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松1 •理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法.2 31 •函数的极值与最值⑴已知函数y =f（x）,设勺是定义域内任一点,如果对勺附近的所有点兀都有血1今（勺），则称函数心）在点勺处取极大值，记作y极大=f（XQ）, 并把勺称为函数心）的一个极大值点.如果在勺附近都有血1泌乂），则称函数心）在点勺处取极小值，记作y极小=f（.XQ）,并把％称为函数/（x）的一个极小值点.（2）极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.⑶函数冷）的最大（小）值是函数在指定区间上的最大（小）的值.2 3名师点拨1・极值是一个局部概念•由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最犬或最小.2 •函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.3•极犬值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值•如图，兀］是极大值点,兀4是极小值点，而几兀4)>/&)・4 •函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值2 3点•而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能是区间的端点.2 3【做一做1・1】下列说法正确的是（）A .若/（x）习氐），贝皿＞o）为/⑴的极小值B.若Ax） W/g,贝吹勺）为心）的极大值C.若心0）为心的极大值，则/W W/g D・以上都不对答案：D2 3【做一做1-2】若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则 )A.极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值B.极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值C.极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值D.极大值必大于极小值答案：C1 32•求函数尸沧）极值的步骤第1步:求导数心）；第2步:求方程几力二0的所有实数根：第3步:考察在每个根％附近，从左到右,导函数/&）的符号如何变化.如果/G）的符号由正变负，贝哝勺）是极大值:如果由负变正，贝1]/（勺）是极小值.如果在/&）=0的根*勺的左、右侧几0的符号不变，贝恢叼）不是极值.归纳总结可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点,-k^f（x）=x3在x=0处的导数f（0）=0,但x=0不是它的极值点，即可导函数在点％处的导数/&o）=O是该函数在勺处取得极值的必要不充分条件.1 3【做一做2-1］函数y=x2+x+l3A.lB.-47C.- D・不存在答案：B的极小值是（）1 3【做一做2・2】若函^Ly=2x3-3x2+a的极大值是6,则a— _______ ・解析：Ty，二6G6兀二6%（兀-1），・••当%e（-oo,o）或xw（i,+oo）时</>0,原函数为增函数，当兀丘（0，1）时，y'vO,原函数为减函数，故当兀二0时极大值二a二6.答案：61 23.求函数y才＞）在［“］上的最大（小）值的步骤第1步:求心）在开区间@0）内所有使/&）二0的点.第2步:计算函数心）在区间@0）内使/&）二0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.名师点拨利用导数法求最值，实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值.因此，我们可以在导数法求最值的基础上进行变通，令 /（%） = 0得到方程的根X［,兀2,…,直接求得函数值/（X］）几七），…,然后再与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.1 2【做一做3 ］函数心)二兀彳+无2.兀在区间卜2,1 ］上的最大值为__________ ,最小值为________ .------------ 1解析：『(兀)=3兀2 + 2无・1，令几x) = 0,得兀1 =・1丸2="-1)=1,民)=-^,/(-2) = -2,/(l) = 1,故函数的最大值为1, 最小值为2 答案：|1 -2函数的极值与最值有何关系？剖析：如果函数在某些点处不可导，也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最犬值和最小值点.观察下图中一个定义在区间上的函数/（%）的图象•图中/&）与乐3）是极小值：A%2）是极大值•函数心）在“切上的最大值是/⑹，最小值是沧3）・一般地，在区间⑺,甸上如果函＜＞）的图象是一条连续不间断的曲线，那么该函数在［a，b］上必有最大值与最小值.注意:(1)在区间(“)内函数心)的图象是一条连续不间断的1曲线，该函数不一定有最大值与最小值，如函数/(兀)=-在(0,+oo)内连X续，但没有最大值与最小值.(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.⑶函数/⑴在区间［",b］上的图象是一条连续不间断的曲线，是几Y)在区间上有最犬值与最小值的充分不必要条件.(4)函数在其定义域上的最犬值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个,也可能一个也没有.题型二 题型三 题型四求函数的极值【例题1】求下列各函数的极值:分析：按照求极值的方法，首先从方程f(x)二0入手，求出函数心) 在定义域内所有可解的极值点，然后按极值的定义判断并求值.解：⑴函数心)的定义域为R,f(x)=2xe'x +x 2e'x (-x) =x(2-x)e<令几兀)二0,得兀二0或兀二2，当x 变化时几巧*兀)的变化情况如下表： (l)/(x)=x 2-e x ; 1+3%丁4+5兀2题型二题型三题型四从表中可以看出，当*0时，函数有极小值，獣0）二0;当*2时，函数有极大值，且/⑵二4e2题型二题型三题型四（2）卩=-仏5爲,令卩二。
