《等式性质与不等式性质(二)》教学设计【高中数学人教A版必修第一册教案】

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.1 等式性质与不等式性质（第一课时）

教学设计

一、教学目标

1. 知识与技能

通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；

2. 过程与方法

通过解决具体问题，使学生能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；

3. 情感态度与价值观

培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；

二、教学重难点

1. 教学重点

将不等关系用不等式表示出来，实数的大小比较，用作差法比较两个式子大小；

2. 教学难点

正确理解现实生活中的不等关系，在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小；

三、教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

1. 新课导入 在现实生活和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系。

例题：

（1）天气预报说：今天最低温度为22℃，最高温度为30℃，若用t表示今天气温，那么怎么用数学表达式表示t？

（2）a中，a的取值范围是什么？

（3）提问两同学的身高问题，让全体同学比较其大小关系。如A＞B 学生在纸上写出并回答：

（1）22℃≤t≤30℃

（2）a≥0

（3）根据实际情况回答

通过具体情境，了解不等式的概念。 又如：课本P37问题1 ，这些问题即是我们今天要研究的问题。

根据课本问题进一步研究不等式。 2. 探索新知 请学生思考并回答以下问题：

问题一：表示不等关系的数学符号以及不等式的定义？

问题二：a≥a，这样写正确吗？（“≥“的含义是什么？）

这样写是正确的，因为“＞”和“=”只要一个满足就可以了，即a≥b表示a＞b或a=b ，同样a≤b即为a＜b或a=b。

课本P37问题2，学生尝试列不等式。

问题三：实数与数轴上的点有怎样的对应关系？右边的点表示的实数与左边的点表示的实数谁大？

问题四：数轴上两点A、B有怎样的位置关系？两实数有怎样的大小关系？

第2课时 等式性质与不等式性质

学

习

目

标

核

心 素 养

1.掌握不等式的性质．(重点)

2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)

3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异. 1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．

2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.

1．等式的性质

(1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a；

(2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

(3) 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；

(4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；

(5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.

2．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.

(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.

(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.

(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．

1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是( )

A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋c C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d

B [根据不等式的性质．]

2．与a>b等价的不等式是( )

A．|a|>|b| B．a2>b2

C.ab>1 D．a3>b3

D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]

3．设x

A．x2ax>a2

C．x2a2>ax

B [∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]

利用不等式性质判断命题真假

【例1】 对于实数a，b，c下列命题中的真命题是( )

考点

学习目标 核心素养

数（式）大小比较 会运用作差法比较两个数或式的大小 逻辑推理

不等式的性质 掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题 逻辑推理

问题导学

预习教材P５8—P6３的内容，思考以下问题：

１．如何比较两个实数的大小？

２．不等式的性质有哪些？

３．不等式的性质有哪些推论？

１．比较实数a，b的大小

（１）文字叙述

如果a—b是正数，那么a>b；如果a—b等于零，那么a＝b；如果a—b是负数，那么a

（２）符号表示

a—b>0⇔a>b；a—b＝0⇔a＝b；a—b<0⇔a

■名师点拨

符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．

２．不等式的性质

性质１：如果a>b，那么a＋c>b＋c.

性质２：如果a>b，c>0，那么ac>bc.

性质３：如果a>b，c<0，那么acb，b>c，那么a>c.（传递性）

性质５：a＞bb＜a.

推论１：如果a＋b>c，则a>c—b.（不等式的移项法则）

推论２：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.（同向可加性）

推论３：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

推论４：如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>１）．

推论５：如果a>b>0，那么错误!>错误!.

■名师点拨

（１）推论１表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．

（２）推论２表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．

（３）推论３表明，n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）实数a不大于—２，用不等式表示为a≥—２．（ ）

新教材高中数学新人教B版选择性必修第二册：

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1 等式性质与不等式性质

【素养目标】

1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)

2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)

3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)

4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)

5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)

【学法解读】

在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．

第1课时不等关系与比较大小

必备知识·探新知

基础知识

知识点1 不等式与不等关系

不等式的定义所含的两个要点．

(1)不等符号，，______，______或.

(2)所表示的关系是____________.

思考1：不等式“ab”的含义是什么？只有当“ab”与“ab”同时成立时，该不等式才成立，是吗？

提示：不等式ab应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“ab或者ab”，等价于“a不大于b”，即若ab或ab之中有一个正确，则ab正确．

知识点2 比较两实数a，b大小的依据

000ababab如果依据如果如果 比较两实数a，b的大小 依据 如果a－b>0，那么________如果a－b<0，那么________如果a－b＝0，那么________结论：确定任意两个实数a，b的大小关系，只 需确定它们的差a－b与0的大小关系

思考2：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？

(2)若“0ba”，则a，b的大小关系是怎样的？

提示：(1)是 (2)ba

基础自测

1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)

(1)不等式2x的含义是指x不小于2.( )