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松1 •理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法.2 31 •函数的极值与最值⑴已知函数y =f（x）,设勺是定义域内任一点,如果对勺附近的所有点兀都有血1今（勺），则称函数心）在点勺处取极大值，记作y极大=f（XQ）, 并把勺称为函数心）的一个极大值点.如果在勺附近都有血1泌乂），则称函数心）在点勺处取极小值，记作y极小=f（.XQ）,并把％称为函数/（x）的一个极小值点.（2）极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.⑶函数冷）的最大（小）值是函数在指定区间上的最大（小）的值.2 3名师点拨1・极值是一个局部概念•由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最犬或最小.2 •函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.3•极犬值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值•如图，兀］是极大值点,兀4是极小值点，而几兀4)>/&)・4 •函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值2 3点•而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能是区间的端点.2 3【做一做1・1】下列说法正确的是（）A .若/（x）习氐），贝皿＞o）为/⑴的极小值B.若Ax） W/g,贝吹勺）为心）的极大值C.若心0）为心的极大值，则/W W/g D・以上都不对答案：D2 3【做一做1-2】若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则 )A.极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值B.极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值C.极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值D.极大值必大于极小值答案：C1 32•求函数尸沧）极值的步骤第1步:求导数心）；第2步:求方程几力二0的所有实数根：第3步:考察在每个根％附近，从左到右,导函数/&）的符号如何变化.如果/G）的符号由正变负，贝哝勺）是极大值:如果由负变正，贝1]/（勺）是极小值.如果在/&）=0的根*勺的左、右侧几0的符号不变，贝恢叼）不是极值.归纳总结可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点,-k^f（x）=x3在x=0处的导数f（0）=0,但x=0不是它的极值点，即可导函数在点％处的导数/&o）=O是该函数在勺处取得极值的必要不充分条件.1 3【做一做2-1］函数y=x2+x+l3A.lB.-47C.- D・不存在答案：B的极小值是（）1 3【做一做2・2】若函^Ly=2x3-3x2+a的极大值是6,则a— _______ ・解析：Ty，二6G6兀二6%（兀-1），・••当%e（-oo,o）或xw（i,+oo）时</>0,原函数为增函数，当兀丘（0，1）时，y'vO,原函数为减函数，故当兀二0时极大值二a二6.答案：61 23.求函数y才＞）在［“］上的最大（小）值的步骤第1步:求心）在开区间@0）内所有使/&）二0的点.第2步:计算函数心）在区间@0）内使/&）二0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.名师点拨利用导数法求最值，实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值.因此，我们可以在导数法求最值的基础上进行变通，令 /（%） = 0得到方程的根X［,兀2,…,直接求得函数值/（X］）几七），…,然后再与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.1 2【做一做3 ］函数心)二兀彳+无2.兀在区间卜2,1 ］上的最大值为__________ ,最小值为________ .------------ 1解析：『(兀)=3兀2 + 2无・1，令几x) = 0,得兀1 =・1丸2="-1)=1,民)=-^,/(-2) = -2,/(l) = 1,故函数的最大值为1, 最小值为2 答案：|1 -2函数的极值与最值有何关系？剖析：如果函数在某些点处不可导，也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最犬值和最小值点.观察下图中一个定义在区间上的函数/（%）的图象•图中/&）与乐3）是极小值：A%2）是极大值•函数心）在“切上的最大值是/⑹，最小值是沧3）・一般地，在区间⑺,甸上如果函＜＞）的图象是一条连续不间断的曲线，那么该函数在［a，b］上必有最大值与最小值.注意:(1)在区间(“)内函数心)的图象是一条连续不间断的1曲线，该函数不一定有最大值与最小值，如函数/(兀)=-在(0,+oo)内连X续，但没有最大值与最小值.(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.⑶函数/⑴在区间［",b］上的图象是一条连续不间断的曲线，是几Y)在区间上有最犬值与最小值的充分不必要条件.(4)函数在其定义域上的最犬值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个,也可能一个也没有.题型二 题型三 题型四求函数的极值【例题1】求下列各函数的极值:分析：按照求极值的方法，首先从方程f(x)二0入手，求出函数心) 在定义域内所有可解的极值点，然后按极值的定义判断并求值.解：⑴函数心)的定义域为R,f(x)=2xe'x +x 2e'x (-x) =x(2-x)e<令几兀)二0,得兀二0或兀二2，当x 变化时几巧*兀)的变化情况如下表： (l)/(x)=x 2-e x ; 1+3%丁4+5兀2题型二题型三题型四从表中可以看出，当*0时，函数有极小值，獣0）二0;当*2时，函数有极大值，且/⑵二4e2题型二题型三题型四（2）卩=-仏5爲,令卩二。
《函数的极值与导数》方法探究一、求函数的极值利用导数求函数极值的步骤：1.确定函数的定义域.2.求导数()'.f x3.求方程()'0f x =的根.4.利用方程()'0f x =的根将定义域分成若干个小开区间，列表判定导函数在各个小开区间的符号.5.确定函数的极值，如果()'f x 的符号在0x x =处由正(负)变负(正)，则()f x 在0x x =处取得极大(小)值.例1(★☆☆)求下列函数的极值：(1)()312;f x x x =-(2)()22 2.1x f x x =-+ 解题导引 求导→解方程()'0f x =→列表→判断→得极值.二、已知极值求参数值已知函数的极值情况，求参数值时，需注意两点:①常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.②因为函数在某点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性.例2(★★☆)设1x =与2x =是函数()2ln f x a x bx x =++的两个极值点.(1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点,并说明理由. 解题导引 (1)求导→由极值点处的导数为0建立方程(组)→求,;a b(2)把(1)中,a b 的值代入导数式→判断导数符号→确定极大值点和极小值点.三、极值问题的综合运用极值问题的综合运用主要涉及极值的正用和逆用，以及函数的单调性问题，注意已知与未知的转化以及函数、方程和分类讨论思想在解题中的应用，解题的关键是掌握求单调区间和极值的解题方法.例3(★★☆)设a 为实数，函数()33.f x x x a =-++(1)求()f x 的极值；(2)是否存在实数,a 使得方程()0f x =恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值;若不存在，请说明理由.解题导引 (1)求导数→解方程()'0f x =得12,x x →判断极值→得结论；(2)根据(1)中的单调性和极值画出简图→由图讨论方程的根.参考答案例1答案：见解析解析：(1)函数()f x 的定义域为()()()'2,312322.R f x x x x =-=+-令()'0,f x =得2x =-或2,x =当x 变化时()()',,f x f x 的变化情况如下表：从表中可以看出，当2x =-时，函数取得极大值,且()()()32212216;f -=--⨯-= 当2x =时，函数()f x 取得极小值，且()32212216.f =-⨯=-(2)()()()()()22'2222212221,11x x xx f x x x +-⋅-==++令()'0,f x =解得1x =或1,x =-当x 变化时()()',,f x f x 的变化情况如下表:当1x =-时(),f x 取得极小值，并且()2123;11f --=-=-+ 当1x =时(),f x 取得极大值，并且()212 1.11f =-=-+ 导师点睛 按照求极值的方法，先从方程()'0f x =入手，求出函数()f x 在定义域内所有可能的极值点，再按极值的定义判断函数在这些点处是否取得极值. 例2答案：见解析解析：(1)因为()2ln ,f x a x bx x =++所以()'2 1.a f x bx x=++由极值点的必要条件可知()()''120,f f ==即210,410,2a b a b ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩解得21,.36a b =-=- (2)1x =是函数()f x 的极小值点,2x =是函数()f x 的极大值点.理由如下：由(1)知()()221ln 0,36f x x x x x =--+>故()'121 1.33f x x x -=--+ 当()0,1x ∈时()',0;f x <当()1,2x ∈时()',0;f x >当()2,x ∈+∞时()',0.f x <故函数()f x 在1x =处取得极小值，极小值为5;6函数在2x =处取得极大值，极大值 为42ln 2.33-所以1x =是函数()f x 的极小值点,2x =是函数()f x 的极大值点. 导师点睛 可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，因此本题第(2)问进行了检验.例3答案：见解析解析：(1)()()3'23,33,f x x x a f x x =-++∴=-+令()'2330,f x x =-+= 得121, 1.x x =-=当(),1x ∈-∞-时()',0;f x <当()1,1x ∈-时()',0;f x > 当()1,x ∈+∞时()()',0,f x f x <∴的极小值为()()12,f a f x -=-的极大 值为()1 2.f a =+(2)存在.解法一：()f x 在(),1-∞-上单调递减，且当x →-∞时，().f x →+∞又()f x 在 ()1,+∞上单调递减，且当x →+∞时(),.f x →-∞而22,a a +>-即函数的极大值大于极小值,∴当极大值等于0时,极小值小于0，此时曲线()f x 与x 轴恰有两个交点，即方程()0f x =恰好有两个实数根,20,2,a a ∴+=∴=-如图(1).当极小值等于0时，极大值大于0,此时曲线()f x 与x 轴恰有两个交点，即方程 ()0f x =恰好有两个实数根,20,2,a a ∴-=∴=如图(2).解法二:令()330,f x x x a =-++=得33,x x a -+=-令,y a =-设()3y g x x ==-+ 3.x 由解法一可知()()()()12,12,g x g g x g ===-=-极大值极小值画出两函数图象的简图如图，由图可知，当2a =±时，函数有两个零点.综上可知，当2a=-时,方程恰有两个实数根.a=或2导师点睛利用导数研究函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为两函数图象的交点个数问题来解决.。
