江苏省扬州市～度高三数学第二次调研测试试题
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扬州市2007—2008学年度第一学期期末调研测试试题
高三数学参考答案
第 一 部 分
一、填空题
1．{1,2,4} 2．1i 3．22xx 4．247
5．24 6．1 7．2sin(2)3x 8．4
9．19 10．1 11．210xy 12．512
13．4 14．①②③⑤
二、解答题：
15．解：本题的基本事件共有27个（如图）．----------------------------------------------------3分
（1）记“３个矩形都涂同一颜色”为事件Ａ，由图可知，事件Ａ 的基本事件有１×３＝３个，故31()279PA．------------------------------------------------------------------------------6分
（2）记“相邻2个矩形颜色不同”为事件Ｂ，由图可知，事件B的基本事件有3×2×2＝12个，故124()279PB．-----------------------------------------------------------------------------12分
答：3个矩形颜色都相同的概率为19，相邻2个矩形颜色不同的概率为49．------------14分
16．解：（1）ABACBC，
22222ABACBCACBC，
2AB．（或由3cos4ACB及余弦定理求得----------------------------------------7分
（2）∵ ACABBC
∴ BCA，即求BA的某个三角函数值， --------------------------------------9分
2221cos222BABCACBBABC，7sin22B，
2225cos242ABACBCAABAC，7sin42A， -------------------------------11分
sin()sincoscossinBABABA，
751737()822422242．------------------------------------------------14分
（或1cos()8BA，tan()37BA）
17．证：（1）∵ //PQAB且12PQAB，
AB在平面PQRS外，PQ平面PQRS，
∴ AB//平面PQRS，-----------------------------------------------------------------------------3分
又SR=平面PQRS平面ABD，
AB在平面ABD内，
∴ AB//SR．
∵ S是AD中点，∴ R为BD中点，-----------------------------------------------------5分
∴ //ABSR且12SRAB，
∴PQ//SR且PQ=SR，
故四边形PQRS是平行四边形． ------------------------------------------------------------7分
（2）3AM．--------------------------------------------------------------------------------------9分
∵ CM⊥AB，DM⊥AB，CMDM=M
∴ AB⊥平面MCD，从而AB⊥CD．
又∵ AB//PQ，QR//CD，
∴ PQ⊥CM，PQ⊥CD，
由CMCD=C，
∴ PQ⊥平面MCD，---------------------------------------------------------------------------12分
又PQ平面PQRS，
∴ 平面PQRS⊥平面MCD．-----------------------------------------------------------------15分 18．解：（1）2'()(3)xfxxxe，--------------------------------------------------------------2分
'(1)2fe，(1)fe，---------------------------------------------------------------------4分
因此直线方程为2(1)yeex，即230exye．---------------------------7分
（2）2'()[(2)(5)]xfxxaxae，------------------------------------------------------9分
依题意2()(2)(5)gxxaxa在区间[0,)上非负，
①202a≥时，2(2)4(5)0aa，
即244aa≥解得24a≤；-----------------------------------------------------------12分
②202a时，(0)(5)0ga，得2a；
综上可得4a．----------------------------------------------------------------------------------15分
另解：2()(2)(5)gxxaxa在区间[0,)上非负，
225(1)xxax在区间[0,)上恒成立；
2251xxax在区间[0,)恒成立；
4(1)1xax在区间[0,)恒成立；
综上可得4a；
19．解：（1）圆C：22(1)(1)1xy，当1b时，点(0,1)M在圆上，
故当且仅当直线l过圆心C时满足MPMQ，
∵ 圆心坐标为(1,1)，
∴ 1k．----------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）由222210xyxyykx消去y可得22(1)2(1)10kxkx，
设11(,)Pxy，22(,)Qxy，则1222(1)1kxxk，12211xxk，-------------------8分
∵ MPMQ，∴ 0MPMQ，
即1122(,)(,)0xybxyb．1212()()0xxybyb． 又11ykx，22ykx，
∴ 1212()()0xxkxbkxb，即221212(1)()0kxxkbxxb
∴ 222212(1)(1)011kkkbbkk -------------------------------------------10分
当0b时，此式不成立，从而221221kkbbk，-----------------------------------12分
令2222()1kkgkk，则2222(42)(1)(22)2'()(1)kkkkkgkk222242(1)kkk，
2()242hkkk在(3,)上单调递减，即()(3)0hkh，
故'()gk在(3,)上为负，所以2222()1kkgkk在(3,)上单调递减，
即12()(3)5gkg（注：也可用基本不等式等得出），
且2222222()2011kkkgkkk----------------------------------------------------14分
（事实上，当k时，2222222()111kkkgkkk2→）
所以11225bb，
解此不等式得： 61115b或61115b，
所以b的取值范围是611611(,1)(1,)55．------------------------------------16分
20．（1）证明：数列{}nb是等差数列，设公差为d，则1nnbbd对*nN恒成立，
依题意12lognnba，1()2nbna，
所以1111()()22nnbbdnnaa是定值，从而数列{}na是等比数列．------------------4分
（2）解：当1n时，112a，当2n时，11()2nnnnaSS，1n也适合此式， 即数列{}na的通项公式是1()2nna．由12lognnba，
数列{}nb的通项公式是nbn，------------------------------------------------------------6分
所以1(,)2nnPn，111(,1)2nnPn．
过这两点的直线方程是：11211(1)22nnnxynnn，
可得与坐标轴的交点是12(,0)2nnnA和(0,2)nBn． ---------------------------------8分
221(2)22nnnnncOAOB，
由于22221233(2)(3)2(2)(3)222nnnnnnnnncc232102nnn
即数列{}nc的各项依次单调递减，所以198tc．------------------------------------10分
（3）数列{}nd中，kb（含kb项）前的所有项的和是
121(12)(333)kk13322kkk
估算知，当7k时，其和是73328112020082，
当8k时，其和是83336331520082，
又因为200811208882963，是3的倍数，
故存在这样的m，使得2008mS，
此时257(1333)296667m．----------------------------------------16分
