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BS北师版 初二八年级数学 上册第一学期秋(期末考试复习)2.思想方法专题：勾股定理中的思想方法

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2024八年级数学上册期末复习1勾股定理3常考题型专练习题课件新版北师大版

2024八年级数学上册期末复习1勾股定理3常考题型专练习题课件新版北师大版
AB 的中点， M ， N 分别为 AC ， BC 上的点，且 DM ⊥
DN . 求证： AB2＝2( CM ＋ CN )2.
1
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证明：如图，连接 CD ，过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E ，则
∠ DEC ＝∠ DEB ＝90°.
因为 DM ⊥ DN ，
所以∠ MDC ＋∠ CDN ＝90°.
3. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点， AB ＝5， AD ＝
6， AC ＝13.求证： AB ⊥ AD .
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证明：如图，延长 AD 至点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 BE .
因为 D 为 BC 的中点， 所以 CD ＝ BD .
又因为 AD ＝ ED ，∠ ADC ＝∠ EDB ，
所以△ ADC ≌△ EDB (SAS).所以 BE ＝ CA ＝13.
在△ ABE 中， AE ＝2 AD ＝12， AB ＝5，
所以 AE2＋ AB2＝122＋52＝169.
又因为 BE2＝132＝169，所以 AE2＋ AB2＝ BE2.
所以△ ABE 是直角三角形，且∠ BAE ＝90°，即 AB ⊥ AD .
设正方形的边长为 a ，则 AD ＝ DC ＝ BC ＝ AB ＝ a ，



BF ＝ a ， AF ＝ a ， BE ＝ EC ＝ a .



2
2
2
2
在Rt△ DAF 中， DF ＝ AD ＋ AF ＝ a .


在Rt△ CDE 中， DE2＝ CD2＋ CE2＝ a2.


在Rt△ EFB 中， EF2＝ FB2＋ BE2＝ a2.

北师大版初中数学八年级上册 总复习 有思想的勾股定理 课件示范

北师大版初中数学八年级上册 总复习 有思想的勾股定理 课件示范

做中感悟（二）
1.如图，为了测量旗杆AB的高度，可以利用 从旗杆顶端垂下的绳子，当绳子垂直地面时， 量得绳子比旗杆多1m，将绳子拉直到地面的 C点，测得CB的长为5m，求旗杆AB的高度．
将未知量AB的高度设为xm ，则未知量AC=(x+1)m 又已知CB=5m 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC2=AB2+BC2 则有（x+1）2=x2+52 解得 x=12
2
= 61 - 1 ×5×6 2
= 46
做中感悟（一）
2.如图，有一圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子到B点， 正好B点在A点的正上方，已知油罐的底面周长为12 m，高 AB为5 m，则所建梯子最短需要 13 米？
转 化
立体图形
平面图形
做中感悟（一）
3.若直角三角形的三边长分别是6，8，x ， 分类 则 x = 10或2 7 .
(3)经过下底面和右面
A
B
A
3 12
B
2
沿着最长的棱展开
，路线的长度最短
1
3
C
B
1
3
2C
B 2
3
1C
归纳总结
实际问题
求直角三角形的边长
勾股定理
数学问题
数
分
转
方
形 结
类
化
程
合
思
思
思
思
想
想
想
想
课后链接
1.若直角三角形两条直角边分别是 3、 4，
则阴影部分的面积是
.
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
解析：两种可能 当第三边为斜边时, x= 62 82 =10 当第三边为直角边时, x= 8262= 28=2 7

秋八年级数学上册北师大版(通用版)习题讲评课件：《勾股定理》章末复习(共24张PPT)

秋八年级数学上册北师大版(通用版)习题讲评课件：《勾股定理》章末复习(共24张PPT)
知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/112021/9/11Saturday, September 11, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/112021/9/112021/9/119/11/2021 7:29:23 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/112021/9/112021/9/11Sep-2111-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/112021/9/112021/9/11Saturday, September 11, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/112021/9/112021/9/112021/9/119/11/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月11日星期六2021/9/112021/9/112021/9/11 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/112021/9/112021/9/119/11/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/112021/9/11September 11, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/112021/9/112021/9/112021/9/11

2024八年级数学上册期末复习1勾股定理1考点梳理与达标训练习题课件新版北师大版

2024八年级数学上册期末复习1勾股定理1考点梳理与达标训练习题课件新版北师大版

三角形.在△ ABC 中，∠ A ，
∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c .设最大边为 c ，若 a2
＋ b2＝ c2，则△ ABC 是以
a2＋ b2＞ c2，则△ ABC 是
c2，则△ ABC 是
钝角
c
为斜边的直角三角形；若
锐角
三角形.
三角形；若 a2＋ b2＜
3. 勾股数：满足 x2＋ y2＝ z2的三个
正整
数，称为勾股
数，显然，以 x ， y ， z 为三边长的三角形一定是
角
三角形.
直
⁠
一、选择题(每题4分，共32分)
1. 直角三角形两直角边分别为5 cm和12 cm，则其斜边上的
高为(
D
)
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 13 cm
D.
1
2
3
4
5
6
7

cm

8
9
10
11
12
13
14
15
16
期末提分练案
复习1
1
勾股定理
考点梳理与达标训练
CONTENTS
目
录
01
考点梳理
02
达标训练
1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于
边 c 的平方
.(即 a2＋ b2＝ c2)
斜
⁠
2. 如果一个三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，那
么这个三角形是
直角
始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达 B 点.
(1)请问彩带的长度最短是多少？
1
2
3

2024-2025学年度北师版八上数学-专题1-勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用【课件】

2024-2025学年度北师版八上数学-专题1-勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用【课件】
BC 上的两点，且∠ DAE ＝45°，连接 EF ， BF .
试说明： BE2＋ CD2＝ DE2.
解：因为∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，
所以∠ ABC ＝∠ C ＝45°.
因为∠ DAF ＝90°，∠ DAE ＝45°，
所以∠ FAE ＝∠ DAF －∠ DAE ＝90°－45°＝45°.
所以 BD ＝ CP ＝5.
所以 BP2＋ PD2＝42＋32＝52＝ BD2.
所以△ BPD 是直角三角形，且∠ BPD ＝90°.
所以∠ APB ＝∠ APD ＋∠ BPD ＝60°＋90°＝150°.
答图
返回目录
数学 八年级上册 BS版
类型三 证明线段的平方关系
如图，已知∠ BAC ＝∠ DAF ＝90°， AB ＝ AC ， AD ＝ AF ，点 D ， E 为边
数学 八年级上册 BS版
第二章
专题1
实
数
勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用
数学 八年级上册 BS版
目录
CONTENTS
专题解读
典例讲练
数学 八年级上册 BS版
◎问题综述
勾股定理及其逆定理是平面几何中十分重要的定理，是数
与形的完美结合.勾股定理作为平面几何有关度量的基本定理，
它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.学习勾股定理及
＝，
在△ AED 和△ AEF 中，ቐ∠＝∠ = 45°，
＝，
所以△ AED ≌△ AEF （SAS）.所以 DE ＝ FE .
因为∠ BAC ＝∠ DAF ＝90°，
所以∠ BAC －∠ BAD ＝∠ DAF －∠ BAD ，
CE'＝ AE ＝1.所以∠BE'E＝∠BEE'＝45°.

北师版八年级上册第一章勾股定理的复习课件

北师版八年级上册第一章勾股定理的复习课件

B
பைடு நூலகம்
3
C
A
B
C
4
O
o
A
D
A
D
折叠问题
1、矩形纸片ＡＢＣD中，ＡD＝4cm，AB=10cm，按 如图方式折叠，折痕是EF，求DE的长度？
E
A
B
D
（B）
FC
（C）
例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,
求 1.CF 2.EC. 10
D
A
8-X
8 10
26 A
B
10
24
C
五、勾股定理的综合运用
勾股定理与其逆定理综合的问题
1.如图，在四边形ABCD中，∠B= 90◦
AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边形ABCD的面积。
D
A
B
C
x z y 已知 x 6 y 8 z 102 0 ，则由
、
、
为三边的三角形是 三角形。
若△ABC的三边a、b、c满足 a2-6a+9+(b-4)2+(c-5)2=0，
E
8-X X
B
6
F4 C
一、情景导入
从行政
行政楼
楼A点走
教 学B 楼
A
到教学
楼B点怎
样走最
近？
你能说出
这样走的
理由吗？
在同一平面内，两点之间,线段最短
如图，学校有一块长方形花园，有极少数人
为了躲开拐角走“捷径”，在花园内走出了
一条“路”，仅仅少走了____4____步路, 却
踩伤了花草。 （假设1米为2步）

北师大版数学八年级上册第一章《勾股定理》复习课件

BC=15 20
3 2 3 2 3 2
专题四 转化思想（将军饮马）
5．如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC＝ 10 ，BD＝30 ，且CD＝30 ，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两 镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．请你在河岸l上选择自来水 厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最少的费用是多少．
A．13 B．26 C．47 D．94
2、如图，直线l上由三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5 和11，则b 的面积为 ．
3、如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，分别以它的三边为直径作
B
A
例2：如图，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的
顶点A沿正方体的表面到顶点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短
路程的长是多少？
C′
D′
C′
A′
B′
D
C
A
B
A
B
例3.有一个牛奶盒，把小蚂蚁放在点A处，并在点B处放了点儿火 腿肠粒，你能帮小蚂蚁找出吃到火腿肠粒的最短路线吗？
解：由题意知有三种展开方法，如 图.由勾股定理得
例3 如图，在 ABC中，D是BC边上一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求 ABC的周长和面积.
判定 ABD、 ACD
在Rt ACD中已知
已知三边求周长，
A
为直角三角形
两边求第三边
已知底和高求面
积。
B
D
C
练习：装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装， 如果电梯的长、宽、高分别是1.5m, 1.5m, 2.2m,那么能放入电梯 内的木条的最大长度大约是多少米?你能估计出装修工人买的木条 至少是多少米吗?

2020年北师大版八年级上册数学期末复习《勾股定理》(含答案)

北师大版八上数学期末复习《勾股定理》一、选择题1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A.7，12，13B.30，40，50C.5，9，12D.3，4，62.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是( )A.如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形3.下列各组数中，能构成直角三角形的是( ）A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，234.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( ）A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=9：12：15 C．∠C=∠A﹣∠B D．b2﹣a2=c25.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A.1B.C.D.27.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为（）A.5B.6C.8D.108.如图,CB=1,且OA=OB,BC⊥OC,则点A在数轴上表示的实数是( )A. B.﹣ C.D.﹣9.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A.12B.7＋C.12或7+D.以上都不对10.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是( )11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为（）A．4 B．4π C．8π D．812.如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（）A．6cm B．7cm C．8cmD．9cm二、填空题13.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是．14.小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是____________；15.如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮船相距海里．16.若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为．17.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是．18.如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是m．三、解答题19.如图,已知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°,∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积．20.如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD=16，CD=12，BD=9．(1）求△ABC的周长．(2）判断△ABC的形状并加以证明．21.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？22.操场上有一根竖直立在地面上的旗杆，绳子自然下垂到地面还剩余2米，当把绳子拉开8米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面（如图①）（1）请根据你的阅读理解，将题目的条件补充完整：如图②，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8米，AB比AC长2米，求AC的长.根据（1）中的条件，求出旗杆的高度.23.一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m．（1）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端下滑多少米？（2）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？24.如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算所用细线最短需要 cm?（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．参考答案1.B.2.B3.答案为：B.4.答案为：B.5.B．6.D7.C8.D9.答案为：C.10.答案为：B.11.A．12.B.13.答案为：120 cm2.14.答案为：6cm、8cm、10cm.15.答案为：17；16.答案为：13.17.答案为：15°．18.答案为：8．19.150m2．提示：延长BC，AD交于E．20.解：(1）∵CD是AB边上高，∴∠CDA=∠CDB=90°，∴AC===20，BC===15，∵AB=AD+BD=25，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；(2）△ABC是直角三角形，理由如下：202+152=252，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．21.解：根据图中数据，运用勾股定理求得：AB===480m，答：该河流的宽度为480m．22.解：(1)补充条件：AB比BC大2. 设AC=x，则BC=x+2,在Rt△ABC，∠ACB=90°.∵AC2+BC2=AB2，∴x2+82=(x+2)2，解得x=15.答：旗杆高15米.23.24.。

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BS北师版 初二八年级数学 上册第一学期秋（期末考试复习）
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思想方法专题：勾股定理中的思想方法
◆
类型一 分类讨论思想

一、直角边和斜边不明时需分类讨论
【易错1】
1．在一个直角三角形中，若其中两边长分
别为5，3，则第三边长的平方为( )
A．16 B．16或34 C．34 D．不存在 2．已知x，y为正数，且|x－4|＋(y－3)2＝0，如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为( ) A．5 B．7 C．7或25 D．16或25 二、锐角和钝角不明时需分类讨论【易错2】 3．★在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为________cm2. 【变式题】一般三角形→等腰三角形 等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为________． 三、腰和底不明时需分类讨论 4．★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰△ABD，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为( ) A.76，2或3 B．3或76 C．2或76 D．2或3 ◆类型二 方程思想 一、利用两直角三角形“公共边”相等列方程 5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为( ) A．4 B．5 C．6 D．8 6．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC
＝13cm，BC＝14cm，则△ABC的面积为
________cm2.【方法5①】

二、折叠问题中利用勾股定理列方程
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，
AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰
好落在边AC上与点B′重合，AE为折痕，
则EB＝________．

8．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC
折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，
AB＝6cm，BC＝8cm，求阴影部分的面
积．【方法3】
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◆
类型三 利用转化思想求最值

9．(2016－2017·张掖期中)课外小组的
同学在学校的花园里观察到一棵牵牛花的
藤在一截面周长为36cm的圆柱形水管上缠
绕4圈后，恰好上升至108cm的高度，则此
时牵牛花藤的长度至少是________．【方法
4②】

10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、
宽、高分别是100cm，15cm和10cm，A，B
是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只
蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿
台阶爬行到B点的最短路程是________．
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参考答案与解析
1．B 2.D 3．126或66 解析：当∠B为锐角时，如图①，在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－122＝25，∴BD＝5cm.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝202－122＝256，∴CD＝16cm.∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm)，∴S△ABC＝12·BC·AD＝12×21×12＝126(cm2)； 当∠B为钝角时，如图②，在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－122＝25，∴BD＝5cm.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝202－122＝256，∴CD＝16cm.∴BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)．∴S△ABC＝12·BC·AD＝12×11×12＝66(cm2)．故答案为126或66. 【变式题】90或10 解析：分两种情况讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，可求得底边长的平方为10；②当等腰三角形为钝角三角形时，可求得底边长的平方为90. 4．A 解析：分三种情况：①当AD＝AB时，得CD＝BC＝3；②当AD＝BD时，设CD＝x，则AD＝x＋3，由勾股定理列出方程(x＋3)2＝x2＋42，解得x＝76；③当BD＝AB时，由勾股定理求出AB＝5，即可得出CD＝5－3＝2.故CD的长为3，76或2. 5．C 解析：设BD＝2x，则AD＝5x，在Rt△ACD与Rt△BCD中，AC2－AD2＝BC2－BD2，即172－(5x)2＝102－(2x)2，解得x＝3，即BD＝6. 6．84 7.32 8．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD.由折叠的性质可知∠D′＝∠D，CD＝CD′，∴∠B＝∠D′，AB＝CD′.又∵∠AEB＝∠CED′，∴△ABE≌△CD′E.∴AE＝CE.设AE＝xcm，
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即62＋(8

－x)2＝x2，∴x＝254，∴CE＝AE＝254cm.∴S

阴影
＝12·CE·AB＝12×254×6＝754(cm2)．

9．180cm 解析：将水管展开，则最短
藤如图所示，其中BC＝1084＝27(cm)，AC
＝36cm，∴由勾股定理得AB2＝AC2＋BC
2
＝272＋362＝2025，∴AB＝45cm.故藤的最
短长度为45×4＝180(cm)．
10．125cm