[推荐学习]全国通用2018版高考数学总复习考前三个月12+4满分练11理

12＋4满分练(2)1.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ∈Z |x ＝2t ＋1，t ∈A }，则A ∩B 等于( ) A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0，1} D.{0} 答案 C解析 A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}＝{x |－1＜x ＜2}， 则x ＝2t ＋1∈(－1，5)，所以B ＝{0，1，2，3，4}， 所以A ∩B ＝{0，1}，故选C.2.(2017·四川联盟三诊)已知复数z 满足(2＋i)z ＝2－i(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.3＋4i B.3－4i C.35＋45i D.35－45i答案 D解析 由(2＋i)z ＝2－i ，得z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝35－45i ，故选D.3.(2017·原创押题预测卷)给出计算12＋14＋16＋…＋12 018的值的一个程序框图(如图所示)，其中判断框内应填入的条件是( )A.i ＞1 009?B.i ＜1 009?C.i ＞2 018?D.i ＜2 018? 答案 A解析 由程序框图，得i ＝1，n ＝2，S ＝12；i ＝2，n ＝4，S ＝12＋14；i ＝3，n ＝6，S ＝12＋14＋16；…；i ＝1 009，n ＝2 018，S ＝12＋14＋16＋…＋12 018.故选A. 4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为π2B.直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6上单调递增 D.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin 2x答案 D解析 A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2，π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时，2×7π12＋φ＝π2，解得φ＝－2π3，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3，函数图象向左平移π3个单位长度后得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以D 正确.5.(2017·辽宁六校协作体联考)面积为332的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O 到正六边形所在平面的距离为22，记球O 的体积为V ，球O 的表面积为S ，则VS的值为( )A.2B.1C. 3D. 2 答案 B解析 设正六边形的边长为a ， 则其面积S ＝6×34a 2＝332a 2， 由题意得332a 2＝332，所以a ＝1.由于正六边形的中心到顶点的距离为1， 所以球的半径为R ＝(22)2＋1＝3， 所以V ＝4π3×27＝36π，S ＝4π×9＝36π，所以VS＝1.故选B.6.设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线3x ＋4y －12＝0上运动，则|PA →＋PB →|的最小值为( )A.3B.4C.175D.195答案 D解析 设AB 的中点为D ，由平行四边形法则可知PA →＋PB →＝2PD →， 所以当且仅当O ，D ，P 三点共线时， |PA →＋PB →|取得最小值，此时OP 垂直于直线3x ＋4y －12＝0，OP ⊥AB ， 因为圆心到直线的距离为129＋16＝125， |OD |＝1－34＝12， 所以|PA →＋PB →|取得最小值2⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195.7.(2017·郑州检测)某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.207B.216－9π2C.216－36πD.216－18π答案 B解析 观察三视图可知，这个几何体是挖去14个底面圆半径为3，高为6的圆锥的边长为6的正方体，所以几何体的体积是正方体的体积减去14个圆锥的体积，即几何体的体积等于63－14×13×9π×6＝216－9π2，故选B. 8.(2017·天津六校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A.3B.932C.332 D.3 3答案 C解析 因为c 2＝(a －b )2＋6， 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由C ＝π3，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，因此a 2＋b 2－ab ＝a 2＋b 2－2ab ＋6，即ab ＝6， 所以△ABC 的面积为12ab sin π3＝332，故选C.9.(2017·抚顺一模)在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为( )A.1 200B.2 400C.3 000D.3 600 答案 B解析 若4人中，有甲电视台记者1人，乙电视台记者3人，则不同的提问方式总数是C 15C 35A 44＝1 200；若4人中，有甲电视台记者2人，乙电视台记者2人，则不同的提问方式总数是C 25C 25A 22A 23＝1 200；若4人中，有甲电视台记者3人，乙电视台记者1人，则不符合主持人的规定，故所有不同提问方式的总数为1 200＋1 200＝2 400.10.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y ＋1x ＋1的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52 答案 C解析 在平面直角坐标系中作出可行域⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0.由斜率公式可知z ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点M (x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知z max ＝2＋11＋1＝32，z min ＝1＋13＋1＝12，故选C.11.已知{a n }为等比数列， a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于( ) A.－7 B.－5 C.5 D.7 答案 B解析 由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.12.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (1)＝12，不等式f ′(x )≤1x ＋x 的解集为(0，1]，则不等式f (x )－ln x x 2＞12的解集为( ) A.(0，1) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，＋∞)答案 D解析 因为x ＞0，所以待求不等式可化为f (x )＞ln x ＋x 22，构造函数g (x )＝f (x )－ln x －x 22，则g ′(x )＝f ′(x )－1x －x ，因为不等式f ′(x )≤1x＋x 的解集为(0，1]，所以在(0，1]上，g ′(x )≤0，所以函数g (x )在(0，1]上单调递减，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，g (x )min＝g (1)＝f (1)－ln 1－12＝0，所以g (x )＞0的解集为(0，1)∪(1，＋∞).13.(2017·四川凉山州一诊)设向量a ＝(cos x ，－sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，cos x ，且a ＝t b ，t ≠0，则sin 2x ＝________.答案 ±1解析 因为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，cos x ＝(－sin x ，cos x )，a ＝t b ，所以cos x cos x －(－sin x )(－sin x )＝0， 即cos 2x －sin 2x ＝0， 所以tan 2x ＝1，tan x ＝±1，x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，故sin 2x ＝±1.14.设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 答案324解析 设P (－c ，y 0)，代入双曲线C ∶x 2a 2－y 2b2＝1，得y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，由题意知y 0＜0，∴y 0＝－b 2a ，又∵P 在直线y ＝b3a x 上，代入得c ＝3b ，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝324.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋2c －b )cos C ＝(a ＋c )cos B ＋b cosA ，若c ＝3，则a ＋b 的最大值为________.答案 6解析 由正弦定理可得2sin A cos C ＋2sin C cos C －sin B cos C ＝sin A cos B ＋sin C cos B ＋sin B cos A ， 即2sin A cos C ＋2sin C cos C ＝sin(B ＋C )＋sin(A ＋B )，也即2(sin A ＋sin C )cos C ＝sin A ＋sin C ，因为在△ABC 中，sin A ＋sin C ＞0， 所以2cos C ＝1， 由此可得cos C ＝12，由余弦定理可得9＝a 2＋b 2－ab ，即(a ＋b )2＝9＋3ab ， 又ab ≤14(a ＋b )2，所以14(a ＋b )2≤9⇒a ＋b ≤6，故所求a ＋b 的最大值是6.16.(2017·北京东城区二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈(0，2]，min{|x －1|，|x －3|}，x ∈(2，4]，min{|x －3|，|x －5|}，x ∈(4，＋∞).①若f (x )＝a 有且只有一个根，则实数a 的取值范围是________.②若关于x 的方程f (x ＋T )＝f (x )有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是______. 答案 ①(1，＋∞) ②(－4，－2)∪(2，4)解析 ①作出函数f (x )的图象，f (x )＝a 有且只有一个根等价于y ＝f (x )的图象与y ＝a 有一个交点，故可得a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)；②方程f (x ＋T )＝f (x )有且仅有3个不同的实根等价于y ＝f (x ＋T )的图象与y ＝f (x )的图象有3个交点，而y ＝f (x ＋T )的图象是将y ＝f (x )的图象向左或向右平移|T |个单位，故可得T 的取值范围是(－4，－2)∪(2，4).。

12＋4满分练(3)11.已知集合M＝{x|x2－x－2＜0}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，则M∩N等于()2A.{x|－2≤x＜1}B.{x|1＜x＜2}C.{x|－1＜x≤1}D.{x|1≤x＜2}答案 C解析M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{y|y≤1}，则M∩N＝{x|－1＜x≤1}，故选C.a＋2i2.(2017·重庆模拟)已知＝b＋i(a，b是实数)，其中i是虚数单位，则ab等于()iA.－2B.－1C.1D.3答案 A解析由题设可得a＋2i＝b i－1，则a＝－1，b＝2，故ab＝－2，故选A.3.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为()1 1 1 3A. B. C. D.3 5 9 20答案 A解析先排B，有A13(非第一与最后)种方法，再排A有A13(非第一)种方法，其余3人自由排，共有A13A13A3＝54(种)方法，这是总结果；学生C第一个出场，先排B，有A13(非第一与最后)种方法，再排A有A13种方法，C第一个出场，剩余2人自由排，故有A13A13A ＝18(种)，故学生C218 1第一个出场的概率为＝.54 31 π4.(2017·安阳模拟)已知函数f(x)＝A sin(2x＋φ)－2(A＞0，0＜φ＜2)的图象在y轴上的截ππ距为1，且关于直线x＝12对称，若对于任意的x∈[0，2]，都有m2－3m≤f(x)，则实数m的取值范围为()3 3 3－13 3＋13A.[1，2 ]B.[1，2]C.[，2 ]D.[ 2 ]，2 2答案 Bππ解析由已知得，sin (2 ×＋φ)＝1⇒φ＝，12 31π 1f (0)＝1⇒A sin － ＝1⇒A ＝ 3，3 2π1 则 f (x )＝ 3sin(2x ＋ 3)－ ，2 πππ 4π当 x ∈[0， 2]时，≤2x ＋ ≤ ， 3 3 3 4π所以 f (x )min ＝f (3)＝－2，则 m 2－3m ≤－2⇒m 2－3m ＋2≤0， 解得 1≤m ≤2，故选 B.5.(2017届云南省云南师范大学附属中学月考)四面体 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，PA ＝8，BC ＝4，PB ＝PC ＝AB ＝AC ，且平面 PBC ⊥平面 ABC ，则球 O 的表面积为( ) A.64π B.65π C.66π D.128π 答案 B解析 如图，D ，E 分别为 BC ，PA 的中点，易知球心 O 点在线段 DE 上， ∵PB ＝PC ＝AB ＝AC ， 则 PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，PD ＝AD . 又∵平面 PBC ⊥平面 ABC ， 平面 PBC ∩平面 ABC ＝BC ， ∴PD ⊥平面 ABC ， ∴PD ⊥AD ， ∴PD ＝AD ＝4 2. ∵点 E 是 PA 的中点，∴ED ⊥PA ，且 ED ＝EA ＝PE ＝4.设球 O 的半径为 R ，OE ＝x ，则 OD ＝4－x ， 在 Rt△OEA 中，有 R 2＝16＋x 2， 在 Rt△OBD 中，有 R 2＝4＋(4－x )2， 65解得 R 2＝ ， 4∴S ＝4πR 2＝65π.故选 B.26.(2017·唐山模拟)一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n＝12，则输出的结果b等于()7 97 64A.4B.C.D.2 28 14答案 C解析n＝12，a＝6，i＝1，b＝4.7满足i＜3，第一次循环：i＝2，a＝4，b＝；27 97满足i＜3，第二次循环：i＝3，a＝，b＝；2 28不满足i＜3，退出循环.故选C.7.(2017·绵阳中学模拟)已知正项等比数列{a n}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n，使得1 16a m a n＝4a1，则＋的最小值为()m n25 3 8 21A. B. C. D.6 2 3 5答案 D解析设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7＝a6＋2a5，得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因为a m a n＝16a21，所以(a1q m－1)(a1q n－1)＝16a21，则q m＋n－2＝16，解得m＋n＝6，1 16 1 1 16 1 n16m 1 n16m25所以＋＝×(m＋n)×＝≥＝，m n m m m 66 ( ×) 6(17＋＋n) 6(17＋2 n)＋n21因为mn取整数，验证可得，当m＝1，n＝5时，取最小值为.52 28.(2017·贵阳模拟)过点M( 2)作圆x2＋y2＝1的切线l，l与x轴的交点为抛物线E：y2，－2＝2px(p＞0)的焦点，l与抛物线E交于A，B两点，则AB的中点到抛物线E的准线的距离为3()5 2 7 2A. B.3 2 C. D.42 22答案 D2 2解析由题意得，过点M ( 2)作圆x2＋y2＝1的切线l，，－2可得直线l的方程为x－y－2＝0，此时直线l与x轴的交点坐标为( 2，0)，又( 2，0)与抛物线的焦点重合，p即＝2，解得p＝2 2，2即y2＝4 2x，且准线方程为x＝－2，联立方程组Error!整理得x2－6 2x＋2＝0，则x1＋x2＝6 2，x1＋x2则＝3 2，2x1＋x2所以AB的中点到抛物线的准线的距离为＋2＝4 2，故选D.29.(2017·江西省师大附中、临川一中联考)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()7 8－π8 7－πA. B. C. D.3 3 3 3答案 B解析由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉半圆锥的组合1 1 1 8－π体，其体积V＝×2×2×2－×π×1×2＝.3 3 2 310.如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()41 3 4 7 A. B. C. D.2 5 5 10 答案 C88＋89＋90＋91＋92 解析 由茎叶图可知，甲的平均成绩为x 甲＝＝90，乙的平均成绩为x 乙＝583＋83＋87＋99＋x，因为x 甲＞x 乙，即 352＋x ＜450，得到 x ＜98，又由题意可知 x ≥90，且 x5 是整数，故基本事件有从 90到 99共 10个，而满足条件的有从 90到 97共 8个，故甲的平均 8 4成绩超过乙的平均成绩的概率为 P ＝ ＝ ，故选 C. 10 5 111.(2017·江西省师大附中、临川一中联考)已知将函数 f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x － 的图象 25ππ π向左平移个单位长度后得到 y ＝g (x )的图象，则 g (x )在3]上的值域为( )12 [－， 121 13 1 1 A.[－ ，1] B.[－1，2] C.[－ 2] D.[－，， 2 223 2]答案 B31π解析 因为 f (x )＝ sin 2x ＋2cos 2x ＝sin (2x ＋ 6)，25ππ故 g (x )＝sin [2(x ＋ 12)＋ 6]＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，π π 因为－ ≤x ≤ ， 12 3 π 2π 故－ ≤2x ≤ ， 6 3 1则－ ≤sin 2x ≤1，2 1 所以－1≤g (x )≤ ，故选 B.212.(2017届湖南衡阳期末)函数 f (x )在定义域(0，＋∞)内恒满足：①f (x )＞0，②2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )，其中 f ′(x )为 f (x )的导函数，则( )1 f 1 1 1 f 1 1 1 f 1 1 1 f1 1 A. ＜ ＜ B. ＜ ＜ C. ＜ ＜ D. ＜ ＜ 4 f2 f 2 f2 f 2 2 16 83 2 84 答案 Df x解析令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则x2xf′x－2f xg′(x)＝，x35∵∀x∈(0，＋∞)，2f(x)＜xf′(x)＜3f(x)恒成立，xf′x－2f xf(x)＞0，∴g′(x)＝＞0，x3∴函数g(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，f1f2f11∴＜，∴＜.1 f2 44f x令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，x3xf′x－3f x则h′(x)＝，x4∵∀x∈(0，＋∞)，2f(x)＜xf′(x)＜3f(x)恒成立，xf′x－3f x∴h′(x)＝＜0，x4∴函数h(x)在x∈(0，＋∞)上单调递减，f1f2f11∴＞，∴＞.1 8 f281 f1 1综上可得＜＜，故选D.8 f2 4→→13.在周长为10的△ABC中，AB＝2，则CA·CB的最小值是________.答案14解析设CA＝m，CB＝n，则m＋n＝8，→→所以由余弦定理可得CA·CB＝mn cos Cm2＋n2－4 (m＋n)2－2mn－4 82－4－2mn＝＝＝＝30－mn，2 2 2m＋n又因为mn≤( 2 )2＝16，当且仅当m＝n＝4时，等号成立.→→所以CA·CB≥30－16＝14.14.若ʃm1(2x－1)d x＝6，则二项式(1－2x)3m的展开式中各项系数和为________.答案－1解析ʃm1(2x－1)d x＝(x2－x)|m1＝m2－m＝6，m＝3(m＝－2舍去)，令x＝1，则(1－2×1)9＝－1，即为所求系数和.n15.若数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝(n∈N*)，其前n项和为S n，则S n＝____.23 1(1－3n)答案46n解析因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝，2n－1所以当n≥2时有a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝，21两式作差得3n－1a n＝，21 1所以a n＝·(n≥2，n∈N*)，2 3n－11 又因为当n＝1时，a1＝适合此式，21 1所以数列{a n}的通项公式为a n＝·，2 3n－11 12(1－3n)3 1 所以S n＝＝.4(1－3n)11－3y216.已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝318x上，则实数m的值为________.答案0或－8解析因为点M，N关于直线y＝x＋m对称，所以MN的垂直平分线为y＝x＋m，所以直线MN的斜率为－1.设线段MN的中点P(x0，x0＋m)，直线MN的方程为y＝－x＋b，则x0＋m＝－x0＋b，所以b＝2x0＋m.由Error!得2x2＋2bx－b2－3＝0，所以x M＋x N＝－b，b所以x0＝－，2m所以b＝，2m 3所以P (－m).，4 4因为MN的中点在抛物线y2＝18x上，9 9所以m2＝－m，16 2解m＝0或m＝－8.7。

解答题滚动练41.(2017·佳木斯一中期中)已知函数f (x )＝34sin 2x ＋12cos 2x . (1)求函数f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (A )＝12，a ＝1，求△ABC 周长的最大值.解 (1)f (x )＝34sin 2x ＋12×12(1＋cos 2x )＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋14，由2x ＋π6＝2k π＋π2，得x ＝k π＋π6，k ∈Z ，当x ＝k π＋π6，k ∈Z 时，f (x )有最大值34，即f (x )取最大值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)f (A )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋14＝12，sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12， ∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，A ＝π3，∴12＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )24，∴b ＋c ≤2，a ＋b ＋c ≤3，即△ABC 周长的最大值为3. 2.已知数列{a n }满足：a 1＝－23，a n ＋1＝－2a n －33a n ＋4(n ∈N *).(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝32(a n ＋1)(n ∈N *)，若对一切n ∈N *，都有(1－b 1)(1－b 2)…(1－b n )≤λ2n ＋1成立，求实数λ的最小值.解 (1)因为a n ＋1＋1＝－2a n －33a n ＋4＋1＝a n ＋13a n ＋4，因为1a n ＋1＋1＝3a n ＋4a n ＋1＝3＋1a n ＋1，所以1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为3，公差为3的等差数列，所以1a n ＋1＝3n ，∴a n ＝13n －1.(2)由(1)知b n ＝12n ，设f (n )＝2n ＋1·⎝⎛⎭⎫12·34·56…2n －12n (n ≥1，n ∈N *)，由f (n ＋1)f (n )＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4＜1，得λ≥32，即λ的最小值为32. 3.几年来，网上购物风靡，快递业迅猛发展，某市的快递业务主要由两家快递公司承接，即甲公司与乙公司，“快递员”的工资是“底薪＋送件提成”，这两家公司对“快递员”的日工资结算方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其100天的送件数，得到如下条形图：(1)求乙公司的快递员日工资y (单位：元)与送件数n 的函数关系； (2)若将频率视为概率，回答下列问题：①记甲公司的“快递员”日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和期望；②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由.解 (1)由题意，当0≤n ≤83时，y ＝120元，当n ＞83时，y ＝120＋(n －83)×10＝10n －710， ∴乙公司的快递员日工资y (单位：元)与送件数n 的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120，0≤n ≤83，10n －710，n ＞83. (2)X 的所有可能取值为152，154，156，158，160.①由题意，P (X ＝152)＝0.1，P (X ＝154)＝0.1，P (X ＝156)＝0.2，P (X ＝158)＝0.3，P (X ＝160)＝0.3， ∴X 的分布列为∴期望E (X )＝152×0.1＋154×0.1＋156×0.2＋158×0.3＋160×0.3＝157.2. ②设乙公司的日工资为Y ，则E (Y )＝120×0.1＋130×0.2＋150×0.1＋170×0.4＋190×0.2＝159.由于甲公司的日工资的期望(均值)没有乙公司的日工资的期望(均值)高，∴小王应当到乙公司应聘“快递员”的工作.4.已知函数f (x )＝12x 2＋a cos x ，g (x )是f (x )的导函数.(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线方程为y ＝π＋22x －π2＋4π8，求a 的值； (2)若a ≥0且f (x )在x ＝0时取得最小值，求a 的取值范围；(3)在(1)的条件下，当x ＞0时，求证g ′()x 2＋38x 2(1)解 f ′(x )＝x －a sin x ，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2－a ＝π＋22， ∴a ＝－1，经验证a ＝－1符合题意. (2)解 g (x )＝f ′(x )＝x －a sin x ， 则g ′(x )＝1－a cos x .①当a ＝0时，f (x )＝12x 2，显然在x ＝0时取得最小值，∴a ＝0符合题意； ②当a ＞0时，(i)当1a ≥1即0＜a ≤1时，g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又g (0)＝0，∴当x ＜0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，当x ＞0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )在x ＝0时取得最小值， ∴当0＜a ≤1时符合题意；(ii)当0＜1a ＜1，即a ＞1时，在(0，π)内存在唯一x 0使g ′(x )＝0，即cos x 0＝1a .当x ∈(0，x 0)时，∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴cos x ＞cos x 0＝1a ，∴g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1a －cos x ＜0， ∴g (x )在(0，x 0)上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0， 即f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，x 0)上单调递减， ∴当x ∈(0，x 0)时，f (x )＜f (0)，这与f (x )在x ＝0时取得最小值，即f (x )≥f (0)矛盾， ∴当a ＞1时不合题意.综上，a 的取值范围是[0，1]. (3)证明 由(1)知，a ＝－1，此时g (x )＝x ＋sin x ，g ′(x )＝1＋cos x ，∴g ′(x )2＝1＋cos x 2＝⎪⎪⎪⎪cos x 2≥cos x2， ∴若要证原不等式成立，只需证cos x 2＋38x 2＞e x －1x成立.由(2)知，当a ＝1时，f (x )≥f (0)恒成立，即12x 2＋cos x ≥1恒成立，即cos x ≥1－12x 2(当且仅当x ＝0时取“＝”)，∴cos x 2≥1－18x 2(当且仅当x ＝0时取“＝”)，①∴只需证1－18x 2＋38x 21＋14x 2又由基本不等式知，1＋14x 2≥x (当且仅当x ＝2时取“＝”)，②∵①②两个不等式取”＝”的条件不一致，∴只需证x两边取对数得ln x ≥1－1x，③下面证③式成立，令φ(x )＝ln x －1＋1x ，则φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，∴φ(x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(1)＝0，即ln x －1＋1x ≥0，∴ln x ≥1－1x.即③式成立，∴原不等式成立.。

解答题滚动练61.已知函数f (x )＝cos 2x ＋2sin 2x ＋2sin x .(1)将函数f (2x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求函数g (x )的值域；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足b ＝2，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (A )＝2＋1，3a ＝2b sin A ，求△ABC 的面积.解 f (x )＝cos 2x ＋2sin 2x ＋2sin x ＝cos 2x ＋(1－cos 2x )＋2sin x ＝1＋2sin x . (1)平移可得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2， ∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 当x ＝π12时，g (x )min ＝0；当x ＝5π12时，g (x )max ＝3，∴所求值域为[0，3].(2)由已知3a ＝2b sin A 及正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ， ∴sin B ＝32. ∵0＜B ＜π2，∴B ＝π3，由f (A )＝2＋1，得sin A ＝22， 由正弦定理，得a ＝263＜b ，从而A ＝π4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×263×2×6＋24＝3＋33.2.在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1，a 2，a 5成等比数列知，a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，即d 2＝2a 1d ， 又d ≠0，a 1＝1，解得d ＝2，故a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n －13n ，则T n ＝13＋332＋533＋…＋2n －13n ，① 由①式两边×13，有13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －13n 1，②由①－②，得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1⇒23T n ＝13＋232⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－2n －13n ＋1，化简得T n ＝1－n ＋13n .3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AP ＝AB ＝AC ＝a ，AD ＝2a ，P A ⊥底面ABCD.(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ；(2)在棱PC 上是否存在一点E ，使得二面角B －AE －D 的平面角的余弦值为－63？若存在，求出λ＝CECP的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 在△ACD 中，AC ＝a ，CD ＝a ，AD ＝2a ， 由勾股定理得CD ⊥AC ， ∵P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面P AC . 又∵CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面P AC .(2)解 由(1)知，AB ⊥AC ，又P A ⊥底面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，则A (0，0，0)，B (a ，0，0)，C (0，a ，0)，D (－a ，a ，0)，P (0，0，a )， 假设点E (x E ，y E ，z E )存在，且λ＝CE CP ，则CE →＝λCP →，即(x E ，y E －a ，z E )＝λ(0，－a ，a )， ∴x E ＝0，y E ＝(1－λ)a ，z E ＝λa .∴AB →＝(a ，0，0)，AE →＝(0，(1－λ)a ，λa )，AD →＝(－a ，a ，0).设平面BAE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面DAE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＝0，(1－λ)ay 1＋λaz 1＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧－ax 2＋ay 2＝0，(1－λ)ay 2＋λaz 2＝0.∴n 1＝(0，λ，λ－1)，n 2＝(λ，λ，λ－1)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝λ2＋(λ－1)2λ2＋(λ－1)2·λ2＋λ2＋(λ－1)2＝2λ2－2λ＋12λ2－2λ＋1·3λ2－2λ＋1＝2λ2－2λ＋13λ2－2λ＋1，由题意|cos 〈n 1，n 2〉|＝63， 即2λ2－2λ＋13λ2－2λ＋1＝63，3(2λ2－2λ＋1)＝2(3λ2－2λ＋1)， ∴λ＝12.∴棱PC 上存在一点E ，使得二面角B －AE －D 的平面角的余弦值为－63，且此时λ＝12. 4.对于函数f (x )和g (x )，若存在常数k ，m ，对于任意x ∈R ，不等式f (x )≥kx ＋m ≥g (x )都成立，则称直线y ＝kx ＋m 是函数f (x )，g (x )的分界线.已知函数f (x )＝e x (ax ＋1)(e 为自然对数的底数，a ∈R 为常数).(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设a ＝1，试探究函数f (x )与函数g (x )＝－x 2＋2x ＋1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)∵f (x )＝e x (ax ＋1)， ∴f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋1)，∴当a ＝0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在R 上单调递增. 当a ≠0时，f ′(x )＝a e x ⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－a ＋1a ，当a ＞0时，在⎝⎛⎭⎫－∞，－a ＋1a 上，f ′(x )＜0，∴f (x )单调递减；在⎝⎛⎭⎫－a ＋1a ，＋∞上，f ′(x )＞0，∴f (x )单调递增.当a ＜0时，在⎝⎛⎭⎫－∞，－a ＋1a 上，f ′(x )＞0，∴f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫－a ＋1a ，＋∞上，f ′(x )＜0，∴f (x )单调递减.(2)假设存在直线y ＝kx ＋m ，使不等式e x (x ＋1)≥kx ＋m ≥－x 2＋2x ＋1， 当x ＝0时，由于1≥m ≥1，∴m ＝1， ∴kx ＋1≥－x 2＋2x ＋1恒成立， ∴x 2＋(k －2)x ≥0恒成立. 令Δ＝(k －2)2≤0，解得k ＝2，∴只需不等式e x (x ＋1)≥2x ＋1恒成立即可. 设h (x )＝e x (x ＋1)－2x －1，则h ′(x )＝e x (x ＋2)－2， 令(h ′(x ))′＝e x (x ＋3)＝0，得x ＝－3，∴当x ＜－3时，h ′(x )单调递减；当x ＞－3时，h ′(x )单调递增，且h ′(0)＝0，当x →－∞时，h ′(x )→－2，∴当x ＜0时，h ′(x )＜0，∴h (x )单调递减； 当x ＞0时，h ′(x )＞0，∴h (x )单调递增. ∴h (x )min ＝h (0)＝0.∴h (x )＝e x (x ＋1)－2x －1≥0， ∴不等式e x (x ＋1)≥2x ＋1恒成立.综上所述，函数f (x )与函数g (x )存在分界线，其分界线方程为y ＝2x ＋1.。

4.概率与统计1.某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.(1)记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小；(2)随机从“口语王”中选取2人，记X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和期望. 解 (1)因为x 甲＝60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋9310＝80，所以m ＝4，x 乙＝61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋94＋9710＝79，所以n ＝5，所以m ＜n .(2)X 取0，1，2，所以P (X ＝0)＝C 04C 25C 29＝518，P (X ＝1)＝C 14C 15C 29＝59，P (X ＝2)＝C 24C 05C 29＝16，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×518＋1×59＋2×16＝89.2.(2017届重庆市第一中学月考)为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2 000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：(1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S 的概率满足：P (S ＝6k )＝4－k6，k ＝1，2，3，假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望E (S )； ②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望. 解 (1)大学城校区应抽取15×80220＋80＝4(人).(2)①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为P (S ＝6k )＝4－k6，k ＝1，2，3，即所以对于一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为 E (S )＝6×12＋12×13＋18×16＝10.②记ξ为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和， 则ξ＝12，18，24，30，36， P (ξ＝12)＝12×12＝14；P (ξ＝18)＝12×13×2＝13；P (ξ＝24)＝12×16×2＋13×13＝518；P (ξ＝30)＝13×16×2＝19；P (ξ＝36)＝16×16＝136；E (ξ)＝12×14＋18×13＋24×518＋30×19＋36×136＝20.所以“如花姐”最后得分的期望为20×3＋E (ξ)＝80.3.(2017·云南大理检测)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35.(1)请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X ，求X 的分布列和期望. 下面的临界值表仅供参考：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)因为从100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35，所以喜欢游泳的学生人数为100×35＝60.其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：因为K 2＝100(40×30－20×10)260×40×50×50≈16.67>10.828.所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.(2)喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为110，从而需抽取男生4人，女生2人. 故X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 22C 26＝115，P (X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (X ＝2)＝C 24C 26＝615＝25，所以X 的分布列为E (X )＝0×115＋1×815＋2×25＝43.4.(2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116(x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6). 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值μ^＝9.97，σ的估计值σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.5.(2017·重庆市调研)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有20人，不超过100 km/h 的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有5人，不超过100 km/h 的有15人.(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 的人与性别有关；(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和期望.参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解 (1)∵K 2＝50(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 与性别有关.(2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆的概率为1550＝310.∴ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，310， ∴P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫3100⎝⎛⎭⎫7103＝3431 000， P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫3101⎝⎛⎭⎫7102＝4411 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫3102⎝⎛⎭⎫7101＝1891 000，P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫3103⎝⎛⎭⎫7100＝271 000， ∴ξ的分布列为E (ξ)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910＝0.9或E (ξ)＝np ＝3×310＝0.9.6.(2017届湖南株州模拟)某市对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度. (1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率； (2)从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和期望.解 (1)记事件A 为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”. 因为μ－3σ＝78.4，μ＋2σ＝89.4， 由样本条形图可知，所求的概率为P (A )＝P (x ＜μ－3σ)＋P (x ＞μ＋2σ)＝P (x ＜78.4)＋P (x ＞89.4) ＝1100＋4100＝120. (2)记事件B 为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知，样本容量为100，又需矫正速度个数为5，故所求概率为P (B )＝C 25C 2100＝1495.(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120， 所以P ()ξ＝0＝C 02⎝⎛⎭⎫1200⎝⎛⎭⎫19202＝361400， P ()ξ＝1＝C 12⎝⎛⎭⎫1201⎝⎛⎭⎫19201＝19200，P ()ξ＝2＝C 22⎝⎛⎭⎫1202⎝⎛⎭⎫19200＝1400， 因此ξ的分布列为由ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120知，期望E (ξ)＝2×120＝110.。

解答题滚动练11.(2017届长郡中学模拟)四边形如％如图所示，已知AB=BC=CD=2, AD=2^3.(1)求/cos A~cos。

的值；(2)记△姗与△助的面积分别是S与&,求击+&的最大值.解⑴在△刃及?中，BD=A^+A〃—2AB・AD COS，=16一8也COS A,在△冏％中，BB=BO,CB—2BC,CD COS C=8—8COS C,所以漆cos A—cos C=l.(2)依题意强=£朋•应色比勺=12 —12cosW• 6Z^sin七 =4—4cos/所以 5?+&=12 — 12cos粉+4—4COS2C— 16—4(cos C~\~ 1)2—4cos2f =—Scos2^—8cos 61+12 = —8^cos C+^+14,因为2^ —2V刃V4,所以 8—8cos C= BBW (16 —16).解得一IVcos CVy^ —],所以5?+&W14,当cos C=一§时取等号，即§+戎的最大值为14.2.已知等差数列｛aj的公差为2,前刀项和为&且S, Si,但成等比数列.(1)求数列｛aJ的通项公式；(2)设G+D (a+5)，数列｛如｝的前〃项和为I，求证：T n<-⑴解L.等差数列｛&｝的公差为2,前”项和为，. 〃(刀一1) 2・・ &=刀31+ 言d-—- n n~\~nai....s, &, S成等比数列,1 - 5 -1 -2 +- 1 - 1 -3 +- 1 - 1 - 4+- 1 - 21 +刀.•.&=&・BP （22—2+2ai ）2=ai •（妒—4+4戚，化为（l + ai ）2=ai （3 + ai ）,解得 ai = l.31+（72— 1） d=l+2 （〃一 1） =2/1— 1.⑵证明由⑴可得&=2刀—1,则勿=（&,+ i ）（&+5）（2〃—1 + 1）（2〃—1 + 5厂 〃（〃+2厂 d2刀+3 2 （刀+1）（刀+2）V/?eN*,2刀+3.•.2（〃+1） （〃+2）＞°'3 2 刀+3 3 口口 3...「2（〃+1） （〃+2）3 即综上所述，3. 如图，在三棱柱 ABC-A^G 中，侧面 ACQAyL 底面/WG ZA l AC=60° , AC=2AA l = 4, 点D, £分别是WC 的中点.⑴证明：庞〃平面43C ；（2）若AB=2, ZBAC=60° ,求直线庞与平面ABB.A,所成角的正弦值.⑴证明取花的中点凡连接庭7, EF,... 0是死的中点，EF//AB,ABC —AiBC 是三棱柱，AB// AB,:.EF// AB,:.涉'〃平面AW,〃是的中点,1- 1一刀 +0,DF 〃 A 、C,:.班〃平面A^C.又 EFC DF= F,平面奶'〃平面ABC, :.庞〃平面ABC.(2)解 过点4作AO±AC,垂足为0,连接0B,•..侧面ACGA1底面ABC,:.40_L 平面如...AOLOB, AxOLOC.VZAJC=60° , 04 = 2,0A=\, 0A=y[3,'：AB=2, ZOAB=60° ,由余弦定理，得0^=0A + Aff-20A • ABcosZBAC=3,:.0B=y[3, ZAOB=90° ,OB LAC,分别以站，OC, <21所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

12＋4满分练(6)1.(2017·长郡中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案 B解析 结合图象(图略)可知函数y ＝3x 与椭圆有两个不同的交点，即集合A ∩B 中有两个元素，则其所有子集的个数是22＝4，故选B.2.(2017·山东省实验中学二诊)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A.(0，1) B.[0，1)C.(0，1] D.[0，1] 答案 B解析 由题意，得自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x ＜1，即函数y ＝x ln(1－x )的定义域为[0，1)，故选B.3.(2017·湖南省长郡中学模拟)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD → 答案 A解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，又OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，故AO →＝OD →.4.已知命题p ：若a ，b 是实数，则a ＞b 是a 2＞b 2的充分不必要条件；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2＜3x ”，则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q ) 答案 D解析 “a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，所以p 为假命题；“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，所以q 为假命题，因此(綈p )∧(綈q )为真命题.故选D.5.给出40个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这40个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么判断框①处和执行框②处可分别填入( )A.i ≤40？；p ＝p ＋i －1B.i ≤41？；p ＝p ＋i －1C.i ≤41？；p ＝p ＋iD.i ≤40？；p ＝p ＋i 答案 D解析 由于要计算40个数的和，故循环要执行40次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为40，即①中应填写i ≤40？；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2；第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4；第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7；…故②中应填写p ＝p ＋i .综上可知选D.6.已知过定点P (2，0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为( ) A.150° B.135° C.120° D.30° 答案 A解析 由题意可画图如下：由面积公式S ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB 可知当∠AOB ＝π2时，S △OAB 取最大值.由于圆的半径为2，所以点O 到直线AB 的距离为1，由直线过点P (2，0)易知其倾斜角为150°. 7.(2017·山东肥城统考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝310，则tan α等于( ) A.17 B.13C.3 D.7 答案 C解析 因为sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝310，所以sin 2α－sin 2α＝310，所以sin 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝310，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α≠0， 所以tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝310，解得tan α＝3或tan α＝－17(舍去)，故选C.8.(2017·永州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，a ＝2b ，cos A ＝35，则sin B等于( ) A.25 B.35C.45 D.85 答案 A解析 由cos A ＝35，得sin A ＝45，又a ＝2b ，由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝25.故选A.9.(2017·广东珠海测试)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为( ) A.2 B.3C.4 D.5答案 A解析 由三视图的性质和定义知，三棱锥P －BCD 的正(主)视图与侧(左)视图都是底边长为1高为2的三角形，其面积都是12×1×2＝1，正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为1＋1＝2，故选A.10.(2017·河北衡水中学调研)已知等差数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10等于( )A.1941B.1737C.715D.2041答案 A解析 a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝2a 92(b 1＋b 11)＋a 3b 1＋b 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝11(a 1＋a 11)211(b 1＋b 11)2＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941，故选A.11.(2017届福建闽侯县三中期中)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值为( ) A.－38 B.316C.－38 D.不能确定答案 A解析 方法一 设P ()m ，n ，则m 23－n 2＝1，即m 2－3n 2＝3，由双曲线x 23－y 2＝1得其渐近线方程为y ＝±33x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y －n ＝－3()x －m ， 解得交点A ⎝⎛⎭⎪⎫3m ＋3n 4，3m ＋n 4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ，y －n ＝3()x －m ，解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫3m －3n 4，n －3m 4，所以P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －m4，3m －3n 4， PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m －3n 4，－3n －3m 4， 则P A →·PB →＝3n －m 4×－m －3n 4＋3m －3n 4×－3n －3m 4＝－2m 2－6n 216＝－616＝－38，故选A.方法二 此题可用特殊值法解决：令P 为双曲线右顶点，可求得|P A →|＝|PB →|＝32，P A →与PB →的夹角为2π3，所以P A →·PB →＝32×32×cos 2π3＝－38.12.(2017·湖北荆州中学模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋12x ＋a (x ＜0)，g (x )＝ln x (x >0)，其中a ∈R .若f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))处的切线与g (x )的图象在点B (x 2，f (x 2))处的切线重合，则a 的取值范围为( ) A.(－1＋ln 2，＋∞) B.(－1－ln 2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－34，＋∞ D.(ln 2－ln 3，＋∞) 答案 A解析 f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫14x 21＋12x 1＋a ＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋12·(x －x 1)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋12x －14x 21＋a . g (x )的图象在点B (x 2，g (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2·(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎨⎧1x 2＝12x 1＋12， ①ln x 2－1＝－14x 21＋a ，②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0，由①②得a ＝14x 21＋ln x 2－1＝14x 21＋ln 2x 1＋1－1＝14x 21＋ln 2－ln(x 1＋1)－1， 设h (t )＝14t 2＋ln 2－ln(t ＋1)－1(－1＜t ＜0)，则h ′(t )＝12t －1t ＋1＝t (t ＋1)－22(t ＋1)＜0，所以h (t )(－1＜t ＜0)为减函数， 则h (t )＞h (0)＝－1＋ln 2， 所以a ＞－1＋ln 2，而当t ∈(－1，0)且t 趋向于－1时，h (t )无限增大， 所以a 的取值范围是(－1＋ln 2，＋∞).13.A ，B ，C 三点与D ，E ，F ，G 四点分别在一个以O 为顶点的角的不同的两边上，则在A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，O 这8个点中任选三个点作为三角形的三个顶点，可构成的三角形的个数为________. 答案 42解析 由题意得三点不能共线，可用间接法，所以可构成的三角形的个数为C 38－C 34－C 35＝42.14.(2017·湖北省荆、荆、襄、宜七校联考)有一长、宽分别为50 m 、30 m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 2 m ，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是________. 答案 38解析 所求概率为几何概型，测度为长度， 如图AB ＝CD ＝50，BC ＝DA ＝30，因为OE ＝152，OS ＝15⇒ES ＝OE 2－OS 2＝15⇒EF ＝MN ＝30， 因此概率为EF ＋MN AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝30×2(50＋30)×2＝38.15.(2017·广东佛山检测)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数).如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律， 8 128可表示为________. 答案 26＋27＋…＋212 解析 因为8 128＝26×127， 又由1－2n 1－2＝127，解得n ＝7.所以8 128＝26×(1＋2＋...＋26)＝26＋27＋ (212)16.(2017·长郡中学模拟)已知抛物线y 2＝4x ，其焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为________.答案 22－2解析 因为F (1，0)，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝1，不妨设x 1＜1，x 2＞1， 由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝(x 1＋1)(x 2＋1)－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1，令x 2－1＝t ，则x2＝t＋1，所以|AF|－2|BF|＝11＋tt2＋2t＋2＝11＋12＋t＋2t≥11＋12＋22＝2(1＋2)3＋22＝21＋2＝2(2－1)，当且仅当t＝2时取“＝”.当直线l与x轴垂直时，可求得|AF|＝2，|BF|＝2，所以|AF|－2|BF|＝1，综上，|AF|－2|BF|的最小值为22－2.。

12＋4满分练(4)1.(2017·湖北部分重点中学联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，集合B ＝{x |0＜x ＜4}，则(∁R A )∩B 等于( )A.(0，3]B.[－1，0)C.[－1，3]D.(3，4) 答案 A解析 因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， 故∁R A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |0＜x ＜4}， 所以(∁R A )∩B ＝{x |0＜x ≤3}，故选A.2.(2017·安阳模拟)设i 为虚数单位，若复数a ＋2i 1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.－2D.2 答案 C解析 由题意，得a ＋2i 1＋i ＝a ＋22＋2－a2i ，则⎩⎨⎧a ＋22＝0，2－a 2≠0⇒a ＝－2，故选C.3.(2017·绵阳中学实验学校模拟)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x ·(cos x －2sin x )＋sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) A.在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数 B.周期为π，图象关于⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C.最大值为2，图象关于直线x ＝π2对称D.在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，为偶函数 答案 A解析 函数的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x (cos x －2sin x )＋sin 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 将其图象向左平移π8个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－π4＝2sin 2x 的图象， 则g (x )为奇函数，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，故A 正确.4.(2017·宝鸡检测)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象( )A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度答案 A解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π3， 所以函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象向左平移π4个单位长度得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，故选A. 5.过点M (2，－2p )引抛物线x 2＝2py (p ＞0)的切线，切点分别为A ，B ，若|AB |＝410，则p 的值是( ) A.1或2 B.2或2 C.1 D.2答案 A解析 设切点为⎝⎛⎭⎫t ，12p t 2，因为y ′＝1p x ， 则切线斜率k ＝12p t 2＋2p t －2＝1p t ，整理可得t 2－4t －4p 2＝0，由根与系数的关系可得t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－4p 2， 则(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝16(1＋p 2). 设切点A ⎝⎛⎭⎫t 1，t 212p ，B ⎝⎛⎭⎫t 2，t 222p ， 则|AB |＝(t 1－t 2)2＋⎝⎛⎭⎫t 21－t 222p 2＝(t 1－t 2)2⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫12p 2(t 1＋t 2)2， 即|AB |＝4(1＋p 2)⎝⎛⎭⎫1＋4p 2， 所以(1＋p 2)⎝⎛⎭⎫1＋4p 2＝10， 即p 4－5p 2＋4＝0， 解得p 2＝1或p 2＝4， 即p ＝1或p ＝2，故选A.6.(2017·云南大理检测)已知三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为433，BC ＝4，BD ＝3，∠CBD ＝90°，则球O 的表面积为( )A.11πB.20πC.23πD.35π 答案 C解析 设棱锥的高为h ， 因为S △BCD ＝12×BC ×BD ＝23，所以V A －BCD ＝13S △BCD ×h ＝433，所以h ＝2，因此点O 到平面BCD 的距离为1， 因为△BCD 外接圆的直径为19， 所以OB ＝1＋194＝232，所以球O 的表面积为S ＝4πr 2＝23π，故选C.7.(2017·湖北部分重点中学联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A.36πB.8πC.9π2D.27π8答案 B解析 从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为2，2，2的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线l ＝22＋(2)2＋(2)2＝22，故球的半径为R ＝2，所以该外接球的表面积S ＝4π(2)2＝8π，故选B.8.已知点P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ≤2，x ＋y －1≥0所表示的平面区域内的一点，点Q 是圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1上的一个动点，则|PQ |的最大值是( )A.35＋22B.25＋33C.253D.10答案 A解析 由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意知点A 到圆心(－1，0)的距离最远，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，x ＝2，解得A ⎝⎛⎭⎫2，32，最远距离为d ＝(2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫322＝352，所以|PQ |的最大值为352＋1＝35＋22，故选A.9.(2017·湖南师大附中月考)阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为( )A.k ≤3?B.k ≤4?C.k ≤5?D.k ≤6? 答案 B解析 第一次循环，S ＝12＝1，k ＝2； 第二次循环，S ＝2×1＋22＝6，k ＝3； 第三次循环，S ＝2×6＋32＝21，k ＝4； 第四次循环，S ＝2×21＋42＝58，k ＝5， 最后输出的数据为58，所以判断框中应填入k ≤4？，故选B.10.(2017·云南大理检测)已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －1，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b答案 D解析 由题意知f (x )，g (x )，h (x )均为各自定义域上的增函数，且有唯一零点， 因为f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1>0，所以－1＜a ＜0， 由g (x )＝0可得x ＝1，所以b ＝1，h ⎝⎛⎭⎫13＝－1＋13＝－23＜0，h (1)＝1>0， 所以13＜c ＜1，所以a ＜c ＜b ，故选D.11.(2017·安阳模拟)已知当x ＝θ时，函数f (x )＝2sin x －cos x 取得最大值，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4等于( )A.7210B.210C.－210D.－7210 答案 D解析 因为f (x )＝5sin(x －φ)， 所以f (x )max ＝5， 其中cos φ＝25，sin φ＝15， 当x －φ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，函数取得最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z 时函数取得最大值.由于sin 2θ＝－sin 2φ＝－2×25×15＝－45，cos 2θ＝－cos 2φ＝－(2cos 2φ－1)＝－35，故sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝－75×22＝－7210，故选D. 12.(2017·贵州贵阳市适应性考试)已知M 是函数f (x )＝e －2|x －1|＋2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －12在x ∈[－3，5]上的所有零点之和，则M 的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案 C解析 因为f (x )＝e－2|x －1|＋2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －12＝e －2|x －1|－2cos πx ， 所以f (x )＝f (2－x )，因为f (1)≠0，所以函数零点有偶数个，两两关于x ＝1对称. 当x ∈[1，5]时，y ＝e－2(x －1)∈(0，1]，且单调递减；y ＝2cos πx ∈[－2，2]，且在[1，5]上有两个周期， 因此当x ∈[1，5]时，y ＝e－2(x －1)与y ＝2cos πx 有4个不同的交点，从而所有零点之和为4×2＝8，故选C. 13.(2017·宁夏银川二模)我们把满足：x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )的数列{x n }叫做牛顿数列.已知函数f (x )＝x 2－1，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －1x n ＋1，已知a 1＝2，则a 3＝________.答案 8解析 由f (x )＝x 2－1，得f ′(x )＝2x ，则x n ＋1＝x n －x 2n －12x n ＝x 2n ＋12x n ，所以x n ＋1－1＝(x n －1)22x n，x n ＋1＋1＝(x n ＋1)22x n ，所以x n ＋1－1x n ＋1＋1＝(x n －1)2(x n ＋1)2，所以ln x n ＋1－1x n ＋1＋1＝ln (x n －1)2(x n ＋1)2＝2ln x n －1x n ＋1， 即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a 3＝2×22＝8.14.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，点P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________. 答案 5解析 方法一 以点D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0＜x ＜1)，∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2DC 2→＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.15.点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，则该双曲线的渐近线的斜率为________. 答案 ±43解析 如图，A 是切点，B 是PF 1的中点，因为|OA |＝|a |，所以|BF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝2b ，|PF 1|＝4b ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，根据双曲线的定义，有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即4b －2c ＝2a ，两边平方并化简得3c 2－2ac －5a 2＝0，所以c a ＝53，因此ba＝⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝43.16.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝43()a n －1，则()4n －2＋1⎝⎛⎭⎫16a n ＋1的最小值为______. 答案 4解析 ∵S n ＝43()a n －1，∴S n －1＝43()a n －1－1()n ≥2，∴a n ＝S n －S n －1＝43()a n －a n －1，∴a n ＝4a n －1.又a 1＝S 1＝43()a 1－1，∴a 1＝4，∴{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n ， ∴()4n －2＋1⎝⎛⎭⎫16a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫4n16＋1⎝⎛⎭⎫164n ＋1＝2＋4n 16＋164n ≥2＋2＝4， 当且仅当n ＝2时取“＝”.。

12＋4满分练(8)1.(2017·湖南十三校联考)设全集U ＝A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，A ∩(∁U B )＝{1，2}，则集合B 等于( ) A.{2，4，5} B.{3，4，5} C.{4，5} D.{2，4}答案 B解析 由题设可得A ＝{1，2}，B ＝{3，4，5}，故选B.2.(2017·湖北部分重点中学联考)复数z 满足z (3i －4)＝25(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 等于( ) A.4＋3i B.4－3i C.－4＋3i D.－4－3i 答案 C解析 因为z ＝253i －4＝－254－3i ＝－(4＋3i)，故z ＝－4＋3i ，故选C.3.已知函数y ＝sin ax ＋b (a ＞0)的图象如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图象可能是( )答案 A解析 由图象可知，0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以函数y ＝log a (x ＋b )可视为将函数y ＝log a x 的图象向左平移b 个单位长度，故选A.4.(2017·湖南十三校联考)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线在第一象限内与C 1交于点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( )A.316 B.38 C.233 D.433答案 D解析 设切点M (x 0，y 0)，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，因为y ＝x 22p ，所以y ′＝xp ，故切线的斜率为k ＝1p x 0＝13，则x 0＝13p ，代入得y 0＝12p ×p 23＝16p ，又三点F 1(0，p2)，M ⎝⎛⎭⎫p 3，p 6，F 2(2，0)共线，则p 2－0－2＝－p3p 3，解得p ＝433，故选D.5.(2017·西安模拟)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 6 D.4 答案 D解析 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝5， 可知圆的圆心为(1，2)，半径为5，圆心到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|5＝1，由勾股定理可得直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25－1＝4，故选D.6.三棱锥S －ABC 及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则该三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A.32πB.1123πC.283πD.643π答案 B解析 如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则在Rt △BCF 中，BF ＝23，CF ＝2，BC ＝4，在Rt △BCS 中，CS ＝4，所以BS ＝42，设球心到平面ABC 的距离为d ，因为△ABC 的外接圆半径为433，所以由勾股定理可得R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4332＝(4－d )2＋⎝⎛⎭⎫4332，解得d ＝2，则该三棱锥外接球半径R ＝283，所以该三棱锥的外接球的表面积是4πR 2＝1123π.7.(2017·河北张家口期末)在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为( ) A.1－3π6 B.1－3π12 C.1－3π9 D.1－3π18答案 A解析 满足条件的正三角形ABC 如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3. 满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆， 则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离大于1的概率P ＝1－3π6，故选A. 8.执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝3，则输出的n 等于( )A.2B.3C.4D.5答案 C解析 程序框图执行过程，首先初始化数值：a ＝3，A ＝0，B ＝1，n ＝0，然后进入循环. 第一次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝1，B ＝2B ＋1＝3，n ＝n ＋1＝1， 第二次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝4，B ＝2B ＋1＝7，n ＝n ＋1＝2， 第三次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝13，B ＝2B ＋1＝15，n ＝n ＋1＝3， 第四次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝40，B ＝2B ＋1＝31，n ＝n ＋1＝4， 第五次循环：不满足A ≤B ，跳出循环，输出n ＝4.9.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2()2－x ，0≤x ＜k ，x 3－3x 2＋3，k ≤x ≤a ，若存在实数k ，使得函数f (x )的值域为[－1，1]，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤32，1＋3 B.[]2，1＋3 C.[]1，3 D.[]2，3答案 B解析 由于y ＝log 2(2－x )在[0，k )上是单调递减函数， 当x ＝0时，y ＝1， 当x ＝32时，y ＝－1，所以0＜k ≤32.令g (x )＝x 3－3x 2＋3， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝2，当x ＝2时，函数取得极小值－1， 当x 3－3x 2＋3＝1时，解得x 1＝1，x 2＝1＋3，x 3＝1－3＜0(舍)， 所以2≤a ≤1＋3，故选B.10.(2017·四川遂宁等四市联考)已知不等式2sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62－m ≥0对于x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，－2 B.⎝⎛⎦⎤－∞，22 C.⎣⎡⎦⎤22，2 D.[)2，＋∞ 答案 B解析 因为2sin x 4cos x 4＋6cos 2x 4－62＝22sin x 2＋6×1＋cosx22－62＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3， 所以原不等式等价于m ≤2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3在x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3上恒成立. 因为π6≤x 2＋π3≤π2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，2， 所以m ≤22，故选B. 11.F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，以F 为端点的射线与抛物线相交于点A ，与抛物线的准线相交于点B ，若FB →＝4F A →，则F A →·FB →等于( ) A.1 B.32 C.2 D.94答案 D解析 由题意，设点A 的横坐标为m ，则由抛物线的定义，可得m ＋121＝34，则m ＝14，所以|F A →|＝34，|FB →|＝3，所以F A →·FB →＝|F A →||FB →|cos 0°＝94. 12.(2017·湖北七市(州)联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (3log 2a )＞f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，3) B.(0，3) C.(3，＋∞) D.(1，3)答案 B 解析 由f (3log 2a)＞f (－2)可得f (3log 2a)＞f (2)，即f (3log 2a)＞f (122)，由题意可知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递减， 故0＜3log 2a＜122，即log 3a ＜12⇒0＜a ＜3，故选B.13.(2017·枣庄期末)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P ()x ，y ，则||P A ＋||PB 的最大值是______. 答案 2 5解析 由题意，得A (0，0)， 因为直线mx －y －m ＋3＝0，即m (x －1)－y ＋3＝0，经过定点B (1，3).又直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0始终垂直， 点P 又是两条直线的交点，所以P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.设∠ABP ＝θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 则|P A |＝10sin θ，|PB |＝10cos θ，所以|P A |＋|PB |＝10sin θ＋10cos θ＝25sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 所以|P A |＋|PB |的最大值是2 5.14.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________. 答案 70解析 由题意知，2n －1＝128，解得n ＝8.展开式共n ＋1＝8＋1＝9项. 得中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为C 48＝70. 15.若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为_______.答案 －1解析 (1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x 2 017，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 017＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0， 其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－1.16.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________.答案 2解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)， 因为它们共焦点，所以它们的半焦距均为c ， 所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝cm ，由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ， 即2m ＝a ，所以e 2e 1＝cm c a ＝am＝2.。

12＋4满分练(1)1.已知P ＝{x |x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}y |y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于( )A.[0，1)B.[0，2)C.(1，2)D.[1，2) 答案 C解析 解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4).Q 表示函数y ＝4－2x的值域，因为2x＞0，所以t ＝4－2x＜4，所以y ∈[0，2)，即Q ＝[0，2).故P ∩Q ＝(1，2).故选C.2.已知a ∈R ，i 是虚数单位.若a －i 2＋i 与3i －5i 2－i互为共轭复数，则a 等于( )A.13B.－13 C.－3 D.3 答案 D 解析a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝(2a －1)－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i ，3i －5i 2－i ＝3i －5i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝3i －－5＋10i 5＝1＋i ，∵a －i2＋i 与3i －5i 2－i互为共轭复数， ∴2a －15＝1，－a ＋25＝－1，解得a ＝3.故选D. 3.命题：∀x ∈R ，ln(e x－1)＜0的否定是( ) A.∀x ∈R ，ln(e x－1)>0 B.∀x ∈R ，ln(e x －1)≥0 C.∃x 0∈R ，ln(0e x－1)＜0 D.∃x 0∈R ，ln(0e x －1)≥0 答案 D4.(2017·四川双流中学月考)已知函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，||φ＜π2的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋π12，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z 答案 A解析 由题图可得，f (x )的振幅A ＝2，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，则ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又2×π12＋φ＝π2＋2k π，|φ|＜π2，解得φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 平移后得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .故选A.5.已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴的交点记为A ，焦点为F ，l 是过点A 且倾斜角为π3的直线，则F 到直线l 的距离为( ) A.1 B. 3 C.2 D.2 3答案 B解析 由题意，得A (－1，0)，F (1，0)，则过点A 且倾斜角为π3的直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，∴点F 到直线l 的距离d ＝233＋1＝ 3.故选B.6.(2017·云南师范大学附中月考)已知三棱锥A －BCD 内接于半径为5的球O 中，AB ＝CD ＝4，则三棱锥A －BCD 的体积的最大值为( ) A.43 B.83 C.163 D.323 答案 C解析 如图，过CD 作平面ECD ，使AB ⊥平面ECD ， 交AB 于点E ，设点E 到CD 的距离为EF ，当球心在EF 上时，EF 最大，此时E ，F 分别为AB ，CD 的中点，且球心O 为EF 的中点，所以EF ＝2，所以V max ＝13×12×4×2×4＝163，故选C.7.(2017·武邑检测)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0()a >0截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋()y －12＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.外离 答案 B解析 化简圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2⇒M (0，a )，r 1＝a ⇒M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2⇒⎝⎛⎭⎪⎫a 22＋2＝a 2⇒a ＝2⇒M (0，2)，r 1＝2，又N (1，1)，r 2＝1⇒|MN |＝2⇒|r 1－r 2|＜|MN |＜|r 1＋r 2|⇒两圆相交.8.(2017·资阳模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，正(主)视图和俯视图都是边长为10 cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近( )A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm答案 A解析 由题意得几何体为一个三棱柱，底面是腰为10的等腰直角三角形，高为10，得到的最大球的半径为等腰直角三角形的内切圆的半径，其半径为10＋10－1022＝10－52≈2.93，最接近3 cm ，故选A.9.已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为( ) A.h ＋k2B.nh ＋mk m ＋n C.mh ＋nk m ＋n D.h ＋km ＋n答案 B解析 因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ， {y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ， 因此把两组数据合并成一组以后， 这组样本的平均数为nh ＋mkm ＋n，故选B. 10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{0，1，2，…，9}.若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( ) A.725 B.925 C.750 D.950 答案 A解析 共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有：当a ＝0时，b ＝0，1；当a ＝1时，b ＝0，1，2；当a ＝2时，b ＝1，2，3；当a ＝3时，b ＝2，3，4；当a ＝4时，b ＝3，4，5；当a ＝5时，b ＝4，5，6；当a ＝6时，b ＝5，6，7；当a ＝7时，b ＝6，7，8；当a ＝8时，b ＝7，8，9；当a ＝9时，b ＝8，9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P＝28100＝725，故选A. 11.(2017·曲靖月考)已知函数f (x )＝x 2－kx －2在区间(1，5)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A.[10，＋∞) B.(－∞，2]C.(－∞，2]∪[10，＋∞)D.(－∞，1]∪[5，＋∞) 答案 C解析 由已知可得k 2≤1或k2≥5⇒k ∈(－∞，2]∪[10，＋∞)，故选C.12.若存在m ，使得关于x 的方程x ＋a (2x ＋2m －4e x )·[ln(x ＋m )－ln x ]＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12eC.(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞答案 C解析 由题意得－12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x －2e ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x ＝(t －2e)ln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝m x ＋1＞0，令f (t )＝(t －2e)ln t (t ＞0)，则f ′(t )＝ln t ＋1－2et，(f ′(t ))′＝1t ＋2et2＞0，∴f ′(t )为增函数.当x ＞e 时，f ′(t )＞f ′(e)＝0，当0＜x ＜e 时，f ′(t )＜f ′(e)＝0， ∴f (t )≥f (e)＝－e ，∴－12a ≥－e ，解得a ＜0或a ≥12e ，故选C.13.(2017·山西临汾五校联考)若tan α－1tan α＝32，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝_______. 答案210解析 ∵tan α－1tan α＝32，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin αcos α－cos αsin α＝32，∴cos 2αsin 2α＝－34， ∵π4＜α＜π2， ∴π2＜2α＜π， 故cos 2α＝－35，sin 2α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2α×22＋cos 2α×22＝210. 14.已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________.答案 －16解析 如图所示，因为O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°，OA ＝2OD ＝23×32＝33， 由于AD 平分∠BAC ，∠BOC ， 所以OB →＋OC →＝2OD →＝－OA →，同理OA →＋OB →＝－OC →，OA →＋OC →＝－OB →，所以(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝(－OC →)·(－OB →)＝OC →·OB → ＝|OB →|2cos120°＝|OA →|2cos120°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.15.已知(x ＋a )2(x －1)3的展开式中x 4的系数为1，则a ＝________. 答案 2解析 (x ＋a )2(x －1)3的展开式中x 4的系数为1×(－3)＋2a ×1＝2a －3＝1， 所以a ＝2. 16.(2017·福建福州外国语学校模拟)在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A ，B ，C 做了一项预测：A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”.比赛结果出来后，发现A ，B ，C 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________. 答案 甲解析 由题意知，B ，C 的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B ，C 谁对，A 必是一对一错，假设B 的预测是对的，则丙是冠军，那么A 说冠军也不会是甲，也不会是乙，即丙是冠军也对，这与题目中“一人的两个判断都对”相矛盾，即假设不成立，所以B 的预测是错误的，则C 的预测是对的，所以甲是冠军.。