【数学】黑龙江省哈师大附中2017届高三下学期开学考试 (理)

黑龙江省哈师大附中2017届高三下学期开学考试（理）

一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，将正确答案填涂在答题卡的相应位置）

1．已知集合xyxM，2xyyN，则下列说法正确的是（）

A．),0(M B．NM C．1,0NM D．NM

2．在ABC中，已知23Aπ，7BC，5AC，则AB（）

A．3 B．23 C．8 D．38

3．在104)1(xx的展开式中，常数项为（）

A．90 B．90 C．45 D．45

4．已知ba,均为正实数，则)4)(1(abba的最小值为（）

A．3 B．7 C．8 D．9

5．已知随机变量服从正态分布)4,2(N，且8.0)4(P，则)20(P（）

A．6.0 B．4.0 C．3.0 D．2.0

6．某校在半期考试中要考察六个学科，已知语文考试必须安排在首场，且数学与英语不能相

邻，则这六个学科总共有（）种不同的考试顺序

A．36 B．48 C．72 D．112

7．集合yxA,,1，yxB2,,12，若BA，则实数x的取值集合为（）

A．21 B．21,21 C．21,0 D．21,21,0

8．已知双曲线的方程为)0,0(12222babyax，它的一个顶点到一条渐近线的距离为d，

已知cd32（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率的取值范围为（）

A．]2,26[ B．]3,26[ C．]3,2( D．),3[]26,1(

9．下列说法中正确的是（）

A．“若12x，则1x或1x”的否命题为“若12x，则1x或1x”

B．已知命题“qp”为假命题，则命题“qp”也是假命题

C．设U为全集，集合BA,满足ABCBACUU)()(，则必有BA

D．设为实数，“]1,1[x，满足21x”的充分不必要条件为“1”

10．如图,已知ACAB,是圆的两条弦,过B作圆的切线与AC的延长线相交于D.过点C作BD的平行线与AB相交于点E,3AE,1BE,则BC的长为（）

A．2 B．3

C．2 D．23

11．在ABC中，已知BCAtan2tan1tan1，则Bcos的最小值为（）

A．32 B．42 C．31 D．21

12．函数13)(23xxxxf在0xx处取得极大值，设0xm，且)()(0mfxf，

则0xm（）

A．3 B．32 C．33 D．63

二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）

13．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知两点22,3A，3,6B，则AOB的面积为

14．在10瓶饮料中，其中有3瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取3瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为

15．如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为

16．集合BA,满足条件BA，5,4,3,2,1BA，当BA时，我们将),(BA和),(AB视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对),(BA共有个

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）

17．（本小题满分12分）已知集合，0452xxxB，

（1）当1a时，求BA

（2）已知“Ax”是“Bx”的充分条件，求实数a的取值范围

18．（本小题满分12分）小明在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个，甲、乙、丙每人每次抢到红包的概率均为31

（1）若小明发放1元的红包2个，求甲最多抢到1个红包的概率； 1axxA

（2）若小明共发放3个红包，第一次发放5元，第二次发放5元，第三次发放10元，记甲抢到红包的总金额为元，求的分布列和数学期望

19．（本小题满分12分）已知ABCP为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且PCAD,如图所示

（1）求证：PC平面PAB；

（2）求二面角BACD的平面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的左右焦点分别为21,FF，点P在椭圆上，且0211FFPF，421FF，551PF

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）经过点)0,3(P的直线l和椭圆C交于BA,两个不同的点，设AB的中点为),(00yxQ，求00yx的取值范围.

21．（原创）（本小题满分12分）已知函数xxxfln2)(

（1）求函数)(xf的单调区间；

（2）经过点)2,0(作函数)(xf图像的切线，求该切线的方程；

（3）当),1(x时)1()(2xxf恒成立，求常数的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，设P为圆O外的点，过点P作圆O的切线PA，切点为A，过点P作圆O的割线PBC，与圆交于CB,两点，OPAH，垂足为H

（1）求证：PCOPHB~

（2）已知圆O的半径为1，3PA，，

求四边形BCOH的面积

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为taytx211231（其中参数Rt，a为常数），

在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为)4cos(22 26PB

（1）求曲线C的普通方程；

（2）已知直线l与曲线C相交于BA,两点，且5AB，求常数a的值

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数axxxxf12)(2

（1）当2a时，求)(xf的最小值；

（2）当]1,32[x时，xxf)(恒成立，求a的取值范围

参考答案

一、选择题： 1—12BADDCCABDCDB

二、填空题

13：3 14：2417 15：2189 16：211

三、解答题

17、解：（1）当1a时，2011111xxx，所以]2,0[A

由0)4)(1(452xxxx知41x，故]4,1[B

所以]4,0[]4,1[]2,0[BA

（2）11111axaaxax，且]4,1[B

由已知BA，画出数轴分析知：41a且11a，解得]3,2[a

18、解：（1）设“甲最多抢到一个红包”为事件A，则98)32(3231)(212CAP

（2）的所有可能值为20,15,10,5,0

278)32()0(3P；27832)3231()5(12CP

27631)32(32)31()10(22P；27431)3231()15(12CP

271)31()20(3P，故的分布列：

 0 5 10 15 20

P 278 278 92 274 271

期望32027120274152761027852780E

19、解：（1）以AB中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴建立如图坐标系，各点坐标如下：)0,1,0(A，)0,1,0(B，)0,0,3(C，由于点P在ABC中的射影为ABC的中心，

故可设),0,33(hP，故),0,332(hPC，而)0,2,0(AB

00)()2(00332hABPC，所以ABPC，而ADPC

因为ADAB,为平面PAB中的两条相交直线，所以PC平面PAB

（3）由中点公式知)2,21,63(hD，由

（4）0PCAD知：

02131),0,332()2,23,63(2hhh，解得32h

设平面ACD的法向量为),,(zyxa，

由上面的计算知)66,23,63(AD

)0,1,3(AC，由0aAD及0aAC知：

030662363yxzyx，解得)8,6,2(a，

显然平面ABC的法向量为)1,0,0(b

设所求二面角的平面角为，则322728cosbaba

20、解：（1）由242cc，由勾股定理5591651221212FFPFPF，

由椭圆定义55255955221aPFPFa，从而122cab，

故椭圆方程为1522yx

（2）当直线与x轴重合时，)0,0(Q，此时000yx

若直线与x轴不重合，设l的方程为3myx，与椭圆联立得046)5(22myym

由2080202mm或2m

由韦达定理：532562210221mmyyymmyy

3010353153)1(32200000tttmmymymyyxu，