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函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。
图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。
由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。
同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。
4多元函数的极值及其求法一、无条件极值1、f(x，y)=sin x+cos y+cos(x－y)(0≤x，y≤π/2)P116 8.8.4解：f x= cos x－sin(x－y)f y= －sin y+sin(x－y)⇒cos x=sin y解得驻点：P1(0，π/2)、P2(π/2，0)、P3(π/3，π/6)、P4(π/6，π/3)、P5(π/4，π/4)只有P3上A= f xx= －sin x－cos(x－y)|P3=－√3B= f xyx= cos(x－y)|P3=√3/2C= f yy= －cos y－cos(x－y)|P3=－1AC－B2= (－√3)(－1)－(√3/2)2=√3－3/4>0，P3极大值点极大值f(π/3，π/6)=3√3/22、求由x2＋y2+z2－2x+2y－4z－10 = 0 确定的隐函数z=z(x，y)的极值解：P116 8.8.5[一] 2x+2zz x－2－4z x= 0 z x=(1－x)/(z－2)2y+2zz y－2y－4z y= 0 z y=(1＋y)/(z－2)⇒驻点(1，－1)对应P(1，－1，6)、Q(1，－1，－2)A= z xx= [－(z－2)－(1－x) z x ]/(z－2)2|P=－1/4B= z xyx=－(1－x) z x/(z－2)2|P=0C= z yy= [－(z－2)－(1+y)z y]/(z－2)2|P=－1/4AC－B2= (－1/4)(－1/4)－02>0，A<0，在P达到极大值6A= z xx= [－(z－2)－(1－x) z x ]/(z－2)2|Q =1/4B= z xyx=－(1－x) z x/(z－2)2|Q =0C= z yy= [－(z－2)－(1+y)z y]/(z－2)2|Q=1/4AC－B2= (1/4)(1/4)－02>0，A>0，在Q达到极小值－2[二] (x－1)2＋(y＋1)2＋(z－2)2=42z极大=2＋4=6，z极小=2－4=－2二、条件极值1、求z=x2＋y2，在条件x＋y=1下的条件极值。
![§4[1].3.2函数的极值及其求法](https://img.taocdn.com/s1/m/4df853777fd5360cba1adb65.png)
第五章一元函数的导数及其应用《5．3．2 函数的极值与最大（小）值》教学设计第4课时◆教学目标1．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值；2．体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系．◆教学重难点◆教学重点：求函数最值的方法及其综合应用教学难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第92~94页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习函数的最大(小)值；（2）学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备．函数的极值与最值是函数的一个重要性质．在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，搭建学习内容的框架．问题2：什么叫函数的极小值与极小值点、极大值与极大值点？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：（1）若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，就把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，就把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．设计意图：温故知新．问题3：求函数()y f x =的极值的一般步骤是什么？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：解方程()0f x '=，当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值．设计意图：温故知新，在复习的基础上提出问题，引导学生探究运用导数研究函数的最值．发展学生数学抽象、直观想象、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：函数的最大（小）值我们知道：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在0x x =附近找不到比0()f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．问题4：什么叫函数的最大（小）值？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：如果0x 是某个区间上函数()y f x =的最大（小）值点，那么0()f x 不小（大）于函数()y f x =在此区间上的所有函数值．问题5：下图是函数()y f x =，[]x a b ∈，的图象．你能找出它的极大值、极小值吗？师生活动：学生观察图象并回答．预设的答案：由图象可知，135()()()f x f x f x ，，是函数()y f x =的极小值，246()()()f x f x f x ，，是函数()y f x =的极大值．追问：函数()y f x =在区间[]a b ，上有最小值和最大值？如果有，最小值和最大值分别是什么？师生活动：学生观察图象并回答．预设的答案：由上图可以看出，函数()y f x =在区间[]a b ，上的最小值是3()f x ，最大值是()f a ．设计意图：通过特例，让学生体会函数极值与最值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象和数学建模的核心素养．问题6：在下图中，观察[]a b ，上的函数()y f x =和()y g x =的图象，它们在[]a b ，上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？师生活动：学生观察图象并回答．预设的答案：最大值为f (b )，最小值为f (a )；最大值为g (x 3)，最小值为g(x 4)． 设计意图：通过特例，让学生体会函数的最值，发展学生直观想象、数学抽象和数学建模的核心素养．结论：（1）一般地，如果在区间[]a b ，上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．（2）结合上图，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数()y f x =的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值．【练一练】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值． ( )(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值． ( )(4)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点． ( )师生活动：学生思考后回答，教师完善．预设的答案： (1)函数在闭区间[a ，b ]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得故错误．(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．(3)因为y 最大值≥y 极值，y 最小值≤y 极值，故错误．(4)正确．【巩固练习】例1求函数31()443f x x x =-+在区间[03]，上的最大值与最小值． 师生活动：学生自主完成，教师点评．预设的答案：因为31()443f x x x =-+，所以2()4(2)(2)f x x x x =-=+-'． 令()0f x '=，解得2x =-或2x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x0 （0，2） 2 （2，3） 3 ()f x ' －0 ＋ ()f x 4 单调递减 43- 单调递增 1由表可知，函数31()443f x x x =-+在区间[03]，上的最大值是4，最小值是43-．设计意图：通过该例题，让学生体会求函数最值的方法和步骤，发展学生直观想象、数学抽象和数学建模的核心素养．方法总结：一般地，求函数()y f x =在区间[]a b ，上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数()y f x =在区间()a b ，上的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()()f a f b ，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例2求证：0x >时，11ln x x-≤． 师生活动：教师分析可将不等式转化为11ln 0x x -+≥，引入函数，利用导数研究函数的性质，进而得证．学生完成解题过程． 预设的答案：原不等式可转化为1ln 0x x -+≥，设()1ln s x x x=-+，那么22111()x s x x x x-'=-+=， 令()0s x '=，解得1x =，当x 变化时，()s x '，()s x 的变化情况如表所示：所以，当1x =时，()s x 取得最小值．所以()(1)0s x s ≥=，即11ln 0x x-+≥． 所以，当0x >时，11ln x x-≤． 发展学生逻辑推理、直观想象和数学抽象的核心素养．结论：当0x >时，11ln x x-≤．该结论是今后证明不等式问题时常常用到的不等式． 练习：教科书P 94练习1、2算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养． 【课堂总结】1．板书设计：5．3．2 函数的极值与最大（小）值（第2课时）新知探究 巩固练习知识点1：函数的最大（小）值例1例22．总结概括： 师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：教科书P 98习题5．3 6、12【目标检测设计】1．函数()()()212f x x x =--在[]0,3上的最小值为( ) A ．8- B ．4- C ．0 D ．427设计意图：进一步巩固利用导数求函数的最值的方法．2．已知()33f x x x a =-+(,a a ∈R 为常数)在[2,2]-上有最大值4，那么此函数在[2,2]-上的最小值为_______________．设计意图：进一步巩固利用导数求函数的最值的方法以及已知最值如何求参数值的方法．3．已知函数()32322,,12f x x x x x ⎡⎤=+++∈-⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的最大值和最小值．设计意图：进一步巩固利用导数求函数的单调性和最值的方法．参考答案：1．B 由2()(1)(2)f x x x =--，得2()(2)2(1)(2)(2)(34')f x x x x x x =-+--=--．解)'(0f x >，得2x >或43x <， 所以()f x 在40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭和(2,3]上单调递增，在4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 又(0)4,(2)0f f =-=，所以2()(1)(2)f x x x =--在[0,3]上的最小值为4-．故选B ．2．16-因为32()3f x x x a =-+，所以2()363(2')f x x x x x =-=⋅-，所以函数()f x 的单调递增区间为()(),0,2,-∞+∞，单调递减区间为()0,2．因为[2,2]x ∈-，所以()f x 在[2,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减， 当0x =时，函数取得最大值4，即()04f =，解得4a =． 所以32()34f x x x =-+，所以()()2812416,281240f f -=--+=-=-+=， 可得当2x =-时，函数取得最小值16-．3．解：（1）21()3413(1)3'f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． 由)'(0f x >，得1x <-或13x >-； 由)'(0f x <，得113x -<<-． 因此，函数()f x 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦，单调递减区间为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （2）()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1)2f -=；()f x 在13x =-处取得极小值，极小值为150327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又313,(1)628f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，且5013278>， 所以()f x 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为(1)6f =， 最小值为31328f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．。
