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一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法（1 ）直接开平方法：形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。
注意：若b<0,方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3）配方法:用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x m)2 n(n 0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当n 0时，方程无解(4)公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0)2af(x)的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i 和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b；X i?X2 = 2a a4. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
一元二次方程知识点总结归纳1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
典例分析：1、下列方程中，是一元二次方程的是：（ ）A 、2x +3x +y=0 ；B 、 x+y+1=0 ；C 、 213122+=+x x ；D 、0512=++x x2、关于x 的方程（2a +a －2）2x +ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）A 、a ≠0 ；B 、 a ≠－2 ；C 、a ≠－2且 a ≠1 ；D 、a ≠13、一元二次方程2x －3x = 4的一般形式是 ，一次项系数为 。
4、判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的各项系数和常数项。
（1）2x(x-3)=10 (2)3m ²+2=2（2m+1） (3)x(3+x ²)+1=5(4)3y-5=4(2-y) (5)(2k-3)(k+5)=7k (6)2x(x+3)=6x2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如x²=m(m≥0)或2+=≥的方程可以用开平方法解，()(0)x a b b两边开平方得x=m、x a+=或者x=-m、x a+=，=-。
∴x=±m、x a注意：若m<0、 b<0，方程无解。
典例分析：1、用开平方法解下列方程（1）x²=121 （2）9y²=25 （3）3a²-27=0（4）(x-3)²=16 （5）4（t+4）²=9 （6）2（n-1）²-1=0（2）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)++=≠的一般步骤ax bx c a①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为2+=≥的形式；()(0)x m n n④用直接开平方法解变形后的方程。
【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。
一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。
它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。
在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。
2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。
三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。
2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。
4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。
四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。
它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》知识点总结合理的总结，合理的归结，关于考试效果会有很大的协助，下文为大家引荐了一元二次方程知识点总结，祝大家期末考试顺利。
1. 一元二次方程的普通方式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的普通方式，研讨一元二次方程的有关效果时，少数习题要先化为普通方式，目的是确定普通方式中的a、 b、c; 其中a 、 b,、c能够是详细数，也能够是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵敏运用，其中直接开平方法虽然复杂，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发作计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法运用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，
Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请留意以上等价命题：
Δ>0有两个不等的实根; Δ=0有两个相等的实根;
Δ无实根; Δ≥0有两个实根(等或不等).
4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有以下公式：
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一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。
(2)确定a,b,c的值。
(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。
(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。
·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。
(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。
(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
根的判别情况一元二次方程两根与系数的关系：。
【本讲教育信息】一. 教学内容：复习一元二次方程【教学目标】 知识与技能：1. 使学生理解一元二次方程的意义。
2. 掌握一元二次方程的解法，会根据一元二次方程的特点灵活地选择解法。
3. 理解并掌握一元二次方程知识在数学中和生活中的应用，养成建立数学模型解决实际问题的思想方法。
过程与方法：体会在直接开平方法、因式分解法的探索过程中“降次转换”的基本思想。
情感、态度与价值观：1. 教学中培养和提高学生分析问题、解决问题的能力。
2. 让学生在学习中充分经历和体验知识的形成与应用过程，体会数学的价值，增强学习数学的信心。
教学重点：1. 让学生熟练地掌握一元二次方程的四种解法。
2. 能运用一元二次方程知识解决生活中实际问题。
教学难点：运用一元二次方程知识解决生活中实际问题。
【方法指导】1. 本章介绍了一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
其中公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的一般方法，而因式分解法较方便，因此要求同学们在解一元二次方程时，应先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，然后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法后，解一元二次方程一般不用配方法，但配方法是一种很重要的数学方法，要求同学们把它学好。
04)0(0.222≥-⇔≠=++ac b a c bx ax 有实数根一元二次方程 04.322=-⇔++ac b c bx ax 是完全平方式二次三项式4. 同学们应学会分析和解决问题的方法，能用一元二次方程的知识解决实际问题。
【主要内容】（一）本章知识结构（二）本章数学思想方法： 1. 转化思想：转化思想是分析问题、解决问题的一个重要的基本思想，如本章求根公式的推导，配方法的应用，因式分解法解一元二次方程等都体现了转化这一数学思想。
2. 方程思想：方程思想就是从分析问题的数量关系入手，找出相关关系，运用数学符号语言把相等关系转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，本章就是方程思想的充分体现。
3. 整体思想整体思想就是把问题的某些元素作为一个整体，达到顺利而又简捷地解决问题的目的，这样可以避免繁琐的运算推理，它是一种重要的数学观念，本章因式分解法解一元二次方程有时要运用整体思想来解决。
4. 分类讨论思想 在数学中，分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学研究对象区分为不同种类的一种数学思想。
本章的例题中，多次地使用了这一问题，如根的判别式的符号判定一元二次方程的根的情况。
5. 数学建模思想数学建模思想是指从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思想过程，它包括对实际问题进行抽象、简化、建立数学模型、求解数学模型、解释验证等步骤，如本章利用一元二次方程解决实际问题就是需要利用建模思想。
（三）主要知识点1. 一元二次方程的定义及解法：一元二次方程概念的学习，要抓住其本质：含有一个未知数，未知数的次数是二次，且是整式方程。
它的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 解一元二次方程时，首先考虑因式分解法，因为这种方法最快捷，其次考虑求根公式法，这种方法是万能的，它能求所有有实数根的一元二次方程，最后考虑配方法，因为这种方法较为复杂，但这种方法很重要，在后面的学习中要会用配方方法解决有关知识，同时这种方法常用于证明一个式子恒大于零或恒小于零，如果方程符合直接开平方的特点，就采用直接开平方法。
2. 根的判别式与根与系数的关系ac b a c bx ax 4)0(0122-=∆≠=++的根的判别式：）一元二次方程（数根方程有两个不相等的实⇔>∆0 根方程有两个相等的实数⇔=∆0 方程没有实数根⇔<∆0的两根是方程、）设（)0(02221≠=++a c bx ax x xacx x a b x x =-=+2121，则3. 一元二次方程的应用对于列一元二次方程解应用题，关键是审清题意，发现题目中明显的或隐藏的等量关系，将其转换成数学式子，就可获得方程从而解决问题。
其基本步骤有：（1）审题、明确已知量与未知量，找出等量关系。
（2）设未知数，可直接设也可间接设。
（3）列方程，把等量关系转化为方程。
（4）解方程。
（5）检验，结果是否符合实际意义。
（6）写出答语。
【典型例题】例1. 的值。
，求满足、已知实数2222222015)5(4)(y x y x y x y x +=+++-+分析：本题如果想分别求出x 、y 的值，再代入求x 2＋y 2的值，就有困难，因为只有一个方程，不能分别求出x 、y 的值，如果将x 2＋y 2看成一个整体，则问题较方便。
解：015)5(4)(22222=+++-+y x y x05)(4)(22222=-+-+∴y x y x 0)1)(5(2222=++-+y x y x 0122≠++∴y x y x 为实数、 5052222=+=-+∴y x y x 即例2. 用适当的方法解下列方程：)5(2)5(34047338)4(209)1(41222x x x x x x x -=-=+-=-=--）（）（）（）（分析：根据方程特点选择方法。
解：9)1(412=-x ）（ 49)1(2=-x 231±=-∴x231231-=-=-x x 或252121=-=∴x x ，8422=-x x ）（ 48442+=+-x x12)2(2=-x322±=-x32232221-=+=∴x x ，047332=+-x x ）（ 473=-==c b a ，，1434)7(422=⨯⨯--=-ac b 3217⨯±=x 13421==∴x x ，0)5(2)5(342=-+-x x ）（ 0]2)5(3)[5(=+--x x 013305=-=-x x 或313521==∴x x ，说明：一元二次方程解法的选择，一般为直接开平方法（特定形式）→因式分解法→公式法，若没有特别说明一般不采用配方法，其中公式法是一般方法适用于任意一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解方程时比较简便。
例3. 试根据m 的值讨论关于x 的方程的根的情况。
032)2(2=+++-m mx x m 分析：本题没有明确方程的类别（方程的次数），应分类讨论，因此，先要对二次项系数m －2是否为0展开讨论。
在m －2≠0的情况下再利用判别式来分析。
解：（1）时时，即当202==-m m4554-==+x x 原方程为45-=x 根即原方程只有一个实数方程时，原方程为一元二次）当（022≠-m244)3)(2(4)2(422+-=+--=-=∆m m m m ac b实根；，此时方程有两个不等时，得即当60244042<>+->-m m ac b 实根；，此时方程有两个相等时，得即当60244042==+-=-m m ac b ，此时方程没有实数根时，得即当60244042><+-<-m m ac b例4. 若两个关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0与x 2＋ax ＋1＝0有一个公共的实数根，求a 的值。
分析：首先理解公共根的意义，就是同时满足两个不同方程的根，其次利用“转化”思想，利用方程的根的定义，将公共根代入两个方程，再利用方程组求a 的值。
解：设两个方程的公共根为x 0，则⎪⎩⎪⎨⎧><=++><=++20110020020ax x a x x 01)1(210=-+-><-><a x a 得：0)1)(1(0=--∴x a是两个不同的方程与由条件01022=++=++ax x a x x 011≠-≠∴a a 即 10100==-∴x x 得2110-=><=a x 得代入方程将例5. 某工厂1998年初投资100万元生产新产品，1998年底将获得利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？分析：这道题比我们上一次讲的百分率的问题难度稍大些。
因此本题两年的百分率不相同，应分别考虑，现列表分析本金 年利率 利润 1998年 100 x100x1999年100+100x(x+10%) (100+100x)(x+10%)解：设1998年的年获利率为x ，则56%)10)(100100(100=+++x x x（不合题意，舍去），解得：3.22.021-==x x %30%10=+∴x答：1998年与1999年的年获利率分别为20%和30%。
例6. 某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商场可以自行定价，若每件售价a 元，则可卖出（350—10a ）件，但物价部门规定每件商品的加价不能超过进价20%，商场计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售多少元？分析：这是一道商品问题，我们首先应弄清基本关系： 一件商品的利润＝售价－进价一批商品的利润＝一件商品的利润×销量 现在根据题意，列表分析如下：一件商品的利润销售量 总利润 x －21350－10x400解：设每件商品应售价x 元，才能赚400元400)10350)(21(=--x x 则0775562=+-x x 整理得： 312521==x x ，解得： ％利润不能超过进价的物价局规定每件商品的20 2.25%)201(21=+⨯∴ （不合题意，舍去）31=∴x100251035025=⨯-=时，当x答：该商店需卖出100件商品，每件商品应售价25元。
例7. 某玩具厂生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产下图（1）（1（2分析：这仍然是一道商品问题，关系式仍然是总利润＝（售价－成本）×销售量，不同的是这个题目的成本与售价都是通过函数图象给出的，与上学期所学的函数知识联系起来。
根据函数图象知，这两个函数都是一次函数，应注意的是R （元）为x 只玩具熊猫的总成本与x 的关系，P 只是每只熊猫的售价与x 的关系。
解：根据图象可知，R 、P 都是x 的一次函数 在图象上，，点，，点故设)140030()80010(11b x k R +=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+∴5003014003080010111111b k b k b k 解得 50030+=∴x R在图象上，、，，点设)11030()15010(22b x k P += ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+=+∴17021103015010222222b k b k b k 解得 1702+-=∴x P R Px -=17501）依题意，有（1750)50030()1702(=+-+-∴x x x 01125702=+-x x 整理得 0)45)(25(=--x x 452521==∴x x ， 不合题意，舍去只每日最高产量为45x 40=∴ 元只时，每日获得利润为当日产量为175025∴（2）依题意，得19501950)35(25001402)50030()1702(22≤+--=-+-=+-+-=-=x x x x x x R Px 总利润元时，可获得最大利润为当1950)40(35<=∴x【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题1. 若用因式分解法解方程01032=--x x ，分解因式的结果为（ ）)2)(5(.0)2)(5(.0)2)(5(.0)2)(5(.=+-=++=--=-+x x D x x C x x B x x A2. 若122+x 与5242--x x 的值互为相反数，则x 的值（ ）231.231.321.321.或或或或D C B A ---3. 若分式232622---+x x x x 的值为0，则x 的值是（ ）3.2.23.32.---D C B A 或或 4. 如果关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根分别为1321==x x ，，那么这个一元二次方程是（ ）43.034.034.043.2222=-+=-+=+-=++x x D x x C x x B x x A5. 一元二次方程0422=++x x 的根的情况是（ ）A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根6. 如果代数式4)1(2)12(2+++-x m x m 是完全平方式，则m 的值为（ ）A. m=1B. m=1或m=5C. m=5D. m=1或m=67. 关于x 的方程013)4(2=++-x x k 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）4425.425.4425.4.≠≤>≠<≠k k D k C k k B k A 且且8. 关于x 的方程023)2(22=-+-kx x k 是一元二次方程，则k 的取值范围是（ ）任意实数.2.2.0.D k C k B k A ±≠±≠≠9. 市政府计划在两年内将市区人均住房面积，由现在的10m 2提高到14.4m 2，设每年人均住房面积的增长率为x ，则可列方程为（ ）4.14)1(10)1(1010.4.14)1(10.4.14)21(10.4.14)1(10.22=++++=+=+=+x x D x C x B x A10. 餐桌桌面是长160cm ，宽为100cm 的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽，小刚设四周垂下的边宽为x ，则应列得的方程是（ ）100160)100160(2.100160)100)(160(.2100160)2100)(2160(.2100160)100)(160(.⨯=+⨯=++⨯⨯=++⨯⨯=++x x D x x C x x B x x A二、填空题：11. 若方程43)21(222-+=++x q px x ，则p ＝________，q ＝_________。
