.
定义域为 xx
k
2,kz.
(2)因f ( ) 2cos(2 ) 2,
8
转 化 与 化 归 思想pp t完美课 件 通 用
转 化 与 化 归 思想pp t完美课 件 通 用
故有
f f
((2)2)0,0.即2(21(1x2x)2)
2x 1 2x 1
0, 0.
解得 7 1 x 3 1.
2
2
从而实数x的取值范围是( 7 1, 3 1). 22
【例2】（2008·南通调研）已知向量a=(1-
待解决的问题A
应用 问题A的解
观察、分析 类比、联想
容易解决的问题B
还原
解决 问题B的解
其中的问题B是化归目标或化归方向，转化的手段 是化归策略. 2.化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟 知的问题，解题的过程就是一个缩小已知与求解 之间差异的过程，是未知向已知转化的过程，也 是目标向问题靠拢的过程.
tanx,1),b=(1+sin 2x+cos 2x,0),记f(x)=a·b.
（1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；
(2 )若 f( )2 ,且 (0 ,)求 ,f( ).
85
2
转 化 与 化 归 思想pp t完美课 件 通 用
转 化 与 化 归 思想pp t完美课 件 通 用
解 （1）∵a=（1-tan x，1），

配方法：将复杂式子转 化为简单式子
换元法：将复杂式子转 化为简单式子
待定系数法：通过设定未 知系数，将复杂式子转化 为简单式子
数学归纳法：通过归纳推 理，将复杂式子转化为简 单式子
反证法：通过反证法，将 复杂式子转化为简单式子
方程的转化方法
代数变形： 通过代数 运算，将 方程转化 为更简单 的形式
转化与化归思想包括化归法和转化法两种方法，化归法是将复杂问题转化 为简单问题，转化法是将未知问题转化为已知问题。
转化与化归思想在数学解题中有广泛的应用，可以帮助我们解决许多复杂 的数学问题。
转化与化归思想的核心思想是将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转 化为已知问题，从而解决问题。
转化与化归思想的重要性
几何图形的转化方法
平移：将图形沿水平或垂直方向移动
旋转：将图形绕某一点旋转一定角度
反射：将图形沿某一直线或平面进行反 射
缩放：将图形按比例放大或缩小
剪切：将图形沿某一直线或平面进行剪 切
拼接：将多个图形拼接成一个新的图形
转化与化归思想在解题 中的应用
代数题中的转化与化归
转化与化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题 代数题中的转化：将复杂代数式转化为简单代数式，将未知数转化为已知数 代数题中的化归：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题 代数题中的转化与化归的应用：解决复杂代数问题，提高解题效率
转化与化归思想 的核心内容还包 括对问题的深入 理解和分析，以 及对问题的转化 和化归方法的掌 握。
展望转化与化归思想的发展方向
应用领域：数学、物理、化学等 学科
发展趋势：更加注重理论与实践 的结合
研究热点：转化与化归思想的新 方法、新应用

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3．直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的 可能性． 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原 则对我们学习数学是非常有帮助的．
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
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正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中 目标1次的概率为 ________．
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2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题， 以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题． 2．简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．

专题三十 │ 要点热点探究
一般地，对于椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)，A、B 是其 左、右顶点，P 是 C 上异于点 A、B 的动点，则直线 PA 与 PB 的斜率乘积为________．
－ba22 【解析】 设 P(x0，y0)，则 kPA·kPB＝x0y＋0 a·x0y－0 a＝ x20－y20 a2＝b2x201－－aax2022＝－ba22.
例 3 若关于 x 的方程 x4＋ax3＋ax2＋ax＋1＝0 有实数根，求实数 a 的取值范围．
专题三十│ 要点热点探究
【分析】 本题方程中 x 的最高次为四次，直接处理较难，可以考
虑方程两边同时除以 x4，再通过换元化成二次方程处理，就容易多了． 【解答】 由 x4＋ax3＋ax2＋ax＋1＝0 得x2＋x12＋ax＋1x＋a＝0， 即x＋1x2＋ax＋1x＋a－2＝0， 令 t＝x＋1x(t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞))， 则函数 f(t)＝t2＋at＋a－2 在 t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有零点，
专题三十 │ 要点热点探究
► 探究点三 陌生与熟悉的转化
化陌生为熟悉，即当我们面临一个没有接触过的问题时， 要设法把它转化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利 用已有知识、经验或解题模式解出原题．一般来说对题目的熟 悉程度取决于对题目自身结构的认识和理解．常用转化途径 有：
(1)充分联想、回忆基本知识和题型； (2)全方位、多角度地分析题意； (3)恰当构造辅助元素．
由于 f(t)＝
t＋
1＋ t
t＋1t ＋1≥2＋ 2＋1＝2＋ 3，
所以 g(t)＝
t＋
1－ t
t＋1t ＋1＝
1
t＋

一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。

化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。

转化有等价转化与不等价转化。

等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。

常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。

2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。

3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。

4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。

5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。

6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。

7、函数与方程的转化 二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。