2020年寒假八年级数学课程第八讲 梯形

初二数学梯形人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：梯形1. 了解梯形的意义及分类．2. 学会把梯形分割成熟悉的图形．3. 掌握等腰梯形的特征．二、知识要点： 1. 梯形的定义（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． （2）一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形． （3）两腰相等的梯形叫做等腰梯形．BCCDBC2. 梯形的识别（1）一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形． （2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形． 3. 等腰梯形的性质（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等． （2）等腰梯形的对角线相等．（3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是通过两底边中点的直线，不是中心对称图形． 4. 等腰梯形的识别（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．（2）同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线相等的梯形是等腰梯形．三、重点难点：重点是探究等腰梯形的特征及识别；难点是灵活把梯形分割成熟悉的图形，并借助熟悉的图形特征来识别解决问题．【典型例题】例1. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是BC 延长线上的点，且CE ＝AD ，试判断△BDE 的形状，并说明理由．ABCDE分析：由等腰梯形ABCD 易知AC ＝BD ，由CE ∥AD 且CE ＝AD 可得四边形ACED 是平行四边形，则AC ＝DE ，问题得以解决．解：△BDE 是等腰三角形．理由： 因为AD ∥CE ，AD ＝CE ，所以四边形ACED 是平行四边形， 所以AC ＝DE ．又因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以AC ＝BD ，所以BD ＝DE ，所以△BDE 是等腰三角形．评析：DE 可以看作是由AC 平移得到的，在梯形中，我们常利用平移，轴对称的思想解决问题．例2. 如图所示，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，过点C 作CE ⊥AC 且与AB 的延长线交于点E ，试证明四边形AECD 是等腰梯形．ABCDE分析：显然CD ∥AE ，只要说明AD ＝CE 就能得出四边形AECD 是等腰梯形．而AD ＝BC ，问题就转化成了证明△BCE 的两边长相等．证明：在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝60°， 所以∠CAB ＝30°，∠CBE ＝60°． 又CE ⊥AC ，所以∠E ＝60°，所以△CBE 是等边三角形，所以CE ＝CB ＝AD ． 又DC ∥AB ，所以四边形AECD 是等腰梯形．例3. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝80°，∠C ＝50°，BC ＝10cm ，AD ＝4cm ，试求AB 的长．ABCDE分析：过点D 作腰AB 的平行线，将梯形ABCD 分割为平行四边形ABED 和△DEC ，利用平行四边形、三角形的知识解决．解：过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ，则四边形ABED 为平行四边形． 由DE ∥AB ，可得∠DEC ＝∠B ＝80°．又∠C ＝50°，则∠EDC ＝180°－∠DEC －∠C ＝50°， 所以∠C ＝∠EDC ，所以DE ＝EC ．由四边形ABED 为平行四边形，可得AB ＝DE ，BE ＝AD ＝4cm ， 所以EC ＝BC －AD ＝6cm ，从而有DE ＝6cm ，所以AB ＝DE ＝6cm ． 评析：解决梯形问题的基本思路是将梯形转化为三角形或平行四边形加以解决，本例采用了平移一腰AB 的方法，还可以采用平移另一腰CD 来解决，更简单．例4. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝12，BD ＝9．此梯形的上、下底之和是__________．ABCD EA BCD分析：四边形问题在不能得到直接解决时可以转换为三角形问题解决．作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，则DE ＝AC ＝12，因为AC ⊥BD ，所以∠BDE ＝90°．在R t △BDE 中，BD ＝9，DE ＝12，所以BE ＝15．又AD ＝CE ．所以BC ＋AD ＝BC ＋CE ＝BE ＝15．解：15评析：若题中没有可以利用的三角形、平行四边形，可以通过作辅助线构造三角形来解决．例5. 如图①，在直角梯形纸片ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，CD ＞AD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．（1）判断四边形ADEF 的形状； （2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG ＝CD ，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．EB①EB②分析：要说明四边形GBCE 是等腰梯形，只需BC ＝GE ，可以考虑把BC 和GE 转化成两全等三角形的对应边，或平行四边形的对边，或等腰三角形的两腰等，或用其他中间线段代换．解：（1）因为四边形ABCD 是直角梯形， 所以∠A ＝∠ADC ＝90°由折叠知∠DEF ＝90°，AD ＝DE ． 所以四边形ADEF 是正方形．（2）连结DG ，因为G 是AF 的中点， 在△ADG 和△FEG 中，AD ＝FE ，∠A ＝∠EFG ＝90°，AG ＝FG ， 所以△ADG ≌△FEG ，所以DG ＝EG ． 在直角梯形ABCD 中，BG ＝CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，所以DG ＝BC ， 所以EG ＝BC ．所以四边形GBCE 是等腰梯形．【方法总结】1. 本节学习了梯形、等腰梯形和直角梯形的有关概念以及梯形和等腰梯形的特征，在学习过程中应注意它们之间的区别．2. 掌握解决有关梯形问题中经常作辅助线的方法．如图所示：A BCDE (1)AB C D(2)E ABCD(3)E ABCD(4)A BC D(5)E ABC D (6)EF ABCD (7)MN【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝60°，则∠1＝（ ）AB CD1A. 35°B. 40°C. 60°D. 80°2. 等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则一个底角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°3. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，CD ＝5，则AD 的长是（ ） A. 6B. 5C. 4D. 3ABCD4. 下列四边形：①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ②③*5. 如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ∶BE 等于（ ）A. 2∶1B. 1∶2C. 3∶2D. 2∶3*6. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝50°，∠C ＝80°，BC ＝8cm ，AD ＝5cm ，则DC 长为（ ）A. 3cmB. 2cmC. 4cmD. 2.5cm *7. 梯形的两底长分别是16cm 和24cm ，下底角分别是60°和30°，则较短腰长为（ ） A. 3cm B. 83cm C. 12cm D. 4cm**8. 已知：如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝15，AC ＝20，则梯形ABCD 的面积是（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160ABCDE二. 填空题1. 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，周长为30cm ，DE ∥BC 且交AB 于E ，CD ＝5cm ，则△ADE 的周长为_________．2. 已知直角梯形的两腰之比为1∶2，那么这个梯形的最大角为__________度．3. 等腰梯形的上底为6cm ，下底为8cm ，高为3cm ．则腰长为__________cm ．4. 等腰梯形有一角为120•°，•腰长为3cm ，•一底边长为4cm ，•则另一底边长为_______．5. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC ，AB ＝6cm ，则AE ＝__________cm .A BCED*6. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B 与∠C 互余，AD ＝5，BC ＝13，∠C ＝60°，则该梯形的面积为__________．A BC D三. 解答题1. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝7，求∠B •的度数．AB CD2. 如图，E 、F 是梯形ABCD 的两底AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC ，•试证明梯形ABCD 是等腰梯形．ABCDEF3. 已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝4，BC ＝9，CD ＝5，DA ＝6． （1）求证：AB ⊥BC ；（2）求梯形ABCD 的面积．**4. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，E 是DC 的中点，•证明∠AEB ＝2∠CBE ．ABCD E【试题答案】一. 选择题1. C2. B3. B4. A5. A6. A7. D8. C二. 填空题1. 20cm2. 1503. 24. 1cm 或7cm5. 66. 183（过A 或D 作一腰的平行线）三. 解答题1. 60° 提示：过A 作AE ∥CD ，得平行四边形AECD ，分析可知△ABE 为等边三角形．2. 提示：分别过E 作EG ∥AB 交BC 于G ，EH ∥DC 交BC •于H ，•可证得EG ＝•EH ，所以梯形ABCD 是等腰梯形可证得．3. （1）过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，则AB ＝DE ＝4，∠DEC ＝∠ABC ，AD ＝BE ＝6，CE ＝9－6＝3．在△DEC 中，DC ＝5，DC 2＝25，DE 2＋CE 2＝42＋32＝25，所以DC 2＝DE 2＋CE 2．所以△DCE 是直角三角形，所∠DEC ＝90°．所以∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ；（2）梯形ABCD 的面积＝12（AD ＋BC ）·AB ＝30．4. 由于DE ＝EC ，AD ∥BC ，如果延长AE 交BC 的延长线于F ，就构造出△ADE 和△FCE 全等．从而AE ＝EF ．这时BE 为R t △ABF 斜边上的中线．由此知∠EBF ＝∠F ．由∠AEB ＝∠CBE ＋∠F 可得结论．。

梯形八年级数学教案教学建议知识结构梯形知识归纳1. 梯形的定义及其有关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.平行的两边叫做梯形的底，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；两底间的距离叫梯形的高.一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形.2. 梯形的性质及其判定梯形是特殊的四边形，它具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行.一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断.3. 等腰梯形的性质和判定性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等，两腰相等，两底平行，两对角钱相等，是轴对称图形，只有一条对称轴，底的中垂线就是它的对称轴.判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角钱相等的梯形是等腰梯形.梯形重难点分析本节的重点是等腰梯形的性质和判定•梯形仍是具有特殊条件的四边形，它与平行四边形同属于特殊的四边形，它只有一组对边平行，而另一组对边不平行，但平行四边形两组对边分别平行•而等腰梯形又是特殊的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性.本节的难点也是等腰梯形的性质和判定.由于等腰梯形又是特殊的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性，虽然学生在小学时已经接触过等腰梯形，在认识和理解上有一定的基础，但还是容易同特殊的平行四边形混淆，再加上梯形问题往往要转化成平行四边形和三角形来处理，经常需要添加辅助线，学生难免会有无从下手的感觉，往往会有对题目一讲就明白但自己不会分析解答的情况发生，教师在教学中要加以注意.梯形的教学建议1•关于梯形的引入生活中有许多梯形的例子，小学又接触过梯形内容，学生对梯形并不陌生，梯形的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如防洪堤坝、飞机机翼，别致窗户、音箱外形等等；②从小学学习过的旧知识复习引入；③从发现的角度引入，比如给出一组图形，告诉学生这就是梯形，然后寻找这些图形的共同点，根据共同点对梯形进行定义以及性质、判定的研究；④可用问题式引入，开始时设计一系列与梯形概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出梯形的定义和性质.2•关于梯形的概念梯形的相关概念小学就已经接触过，但并不深入，在研究梯形的概念时可设计如下问题加深对梯形相关概念的理解：①一组对边平行的四边形是不是梯形？②一组对边平行一组对边相等的图形是不是梯形？③一组对边相等的图形是不是梯形？④一组对边相等一组对边不相等的图形是不是梯形？⑤对角线相等的图形是不是梯形？⑥有两个角是直角的梯形是不是直角梯形？⑦两个角相等的梯形是不是等腰梯形?⑧对角线相等的梯形是不是等腰梯形？一、教学目标1. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念.2. 掌握等腰梯形的两个性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等.3. 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力.4. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想二、教法设计小组讨论，引导发现、练习巩固三、重点、难点1. 教学重点：等腰梯形性质.2. 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）.四、课时安排1课时五、教具学具准备多媒体，小黑板，常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生阅读课本；学生在教师引导下探索等腰梯形的性质，归纳小结梯形转化的常见的辅助线七、教学步骤【复习提问】1. 什么样的四边形是平行四边形？平行四边形有什么性质？2. 小学学过的梯形是什么样的四边形.（让学生动手画一个梯形，并找3名同学到黑板上来画，并指出上、下底和腰，然后由学生总结出梯形的概念）.【引入新课】（板书课题）梯形同样是一个特殊的四边形，与平行四边形一样，它也有它的特殊性，今天我们就重点来研究这个问题.1. 梯形及梯形的有关概念(1)梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(2)底：平行的一组对边叫做梯形的底(通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底).(3)腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰.(4)高：两底间的距离叫做梯形高.(5)直角梯形：一腰垂直于底的梯形.(6)等腰梯形：两腰相等的梯形.(以上这一过程借助多媒体或投影仪演示)提醒学在注意：①梯形与平行四边形同属于特殊的四边形，因为它们具有不同的特殊条件，所以必然有不同的性质.②平行四边形的对边平行且相等，而梯形中，平行的一组对边不能相等 (让学生想一想，为什么不能相等).③上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的.2. 等腰梯形的性质例1如图，在梯形中，，求证：分析：我们学过等腰三角形两底角相等”，如果能将等腰梯形在同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，问题就容易解决了.证明：（略）由此得出等旧梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两个角相等.例2如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等.已知：在梯形中，，求证：分析：要证，只要用等腰梯形的性质定理得出，然后再利用，即可得出证明过程：（略）.由此得到多腰梯形的第一条性质：等腰梯形的两条对角线相等.除此之外，等腰梯形还是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线.3. 解决梯形问题常用的方法在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点作交于，从而把梯形问题转化成三角形来解，实质上是相当于把采取平行移动到的位置，这种方法叫做平行移动(也可移对角线)，这是解决梯形问题常用的方法之一(让学生想一想，还可以用什么样的方法作辅助线来解决梯形问题，多找几名学生回答，然后教师总结，可借助多媒体演示见图).(1)作高”使两腰在两个直角三角形中.(2)移对角线”使两条对角线在同一个三角形中.(3)延腰”构造具有公共角的两个等腰三角形.(4)等积变形”连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形.综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决.【总结、扩展】小结：(以提问的方式总结)(1)梯形的有关概念.(2)梯形性质(①—③).(3)解决梯形问题的基本思想和方法.(4)解决梯形问题时，常用的几种辅助线.八、布置作业教材P179中2、3、4九、板书设计十、随堂练习教材P176中1、3。

梯形（基础）知识点归纳及典型例题讲解【学习目标】1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念．2．掌握等腰梯形的性质和判定．3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化．4. 熟练运用所学的知识解决梯形问题．5. 掌握三角形，梯形的中位线定理.【要点梳理】知识点一、梯形的概念一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.知识点二、等腰梯形的定义及性质1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.（2）等腰梯形的两条对角线相等.要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.知识点三、等腰梯形的判定1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.知识点四、辅助线梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：知识点五、三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.【典型例题】类型一、梯形的计算1、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.求∠B的度数及AC的长.【答案与解析】解：过A点作AE∥DC交BC于点E．∵ AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形．∴ AD＝EC，AE＝DC．∵ AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，∴ AE＝BE＝EC＝AB．可证△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形．∴∠BAC＝90°，∠B＝60°．在Rt△ABC中，2223=-=．AC BC AB∴ ∠B ＝60°，23=AC ．【总结升华】平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和三角形. 举一反三：【变式】如图所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ． (1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数．【答案】证明：(1)∵ AD ∥BC ， ∴ ∠ADB ＝∠EBC ． 又∵ CE ⊥BD ，∠A ＝90°， ∴ ∠A ＝∠CEB ． 在△ABD 和△ECB 中，A CEBADB EBC BD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ECB ．(2)∵ ∠DBC ＝50°，BC ＝BD ，∴ ∠BCD ＝65°． 又∵ ∠BEC ＝90°，∴ ∠BCE ＝40°．∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝25°．2、如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，AD＝4，BC＝10，求梯形的面积．【思路点拨】题目中有对角线互相垂直的条件，可通过平行移动对角线的方法，将两条对角线集中到一个直角三角形中，利用这个条件求出高．【答案与解析】解：如图所示，过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E，∴四边形ACFD为平行四边形，∴ DF＝AC，CF ＝AD＝4．∵ AC⊥BD，AC∥DF，∴ ∠BDF ＝∠BOC ＝90°． ∵ ABCD 是等腰梯形 ∴ AC ＝BD ，∴ BD ＝DF ．∴ BF ＝BC ＋CF ＝14，∴ DE ＝12BF ＝7．∴ 1(410)7492ABCDS=+⨯=梯形． 【总结升华】作对角线的平行线（平移对角线），将上底平移与下底拼接在一起构造两底之和，把梯形转化成平行四边形是常见的辅助线方法． 类型二、梯形的证明3、如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 于点E 、F ，AE 、DC 的延长线交于点G ，试说明四边形AFCG 为等腰梯形．【思路点拨】先证明四边形AFCG为梯形，再通过证底角相等证明四边形AFCG为等腰梯形.【答案与解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，又AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2＝∠4，又AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CF∥AG，又AF不平行于CG，∴四边形AFCG为梯形；又∠G＝∠BCD－∠3＝∠2＋∠4－∠3＝∠1，∴四边形AFCG为等腰梯形（同一底上两个角相等）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，难度适中，解题关键是熟练掌握并灵活运用等腰梯形的判定方法．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．求证：CE＝BF．【答案】证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．∵AE、DF分别为∠BAD与∠CDA的平分线，∴∠BAE＝12∠BAD，∠CDF＝12∠CDA．∴∠BAE＝∠CDF．∴△ABE≌△DCF．（ASA）∴BE＝CF．∴BE－BC＝CF－BC．即CE＝BF．4、如图所示，在梯形ABCD中，AD ∥BC ，对角线AC ＝5，BD ＝12，两底AD 、BC 的和为13．（1）求证：AC ⊥BD ；（2）求梯形ABCD 的面积．【答案与解析】证明：（1）过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E 点，又∵ AD ∥BC ，∴ 四边形ACED 为平行四边形．∴ DE ＝AC ＝5，CE ＝AD ．在△BDE 中，BD ＝12，DE ＝5，BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋AD ＝13，且22251213+=，即DE 2＋BD 2＝BE 2，∴ △BDE 为直角三角形，∴ ∠BDE ＝90°，则DE ⊥BD ，又DE ∥AC ，∴ AC ⊥BD ．（2）111()222ABD CBD ABCD S S S BD OA BD OC BD OA OC =+=+=+g g △△梯形 115123022BD AC ==⨯⨯=g ． 【总结升华】（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度乘积的一半．（2）通过辅助线将已知数据转化在同一个三角形内，然后由勾股定理的逆定理得到垂直关系，这是本题的关键．类型三、三角形、梯形的中位线5、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定【答案】C ；【解析】连AR ，由E 、F 分别为PA ，PR 的中点知EF 为△PAR 的中位线, 则12EF AR ，而AR 长不变，故EF 大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．6、在直角梯形ABCD 中（如图所示），已知AB∥DC，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，EF 为中位线，且BC ＝EF ＝4，那么AB ＝（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B；【解析】解：作CG⊥AB于G点，∵∠ABC＝60°BC＝EF＝4，∴BG＝2，设AB＝x，则CD＝x－2，∵EF为中位线，∴AB+CD＝2EF，即x+x－2＝8，解得x＝5，【总结升华】此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质．在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形．。

第八讲 梯形、多边形、中心对称图形【基础知识概述】一、梯形：1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 2．特殊梯形: (1)等腰梯形：两腰相等的梯形． (2)直角梯形：一腰垂直于底的梯形． 3．等腰梯形的性质(1) 等腰梯形的两腰相等．(2) 等腰梯形在同一底上的两个角相等． (3) 等腰梯形的对角线相等． 3．等腰梯形的判定(1)定义：两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． (3)对角线相等的梯形是等腰梯形． 二、梯形中常用的辅助线的添法：三、多边形：1．多边形的定义：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形．2．多边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n-2)·180°． 3．多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°． 4．多边形的对角线；(1)从n 边形的一个顶点，可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形． (2)n 边形共有2)3( n n 条对角线. 四、中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合．那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心．中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

【例题巧解点拨】例1、如图，ABCD 是梯形，AB ∥DC,AB=5，BC=23，∠BCD=45°,∠CDA=60°,DC 的长度（ ） A 、8+33 B 、8 C 、219D 、8+3例2 如图，已知E 是梯形ABCD 的腰AD 的中点，且AB+CD=BC ，求证：①BE 平分∠ABC . ②BE ⊥CE 。

变式训练：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，若△AEB 的面积为S ，则梯形ABCD 的面积为（ ）A.S 25B.2SC.S 47D.S 49例3 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=8㎝，BD=6㎝，求梯形的高.【名书、名校、中考、竞赛在线】一、选择题或填空:1．下列说法正确的是（ ）A ．一组对边平行的四边形是梯形B ．有两个角是直角的四边形是直角梯形C ．只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形D ．一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形ED CBA2．某多边形的内角和与外角和共1080°，则多边形的边数是___________.3．________边形的内角和是外角和的2倍； _______边形的内角和与外角和相等． 4．n 边形的每一个内角都相等，它的一个外角与一个内角的比是1∶3，n 边形的对角线有_____条．5．（2011武汉）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD =DC =CB ，若∠ABD ＝25°，则∠BAD 的大小是( )A ．40°．B ．45°．C ．50°．D ．60°． 6．（2011临沂）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝2，BC ＝6，∠B ＝60°，则梯形ABCD 的周长是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．187. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AC ⊥BD 且AC=8cm ，BD=15cm ，则梯形的高 =二、解答题8．（2011芜湖）如图，在梯形ABCD 中，DC ‖AB ，AD=BC , BD 平分,60ABC A ∠∠=，过点D 作DE AB ⊥，过点C 作CF BD ⊥，垂足分别为E 、F ，连接EF ，求证：DEF △ 为等边三角形.望子成龙学校家庭作业姓名：______一、填空、选择1. （2011烟台）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是（ ） A.8 B.9 C.10 D.122. （2011绵阳）如图，在等腰梯形站ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ABD =30°，AC ⊥BC , AB = 8cm,则△COD 的面积为A. 23cmB. 243cmC. 23cm D. 223cm3. 梯形ABCD 中, AB ∥CD ， ∠D=70 °， ∠ C=40 ° AB=4cm, CD=11cm, BC=_________.。

八年级梯形平移知识点归纳总结梯形是几何学中的一个重要概念，也是我们在初中数学中经常接触到的一个多边形。

在学习梯形的过程中，我们不仅需要了解其性质和特点，还要学习如何进行梯形的平移操作。

本文将对八年级梯形平移的知识点进行归纳总结。

一、梯形的基本概念梯形是指有两对平行边的四边形，其中一对边是底边，另一对边称为上底和下底。

两条斜边连接底边上的两个顶点，形成梯形的两个侧边。

梯形的高是连接两条斜边垂直的线段，且高的长度等于两条斜边的高度差。

二、梯形的平移平移是指将一个图形按照给定的向量方向和距离，在平面上保持形状和大小不变地移动的操作。

梯形的平移可以通过平移向量来描述。

平移向量由两个分量组成，分别表示向右的平移距离和向上的平移距离。

三、梯形的平移性质1. 平移不改变梯形的形状、大小和方向，只改变了梯形的位置。

2. 平移前后，梯形的对应顶点之间的距离保持不变。

3. 平移前后，梯形对应的边和对角线保持平行。

四、进行梯形平移的步骤1. 确定平移向量，即确定梯形平移的方向和距离。

2. 在梯形上选择一个顶点作为起始点，以平移向量为依据，沿着平移向量的方向按照给定的距离进行平移。

3. 在平移后的位置上标出新的顶点，并连接各个顶点，得到平移后的新梯形。

五、梯形平移的解题方法在解题过程中，我们常常需要根据给定的条件，使用梯形平移的性质来求解问题。

具体步骤如下：1. 根据题目中给出的条件，确定平移的方向和距离。

2. 根据平移向量的定义，找出平移前后对应的顶点。

3. 根据平移性质，列出方程并解方程，求解所需的未知数。

4. 根据所求出的结果，作图得到平移后的梯形，并验证解的正确性。

六、例题解析现假设有一个梯形ABCD，其中AB∥CD，AB=6cm，AD=8cm，BC=10cm，高为4cm。

若将梯形平移，使得点A经过平移后的位置为点A'，平移向量为(3, 2)，求点D经过平移后的位置D'的坐标。

解题步骤：1. 平移向量为(3, 2)，表示向右平移3个单位，向上平移2个单位。