北京市崇文区达标名校2019年高考三月调研数学试卷含解析

北京市崇文区达标名校2019年高考三月质量检测物理试题一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图所示，接在家庭电路上的理想降压变压器给小灯泡L 供电，如果将原、副线圈减少相同匝数，其他条件不变，则()A ．小灯泡变亮B ．小灯泡变暗C ．原、副线圈两端电压的比值不变D ．通过原、副线圈电流的比值不变2．我国计划于2020年发射火星探测器，如图是探测器到达火星后的变轨示意图，探测器在轨道Ⅰ上的运行速度为1v ，在轨道Ⅱ上P 点的运行速度为v 2，Q 点的运行速度为3v ，在轨道Ⅲ上P 点的运行速度为v 4，R 点的运行速度为v 5，则下列关系正确的是A ．21v v <B ．13v v <C ．42v v >D ．2435v v v v > 3．通信卫星一般是相对地面“静止”的同步卫星，三颗同步卫星就可以实现全球通信。

设地球的半径为R ，地面的重力加速度为g ，地球的自转周期为T 。

则速度为c 的电磁波从一颗卫星直线传播至相邻的另一颗卫星，传播时间为（ ）A 2232334gR T π B 223234gR T πC 22321334gR T c πD 2232134gR T c π4．一辆F1赛车含运动员的总质量约为600 kg ，在一次F1比赛中赛车在平直赛道上以恒定功率加速，受到的阻力不变，其加速度a和速度的倒数1ν的关系如图所示，则赛车在加速的过程中（）A．速度随时间均匀增大B．加速度随时间均匀增大C．输出功率为240 kwD．所受阻力大小为24000 N5．下列关于物质结构的叙述中不正确．．．的是A．天然放射性现象的发现表明了原子核内部是有复杂结构的B．质子的发现表明了原子核是由质子和中子组成的C．电子的发现表明了原子内部是有复杂结构的D．α粒子散射实验是原子核式结构模型的实验基础6．一质量为M的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力F始终保持不变，气球在运动过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为g。

北京市第四中学2019年高考第三次调研考试卷文科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,且,则可以是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为，所以得到且，根据选项可以确定a的值.【详解】解：因为，且集合,所以且,根据选项情况，由此可以判定只能选择C.【点睛】本题考查了集合间的关系、集合中元素的性质，解题时要注意集合元素的互异性这一隐含的条件.2.下列函数中,与函数的单调性和奇偶性相同的函数是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】可以判断函数是定义在R上的奇函数、单调增函数，从定义域角度可以分析出选项A、B、C均不能成立，由此可以得出正确选项。

【详解】解：函数的定义域为R，因为，所以得到为奇函数，又因为恒成立，故在R上为单调递增函数，选项A的定义域为，不成立，选项B的定义域为，不成立，选项C的定义域为，不成立，选项D的定义域为R，由于，所以函数为奇函数，又因为，所以为单调增函数，所以，选项D满足题意。

【点睛】本题考查了函数的基本性质，判断函数性质要遵循“定义域优先”的原则，特别是判断函数的奇偶性时，首先要判断定义域是否关于原点对称；函数的单调性则可以通过图像、导数等等方法进行判断。

3.已知分别为三角形ABC三个内角的对边,且,则三角形ABC中为A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以,即选C.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.等差数列中,前项和为,公差,且,若,则A. B. C.的值不确定 D.【答案】B【解析】因为，所以，即，因为，所以=-6，选B.6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】抠点法，在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,，故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7.已知直线与圆相交于、两点,是线段的中点,则点到直线的距离的最大值为A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】直线经过定点（-4,0），设，则点，将点B代入圆的方程，则得到点M的轨迹方程，分析轨迹方程可知点M的轨迹为圆，然后再利用直线与圆的知识解决问题。

北京市崇文区2019-2020学年中考数学第三次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．92．李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如下：阅读时间（小时） 2 2.5 3 3.5 4学生人数（名） 1 2 8 6 3则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（）A．众数是8 B．中位数是3C．平均数是3 D．方差是0.343．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=1．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣91255，）B．（﹣12955，）C．（﹣161255，）D．（﹣121655，）4．若代数式238M x=+，224N x x=+，则M与N的大小关系是（）A．M N≥B．M N≤C．M N>D．M N<5．若关于x 的一元一次不等式组312(1)x xx a-+⎧⎨-⎩pf无解，则a 的取值范围是（）A．a≥3B．a＞3 C．a≤3D．a＜36．tan30°的值为（）7．2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里，居世界第一，将数据135000用科学计数法表示正确的是（）A．1.35×106B．1.35×105C．13.5×104D．135×1038．一辆慢车和一辆快车沿相同的路线从A地到B地，所行驶的路程与时间的函数图形如图所示，下列说法正确的有（）①快车追上慢车需6小时；②慢车比快车早出发2小时；③快车速度为46km/h；④慢车速度为46km/h；⑤A、B两地相距828km；⑥快车从A地出发到B地用了14小时A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（）A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm10．如图，A、B为⊙O上两点，D为弧AB的中点，C在弧AD上，且∠ACB=120°，DE⊥BC于E，若AC=DE，则BECE的值为（）A．3 B3C 33+D3111．如果数据x1，x2，…，x n的方差是3，则另一组数据2x1，2x2，…，2x n的方差是（）12．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a 岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＜13，b=13B ．a ＜13，b ＜13C ．a ＞13，b ＜13D ．a ＞13，b=13 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.14．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A （﹣6，0），C （0，23）．将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为_____．15．如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A'B'C'，此时A′B′⊥AC 于D ，已知∠A ＝50°，则∠B′CB 的度数是_____°．16．若关于x 的方程220x x a +-=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______． 17．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠BAD ＝60°，则∠ACD ＝_____°．18．因式分解34x x -= ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）解不等式组20{5121123x x x ->+-+≥①②，并把解集在数轴上表示出来．20．（6分）如图，为了测量建筑物AB 的高度，在D 处树立标杆CD ，标杆的高是2m ，在DB 上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.1．）21．（6分）已知，如图1，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B在x轴上，点B的横坐标为94，抛物线经过A、B、C三点．点D是直线AC上方抛物线上任意一点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P为线段AC上一点，且S△PCD=2S△PAD，求点P的坐标；（3）如图2，连接OD，过点A、C分别作AM⊥OD，CN⊥OD，垂足分别为M、N．当AM+CN的值最大时，求点D的坐标．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝kx－k的图象的交点坐标为A(m，2)．(1)求m的值和一次函数的解析式；(2)设一次函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积；(3)直接写出使函数y＝kx－k的值大于函数y＝x的值的自变量x的取值范围．23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点．(1)已知点A的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，T(2，﹣3)中，为点A的同族点的是；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为；(2)直线l：y=x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l上的一个动点，若以(m，0)为圆心，2为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．24．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BC=6，AC=4CE时，求⊙O的半径．25．（10分）观察猜想：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D落在点E处，如图①所示，则线段CE和线段BD的数量关系是，位置关系是．探究证明：在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并证明你的判断．拓展延伸：如图③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC=2，其他条件不变，过点D作DF⊥AD交CE于点F，请直接写出线段CF长度的最大值．26．（12分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？27．（12分）计算：sin30°4（π﹣4）0+|﹣12 |．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键. 2．B【解析】【分析】A、根据众数的定义找出出现次数最多的数；B、根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的2个数的平均数，即可得出中位数；C、根据加权平均数公式代入计算可得；D、根据方差公式计算即可．解： A 、由统计表得：众数为3，不是8，所以此选项不正确；B 、随机调查了20名学生，所以中位数是第10个和第11个学生的阅读小时数，都是3，故中位数是3，所以此选项正确；C 、平均数=122 2.5386 3.5433.3520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以此选项不正确；D 、S 2=120×[（2﹣3.35）2+2（2.5﹣3.35）2+8（3﹣3.35）2+6（3.5﹣3.35）2+3（4﹣3.35）2]=5.6520=0.2825，所以此选项不正确； 故选B ． 【点睛】本题考查方差；加权平均数；中位数；众数． 3．A 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC 1三边关系，再利用勾股定理得出答案． 【详解】过点C 1作C 1N ⊥x 轴于点N ，过点A 1作A 1M ⊥x 轴于点M ，由题意可得：∠C 1NO=∠A 1MO=90°， ∠1=∠2=∠1， 则△A 1OM ∽△OC 1N ， ∵OA=5，OC=1， ∴OA 1=5，A 1M=1， ∴OM=4，∴设NO=1x ，则NC 1=4x ，OC 1=1， 则（1x ）2+（4x ）2=9， 解得：x=±35（负数舍去）， 则NO=95，NC 1=125，故点C 的对应点C 1的坐标为：（-95，125）．此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A 1OM ∽△OC 1N 是解题关键． 4．C 【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∴222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∴M N >. 故选C. 5．A 【解析】 【分析】先求出各不等式的解集，再与已知解集相比较求出 a 的取值范围． 【详解】由 x ﹣a ＞0 得，x ＞a ；由 1x ﹣1＜2（x+1）得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1． 故选：A ． 【点睛】考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6．D 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】tan30°＝，故选：D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数的值的求法，熟记特殊的三角函数值是解题的关键． 7．B科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：135000=1.35×105故选B．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．B【解析】【分析】根据图形给出的信息求出两车的出发时间，速度等即可解答．【详解】解：①两车在276km处相遇，此时快车行驶了4个小时，故错误．②慢车0时出发，快车2时出发，故正确．③快车4个小时走了276km，可求出速度为69km/h，错误．④慢车6个小时走了276km，可求出速度为46km/h，正确．⑤慢车走了18个小时，速度为46km/h，可得A,B距离为828km，正确．⑥快车2时出发，14时到达，用了12小时，错误．故答案选B．【点睛】本题考查了看图手机信息的能力，注意快车并非0时刻出发是解题关键．9．A【解析】【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC＝PD，再根据垂线段最短解答即可．【详解】解：作PD⊥OB于D，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，∴PD ＝PC ＝6cm ， 则PD 的最小值是6cm ， 故选A ． 【点睛】考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 10．C 【解析】 【分析】连接,,CD BD D 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=o ,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,则ACD V ≌BFD △,根据全等三角形的性质可得：,CD FD = ,ADC BDF ∠=∠ ,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠ 即120,CDF ADB ∠=∠=o ,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=o设,DE x = 则,BF AC x ==3,tan 30DE CE EF x ===o 即可求出BECE的值.【详解】 如图：连接,,CD BDD 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=o,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,,AC BF CAD FBD AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则ACD V ≌BFD △,,CD FD ∴= ,ADC BDF ∠=∠ ,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠即120,CDF ADB ∠=∠=o,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=o设,DE x = 则,BF AC x ==,tan 30DE CE EF ===o33BE BF EF CE CE +=== 故选C.【点睛】考查弧，弦之间的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，综合性比较强，关键是构造全等三角形.11．C【解析】【分析】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，再根据方差公式进行计算：()()()()222221231n S x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦L 即可得到答案． 【详解】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ， 根据方差公式：()()()()222221231n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦L =3， 则()()()()22222123122222222n S x a x a x a x a n L ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦ =()()()()222212314444n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦L =4×()()()()22221231n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦L =4×3=12，故选C ．【点睛】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．12．A【解析】试题解析：∵原来的平均数是13岁，∴13×23=299（岁），∴正确的平均数a=≈12.97＜13，∵原来的中位数13岁，将14岁写成15岁，最中间的数还是13岁，∴b=13；故选A．考点：1.平均数；2.中位数.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=1，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为1．∴这个三角形的周长是3+6+1=2．故答案为2．点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．14．（-23，6）【解析】分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=23，得到答案．详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，由题意得，OA=6，3则tan∠BOA=3 ABOA，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB 和△HB 1O ，111B HO BAO B OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOB ≌△HB 1O ，∴B 1H=OA=6，OH=AB=23，∴点B 1的坐标为（-23，6），故答案为（-23，6）． 点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．15．1【解析】【分析】由旋转的性质可得∠A ＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠ACA'＝1°＝∠B′CB ．【详解】解：∵把△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A'B'C'，∴∠A ＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'∵A'B'⊥AC∴∠A'+∠ACA'＝90°∴∠ACA'＝1°∴∠BCB'＝1°故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．16．a ＞﹣．【解析】试题分析：已知关于x 的方程2x 2+x ﹣a=0有两个不相等的实数根，所以△=12﹣4×2×（﹣a ）=1+8a ＞0，解得a ＞﹣． 考点：根的判别式.17．1【解析】【分析】连接BD ．根据圆周角定理可得.【详解】解：如图，连接BD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠B ＝90°﹣∠DAB ＝1°，∴∠ACD ＝∠B ＝1°，故答案为1．【点睛】考核知识点：圆周角定理.理解定义是关键.18．()()x x 2x 2-+-【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式x -后继续应用平方差公式分解即可：()()()324x x x x 4x x 2x 2-=--=-+-． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．﹣1≤x ＜1．【解析】【分析】求不等式组的解集首先要分别解出两个不等式的解集，然后利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（”确定不等式组解集的公共部分.【详解】解不等式①，得x ＜1，解不等式②，得x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x ＜1．不等式组的解集在数轴上表示如下：20．建筑物AB 的高度约为5.9米【解析】【分析】在△CED 中，得出DE ，在△CFD 中，得出DF ，进而得出EF ，列出方程即可得出建筑物AB 的高度；【详解】在Rt △CED 中，∠CED=58°，∵tan58°=CD DE， ∴DE=2tan 58tan 58o o CD = ， 在Rt △CFD 中，∠CFD=22°，∵tan22°=CD DF， ∴DF=2tan 22tan 22o oCD = ， ∴EF=DF ﹣DE=2tan 22o －2tan 58o， 同理：EF=BE ﹣BF=tan 4570o o AB AB tam - ， ∴tan 4570o o AB AB tam -＝2tan 22o －2tan 58o ， 解得：A B≈5.9（米），答：建筑物AB 的高度约为5.9米．【点睛】考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．21．（1）y=﹣13x 2﹣712x+3；（2）点P 的坐标为（﹣83，1）；（3）当AM+CN 的值最大时，点D 的坐标）． 【解析】【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、C 的坐标，由点B 所在的位置结合点B 的横坐标可得出点B 的坐标，根据点A 、B 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的函数关系式；（2）过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，则△APE ∽△ACO ，由△PCD 、△PAD 有相同的高且S △PCD =2S △PAD ，可得出CP=2AP ，利用相似三角形的性质即可求出AE 、PE 的长度，进而可得出点P 的坐标；（3）连接AC 交OD 于点F ，由点到直线垂线段最短可找出当AC ⊥OD 时AM+CN 取最大值，过点D 作DQ ⊥x 轴，垂足为点Q ，则△DQO ∽△AOC ，根据相似三角形的性质可设点D 的坐标为（﹣3t ，4t ），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t 的一元二次方程，解之取其负值即可得出t 值，再将其代入点D 的坐标即可得出结论．【详解】（1）∵直线y=34x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点， ∴点A 的坐标为（﹣4，0），点C 的坐标为（0，3）．∵点B 在x 轴上，点B 的横坐标为94， ∴点B 的坐标为（94，0）， 设抛物线的函数关系式为y=ax 2+bx+c （a≠0）， 将A （﹣4，0）、B （94，0）、C （0，3）代入y=ax 2+bx+c ，得： 164081901643a b c a b c c -+=⎧⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：137123a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的函数关系式为y=﹣13x 2﹣712x+3； （2）如图1，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，∵△PCD 、△PAD 有相同的高，且S △PCD =2S △PAD ，∴CP=2AP ，∵PE ⊥x 轴，CO ⊥x 轴，∴△APE ∽△ACO ，∴13AE PE AP AO CO AC ===， ∴AE=13AO=43，PE=13CO=1， ∴OE=OA ﹣AE=83， ∴点P 的坐标为（﹣83，1）； （3）如图2，连接AC 交OD 于点F ，∵AM ⊥OD ，CN ⊥OD ，∴AF≥AM ，CF≥CN ，∴当点M 、N 、F 重合时，AM+CN 取最大值，过点D 作DQ ⊥x 轴，垂足为点Q ，则△DQO ∽△AOC ，∴34OQ CO DQ AO ==， ∴设点D 的坐标为（﹣3t ，4t ）．∵点D在抛物线y=﹣13x2﹣712x+3上，∴4t=﹣3t2+74t+3，解得：t1=﹣373+（不合题意，舍去），t2=373-+，∴点D的坐标为（93738-，3732-+），故当AM+CN的值最大时，点D的坐标为（93738-，3732-+）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数关系式；（2）利用相似三角形的性质找出AE、PE的长；（3）利用相似三角形的性质设点D的坐标为（﹣3t，4t）．22．（1）y=1x﹣1（1）1（3）x＞1【解析】试题分析：（1）先把A（m，1）代入正比例函数解析式可计算出m=1，然后把A（1，1）代入y=kx﹣k 计算出k的值，从而得到一次函数解析式为y=1x﹣1；（1）先确定B点坐标，然后根据三角形面积公式计算；（3）观察函数图象得到当x＞1时，直线y=kx﹣k都在y=x的上方，即函数y=kx﹣k的值大于函数y=x 的值．试题解析：（1）把A（m，1）代入y=x得m=1，则点A的坐标为（1，1），把A（1，1）代入y=kx﹣k得1k﹣k=1，解得k=1，所以一次函数解析式为y=1x﹣1；（1）把x=0代入y=1x﹣1得y=﹣1，则B点坐标为（0，﹣1），所以S△AOB=×1×1=1；（3）自变量x的取值范围是x＞1．考点：两条直线相交或平行问题23．（1）①R ，S;②（4-，0）或（4，0）；（2）①33n -≤≤;②m≤1-或m≥1．【解析】【分析】【详解】（1）∵点A 的坐标为(−2,1)，∴2+1=4，点R(0,4),S(2,2),T(2,−2)中，0+4=4，2+2=4，2+2=5，∴点A 的同族点的是R ，S ；故答案为R ，S ；②∵点B 在x 轴上，∴点B 的纵坐标为0，设B(x,0)，则|x|=4，∴x=±4，∴B(−4,0)或(4,0)；故答案为(−4,0)或(4,0)；（2）①由题意，直线3y x =-与x 轴交于C （2，0），与y 轴交于D （0，3-）．点M 在线段CD 上，设其坐标为（x ，y ），则有：0x ≥，0y ≤，且3y x =-．点M 到x 轴的距离为y ，点M 到y 轴的距离为x ， 则3x y x y +=-=．∴点M 的同族点N 满足横纵坐标的绝对值之和为2．即点N 在右图中所示的正方形CDEF 上．∵点E 的坐标为（3-，0），点N 在直线x n =上，∴33n -≤≤．②如图,设P(m,0)为圆心, 2为半径的圆与直线y=x−2相切，2,45PN PCN CPN ︒=∠=∠=Q∴PC=2，∴OP=1，观察图形可知,当m≥1时,若以(m,0)为圆心,2为半径的圆上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，再根据对称性可知，m≤1-也满足条件，∴满足条件的m 的范围：m≤1-或m≥124．（1）AE 与⊙O 相切．理由见解析.（2）2.1【解析】【分析】（1）连接OM ，则OM=OB ，利用平行的判定和性质得到OM ∥BC ，∠AMO=∠AEB ，再利用等腰三角形的性质和切线的判定即可得证；（2）设⊙O 的半径为r ，则AO=12﹣r ，利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识得到AB=12，易证△AOM ∽△ABE ，根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解：（1）AE 与⊙O 相切．理由如下：连接OM ，则OM=OB ，∴∠OMB=∠OBM，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠EBM，∴∠OMB=∠EBM，∴OM∥BC，∴∠AMO=∠AEB，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠AMO=90°，∴OM⊥AE，∴AE与⊙O相切；（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，∴BE=12BC，∠ABC=∠C，∵BC=6，cosC=14，∴BE=3，cos∠ABC=14，在△ABE中，∠AEB=90°，∴AB=BEcos ABC∠=314=12，设⊙O的半径为r，则AO=12﹣r，∵OM∥BC，∴△AOM∽△ABE，∴OM AO BE AB=，∴r3=12r12-，解得：r=2.1，∴⊙O的半径为2.1．25．（1）CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）1 4 .【解析】分析：（1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．（2）证明的方法与（1）类似．（3）过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根据旋转的性质得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，则NE=MA，由于∠ACB=45°，则AM=MC，所以MC=NE，易得四边形MCEN为矩形，得到∠DCF=90°，由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF，得MD AM，设DC=x，MD=1-x，利用相似比可得到CF=-x2+1，再利用二次函数即可求得CF的最大值．CF DC详解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，∴BD⊥CE；故答案为CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴AE=AD，∠DAE=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠CAE=∠BAD，∴△ACE≌△ABD，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=90°，即CE⊥BD，∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系分别为：CE=BD，CE⊥BD．（3）如图3，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE ∴∠DAE=90°，AD=AE，∴∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，∴NE=AM，∵∠ACB=45°，∴△AMC为等腰直角三角形，∴AM=MC，∴MC=NE，∵AM⊥BC，EN⊥AM，∴NE∥MC，∴四边形MCEN为平行四边形，∵∠AMC=90°，∴四边形MCEN为矩形，∴∠DCF=90°，∴Rt△AMD∽Rt△DCF，∴MD AM CF DC=，设DC=x，∵∠ACB=45°，2，∴AM=CM=1，MD=1-x，∴11xCF x -=，∴CF=-x2+x=-（x-12）2+14，∴当x=12时有最大值，CF最大值为14．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等及相似的判定与性质．26．（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元．【解析】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x 本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.试题解析：（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300﹣10x）本．故答案为300﹣10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，整理，得：x2﹣20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．27．1.【解析】分析：原式利用特殊角角的三角函数值，平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．详解：原式=12﹣2+1+12=1．点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．。

北京市东城区达标名校2019年高考三月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． y =D ．y =2．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ）A ．BC ．D 3．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ）A ．1721B ．1928C ．79D ．23285．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤6．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-，则M N ⋃=（ ） A ．[0,3)B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅7．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S8．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π9．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）.A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A．4+B ．9C ．7D．211．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32D．12．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市丰台区达标名校2019年高考三月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -2．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥3．52mx⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-24．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．115．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3C ．1或53D ．-3或1736．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 13a =，65423a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32B ．2C ．73D ．948．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．3169．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．11．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．12．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x AB ∈”是“()x A B ∈”的必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

首师大附中高三三模理科试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，2{|5}B x x =≤，那么A B =I ( ) A. {0,2,4} B. {2,0,2}- C. {0,2} D. {2,2}-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A∩B． 【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |x 2≤5}＝{x |x ≤≤}， ∴A ∩B ＝{﹣2，0，2}． 故选B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.若复数z 满足112iz i-=+，则z 等于（ ）A.25 B.35【答案】C 【解析】试题分析：()()()()1121312125i i i z z i i ----==⇒=+-．故应选C ． 考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m =1，则输出数据的总个数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设,x y 满足约束条件2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则下列不等式恒成立的是A. 1x ≥B. 1y ≤C. 20x y -+≥D. 360x y --≤【答案】C 【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(3,1)A -，同理可得(0,2),(0,3)B C -，设目标函数z x y =-，则()y x z =+-，当直线()y x z =+-过点B 时取得最小值，最小值min 2z =-， 所以20x y -+≥恒成立，故选C ．5.,a b r r 为非零向量，“||||a bb a =r rr r ”为“,a b r r 共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】,a b r r 共线，,a b r r方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】,||||a bb a r rr r 分别表示与,a b r r 同方向的单位向量， ||||a bb a =r rr r ，则有,a b r r 共线， 而,a b r r 共线，则,||||a bb a r rr r 是相等向量或相反向量，“||||a bb a =r rr r ”为“,a b r r 共线”的充分不必要条件. 故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ） A. 12种 B. 15种 C. 17种 D. 19种【答案】D 【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有132212C ⨯⨯=取法；第二类，有两次取到3号球，共有2326C ⨯=取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理. 7.已知函数21()cos 222xf x x ωω=+-(0)x R ω>∈，，若函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω最大值是( )A.512 B.56C.1112D.32【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】211()cos cos sin()2226xf x x x x x ωπωωωω=+-=+=+, 令()0,(),()66k f x x k k Z x k Z πππωπωω=+=∈=-∈， 函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，6(1)26k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩解得111()6212k k k Z ω+-≤≤-∈， 50,0,012k ωω>∴=<≤，5111,612k ω=<≤ ω的最大值是1112. 故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26S ==，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线2221y x a-=的渐近线为y =，则该双曲线的离心率为________.【解析】 【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出,a b 值，进而求出c ，即可求解. 【详解】设双曲线的焦距为2c ，双曲线2221y x a-=得1b =，渐近线方程的斜率为aa b==2c e ====. 故答案为:2【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以O 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程是24cos 30ρρθ-+=.则圆心到直线的距离是________. 【答案】12【解析】 【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆C 极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】3112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数化为310x y --=，24cos 30ρρθ-+=化为22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，圆心(2,0)C ， 圆心C 到直线l 的距离为2121(3)=+.故答案为:12. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.43【解析】 【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为2四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为2，有一对角为060的菱形，高为2，所以体积为213432223⎫⨯⨯⨯=⎪⎪⎝⎭. 故答案为43. 【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题. 12.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，214a =，且4536a a a +=.（1）数列{}n a 通项公式是________.（2）设数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值是________.【答案】 (1). 42n n a -= (2). 6-.【解析】 【分析】由4536a a a +=求出q ，即可求出{}n a 通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得{}2log n a 为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，214a =， 24533336,6,0,0n a a a a q a q a a q +=+=>>，260,2q q q +-==或3q =-（舍去）， 2422n n n a a q --∴==，24log n a n =-，当224,log 0,5,log 0n n n a n a ≤≤≥>，数列{}2log n a 的前n 项和n S 的最小值是346S S ==-.故答案为:42n n a -=；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前n 项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“,,222x y x y x y +∀∈+<R ”为假命题的一组x ，y ________. 【答案】1,1（答案不唯一） 【解析】 【分析】即求命题的否定“,,222xyx yx y +∃∈+≥R ”为真命题的一组,x y 值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可. 【详解】“,,222xyx yx y +∀∈+<R ”为假命题,其命题的否定“,,222xyx yx y +∃∈+≥R ”为真命题，12222x yx y+++≥=， 命题的否定为真的充分条件为1,22x yx y x y ++≥++≤， 取1,1x y ==.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml ），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点i A 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点i A 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值．（1,2,3i =）①记V i 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则123V ,V ,V 中最大的是_______；②记i T 为服用第i 种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则123T ,T ,T 中最大的是_______【答案】 (1). 1V (2). 3T 【解析】 【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设i i i A x y （，）,则V ii iy x =， 由于1230x x x <<<,2310y y y <<<, 所以1212y y x x >,3113y y x x >,即1V 最大； ②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A 1,A 2,A 3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A 3经历的时间最长，所以123T ,T ,T 中最大的是3T .【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =，则B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b 结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()214sin A B -=详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a b sinA sinB=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB =又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =．因为a <c ，故cosA =．因此227sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A 组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B 组.A 组：128，100，151，125，120B 组：100，102，96，101，a己知B 组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45. （1）求a 的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X ，求X 的分布列及期望； （3）试比较A ，B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义. 【答案】（1）100a =；（2）分布列详见解答，期望为45；（3）详见解答. 【解析】 【分析】（1）由已知中位数100，确定a 的范围，再求出不小于100的数的个数，即可求出a ；（2）随机变量X 可能值为0,1,2，根据每组车“正点运行”概率求出X 可能值为0,1,2的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望;（3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度. 【详解】（1）B 组数据的中位数为100，根据B 组的数据100a ≤， 从B 组中随机抽取一个数不小于100的概率是45， B 组中不小于100的有4个数，所以100a =； （2）从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据， “正点运行”概率分别为13,55， 从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据， 记两次运行中正点运行的次数为X ， X 可能值为0,1,2，428(0)5525P X ==⨯=， 124314(0)555525P X ==⨯+⨯=，133(2)5525P X ==⨯=，X 的分布列为： X12P825 1225 32581434()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=， X 期望为45； （3）对比两组数据，B 组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定. 【点睛】本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题. 17.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4=AD ，3DC =.（1）求证：//AB 平面PDC .（2）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC 垂直，并给出证明.（3）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求直线PC 与平面P AB 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解答；（2）PA BC ⊥，证明见解答；（3）223. 【解析】 【分析】（1）由已知//AB DC ，即可证明结论；（2）根据已知条件排除,,,,AD AB CD PB PC ，只有,PA PD 可能与BC 垂直，根据已知可证PA BC ⊥；（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出PC uuu r坐标和平面P AB 的法向量，即可求解.【详解】（1）//,AB DC AB ⊄平面,PDC CD ⊂平面PDC ，//AB ∴平面PDC ；（2）PA BC ⊥，证明如下： 取BC 中点E ，连,,AC AE PE ，4,3,5,A AD DC AC D DC ⊥==∴==，,AB AC AE BC ∴=∴⊥，,PB PC PE BC =⊥， ,,AE PE E AE PE =⊂I 平面,APE BC ∴⊥平面APE ，AP ⊂平面APE ，BC AP ∴⊥；（3）平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⊥平面ABCD BC =，,PE BC PE ⊥⊂平面,PBC PE ∴⊥平面ABCD ，.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4=AD ，3DC =，3,2BC PB PE ∴===以D 为坐标原点，以,DA DC ，过D 点与PE 平行的直线分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系D xyz -，则(4,0,0),(4,5,0),(0,3,0),(2,4,2)A B C P ，(2,1,2),(0,5,0),(2,4,2)CP AB AP ===-u u u r u u u r u u u r，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =r，则00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即502420y x y z =⎧⎨-++=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =， 平面PAB 一个法向量为(1,0,1)n =r，设直线PC 与平面P AB 所成角为θ，sin |cos ,|3CP n θ=<>==u u u r r， 直线直线PC 与平面P AB所成角的正弦值为3.【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，要注意空间垂直间的转化，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题.18.已知椭圆C ：(222122x y a a +=＞2，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P ．（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线AM 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且∠PFQ =90°，求证：AQ ∥BM ． 【答案】（Ⅰ）（-22，0）U （0，22）（Ⅱ）详见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意可得得c 2＝a 2﹣2，由e 22c a ==，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM 的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F 2，0），设Q （0，y 1），M （x 0，y 0），其中x 0≠±2，则220042x y +=1，可得直线AM 的方程y 002y x =+（x +2），求出点Q 的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出k BM ﹣k AQ ＝0，问题得以证明【详解】解：（Ⅰ）由题意可得c 2=a 2-2， ∵e=c a =22， ∴a=2，2，∴椭圆的方程为2x 4+2y 2=1，设P （0，m ），由点P 在椭圆C 的内部，得＜m， 又∵A （-2，0）， ∴直线AM 的斜率k AM =m 002-+=m 2∈（，又M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点， ∴k AM ∈（-2，0），（0，2）， （Ⅱ）由题意F，0），设Q （0，y 1），M （x 0，y 0），其中x 0≠±2，则20x 4+20y 2=1，直线AM 的方程为y=00y x 2+（x+2），令x=0，得点P 的坐标为（0，02y x 2+）， 由∠PFQ =90°，可得PF u u r•FQ =0，∴（，002y x 2+）•（，y 1）=0，即2+02y x 2+•y 1=0， 解得y 1=-200x 2y +， ∴Q （0，-200x 2y +）， ∵k BM =00y x 2-，k AQ =-00x 22y +，∴k BM -k AQ =00y x 2-+00x 22y +=0，故k BM =k AQ ，即AQ ∥BM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题 19.已知函数()ln f x x x =.（1）已知函数()f x 在点()()00,x f x 处的切线与x 轴平行，求切点的纵坐标. （2）求函数()f x 在区间20,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上的最小值；（3）证明：1,0t e ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，10,x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()f x t =. 【答案】（1）1e -；（2）1e-；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）求()f x 的导函数()f x '，令0()0f x '=，即可求解；（2）求出()f x 在20,e⎛⎤ ⎥⎝⎦单调区间，极值点，即可求解；（3）转化为函数1(),(0,)y f x x e =∈，与直线1,(,0)y t t e=∈-恒有交点，即可证明结论. 【详解】（1）()ln ,()ln 1f x x x f x x '==+， ()f x 在点()()00,x f x 处的切线与x 轴平行，00001()ln 10,ln 1,f x x x x e'=+==-=，011()()f x f e e∴==-；（2）由（1）得1()0f e'=，当20,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()0,0f x x e '<<<，12()0,f x x e e '><<，()f x 递减区间是1(0,)e ，的增区间是12(,)e e，当1x e =时，()f x 取得极小值，也是最小值为1e-，函数()f x 在区间20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上的最小值1e-；（3）由（2）得()f x 递减区间是1(0,)e，110,()0,()x f x f e e →→=-，110,,()(,0)x f x e e ⎛⎫∈∈- ⎪⎝⎭令(),y f x y t ==，当1,0t e ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭时，函数()y f x =图像与直线y t =有唯一的交点， 且交点的横坐标10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,0t e ⎛⎫∴∀∈- ⎪⎝⎭，10,x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()f x t =.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.20.数列n A ：()12,,4n a a a n ≥L 满足：11,n a a m ==，10k k a a +-=或1（1,2,1k n =-L ）．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+．，其中,,,i j s t ∈ {}12n L ，，且两两不相等． (I)若2m =．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2 (Ⅱ)记12n s a a a =++L ．若3m =，证明：20s ≥； (Ⅲ)若2018m =，求n 的最小值.【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)见解析（Ⅲ）n 的最小值为2026 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当3m =时，1,2,3都在数列中出现，可以证明1,3至少出现4次，2至少出现2次，这样20S ≥． （Ⅲ）设1,2,,2018L 出现频数依次为122018,,,q q q L ．同（Ⅱ）的证明，可得：14q ≥，22q ≥，31q ≥，┄，20161q ≥，20172q ≥，20184q ≥，则2026n ≥，我们再构造数列：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B L ，证明该数列满足题设条件，从而n 的最小值为2026．解析：（Ⅰ）对于①，12121,2a a a a ==+=，对于2s t ≤<，3s t a a +=或4s t a a +=，不满足要求；对于②，若()2i j a a i j +=<，则552i j a a --+=，且,,5,5i j i j --彼此相异，若()3i j a a i j +=<，则993i j a a --+=，且,,9,9i j i j --彼此相异，若()4i j a a i j +=<，则994i j a a --+=，且,,9,9i j i j --彼此相异，故②符合题目条件；同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为,,q q q 123，由题意()11,,2,3i q i ≥=． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以14q ≥．同理可证：34q ≥．② 假设21q =，则存在唯一的{}1,2,3,,k n ∈L ，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ≥.综上：14q ≥，22q ≥，34q ≥，所以4143420S ≥⨯+⨯+=．（Ⅲ）设1,2,,2018L 出现频数依次为122018,,,q q q L ．同（Ⅱ）的证明，可得：14q ≥，22q ≥，31q ≥，┄，20161q ≥，20172q ≥，20184q ≥，则2026n ≥．取12018220174,2,1,3,4,5,,2016i q q q q q i ======L 得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B L下面证明n B 满足题目要求．对{},1,2,3,,2016i j ∀∈L ，不妨令<i j a a ， ① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184q q ==，所以符合条件；② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于12018220174,4,2,2q q q q ====，所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取12,s t j a a a -==；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等；④ 如果12018i j a a <≤<，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中{},,,1,2,3,,2026i j s t ∈L 且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026．点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．。

北京市崇文区达标名校2019年高考一月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2 B ．32C ．10 D ．122．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -3．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离4．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0B ．1C ．3D ．45．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立6．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->7．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，8．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-9．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2B ．－4C ．3D ．－310．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．112．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．212+ B ．21+C ．31+ D ．31+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期理科月考（二）数学试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题）1.函数的值域为A. B.RC. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在定义域上是单调增函数，且满足，判断的值域为R．【详解】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性与值域应用问题，是基础题．2.若集合，，则是A. B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】化简A，B再根据并集的定义即可求出．【详解】解：由于，即，解得，，由，即，解得或，或，，或，故选：C．【点睛】本题考查集合的并集的运算，解题时要认真审题，熟练掌握并集的概念和运算法则．3.已知是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】【分析】由题意，可由函数的性质得出在上是减函数，再由函数的周期性即可得出为上的减函数，由此证明充分性，再由为上的减函数结合周期性即可得出为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【详解】解：是定义在R上的偶函数，若为上的增函数，则为上是减函数，又是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出为上的减函数，故充分性成立．若为上的减函数，同样由函数周期性可得出为上是减函数，再由函数是偶函数可得出为上的增函数，故必要性成立．综上，“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由哪个条件到哪个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误.4.设函数一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图像关于Y轴对称，所以是其极大值点；对于C中的是将的图像关X轴对称，所以才是其极小值点；而对于D中的是将的图像关原点对称，故是其极小值点，故正确.【考点定位】本题主要考查学生对于函数极值与最值关系及函数图像的变换，牢记几种常见变换.属于难度较大的题目.5.设集合，或. 若，则正实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式或表示的区域，可知要想满足,须满足x<0时，,所以6.设，，均为实数，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意将，，分别看做是两个函数图象交点的横坐标，故画出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．【详解】由题意得，，，分别是函数与图象的交点横坐标．在同一坐标系内作出函数的图象，如图所示，由图可得．故选A．【点睛】本题考查函数图象的应用，即结合函数的图象比较大小，解题的关键是根据题意得到，，的几何意义，然后利用数形结合求解，体现了函数图象在解题中的应用．7.若是的最小值，则的取值范围为（）.A. [-1,2]B. [-1，0]C. [1，2]D.【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．8.据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，同时不成立，则不成立C. ，可同时不成立D. ，可同时成立【答案】C【解析】特例法：例如蔬菜连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，同时不成立，故选C.点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.二、填空题（本大题共6小题）9.定积分______．【答案】【解析】【分析】直接利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分即可．【详解】解：由定积分公式可得，故答案为：．【点睛】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于寻找被积函数的原函数，属于基础题．10.若，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列依次为______．【答案】【解析】【分析】可看出，从而比较出a，b，c的大小．【详解】解：，，；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．11.在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．【考点】导数与切线斜率．【此处有视频，请去附件查看】12.某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系，（为自然对数的底数，，为常数）．若食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，该食品在℃的保鲜时间是__________小时．【答案】【解析】分析：利用该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，可得，解得，进而可得结果.详解：∵某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，是常数）．该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，∴，解得，∴，∴该食品在℃的保鲜时间．故答案为．点睛：本题主要考查指数函数模型解决实际问题，属于中档题.解答本题的关键是利用待定系数法求得，从而使问题得以解决.13.若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】分离参数a，得，只需求在的最小值【详解】解：，，在的最小值为，实数a的取值范围为．故答案为．【点睛】此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域．14.已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x，x2，都有m＞0；1②对于任意的a及任意不相等的实数x，x2，都有n＞0；1③对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝n；1④对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝－n.1其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【解析】对于①，因为f '（x）＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '（x）＝g'（x），即2x ln2＝2x＋a记h（x）＝2x ln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f '（x）＝－g'（x），即2x ln2＝－2x－a令h（x）＝2x ln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x→＋∞时，h（x）→＋∞当x→－∞时，h（x）→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）15.已知函数．当时，求曲线在处的切线方程；讨论函数的单调性；当时，求函数在区间的最小值．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】当时，，求其导函数，得到，又，可得曲线在处的切线方程为；求出原函数的导函数，分，，三类求函数的单调区间；由知，当时，的减区间为，增区间为，然后分，，三类求函数的最小值．【详解】解：当时，，．，又，曲线在处的切线方程为；．当时，，在上为增函数；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；由知，当时，的减区间为，增区间为，若，即时，在单调递增，；若，即，在上单调递减，在上单调递增，；若，即时，在单调递减，．综上，．【点睛】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；设是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【答案】（1）是“局部奇函数”；（2）；（3）.【解析】【分析】运用两角和与差的正弦公式，化简，再由由局部奇函数的定义，即可判断；根据局部奇函数的定义，可得方程在上有解，运用换元法，令，则，求出右边的值域即可；根据“局部奇函数”的定义可知，有解即可设，则，即有方程等价为在时有解，设，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．【详解】解：由于，，则，由于，则，当时，成立，由局部奇函数的定义，可知该函数为“局部奇函数”；根据局部奇函数的定义，时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解，令，则，设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，所以时，所以，即．根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，即，，即有解即可．设，则，方程等价为在时有解，设，对称轴，若，则，即，，此时，若，要使在时有解，则，即，解得，综上得，【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。