第61课时：二次函数应用(1)
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初中七年级数学 6.1 二次函数 公开课课件
（1）地板费用为___2_4_0_x_2 __；
（2）踢脚线费用为_________； （3）其他费用为y_ _240_1x20_102_00x_9_76__； （4）总费用y为________________.
请找一找 我们的共同点
A r2
y x2 8x
y 240 x2 120 x 976
题2：
用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，要 求一边靠墙（如图）,设垂直于墙的一边为xm，面积 为ym2. （1）计算后填写下表：
x(m) 1 2 3 4 5 6 7
y(m2)
14 24 30 32 30 24 14
（23）试若写x取出整y与数x，之试间猜的想函x数取关何系值式时？面并积最大？ 指最出大x为的多取少值？范围？
（2）求S△PQD与x之间的函数关系式，
并写出x的取值范围.
亲爱的爷爷：
您好！
最近身体好吧！我很想念您， 今天，我在老师的指导下，学 习了……
你的乖孙(女)：×××
2010年11月24日
再见
问题3：
已知在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，点P 从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度，P、Q分别 从A、B同时出发，其中一点到达终点时，运动停止， 用S表示图形的面积,x表示移动的时间（x＞0）.
（1）几秒后S△PQB=8cm2；
一切问题都可以转化为数学问题， 一切数学问题都可以转化为代数问题， 而一切代数问题又可以转化为函数问题， 因此，一旦解决了函数问题， 一切问题都将迎刃而解！
------笛卡儿[Descartes, Rene du Perron, 1596-1650 ]
（2）踢脚线费用为_________； （3）其他费用为y_ _240_1x20_102_00x_9_76__； （4）总费用y为________________.
请找一找 我们的共同点
A r2
y x2 8x
y 240 x2 120 x 976
题2：
用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，要 求一边靠墙（如图）,设垂直于墙的一边为xm，面积 为ym2. （1）计算后填写下表：
x(m) 1 2 3 4 5 6 7
y(m2)
14 24 30 32 30 24 14
（23）试若写x取出整y与数x，之试间猜的想函x数取关何系值式时？面并积最大？ 指最出大x为的多取少值？范围？
（2）求S△PQD与x之间的函数关系式，
并写出x的取值范围.
亲爱的爷爷：
您好！
最近身体好吧！我很想念您， 今天，我在老师的指导下，学 习了……
你的乖孙(女)：×××
2010年11月24日
再见
问题3：
已知在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，点P 从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度，P、Q分别 从A、B同时出发，其中一点到达终点时，运动停止， 用S表示图形的面积,x表示移动的时间（x＞0）.
（1）几秒后S△PQB=8cm2；
一切问题都可以转化为数学问题， 一切数学问题都可以转化为代数问题， 而一切代数问题又可以转化为函数问题， 因此，一旦解决了函数问题， 一切问题都将迎刃而解！
------笛卡儿[Descartes, Rene du Perron, 1596-1650 ]
二次函数的性质及应用
二次函数的性质及应用二次函数是一类形式为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，它在数学中具有重要的性质和广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线，具体的形状取决于a的正负和大小：- 当a > 0时，图像开口向上，形状类似于“U”字型；- 当a < 0时，图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字型。
2. 对称性二次函数关于其顶点具有对称性。
设二次函数的顶点坐标为(h, k)，则函数图像关于直线x = h对称。
3. 零点与判别式二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解。
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，函数图像与x轴有一个切点；- 当Δ < 0时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。
4. 极值点二次函数在最高点（开口向下）或最低点（开口向上）取得极值。
当二次函数开口向上时，极小值等于函数的最低点y = k；当二次函数开口向下时，极大值等于函数的最高点y = k。
二、二次函数的应用1. 物理学应用二次函数在物理学中有广泛的应用，例如抛物线运动。
抛物线运动可以用二次函数的形式进行建模，通过分析和解决相关的二次函数问题，可以求得抛物线物体的最高点、运动轨迹等信息。
2. 经济学应用经济学中的一些问题也可以通过二次函数来描述和解决。
比如，成本函数和利润函数常常使用二次函数来表示，通过求解这些二次函数的极值点，可以确定最低成本、最大利润等关键数据。
3. 工程学应用工程学中的一些问题也可以用二次函数进行建模。
比如，在建筑设计中，可以用二次函数来描述一个拱形或穹顶的形状；在电子工程中可以通过二次函数来描述某些电子元件的特性和响应等等。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
初中数学《二次函数的应用》教案
初中数学?二次函数的应用?教案2.3二次函数的应用教学目标设计1.知识与技能：通过本节学习 ,稳固二次函数y=ax2+bx+c〔a0〕的图象与性质 ,理解顶点与最值的关系 ,会用顶点的性质求解最值问题。
能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系 ,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大〔小〕值开展学生解决问题的能力 , 学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。
2、通过观察图象 ,理解顶点的特殊性 ,会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题 ,通过动手动脑 ,提高分析解决问题的能力 ,并体会一般与特殊的关系 ,培养数形结合思想 ,函数思想。
情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中开展学生的探究意识 ,逐步养成合作交流的习惯。
2、培养学生学以致用的习惯 ,体会体会数学在生活中广泛的应用价值 ,激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。
教学方法设计由于本节课是应用问题 ,重在通过学习总结解决问题的方法 ,故而本节课以“启发探究式〞为主线开展教学活动 ,解决问题以学生动手动脑探究为主 ,必要时加以小组合作讨论 ,充分调动学生学习积极性和主动性 ,突出学生的主体地位 ,到达“不但使学生学会 ,而且使学生会学〞的目的。
为了提高课堂效率 ,展示学生的学习效果 ,适当地辅以电脑多媒体技术。
教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一 ,它生活背景丰富 ,学生比拟感兴趣 ,对九年级学生来说 ,在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后 ,对函数的思想已有初步认识 ,对分析问题的方法已会初步模仿 ,能识别图象的增减性和最值 ,但在变量超过两个的实际问题中 ,还不能熟练地应用知识解决问题 ,而面积问题学生易于理解和接受 ,故而在这儿作此调整 ,为求解最大利润等问题奠定根底。
从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型 ,解决实际问题的能力 ,这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
二次函数ppt课件
y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000.
根据函数的
定义判断.
(4)关系式y==-5x²+100x+60000中，y是x的函数吗？
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
二、自主合作，探究新知
问题2：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是
说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银
一元二次方程 ＋＋＝（ ≠ ）有什么联系和区别？
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数的一般式 = ＋＋（ ≠ ）与一元二次方程
＋＋＝（ ≠ ）的联系和区别：
联系：(1)等式一边都是＋＋且 ≠ ；
(2)方程＋＋ = 可以看成是函数 = ＋＋中 = 时得到的.
又∵x+1<2x≤12，
∴1<x≤6，
即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，
∴y是x的二次函数.
三、即学即练，应用知识
1．下列函数中，是的二次函数的是 (
A．y＝2x＋1
C． ＝3x＋1
B
)
B． = +
D． =
+
2.函数 = ( − ) + + 是二次函数的条件是(
子的个数、橙子的质量等；
自变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；
因变量：橙子的个数、橙子的质量等．
二、自主合作，探究新知
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
根据函数的
定义判断.
(4)关系式y==-5x²+100x+60000中，y是x的函数吗？
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
二、自主合作，探究新知
问题2：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是
说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银
一元二次方程 ＋＋＝（ ≠ ）有什么联系和区别？
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数的一般式 = ＋＋（ ≠ ）与一元二次方程
＋＋＝（ ≠ ）的联系和区别：
联系：(1)等式一边都是＋＋且 ≠ ；
(2)方程＋＋ = 可以看成是函数 = ＋＋中 = 时得到的.
又∵x+1<2x≤12，
∴1<x≤6，
即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，
∴y是x的二次函数.
三、即学即练，应用知识
1．下列函数中，是的二次函数的是 (
A．y＝2x＋1
C． ＝3x＋1
B
)
B． = +
D． =
+
2.函数 = ( − ) + + 是二次函数的条件是(
子的个数、橙子的质量等；
自变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；
因变量：橙子的个数、橙子的质量等．
二、自主合作，探究新知
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
二次函数的应用教学教案
二次函数的应用教学教案教学目标：1.理解什么是二次函数以及二次函数的基本概念。
2.掌握二次函数的标准形式、顶点形式以及描绘二次函数的基本技巧。
3.通过实际应用问题，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
教学重点：1.二次函数的标准形式和顶点形式的转换。
2.利用顶点坐标及对称性质描绘二次函数图像。
3.运用二次函数解决实际应用问题。
教学难点：1.运用二次函数解决实际应用问题。
2.让学生进行问题拓展和综合运用。
教学准备：1.教学PPT或黑板。
2.相关练习题。
3.实际应用问题材料。
教学过程：一、导入（15分钟）1.引出二次函数的概念，通过展示二次函数的图像，向学生提问：“你们在平时的生活中有观察到哪些曲线类似这个图像的事物？这个图像有什么特点？我们该如何描述这个图像？”2.引导学生回答，将学生的回答与二次函数的概念进行对比。
引出二次函数的基本概念及其形式。
二、讲解（30分钟）1.讲解二次函数的标准形式和顶点形式的概念及转换方法。
重点讲解顶点形式的优势。
2.解释二次函数图像的基本特点和性质，如对称性、增减性。
3.通过示例，演示如何根据顶点坐标及对称性质进行图像描绘。
三、实例解析与练习（30分钟）1.展示一个实际应用问题，如抛物线抛物线问题，让学生根据已知条件建立二次函数模型，并求解。
2.让学生自行尝试解决实际应用问题。
3.布置练习题，让学生进行巩固。
四、总结与拓展（15分钟）1.归纳总结二次函数的基本知识点，并进行小结。
2.提出综合运用问题，让学生进行拓展思考。
教学延伸：1.引导学生观察二次函数在现实生活中的具体应用，如汽车行驶问题、落体运动问题等。
2.布置课后作业，巩固学生对二次函数的理解和运用。
课堂反思：本节课通过引入二次函数的实际应用问题，激发了学生的兴趣和学习动力。
通过讲解和解析实例问题，培养了学生运用二次函数解决实际问题的能力。
同时，通过布置练习题和提出综合运用问题，提高了学生的综合能力和拓展思维能力。
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2
52012
h t t =-+
+
第61课时：二次函数应用（1）
主备：王静 雍亚波 班级 姓名 学号
一、 中考考点：
与实际生活有关的二次函数的应用，例如呈抛物线形的物体或轨迹，会建立适当的坐标系，寻找条件求解析式，并会运用解析式解决系列问题 二、问题探索：
（一）基础问题探索：
1、军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度(m )y 与飞行时间(s)x 的关系满足21
105y x x =-+．经过 秒时间炮弹到达它的最高点，最高点的高度是 米，
经过 秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
2、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米 的喷水管最大高度为3米，此时喷水水平距离为1/2米，在如图所示的坐标 系中，这支喷泉的函数关系式是 .
3、烟花厂为扬州4.18烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮
的升空高度(m)h 与飞行时间(s)t 的关系式是 ，若这种礼炮在点火
升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 . （二）典型例题： 问题一、某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱的售价在40元~70元之间．市场调查发现：若每箱50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天的销售量y （箱）与每箱售价x （元）之间的函数关系式（注明自变量x 的取值范围）；（2）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W （元）与每箱牛奶的售价x （元）之间的二次函数关系式（每箱的利润=售价－进价）；（3）当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？
问题二、廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知水面AB 宽40米，最高点到AB 的距离是10米，为了保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF 是多少米？（精确到1米）
问题三、某农场为防风治沙在一山坡上种树,如图所示.建立直角坐标系,已知喷水头B 高出地面1.5米,高点C 的坐标为（2,3.5），（1）求此水流抛物线的解析式；
（2）计算水喷出后落在山坡上的最远距离OA 。
问题四、我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x （元），年销售量为y （万件），年获利为w （万元）.（年获利=年销售额—生产成本—投资成本） （1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w 与x 间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？
问题五、我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（l ）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．
（1）直接写出图（l ）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（t>0）的函数关系式； （2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（t> 0）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）
初三数学一轮复习
A B D
C 三、课后作业：
1、某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状 （抛物线所在平面与墙面垂直，如图）.如果抛物线的最高点M 离墙1米， 离地面403米，则水流落地点B 离墙的距离OB 是 m..
2、一架雪橇沿着一斜坡滑下，它在时间t （秒）滑下的距离S （米）由下式
给出，S=10t+2t²，假如滑到坡底的时间为8秒，坡长为 .
3、如图,一个足球被从地面向上踢出，它距地面高度y （m ）可以用二次函数y =－4.9x 2
+19.6x 刻画，
其中x （s ）表示足球被踢出后经过的时间． （1）方程－4.9x 2
+19.6x=0的根的实际意义是 ； （2）经过 s ，足球到达它的最高点并且高度是 m..
4、如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，
宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10m ． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再经过多少小时才能到达拱桥顶？
5、如图,广东队的一名队员正在投篮,球出手时离地面高为2.4m ，若球运行的路线是抛物线,篮圈距地面3.1m,若球到达最大高度是4m,球出手时与篮圈中心的水平距离为7m,
球出手后水平距离为4m 时到达最大高度,此时,“八一”队队员乙在甲前面1.2m 处跳起拦截,已知乙的最大摸高为3.4m,乙的拦截能获得成功吗?
6、某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x （x 为正整数）元，每天可多售出3x 台．（注：利润＝销售价－进价） （1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？
7、空军某部队奉命赴灾区空投救援物资。
己知空投物资离开飞机后，在空中沿抛物线降落，抛物线顶点在机舱舱口A 处（如图）。
（1）如果空投物资离开A 处后，下落的垂直高度AB=160m 时，它到A 处的水平距离BC=200m ，那么要使飞机在垂直高度AO=1km 的高空进行空投，且救援物资恰好落在居民点P 处，飞机飞到P 处的水平距离OP 应为多少？
（2）如果根据空投时的实际风力及风向的影响，当空投物资离开A 处的垂直距离为160m 时，它到A 处的水平距离将增至400m ，要使飞机仍在（1）中点O 的正上方空投，且使空投物资准确落在P 处，飞机空投救援物资时离地面的高度应调整为多少？
8、我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查。
其中，国内市场的日销售量y 1（万件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示。
而国外市场的日销售量y 2（万件）与时间t （t 为整数，单位：天）的关系如图所示。
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y 1与t 的变化规律，写出y 1与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；
（2）分别探求该产品在国外市场上升20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y 2与时间t 所符合的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；
（3）设国内、外市场的日销售总量为y 万件，写出y 与时间t 的函数关系式，并判断上市第几天国。