不等式。因式分解。分式复习

复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。

复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。

（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。

2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。

易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。

如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。

3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。

4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。

<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。

5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。

<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。

6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。

易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。

解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。

分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。

分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。

分式可以进行四则运算，包括加减乘除。

分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。

分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。

分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。

二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。

2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。

3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。

4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。

三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。

2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。

四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。

2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。

五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。

2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。

3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。

4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。

六、分式的简化步骤：1.因式分解。

2.分子、分母约去最大公约数。

3.整理化简结果。

七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。

个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：讲课时刻（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a pp ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

二、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。

1.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

（），其中A 、B 、C 是整式注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C ；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

3.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

4..分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

因式分解与分式综合检测一 选择题1. 下列变形正确的是 （ ）A ．22a ab b +=+ B ．2a a b ab = C ．a ax b ax = D ．2a abb b =2、下列各式的分解因式：①()()2210025105105p q q q -=+- ②()()22422m n m n m n --=-+-③()()2632x x x -=+- ④221142x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭正确的个数有( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、33.下列多项式，不能运用平方差公式分解的是( )A.42+-mB.22y x --C.122-y x D.412-x 4.若4x 2－mxy ＋9y 2是一个完全平方式，则m 的值为( ) A.6 B.±6 C.12 D.±12 5． 下列因式分解错误的是（ ）A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．222()x y x y +=+ 6．若()()26323----x x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3>xB ．2<xC ．3≠x 或2≠xD ．3≠x 且2≠x 7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．A.4x 2－2x ＋1B.4x 2＋4x －1C.x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋128．把代数式269mx mx m -+分解因式，下列结果中正确的是A ．2(3)m x +B ．(3)(3)m x x +-C ．2(4)m x -D ．2(3)m x - 9、已知正方形的面积是()22168x x cm -+(x >4cm)，则正方形的周长是( ) A 、()4x cm - B 、()4x cm - C 、()164x cm - D 、()416x cm -10、下列变形正确的是（ ） A ．x y x y x y x y -+--=-+ B ．x y x y x y x y -+-=--+ C ．x y x y x y x y -++=--- D ．x y x yx y x y-+-=---+ 二、耐心填一填1．分解因式：244x x ---=_____________。

代数式、整式、分式、因式分解的专题复习一、选择题1．（2022秋•平泉市校级期末）当12x =，计算代数式21(x --= ) A ．0B ．54-C ．34 D ．34-2．（2022秋•广宗县期末）若132m a b +与473n a b +-是同类项，则m ，n 的值分别为( ) A ．2，1B ．3，4C ．3，4-D ．3，23．（2022秋•平泉市校级期末）单项式212xy -的系数是( )A ．2B ．2-C ．12 D ．12-4．若4a b +=-，1ab =.则22(a b += ) A ．14-B ．14C ．7D ．7-5．（2022秋•路北区校级期末）代数式21x xx ++的值为零，则x 的值为( )A ．1-B ．0C ．1-或0D ．16．（2022秋•大名县期末）下列计算正确的是( ) A ．()x y z x y z --=+- B ．()x y z x y z --+=--+C ．333()x y z x z y +-=-+D ．()()a b c d a c d b -----=-+++7．（2022秋•平泉市校级期末）已知：2a b -=，那么225(a b -+= ) A ．1-B ．1C ．9D ．38．（2022秋•高阳县校级期末）已知x ﹣3y ＝3，那么代数式﹣2x +6y +5的值是（ ） A ．﹣3B ．0C ．﹣1D ．119．（2022秋•栾城区校级期末）下列去括号运算正确的是( ) A ．()x y z x y z --+=--- B ．()x y z x y z --=--C ．2()22x z y x z y -+=-+D ．()()a b c d a b c d -----=-+++10．（2022秋•南宫市期末）给出两个运算：甲222.34m n nm m n -=-；乙22.330m n mn -=．下列判断正确的是( ) A ．甲、乙均正确 B ．甲正确，乙错误 C ．甲、乙均错误D ．甲错误，乙正确11．（2022秋•栾城区校级期末）如图是长为a ，宽为b 的小长方形卡片，把六张这样的小长方形卡片不重叠地放在一个底面为长方形（长为8，宽为6)的盒子底部（如图），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则两块阴影部分的周长之和为( )A ．16B ．24C ．20D ．2812．（2022秋•丛台区校级期末）已知0a ≠，下列运算中正确的是( ) A ．236a a a ⋅=B ．532a a a -=C ．325()a a -=D ．34a a a ⋅=13．（2022秋•平泉市校级期末）下列计算，正确的是( ) A ．2(3)(3)3x x x +-=- B ．2242(1)1x x x +=++ C ．23(2)2x x x x +=+D ．222()2a b a ab b -=--14．若3m a =，2n a =.则32m n a -等于( ) A ．34B ．98C ．274D ．015．（2022秋•栾城区校级期末）下列说法正确的是( ) A ．22x -的系数是2 B ．32xy+是单项式 C ．x 的次数是0D ．8既是单项式，也是整式16．（2022秋•新华区校级期末）下列说法正确的是( ) A ．单项式y -的系数是1-，次数是0 B ．25x +=是代数式C ．多项式3232x y x --是四次三项式D ．0不是单项式17．（2022秋•霸州市校级期末）记238256(12)(12)(12)(12)(12)x =+⨯+⨯+⨯+⨯⋯⨯+，则1x +是( ) A ．一个奇数 B ．一个质数C ．一个整数的平方D ．一个整数的立方18．（2022秋•丛台区校级期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是( )A ．()m x y mx my +=+B ．243(2)(2)3x x x x -+=+-+C ．2(3)(3)9x x x +-=-D ．3(1)(1)x x x x x -=+-19．（2022秋•安次区期末）若2(3)4x m x +-+能用完全平方公式进行因式分解，则常数m 的值为( ) A ．1或5B ．7或1-C ．5D ．720．（2022秋•磁县期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是( ) A ．2(2)(2)4x x x +-=- B ．223(2)3x x x x --=-- C ．2244(2)x x x -+=-D ．32(1)x x x x -=-21．（2022秋•广宗县期末）若212()()x x x p x q +-=++，则p ，q 的值分别为( ) A ．3p =，4q =B ．3p =-，4q =C ．3p =，4q =-D ．3p =-，4q =-22．下面是嘉淇同学的练习题，他最后得分是( ) 姓名嘉淇得分_____填空题（评分标准：每道题5分） （1）2-的相反数为（2）； （2）11||()22-=；（3）用代数式表示a ，b 之差与c 的商：()ba c-；（4）单项式245x y-的系数为(4)-．A ．20分B ．15分C ．10分D ．5分23．（2022秋•襄都区校级期末）已知23a b -=，则代数式367b a -+的值为( ) A ．2-B ．4-C ．4D ．5-24．如果式子225y y -+的值为7，那么式子2421y y -+的值为( ) A ．2B ．3C ．2-D ．525．（2022秋•河北期末）下列运算正确的是( ) A ．232(31)3m mn n m n m n -+=- B ．2224(3)9ab a b -=-C ．551022a a a +=D ．233x y xy x ÷=26．（2022秋•路北区校级期末）下列计算正确的是( ) A ．236(3)9a a -=- B ．235()a a = C ．2242(2)2a b ba a b ⋅-=-D ．933a a a ÷=27．（2022秋•南宫市期末）已知2022202020212021202120202022x -=⨯⨯，则x 的值为( ) A ．2023B ．2022C ．2021D ．202028．（2022秋•雄县校级期末）将多项式316a a -进行因式分解的结果是( ) A ．(4)(4)a a a +-B ．2(4)a -C ．(16)a a -D ．(4)(4)a a +-29．（2022秋•定州市期末）下列因式分解最后结果正确的是( ) A ．223(1)(3)x x x x --=-+ B ．2()()()x x y y y x x y -+-=-C ．32(1)x x x x -=-D ．2269(3)x x x -+-=-30．若对分式“2121x x x x-+⋅-”进行约分化简，则约掉的因式为( ) A ．1x +B ．2x +C ．1x -D ．x31．（2022秋•雄县校级期末）化简22422a b a b b a+--的结果是( ) A ．2a b -+ B ．2a b --C ．2a b +D ．2a b -32．若分式35x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．3x ≠ B ．5x ≠ C ．5x > D ．5x >-33．（2022秋•新华区校级期末）若a ≠2，则我们把称为a 的“友好数”，如3的“友好数”是＝﹣2，﹣2的“友好数”是＝，已知a 1＝3，a 2是a 1的“友好数”，a 3是a 2的“友好数”，a 4是a 3的“友好数”，⋯，依此类推，则a 2023的值为（ ） A ．﹣2B ．C ．D ．334．若多项式235ax x -+与222x bx --的差是常数，则a b -的值为( ) A ．1 B ．1- C ．5 D ．5-二、填空题35．（2022秋•栾城区校级期末）若代数式：||3a x y -与212b x y 是同类项，则a b -= ．36．（2022秋•路北区校级期末）若222(1)16x m xy y --+是完全平方式，则m = ． 37．（2022秋•丰南区校级期末）已知16m x =，3n x =.则2m n x -的值为 ． 38．（2022秋•桥西区校级期末）分解因式：256ax ax a -+= ． 39．若分式||55y y --的值为0，则y = ；若分式||55y y--有意义，则y ． 40．（2022秋•桥西区期末）若221m m -=，则2242024m m --的值是 ．41．（2021秋•定州市期末）当x = 时，分式21628x x --的值为0．42．已知2210x x --=，则236x x -= ；则322742019x x x -+-= ． 三、解答题43．（2021秋•桥西区校级期末）化简：2242137a a a a ++--．44．（2022秋•栾城区校级期末）计算下列各小题． （1）122()(18)|10|639-+⨯---；（2）52243(1)[3()2]()34-⨯-⨯--⨯-；（3）13342x x x +--=-；（4）先化简，再求值：2222()3()1x y xy x y xy x y +--+-，其中x 是最大的负整数，y 是2的倒数．45．（2021秋•易县期末）（1）计算：08611(3)33()3π---÷+（2）分解因式：2363x x ++46．（2022秋•襄都区校级期末）（1）计算：322433(25)()(3)9-÷+----⨯-；（2）解方程：321123y y -++=；（3）先化简，再求值：222214()3()212x y xy x y x xy +-+-+，其中2x =-，3y =．47．（2022秋•桥西区校级期末）已知一个代数式与22x x -+的和是263x x -++． （1）求这个代数式；（2）当12x =-时，求这个代数式的值．48．（2022秋•邯山区校级期末）计算：（1）2(2)(2)()a b a b a b +---； （2）2432932(3)x x x x x ----÷．49．（2022秋•万全区期末）分解因式：（1）416a -； （2）22331212x y xy y ++．50．（2022秋•雄县校级期末）计算：（1）20300211|6|( 3.14)()3π--+---+-； （2）31321()2x y x y --．51．（2022秋•路南区校级期末）（1）计算：22012()(2022)|3|2ππ--+-+---．（2）先化简，再求值：222569(1)22x x x x x x--+-÷--，然后选择一个你喜欢的数代入求值．52．（2022秋•路南区校级期末）已知多项式222A x x n =++，多项式222433B x x n =+++． （1）若多项式222x x n ++是完全平方式，则n = ；（2）有同学猜测2B A -的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由； （3）若多项式222x x n ++的值为1-，求x 和n 的值．53．（2022秋•邯山区校级期末）先化简：222()1121x x x xx x x x --÷---+，然后从1-、0、1、2中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．。

数学知识要点总结 初中基础知识：1. 相反数、绝对值、分数的运算；2. 因式分解：提公因式：xy-3x=(y-3)x十字相乘法 如：)2)(13(2532-+=--x x x x配方法 如：825)41(23222-+=-+x x x 公式法：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2 (x-y)2=x 2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y) 3. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法： （1） 代入法 （2） 消元法6.完全平方和（差）公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-7.平方差公式：))((22b a b a b a -+=-8.立方和（差）公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-第一章 集合1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

注：∆描述法 },|取值范围元素性质元素｛⋯∈⋯=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、*N （正整数集）、+Z （正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“∉”的关系。

（2） 集合与集合是“⊆” “”“=”“⊆/”的关系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。

（做题时多考虑φ是否满足题意）（2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集有22-n 个。

5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）}|{B x A x x B A ∈∈=且 ：A 与B 的公共元素（相同元素）组成的集合 （2）}|{B x A x x B A ∈∈=或 ：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

代数式、整式、分式、因式分解的专题复习题一、选择题1．（2021秋•石泉县期末）计算12-的值为( ) A ．2B ．12C ．2-D ．1-2．（2022春•丰泽区校级期中）计算：11()(6-= ) A ．6-B ．6C ．16-D ．163．（2022秋•余庆县期末）下列各式从左到右的变形为分解因式的是( ) A ．32321836x y x y =B ．2(2)(3)6m m m m +-=--C ．289(3)(3)8x x x x x +-=+-+D ．26(2)(3)m m m m --=+-4．（2022秋•淄川区期中）计算211x xx x--÷的结果是( ) A ．2xB ．2x -C ．xD ．x -5．（2022春•吴江区期中）如果1(0.1)a -=-，0(2022)b =-，23()2c -=-，那么a 、b 、c三个数的大小为( ) A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>6．（2022秋•朝阳区期末）单项式232x y -的系数和次数分别是( )A ．3-，2B ．12-，3C ．32-，2D ．32-，37．下列计算正确的是( ) A ．22(3)9a a +=+ B ．222(9)189x y x xy y -=-+ C ．22(23)469a a a +=++D ．222()2x y x xy y -+=-+8．若关于x 的多项式2(2)(24)x ax x ++-展开合并后不含2x 项，则a 的值是( ) A ．0B ．12C ．2D ．2-9．（2022秋•淄川区期中）已知多项式2ax bx c ++，其因式分解的结果是(1)(4)x x +-，则abc 的值为( )A ．12B ．12-C ．6D ．6-10．（2022秋•怀柔区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()A ．2(2)2x x x x +=+B ．22(3)69x x x -=-+C ．211()x x x x+=+D ．29(3)(3)x x x -=+-11．（2022春•庐江县月考）下列四个式子中在有理数范围内能因式分解的是()A ．21x +B ．2x x +C ．221x x +-D ．21x x -+12．（2022春•运城月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( ) A ．2(2)(3)6x x x x -+=+- B ．2(2)24x x -=- C ．24414(1)1x x x x -+=-+D ．3(1)(1)x x x x x -=-+13．（2022秋•离石区月考）下列各式中．是因式分解的是( ) A ．292(9)2m m m m -+=-+ B ．3()33m n m n +=+C ．2244(2)m m m ++=+D ．2223623(2)m m m m --=-+14．（2022秋•苍溪县期末）下列分式的变形正确的是( )A ．33a ab b +=+B ．22a a b b=C ．2a ab b b =D ．a aa b a b-=-++ 15．（2022秋•门头沟区期末）如果分式1xx +有意义，那么x 的取值范围( ) A ．0x ≠B ．1x ≠C ．1x =-D ．1x ≠-16．（2022秋•淄川区期中）若分式中22aba W+的a 和b 都扩大3倍，且分式的值不变，则W 可以是( ) A ．3B ．bC ．2bD ．3b17．（2022秋•合川区校级期末）下列分式是最简分式的是( ) A ．93baB ．22aba bC ．a ba b+- D ．2aa ab- 18．（2022秋•东丽区校级期末）计算32(3)x y -的结果是( )A ．329x yB ．629x yC ．326x yD ．626x y -19．（2022秋•泸县校级期末）若2(3)(5)15x x x mx -+=+-，则m 的值为( ) A ．8-B ．2C ．2-D ．5-20．（2022秋•丰满区期末）在下列计算中，正确的是( ) A ．4482a a a ⋅=B ．236(2)8a a -=-C ．347a a a +=D ．623a a a ÷=21．（2021秋•红花岗区校级月考）下列计算正确的是( ) A ．2221x x -= B ．22234a a a -+=-C ．3(1)31a a +=+D ．2(1)22x x -+=--22．（2021春•济南期中）若29x mx ++是完全平方式，则m 的值是( ) A ．3±B ．6-C ．6D ．6±23．（2022秋•霍邱县月考）单项式24m n -的系数和次数是( )A ．系数是14，次数是3B ．系数是14-，次数是3C ．系数是14-，次数是2D ．系数是3，次数是14-24．（2022秋•安徽期中）一个多项式与221x x +-的和是32x +，则这个多项式为( )A ．251x x -++B ．23x x -++C ．251x x ++D ．23x x --25．（2021秋•儋州校级期末）下列多项式中，能进行因式分解的是( ) A ．22x y +B ．32x y x y +C ．x y +D ．1y +26．（2022秋•莱州市期末）下列多项式，能用平方差公式分解的是( ) A ．224x y -+B ．2294x y +C ．22(2)x y +-D ．224x y --27．（2022秋•北京期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A ．2(3)(3)9x x x +-=- B ．22(2)44x x x +=++ C ．2(3)(5)215x x x x -+=+-D ．222469(23)x xy y x y -+=-28．（2022春•运城月考）将下列多项式因式分解，结果中不含有3x +因式的是()A ．29x -B ．23x x +C ．269x x -+D ．269x x ++29．（2022春•金牛区校级月考）多项式2224333126x y x y x y --的公因式是( ) A ．223x y zB ．22x yC ．223x yD ．323x y z30．（2022秋•龙江县校级期末）下列式子运算结果为1x +的是( )A ．2211x x x x -⋅+ B ．11x- C ．2211x x x +++D ．111x x x +÷- 31．（2021秋•白云区月考）下列选项中最简分式是( )A ．23x x x+B ．224xC ．211x x +- D ．211x + 32．若234a b c ==，且0abc ≠，则32a bc a+-的值是( ) A ．2B ．2-C ．3D ．3-33．（2022秋•淄川区期中）下列式子：33,,,21x y a xx a π++，其中是分式的是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个34．（2022秋•石景山区期末）下列各式中，运算正确的是( )A ．11223x x x +=B ．2112111x x x +=+-- C ．2642142y x x y y⋅=D ．221323y xy x y÷=35．（2022秋•南岸区校级月考）下列运算正确的是( ) A ．222a a a +=B ．235a a a ⋅=C ．236(2)8a a -=D ．222()a b a b +=+36．（2021秋•平山区校级月考）下列计算正确的是( ) A ．2222a a a ⋅= B ．321a a a-⋅= C ．235()a a =D ．222()a b a ab b -=++37．（2022秋•新野县期中）下列变形中，从左到右不是因式分解的是( ) A ．22(2)x x x x -=-B ．2221(1)x x x ++=+C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．22(1)x x x+=+38．（2022秋•中山区期末）若多项式2x bx c ++因式分解的结果为(2)(3)x x -+，则b c +的值为( ) A ．5-B ．1-C ．5D ．639．已知223A x x =--，2234B x x =-+，则A B -等于( ) A ．21x x --B ．21x x -++C ．2357x x --D ．27x x -+-40．（2022秋•合川区校级期末）已知23x y -=，则代数式221744x xy y -++的值为( )A ．434B ．134C ．3D ．4二、填空题41．（2022秋•朝阳区校级期末）多项式23223x y xy y --+的次数是 ．42．已知2ba=，则2222444a ab b a b ++=- ．43．（2022秋•密山市校级期末）若210y y m ++是一个完全平方式，则m = ． 44．（2021秋•岳麓区校级期末）单项式232x y -的系数为 ． 45．（2022秋•铁东区校级期末）若分式2xx-有意义，则x 的取值范围是 ． 46．计算：223()2a b ---= ． 47．（2022秋•苍溪县期末）若分式242a a -+的值为零，则a 的值是 ．48．（2022秋•西岗区校级期末）因式分解22mx mx m ++= ．49．若2610x x -+=，则242461x x x =++ ．50．（2022秋•北京期末）分解因式：2327a -= ． 三、解答题51．（2022秋•朝阳区期末）计算：2213[4.5(3)2]2x x x x ---+． 52．先化简，再求值：23(2)[15(2)]a a b a b -----，其中1a =，5b =-．53．因式分解：（1）2()6()m a b n a b ---； （2）222(91)36a a +-；（3）222(5)8(5)16x x -+-+．54．因式分解：（1）229a b -； （2）22242a ab b -+． 55．计算：（1）22()()x x y x y -++； （2）[(2)2()()]y x y x y x y x --+-÷；56．先化简，再求值：228(2)22x x x x x x +÷+---，其中1x =．57．先化简，再求值：23211(1)x x x x ---÷，其中20x x --=．。

湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1分式1.2分式的乘法和除法1.3整数指数幕1.4分式的加法和减法1.5可化为一元一次方程的分式方程J本章复习与测试第2章三角形2.1三角形2.2命题与证明2.3等腰三角形2.4线段的垂直平分线2.3全等三角形2.6用尺规作三角形本章复习与测试第3章实数3.1平方根3.2立方根3.3实数第4章一元一次不等式（组）4.1不等式4.2不等式的基本性质4.3一元一次不等式的解法4.4一元一次不等式的应用4.5—元一次不等式组本章复习与测试第5章二次根式3.1二次根式3.2二次根式的乘法和除法3.3二次根式的加法和减法本章复习与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：认真阅读教材P IT回顾相关知识:—分式的走义4—分式的概念一—分式的性质2分式_—分式的运算一—分式方程a一分式无意义+j—分式的值为零4—乘’除运算a—整数指数幕的运算A—加、减运算厂二、课堂点拨：知识点一：分式的概念★考点1：分式的定义：f 一个空成/除以一个 ______________ （___________ ）,所得的商®叫做分乙1S例1、下列式子竿竽,±⅛叵中,是分式的是__________________ 。

“2x 5 K X姑点2汾式无意义:*jf⅛5>X-屮，当g ______ 时.分Λt⅛⅛: g_______ 时.÷1S例2、令二_____ 亦分式上没有意凫争__________ 陥分式厶有意矢2兀+1 工+1姑点3汾式的值为象亠f⅛5>X-屮，⅛/ ________ JLg ______ 叭分貞的½⅛0BSIY-I例氐若分式J的動岔则询勵_____________ O ÷'A-+1知识点二：分式的性质★考点4：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘 _________ ,所得分式与原分式相等。

即 ___________ （其中A ≠ O）分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。

2023年初中数学中考考点一、代数1. 一元一次方程与一元一次不等式 1.1 解一元一次方程1.2 解一元一次不等式2. 整式2.1 整式的加减2.2 整式的乘除3. 因式分解3.1 提公因式法3.2 积因式分解4. 分式4.1 分式的加减4.2 分式的乘除二、几何1. 相似三角形1.1 判定相似三角形 1.2 相似三角形的性质2. 平行线与三角形2.1 平行线的性质2.2 三角形内角和3. 圆3.1 圆的性质3.2 圆内接四边形4. 三角形4.1 三角形的外角性质 4.2 三角形的面积计算三、函数与图像1. 一次函数1.1 一次函数的性质 1.2 一次函数图像2. 二次函数2.1 二次函数的性质2.2 二次函数图像3. 绝对值函数3.1 绝对值函数的性质 3.2 绝对值函数图像四、统计与概率1. 统计1.1 统计量的计算1.2 统计图的绘制2. 概率2.1 基本概率事件2.2 条件概率的计算五、解析几何1. 直线与圆1.1 直线与圆的位置关系 1.2 直线与圆的性质2. 空间图形2.1 空间图形的投影2.2 空间图形的体积计算六、实际问题1. 实际问题的解决方法1.1 将实际问题转化为数学问题1.2 利用数学方法解决实际问题2. 实际问题的综合运用2.1 结合多种数学知识解决实际问题 2.2 实际问题综合运用的技巧七、综合练习1. 综合练习题1.1 完形填空题1.2 阅读理解题2. 综合练习题解析2.1 完形填空题解析2.2 阅读理解题解析以上便是2023年初中数学中考的考点归纳双向细目表，同学们在备考中可根据此表进行有针对性的复习和练习，以取得更好的考试成绩。

2023年初中数学中考考点归纳双向细目表随着2023年初中数学中考的逐渐临近，同学们将面临着对数学知识的系统复习和全面梳理。

为了帮助同学们更好地备战数学中考，以下将就上文所述的考点进行更加详细的探讨和扩充。

一、代数代数是数学中的重要分支，它涵盖了一元一次方程与一元一次不等式、整式、因式分解和分式等内容。

不等式的性质和证明1. 不等式的性质是证明不等式和解不等式的依据.样 由不等式性质定理4的推论2和定理5可得: 如果a 、b ∈ R +, 那么a > b ⇔ a n > b n (n ∈N), 在比较分数指数幂或根式的值的大小时常用.2. 比较法是证明不等式最基本的方法. 比较法的主要步骤是: 作差、变形、判断符号. 变形中常用到因式分解和配方, 其目的是便于判断正负. 比较某些分式、指数式或绝对值等的大小有时用作商比较方便一些.3. 分析法与综合法是证明命题(包括不等式、恒等式、定理等)时常用的两种方法, 主要由证明的思路和表述方式来区分.(1) 分析法是从求证的结论J 出发, 逐步分析能使结论成立的充分条件, 直到所需条件可由题设T 判明正确时, 就可断定原结论正确, 即: J ⇐ …… ⇐ T ，∵T 为真，∴J 成立. 用分析法证题时要特别注意不能省略反映逻辑推理过程的连结字或符号. 如果每一步都是使结论成立的充要条件, 就可用符号“⇔”表述(参看教材22页例3).(2) 综合法是由已知条件T 出发, 利用定义、公理、定理(如基本不等式)等，推出要证明的结论J ，即：T ⇒ ……… ⇒ J.(3) 具体证题时常采用“分析法找(思)路, 综合法表述”的论证方式.4. 熟记三个重要不等式及其中字母的取值范围, 在证明其它不等式时若能直接引用则可简化论证过程. 特别要重视“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的灵活运用.5. 同向不等式两边分别相加或相乘是用综合法证明不等式的常用手段, 经常与应用重要不等式结合使用. 注意相乘时需要两边都是正数.6. 证明不等式的常用技巧有: 变量代换(例如三角代换), 同向放缩等.7. 证明不等式还可用数学归纳法、反证法等其它方法.8. 求函数f (x) 的最值的基本步骤是: (1) 论证f (x) ≥ m (或f (x) ≤ m );(2) 说明当x 取定义域内的某些值时相等能够成立. 9. 第10页例1中的结论是求最值的常用工具:(1) 如果两个正变量的和为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的积取最大值; (2) 如果两个正变量的积为常数, 那么当且仅当这两个变量相等时它们的和取最小值.例1 已知a > b 且ab ≠ 0, 比较a 1和b1的大小.解 ∵a 1 - b1 = ab a b -, 且a > b ⇔ b - a < 0,∴ 当ab > 0时ab a b -< 0, a 1 < b1;当ab < 0时ab a b -> 0, a 1 > b 1(也可由a > 0 > b 得a 1 > 0 > b1 ).综上所述, 当a > b > 0或b < a < 0时a 1 < b 1, 当a > 0且b < 0时a 1 > b1. 例2. 已知a ≠ b, a 、b 、m 、n ∈ R + 且m + n = 1, 试比较nb ma + 与a m + b n 的大小.解 设P =nb ma +, Q =a m + b n .∵a 、b 、m 、n ∈ R +, ∴ P > 0, Q > 0.∵m + n = 1, ∴P 2 = ma + nb = (ma + nb)(m + n),P 2 - Q 2 = (ma + nb)(m + n) - (a m + b n )2 = mn(a - b )2 ,∵ a ≠ b, ∴P 2 - Q 2 > 0, P > Q,nb ma + > a m + b n .例3. 若 a > 2, 证明 log a (a - 1) < log a+1 a .证明 设c = log a (a - 1) - log a+1 a = log a (a - 1) -)1(log 1+a a =)1(log 1)1(log )1(log +-+-a a a a a a ,∵a >2, log a (a + 1) > 0, log a (a - 1) > 0,log a (a - 1) log a (a + 1) = ()1(log )1(log +-a a a a )2 < (21( log a (a - 1) + log a(a + 1)))2= (21log a (a 2 - 1))2 < (21log aa 2 )2 (同向放缩) = 1,∴ c < 0, log a (a - 1) < log a+1 a . 也可用作商比较法.例4. 设a 、 b 、c ∈ R +, 且a + b + c = 1, 证明a +b +c ≤3 .证明 ∵a 、 b 、c ∈ R +, 且a + b + c = 1,要证a +b +c ≤ 3,只需证 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3, 即证 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a + b + c),∴只需证 (a -b )2 + (b -c )2 + (c -a )2 ≥ 0 ①, ∵不等式①成立, ∴a +b +c ≤ 3.例5. 1. 已知x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, 求 x1 + y 1 的最小值. 请指出下面两种解法中哪一种是错误的, 为什么?解法一 由1 = x + 2y ≥ 2xy 2得xy 1 ≥ 22, ∴ x 1 + y 1 ≥xy2 ≥ 42,∴x1 + y 1的最小值是42.解法二 ∵x, y ∈ R + 且x + 2y = 1, ∴ x 1 + y 1= (x + 2y)(x1 + y 1) = 3 + x y2 + y x ≥3 + 22, 当且仅当xy 2 = y x即x =2 - 1, y = 1 -22 时相等成立, ∴ x1 + y 1 的最小值是3 + 22.例6. 设lg x + lg y = 1, 求2x + 5y 的最小值.例6. 由题设知x > 0, y > 0且xy = 10, ∴2x + 5y ≥ 2xy 10 = 20, 当且仅当2x = 5y 时相等成立, 此时x ∙52x = 10, x = 5, y = 2. 高考题精选1.（03京春）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A.a +c >b +d B.a －c >b －d C.ac >bdD.cbd a > 2.（01京春）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ ） A.18 B.6 C.23 D.243 6.（01上海春）若a 、b 为实数，则a >b >0是a 2>b 2的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 3.（00全国）若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则（ ） A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.（94上海）若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是（ ） A.（1－a ）31＞（1－a ）21 B.log 1－a （1＋a ）＞0 C.（1－a ）3＞（1＋a ）2D.（1－a ）)1(a +＞15.(04湖北) 若011<<ba ，则下列不等式: ①ab b a <+； ②|;|||b a > ③b a <； ④2>+baa b 中，正确的不等式有 （ ）BA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(05重庆) 若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是 （ ）CA ．3B ．27 C ．4 D ．297. 设a = sin 15º + cos 15º, b = sin 16º + cos 16º, 下面各式中正确的一个是 ( )(A) a <222b a +< b (B) a < b < 222b a + (C) b < a <222b a + (D) b <222b a +< a .1.A ∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +d .2.B 3a +3b ≥2b a b a +=⋅3233=6，当且仅当a =b =1时取等号.故3a +3b 的最小值是6.3.B ∵lg a ＞lg b ＞0，∴21（lg a ＋lg b ）＞b a lg lg ⋅，即Q ＞P ，又∵a ＞b ＞1，∴ab b a >+2，∴21lg )2lg(=<+ab b a （lg a ＋lg b ），即R ＞Q ，∴有P ＜Q ＜R ， 4. A. 因为0＜a ＜1，所以0＜1－a ＜1，而指数函数y =m x （m ＞0，m ≠1）在0＜m ＜1时，是减函数，则（1－a ）31＞（1－a ）21，故选A.1. 已知a 、 b 、c 是不全相等的正数, 求证：ab +bc +ca < a + b + c . 证明 ∵a 、 b 、c ∈ R +, ∴ab ≤ 2b a + ①,bc ≤ 2c b + ②,ca ≤ 2a c + ③ .又∵a 、 b 、c 不全相等, ①、②、③中的等号不能同时成立, ∴ab +bc +ca < a + b + c .。