下载文档原格式
2015届高三“一模”数学模拟试卷（1）（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= ．2．若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = ． 3．函数lg 3y x =-的定义域是．4．已知行列式cos sin 21x x =-，(0,)2x π∈，则x = ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3050S =，5030S =，则80S = ． 6．函数log (3)1a y x =+-(0a >且1)a ≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 7．设等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若*2()31n n S n n N T n =∈+，则54a b = ． 8．2310(133)x x x +++展开式中系数最大的项是 ．9．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的4个数字之和为23的概率为 ．10．已知tan ,tan αβ是关于x 的方程2(23)(2)0mx m x m +-+-=(0)m ≠的两根，则tan()αβ+的最小值为．11．若不等式(0)x a ≥>的解集为[,]m n ，且2m n a -=，则a 的取值集合为 ．12．如图，若从点O 所作的两条射线,OM ON 上分别有点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线,OP OQ 和OR 上， 分别有点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论 为 ．13．圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，则圆锥的内接圆柱全面积的最大值为 ．14．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题： ① 方程[()]f f x x =也一定没有实数根；② 若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切x R ∈恒成立； ③ 若0a <，则必存在实数0x 使不等式00[()]f f x x >成立； ④ 若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切x R ∈成立； 其中是真命题的有 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．15． “arcsin 1x ≥”是“arccos 1x ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=，若OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围是（ ）A ．112λ≤≤ B ．112λ-≤≤C ．1122λ≤≤+D ．1122λ-≤≤+18．若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式222(3)(3)0x t t x t t -+-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(,2)(9,)-∞-+∞ B ．(,2)(7,)-∞-+∞ C ．(,4)(9,)-∞-+∞D ．(,4)(7,)-∞-+∞三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+．（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．20．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．设虚数12,z z 满足212z z =．（1）若12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求12,z z ；（2）若11z mi =+(0,m i >为虚数单位)，1z ≤23z ω=+，求ω的取值范围．21．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC =，D 为AB 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直． （1）求证：1AB ⊥平面1ACD ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为1，115AC AB =， 求三棱锥1A ACD -体积．7分．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使 得()()f x k x a ≤-对任意[,]x a b ∈恒成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的 “k 函数”. （1）已知函数()2f x x m =+是[1,2]上的“1函数”，求m 的取值范围； （2）已知函数()3f x x m =+是[1,2]上的“2函数”，求m 的取值范围；（3）已知函数221,[1,0)()1,[0,1),[1,4]x x f x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 函数”，若是，求出对应的k ； 若不是，请说明理由．8分．数列{},{}n n a b 满足：11,a a b b ==，且当2k ≥时，,k k a b 满足如下条件： 当1102k k a b --+≥时，111,2k k k k k a ba ab ---+==， 当1102k k a b --+<时，111,2k k k k k a ba b b ---+==。
二O 一五届高三模拟考试数学（理科）2015.3本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共50分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.3.考试结束后，监考人员将答题卡和第II 卷的答题纸一并收回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()211x x i -++是纯虚数（i 是虚数单位，x R ∈），则x = A.1 B. 1-C. 1±D.0 2.若点()3,1P -是圆()22225x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为A. 20x y +-=B. 270x y --=C. 40x y --=D. 250x y +-=3.下列命题中的假命题是A. ,20x x R ∀∈>B. ()120,1,log 0a a ∃∈>C. ()120,1,x x ∀∈<1 D. 0,,sin cos 4πααα⎛⎫∃∈+= ⎪⎝⎭4.已知双曲线22112x y n n-=-A. y =B. y =C. =2y y x =±或D. =y y x =或 5.用数学归纳法证明“()11111,123421n n n N n *++++⋅⋅⋅+<∈>-”时，由()1n k k =>不等式成立，推证1n k =+时不等式成立，左边应增加的项数为A. 12k -B. 21k -C. 2kD. 21k+ 6.如图，非零向量,OA a OB b BC OA ==⊥，且u u r u u u r ，C 为重足，设=OC a λuu u r ，则λ的值为 A. 2a ba ⋅ B. ab a b ⋅⋅ C. 2a bb ⋅ D. a b a⋅ 7.甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示（其中茎表示得分的十位数、叶表示得分的个位数），记甲、乙两人的平均得分分别为x x 乙甲、，则下列判断正确的是 A. x x <乙甲，甲比乙成绩稳定 B. x x <乙甲，乙比甲成绩稳定 C. x x >乙甲，甲比乙成绩稳定 D. x x >乙甲，乙比甲成绩稳定8.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()11P ，，则函数()[]sin 20,y x απ=+在上的单调递减区间为 A. 50,88πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，与 B. 35,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 350,888πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，与D. 588ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 9.某个()5n n ≤面体的三视图如图（其中三个正方形的边长均为1）所示，则该几何体的体积为 A. 23 B. 13 C. 16 D. 1210.对于任意实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，则不等式[][]2436450x x -+<的充分不必要条件是 A. 315,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭ B. 3,82x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C. [)2,8x ∈ D. [)2,7x ∈第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：第II 卷所有题目的答案须用0.5mm 黑色签字笔答在“答题纸”的指定位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知随机变量()()~4,,1=X B p D X p =若，则______.12.若程序框图如图所示，则程序运行后输出k 的值是_______.13.有4本不同的书，其中语文书1本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆成一排，则同一科目的书不相邻的摆法有_________种.（用数字作答）14.已知偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =.若在区间[]1,3-上，函数()()g x f x kx k =--有3个零点，则实数k 的取值范围是_________.15.若曲线()21:02a C y x a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则实数a 的取值范围是_______三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为cos a b c A B ==、、，.（1）求角C ；（2）设c =ABC ∆的面积.17. （本小题满分12分） 在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，190,13BAD ABC SA AB AD BC ∠=∠=====，E 为SD 的中点. （1）若F 为线段BC 上一点，且16BF BC =，求证：EF//平面SAB ；（2）在线段BC 上是否存在一点G ，使得直线EG 与平面SBC 所成角的正弦值为14？若存在，求出BG 的长度；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分12分）某学生参加3门课程的考试.假设该学生第一门课程取得优秀成绩的概率为34，第二门、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为()p q p q >、，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记X 为该生取得优秀成绩的课程数，已知()()30332P X P X ====. (1)求p 、q 的值； （2）求X 的数学期望E （X ）. 19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，前m 项依次构成首项为1，公差为2-的等差数列，第1m +项至第2m 项依次构成首项为1，公比为12的等比数列，其中*3,m m N ≥∈. （1）当12n m ≤≤时，求n a ；（2）若对任意的*n N ∈，都有2n m n a a +=.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：43112m S +≤-. 20. （本小题满分13分）已知函数()x f x e =，这里e 为自然对数的底数. （1）求函数()y f x x =-的单调区间；（2）当0x >时，证明：()()ln2f x f x x x -+>； （3）若当0x ≤时，()2102a f x x x --+-≥恒成立，求实数a 的取值范围. 21. （本小题满分14分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆C 上一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）A,B 分别是椭圆C 的左、右顶点，P,Q 是椭圆C 上异于A,B 的两个动点，直线AP,AQ 的斜率之积为14-. ①设APQ BPQ ∆∆与的面积分别为12,S S ，请问：是否存在常数()R λλ∈，使得12=S S λ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；②求直线AP 与BQ 的交点M 的轨迹方程.。
高三数学理科一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U=R ，集合A ＝{1,2,3,4,5｝,B ＝[3，十∞），则图中阴影部分所表示的集合为A. {0，1，2}B. {0，1}，C. {1，2}D.｛1｝2．若0a b >>，则下列不等式成立的是 A. 1122log log a b <B. 0.20.2a b >C.a b +<3．设平面向量(1,2),(2,)a b y ==-,若a ⊥b ，则=||bA ．2B ． 22CD ．54．已知函数sin ,0,()(1),0,x x f x f x x π≤⎧=⎨->⎩那么)32(f 的值为A. 21-B. 23-C. 21D. 235．下列结论正确的是A.若向量a ∥b ，则存在唯一的实数λ使 b a λ=B.已知向量a ，b 为非零向量，则“a ，b 的夹角为钝角”的充要条件是“0<⋅b a ” C ．若命题 2:,10p x R x x ∃∈-+<，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+> D ．“若 3πθ=，则 1cos 2θ=”的否命题为“若 3πθ≠，则 1cos 2θ≠” 6. 若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”。
已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87. 已知函数2(1)(10)()1)x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤，则11()f x dx -=⎰（ ）A ．12 B ．12 C ．4 D ．128．下列四种说法中，①命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对于任意2,0x R x x ∈-<”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ③已知幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于12；④已知向量(3,4)a =-，(2,1)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影是25. 说法正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数， 则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),01,-∞+∞UD ．()3,+∞10.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，25(02)16()1()1(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．59(,)24-- B ．9(,1)4-- C. 599(,)(,1)244---- D ．5(,1)2--二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．） 11.在等比数列{}n a 中，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则通项公式n a = . 12.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如右图所示，则(2)f = ． 13.函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+的单调增区间是 . 14.已知ABC ∆中的内角为,,A B C ，重心为G ，若2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅=，则cos B = .15.定义函数{}{}()f x x x =⋅，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.52=，{}2.52-=-.当(]0,x n ∈，*n N ∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则12111na a a +++=________． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分12分）若二次函数2() (,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足(1)()41f x f x x +-=+，且(0)3f =.（1)求()f x 的解析式；（2)若在区间[1,1]-上，不等式()6f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3221S S =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*21()n n b n a n N =-+∈，且{}n b 的前n 项和n T ，求证：2n T ≥.18．（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)4a x =，(cos ,1)b x =-． (1)当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、， 若a =2b =，sin B =，求()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.19.（本小题满分12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。
枣庄三中2015届高三第一次学情调查数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页. 满分150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置。
考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共50分）注意事项：1 第Ⅰ卷共10小题，每小题5分，共50分.2每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分.一、选择题：(本题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．设集合{}1,2,3A =，{}4,5B =，{},,C x x b a a A b B ==-∈∈，则C 中元素的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ． 62．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧<=⎨>⎩则1[()]e f f =( )A ．1eB ．e -C ．eD ． 1e-3．下列命题中，真命题是( ) A ．存在,e 0x x ∈≤R B ．1,1a b >>是1ab >的充分条件 C ．任意2,2x x x ∈>RD ．0a b +=的充要条件是1ab=- 4. 定义运算a b ad bc c d =-，若函数()123x f x x x -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ． (,2]-∞-5．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ） A. 0>b B. 1<b C.10<<b D. 21<b 6.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g += ( )A ．－3B ．－1C ． 1D ．37.已知命题[]2:1,2,0,p x x a ∀∈-≥命题:,q x R ∃∈使2220x ax a ++-=，若命题“p 且q ”为真，则实数a 的取值范围是( )A ．}{|211a a a -<<>或 B ．}{|1a a ≥ C ．}{|21a a -≤≤D ．}{|21a a a ≤-=或8. 已若当x ∈R 时，函数0()(||>=a a x f x 且1≠a ）满足)(x f ≤1，则函数)1(log +=x y a 的图像大致为( )9．设函数x x x x f sin )(2+=，对任意),(,21ππ-∈x x ，若)()(21x f x f >，则下列式子成立的是( )A ．21x x >B ．2221x x > C ．||21x x > D ．||||21x x <10. []x 表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知[]()()f x x x x R =-∈，4()log (1)g x x =-，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷 （共100分）注意事项：1. 第Ⅱ卷共100分.2.考生用0.5毫米黑色签字笔将答案和计算步骤、过程填写在答题纸相应位置，直接在试卷上作答的不得分. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应的横线上）. 11．已知正实数11,,25,2a ba b m m a b ==+=满足且 ,则m 的值为12．曲线2y x =，y x =所围成的封闭图形的面积为 .13. 函数()(1)xf x x e =-⋅的单调递减区间是 .14.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .15.给出下列命题：①若)(x f y =是奇函数，则|)(|x f y =的图像关于y 轴对称；②若函数)(x f 对任意x R ∈满足1)4()(=+⋅x f x f ，则8是函数)(x f 的一个周期；③若03log 3log <<n m ，则10<<<n m ；④若||)(a x e x f -=在),1[+∞上是增函数，则1a ≤.其中正确命题的序号是 .三、解答题：(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）已知全集U=R ，集合[]231,0,22A y y x x x ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭，{B x y == 求集合,,()U A B C A B .17.（本小题满分12分） 已知函数2()()21xf x a a R =-∈- （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性,并用单调函数的定义证明;（Ⅱ）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[03]x ∈，时，函数()y f x = 的图像恒在直线2y c =的下方，求c 的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为()f x 万元，且22110.8(0<10)30()1081000(10)3x x f x x xx ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ （Ⅰ）写出年利润P （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）20．（本小题满分13分） 定义在R 上的单调函数()f x 满足3(2)2f =，且对任意,x y R ∈都有()()().f x y f x f y +=+（Ⅰ）求证：()f x 为奇函数.（Ⅱ）若(3)(392)0x x xf k f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++. （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若方程()0f x m +=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）；（Ⅲ）令()()g x f x kx =-，若()g x 的图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x （其中12x x <），AB 的中点为0(,0)C x ，求证：()g x 在0x 处的导数0()0g x '≠.2015届高三数学试题（理科）参考答案及评分标准一、 选择题：BABDC CD CB A 二、填空题11. 10 12．13 13.()0,+∞ 14.1- 15.①②④ 三、解答题 16．（本小题满分12分）17解：A={]2,0[,123|2∈+-=x x x y y } ={]2,0[,167)43(|2∈+-=x x y y }={y |167≤y ≤2}，……4分B={x |||1x y -=}={x |1－|x |≥0}={x |－1≤x ≤1}………………8分∴U A={y |y >2或y <167},……………………………………10分 （U A ）∪B={x |x ≤1或x >2}……………………………………12分17. （本小题满分12分） 解:(1)121211212211212111221222222(22)0<x <x ()()2121(21)(21)0<x <x 22,21,21,220,210,210()()0,()()())x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x f x --=----∴<>>∴-<->->-<<∴∞设,则-=,从而在(0,+上为增函数()( - ,0)f x ∞同理可证在上是增函数……………6分（Ⅱ）()0,()()0,220, 1.....................12()(1)= (1)1,,2.....................12x f x f x a a f f a ≠-+=+==---=-法一当时有得解得分法二由得用定义验证不证扣分分18．（本小题满分12分） （1）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．…………………………………………………………………………6分(2)当[03]x ∈，时，函数()y f x = 的图像恒在直线2y c =的下方,即2()f x c <,[]'2'''()618126(1)(2)(0,1),()0,(1,2),()0(2,3),()0,1 ,() (1)58,(0)8,(3)98.0,3,()(3)98f x x x x x x f x x f x x f x x f x f c f c f c x f x f c=-+=--∈>∈<∈>∴==+==+∴∈=+当时当时当时当时取得极大值又当时的最大值为…………………………8分又因为2()f x c < ………………10分 ()22 9+8890, c<19,,-1(9,+).c c c c c c <-->->-∞∞所以，即解得或因此的取值范围为…………………………12分19．（本小题满分12分解：（1）当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x P xf x x x =-+=--当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73P xf x x x x=-+=-- 38.110(010)30100098 2.7(10)3x x x P x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩……………………………………………………………4分（2）①当010x <≤时，由28.1010x P '=-=，得9x =且当(0,9)x ∈时，0P '>；当(9,10)x ∈时，0P '<；∴当9x =时，P 取最大值，且3max 18.1991038.630P =⨯-⨯-=………………………8分②当10x >时，100098( 2.7)98383P x x =-+≤-= 当且仅当1000 2.73x x =，即1009x =时，max 38P = 综合①、②知9x =时，P 取最大值.所以当年产量为9千件时，该企业生产此产品获利最大.…………………………………12分20．（本小题满分13分（Ⅰ）证明：()()()(,),f x y f x f y x y +=+∈R ①令0x y ==，代入①式，得(00)(0)(0),f f f +=+即(0)0.f = 令y x =-，代入①式，得()()()f x x f x f x -=+-，又(0)0,f = 则有0()().f x f x =+-即()()f x f x -=-对任意x ∈R 成立， 所以()f x 是奇函数.……………………………………………4分 （Ⅱ）解：3(2)02f =>，即(2)(0)f f >，又()f x 在R 上是单调函数， 所以()f x 在R 上是增函数.又由（1）()f x 是奇函数.(3)(392)(392),x x x x x f k f f ⋅<---=-++ 23392,3(1)320x x x x x k k ∴⋅<-++-+⋅+>对任意x ∈R 成立.(法一)：令30x t =>，问题等价于2(1)20t k t -++>对任意0t >恒成立.………………………8分 令2()(1)2,g t t k t =-++其对称轴12kt +=. 当102k+<时，即1k <-时，(0)20g =>，符合题意； 当102k +≥时，对任意0,()0t g t >>恒成立2102(1)420kk +⎧≥⎪⇔⎨⎪=+-⨯<⎩解得11k -≤<-+………………………………………………12分综上所述当1k <-+时，(3)(392)0xxxf k f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立. …………13分 (法二):分离min,3392,3231,(3231)x x x x x x x k k k k --⋅<-++∴<+⋅-<+⋅-,1k ∴<-+13分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）()2,(2)4,(2)ln 24.2a af x bx f b f a b x ''=-=-=- 43,2ab ∴-=-且ln 2462ln 22,a b -=-++ 解得2, 1.a b ==…………………………………………………………………4分（Ⅱ）2()2ln f x x x =-，令2()()2ln ,h x f x m x x m =+=-+则222(1)()2,x h x x x x-'=-=令()0h x '=，得1(1x x ==-舍去).当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0,h x '>∴当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()h x 是增函数；当(1,e]x ∈时，()<0,h x '∴当(1,e]x ∈时()h x 是减函数；………………………6分于是方程()0h x =在1[,]e e 内有两个不等实根的充要条件是：1()0(1)0()0h e h h e ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩.即2112.m e <≤+………………………………………………10分 （Ⅲ）由题意22()2ln ,()2.g x x x kx g x x k x'=--=--假设结论不成立，则有：2111222212002ln 02ln 02220x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩………………………………………11分 ①-②，得221121222ln()()0.x x x k x x x ----= 12012ln22.x x k x x x ∴=--由④得0022,k x x =-12120ln1x x x x x ∴=- 121212ln2x x x x x x =-+，即11212222ln .1x x x x x x -=+⑤…………………………………13分 令1222,()ln (01),1x t t u t t t x t -==-<<+则22(1)()0.(1)t u t t t -'=>+ ()u t ∴在（0，1）增函数，()(1)0,u t u ∴<=∴⑤式不成立，与假设矛盾.0()0.g x '∴≠…………………………………………………………………14分④③ ② ①。
二○一五届高三模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若复数21(1)x x i -++是虚数（i 是虚数单位，x R ∈），则x = A ．1 B ．-1 C ．1± D ．02、若点(3,1)P -是圆22(2)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为A ．20x y +-=B ．270x y --=C ．40x y --=D ．250x y +-= 3、下列命题中的假命题是A ．,20xx R ∀∈> B ．12(0,1),log 0a a ∃∈>C ．12(0,1),1x x ∀∈< D ．(0,),sin cos 24a παα∃∈+=4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．3y x =B ．2y x =C ． 22y x =±D ．32y x =± 5、函数()x bf x a-=的图象如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<6、如图，非零向量,OA a OB b ==，且,BC OA C ⊥为垂足， 设OC a λ=，则λ的值为A ．2a b a⋅ B ．a b a b⋅ C ．2a b b⋅ D ．a b a⋅7、甲乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5为评为评分情况如茎叶图所示（其中茎表示得分的十位数，叶表示得分的个位数），记甲乙两人平均得分分别为x 甲、x 乙，则下列判断正确的是A ．x x <甲乙，甲比乙的成绩稳定B ．x x <甲乙，乙比甲的成绩稳定C ．x x >甲乙，甲比乙的成绩稳定D ．x x >甲乙，乙比甲的成绩稳定 8、在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过(1,1)P ，则函数sin(2)y x α=+在[]0,π上的单调递减区间为A ．[0,]8π或5[,]8ππ B ． 35[,]88ππC ．[0,]8π或35[,]88ππD ．5[,]88ππ9、某个n （n 5≤）面体的三视图如图（其中三个正方形的边长均为1） 所示，则该几何体的体积为 A ．23 B ．13 C ．16 D ．1210、对于任意实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，则不等式[][]2436450x x -+<成立的充分不必要条件是 A ．315(,)22x ∈ B ．3(,8)2x ∈ C ．[)2,8x ∈ D ．[2,7]x ∈ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
枣庄三中2015届高三第一次学情调查数学试题（理科）第Ⅰ卷（共50分）【题文】一、选择题：(本题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)【题文】1．设集合{}1,2,3A =，{}4,5B =，{},,C x x b a a A b B ==-∈∈，则C 中元素的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ． 6【知识点】集合及其运算A1【答案解析】A={1，2，3}，B={4，5}，∵a ∈A ，b ∈B ，∴a=1，或a=2或a=3，b=4或b=5，则x=b-a=3，2，1，4， 即B={3，2，1，4}．故选B ．【思路点拨】根据集合C 的元素关系确定集合C 即可． 【题文】2．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧<=⎨>⎩则1[()]e f f =( )A ．1eB ．e -C ．eD ．1e -【知识点】指数函数对数函数B6 B7 【答案解析】A 因为1e >0,则f(1e )=-1<0,所以f(-1)= 1e -=1e故选A 【思路点拨】先确定x 的范围，是否符合函数关系再去求。
【题文】3．下列命题中，真命题是( ) A ．存在,e 0x x ∈≤R B ．1,1a b >>是1ab >的充分条件 C ．任意2,2x x x ∈>RD ．0a b +=的充要条件是1ab=- 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【答案解析】B 对于A ，∵e x 0＞0恒成立，∴不存在x 0∈R ，使得e x 0≤0，即A 错误；对于C ，∃x=2，使得22=22，不满足2x ＞x 2，∴C 错误；对于B ，∵a ＞1＞0，b ＞1＞0， ∴ab ＞1，即a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件，故B 正确；对于D ，令a=b=0，不能推出ba=-1， 即充分性不成立，故D 错误．综上所述，上述四个命题中是真命题的只有B ．故选B ．【思路点拨】对于A ，e x 0＞0恒成立，故可判断该选项的正误；对于B ，利用充分条件的概念可作出正误的判断；对于B ，利用充分条件的概念可作出正误的判断；对于C ，∃x=2，不满足2x ＞x 2，从而可知其正误；对于D ，可令a=b=0，作出其正误的判断．【题文】4. 定义运算a b ad bc cd=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是 A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ． (,2]-∞-【知识点】选修4-2 矩阵N2【答案解析】D 由题意可得函数()123x f x xx -=-+=（x-1）（x+3）-2（-x ）=x 2+4x-3的对称轴为x=-2，且函数f （x ） 在（-∞，m ）上单调递减，故有m≤-2，故答案为D【思路点拨】由题意求函数的解析式，再根据二次函数的对称轴与区间端点m 的大小关系求得m 的范围． 【题文】5．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ）A. 0>bB. 1<bC.10<<bD. 21<b【知识点】导数的应用B12【答案解析】C 由题意得f′（x ）=3x 2-3b ，令f′（x ）=0，则x=±b又∵函数f （x ）=x 3-3bx+b 在区间（0，1）内有极小值，∴0＜b ＜1，∴b ∈（0，1），故答案为C ．【思路点拨】首先求出函数的导数，然后令导数为零，求出函数的极值，最后确定b 的范围． 【题文】6.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g += ( )A ．－3B ．－1C ． 1D ．3 【知识点】函数的奇偶性与周期性B4【答案解析】C 由f （x ）-g （x ）=x 3+x 2+1，将所有x 替换成-x ，得f （-x ）-g （-x ）=-x 3+x 2+1，∵f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，∴f （x ）=f （-x ），g （-x ）=-g （x ）， 即f （x ）+g （x ）=-x 3+x 2+1，再令x=1，得f （1）+g （1）=1．故答案为C ．【思路点拨】将原代数式中的x 替换成-x ，再结合着f （x ）和g （x ）的奇偶性可得f （x ）+g （x ），再令x=1即可．【题文】7.已知命题[]2:1,2,0,p x x a ∀∈-≥命题:,q x R ∃∈使2220x ax a ++-=，若命题“p 且q ”为真，则实数a 的取值范围是 ( )A ．}{|211a a a -<<>或 B ．}{|1a a ≥C ．}{|21a a -≤≤D ．}{|21a a a ≤-=或【知识点】命题及其关系A2【答案解析】D 命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a≥0”，a≤1；命题q ：“∃x ∈R”，使“x 2+2ax+2-a=0”，所以△=4a 2-4（2-a ）≥0，所以a≥1或a≤-2； 命题P 且q 为真命题，两个都是真命题，11a 2a a ≤⎧⎨≥≤-⎩或当两个命题都是真命题时，解得{a|a≤-2或a=1}．所以所求a 的范围是{a|a≤-2且a=1}．故选D ．【思路点拨】求出命题p 与q 成立时，a 的范围，然后推出命题P 且q 是假命题的条件，推出结果．【题文】8. 已若当x ∈R 时，函数0()(||>=a a x f x 且1≠a ）满足)(x f ≤1，则函数)1(log +=x y a 的图像大致为( )【知识点】对数与对数函数B7【答案解析】C ∵函数f （x ）=a |x|（a ＞0且a≠1）满足f （x ）≤1，∴由|x|≥0，可得a |x|≤a 0=1，∴0＜a ＜1．故函数y=log a （x+1）在定义域（-1，+∞）上是减函数，且函数图象经过点（0，0）， 结合所给的选项，只有C 满足条件，故选C ．【思路点拨】由条件可得 0＜a ＜1，可得函数y=log a （x+1）在（-1，+∞）上是减函数，且函数图象经过点（0，0），结合所给的选项，得出结论． 【题文】9．设函数x x x x f sin )(2+=，对任意),(,21ππ-∈x x ，若)()(21x f x f >，则下列式子成立的是( )A ．21x x >B ．2221x x > C ．||21x x > D ．||||21x x <【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性B3 B4【答案解析】B ∵f （-x ）=（-x ）2-xsin （-x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，∴f （-x ）=f （|x|）；又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0， ∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．【思路点拨】由于f （-x ）=f （x ），故函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，则f （x 1）＞f （x 2）⇔f （|x 1|）＞f （|x 2|），f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，当x ＞0时，f′（x ）＞0，从而可得答案． 【题文】10. []x 表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知[]()()f x x x x R =-∈，4()log (1)g x x =-，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【知识点】函数与方程B9 【答案解析】A 当0＜x ＜1时，[x]=0，则f （x ）=x-[x]=x ，当1≤x ＜2时，[x]=1，则f （x ）=x-[x]=x-1， 当2≤x ＜3时，[x]=2，则f （x ）=x-[x]=x-2， 当3≤x ＜4时，[x]=3，则f （x ）=x-[x]=x-3， 当4≤x ＜5时，[x]=4，则f （x ）=x-[x]=x-4， 当5≤x ＜6时，[x]=5，则f （x ）=x-[x]=x-5， 此时f （x ）∈[0，1），而g （x ）log 4（x-1）≥1， 即当n≤x ＜n+1，n≥6时，[x]=n ，则f （x ）=x-[x]=x-n ∈[0，1），而g （x ）log 4（x-1）≥1，由h （x ）=f （x ）-g （x ）=0得f （x ）=g （x ）， 分别作出函数f （x ）和g （x ）的图象如图：则两个函数图象有2个交点，故函数零点的个数为2个，故选A【思路点拨】由f （x+2）=f （x ），得到函数的周期是2，作出函数f （x ）和g （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．第Ⅱ卷 （共100分）【题文】二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应的横线上）.【题文】11．已知正实数11,,25,2aba b m m a b ==+=满足且 ,则m 的值为 【知识点】对数与对数函数B7【答案解析】10 ∵正实数a ，b ，m ，满足2a =5b =m ，∴alg2=blg5=lgm ＞0，∴1a = lg 2lg m ，1b = lg 5lg m ．∴2= 11a b +=lg 2lg m +lg 5lg m =l lg m， ∴lgm=12，∴m=10．故答案为10． 【思路点拨】正实数a ，b ，m ，满足2a =5b =m ，可得alg2=blg5=lgm ＞0，即可得出1a ，1b．【题文】12．曲线2y x =，y x =所围成的封闭图形的面积为 .【知识点】定积分与微积分基本定理B13 【答案解析】由曲线y=x 和曲线y=x 2可得交点坐标为（0，0），（1，1），则曲线y=x 和曲线y=x2围成的封闭图形的面积为S=10⎰（x -x 2）dx=（3223x -13x 3）10=13．故答案为13． 【思路点拨】先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可．【题文】13. 函数()(1)xf x x e =-⋅的单调递减区间是 . 【知识点】函数的单调性与最值B3 【答案解析】（0，+∞） f′（x ）=[（1-x ）•e x ]′=-e x +（1-x ）•e x =-xe x ，令f′（x ）＜0得x ＞0，∴函数f （x ）的单调递减区间为（0，+∞）．故答案为（0，+∞）．【思路点拨】求导，令导数小于0，得x 的取值区间，即为f （x ）的单调减区间．【题文】14.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .【知识点】函数的奇偶性与周期性B4【答案解析】-1 ∵f （x ）的图象关于直线x=1对称，∴f （x ）=f （2-x ），又f （x ）是（-∞，+∞）上的奇函数，∴f （x ）=-f （x-2）， ∴f （x+4）=-f （x+2）=-[-f （x ）]=f （x ），即4为f （x ）的周期，∴f （2013）=f （4×503+1）=f （1），f （2014）=f （4×503+2）=f （2）， 由x ∈[-1，0]时，f （x ）=-x ，得f （1）=-f （-1）=-1，由f （x ）=f （2-x ），得f （2）=f （0）=0，∴f （2013）+f （2014）=-1+0=-1，故答案为-1．【思路点拨】由f （x ）的图象关于直线x=1对称，得f （x ）=f （2-x ），又f （x ）是（-∞，+∞）上的奇函数，则f （x ）=-f （x-2），由此可推得函数的周期为4，借助周期性及已知表达式可求得答案． 【题文】15.给出下列命题：①若)(x f y =是奇函数，则|)(|x f y =的图像关于y 轴对称；②若函数)(x f 对任意x R ∈满足1)4()(=+⋅x f x f ，则8是函数)(x f 的一个周期；③若03log 3log <<n m ，则10<<<n m ；④若||)(a x e x f -=在),1[+∞上是增函数，则1a ≤.其中正确命题的序号是 .【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性B3 B4 【答案解析】①②④①若y=f （x ）是奇函数，则f （-x ）=-f （x ），∴|f （-x ）|=|-f （x ）|=|f （x ）|，即|f （x ）|为偶函数，∴图象关于y 轴对称；正确．②若函数f （x ）对任意x ∈R 满足f （x ）•f （x+4）=1，则f （x ）≠0，∴f （x ）•f （x+4）=f （x+4）•f （x+8）=1，即f （x+8）=f （x ），则8是函数f （x ）的一个周期；正确． ③若log m 3＜log n 3＜0，则3311log log m n<＜0，即log 3n ＜log 3m ＜0，即0＜n ＜m ＜1，∴③错误． ④设t=|x-a|，则函数y=e t 单调递增，t=|x-a|在[a ，+∞）上也单调递增，∴若f （x ）=e |x-a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．正确．∴正确的是①②④．故答案为①②④．【思路点拨】①根据函数奇偶性的性质进行判断．②根据函数周期性的定义进行推导．③根据对数的运算法则进行计算．④根据复合函数的单调性进行判断．【题文】三、解答题：(本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)【题文】16．（本小题满分12分） 已知全集U=R ，集合[]231,0,22A y y x x x ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭，{}1B x y x ==-。
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}2324x A x -=> {}5B x x =≤，则A B =（ ）．A ．752x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．552x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．52x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．{}5x x ≤2．当a<0时，则关于x 的不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x ，则1212ab x x x x =++取得最值的充分条件是（ ）A ．有最大值 1b ≤-B ．有最小值b ≥-C ．有最大值 5b ≤-D ．有最小值b ≤3．已知扇形的半径为2 圆心角为45，则扇形的弧长是（ ） A ．45B ．π4C ．2π D ．904．在极坐标中点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的距离为（ ）A ．3πBC ．2D5．设0.33a = 30.3b = 0.3log 3c =，则a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．设2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++ 若78a a =，则n =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知直线y =双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于不同的两点A 和B F 为双曲线C 的左焦点且满足AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2 C1 D8．已知函数||||12e sin 432e 2x x x f x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．404 B ．4044 C ．2022D ．2024二、多选题9．已知复数0z 、z 其中02i 3z =-，则下列结论正确的是（ ） A ．0z 的虚部为2iB ．0z 的共轭复数02i 3z =--C ．0z 是关于x 的方程26130x x ++=的一个根D ．若03z z -=，则z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 10．已知函数31()423f x x x =-+ 下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 的极大值为223 极小值为103- B ．当[]3,4x ∈时，则函数()f x 的最大值为223 最小值为103- C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+11．已知线段BC 的长度为4 线段AB 的长度为m 点D ,G 满足AD DC = 0DG AC ⋅= 且G 点在直线AB 上 若以BC 所在直线为x 轴 BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则（ ） A ．当4m =时，则点G 的轨迹为圆B ．当68m ≤≤时，则点G 的轨迹为椭圆 且椭圆的离心率取值范围为12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．当2m =时，则点G 的轨迹为双曲线 且该双曲线的渐近线方程为y =D ．当5m =时，则BCG 面积的最大值为312．我国有着丰富悠久的“印章文化” 古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成 本是官员或私人签署文件时代表身份的信物 后因其独特的文化内涵 也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件 除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2 已知正四棱柱和正四棱锥的高相等 且底面边长均为2 若该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则（ ）A ．正四棱柱和正四棱锥的高均为12B ．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为12+C ．球O 的表面积为9πD ．正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为α、π2βα⎛⎫< ⎪⎝⎭，则αβ<三、填空题 13．若tan 2α=，则2sin cos cos sin cos ααααα++-=__________.14．设{}n a 是等差数列 且13a = 2414a a += 若37m a =，则m =___________.15．一批电池(一节)用于无线麦克风时，则其寿命服从均值为34.3小时，则标准差为4.3小时的正态分布 随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30小时的概率为______.(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+= ()220.9545P X μσμσ-<≤+=)16．已知函数()()e 1xf x x =+ ()()1lng x x x =+ 若()()()121f x g x m m ==>，则112ln x x x m+的最小值为______．四、解答题17．如图 在ABC 中2BC = AC =π4A = 点M ､N 是边AB 上的两点 π6MCN ∠=.(1)求ABC 的面积；(2)当BN =求MN 的长.18．已知正项等比数列{}n a 前n 项和为12,n S a = 且324,2,a S a 成等差数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log n n b a = 其前n 项和为n T 求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H ．19．盲盒 是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子 具有随机性．因其独有的新鲜性 刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知M 系列盲盒共有12个款式 为调查M 系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱 向00前、00后人群各随机发放了50份问卷 并全部收回．经统计 有45%的人未购买该系列育盒 在这些未购买者当中00后占23．(1)请根据以上信息填表 并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？(2)一批盲盒中每个盲盒随机装有一个款式 甲同学已经买到3个不同款 乙、丙同学分别已经买到m 个不同款 已知三个同学各自新购买一个盲盒 且相互之间无影响 他们同时买到各自的不同款的概率为13．①求m ；②设X 表示三个同学中各买到自己不同款的总人数 求X 的分布列和数学期望．20．已知直线,a b 平面,αβ 且a α⊂ b β⊂ //αβ．判断直线,a b 的位置关系 并说明理由． 21．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边 222cos cos 1cos A C B +=+且1b = (1)求B ； (2)若12AB AC ⋅<求11a c +的取值范围.22．已知函数32()1f x x ax bx =+++在点(1,(1))P f 处的切线方程为420x y --=． (1)求函数()f x 的单调区间(2)若函数()()g x f x m =-有三个零点 求实数m 的取值范围．参考答案与解析1．B【分析】解指数不等式求得集合A 根据集合的交集运算可得答案. 【详解】解不等式2324x -> 即232522232,2,x x x ->->∴>∴ 故{}235242x A x x x -⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭ 故552A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭故选：B 2．C【解析】计算得到124x x a += 2123x x a =计算b ≤根据充分条件的定义得到答案.【详解】不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x 故124x x a += 2123x x a =.1212114433a b x x a a x x a a ⎛⎫=++=+=--+≤-= ⎪-⎝⎭当143a a -=-即a =时等号成立 根据充分条件的定义知C 满足. 故选：C .【点睛】本题考查了充分条件 不等式的解 均值不等式 意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．C【分析】由弧长公式求解即可.【详解】因为圆心角的弧度数为π4 所以扇形的弧长是ππ242⨯=.故选：C 4．C【分析】先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程 再求点到圆心的距离得解.【详解】由题得ππ2cos 1,2sin 33x y =⨯==⨯=所以点的坐标为因为4cos ρθ= 所以24cos ρρθ= 所以2240x y x +-= 即22(2)4x y -+= 所以圆心的坐标为(2,0)2=故选：C. 5．C【分析】根据对数函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为0.30331>= 300.3100.3<=< 0.30.3log 3log 10<= 所以c b a << 故选：C 6．D【分析】根据二项展开式分别求出78,a a 的表达式 解方程即可求得结果.【详解】由题可知 ()77777777C 122C n n n a x x x -=⨯⨯= 所以7772C n a =； 同理可得8882C n a =；由78a a =可得77882C 2C n n = 即78C 2C n n =所以(1)(2)(6)(1)(2)(7)212371238n n n n n n n n --⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 即7218n -⨯= 解得11n =. 故选：D 7．C【分析】由题意设A B 的坐标 代入直线和双曲线的方程可得A B 的坐标 再由AF BF ⊥ 可得数量积0FA FB →→⋅= 可得a c 的关系 进而求出离心率. 【详解】设()()0000,,,,(,0)A x y B x y F c ---则2200221x y a b-=① 因为AF BF ⊥ 所以0FA FB →→⋅=即()()0000,,0x c y x c y +⋅-+-=可得22200c x y -=②因为AB 在直线y 上 所以0y x = 由①②③得42840e e -+=解得24e =+所以1e 故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质 及直线的垂直用数量积为0表示 属于中档题. 8．B【分析】利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】||||||12e sin 4sin 322e 2e 2x x x x x f x ++⎛⎫+==+ ⎪++⎝⎭ ()||||sin 1sin 3222e 2e 2x x x x f x --⎛⎫-+=+=- ⎪++⎝⎭所以1133422f x f x ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以12x -替换3x 得()()1111142222f x fx f x f x ⎛⎫⎛⎫-++-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令122022202320232023f f f S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=则202220211202320232023f f S f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=两式相加得220224,4044S S =⨯=. 故选：B 9．BCD【分析】利用复数的概念可判断A 选项的正误；利用共轭复数的定义可判断B 选项的正误；解方程26130x x ++=可判断C 选项的正误；利用复数的几何意义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项 复数0z 的虚部为2- A 错； 对于B 选项 02i 3z =-- B 对；对于C 选项 解方程26130x x ++= 即()()22342i x +=-=± 可得32i x +=± 解得32i x =-± C 对；对于D 选项 设()i ,z x y x y R =+∈，则()()032i z z x y -=++-所以 03z z -== 即()()22329x y ++-=故z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 D 对. 故选：BCD. 10．ACD【分析】利用导数研究函数()f x 的极值、最值、单调性 利用导数的几何意义可求得曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程 根据计算结果可得答案. 【详解】因为31()423f x x x =-+ 所以2()4f x x =-'由()0f x '> 得<2x -或2x > 由()0f x '< 得22x -<<所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增 在[]22-,上递减 在(2,)+∞上递增 故选项C 正确 所以当2x =-时，则()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233f -=⨯--⨯-+=在2x =时，则()f x 取得极小值3110(2)242233f =⨯-⨯+=- 故选项A 正确当[]3,4x ∈时，则()f x 为单调递增函数 所以当3x =时，则()f x 取得最小值31(3)343213f =⨯-⨯+=-当4x =时，则()f x 取得最大值3122(4)444233f =⨯-⨯+= 故选项B 不正确因为(0)4f '=- 所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=-- 即42y x =-+ 故选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间 考查了导数的几何意义 属于基础题.11．BCD【分析】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC = 利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．【详解】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC =当4m =时，则线段AC 为圆B 的弦，则AC 的中垂线过圆心B 点G 即点B A 错误； 当68m ≤≤时，则如图1 点G 在线段AB 上 连接GC 则GC GB GA GB AB m +=+==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的椭圆 即,22m a c则椭圆的离心率412,23c eamB 正确； 当G 为椭圆短轴顶点时，则BCG 面积的最大 若5m =时，则则2253,2,22ac b a c 最大面积为3bc = D 正确； 当2m =时，则过点C 作圆B 的切线 切点为,M N若点A 在劣弧MN （不包括端点,M N ）上 如图2 点G 在BA 的延长线上 连接GC 则2GB GC GB GA AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的左半支若点A 在优弧MN （不包括端点,M N ）上 如图3 点G 在AB 的延长线上 连接GC 则2GC GB GA GB AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的右半支 则点G 的轨迹为双曲线∴1,2,a c b ===渐近线方程为by x a=±= C 正确； 故选：BCD ．12．BC【分析】根据正四棱柱和正四棱锥的几何的性质结合球的对称性、球的表面积公式、线面角、二面角的定义逐一判断即可.【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为h球O的半径为r根据正四棱柱和球的对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的中心球的直径2r 即为正四棱柱的体对角线 且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离32h r = 根据正四棱柱的体对角线公式得2222224348(22292)r h r r r ⇒=+⇒+==+ 因此1h = 所求球的表面积为294π4π9π4r =⋅= 故选项A 不正确 C 正确； 在直角三角形EFG中EG ==所以正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为：14222421122⨯⨯⨯+⨯⨯=+所以选项B 正确 如图所示：1tan tan 11EGFα1tan tan 12FHE β=∠==显然有tan tan αβαβ>⇒>所以选项D 不正确 故选：BC13．【详解】222221tan 2,sin 2cos ,sin 4cos 1cos 4cos cos 5αααααααα=∴=∴=⇒-=⇒= 2sin cos 116cos 3sin cos 55ααααα++=+=- 14．18【分析】根据等差数列的通项公式 结合代入法进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为d 因为13a =所以由2414333142a a d d d +=⇒+++=⇒=由373(1)23718m a m m =⇒+-⋅=⇒=故答案为：1815．0.84135【分析】由题知()2~34.3,4.3X N 故()()30P X P X μσ≥=≥- 再结合正态分布3σ原则求解即可得答案.【详解】解：由题意知 ()2~34.3,4.3X N所以()()()3034.3 4.3P X P X P X μσ≥=≥-=≥-故()()1110.68270.841352P X μσ≥-=--=. 所以这节电池可持续使用不少于30小时的概率为0.84135.故答案为：0.8413516．e【分析】利用函数同构及函数单调性得到12ln x x = 问题转化为求()ln x h x x =（1x >）的最小值 利用导函数 研究其单调性 求出最小值.【详解】()()()()ln 1ln e 1ln ln x g x x x x f x =+=+=，则 ()()()12ln 1f x f x m m ==> 因为()()111e 11x f x x =+> 故1>0x 又当0x >时，则()()1e 10x f x x '=++>恒成立 即()()e 1x f x x =+单调递增 所以12ln x x =，则112l l n n x x x m m m=+ 令()ln x h x x =（1x >） ()()2ln 1ln x h x x -'= 当()1,e x ∈时，则()0h x '< 当()e,+x ∈∞时，则()0h x '> 所以()h x 在e x =处取得最小值 ()e e e ln e h == 112ln x x x m +的最小值为e .故答案为：e17．【分析】（1）利用正弦定理sin sin BC AC A B = 可求得1π6B = 根据()sin sinC A B =+结合面积公式求解；（2）在BCN △中利用余弦定理求1CN = 在直角CMN 中根据tan MN MCN CN=∠求解．【详解】（1）在ABC 中BC AC >，则A B >由正弦定理得：sin sin BC AC A B = 2sin 4π=，则1sin 2B = 因为(0,π)B ∈，则1π6B =或5π6B =（不合题意 舍去）则()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=ABC 的面积为1sin 2ABC S CB CA C =⋅⋅⋅=△（2）在BCN △中2BC = BN =π6B =由余弦定理可得1CN == 则有222BC BN CN =+ 所以CN AB ⊥在直角CMN 中1CN = π6MCN ∠=πtan 6MN CN ==MN =18．(1)2n n a =； (2)21n n +.【分析】（1）设{}n a 的公比为q 列方程求得q 后可得通项公式；（2）由题可得n b n T 然后利用裂项相消法即得．【详解】（1）设{}n a 的公比为q (0q >)因为12a = 且324,2,a S a 成等差数列所以()3421244a a S a a +==+所以23224(22)q q q +=+ 即()214(1)q q q +=+ 又0q > 所以2q所以2n n a =；（2）由题可知2log n n b a n ==所以n T ()1122n n n +=+++=()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n 所以11111122121223111n n H n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 19．(1)有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关(2)① 4；②见解析【分析】（1）列出列联表 计算出2K 然后判断.（2）①利用概率的乘法公式计算；②分析X 的取值后 由概率的加法公式和乘法公式计算 得到分布列 然后计算期望.【详解】（1）由题意可得则()22100353015201009.091 6.6355050455511K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关. （2）①由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为9121211212123m m 解得20m =或4 因为012m <≤ 所以4m =.②由题X 的所有可能取值为0 1 2 33441012121236P X； 94438471212121212121236P X； 9843884221212121212129P X ； ()133P X == 其分布列为所以数学期望()174125012336369312E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【分析】利用反证法 根据两条直线交点的个数 可判断其位置关系；【详解】直线,a b 的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由//αβ 直线,a b 分别在平面α β内可知直线,a b 没有公共点．因为若,a b 有公共点 那么这个点也是平面α β的公共点这与是平面α β平行矛盾．因此直线,a b 不相交 它们是平行直线或异面直线．21．(1)π2(2)()+∞【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由12AB AC ⋅<推得0c << 再由221a c +=设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭ 将11a c +转化为sin cossin cos θθθθ+ 再引入(sin cos ,t t θθ=+∈ 得(2112,1t t a c t +=∈- 最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b += 所以ABC 为直角三角形所以π2B =（2）221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< 所以0c < 而221a c += 所以设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=令(πsin cos ,4t t θθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭又因为22(sin cos )12sin cos t θθθθ=+=+ 所以21sin cos 2t θθ-=所以(2112,1t t a c t +=∈-令(222,11t y t t t t ==∈-- 因为1t t -在(t ∈上单调递增 所以21y t t =-在(t ∈上单调递减所以21y >=所以11a c +的取值范围为()+∞. 22．(1)单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2)22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意 列出方程组求得()321f x x x x =+-+ 得到()2321f x x x '=+- 进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到()321g x x x x m =+-+- 结合条件列出不等式组 即得.（1）由题可得2()32f x x ax b '=++由题意得(1)22(1)324f a b f a b =++=⎧⎨=++='⎩ 解得1,1a b ==-所以322()1,()321f x x x x f x x x =+-+=+-'由()0f x '>得1x <-或13x > 由()0f x '<得113x -<< 所以()f x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； （2）因为322()()1,()()321g x f x m x x x m g x f x x x =-=+-+='-=+-'由（1）可知 ()g x 在=1x -处取得极大值 在13x =处取得极小值()g x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 依题意 要使()g x 有三个零点，则(1)0103g g ->⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩ 即()1201220327g m g m ⎧-=->⎪⎨⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22227m << 经检验 (2)10,(2)110g m g m -=-<=+> 根据零点存在定理 可以确定函数有三个零点所以m 的取值范围为22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
2015届山东省枣庄市枣庄三中新校高三1月月考数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题．每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设全集U I =，}12|{)},1ln(|{)2(<=-==-x x x N x y x M ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤2．圆5)2(22=++y x 关于直线10x y -+=对称的圆的方程为 A ．22(2)5x y -+= B ．5)2(22=-+y xC ．22(1)(1)5x y -+-=D ．22(1)(1)5x y +++=3．“22ab >”是 “22log log a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数y =ln （x +1）与xy 1=的图像交点的横坐标所在区间为 A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,3）D ．（3,4）5．执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为815,则判断框内应填入的条件是A ．k <3B ．k >3C ．k <4D ．k >46．某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落．下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是7．函数)36sin(2ππ-=x y （0≤x ≤9）的最大值与最小值的和为．A ．32-B ．0C ．－1D ．31--8．如图,半径为R 的圆C 中,已知弦AB 的长为5,则AC AB ⋅=A ．25 B ．225 C ．25R D ．225R9．已知直线a ,b 异面, ,给出以下命题:①一定存在平行于a 的平面α使α⊥b ;②一定存在平行于a 的平面α使b ∥α;③一定存在平行于a 的平面α使α⊂b ;④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点．则其中论断正确的是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④10．已知P （x ,y ）为椭圆C ：1162522=+y x 上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为AB ．3C ．512D ．111．在△ABC 中,若a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,且cos2B +cos B +cos （A －C ）=1,则有．A ．a 、c 、b 成等比数列B ．a 、c 、b 成等差数列C ．a 、b 、c 成等差数列D ．a 、b 、c 成等比数列12．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠,)()(')(')(x g x f x g x f >,且()()x f x a g x =（01a a >≠且）,25)1()1()1()(=-+-+g g f x f ,对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()(n g n f （n=1,2,…,10）,任取正整数k （1≤k ≤10）,则其前k 项和大于1615的概率是． A ．103B ．52C ．21D ．53 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分． 13．一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下(]10,20,2;(]20,30,3;(]30,40,4;(]40,50,5;(]50,60,4;(]60,70,2．则样本在(]10,50上的频率是 ．14．已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f （其中R ∈x ,0>ω,πϕπ<<-）的部分图象如图所示,则函数f （x ）的解析式是 ．15．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 ．16．已知32()69,,f x x x x abc a b c =-+-<<且()()()0f a f b f c ===,现给出如下结论:①0)1()0(>⋅f f ;②0)1()0(<⋅f f ; ③0)3()0(>⋅f f ;④; 0)3()0(<⋅f f ;⑤()f x 的极值为1和3．其中正确命题的序号为 ．三、解答题:本大题共6小题,共74分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a =+=． （I ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式:123232222n n nb b b ba =+++⋅⋅⋅+（n 为正整数） 求数列{}nb 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ,AC ,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N （异于村庄A ）,要求PM ＝PN ＝MN ＝2（单位:千米）．如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．19．（本小题满分12分）把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为a ,第二次掷出的点数为b ．试就方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩（※） 解答下列问题: （Ⅰ）求方程组没有解的概率;（Ⅱ） 求以方程组（※）的解为坐标的点落在第四象限的概率．． 20．（本小题满分12分）已知正△ABC 的边长为a , CD 是AB 边上的高,E 、F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B ,如图所示．（Ⅰ）试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由; （Ⅱ）若棱锥E-DFC 的体积为243,求a 的值; （Ⅲ）在线段AC 上是否存在一点P ,使BP ⊥DF ？如果存在,求出ACAP的值;如果不存在,请说明理由．21．（本小题满分12分）已知焦点在y 轴,顶点在原点的抛物线C 1经过点P （2,2）,以C 1上一点C 2为圆心的圆过定点A （0,1）,记N M 、为圆2C 与x 轴的两个交点．（1）求抛物线1C 的方程;（2）当圆心2C 在抛物线上运动时,试判断MN 是否为一定值？请证明你的结论; （3）当圆心2C 在抛物线上运动时,记m AM =,n AN =,求mnn m +的最大值． 22．（本题满分14分）已知函数()xax b f x e x+=（,,0a b R a ∈>且）． （Ⅰ）若2,1a b ==,求函数()f x 的极值; （Ⅱ）设()(1)()xg x a x e f x =--．① 当1a =时,对任意)(0,x ∈+∞,都有()1g x ≥成立,求b 的最大值;② 设()()g x g x '为的导函数．若存在1x >,使()()0g x g x '+=成立,求ba的取值范围． 2015届山东省枣庄市枣庄三中新校高三1月月考数学（文）试题参考答案1-6 CDBBCC 7-12 ABDADD 13．710 14．)322sin(2)(π+=x x f15．1/2 16 ．②③ 17．（I ） {a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a =+=．∴⎩⎨⎧=+=16556363a a a a ，又公差d>0，故⎩⎨⎧==11563a a ，d=2a n =2n －1----------------------4分 （Ⅱ）n ≥2时,2)32(122=---=n n b nn , 12+=n n b ,又2,12111===b a b ∴⎩⎨⎧≥==+2,21,21n n b n n ------------------8分n ≥2时,S n =（4+8+…+2n+1）－2=62221)21(42-=---=+n n n =1时也符合,故S n =2n +2－6----------------------------12分18．解法一:设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2,所以AM ＝433sin （120°－θ） ．………………2分在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos （60°＋θ）．…………………4分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2（120°－θ）＋4－2×2×433 sin （120°θ） cos（60°＋θ） ………………………………6分＝163sin 2（θ＋60°）－1633sin （θ＋60°） cos （θ＋60°）＋4 ＝83[1－cos （2θ＋120°）]－833 sin （2θ＋120°）＋4 ＝－83[3sin （2θ＋120°）＋cos （2θ＋120°）]＋203＝203－163sin （2θ＋150°）,θ∈（0,120°）． ………………………10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值23． 答:设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分 解法二（构造直角三角形）:设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ．……………2分 在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴MN sin60°＝AM sin θ,AM ＝433sin θ,∴AD ＝433sin θ＋2cos θ,（θ≥π2时,结论也正确）．……………4分AP 2＝AD 2＋PD 2＝（433sin θ＋2cos θ）2＋（2sin θ）2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………6分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin （2θ－π6）,θ∈（0,2π3）．…………………………10分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2,∠P AB ＝30° …………………………12分 解法三:设AM ＝x ,AN ＝y ,∠AMN ＝α． 在△AMN 中,因为MN ＝2,∠MAN ＝60°, 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ,即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4．…………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α,即2sin60°＝ysin α,所以sin α＝34y ,cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4．………………………4分cos ∠AMP ＝cos （α＋60°）＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．…6分在△AMP 中,AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ,即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x （x －2y ）＝4＋2xy ．……………………10分因为x 2＋y 2－xy ＝4,4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ,即xy ≤4． 所以AP 2≤12,即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时,AP 取得最大值23．答:设计AM ＝AN ＝2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………… 12分 解法四（坐标法）:以AB 所在的直线为x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系． 设M （x 1,0）,N （x 2,3x 2）,P （x 0,y 0）．∵MN ＝2, ∴（x 1－x 2）2＋3x 22＝4．…………………………2分 MN 的中点K （x 1＋x 22,32x 2）．∵△MNP 为正三角形,且MN ＝2,∴PK ＝3,PK ⊥MN , ∴PK 2＝（x 0－x 1＋x 22）2＋（y 0－32x 2）2＝3,k MN ·k PK ＝－1,即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1,………………4分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2（x 0－x 1＋x 22）,∴（y 0－32x 2）2＝(x 1－x 2)23x 22（x 0－x 1＋x 22）2 ∴（1＋(x 1－x 2)23x 22）（x 0－x 1＋x 22）2＝3,即43x 22（x 0－x 1＋x 22）2＝3,∴（x 0－x 1＋x 22）2＝94x 22．∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2,∴x 0＝12x 1＋2x 2,∴y 0＝32x 1． …………………6分∴AP 2＝x 20＋y 20＝（2x 2＋12x 1）2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12,……………………10分 即AP ≤23．答:设计AM ＝AN ＝2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．……… 12分 解法五（几何法）:由运动的相对性,可使△PMN 不动,点A 在运动．由于∠MAN ＝60°,∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧（优弧）上,………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知:AP 的最大值为PF ＋R ．……6分 在△AMN 中,由正弦定理知:MN sin60°＝2R ,∴R ＝23,…………8分 ∴FM ＝FN ＝R ＝23,又PM ＝PN ,∴PF 是线段MN 的垂直平分线． 设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3．………10 ∴PF ＝43,∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23． 答:设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小………………12分 19．解:（Ⅰ）由题意知,总的样本空间有36组 ……1分 方法1:若方程没有解,则12a b=,即2b a = ……3分 （方法2:带入消元得(2)32b a y a -=-,因为320a -≠,所以当 2b a =时方程组无解） 所以符合条件的数组为(1,2),(2,4),(3,6), ……4分 所以313612p ==,故方程组没有解的概率为112……5分 （Ⅱ）由方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩得26023202b x b aa yb a -⎧=>⎪⎪-⎨-⎪=<⎪-⎩……6分若2b a >,则有332b a >⎧⎪⎨>⎪⎩ 即2,3,4,5,6,4,5,6a b ==符合条件的数组有(2,5),(2,6)共有2个 ……8分若2b a <,则有332b a <⎧⎪⎨<⎪⎩ 即1,2,1b a ==符合条件的数组有(1,1)共1个 ……10分∴所以概率为1213612p +== , 即点P 落在第四象限且P 的坐标满足方程组（※）的概率为112． ……12分 20．解（1）AB //平面DEF ,在△ABC 中,∵E ,F 分别是AC ,BC 的中点,故EF //AB , 又AB ⊄平面DEF ,∴AB //平面DEF , ……4分（2）∵AD ⊥CD ,BD ⊥CD , 将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B∴AD ⊥BD ,AD ⊥平面BCD ,取CD 中点M ,则EM //AD ,∴EM ⊥平面BCD ,且EM=a /22431634312=⨯⨯=a a V ,a =2．……8分（3）存在满足条件的点P ．做法:因为三角形BDF 为正三角形,过B 做BK ⊥DF ,延长BK 交DC 于K ,过K 做KP //DA ,交AC 于P ．则点P 即为所求．证明:∵AD ⊥平面BCD ,KP //DA ,∴PK ⊥平面BCD ,PK ⊥DF ,又BK ⊥DF ,PK ∩BK=K ,∴DF ⊥平面PKB ,DF ⊥PB．又∠DBK =∠KBC =∠BCK =30°,∴DK=KF=KC /2．故AP :OC =1:2,AP :AC =1:3 ……12分21．（1）由已知,设抛物线方程为x 2=2py ,22=2p ×2,解得p =1． 所求抛物线C 1的方程为x 2=2y ．-------3分（2）法1:设圆心C 2（a ,a 2/2）,则圆C 2的半径r =222)12(-+a a圆C 2的方程为222222)12()2()(-+=-+-a a a y a x ． 令y =0,得x 2－2ax+a 2－1=0,得x 1=a －1,x 2=a +1．|MN |=|x 1－x 2|=2（定值）．------7分法2:设圆心C 2（a ,b ）,因为圆过A （0,1）,所以半径r=22)1(-+b a , ,因为C 2在抛物线上,a 2=2b,且圆被x 轴截得的弦长|MN|=222b r -=2222)1(b b a --+=22122=+-b a （定值）---7分 （3）由（2）知,不妨设M （a-1,0）,N （a+1,0）,2202;0,m n m n m n n m mn m n m n a a n m n m ======++====+=≠+=≤时时,m na n m=+故当且仅当取得最大值----------------------12分 22．解: （Ⅰ）当a ＝2,b ＝1时,f （x ）＝（2＋1x ）e x ,定义域为（－∞,0）∪（0,＋∞）．所以f ′（x ）＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x．…………………2分令f ′（x ）＝0,得x 1＝－1,x 2＝12,列表由表知f （x ）的极大值是f （－1）＝e －1,f （x ）的极小值是f （12）＝4e ．………4分（Ⅱ）① 因为g （x ）＝（ax －a ）e x －f （x ）＝（ax －bx －2a ）e x ,当a ＝1时,g （x ）＝（x －bx －2）e x ．因为g （x ）≥1在x ∈（0,＋∞）上恒成立,所以b ≤x 2－2x －xe x 在x ∈（0,＋∞）上恒成立． ………………7分记h （x ）＝x 2－2x －xe x （x ＞0）,则h ′（x ）＝(x －1)(2e x ＋1)e x．当0＜x ＜1时,h ′（x ）＜0,h （x ）在（0,1）上是减函数;当x ＞1时,h ′（x ）＞0,h （x ）在（1,＋∞）上是增函数; 所以h （x ）min ＝h （1）＝－1－e －1;所以b 的最大值为－1－e －1． …………9分解法二:因为g （x ）＝（ax －a ）e x －f （x ）＝（ax －bx －2a ）e x ,当a ＝1时,g （x ）＝（x －bx －2）e x ．因为g （x ）≥1在x ∈（0,＋∞）上恒成立，所以g （2）＝－b2e 2＞0,因此b ＜0．………………5分g ′（x ）＝（1＋b x 2）e x ＋（x －b x －2）e x＝(x －1)(x 2－b )e x x 2．因为b ＜0,所以:当0＜x ＜1时,g ′（x ）＜0,g （x ）在（0,1）上是减函数； 当x ＞1时,g ′（x ）＞0,g （x ）在（1,＋∞）上是增函数． 所以g （x ）min ＝g （1）＝（－1－b ）e－1………………………………7分因为g （x ）≥1在x ∈（0,＋∞）上恒成立， 所以（－1－b ）e －1≥1,解得b ≤－1－e －1因此b 的最大值为－1－e －1．…………………9分②解法一:因为g （x ）＝（ax －b x －2a ）e x ,所以g ′（x ）＝（b x 2＋ax －bx －a ）e x ．由g （x ）＋g ′（x ）＝0,得（ax －b x －2a ）e x ＋（b x 2＋ax －bx －a ）e x ＝0,整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0．存在x ＞1,使g （x ）＋g ′（x ）＝0成立．等价于存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． ……………………11分因为a ＞0,所以b a ＝2x 3－3x22x －1．设u （x ）＝2x 3－3x22x －1（x ＞1）,则u ′（x ）＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1,u ′（x ）＞0恒成立,所以u （x ）在（1,＋∞）是增函数,所以u （x ）＞u （1）＝－1,所以b a ＞－1,即ba的取值范围为（－1,＋∞）．…………………14分解法二:因为g （x ）＝（ax －b x －2a ）e x ,所以g ′（x ）＝（b x 2＋ax －bx－a ）e x ．由g （x ）＋g ′（x ）＝0,得（ax －b x －2a ）e x ＋（b x 2＋ax －bx －a ）e x ＝0,整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0．存在x ＞1,使g （x ）＋g ′（x ）＝0成立．等价于存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立．……11分 设u （x ）＝2ax 3－3ax 2－2bx ＋b （x ≥1）u ′（x ）＝6ax 2－6ax －2b ＝6ax （x －1）－2b ≥-2b 当b ≤0时,u ′（x ） ≥0 此时u （x ）在[1,＋∞）上单调递增,因此u （x ）≥u （1）＝－a －b 因为存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立所以只要－a －b ＜0即可,此时－1＜ba ≤0 ………………………………12分当b ＞0时,令x 0＝3a ＋9a 2＋16ab 4a ＞3a ＋9a 24a ＝32＞1,得u （x 0）＝b ＞0,又u （1）＝－a －b ＜0于是u （x ）＝0,在（1,x 0）上必有零点即存在x ＞1,2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立,此时ba ＞0…………………………13分综上有ba 的取值范围为（－1,+∞）------14分。
2015年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数x2﹣1+（x+1）i是纯虚数（i是虚数单位，x∈R），则x＝（）A．1B．﹣1C．±1D．02．（5分）若点P（3，﹣1）是圆（x﹣2）2+y2＝25的弦AB的中点，则直线AB 的方程为（）A．x+y﹣2＝0B．2x﹣y﹣7＝0C．x﹣y﹣4＝0D．2x+y﹣5＝0 3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x＞0B．∃a∈（0，1），log a＞0C．∀x∈（0，1），x＜1D．∃α∈（0，），sinα+cosα＝4．（5分）已知双曲线﹣＝1的离心率是，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x或y＝±x D．y＝±x或y＝±x5．（5分）用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）”时，由n＝k（k≥2）不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k﹣1C．2k D．2k+16．（5分）如图，＝，＝，且BC⊥OA，C为垂足，设＝λ，则λ的值为（）A．B．C．D．7．（5分）甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定B．＜，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，1），则函数y＝sin（2x+α）在[O，π]上的单调递减区间为（）A．[0，]与[]B．[，]C．[0，]与[，]D．[]9．（5分）某个n（n≤5）面体的三视图如图（其中三个正方形的边长均为1）所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）对于任意实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，则不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0，成立的充分不必要条件是（）A．x∈（，）B．x∈（，8）C．x∈[2，8）D．x∈[2，7]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知随机变量X﹣B（4，p），若D（X）＝1，则p＝．12．（5分）若程序框图如图所示，则程序运行后输出k的值是．13．（5分）有4本不同的书，其中语文书1本，数学书2本，物理书1本，若将书随机第并排摆成一排，则同一科目的书不相邻的摆法有种．（用数字作答）14．（5分）已知偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x．若在区间[﹣1，3]上，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有3个零点，则实数k的取值范围是．15．（5分）若曲线C1：y＝x2（a＞0）与曲线C2：y＝e x存在公共切线，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos A＝，cos B ＝．（1）求角C：（2）设c＝，求△ABC的面积．17．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ABC＝90°，SA＝AB＝AD＝BC＝1，E为SD的中点．（1）若F为线段BC上一点，且BF＝BC，求证：EF∥平面SAB；（2）在线段BC上是否存在一点G，使得直线EG与平面SBC所成角的正弦值为？若存在，求出BG的长度，若不存在，请说明理由．18．（12分）某学生参加3门课程的考试，假设该学生第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二门、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相可独立，记X为该生取得优秀成绩的课程数，已知p（X＝0）＝P（X＝3）＝．（1）求p、q的值；（2）求X的数学期望E（X）．19．（12分）已知数列{a n}中，若m项依次构成首项为1，公差为﹣2的等差数列，第m+1项至第2m项依次构成首项为1，公比为的等比数列．其中m≥3，m∈N*．（1）当1≤n≤2m时，求a n；（2）若对任意的n∈N*，都有a n+2m＝a n，设数列{a n}的前n项和为S n，求证：S4m+3≤﹣．20．（13分）已知函数f（x）＝e x，这里e为自然对数的底数．（1）求函数y＝f（x）﹣x的单调区间；（2）当x＞0时，证明：f（x）﹣x+ln＞2；（3）若当x≤0时，f（﹣x）﹣1+x﹣x2≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，D（1，）是椭圆C上一点．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B分别是椭圆C的左、右顶点，P，Q是椭圆C上异于A，B的两个动点，直线AP，AQ的斜率之积为﹣．①设△APQ与△BPQ的面积分别为S1，S2，请问：是否存在常数λ（λ∈R）．得S1＝λS2恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；②求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．2015年山东省枣庄市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数x2﹣1+（x+1）i是纯虚数（i是虚数单位，x∈R），则x＝（）A．1B．﹣1C．±1D．0【解答】解：复数x2﹣1+（x+1）i是纯虚数，则x2﹣1＝0，x+1≠0，解得x＝1，故选：A．2．（5分）若点P（3，﹣1）是圆（x﹣2）2+y2＝25的弦AB的中点，则直线AB 的方程为（）A．x+y﹣2＝0B．2x﹣y﹣7＝0C．x﹣y﹣4＝0D．2x+y﹣5＝0【解答】解：由（x﹣2）2+y2＝25，可得，圆心C（2，0）．∴k PC＝＝﹣1．∵PC⊥AB，∴k AB＝1．∴直线AB的方程为y+1＝x﹣3，即x﹣y﹣4＝0．故选：C．3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x＞0B．∃a∈（0，1），log a＞0C．∀x∈（0，1），x＜1D．∃α∈（0，），sinα+cosα＝【解答】解：对于A，根据指数函数的性质，可知正确；对于B，根据对数函数的单调性，可知正确；对于C，根据指数函数的性质，可知正确；对于D，sinα+cosα＝sin（α+），∵α∈（0，），∴α+∈（，），∴α∈（0，），sinα+cosα，故不正确．故选：D．4．（5分）已知双曲线﹣＝1的离心率是，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x或y＝±x D．y＝±x或y＝±x【解答】解：若双曲线的焦点在x轴上，则n＞0，12﹣n＞0，即有0＜n＜12，e＝＝＝，解得n＝4，双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝x．若双曲线的焦点在y轴上，则n＜0，12﹣n＜0，解得n无解．故选：B．5．（5分）用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）”时，由n＝k（k≥2）不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k﹣1C．2k D．2k+1【解答】解：n＝k时，左边＝1+++…+，当n＝k+1时，左边＝1+++…++++…+．∴左边增加的项数为2k+1﹣1﹣（2k﹣1）＝2k+1﹣2k＝2k．故选：C．6．（5分）如图，＝，＝，且BC⊥OA，C为垂足，设＝λ，则λ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：＝﹣，，∴，∴即＝＝＝0∴λ＝故选：A．7．（5分）甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定B．＜，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定【解答】解：由茎叶图知，甲的得分情况为17，16，28，30，34；乙的得分情况为15，28，26，28，33，因此可知甲的平均分为，乙的平均分为＝86，故可知＜，排除C、D，同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在86左右，甲的数据比较分散，乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，选B．故选：B．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，1），则函数y＝sin（2x+α）在[O，π]上的单调递减区间为（）A．[0，]与[]B．[，]C．[0，]与[，]D．[]【解答】解：由题意可得，sinα＝＝cosα，∴α＝+2kπ，k∈z，函数y＝sin（2x+α）＝sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．再结合x∈[O，π]，可得函数的减区间为[，]，故选：D．9．（5分）某个n（n≤5）面体的三视图如图（其中三个正方形的边长均为1）所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为正方体的内接正四面体，图中红颜色部分．该几何体的体积V＝13＝．故选：B．10．（5分）对于任意实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，则不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0，成立的充分不必要条件是（）A．x∈（，）B．x∈（，8）C．x∈[2，8）D．x∈[2，7]【解答】解：解4x2﹣36x+45＜0得，；∴要使[x]符合上面不等式，则x∈[2，8）；∴x∈[2，7]时能得到不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立，而该不等式成立却得不到x∈[2，7]；∴x∈[2，7]是原不等式成立的充分不必要条件．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知随机变量X﹣B（4，p），若D（X）＝1，则p＝．【解答】解：随机变量X服从二项分布X～B（4，p），D（X）＝1，∴4p（1﹣p）＝1，∴p＝．故答案为：12．（5分）若程序框图如图所示，则程序运行后输出k的值是6．【解答】解：模拟执行程序，可得n＝5，k＝1不满足n为偶数，n＝16，k＝2，不满足n＝1，满足n为偶数，n＝8，k＝3，不满足n＝1，满足n为偶数，n＝4，k＝4，不满足n＝1，满足n为偶数，n＝2，k＝5，不满足n＝1，满足n为偶数，n＝1，k＝6，满足n＝1，退出循环，输出k的值为6．故答案为：6．13．（5分）有4本不同的书，其中语文书1本，数学书2本，物理书1本，若将书随机第并排摆成一排，则同一科目的书不相邻的摆法有12种．（用数字作答）【解答】解：先排语文书和物理书，形成了三个空，插入数学书，故有＝12种，故答案为：1214．（5分）已知偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x．若在区间[﹣1，3]上，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有3个零点，则实数k的取值范围是（，）．【解答】解：根据已知条件知函数f（x）为周期为2的周期函数；且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝|x|；而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）和函数y＝kx+k的交点个数；∴（1）若k＞0，则如图所示：当y＝kx+k经过点（1，1）时，k＝；当经过点（3，1）时，k＝；∴；（2）若k＜0，即函数y＝kx+k在y轴上的截距小于0，显然此时该直线与f（x）的图象不可能有三个交点；即这种情况不存在；（3）若k＝0，得到直线y＝0，显然与f（x）图象只有两个交点；综上得实数k的取值范围是；故答案为：（）．15．（5分）若曲线C1：y＝x2（a＞0）与曲线C2：y＝e x存在公共切线，则实数a的取值范围是[，+∞）．【解答】解：y＝x2（a＞0）的导数y′＝ax，y＝e x的导数为y′＝e x，设与曲线C1相切的切点为（m，n），与曲线C2相切的切点为（s，t），则有公共切线斜率为am＝e s＝，又n＝m2，t＝e s，即有am＝，即为s﹣m＝1﹣，即有m＝2（s﹣1）（s＞1），则有2a＝，令f（s）＝，则f′（s）＝，当s＞2时，f′（s）＞0，f（s）递增，当1＜s＜2时，f′（s）＜0，f（s）递减．即有s＝2处f（s）取得极小值，也为最小值，且为e2，则有2a≥e2，即a≥．故答案为：[，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos A＝，cos B ＝．（1）求角C：（2）设c＝，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵cos A＝，cos B＝．A、B、C为三角形内角．∴sin A＝＝，sin B＝＝，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝×﹣×＝．∴C＝．（2）∵c＝，由（1）可得：sin C＝，∴由正弦定理可得：b＝＝＝，a＝＝＝，∴S＝ab sin C＝××＝．△ABC17．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ABC＝90°，SA＝AB＝AD＝BC＝1，E为SD的中点．（1）若F为线段BC上一点，且BF＝BC，求证：EF∥平面SAB；（2）在线段BC上是否存在一点G，使得直线EG与平面SBC所成角的正弦值为？若存在，求出BG的长度，若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）取AS的中点G，连接GE，GB，由EG是△SAD的中位线，知EG∥AD，EG＝AD＝…（2分）∵∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，即AD∥BF，由题意，BF＝BC＝，∴EG＝BF…（3分）∵EG∥AD，AD∥BF，∴EG∥BF，…（4分）∴四边形GEFB为平行四边形．∴EG∥BF，…（5分）又∵EF⊄平面SABA，BG⊂平面SAB，∴EF∥平面SAB．…（6分）（2）以A为坐标原点，以，，所在方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则E（0，，），S（0，0，1），B（1，0，0），C（1，3，0）…（8分）假设在线段BC上存在满足题意的点G，设G（1，t，0）（0≤t≤3）．则＝（1，t﹣，﹣），＝（1，0，﹣1），＝（1，3，﹣1），设＝（x，y，z）为平面SBC的法向量，则，即．令z＝1，则得＝（1，0，1）…（10分）由题意，|cos＜＞|＝||＝，…（11分）解得t＝2，或t＝﹣1（舍去），所以，在线段BC上是否存在一点G，使得直线EG与平面SBC所成角的正弦值为，这时，BG＝2…（12分）18．（12分）某学生参加3门课程的考试，假设该学生第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二门、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相可独立，记X为该生取得优秀成绩的课程数，已知p（X＝0）＝P（X＝3）＝．（1）求p、q的值；（2）求X的数学期望E（X）．【解答】解：（1）用A表示“该生第一门课程取得优秀成绩”，用B表示“该生第二门课程取得优秀成绩”，用C表示“该生第三门课程取得优秀成绩”，由题意得P（A）＝，P（B）＝p，P（C）＝q，p＞q，P（）＝（1﹣）（1﹣p）（1﹣q）＝，P（ABC）＝pq＝，解得p＝，q＝．（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（X＝2）＝××（1﹣）+×（1﹣）×+（1﹣）××＝，P（X＝3）＝，∴E（X）＝0×+1×+2×+3×＝1.5．19．（12分）已知数列{a n}中，若m项依次构成首项为1，公差为﹣2的等差数列，第m+1项至第2m项依次构成首项为1，公比为的等比数列．其中m≥3，m∈N*．（1）当1≤n≤2m时，求a n；（2）若对任意的n∈N*，都有a n+2m＝a n，设数列{a n}的前n项和为S n，求证：S4m+3≤﹣．【解答】（1）解：由题意可得：当1≤n≤m时，a n＝1﹣2（n﹣1）＝3﹣2n；当m+1≤n≤2m时，＝；（2）证明：∵对任意的n∈N*，都有a n+2m＝a n，∴数列{a n}是周期函数，周期为2m，∴S4m+3＝S4m+a4m+1+a4m+2+a4m+3＝2[（a1+a2+…+a m）+（a m+1+a m+2+…+a2m）]+a1+a2+a3＝+1﹣1﹣3＝4m﹣2m2+1﹣，令f（m）＝4m﹣2m2+1﹣，（m≥3，m∈N*）．f（m）＝﹣2（m﹣1）2﹣+3为单调递减函数，∴S4m+3≤f（3）＝＝﹣．∴S4m+3≤﹣．20．（13分）已知函数f（x）＝e x，这里e为自然对数的底数．（1）求函数y＝f（x）﹣x的单调区间；（2）当x＞0时，证明：f（x）﹣x+ln＞2；（3）若当x≤0时，f（﹣x）﹣1+x﹣x2≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（1）解：由y＝f（x）﹣x＝e x﹣x，得y′＝e x﹣1，由y′＝e x﹣1＞0，得x＞0，由y′＝e x﹣1＜0，得x＜0．∴函数y＝f（x）﹣x的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）；（2）证明：要证，即证e x﹣x+x﹣lnx＞2．令．由（1），当x＞0时，f1（x）＞f1（0）＝1，即e x﹣x＞1．①令f2（x）＝x﹣lnx，则．当0＜x＜1时，；当x＞1时，．∴f2（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数．∴当x＞0时，f2（x）≥f2（1）＝1，即x﹣lnx≥1．②①②两式相加得e x﹣x+x﹣lnx＞2；（3）解：f（﹣x）﹣1+x﹣x2≥0，即为．令，则h′（x）＝﹣e﹣x+1﹣ax．问题转化为：当x≤0时，h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．由（1）知e x≥1+x，当且仅当x＝0时取等号．故e﹣x≥1﹣x，∴﹣e﹣x+1≤x，当且仅当x＝0时取等号．∴h′（x）＝﹣e﹣x+1﹣ax≤x﹣ax＝（1﹣a）x，当且仅当x＝0时取等号．当1﹣a≥0时，则a≤1．从而，当x≤0时，h′（x）≤0，当且仅当a＝1，且x＝0时取等号．∴h（x）在（﹣∞，0]上单调递减，∴h（x）≥h（0）＝0．由（1）知e x≥1+x，∴x≤e x﹣1．∴﹣x≥1﹣e x，当且仅当x＝0时取等号．当a＞1时，h′（x）＝﹣e﹣x+1﹣ax≥﹣e﹣x+1+a（1﹣e x）＝（1﹣e x）（﹣e﹣x+a）．令﹣e﹣x+a＞0，得e﹣x＜a，即x＞﹣lna．从而，当x∈（﹣lna，0）时，h′（x）≥（1﹣e x）（﹣e﹣x+a）＞0．∴h（x）在（﹣lna，0）上单调递增．∴当x∈（﹣lna，0）时，h（x）＜h（0）＝0．可见，a＞1不满足题意．综上，所求实数a的取值范围为（﹣∞，1]．21．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x 的焦点重合，D（1，）是椭圆C上一点．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B分别是椭圆C的左、右顶点，P，Q是椭圆C上异于A，B的两个动点，直线AP，AQ的斜率之积为﹣．①设△APQ与△BPQ的面积分别为S1，S2，请问：是否存在常数λ（λ∈R）．得S1＝λS2恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；②求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．【解答】解：（1）由抛物线y2＝4x的焦点重合，可得焦点F（1，0），∴c＝1，1＝a2﹣b2．∵D（1，）是椭圆C上一点，∴＝1．把a2＝1+b2代入上式可得：+＝1，解得b2＝3．∴a2＝4．∴椭圆C的方程为；（2）①A（﹣2，0），B（2，0）．当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＞0，可得m2＜3+4k2．x1+x2＝，x1x2＝．又＝﹣，y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2，∴4k2x1x2+4km（x1+x2）+4m2+x1x2+2（x1+x2）+4＝0，∴（4k2+1）x1x2+（4km+2）（x1+x2）+4+4m2＝0，∴++4+4m2＝0，化为2k2+km﹣m2＝0，∴2k＝m或k＝﹣m．满足△＞0．点A到直线PQ的距离d1＝，点B到直线PQ的距离d2＝，∴＝＝＝，把k＝﹣m代入可得：＝3．当直线PQ的斜率不存在时，x1＝x2，y2＝﹣y1，∴k AP k AQ＝＝，化为2y1＝±（x1+2）．代入椭圆方程可得，x1＝﹣2舍去．∴＝3．综上可得：存在常数λ＝3．得S1＝3S2恒成立．②设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为，直线AP的方程为：y＝k（x+2），直线BQ的方程为：y＝﹣，消去k可得：＝1，即为直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．。
