弹性力学教材习题及解答

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

1 )
(sin
22
sin
21)
y
q0
2
2(2
1) (sin
22
sin
21)
xy
q0
2
(cos 22
cos 21)
aa q
证法1:（叠加法）
y
1
O 2
P
x
证法1:（叠加法） 分析思路：
aa q
y
1
O 2
P
x
aa
q
y
O
P x
q
aa
y
O
P x
求解步骤： 由楔形体在一面受均布压力问题的结果：
刚体
r
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
r
2
2
)
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
r2
)
ra
r
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
a2
)
q
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
a2
)
习题4-4 矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较 远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。
解：由图（a）给出的孔 边应力结果：
q
q(1 2cos 2 )
得：
q
x
q
r
q
q
x
r
q 1 2cos 2( 45)
y (a)
q1 2cos 2( 45)
q1 2sin 2 q1 2sin 2

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

《弹性力学》习题答案一、单选题1、所谓“完全弹性体”是指（B）A、材料应力应变关系满足虎克定律B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关C、本构关系为非线性弹性关系D、应力应变关系满足线性弹性关系2、关于弹性力学的正确认识是（A ）A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D ）。

A、杆件B、块体C、板壳D、质点4、弹性力学对杆件分析（C）A、无法分析B、得出近似的结果C、得出精确的结果D、需采用一些关于变形的近似假定5、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C）A、材料力学B、结构力学C、弹性力学D、塑性力学6、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）A、任务B、研究对象C、研究方法D、基本假设7、下列外力不属于体力的是（D）A、重力B、磁力C、惯性力D、静水压力8、应力不变量说明（ D ）。

A. 应力状态特征方程的根是不确定的B. 一点的应力分量不变C. 主应力的方向不变D. 应力随着截面方位改变，但是应力状态不变9、关于应力状态分析，（D）是正确的。

A. 应力状态特征方程的根是确定的，因此任意截面的应力分量相同B. 应力不变量表示主应力不变C. 主应力的大小是可以确定的，但是方向不是确定的D. 应力分量随着截面方位改变而变化，但是应力状态是不变的10、应力状态分析是建立在静力学基础上的，这是因为（ D ）。

A. 没有考虑面力边界条件B. 没有讨论多连域的变形C. 没有涉及材料本构关系D. 没有考虑材料的变形对于应力状态的影响11、下列关于几何方程的叙述，没有错误的是（ C ）。

A. 由于几何方程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移B. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的位移C. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的应变分量D. 几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系12、平面应变问题的应力、应变和位移与那个（些）坐标无关（纵向为 z 轴方向）（ C ）A、 xB、 yC、 zD、 x, y, z13、平面应力问题的外力特征是（A）A 只作用在板边且平行于板中面B 垂直作用在板面C 平行中面作用在板边和板面上D 作用在板面且平行于板中面。

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题a.所谓“应力状态”是指B。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2.梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4.单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。

弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案1. 弹性力学简介弹性力学是物理学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和恢复力的关系。

徐芝纶是该领域的知名学者，他的教材《弹性力学》深入浅出地介绍了这一课题。

本文将针对徐芝纶教材中的课后习题提供答案，帮助读者更好地理解弹性力学。

2. 弹性力学习题及答案2.1 习题一问题：一根弹性绳两端固定，绳长为L，质量均匀分布。

若绳以角频率ω振动，求各位置的位移函数。

答案：设绳的线密度为ρ，则单位长度上的质量为ρL。

考虑到绳在振动过程中的位移函数y(x, t)，根据弦波方程得到位移函数的表达式为y(x, t) = A sin(kx - ωt)，其中A为振幅，k为波数。

对于长度为L的绳子，首先将其离散化为N个小绳段，每个小绳段的长度为Δx = L/N。

然后利用微元法，对每个小绳段的质点计算其受力和位移，最后将每个小绳段的位移函数相加即可得到整根绳子的位移函数。

2.2 习题二问题：一个长为L的均匀杆在一个端点固定，杆的质量为m，细长处密度均匀。

当该杆受到一个力F时，求其在另一端的位移和挠曲角。

答案：设该杆受到的力矩为M，由弹性力学理论可知，弯矩和曲率成正比。

具体而言，弯矩M和挠曲角θ之间的关系为M = EIθ，其中E 为材料的弹性模量，I为截面的转动惯量。

对于均匀杆，其转动惯量可以通过I = (1/3)mL²求得。

由于杆的另一端固定，所以该端点的位移为零。

3. 结语本文介绍了弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案。

弹性力学是物理学中的重要课题，对于理解和应用弹性力学理论具有重要意义。

徐芝纶的教材给出了深入浅出的讲解和习题练习，本文提供了部分习题的详细答案，希望能够帮助读者更好地掌握弹性力学的知识。

通过刷题和思考，读者可以进一步加深对弹性力学的理解，为解决实际问题提供理论支持。

对无限大多连域问题求解： （1） z -平面内求解：
（5-13）
—— 位移边界条件的复变函数表示
1 1 ( z ) ( X iY ) ln z Bz 10 ( z ) 8 3 1 ( z) ( X iY ) ln z ( B iC ) z 10 ( z ) 8 a1 a2 0 1 ( z ) 2 z z 其中： b1 b2 0 1 ( z) 2 z z
（5-15）
（5-16）
B
1 2
4
X X k , Y Yk 为m个内边界上 x、y 方向面力之和（主矢）
k 1 k 1
m
m
( 1 2 ) 2i B iC e 2
（5-17）
（2） ζ -平面内求解：
1 ( ) 1 ( z) 1 ( )
实部、虚部分开，得
x M y, y 0,
xy
I 0
边界条件：
1 ( z ) iM z 2
8I 1( z ) iM z, 4I
题5-2 试证矩形截面梁的纯弯曲问题可用如下的复变函数求解。 1 ( z ) iM z 2 , 1 ( z ) iM z 2 M 8I 8I
4I 4I


y x M y
I y x M y I xy 0
1( z ) iM z, 1( z ) iM z
联立求解，得
代入应力分量公式，有 1( z ) iM 4I y x Re( iM z ) M y I I y x 2i xy 2 z ( iM ) iM z M y I 4I 4I

1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。

1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。

【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。

在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

xy2h 1h bg ρo()2h b >> h xyl/2/2h MNF SF 1q q图2-17图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0) 右（x =b ）l0 -1 1 m-1() x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() yfs1gh ρ代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()(),0yxy y y gh σρτ===-=③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()220,0====y hy h u v这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：10,,0s N F F gh b M ρ==-=由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）lmx f (s)y f (s)2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

弹性力学(徐芝纶)第二章习题答案徐芝纶的弹性力学是一本经典的力学教材，对于弹性力学的基本理论和应用进行了详细的阐述。

下面是第二章习题的答案：1.弹性体的应变能是什么？答：弹性体的应变能是指在受力作用下，弹性体发生形变时，由于形变所引起的能量变化。

弹性体的应变能可以用弹性体的体积弹性势能和表面弹性势能之和来表示。

2.弹性体的变形有哪几种形式？答：弹性体的变形可以分为三种形式：拉伸变形、剪切变形和体积变形。

拉伸变形是指弹性体在受到拉力作用时，发生的长度增加或减少的变形。

剪切变形是指弹性体在受到剪切力作用时，发生平行于剪切力方向的形变。

体积变形是指弹性体在受到外力作用时，发生体积的变化。

3.什么是应力？答：应力是指单位面积上的力的大小，表示为力对单位面积的分布情况。

应力可以分为法向应力和切向应力两种。

法向应力是指垂直于应力面的力对单位面积的分布情况，切向应力是指与应力面平行的力对单位面积的分布情况。

4.什么是应变？答：应变是指单位长度上的形变大小，表示为长度变化量与原始长度之比。

应变可以分为线性应变和切变应变两种。

线性应变是指弹性体在受力作用下，发生长度变化的形变，切变应变是指弹性体在受力作用下，发生形状变化的形变。

5.弹性体的应力-应变关系是什么？答：弹性体的应力-应变关系是指弹性体在受力作用下，应力和应变之间的函数关系。

一般情况下，弹性体的应力-应变关系可以用胡克定律来描述，即应力和应变成正比。

胡克定律可以表示为应力等于弹性模量乘以应变。

6.什么是杨氏模量？答：杨氏模量是描述弹性体材料抵抗拉伸变形的能力的物理量，用于衡量弹性体在单位应变下所受到的单位应力。

杨氏模量可以表示为应力对应变的比值，即杨氏模量等于应力除以应变。

7.什么是剪切模量？答：剪切模量是描述弹性体材料抵抗剪切变形的能力的物理量，用于衡量弹性体在单位切变应力下所受到的单位切变应变。

剪切模量可以表示为切应力对切应变的比值，即剪切模量等于切应力除以切应变。

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

弹性力学试题及答案题目一：弹性力学基础知识试题：1. 弹性力学是研究什么样的物体的变形与应力关系？答案：弹性力学是研究具有弹性的物体（即能够恢复原状的物体）的变形与应力关系的学科。

2. 弹性力学中的“应力”是指什么？答案：应力是物体内部相邻两部分之间的相互作用力与其接触面积之比。

3. 弹性力学中的“应变”是指什么？答案：应变是物体在受力作用下发生形变的程度。

正应变表示物体在拉伸力作用下的伸长程度与原始长度之比，负应变表示物体在压缩力作用下的压缩程度与原始长度之比。

4. 弹性力学中的“胡克定律”是什么？答案：胡克定律描述了弹簧的弹性特性。

根据胡克定律，当弹簧的变形量（即伸长或缩短的长度）与施加在弹簧上的力成正比时，弹簧的弹性变形是符合弹性恢复原状的规律的。

题目二：弹性系数计算试题：1. 弹性模量是用来衡量什么的物理量？答案：弹性模量是衡量物体在受力作用下发生弹性形变的硬度和刚度的物理量。

2. 如何计算刚体材料的弹性模量？答案：刚体材料的弹性模量可以通过应力与应变之间的关系来计算。

弹性模量E等于应力σ与应变ε之比。

3. 如何计算各向同性材料的体积弹性模量（Poisson比）？答案：各向同性材料的体积弹性模量（Poisson比）可以通过材料的横向应变与纵向应变之比来计算。

Poisson比v等于横向应变ε横与纵向应变ε纵之比。

4. 如何计算材料的剪切弹性模量？答案：材料的剪切弹性模量G（也称剪切模量或切变模量）可以通过材料的剪应力与剪应变之比来计算。

题目三：弹性体的应力分析试题：1. 弹性体的应力状态可以用什么来表示？答案：弹性体的应力状态可以用应力张量来表示。

2. 什么是平面应力状态和轴对称应力状态？答案：平面应力状态是指在某一平面上的应力分量仅存在拉伸（或压缩）和剪切，而垂直于该平面的应力分量为零的应力状态。

轴对称应力状态是指应力分量只与径向位置有关，而与角度无关的应力状态。

3. 弹性体的应力因子有哪些？答案：弹性体的应力因子包括主应力、主应力差、偏应力、平均应力、最大剪应力、最大剪应力平面等。

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例解释什么是平均的各向异性体,什么长短平均的各向同性体？【剖析】平均的各项异形体就是知足平均性假定,但不知足各向同性假定;非平均的各向异性体,就是不知足平均性假定,但知足各向同性假定.【解答】平均的各项异形体如：竹材,木材.非平均的各向同性体如：混凝土.【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件可否作为幻想弹性体？一般的岩质地基和土质地基可否作为幻想弹性体？【剖析】可否作为幻想弹性体,要剖断可否知足四个假定：持续性,完整弹性,平均性,各向同性假定.【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为幻想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不成以作为幻想弹性体.【1-3】五个根本假定在树立弹性力学根本方程时有什么感化？【解答】（1）持续性假定：假定物体是持续的,也就是假定全部物体的体积都被构成这个物体的介质所填满,不留下任何闲暇.引用这一假定后,物体的应力.形变和位移等物理量就可以算作是持续的.是以,树立弹性力学的根本方程时就可以用坐标的持续函数来暗示他们的变更纪律.完整弹性假定：假定物体是完整弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,可以或许完整恢回复复兴型而无任何形变.这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变屈服胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变.平均性假定：假定物体是平均的,即全部物体是由统一材料构成的,引用这一假定后全部物体的所有各部分才具有雷同的弹性,所研讨物体的内部各质点的物理性质都是雷同的,因而物体的弹性常数不随地位坐标而变更.各向同性假定：假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个偏向都雷同,引用此假定后,物体的弹性常数不随偏向而变.小变形假定：假定位移和变形是渺小的.亦即,假定物体受力今后全部物体所有各点的位移都远远小于物体本来的尺寸,并且应变和转角都远小于 1.如许在树立物体变形今后的均衡方程时,就可以便利的用变形以前的尺寸来代替变形今后的尺寸.在考核物体的位移与形变的关系时,它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计,使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程.【1-4】应力和面力的符号划定有什么差别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的偏向.【解答】应力的符号划定是：当感化面的外法线偏向指向坐标轴偏向时（即正面时）,这个面上的应力（不管是正应力照样切应力）以沿坐标轴的正偏向为正,沿坐标轴的负偏向为负.当感化面的外法线指向坐标轴的负偏向时（即负面时）,该面上的应力以沿坐标轴的负偏向为正,沿坐标轴的正偏向为负.面力的符号划定是：当面力的指向沿坐标轴的正偏向时为正,沿坐标轴的负偏向为负.由下图可以看出,正面上应力分量与面力分量同号,负面上应力分量与面力分量符号相反.正的应力正的面力【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号划定.【解答】材料力学中划定切应力符号以使研讨对象顺时针迁移转变的切应力为正,反之为负.弹性力学中划定,感化于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正偏向为正,感化于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负偏向为正,反之为负.【1-6】试举例解释正的应力对应于正的形变.【解答】正的应力包含正的正应力与正的切应力,正的形变包含正的正应变与正的切应变,本题应从两方面解答.正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情形下,产生轴向拉应力为正的应力,引起轴向伸长变形,为正的应变.正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状况情形下,切应力均为正的切应力,引起直角减小,故为正的切应变.【1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力.面力和应力的偏向.【解答】正的体力.面力正的体力.应力【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的偏向. 【解答】【1-9】在图1-3的六面体上,y 面上切应力yz τ的合力与z 面上切应力zy τ的合力是否相等？【解答】切应力为单位面上的力,量纲为12L MT --,单位为2/N m .是以,应力的合力应乘以响应的面积,设六面体微元尺寸如dx ×dy ×dz ,则y 面上切应力yz τ的合力为：yz dx dz τ⋅⋅ (a)z 面上切应力zy τ的合力为：zy dx dy τ⋅⋅ (b)由式（a ）(b)可见,两个切应力的合力其实不相等.【剖析】感化在两个互相垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等,但对某点的合力矩相等,才导出切应力互等性.第二章 平面问题的根本理论【2-1】试剖析解释,在不受任何面力感化的空间体概况邻近的薄层中(图2-14)其应力状况接近于平面应力的情形.【解答】在不受任何面力感化的空间概况邻近的薄层中,可以以为在该薄层的高低概况都无面力,且在薄层内所有各点都有0===z xz yz σττ,只消失平面应力分量,,x y xy σστ,且它们不沿z 偏向变更,仅为x,y 的函数.可以以为此问题是平面应力问题.【2-2】试剖析解释,在板面上处处受法向束缚且不受切向面力感化的等厚度薄片中（2-15）,当板边上只受x,y 向的面力或束缚,且不沿厚度变更时,其应变状况接近于平面应变的情形.【解答】板上处处受法向束缚时0z ε=,且不受切向面力感化,则0xz yz γγ==(响应0zx zy ττ==)板边上只受x,y 向的面力或束缚,所以仅消失,,x y xy εεγ,且不沿厚度变更,仅为x,y 的函数,故其应变状况接近于平面应变的情形.【2-3】在图2-3的微分体中,若将对形心的力矩平很前提CM0=∑改为对角点的力矩均衡前提,试问将导出什么情势的方程？【解答】将对形心的力矩均衡前提CM0=∑,改为分离对四个角点A.B.D.E 的均衡前提,为盘算便利,在z 偏向的尺寸取为单位1.0AM=∑1()1()11222()1()1110222xy x y x xy y y yx y yx x x dx dy dydx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y τσσστσστστ∂∂⋅⋅++⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅∂∂∂∂-+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅=∂∂ (a)0BM=∑()1()1()1221111102222yx y x x yx y xy x y x y dy dxdx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dxdy dx dy dx f dxdy f dxdy τσσστστσσ∂∂∂+⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅∂∂∂-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= (b)Ozy0DM=∑()1111221()11102222yy xy x yx x x x x y dx dydy dx dy dx dy dx dyy dx dy dy dxdx dx dy f dxdy f dxdy x σστστσσσ∂+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅∂∂-⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅=∂ (c)0EM=∑()1111222()1()1110222yy x yx y xy x x xy x y dx dy dxdy dx dy dx dy dx y dy dy dxdx dy dx dy dx f dxdy f dxdy x x σσστστσστ∂-+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-∂∂∂+⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅=∂∂ (d)略去(a).(b).(c).(d)中的三阶小量（亦即令22,d xdy dxd y 都趋于0）,并将各式都除今后dxdy 归并同类项,分离得到xy yx ττ=.【剖析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩均衡得到的成果都是验证了切应力互等定理.【2-4】在图2-3和微分体中,若斟酌每一面上的应力分量不是平均散布的,验证将导出什么情势的均衡微分方程？【解答】微分单元体ABCD 的边长,dx dy 都是微量,是以可以假设在各面上所受的应力如图a 所示,疏忽了二阶以上的高阶微量,而看作是线性散布的,如图（b ）所示.为盘算便利,单元体在z 偏向的尺寸取为一个单位.)C)C(a) (b)各点正应力：()=x A x σσ;()=y A y σσ()xx B x dy yσσσ∂=+∂;()y y B y dy yσσσ∂=+∂()∂=+∂xx D x dx xσσσ;()∂=+∂xy D y dx xσσσ ()∂∂=++∂∂∂x xx C x dx y x yσσσσ; ()∂∂=++∂∂∂y y y C y dx y xyσσσσ各点切应力：()xy A xy ττ=;()yx A yx ττ=()∂=+∂xy xy B xy dy yτττ;()∂=+∂yx yx A yx dy yτττ()xy xy D xy dx x τττ∂=+∂;()∂=+∂yx yx D yx dx xτττ()xy xy xy C xy dx dy xyττττ∂∂=++∂∂;()∂∂=++∂∂yx yx yx C yx dx dy xyττττ由微分单元体的均衡前提 0,∑=x F 0,∑=y F 得112211+22x x x x x x x xyx yx yx yx yx yx yx yx dy dy dx dx dy dy y x x y y dx dx dy dx dy x y x y σσσσσσσστττττττ⎧⎧⎫⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎛⎫-+++++++-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎭⎭⎩⎩⎧⎫⎡∂⎤⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪++++++⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎭⎩0x dx f dxdy ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎭⎩112211+++22y y y y y y y y xy xy xy xy xy xy xy xy dx dx dy dx dy dx x y x y dy dy dx dy dx y x y x σσσσσσσσττττττττ⎧⎧⎫⎫⎡∂⎤⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪-+++++++-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎭⎭⎩⎩⎧⎫⎡∂⎤⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪++++⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎭⎩0y dy f dxdy ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎭⎩以上二式分离睁开并约简,再分离除以dxdy ,就得到平面问题中的均衡微分方程：0;0yxy xy x x y f f x y y xτστσ∂∂∂∂++=++=∂∂∂∂ 【剖析】由本题可以得出结论：弹性力学中的均衡微分方程实用于随意率性的应力散布情势. 【2-5】在导出平面问题的三套根本方程时,分离运用了哪些根本假定？这些方程的实用前提是什么？【解答】(1)在导出平面问题的均衡微分方程和几何方程时运用的根本假设是：物体的持续性和小变形假定,这两个前提同时也是这两套方程的实用前提.(2)在导出平面问题的物理方程时运用的根本假定是：持续性,完整弹性,平均性和各向同性假定,即幻想弹性体假定.同样,幻想弹性体的四个假定也是物理方程的运用前提.【思虑题】平面问题的三套根本方程推导进程中都用到了哪个假定？【2-6】在工地上技巧人员发明,当直径和厚度雷同的情形下,在自重感化下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大.试根据响应的物理方程来解释这种现象.【解答】体力雷同情形下,两类平面问题的均衡微分方程完整雷同,故所求的应力分量雷同.由物理方程可以看出,两类平面问题的物理方程重要的差别在于方程中含弹性常数的系数.因为E 为GPa 级此外量,而泊松比μ取值一般在（0,0.5）,故重要掌握参数为含有弹性模量的系数项,比较两类平面问题的系数项,不难看出平面应力问题的系数1/E 要大于平面应变问题的系数()21/-E μ.是以,平面应力问题情形下应变要大,故钢圆环变形大.【2-7】在常体力,全体为应力鸿沟前提和单连体的前提下,对于不合材料的问题和两类平面问题的应力分量x σ,y σ和xy τ均雷同.试问其余的应力,应变和位移是否雷同？【解答】(1)应力分量：两类平面问题的应力分量x σ,y σ和xy τ均雷同,但平面应力问题0z yz xz σττ===,而平面应变问题的()0,xz yz z x y ττσμσσ===+.（2）应变分量：已知应力分量求应变分量须要运用物理方程,而两类平面问题的物理方程不雷同,故应变分量0,xz yz xy γγγ==雷同,而,,x y z εεε不雷同.（3）位移分量：因为位移分量要靠应变分量积分来求解,故位移分量对于两类平面问题也不合. 【2-8】在图2-16中,试导出无面力感化时AB 鸿沟上的xy ,,x y σστ之间的关系式【解答】由题可得：()()()cos ,cos 90sin 0,0x y l m f AB f AB ααα==-===将以上前提代入公式（2-15）,得：()()()()()2cos sin 0, sin ()cos 0()tan tan x yx y xy AB AB AB AB x AB yx y ABABσατασαταστασα+=+=⇒=-=x图2-16【2-9】试列出图2-17,图2-18所示问题的全体鸿沟前提.在其端部小鸿沟上,运用圣维南道理列出三个积分的应力鸿沟前提.xM图2-17图2-18【剖析】有束缚的鸿沟上可斟酌采取位移鸿沟前提,若为小鸿沟也可写成圣维南道理的三个积分情势,大鸿沟上应准确知足公式（2-15）.【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0) 右（x =b ）l0 -1 1 m-1() x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() yfs1gh ρ代入公式（2-15）得①在重要鸿沟上x=0,x=b 上准确知足应力鸿沟前提：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小鸿沟0y =上,能准确知足下列应力鸿沟前提：()(),0yxy y y gh σρτ===-=③在小鸿沟2y h =上,能准确知足下各位移鸿沟前提：()()220,0====y hy h u v这两个位移鸿沟前提可以运用圣维南道理,改用三个积分的应力鸿沟前提来代替,当板厚=1δ时,可求得固定端束缚反力分离为：10,,0s N F F gh b M ρ==-=因为2y h =为正面,故应力分量与面力分量同号,则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①高低重要鸿沟y=-h/2,y=h/2上,应准确知足公式（2-15）m x y f 2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-,-/2()0yx y h τ==,/2()0y y h σ==,/21()yx y h q τ==-②在x =0的小鸿沟上,运用圣维南道理,列出三个积分的应力鸿沟前提：负面上应力与面力符号相反,有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ ③在x=l 的小鸿沟上,可运用位移鸿沟前提0,0====l x l x v u 这两个位移鸿沟前提也可改用三个积分的应力鸿沟前提来代替.起首,求固定端束缚反力,按面力正偏向假设画反力,如图所示,列均衡方程求反力：110,xN NN N F F F q l F q l F ''=+=⇒=-∑ 0,0yS S S S FF F ql F ql F ''=++=⇒=--∑2211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=⇒=---∑因为x=l 为正面,应力分量与面力分量同号,故/21/22/21/2/2/2()()22()h x x l N Nh h x x l S h h xy x l S Sh dy F q l Fq lh ql ydy M M F l dy F ql Fσστ=-=-=-⎧'==-⎪⎪⎪'==---⎨⎪⎪'==--⎪⎩⎰⎰⎰M '【2-10】试运用圣维南道理,列出图2-19所示的两个问题中OA 边上的三个积分的应力鸿沟前提,并比较两者的面力是否是是静力等效？【解答】因为hl ,OA 为小鸿沟,故其上可用圣维南道理,写出三个积分的应力鸿沟前提：(a)上端面OA 面上面力q bx f f y x ==,0 因为OA 面为负面,故应力主矢.主矩与面力主矢.主矩符号相反,有()()()0000200000022120bb b y y y b b b y y y byx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===⎧=-=-=-⎪⎪⎪⎛⎫=-=-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(对OA 中点取矩) (ｂ)运用圣维南道理,负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反,面力主矢y 向为正,主矩为负,则()()()00200002120by N y by y b xy y qb dx F qb xdx M dx σστ===⎧=-=-⎪⎪⎪=-=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ 综上所述,在小鸿沟OA 上,两个问题的三个积分的应力鸿沟前提雷同,故这两个问题是静力等效的.【2-11】磨练平面问题中的位移分量是否为准确解答的前提是什么？ 【解答】（1）在区域内用位移暗示的均衡微分方程式（2-18）; （2）在s σ上用位移暗示的应力鸿沟前提式（2-19）; （3）在u s 上的位移鸿沟前提式（2-14）; 对于平面应变问题,需将E.μ作响应的变换.【剖析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时,位移分量必须知足的前提. 【2-12】磨练平面问题中的应力分量是否为准确解答的前提是什么？ 【解答】（1）在区域A 内的均衡微分方程式（2-2）;2qb 212qb 图2-19（2）在区域A内用应力暗示的相容方程式（2-21）或（2-22）;（3）在鸿沟上的应力鸿沟前提式（2-15）,个中假设只求解全体为应力鸿沟前提的问题; （4）对于多连体,还需知足位移单值前提.【剖析】此问题同时也是按应力图解平面问题时,应力分量必须知足的前提.【补题】磨练平面问题中的应变分量是否为准确解答的前提是什么？【解答】用应变暗示的相容方程式（2-20）【2-13】磨练平面问题中的应力函数是否为准确解答的前提是什么？【解答】（1）在区域A内用应力函数暗示的相容方程式（2-25）;（2）在鸿沟S上的应力鸿沟前提式（2-15）,假设全体为应力鸿沟前提;（3）若为多连体,还需知足位移单值前提.【剖析】此问题同时也是求解应力函数的前提.【2-14】磨练下列应力分量是否是图示问题的解答：图2-20 图2-21（a）图2-20,22xyqb,0==y xyστ.【解答】在单连体中磨练应力分量是否是图示问题的解答,必须知足：（1）均衡微分方程（2-2）;（2）用应力暗示的相容方程（2-21）;（3）应力鸿沟前提（2-15）.（1）将应力分量代入均衡微分方程式,且0==x yf f∂∂+=∂∂yxxx yτσ∂∂+=∂∂y xyy xστ显然知足（2）将应力分量代入用应力暗示的相容方程式（2-21）,有等式左=()2222x yx yσσ⎛⎫∂∂++⎪∂∂⎝⎭=22≠qb=右应力分量不知足相容方程.是以,该组应力分量不是图示问题的解答.（b）图2-21,由材料力学公式,=xMyIσ,*=sxyF SbIτ(取梁的厚度b=1),得出所示问题的解答:332=-x x y q lh σ,22233-(4)4=-xy q x h y lh τ.又根据均衡微分方程和鸿沟前提得出：333222=--y q xy xy q xq lh lh lσ.试导出上述公式,并磨练解答的准确性. 【解答】（1）推导公式在散布荷载感化下,梁产生曲折形变,梁横截面是宽度为1,高为h 的矩形,其对中性轴（Z 轴）的惯性矩312=h I ,运用截面法可求出随意率性截面的弯矩方程和剪力方程()23(),62=-=-q qx M x x F x l l.所以截面内随意率性点的正应力和切应力分离为：()332==-x M x x yy q I lhσ()()2222233431.424⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭s xy F x y q x h y bh h lh τ. 根据均衡微分方程第二式（体力不计）.0∂∂+=∂∂y xy yxστ得： 333.22=-+y q xy xy q A lh lhσ 根据鸿沟前提()/20==yy h σ得 q .2=-xA l故 333.2.22=--y q xy xy q x q lh lh lσ 将应力分量代入均衡微分方程（2-2） 第一式：22336.60x y x yq q lh lh=-+==左右 知足第二式 天然知足将应力分量代入相容方程（2-23）()22223312.12.0⎛⎫∂∂=++=--≠= ⎪∂∂⎝⎭左右x y xy xyq q x y lh lh σσ应力分量不知足相容方程.故,该分量组分量不是图示问题的解答.【2-15】试证实：在产生最大与最小切应力的面上,正应力的数值都等于两个主应力的平均值. 【解答】（1）肯定最大最小切应力产生地位 随意率性斜面上的切应力为()21nlm τσσ=-,用关系式221l m +=消去m,得)))212121n τσσσσσσ=±-=-=-由上式可见当2102l -=时,即l =,n τ为最大或最小,为 ()12max min 2n σστ-=±.是以,切应力的最大,最小值产生在与x 轴及y 轴（即应力主向）成45°的斜面上.（2）求最大,最小切应力感化面上,正应力n σ的值 任一斜面上的正应力为()2122n l σσσσ=-+最大.最小切应力感化面上2/1±=l ,带入上式,得()()122121122n σσσσσσ=-+=+证毕.【2-16】设已求得一点处的应力分量,试求112,,σσα()100,50,)2000,400;x y xy x y xy a b σστσστ======-,()20001000400; ()1000,1500,500.x y xy x y xy c d σστσστ=-==-=-=-=,,【解答】由公式（2-6）122x y σσσσ+⎫=±⎬⎭及11tan x xy σσατ-=,得11arctan x xy σσατ-= (a)121501005002σσ⎫⎧+=±=⎬⎨⎩⎭13516'α==︒(b)1251220003122σσ⎫⎧+==⎬⎨-⎩⎭ ()1512200arctanarctan 0.783757'400α-==-=-︒-(c) 1210522000100020522σσ⎫⎧-+=±=⎬⎨-⎩⎭ ()110522000arctanarctan 7.388232'400α+==-=-︒-(d) 126911000150018092σσ-⎫⎧--==⎬⎨-⎩⎭ 16911000arctanarctan 0.6183143'500α-+===︒【2-17】设有随意率性外形的等候厚度薄板,体力可以不计,在全体鸿沟上（包含孔口鸿沟上）受有平均压力q .试证-xyq 及0xy τ=能知足均衡微分方程.相容方程和应力鸿沟前提,也能知足位移单值前提,因而就是准确的解答.【解答】（1）将应力分量,0x y xy q σστ==-=,和体力分量0x y f f ==分离带入均衡微分方程.相容方程00xyx x y xy yf xy f yx τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩ （a ） ()20x y σσ∇+= （b ）显然知足（a ）（b ）（2）对于渺小的三角板A,dx,dy 都为正值,斜边上的偏向余弦()()cos ,,cos ,l n x m n y ==,将-,0x y xy q σστ===,代入平面问题的应力鸿沟前提的表达式（2-15）,且()()-cos ,,cos ,x y f q n x f q n y ==,则有()()()()cos ,cos ,,cos ,cos ,x y n x q n x n y q n y σσ=-=-所以,x y q q σσ=-=-.对于单连体,上述前提就是肯定应力的全体前提.y（3）对于多连体,应校核位移单值前提是否知足.该题为平面应力情形,起首,将应力分量代入物理方程（2-12）,得形变分量,(1)(1),,0x y xy q q E Eμμεεγ---=== （d ） 将（d ）式中形变分量代入几何方程（2-8）,得=,=,0u v v u q q x y x yμμ∂∂∂∂+=∂∂∂∂(-1)(-1)E E （e ） 前两式积分得到12--=(),=()u qx f y v qy f x μμ++（1）（1）E E（f ）个平分()()12,f y f x 离随意率性的待定函数,可以经由过程几何方程的第三式求出,将式（f ）代入式（e ）的第三式,得12()()df y df x dy dx -=等式左边只是y 的函数,而等式右边只是x 的函数.是以,只可能双方都等于统一个常数ω,于是有12()(),df y df x dy dxωω=-= 积分后得()()1020,f y y u f x x v ωω=-+=+ 代入式（f ）得位移分量00(1)(1)u qx y u Ev qy x v Eμωμω-⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=++⎪⎩ （g ） 个中00,,u v ω为暗示刚体位移量的常数,需由束缚前提求得从式（g ）可见,位移是坐标的单值持续函数,知足位移单值前提.因而,应力分量是准确的解答. 【2-18】设有矩形截面的悬臂梁,在自由端受有分散荷载F （图2-22）,体力可以不计.试根据材料力学公式,写出弯应力0y σ=,然后证实这些表达式知足均衡微分方程和相容方程,再解释这些表达式是否就暗示准确的解答.【解答】（1）矩形悬臂梁产生曲折变形,随意率性横截面上的弯矩方程()M x Fx =-,横截面临中性轴的惯性矩为3/12z I h =,根据材料力学公式y弯应力3()12x z M x Fy xy I hσ==-; 该截面上的剪力为()s F x F =-,剪应力为()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ⎛⎫--⎛⎫⎡⎤==⋅-⋅⋅+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⎝⎭⎣⎦⎝⎭取挤压应力0y σ=（2）将应力分量代入均衡微分方程磨练 第一式：2312120F Fy y h h=-+==左右 第二式：左=0+0=0=右 该应力分量知足均衡微分方程.（3）将应力分量代入应力暗示的相容方程2()0x y σσ=∇+==左右 知足相容方程（4）考核鸿沟前提①在重要鸿沟/2y h =±上,应准确知足应力鸿沟前提(2-15)lmx fyf2h y =-上0 -1 0 0 2h y =上1代入公式（2-15）,得()()()()-/2/2/2/20,0;0,0yxy y yx y h y h y h y h στστ==-======②在次要鸿沟x=0上,列出三个积分的应力鸿沟前提,代入应力分量主矢主矩/20/2/20/22/2/2203/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--⎧⎪==⎪⎪==⎨⎪⎡⎤⎪=--=-=⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎰⎰⎰⎰向面力主矢面力主矩向面力主矢知足应力鸿沟前提③在次要鸿沟上,起首求出固定边面力束缚反力,按正偏向假设,即面力的主矢.主矩,0,,N S F F F M Fl ==-=-其次,将应力分量代入应力主矢.主矩表达式,断定是否与面力主矢与主矩等效：/2/23/2/212()0h h x x l Nh h Fdy lydy F h σ=--=-==⎰⎰M/2/223/2/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl Mh σ=--=-=-=⎰⎰2/2/223/2/26()4h h xy x l S h h F h dy y dy F F h τ=--⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭⎰⎰知足应力鸿沟前提,是以,它们是该问题的准确解答.【2-19】试证实,假如体力固然不是常量,但倒是有势的力,即体力分量可以暗示为,x y V Vf f x y∂∂=-=-∂∂,个中V 是势函数,则应力分量亦可用应力函数暗示成为22222=,=,x y xy V V y x x yσστ∂Φ∂Φ∂Φ++=-∂∂∂∂,试导出响应的相容方程.【解答】（1）将,x y f f 带入均衡微分方程（2-2）00 00yx yx x x x y xy y xy yVf x y x y x V f y x yx y ττσσστστ∂∂⎧⎧∂∂∂++=+-=⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂∂∂⎪⎪++=+-=⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎩ （a ） 将（a ）式变换为()0()0yx x xy yV xy V yy τστσ∂⎧∂-+=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩ （b ） 为了知足式（b ）,可以取22222,,x y xy V V y x x yσστ∂Φ∂Φ∂Φ-=-==-∂∂∂∂即22222,,x y xy V V y x x yσστ∂Φ∂Φ∂Φ=+=+=-∂∂∂∂ （2）对体力.应力分量,,,x y x y f f σσ求偏导数,得222222424222222422242422422222, , , y x xx yy f f V Vx x y y V V x x y x y y y V V x x x y x y y σσσσ⎧∂∂∂∂=-=-⎪∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂Φ∂∂Φ∂⎪=+=+⎨∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂Φ∂∂Φ∂⎪=+=+∂∂∂∂∂∂∂⎪⎩（c ） 将（c ）式代入公式（2-21）得平面应力情形下应力函数暗示的相容方程()2(1)y x x y f f x y σσμ∂⎛⎫∂∇+=-++ ⎪∂∂⎝⎭（2-21）4242424222222424222222(1)V V V VV V x y x y y x x x y y x y μ⎛⎫∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂∂+++++++=++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭整顿得：444224224222(1)V V x x y y xy μ⎛⎫∂Φ∂Φ∂Φ∂∂++=--+ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭（d ） 即平面应力问题中的相容方程为42(1)V μ∇Φ=--∇将（c ）式代入公式（2-22）或将（d ）式中的调换为1μμ-,的平面应变情形下的相容方程： 444224224221221V Vx x y y x y μμ⎛⎫∂Φ∂Φ∂Φ-∂∂++=-+ ⎪∂∂∂∂-∂∂⎝⎭（e ） 即 42121V μμ-∇Φ=-∇-. 证毕.第三章 平面问题的直角坐标解答【3-1】为什么在重要鸿沟（大鸿沟）上必须知足准确的应力鸿沟前提式（2-15）,而在小鸿沟上可以运用圣维南道理,用三个积分的应力鸿沟前提（即主矢量.主矩的前提）来代替？假如在重要鸿沟上用三个积分的应力鸿沟前提代替式（2-15）,将会产生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题,而要使鸿沟前提完整得到知足,往往比较艰苦.这时,圣维南道理可为简化局部鸿沟上的应力鸿沟前提供给很大的便利.将物体一小部分鸿沟上的面力换成散布不合,但静力等效的面力（主矢.主矩均雷同）,只影响近处的应力散布,对远处的应力影响可以疏忽不计.假如在占鸿沟绝大部分的重要鸿沟上用三个积分的应力鸿沟前提来代替准确的应力鸿沟前提（公式2-15）,就会影响大部分区域的应力散布,会使问题的解答精度缺少.【3-2】假如在某一应力鸿沟问题中,除了一个小鸿沟前提,均衡微分方程和其它的应力鸿沟前提都已知足,试证：在最后的这个小鸿沟上,三个积分的应力鸿沟前提必定是天然知足的,固而可以不必校核.【解答】区域内的每一渺小单元均知足均衡前提,应力鸿沟前提本质上是鸿沟上微分体的均衡前提,即外力（面力）与内力（应力）的均衡前提.研讨对象整体的外力是知足均衡前提的,其它应力鸿沟前提也都知足,那么在最后的这个次要鸿沟上,三个积分的应力鸿沟前提是天然知足的,因而可以不必校核.【3-3】假如某一应力鸿沟问题中有m 个重要鸿沟和n 个小鸿沟,试问在重要鸿沟和小鸿沟上各应知足什么类型的应力鸿沟前提,各有几个前提？【解答】在m 个重要鸿沟上,每个鸿沟应有2个准确的应力鸿沟前提,公式（2-15）,共2m 个;在n 个次要鸿沟上,假如能知足准确应力鸿沟前提,则有2n 个;假如不克不及知足公式（2-15）的准确应力鸿沟前提,则可以用三个静力等效的积分鸿沟前提来代替2个准确应力鸿沟前提,共3n 个.【3-4】试考核应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】⑴相容前提:不管系数a 取何值,应力函数3ay Φ=总能知足应力函数暗示的相容方程,式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时,将应力函数Φ代入公式(2-24),得6,0,0x y xy yx ay σσττ====⑶考核鸿沟前提高低鸿沟上应力分量均为零,故高低鸿沟上无面力. 阁下鸿沟上;当a>0时,考核x σ散布情形,留意到0xy τ=,故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()0y xy x f τ===右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力散布如图所示,当lh 时运用圣维南道理可以将散布的面力,等效为主矢,主矩xf xf主矢的中间在矩下鸿沟地位.即本题情形下,可解决各类偏幸拉伸问题.偏幸距e ：因为在A 点的应力为零.设板宽为b,分散荷载p 的偏幸距e ：2()0/6/6x A p pee h bh bh σ=-=⇒= 同理可知,当a <0时,可以解决偏幸紧缩问题. 【3-5】取知足相容方程的应力函数为：⑴2,ax y Φ=⑵2,bxy Φ=⑶3,cxy Φ=试求出应力分量（不计体力）,画出图3-9所示弹性体鸿沟上的面力散布,并在小鸿沟上暗示出面力的主矢量和主矩.【解答】（1）由应力函数2ax y Φ=,得应力分量表达式0,2,2x y xy yx ay ax σσττ====-考核鸿沟前提,由公式（2-15）()()()()x yx s x y xy s y l m f s m l f s στστ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①重要鸿沟,上鸿沟2hy =-上,面力为()22=-=x hf y ax ()2y h f y ah =-=②重要鸿沟,下鸿沟2hy =,面力为y()2,2x h f y ax ==- ()2y hf y ah ==③次要鸿沟,左鸿沟x=0上,面力的主矢,主矩为 x 向主矢：/20/2()0h x x x h F dy σ=-=-=⎰y 向主矢：/20/2()0h y xy x h F dy τ=-=-=⎰主矩：/20/2()0h x x h M ydy σ=-=-=⎰次要鸿沟,右鸿沟x=l 上,面力的主矢,主矩为 x 向主矢：/2/2()0h x x x l h F dy σ=-'==⎰ y 向主矢：/2/2/2/2()(2)2h h y xy x l h h F dy al dy alh τ=--'==-=-⎰⎰主矩：/2/2()0h x x l h M ydy σ=-==⎰弹性体鸿沟上面力散布及次要鸿沟面上面力的主矢,主矩如图所示 ⑵2bxy Φ=将应力函数代入公式（2-24）,得应力分量表达式2x bx σ=,0y σ=,2xy yx by ττ==-考核应力鸿沟前提,重要鸿沟,由公式（2-15）得 在2h y =-重要鸿沟,上鸿沟上,面力为,022x y h h f y bh f y ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在2h y =,下鸿沟上,面力为,022x y h h f y bh f y ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在次要鸿沟上,散布面力可按(2-15)盘算,面里的主矢.主矩可经由过程三个积分鸿沟前提求得：在左鸿沟x=0,面力散布为()()00,02x y f x f x by ==== 面力的主矢.主矩为 x 向主矢：()2020h h x x x F dy σ=-=-=⎰y 向主矢：()()22002220hh h h y xy x x F dy by dy τ==--=-=--=⎰⎰主矩;/20/2()0h x x h M ydy σ=-=-=⎰在右鸿沟x=l 上,面力散布为Oxy()()2,2x y f x l bl f x l by ====-面力的主矢.主矩为 x 向主矢：()/2/2/2/222h h x x x lh h F dy bldy blh σ=--'===⎰⎰y 向主矢：()()/2/2/2/2'20h h y xy x l h h F dy by dy τ=--==-=⎰⎰主矩：()/2/2/2/2'20h h x x l h h M ydy blydy σ=--===⎰⎰弹性体鸿沟上的面力散布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示ahxyah（3）3cxy Φ=将应力函数代入公式（2-24）,得应力分量表达式26,0,3x y xy yx cxy cy σσττ====-考核应力鸿沟前提,在重要鸿沟上应准确知足式（2-15） ①2h y =-上边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②hy=2下边界上，面力为 23,0242x y h h f y ch f y ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭次要鸿沟上,散布面力可按（2-15）盘算,面力的主矢.主矩可经由过程三个积分鸿沟求得：③左鸿沟x=0上,面力散布为。

1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界'，，’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。

弹性力学徐芝纶课后习题及答案弹性力学是固体力学的重要分支，对于工程技术领域有着广泛的应用。

徐芝纶先生所著的弹性力学教材备受推崇，而课后习题则是巩固知识、加深理解的重要环节。

下面我们将对部分典型的课后习题及其答案进行详细的探讨。

首先，来看一道关于平面应力问题的习题。

题目给出了一个矩形薄板，在其边界上受到特定的力和约束条件，要求计算板内的应力分布。

对于这道题，我们首先需要根据已知条件确定边界条件。

假设矩形薄板的长为 a，宽为 b，在 x 方向上受到均匀分布的拉力 T，在 y 方向上受到均匀分布的压力 P，并且在四个边上有相应的位移约束。

根据弹性力学的基本方程，我们可以列出平衡方程、几何方程和物理方程。

通过联立这些方程，并结合边界条件，采用适当的求解方法，如应力函数法，逐步推导出应力的表达式。

经过一系列的计算和推导，最终得到板内的应力分布为：在 x 方向上的应力σx ＝ T ／ b P y ／ b，在 y 方向上的应力σy ＝ P，剪应力τxy ＝ 0。

接下来，再看一道关于应变能的习题。

题目要求计算一个受扭转的圆柱体的应变能。

对于这道题，我们首先要了解圆柱体扭转时的应力和应变分布情况。

根据弹性力学的理论，圆柱体扭转时，横截面上只有剪应力存在，且剪应力沿半径方向呈线性分布。

然后，通过积分计算出单位体积的应变能，再乘以圆柱体的体积，即可得到整个圆柱体的应变能。

经过计算，圆柱体的应变能表达式为：U ＝π G L （R^4 r^4) ／ 8，其中 G 为剪切模量，L 为圆柱体的长度，R 为圆柱体的外半径，r 为圆柱体的内半径。

下面是一道关于应力集中的习题。

题目给出了一个带有圆孔的平板，在板的边缘受到拉伸载荷，要求分析孔边的应力集中现象。

对于这类问题，我们需要运用圣维南原理和应力集中系数的概念。

首先，根据平板的受力情况，计算出无孔时的均匀应力。

然后，通过弹性力学的理论分析，得出孔边的应力分布表达式。

经过计算，发现孔边的应力显著增大，最大应力出现在孔边的某些位置。