2.2.1双曲线及其标准方程(课件)高二数学(北师大版2019选择性)

§3.2 双曲线

3．2.1双曲线及其标准方程

1．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()

A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1

C.x29－y216＝1(x≤－3) D.x29－y216＝1(x≥3)

答案D

解析由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．

由c＝5，a＝3，知b2＝16，

∴P点的轨迹方程为x29－y216＝1(x≥3)．

2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()

A.22，0B.62，0C.52，0D．(3，0)

答案B

解析将双曲线方程化为标准方程为x2－y212＝1，

∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴c＝62，

故右焦点坐标为62，0.

3．已知双曲线x2a－3＋y22－a＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()

A.32B．5C．7D.12

答案D

解析根据题意可知，双曲线的标准方程为

y22－a－x23－a＝1.

由其焦距为4，得c＝2， 则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝12.

4．已知双曲线x24－y25＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()

A．3或7B．6或14

C．3D．7

答案A

解析连接ON，ON是△PF1F2的中位线，

∴|ON|＝12|PF2|，

∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，

∴|ON|＝12|PF2|＝7或3.

5．(多选)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是()

A．2B．－1C.4D．－3

答案AB

解析设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，

- 1 -

高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.3.1双曲线及其标准方程导学案

北师大版选修1-1

学习目标：1.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；

2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；

重点、难点：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；

会用双曲线的定义解决实际问题.

自主学习

复习旧知:1. 把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为时，椭圆即为点集．

2.平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线l叫做抛物线的＿＿＿.

3.抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。

合作探究

1.由教材探究过程容易得到双曲线的定义．

叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集P 。

2.双曲线标准方程的推导过程

思考：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法自己建立直角坐标系．

类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,abc的关系有明显的几何意义．

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程222210,0yxabba．推导

- 2 - 过程：

3.已知双曲线两个焦点分别为15,0F，25,0F，双曲线上一点P到1F，2F距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

高二数学 导学案（预习、讨论、作业） 班级________ 姓名______________

第 1 页 共 4 页 （选修1-1, 2-1）2.3.1双曲线及其标准方程导学案

[学习目标]

1.从具体情境中抽象出双曲线的模型；

2.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；

3.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；

4.通过双曲线标准方程的推导过程掌握双曲线的标准方程的两种形式．

[重点难点]

重点：双曲线的定义。

难点：双曲线标准方程的推导过程。

[导学流程]

一. （知识链接）回顾上节课有关椭圆定义和标准方程的内容，思考回答以下问题

1.椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

2.在椭圆的标准方程22221xyab中，,,abc有何关系？若5,3ab，则?c写出符合条件的椭圆方程．

3.如图2-23，把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，点的轨迹会变化吗？

已知定点12,FF是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，12MFMF是常数，这样就画出一条曲线；由21MFMF是同一常数，可以画出另一支．

二.（基础感知）

（一）1. 阅读P52—P53有关双曲线的定义及标准方程内容，回答以下问题：.将椭圆定义中的“和”为定值改为“差”是定值，轨迹还是椭圆吗？

2. 小组思考交流双曲线生成过程实验 （P52） ，归纳总结重要步骤和步骤中易忽视细节；

3 小组合作，类比椭圆的定义归纳双曲线定义：平面内与两定点12,FF的距离的差的 等

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于常数(小于12FF)的点的轨迹叫做双曲线。两定点12,FF叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12FF叫做双曲线的 ．

【反思】设常数为2a，为什么2a12FF？

1 §2.2.1双曲线及其标准方程

[自学目标]:

掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.

[重点]:

双曲线的定义,双曲线标准方程。

[难点]:

双曲线标准方程的推导过程。

一、课前准备

复习 1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

复习 2：在椭圆的标准方程12222byax， a,b,c 有何关系？

二、新课导学

★ 学习探究

问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 1F , 2F的距离的 的绝对值等于 (小于|21FF|)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点1F , 2F 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离|21FF|叫做双曲线________

反思：设常数为a2，为什么a2 < |21FF| ？

当a2 = |21FF|时，轨迹是__________ ；

当 a2 > |21FF| 时，轨迹____________ ．

试一试：点 A( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC| - |BC| = 1 ，则点C 的轨迹是__________

新知 2：双曲线标准方程的推导：

（1）建系

(2 ) 设点

（3）列式

（4）化简方程

yOxMF1F2 2 问题 2：若焦点在 y 轴，双曲线的标准方程又如何呢？

[预习自测]

1、双曲线12322yx的焦点坐标是（ ）

A、（0,5） B、（5,0）C、（0,1） D、（1,0）

2、求适合下列条件的双曲线的标准方程

（1）a=4,b=3,焦点在x轴;焦点在y轴;

（2）焦点在x轴上，经过点（2,3),(315,2);

（3）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5)。

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。