2023年高考数学填选压轴题专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性

分层精练）数周期性转化求值即可.【详解】因为()()110f x f x -++=，所以()()110f f -+=，且()()21log 111f =+=，则()11f -=-，又可得()()20f x f x ++=，()()240f x f x +++=，故()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期4T =的周期函数，()()()47412111f f f =⨯-=-=-．故选：D ．4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则()()157f f =，根据已知得出(7)(3)1f f =-=-，即可得出答案.【详解】 函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，()()()4f x f x f x ∴+=-=-，()()()()4484f x f x f x f x ∴++=+=-+=，则函数()y f x =是周期为8的周期函数，则()()()151587f f f =-=，令3x =-，则(43)(3)1f f +=-=-，(15)1f ∴=-，故选：B.5．（2023上·山东烟台·高一校考期末）函数e x y =-与e x y -=的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】C【分析】画出函数图像即可判断.【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称.故选：C10,10由上图知：增区间为[2,1),[0,1)--，减区间为零点为2,0,2x =-共3个；最大值为1，最小值为（2）由题设()7.5(80.5)(0.5)f f f =-=-=（3）令[]21,22[1,1]1n n x x n ∈⇒-∈--+且，且存在常数若()()20h x t h x t -⋅+=有8个不同的实数解，令则20n tn t -+=有两个不等的实数根2Δ400t t t ⎧=->⎪>⎪。

2023 届高考数学专项(函数的奇偶性与周期性)经典好题练习-x的图象关于()1.函数f(x)=1xA.y轴对称B.直线y=-x对称C.原点中心对称D.直线y=x对称2.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)3.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上单调递减,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)4.设偶函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}5.(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列判断错误的有()A.若f(-2)>f(2),则函数f(x)在R上是增函数B.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数C.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数D.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间(0,+∞)上也单调递增,则f(x)是R上的增函数6.(多选)(2020山东淄博一模,12)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x∈[0,2)时,f(x)=2x-1.给出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=0B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心C.函数y=f(x)在[-6,-2]上单调递增D.函数y=f(x)在[-6,6]上有3个零点7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)8.(2020山东潍坊临朐模拟一,14)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+4)=f (x ),且当x ∈(0,2)时,f (x )=x 2+1,则f (7)的值为 .9.定义在R 上的函数f (x )满足f (x+6)=f (x ),当x ∈[-3,-1)时,f (x )=-(x+2)2,当x ∈[-1,3)时,f (x )=x ,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 021)= .10.已知f (x )是R 上的奇函数,f (1)=2,且对任意x ∈R 都有f (x+6)=f (x )+f (3)成立,则f (2 017)= . 11.函数f (x )=π2sinx3 |x |的最大值是M ,最小值是m ,则f (M+m )的值等于( )A.0B.2πC.πD.π212.(2020全国2,理9)设函数f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,则f (x )( ) A.是偶函数,且在 12, ∞ 上单调递增 B.是奇函数,且在 -12,12 上单调递减 C.是偶函数,且在 -∞,-12 上单调递增 D.是奇函数,且在 -∞,-12 上单调递减13.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x+1)为偶函数,且f (1)=2,则f (4)+f (5)的值为( ) A.2 B.1 C.-1D.-214.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+2)=f (x ),当x ∈[0,1]时,f (x )=3x ,若12<a<34,关于x 的方程ax+3a-f (x )=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为 . 15.在下列函数中,与函数f (x )=2x-1-12x 1的奇偶性、单调性均相同的是()A.y=e xB.y=ln(x+√x 1)C.y=x 2D.y=tan x16.如果存在正实数a ,使得f (x-a )为奇函数,f (x+a )为偶函数,我们称函数f (x )为“和谐函数”.给出下列四个函数:①f (x )=(x-1)2+5;②f (x )=cos 2x-π4;③f (x )=sin x+cos x ;④f (x )=ln |x+1|.其中“和谐函数”的个数为 .参考答案1.C ∵f (-x )=-1x+x=-1x-x =-f (x ),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f (x )为奇函数,故f (x )的图像关于原点中心对称.故选C . 2.C f (x )的图像如图.当x ∈[-1,0)时,由xf (x )>0得x ∈(-1,0); 当x ∈[0,1)时,由xf (x )>0得x ∈⌀; 当x ∈[1,3]时,由xf (x )>0得x ∈(1,3). 故x ∈(-1,0)∪(1,3).故选C .3.D 由y=f (x+8)为偶函数,知函数f (x )的图像关于直线x=8对称.又因为f (x )在(8,+∞)上单调递减,所以f (x )在(-∞,8)上单调递增.可画出f (x )的草图(图略),知f (7)>f (10),故选D .4.B f (x-2)>0等价于f (|x-2|)>0=f (2).又f (x )=x 3-8在[0,+∞)上单调递增,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4,故选B .5.ACD 对于A,若f (-2)>f (2),则f (x )在R 上必定不是增函数,故A 错误;对于B,若函数f (x )是偶函数,则f (-2)=f (2),所以若f (-2)≠f (2),则函数f (x )不是偶函数,故B 正确;对于C,f (x )=x 2,满足f (0)=0,但不是奇函数,故C 错误;对于D,该函数为分段函数,在x=0处,有可能会出现右侧比左侧低的情况,故D 错误.故选ACD .6.AB 在f (x+4)=f (x )+f (2)中,令x=-2,得f (-2)=0,又因为函数y=f (x )是R 上的奇函数,所以f (2)=-f (-2)=0,f (x+4)=f (x ),故y=f (x )是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f (x )的图像的一个对称中心,所以点(4,0)也是函数y=f (x )的图像的一个对称中心,故A,B 正确;作出函数f (x )的部分图像如图所示,易知函数y=f (x )在[-6,-2]上不具单调性,故C 不正确;函数y=f (x )在[-6,6]上有7个零点,故D 不正确.故选AB .7.C ∵f (x )是奇函数,∴当x<0时,f (x )=-x 2+2x.作出函数f (x )的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f (x )是R 上的增函数,由f (2-a 2)>f (a ),得2-a 2>a ,解得-2<a<1,故选C .8.-2 因为f (x+4)=f (x ),所以f (x )的周期为4.又因为f (x )是奇函数,所以f (7)=f (8-1)=f (-1)=-f (1),由题意f (1)=12+1=2,所以f (7)=-2,故答案为-2.9.337 由题意得函数的周期为6,f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-1,f (4)=f (-2)=0,f (5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,所以数列{f (n )}从第一项起,每连续6项的和为1,则f (1)+f (2)+…+f (2 021)=336×1+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=337. 10.2 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)=0.又对任意x ∈R 都有f (x+6)=f (x )+f (3),∴当x=-3时,有f (3)=f (-3)+f (3), ∴f (-3)=0,f (3)=-f (-3)=0, ∴f (x+6)=f (x ),f (x )的周期为6. 故f (2 017)=f (1)=2. 11.D 设h (x )=sinx3 |x |,则h (-x )=-h (x ),所以h (x )是一个奇函数,所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0,所以M+m=π,所以f (M+m )=π2,故选D .12.D 由题意可知,f (x )的定义域为 x x 12,关于原点对称.∵f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,∴f (-x )=ln |-2x+1|-ln |-2x-1|=ln |2x-1|-ln |2x+1|=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.当x ∈ -12,12时,f (x )=ln(2x+1)-ln(1-2x ),∴f'(x )=22x 1 -21-2x4(2x 1)(1-2x )>0,∴f (x )在区间 -12,12上单调递增.同理,f (x )在区间 -∞,-12, 12, ∞ 上单调递减. 故选D .13.A ∵f (x+1)为偶函数,f (x )为奇函数,∴f (-x+1)=f (x+1),f (x )=-f (-x ),f (0)=0,∴f (x+1)=f (-x+1)=-f (x-1),∴f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=f (x+2+2)=-f (x+2)=f (x ), 则f (4)=f (0)=0,f (5)=f (1)=2, ∴f (4)+f (5)=0+2=2,故选A .14.5 ∵f (x+2)=f (x ),∴函数f (x )是周期为2的函数,若x ∈[-1,0],则-x ∈[0,1],f (-x )=-3x ,由题意f (-x )=f (x )=-3x.由ax+3a-f (x )=0,得a (x+3)=f (x ),设g (x )=a (x+3),分别作出函数f (x ),g (x )在区间[-3,2]上的图像如图.∵12<a<34,∴当a=12和34时,对应的直线为两条虚线,则由图像知两个函数有5个不同的交点,故方程有5个不相等的实数根. 15.B 由题意,f (-x )=2-x-1-12-x 112x 1-2x-1=-f (x ),所以f (x )为R 上的奇函数.因为2x-1和-12x 1都为R 上的增函数,所以f (x )=2x-1-12x 1为R 上的增函数.对于A,y=e x 不是奇函数,排除A;对于B,由f (-x )=ln(-x+ (-x ) 1)=ln1x x 2 1=-ln(x+√x 1)=-f (x ),所以f (x )为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+√x 1)为增函数,故B 正确;对于C,y=x 2不是奇函数,排除C;对于D,y=tan x 在R 上不是单调函数,排除D .故选B .16.1 ①中f (0)=6≠0,无论正数a 取什么值f (x-a )都不是奇函数,故不是“和谐函数”;②中f (x )=cos 2x-π2=sin 2x ,f (x )的图像向左或右平移π4个单位长度后其函数变为偶函数,f (x )的图像向左或右平移π2个单位长度后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;③中f (x )=sin x+cos x=√2sin x+π4,因为f x-π4=√2sinx 是奇函数,f x+π4=√2cos x 是偶函数,故是“和谐函数”;④因为f (x )=ln |x+1|,所以只有f (x-1)=ln |x|为偶函数,而f (x+1)=ln |x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a 使得函数f (x )是“和谐函数”.综上可知,只有③是“和谐函数”.。

专题02函数概念与基本初等函数（选填压轴题）一、函数及其表示①抽象函数定义域②复合函数定义域③根式型、分式型求值域④抽象函数的值域⑤复合函数的值域⑥根据值域求参数二、函数的基本性质①单调性（复合函数的单调性）②函数的值域（复合函数的值域）③恒成立（能成立）问题④奇偶性⑤周期性⑥对称性⑦函数奇偶性+单调性+对称性联袂三、分段函数①分段函数求值域或最值②根据分段函数的单调性求参数四、函数的图象①特殊值②奇偶性③单调性④零点⑤极限联袂五、二次函数①二次函数的单调性②二次函数的值域（最值）六、指对幂函数①单调性②值域③图象④复合型七、函数与方程①函数的零点（方程的根）的个数②已知函数的零点（方程的根）的个数，求参数③分段函数的零点（根）的问题④二分法八、新定义题①高斯函数②狄利克雷函数③劳威尔不动点④黎曼函数⑤纳皮尔对数表⑥同族函数⑦康托尔三分集⑧太极图一、函数及其表示1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数()f x x =，()2g x ax x =-，其中0a >，若[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则=a （）A ．32B ．43C ．23D ．123．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()lg g x f x =的定义域为______．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．5．（2022·全国·高三专题练习）设2()lg2xf x x+=-，则2(()2x f f x +的定义域为_______.6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数()f x =______．7．（2022·上海·高三专题练习）函数y =_____.8．（2022·上海·模拟预测）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________.9．（2022·全国·高一）函数2y =的值域是________________．10．（2021·全国·高一专题练习）已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-，则⋅a b 的最大值为________.二、函数的基本性质1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数()()2ln 122x xf x x -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是A ．()(),11,-∞-+∞U B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()(),21,-∞-⋃+∞2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域是()0+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（）A ．[)(]1034-⋃，，B ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．[)43--，D ．[)10-，3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()22ln 1f x x x x =-+-，若实数a 满足()()121f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()40,11,3⎛⎫⎪⎝⎭4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，当[2x ∈，4]时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<⎪⎩ ，()1g x ax =+，若对1[2x ∀∈，4]，2[2x ∃∈-，1]，使得21()()g x f x ，则正实数a 的取值范围为（）A ．(0，2]B ．(0，7]2C ．[2，)+∞D ．7[2，)+∞5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()21x x mf x +=+（01x ≤≤），函数()(1)g x m x=-（12x ≤≤）.若任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围为（）A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,3C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．187．（2022·河北·高三阶段练习）函数()212x ax bf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为2，且在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，则a 的范围是______，4b a+的最小值为______.8．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域()(),00,D =-∞⋃+∞，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+-，若()f x 在()0,∞+上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >m 的取值范围是______．9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数2231()2--=ax x y 在区间（-1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是________.12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数0a >，函数()y f x =、()y g x =的表达式分别为()21x f x ax =+、()3ag x x =-．若对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则a 的最大值为______．13．（2022·全国·高三专题练习）设函数()123f x ax b x=--，若对任意的正实数a 和实数b ，总存在[]01,4x ∈，使得()0f x m >，则实数m 的取值范围是______.14．（2022·上海·高三专题练习）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =_____________15．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1a <-）如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4|f x f x x x -≥-，则a 的取值范围为_____________.16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知()()()e 1ln 21x af x x a -=-+-，若()0f x ≥对()12,x a ∈-+∞恒成立，则实数=a ___________.17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.三、分段函数1．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·河南·二模（理））已知函数1,01()ln ,1x x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，若()()f a f b =，且a b ¹，则()()bf a af b +的最大值为（）A ．0B ．(3ln 2)ln 2-⋅C ．1D ．e3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为（）A ．(],3-∞B ．(],5-∞C ．[)3,+∞D ．[)5,+∞4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数()()222,1e ,1xx ax a x f x a R ax x ⎧-+≤=∈⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,e D ．[]0,e6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()22,,14,,xx a f x x x x x a ⎧<⎪=+⎨⎪-+≥⎩则当5a =时，函数()f x 有______个零点；记函数()f x 的最大值为()g a ，则()g a 的值域为______.7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()2ln ,021,0x x f x kx x x ⎧>=⎨+-≤⎩，给出下列命题：（1）无论k 取何值，()f x 恒有两个零点；（2）存在实数k ，使得()f x 的值域是R ；（3）存在实数k 使得()f x 的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当1k =时，若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是()0,2.其中，所有正确命题的序号是___________.8．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()g x ²222x x λ=-+-，若关于x 的方程(())f g x λ=（R λ∈）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.9．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知(),01e ,1x x xf x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.四、函数的图象1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2sin 62()41x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图象大致是（）A．B ．C ．D ．2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数()f x 的图像如图，则该函数的解析式可能是（）A ．ln xe x⋅B ．ln xx e C ．ln xx e +D ．ln xe x-3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()f x =（）A ．B ．C ．D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．五、二次函数1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++（其中0ac <）存在零点，且经过点()1,3和()1,3-．记M 为三个数a ，b ，c 的最大值，则M 的最小值为（）A ．32B ．43C ．54D ．652．（2022·浙江·高三专题练习）设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值．若正实数．．．a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是（）A ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎣D ．24⎡⎤+⎣⎦3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·浙江·高三专题练习）对于函数()()y f x y g x ==，，若存在0x ，使()()00 f x g x =-，则称()()()()0000M x f x N x g x --，，，是函数()f x 与()g x 图象的一对“雷点”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，恒有()()1f x f x +=，且当10x -<≤时，()f x x =．若()()()2120g x x a x =++-<<，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在一对“雷点”，则实数a 的取值范围为____________________．6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数21()43f x ax ax =++的定义域为(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是___________.7．（2022·湖北·一模）若函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，当12x x D -∈时，都有()()12f x f x D -∈，则称函数f （x ）是关于D 关联的.已知函数()f x 是关于{4}关联的，且当[)4,0x ∈-时，()26f x x x =+.则：①当[)0,4x ∈时，函数()f x 的值域为___________；②不等式()03f x <<的解集为___________.六、指对幂函数1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a <<2．（2022·山东·模拟预测）若282log 323log +=⋅+a b a b ，则（）A ．12b a b<<B ．2<<+b a b C ．23b a b<<D ．1132b a b<<3．（2022·广东·模拟预测）已知()222022log f x x x =+，且()60.20.2log 11,lg ,4102022a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 之间的大小关系是__________.（用“<”连接）4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于x 的不等式()14log 321x x λ+⋅≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，则实数λ的取值范围是______．5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数()21949192120212049x f x x x x=--+，[]1949,2022α∃∈，对[],2049m β∀∈，()()f f αβ<都成立，则m 的取值范围（用区间表示）是_______6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.7．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0，则实数a 的取值范围是______.七、函数与方程1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()2221,12810,1x x x f x x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩，若函数()()1g x f x x a =+--恰有两个零点则实数a 的取值范围是()A ．()723,4,48∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭B ．23,48⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知1120xx +=，222log 0x x +=，3233log 0x x --=，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））若函数2()(1)1x f x m x x =--+在区间(1,1)-上有2个零点()1212,x x x x <，则21e xx +的取值范围是（）A ．(1,e 1)-B ．(2,e 1)+C ．(1,)+∞D ．(e 1,)-+∞4．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a<<5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()22,22cos π,24xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨<≤⎪⎩，实数123,,x x x ，4x 是函数()y f x m =-的零点，若1234x x x <<<，则132314242222x x x x x x x x +++++++的取值范围为（）A ．[)16,20B ．()C ．[)64,80D ．()6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数()2222x xf x --=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 的方程()()20a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的解集不可能是（）A ．{}1,3B ．{}1,2,3C ．{}0,2,4D ．{}1,2,3,47．（2022·陕西·模拟预测（理））已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．108．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e 9e 42x a a xf x x x --=++--有零点，则实数=a ___________.9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________.八、新定义题1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[][]3, 5.1π=-6=-．已知函数()221xf x x =+，则函数()]y f x ⎡=⎣的值域为（）A ．{0，1-}B ．{1-，1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,23．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为()0,1,x Qf x x Q ∉⎧=⎨∈⎩，关于狄利克雷函数()f x ，下列说法不正确的是（）．A ．对任意x ∈R ，()()1f f x =B ．函数()f x 是偶函数C ．任意一个非零实数T 都是()f x 的周期D ．存在三个点()()11,A x f x 、()()22,B x f x 、()()33,C x f x ，使得ABC 为正三角形4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为{}0,1B ．()f x 的值域为[]0,1C ．x R ∃∈，()()0f f x =D ．任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为：()[]1,,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 20225f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．25C ．25-D ．15-6．（2022·吉林长春·模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是()1T ℃，空气的温度是()0T ℃，经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式1034log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度约是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃7．（2022.安徽.淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112...19202122232425 (2048)4096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如5121024⨯，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log 202112261314520x =⨯，则x 落在区间（）A ．()1516,B ．()22,23C ．()42,44D ．()44,468．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式3104log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，设536N =，则N 所在的区间为（e 2.71828= 是自然对数的底数）（）A ．()1718,e eB ．()1819,e eC ．()1920,e eD ．()2122,e e10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e 为底数的自然对数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数）x1.3102 3.190 3.797 4.71557.397ln x0.27000.69311.1600 1.33421.550 1.60942.001A ．3.797B ．4.715C ．5D ．7.39711．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，21,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet ），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：1,()0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：,,(),,a x Q D x b x Q ∈⎧=⎨∉⎩（其中,a b ∈R ，且a b ¹）.以下对()D x 说法正确的有（）A ．()D x 的定义域为RB ．()D x 是非奇非偶函数C ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性D ．任意非零有理数均是()D x 的周期15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()sin f x x x=+B ．()23f x x x =--C ．()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()1f x x x=-16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A ．()2xf x x=+B ．()23f x x x =--C ．()x f x x=-D ．()ln 1f x x =+17．（多选）（2022·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C ．函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D ．函数())lnf x x =是圆O 的一个“太极函数”18．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第1次操作；再将剩下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n 次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n 的最小值为____________．(lg 20.30=，lg 30.47=)19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantor ）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)a b 长度为b a -，则构造“康托三分集”的第n 次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n 次操作去掉的各区间的长度之和小于1100，则n 的最小值为______．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）20．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是不可以再约分的真分数或者上的无理数，则1R π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式如下：()[]1,,,0,0,10,1.q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩都是正整数，是既约真分数或上的无理数若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()220f x f x ++-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()202220225f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭___________.22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：()1,(,00,101q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩都是正整数，是既约真分数），或（，）上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.23．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数21y x =+，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)25．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=，则下列说法中正确的序号是______.①函数()3f x x =是圆O 的一个太极函数；②圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数()sin f x x =是圆O 的一个太极函数；④函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件.26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点．现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数()22f x x =-是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值：(3)若函数()()12log 42x xh x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．。

高考数学函数的基本性质专题一、奇偶性1. 偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()=()f x f x −，那么函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称；2. 奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()=()f x f x −−，那么函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称；3.奇偶性的常用结论(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即()0f 有意义，那么一定有()0=0f .(2)如果函数()f x 是偶函数，那么()()f x f x =.(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.二、周期性1. 函数的周期性：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期．周期性的常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：当a>0时， (1)若()()+f x a f x =−，则T ＝2a . (2)若()()()+0k f x a k f x =≠，则T ＝2a .(3)若()()+f a x f a x −=且()()+f b x f b x −=，则T a b =−, (4) 若()()+f a x f a x −=−且()()+f b x f b x −=−，则T a b =−, (5) 若()()+f a x f a x −=且()()+f b x f b x −=−，则4T a b =−,三、对称性1.对称性的两个常用结论及推广(1)若函数()+y f x a =是偶函数即()()++f x a f x a −=，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．推广：若对于R 上的任意x 都有()()f a x f b x −=+，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称． (2)若函数()+y f x b =是奇函数即()()f b x f b x −=−+，则函数()y f x =关于点(),0b 中心对称．推广：若对于R 上的任意x 都有()()f a x c f b x −=−+，则()y f x =的图象关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称．四、函数单调性自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的题型一、判断奇偶性例1判断下列函数的奇偶性 （1）()()22x x f x x −=−；（2）()f x =（3）()f x =题型二、奇偶性的应用1.若奇函数的定义域为，则= ，()0f =_______.2.已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（）A ．0B ．C ．1D ． 3. 已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．14.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()+()2x x f x g x a a −=−+()0,1a a >≠且，若(2)g a =，则(2)=f （）A ． 2B ．154 C ．174D ． 2a 5.（多选题）若函数()3f x +为R 上的偶函数，则下列各式成立的是（ ）A ．()()33f x f x −+=+B ．()()33f x f x −−=+C ．函数()f x 的图象关于直线3x =对称D ．函数()f x 的图象关于直线3x =−对称6. （1） 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）()f x [,]p q p q +b a bx ax x f +++=3)(2]2,1[a a −b a +311−()f x R 0x ≥()22x f x x b =++b (1)f −=A ．-3B ．-1C ．1D ．3 （2）已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g −= _ ;7.已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求f(x)的解析式.8.若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，求()g x .9.已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 A ．（，） B ． ［，） C ．（，） D ． ［，） 10. (1)已知f (x )是定义在R 上的函数，并且()()12=f x f x +，当2≤x ≤3时，()=f x x ，则f (2022)＝________.(2)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，()3f x x x =−，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.11.已知函数为偶函数．求k 的值；题型三、周期的应用1. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝________. 2.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =−则()f x [0,)+∞(21)f x −1()3f 132313*********3()()5f f =_______________。

3.3函数的奇偶性、周期性与对称性——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）数学考试注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡第Ⅰ卷客观题第Ⅰ卷的注释(共20题；共100分)1．（5分）已知函数f(x−1)是偶函数，f(x+1)的图象关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x=−2B．x=−1C．x=1D．x=22．（5分）已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（）A．f(x)=sinx+x B．f(x)=x−sinx C．f(x)=sinxx D．f(x)=x sinx3．（5分）函数f(x)=xln|x|x2+1的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）函数f(x)=ln√|x|+1+cosx在[−π，π]上的大致图象为（）A．B．C．D．5．（5分）函数f(x)=cos(2x−2π3)−sin(2x−3π2)，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的最小值是（）A．π12B．5π12C．π6D．π36．（5分）若f(x)={x+a，x<0bx−1，x>0是奇函数，则（）A．a=1，b=−1B．a=−1，b=1C．a=1，b=1D．a=−1，b=−17．（5分）已知偶函数f(x)在(−∞，0]上单调递增，且f(2)=0，则不等式xf(x−1)<0的解集为（）A．(−∞，−1)∪(0，3)B．(−1，0)∪(3，+∞)C．(−1，3)D．(−2，0)∪(2，+∞)8．（5分）若函数f(x)=x(2x−2−x)，设a=12，b=log413，c=log514，则下列选项正确的是（）A．f(a)<f(b)<f(c)B．f(a)<f(c)<f(b)C．f(b)<f(a)<f(c)D．f(c)<f(a)<f(b)9．（5分）如图为函数f(x)=xα⋅sinx，(α∈R)的部分图象，则α的值可能是（）A．4B．3C．2D．110．（5分）已知f(x)是定义在[−10，10]上的奇函数，且f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的零点个数至少为（）A．3B．4C．5D．611．（5分）已知函数f(x)满足：对任意x∈R，f(x+12)=−f(x−12)．当x∈[−1，0)时，f(x)=3x−1，则f(log390)=（）A．19B．−19C．1727D．−172712．（5分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)单调递增，记a=f(log132)，b=f(2.30.3)，c=f(log210)，则a，b，c的大小关系为（）．A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b 13．（5分）已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减．若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是（）A．(110，1)B．(0，110)∪(1，+∞)C．(110，10)D．(0，110)∪(10，+∞)14．（5分）已知函数f(x)=|x|−1x ln|x|，其图象大致为（）A．B ．C ．D ．15．（5分）下列函数中，既是偶函数又在(−∞，0)上单调递增的函数是（ ）A ．y =x 2B ．y =2|x|C ．y =ln 1|x|D ．y =xcosx16．（5分）定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)为偶函数，且当x ∈[0，1]时，f(x)=4x −cosx ，则下列结论正确的是（ ） A ．f(40432)>f(2022)>f(40392)B ．f(2022)>f(40392)>f(40432)C ．f(40432)>f(40392)>f(2022) D ．f(40392)>f(2022)>f(40432)17．（5分）设 f(x) 是定义在R 上的奇函数，且当 x >0 时， f(x)=x 3−8 ，则 f(x −2)<0的解集为（ ） A ．(−4，0)∪(2，+∞)B ．(0，2)∪(4，+∞)C ．(−∞，0)∪(2，4)D ．(−4，4)18．（5分）已知函数 f(x)=ln(x +√x 2+1)+e x−1e x +1，则对任意实数 x 1 ， x 2 ，“ x 1+x 2>0 ”是“ f(x 1)+f(x 2)>0 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．（5分）已知函数 f(x) 是偶函数，其导函数 f ′(x) 的图象见下图，且 f(x +2)=f(2−x) 对x ∈R 恒成立，则下列说法正确的是（ ）A ．f(−1)<f(12)<f(52)B ．f(52)<f(12)<f(−1)C ．f(−1)<f(52)<f(12) D ．f(12)<f(−1)<f(52) 20．（5分）函数 f(x) 在 [0，+∞) 单调递减，且为偶函数．若 f(2)=−1 ，则满足 f(x −3)≥−1 的 x 的取值范围是（ ） A ．[1，5]B ．[1，3]C ．[3，5]D ．[−2，2](共6题；共30分)21．（5分）若函数f(x)同时具有性质：①对于任意的x ，y ∈R ，f(x)+f(y)2≥f(x+y 2)，②f(x)为偶函数，则函数f(x)可能为（ ） A ．f(x)=|x|B ．f(x)=ln(x +√x 2+1)C ．f(x)=2x +12xD ．f(x)=ln(|x|+1)22．（5分）已知三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx −1，若函数g(x)=f(−x)+1的图象关于点（1，0）对称，且g(−2)<0，则（ ） A ．a <0B ．g(x)有3个零点C ．f(x)的对称中心是(−1，0)D ．12a −4b +c <023．（5分）若函数f(2x +1)（x ∈R ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）A．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称B．2是函数f(x)的一个周期C．f(2021)=0D．f(2022)=024．（5分）已知函数f(x)=lg(√x2+100−x)，g(x)=21+2x，F(x)=f(x)+g(x)，则（）A．f(x)的图象关于(0，1)对称B．g(x)的图象没有对称中心C．对任意的x∈[−a，a](a>0)，F(x)的最大值与最小值之和为4D．若F(x−3)+x−3x−1<1，则实数x的取值范围是(−∞，1)∪(3，+∞)25．（5分）已知函数f(x)=ln(√4x2+1+2x)+x3，g(x)=f(x+1)．若实数a，b(a，b均大于1)满足g(3b−2a)+g(−2−a)>0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)在R上单调递增B．函数g(x)的图象关于(1，0)中心对称C．e a−b>b aD．log a(a+1)>log b(b+1)26．（5分）已知定义域为I的偶函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且∃x0∈I，使f(x0)<0．则下列函数中符合上述条件的是（）A．f(x)=x2−3B．f(x)=2x+2−x C．f(x)=log2|x|D．f(x)=cosx+1(共9题；共50分)27．（5分）已知f(x)是定义为R的奇函数，当x≥0，f(x)=2x2−x，则f(−1)=.28．（10分）设函数f(x)={x+3x，x>0f(x+3)，x≤0，则f(−4)=，若f(a)=f(−2)，则实数a的最大值为．29．（5分）已知定义在R上的函数f(x)和函数g(x)满足2f(x)=g(x)−g(−x)，且对于任意x都满足f(x)+f(−x−4)+5=0，则f(2021)+f(2019)=．30．（5分）已知函数f(x)=2|x|+x2+a.①对于任意实数a，f(x)为偶函数；②对于任意实数a，f(x)在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；③存在实数a，使得f(x)有3个零点；④存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥2022的解集为(−∞，−1]∪[1，+∞).所有正确命题的序号为.31．（5分）已知定义域为R的函数f(x)，有f(−x)=f(x)且x≥0，f(x)=e x−e−x−sin2x，则f(x)>f(π4)的解集为．32．（5分）已知函数f(x)=x+mxe x−1是偶函数，则m=．33．（5分）已知函数y=f(x)是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(2−x)=f(x)+f(2)成立，当x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，有下列命题：①f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)=0；②点(2022，0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心；③函数y=f(x)在[−2022，2022]上有2023个零点；④函数y=f(x)在[7，9]上为减函数；则正确结论的序号为．34．（5分）已知函数f(x+1)为偶函数，当x∈(0，1)时，f(x)=2−x，则f(log23)的值为．35．（5分）若f(x)=g(x)⋅ln(x2−1)为奇函数，则g(x)的表达式可以为g(x)=.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】因为函数f(x−1)是偶函数，所以f(x−1)的图象关于直线x=0对称，向左平移两个单位可得f(x+1)的图象关于直线x=−2对称.故答案为：A【分析】根据偶函数的图象的对称轴以及图象的平移变换可得结果.2．【答案】C【解析】【解答】由图象知该函数为偶函数，排除A，B选项，由于函数y=f(x)在(0，+∞)内有零点，故排除D，故答案为：C.【分析】由函数图象分析定义域及取值情况，结合选项即可得解.3．【答案】A【解析】【解答】因为f(−x)=−f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称，故排除C，D；当x=1时，f(x)=0，当0<x<1时，ln|x|=lnx<0，所以f(x)<0，排除B．故答案为：A.【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除C、D，再由函数的单调性即可排除选项B，由此得到答案。

第2课时函数的奇偶性与周期性课程标准1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.考情分析考点考法:高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称性及其应用.函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象偶函数设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称【微点拨】奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2.函数的周期性(1)周期函数:设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x ∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般就是指最小正周期).【微点拨】存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号14321.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.函数y=x2在(0,+∞)上是偶函数B.若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0C.若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期D若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(r2,0)对称【解析】选AB.A 由于偶函数的定义域关于原点对称,因此y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性×B由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,且在x=0处有意义时才满足f(0)=0×2.(2023·上海高考)下列函数是偶函数的是()A.y=sin xB.y=cos xC.y=x3D.y=2x【解析】选B.对于A,由正弦函数的性质可知,y=sin x为奇函数;对于B,由余弦函数的性质可知,y=cos x为偶函数;对于C,由幂函数的性质可知,y=x3为奇函数;对于D,由指数函数的性质可知,y=2x为非奇非偶函数.3.(忽略奇偶函数定义域关于原点对称)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是()A.-13B.13C.12D.-12【解析】选B.因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a=13.又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=13.4.(必修第一册P86习题T11·变设问)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=__________.【解析】f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.答案:-2【巧记结论·速算】函数奇偶性的常用结论1.如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0;2.如果函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|);3.如果函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.【即时练】1.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【解析】选B.由f(x)=x3-8,知f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.由已知条件可知f(x-2)>0⇒f(|x-2|)>f(2),所以|x-2|>2,解得x<0或x>4.2.已知函数f(x)=a-2e+1(a∈R)是奇函数,则a=________.【解析】函数f(x)的定义域为R,且函数f(x)是奇函数,f(0)=a-1=0,即a=1,经验证a=1满足条件.答案:13.设函数f(x)=(r1)2+sin2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=__________.【解析】函数f(x)的定义域为R,f(x)=(r1)2+sin2+1=1+2rsin2+1,设g(x)=2rsin2+1,则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以,g(x)max+g(x)min=0,所以M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.答案:2【核心考点·分类突破】考点一函数奇偶性的判断[例1]判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x3-1;(2)f(x)=2−1+1−2;(3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];(4)f(x)=−2+2+1,>0,2+2−1,<0;(5)f(x)=(x x∈(-1,1).【解析】(1)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)3-1−=-(x3-1)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)因为f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.(4)方法一(定义法):当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)为奇函数.方法二(图象法):作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.(5)已知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.因为f(x)=(x1−=-(1−p(1+p,所以f(-x)=-(1+p(1−p=f(x),所以f(x)是偶函数.【解题技法】判断函数的奇偶性的方法(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于±f(x).(2)图象法:奇(或偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称.(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)【对点训练】1.(多选题)下列命题中正确的是()A.奇函数的图象一定过坐标原点B.函数y=x sin x是偶函数C.函数y=|x+1|-|x-1|是奇函数D.函数y=2−K1是奇函数【解析】选BC.对于A,只有奇函数在x=0处有意义时,函数的图象过原点,所以A 不正确;对于B,因为函数y=x sin x的定义域为R且f(-x)=(-x)sin(-x)=f(x),所以该函数为偶函数,所以B正确;对于C,函数y=|x+1|-|x-1|的定义域为R,关于原点对称,且满足f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),即f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,所以C正确;对于D,函数y=2−K1满足x-1≠0,即x≠1,所以函数的定义域不关于原点对称,所以该函数为非奇非偶函数,所以D不正确.2.设函数f(x)=12−2r3,则下列函数中为偶函数的是()A.f(x+1)B.f(x)+1C.f(x-1)D.f(x)-1【解析】选A.f(x)=12−2r3=1(K1)2+2,则f(x+1)=12+2,因为y=12+2是偶函数,所以f(x+1)为偶函数.B,C,D既不是奇函数,也不是偶函数.3.已知函数f(x)=sin x,g(x)=e x+e-x,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【解析】选C.选项A,f(x)g(x)=(e x+e-x)sin x,f(-x)g(-x)=(e-x+e x)sin(-x)=-(e x+e-x)sin x=-f(x)g(x),是奇函数,结论错误;选项B,|f(x)|g(x)=|sin x|(e x+e-x),|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|(e-x+e x)=|sin x|(e x+e-x)=|f(x)|g(x),是偶函数,结论错误;选项C,f(x)|g(x)|=|e x+e-x|sin x,f(-x)|g(-x)|=|e-x+e x|sin(-x)=-|e x+e-x|sin x=-f(x)|g(x)|,是奇函数,结论正确;选项D,|f(x)g(x)|=|(e x+e-x)sin x|,|f(-x)g(-x)|=|(e-x+e x)sin(-x)|=|(e x+e-x)sin x|=|f(x)g(x)|,是偶函数,结论错误.考点二函数奇偶性的应用角度1利用奇偶性求值(解析式)[例2](1)(2023·海南模拟)已知函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=e x,则o1)o1)=()A.e2+1eB.e2−1eC.1−e21+e2D.1+e21−e2【解析】选C.根据题意,f(x)-g(x)=e x,则f(1)-g(1)=e①,f(-1)-g(-1)=-f(1)-g(1)=e-1=1e,变形可得f(1)+g(1)=-1e,联立①②可得,f(1)=e−1e2,g(1)=-e+1e2,则有o1)o1)=e−1e2−e+1e2=1−e21+e2.(2)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1【解析】选D.依题意得,当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.角度2利用奇偶性解不等式[例3](1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.则不等式op−2o−p>0的解集为()A.(-2,2)B.(-∞,0)∪(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】选D.因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,所以f(x)的大致图象如图所示.由f(-x)=-f(x)可得,op−2o−p=op+2op=3op>0,因为x在分母位置,所以x≠0.当x<0时,只需f(x)<0,由图象可知x<-2;当x>0时,只需f(x)>0,由图象可知x>2.综上,不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).(2)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f(13)的x的取值范围是________.【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|),所以f(2x-1)<f(13)即f(|2x-1|)<f(13).又f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以|2x-1|<13,解得13<x<23.答案:(13,23)角度3利用奇偶性求解析式中的参数[例4](1)(一题多法)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)=(x+a)ln(2K12r1)为偶函数,则a=()A.-1B.0C.12D.1【解析】选B.解法一:由2K12r1>0,得x>12或x<-12,因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),得(-x+a)ln(−2K1−2r1)=(x+a)ln(2K12r1),即(-x+a)ln(2r12K1)=(x+a)ln(2K12r1),即(-x+a)ln(2K12r1)-1=(x+a)ln(2K12r1),则(x-a)ln(2K12r1)=(x+a)ln(2K12r1),所以x-a=x+a,得-a=a,得a=0.解法二:f(x)为偶函数,则有f(-1)=f(1),即(-1+a)ln3=(1+a)ln13,解得a=0.解法三:g(x)=ln2K12r1,g(-x)=-g(x),则g(x)为奇函数,若f(x)=(x+a)·ln2K12r1为偶函数,则h(x)=x+a为奇函数,得a=0.(2)(2022·全国乙卷)若f(x)=ln|a+11−|+b是奇函数,则a=__________,b=__________.【解析】若a=0,则函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,不具有奇偶性,所以a≠0.由函数解析式有意义可得,x≠1且a+11−≠0,所以x≠1且x≠1+1.因为函数f(x)为奇函数,所以定义域必须关于原点对称,所以1+1=-1,解得a=-12,所以f(x)=ln|1+2(1−p|+b,定义域为{x|x≠1且x≠-1}.由f(0)=0得ln12+b=0,所以b=ln2,即f(x)=ln|-12+11−|+ln2=ln|1+1−|,在定义域内满足f(-x)=-f(x),符合题意.综上,a=-12,b=ln2.答案:-12ln2【解题技法】已知函数奇偶性可以解决的三个问题(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.【对点训练】1.(2023·武汉模拟)已知函数f(x)=3+1,>0,B3+s<0为偶函数,则2a+b等于() A.3B.32C.-12D.-32【解析】选B.由已知得,当x>0时,-x<0,f(-x)=-ax3+b,因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即x3+1=-ax3+b,所以a=-1,b=1,所以2a+b=2-1+1=32.2.(一题多法)(2023·全国乙卷)已知f(x)=x e B−1是偶函数,则a=()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.解法一:因为f(x)=x e B−1的定义域为{x|x≠0},f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以−x−e−B−1=x e B−1,所以x B−e B−1=x e B−1,所以ax-x=x,所以a=2.解法二:由f(x)为偶函数得f(-1)=f(1),故−e−1e−−1=e e−1①,又-e−1e−−1=e−11−e−=e K1e−1,代入①得e K1e−1=e e−1,所以e a-1=e,从而a-1=1,故a=2,经检验,满足f(x)为偶函数.3.若函数f(x-2)为奇函数,f(-2)=0,f(x)在区间[-2,+∞)上单调递减,则f(3-x)>0的解集为__________.【解析】因为f(x-2)为奇函数,所以f(x-2)的图象的对称中心为(0,0).又因为f(x)的图象可由f(x-2)的图象向左平移2个单位长度得到,所以f(x)的图象关于点(-2,0)中心对称.因为f(x)在[-2,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上也单调递减,所以f(3-x)>0=f(-2),即3-x<-2,解得x>5,所以解集为(5,+∞).答案:(5,+∞)考点三函数周期性及应用[例5](1)(2023·长沙模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2,则下列是周期函数的是()A.y=f(x)-xB.y=f(x)+xC.y=f(x)-2xD.y=f(x)+2x【解析】选D.依题意,定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2,所以f(x+1)+2(x+1)=f(x)+2x,所以y=f(x)+2x是周期为1的周期函数.(2)函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=x2,则f(2025)=________.【解析】由f(x-2)=f(x+2)知f(x)的周期为4,故f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=1.答案:1(3)已知f(x)是定义在R上的函数,并且f(x+3)=-1op,当1<x≤3时,f(x)=cosπ3,则f(2 024)=________.【解析】由已知可得f(x+6)=f((x+3)+3)=-1or3)=-1−1=f(x),op故函数f(x)的周期为6,所以f(2024)=f(6×337+2)=f(2).又f(2)=cos2π3=-12,所以f(2024)=-12.答案:-12【解题技法】函数周期性有关问题的求解策略(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.【对点训练】1.(2023·石家庄模拟)函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(1)=2,则f(2023)=__________.【解析】因为f(x)f(x+2)=13,所以f(x),f(x+2)均不为0,所以f(x+2)=13op,所以f(x+4)=13or2)=1313op =f(x),所以f(x)的周期为4,所以f(2023)=f(3)=13o1)=132.答案:1322.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是____________.【解析】令x∈[-1,0],则-x∈[0,1],结合题意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1),令x∈[1,2],则x-2∈[-1,0],故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x),故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x).答案:f(x)=log2(3-x)3.(创新题)若函数f(x)=2−,≤0,o−1)−o−2),>0,则f(2023)=__________.【解析】当x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),①所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),②①+②得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期为6,所以f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=f(0)-f(-1)=20-21=-1.答案:-1考点四函数的对称性及应用[例6](1)(多选题)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列结论成立的是()A.f(x+1)为偶函数B.f(1+x)=f(1-x)C.f(1+x)+f(1-x)=0D.f(1)=0【解析】选AB.由于y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)为偶函数,故A,B选项正确,C选项错误;如f(x)=(x-1)2+1,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,但f(1)=1≠0,故D选项错误.(2)(2023·海口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,函数g(x)=|x-2|·f(x)的图象关于直线x=2对称,若f(-1)=-1,则g(3)=()A.5B.1C.-1D.-5【解析】选B.因为g(x)的图象关于直线x=2对称,则g(x+2)=|x|f(x+2)是偶函数,g(2-x)=|-x|f(2-x)=|x|f(2-x),所以|x|f(2-x)=|x|f(x+2)对任意的x∈R恒成立,所以f(2-x)=f(2+x).因为f(-1)=-1且f(x)为奇函数,所以f(3)=f(2+1)=f(2-1)=-f(-1)=1,因此g(3)=|3-2|f(3)=1.(3)已知函数y=f(x)-2为奇函数,g(x)=2r1,且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则y1+y2+…+y6=____________.【解析】因为函数y=f(x)-2为奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,2)对称,又g(x)=2r1=1+2,其图象也关于(0,2)对称,所以两函数图象交点关于(0,2)对称,则y1+y2+…+y6=3×4=12.答案:12【解题技法】函数对称性问题的解题关键(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出函数的对称轴或对称中心.(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;②若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x=r2;③若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);④若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心:(r2,2).【对点训练】1.(多选题)(2023·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=2对称B.f(x)的图象关于点(2,0)对称C.f(x)的周期为4D.y=f(x+4)为偶函数【解析】选ACD.因为f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,故A正确,B 错误;因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),所以f(x+4)=f(x),所以T=4,故C正确;因为T=4且f(x)为偶函数,故y=f(x+4)为偶函数,故D正确.2.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称,则a=________,b=________.【解析】f(x)最多有4个零点,显然已有2个,x=±1,又由对称性可知,另外两个零点为-3和-5,所以x2+ax+b=0的两根为-3和-5,所以a=8,b=15.答案:815。