高三第一阶段测试数学试题(附答案)_3

河北省2023届高三年级阶段性检测（一）数学一、单项单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}ln 2A x y x ==-，{}2,xB y y x ==∈R ，则A B ⋂=（）．A ．[)0,1B ．[]0,1C ．()0,2D ．(]0,22．已知复数z 满足i i z z +=，复数z 复数z 的共轭复数，则复数z 的虚部为（）．A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-3．已知sin 28m =︒，12ma ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b m =()ln 2c m =，则（）．A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c b a<<D ．c a b<<4．降水量（precipitation[amount]）：从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的深度．降水量以mm 为单位，气象观测中一般取一位小数，现某地10分钟的降雨量为13.1mm ，小王在此地此时间段内用口径为10cm 的圆柱型量筒收集的雨水体积约为（）．（其中π 3.14≈）A ．331.0210mm ⨯B ．331.0310mm⨯C ．531.0210mm⨯D ．531.0310mm⨯5．在ABC △中，满足2133CD CA CB =+ ，1344CE CA BC =-，则（）．A ．2DE EB =B ．12DE AB= C ．43AD EB= D ．89AE DB= 6．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的大致图像如图所示，将函数()f x 的图像向右平移π2后得到函数()g x 的图像，则5π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）．A ．22B ．22-C ．62D ．62-7．现有三名学生与两名教师随机地排一排照相，则每名学生都至少与一名教师相邻的概率为（）．A ．12B ．15C ．25D ．3108．已知小于2的正数m ，n 22454122m m n m n -+=++-，则112m n+的最小值（）．A ．89B ．94C ．3D ．92二、不定项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知()1tan 7αβ-=-，()tan 1αβ+=-，则tan β=（）．A ．13-B ．13C ．3-D ．310．若复数z 在复平面对应的点为Z ，则下列说法正确的有（）．A ．若i z =，则23141iz z z z++++=-+L B ．若12z -=，则Z 在复平面内的轨迹为圆C ．若i z x y =+，满足2i 1z -=，则yx的取值范围为3,3⎡⎤-⎣⎦D ．若3z =，则44z z ++-的取值范围为[]8,1011．已知,0a b >，且1a b +=，则下列说法正确的是（）．A a b +2B ．23a b+的最小值为523+C ．2a b ab+的最小值为64D 222244a b a a +-+512．如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G 为22A D 的中点，则下述选项正确的是（）．A ．平面11B GD ⊥平面21AAC B ．三棱锥11D B CG -的体积为124C ．平面2BCD 与平面11B GD 夹角的正弦值为79D ．若P 为空间一动点，且12B P =，则P 点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为3π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量m ，n 满足3m = ，2n = ，m 与n的夹角为π3，则23m n -=______．14．已知ABC △中，3AB =，2AC =，60A ∠=︒，则ABC △的外接圆面积为______．15．定义在R 上的函数()f x 单调递减，且满足()()110f x f x -++=，对于任意的α，满足()()cos sin 0f a f b αα+≥恒成立，则a b +的最大值为______．16．在一个密闭的箱子中，一共有20个大小、质量、体积等完全相同的20个小球，其中有n 个黄球，其余全为蓝球，从这一个密闭的箱子中一次性任取5个小球，将“恰好含有两个黄球”的概率记为()f n ，则当n =______时，()f n 取得最大值．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设向量πsin 2,26m x ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x = ，函数()f x m n =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期及其图像的对称中心；（2）若ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．18．（12分）已知四棱锥S ABCD -中，290DAB ABC ABD ∠=∠=∠=︒，SAB △为面积为3的等边三角形，22SD =12BC AD =．（Ⅰ）证明：平面SAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为线段AB 的中点，求直线SA 与平面SED 所成角的余弦值．19．（12分）某新型智能家电在网上销售，由于安装和使用等原因，必须有售后服务人员上门安装和现场教学示范操作，所以每个销售地区需配备若干售后服务店．A 地区通过几个月的网上销售，发现每月利润（万元）与该地区的售后服务店个数有相关性．下表中x 表示该地区的售后服务店个数，y 表示在有x 个售后服务店情况下的月利润额．x （个）23456y （万元）1934465769（1）求y 关于x 的线性回归方程．（2）假设x 个售后服务店每月需消耗资金23.80.5t x =+（单位：万元），请结合（1）中的线性回归方程，估算A 地区开设多少个售后服务店时，才能使A 地区每月所得利润平均到每个售后服务店最高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．参考数据：511023iii x y==∑．20．（12分）已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中4a =，3b =．（1）若点D 为AB 的中点且2CD =，求ACB ∠的余弦值；（2）若ACB ∠的角平分线与AB 相交于点E ，当c CE ⨯取得最大值时，求CE 的长．21．（12分）已知边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11112C ED C = ，()101BF BB λλ=<< ，平面AEF 与11B C 相交于点G ，与1DD 相交于点H．（1）当12λ=，求1DHHD ，11B G GC 的值；（2）若169C AFE V -=，求平面ACH 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值．22．（12分）新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎．2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有(),2n n n +∈≥N 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n 次；方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验1n +次．（1）若10n =，且其中两人患有该疾病，①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；（2）已知每个人患该疾病的概率为()01p p <<．（ⅰ）采用方案二，记检验次数为X ，求检验次数X 的期望()E X ；（ⅱ）若5n =，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由．数学试题答案与解析1．C【解析】根据题意可得：(){}{}ln 22A x y x x x ==-=<，{}{}2,0xB y y x y y ==∈=>R ，所以{}02A B x x ⋂=<<，故选C ．2．B【解析】根据题意，()i 11i i 1i i 1i 22z z z z +=⇔+=⇒==++．所以11i 22z =-，故选B ．3．C【解析】102m <<，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，∴12121122mm m ⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ln 20c m =<，∴a b c >>，故选C ．4．D【解析】根据题意，25π 3.14505013.1 1.0310V r h ==⨯⨯⨯≈⨯．故选D ．5．C【解析】根据题意，∵2133CD CA CB =+，∴D 是AB 的靠近A 的三等分点．∵1344CE CA BC =-，∴E 是AB 靠近B 的四等分点．令12AB = ，∴3BE = ，4AD = ，5DE =．故选C ．6．A【解析】依题意，2A =，7πππ41234T =-=，故πT =，故2π2πω==，故()()22f x x ϕ=+，将7π,212⎛⎝代入可知，()7π3π22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得()π2π3k k ϕ=+∈Z ，故()π223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()π2π2223g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5ππ221262g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选A ．7．D【解析】由已知三名学生不相邻○×○○×○○×或是如下排列○○×○×○○×，○×○○×○×○，其概率23232323552310A A A A P A +==，故选D ．8．B2222454122452412m m n m n m m m n n -+=++-⇒-+-=++，()()22212212m m n n -+-=+，设函数()22f x x x =+，分析可得，该函数在0x >上单调递增，所以可得2222m n m n -=⇒+=，()1111111922222224n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+⇒⨯++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当23m n ==时，取得最小值．故选B ．9．AD【解析】依题意，()()()()2tan tan 32tan tan 21tan tan 41tan αβαβββαβαββ+--==-=++--，解得1tan 3β=-或3．故选AD ．10．ABD【解析】对于A ，若i z =，则21z =-，3i z =-，41z =，为循环，所以231421i z z z zz z ++++=+=-+L ，故A 正确；对于B ，设i z x y =+，,x y ∈R ，则有()()222211214z x y x y -=-+⇒-+=，可知z 在复平面内的轨迹为圆，故B 正确；对于C ，因为复数z 满足2i 1z -=，所以点(),x y 的轨迹为以()0,2为圆心，以1为半径的圆，所以yx的取值范围为(),33,-∞⋃+∞，故C 不正确；对于D ，设i z x y =+，,x y ∈R ，若3z =，则有229x y +=，令()()22224444t z z x y x y =++-=++-+2222168167x y x x y x =+++++-258258x x =+-，则)22250256433t xx =+--≤≤．令222564y x =-，可得22725y ≤≤，所以264100t ≤≤，于是得810t ≤≤，故D 正确．11．ACD【解析】对于A ，因为,0a b >，且1a b +=，所以设22122222a b a b a b a b ⎛⎛+≤⇒≤⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1a b +=，23b aa b=时，即62a =，36b =A 正确；对于B ，()232323556b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，即23a b+的最小值为56+，故B 不正确；对于C ，21221222311a b a b b ab b ab b a b a b -++=+=-++=+-，由B 知，23a b+的最小值为56+，所以231a b+-的最小值为64+，故C 正确；对于D ，因为,0a b >，且1a b +=，()22222222442a b a a a b a a +=-+++-()()()()22220021a b a b =-+--+-可视为点(),a b 到点()0,0与点(),a b 到点()2,1的距离之和，5D 正确．12．AD【解析】A 选项中，连接11B D 易得112B D AA ⊥且11B D AC ⊥，11B D ⊥面21AA C ，则A 正确；B 选项中，11112111211111132212D B CG G B CD G A B D B A GD V V V V ----====⨯⨯⨯=，则B 错误；C 选项中，建系可得面2BC D 的法向量()2,2,1m =-，面11B GD 的法向量()2,2,1n = ，7cos 9m n m n θ⋅==⋅，两平面余弦值为79，正弦值为429，则C错误；D选项中，由如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的1 4圆，长度为162π3π4⨯⨯=，则D正确．所以答案为AD．13．6【解析】依题意，222123412949123294362m n m m n n-=-⋅+=⨯-⨯⨯⨯+⨯=，故236m n-=．14．7π3【解析】根据题意，可得2222cos77BC AB AC AB AC A BC=+-⨯⨯=⇒=，该ABC△的外接圆的半径为r，2721217π2πsin33332BCr r S rA===⇒=⇒==．15．2【解析】根据题意，()()110f x f x-++=可得函数()f x关于()1,0呈中心对称，所以可得()()2f x f x=--，()()()()()() cos sin0cos sin cos2sinf a f b f a f b f a f bαααααα+≥⇒≥-⇒≥-，根据函数单调性可得()2222cos sin 222a b a b a b αααϕ+≤⇒++≤⇒+，22222a b a b ++≤16．8【解析】根据题意：()2320520n n C C f n C -=，()f n 取得最大值，也即是2320n n C C -取最大，所以，设()2320n n g n C C -=，则()()2323119201n n n n g n g n C C C C +--+-=-()()()()()()()()119181712019182132121321n n n n n n n n n n +-------=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯()()()22119181617212012n n n n n n n ⎡⎤=⨯---++--+-⎣⎦()()()1191837512n n n n =⨯---当7n ≤时，()()10g n g n +->，当8n ≥，()()10g n g n +-<，所以()8g 最大，因此，当8n =时，()f n 取得最大值．17．（1）因为()2πsin 22sin 6f x m n x x ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭311cos 2sin 2cos 22222x x x -=++⨯31πsin 2cos 21sin 21226x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭即()πsin 216f x x ⎛⎫ ⎝-⎪⎭=+，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．令()π2π6x k k -=∈Z ，解得()ππ212k x k =+∈Z ，所以函数的对称中心为()ππ,1212k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ．（2）因为ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，即设ππ5π2,636t x ⎡⎤=-∈-⎢⎣⎦，根据图像分析可得：3sin 2t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的值域为31,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．18．（Ⅰ）证明：取AB 的中点E ，连接SE 、DE ．∵SAB △3，∴2AB AD ==．在SDE △中，3SE =5DE =22SD =∵222SE DE SD +=，∴SE DE ⊥，∵SAB △是等边三角形，E 为线段AB 中点，∴SE AB ⊥，又∵AB DE E ⋂=，∴SE ⊥平面ABCD ，而SE ⊂平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，(3S ，()2,1,0D ，()0,1,0A ，(0,1,3SA = ，()2,1,0ED = ，(3ES = ，设()1111,,n x y z =为平面SDE 的法向量，则1100n ED n ES ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1112030x y z +=⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，可得()11,2,0n =- ，11125sin cos ,525SA n SA n SA n α⋅-===⨯⋅ ，∴直线SA 与平面SED 所成角的余弦值为255．19．（1）根据题意，可得：2345645x ++++==，1934465769455y ++++==，()()()555111510235445123i i i i i i i i i i i x x y y x y xy x y xy x y xy ===--=--+=-=-⨯⨯=∑∑∑()52110i i x x =-=∑，∴ˆ12.3b=，ˆ4512.34 4.2a =-⨯=-，回归直线方程为ˆ12.3 4.2yx =-．（2）每月的净利润为()22ˆˆ12.3 4.20.5 3.80.512.38z y t x x x x =-=--+=-+-，其平均利润为ˆ812.312.348.32z x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭（万元），当且仅当4x =时，取等号．20．（1）根据题意，延长CD 到F ，使得CD DF =，连接AF BF ，可得四边形AFBC 为平行四边形，所以169163cos cos 2438ACE CBF +-∠=-∠==-⨯⨯．（2）设ACE BCE θ∠=∠=，CE x =，可得2916234cos 22524cos 2AB θθ=+-⨯⨯⨯=-，因此2524cos 2a CE x θ⨯=-又134sin 22ABC ACE BCE S S S θ=+⇒⨯⨯⨯△△△11247sin 4sin 227x x x θθθ=⨯⨯⨯+⨯⨯⇒=2242524cos 2cos 4948cos 7c CE x θθθ⨯=-⨯-223234934948cos 772θθ=⨯-⨯当且仅当26434948cos cos 24θθθ=-=，所以6CE x ==．21．（1）如图所示，延展平面AEF ，过点E 作EH AF ∥，分析可得，点H 为线段1DD 的四等分点，所以13DH HD =．连接AH ，作BI AH ∥，1C J BI ∥，1FG C J ∥，分析可得点F 为1B J 的三等分点，所以点G 为11B C 的三等分点，故112B G GC =．（2）根据题意，161699C AFE F ACE V V --=⇒=，因为边长为2，所以22AC =，5CE =3AE =，222225310cos 102225ACE +-∠=⨯⨯，所以1310253210ACE S =⨯△，16116169399F ACE F ACE ACE F ACE V d S d ---=⇒⨯⨯=⇒=△，以1A 为坐标原点，11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴，可得()0,0,2A ，()2,2,2C ，()1,2,0E ，()2,0,F h ，向量()2,2,0AC = ，()1,2,2AE =- ，()2,0,2AF h =- ，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，所以00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，220220x y x y z +=⎧⎨+-=⎩，令1z =，所以，平面ACE 的一个法向量为()2,2,1n =-，所以6821623393h AF n h n -⋅=⇒=⇒= ，所以点F 在1BB 的三等分点，根据平面AFE 的延展可得点H 为1DD 的三等分点靠近1D ，取AC 的中点O ，则tan DOH ∠即为所求，4223tan 32DH DOH OD ∠==．22．（l ）①根据题意可得：28182121098109845P =⨯⨯+⨯⨯=．②根据题意可得：385104192C P C ==．（2）（ⅰ）根据题意：记检验次数为X ，则X 的取值为l ，1n +，()()11n P X p ==-，()()111nP X n p =+=--，所以()()()()1111n n E X p n p ⎡⎤=-++--⎣⎦．（ⅱ）当5n =时，方案一：检验的次数为5次；方案二：检查的次数期望为()()()551611E X p p ⎡⎤=-+--⎣⎦()()()5556515151E x p p ⎡⎤-=---=--⎣⎦，记()()5151g p p =--，因为011p <-<，所以()g p 单调递增，由（ⅰ）知，当515p =()0g p =，所以当5015p <<时，()0g p <，则()5E X <．当5115p -<<1时，()0g p >，则()5E X >．故当5015p <<-时，选择方案二；当5115p -<<时，选择方案一．当515p =-时，选择两种方案检查次数一样．。

2022--2023学年第一学期第一次阶段测试卷高三数学考试说明：1.本试卷共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,2,3A =-，2=12B x x ≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（）A.{}1- B.{}1,1- C.{}1,1,2- D.{}1,1,2,3-2.已知命题p ：N x ∃∈，e <0x （e 为自然对数的底数），则命题p 的否定是（）A.N x ∀∈，e <0xB.N x ∀∈，e >0xC.N x ∃∈，e 0x ≥ D.N x ∀∈，e 0x ≥3.设0.3log a =，b =，0.10.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b a c<< B.c a b<< C.a c b << D.c b a<<4.下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（）A.xy -=B.13log y x =C.y =D.12y x =-5.已知函数()cos f x x =，()()14g x x f x '=+，则()g x 的图像大致是（）A.B.C.D.6.已知函数()41sin cos 55f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（）A.17B.17C.47D.177.已知函数()=y f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()2f x x x =+，则当[]4,6x ∈时，()=f x （）A.2712x x -+B.2920x x -+-C.2712x x -+- D.2920x x -++8.已知函数()()πsin 03f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω，设甲：函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，乙：ω的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹高三第一次阶段性测试试题〔理科〕数学〔本试题总分值是150分，考试时间是是12分钟．答案一律写在答题卡上〕本卷须知：2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题上对应题目之答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．在在考试完毕之后以后，请将答题卡上交．—、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．〕在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑．，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得到集合，然后再求出．【详解】由题意得，又，∴．应选A．【点睛】此题考察集合的交集运算，解题时根据交集的定义求解即可，属于根底题．，使得〞的否认是〔〕A.，都有B.，都有C.，都有D.，都有【答案】D【解析】【分析】．所以“，使得〞的否认为“，都有〞．应选D．：一是要改换量词，即把全称〔特称〕．，，，那么a，b，c的大小关系是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据指数函数、对数函数的知识得到所在的范围，进而可得的大小关系．【详解】由题意得，∴．应选B．【点睛】比较指数幂和对数的大小时，常用的方法是根据指数函数、对数函数的性质得到各个数的范围，然后通过比较可得大小关系，解题时注意各数与0和1的大小关系．4.的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，假设，那么该三角形一定是〔〕A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理得到三边间的关系后可得三角形的形状．【详解】由及余弦定理得，整理得，∴，∴为等腰三角形．应选A．【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形的形状时，常用的方法有两种，一是把边化成角后进展判断，另一种方法是把角化为边后再进展判断，解题时注意对两种方法的选择．5.，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，结合条件可得所求结果．【详解】由题意得，应选A．【点睛】此题考察诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1〞的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．6.是函数的一个极大值点，那么的一个单调递增区间是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的极大值点得到，进而可得函数的解析式为，结合正弦函数的增区间可得所求结果．【详解】∵是函数的一个极大值点，∴，∴，∴，∴．由，得，令，得，∴函数的一个单调递增区间为，结合各选项可得C符合题意．应选C．【点睛】此题考察函数的性质，解题时把看作一个整体，然后结合正弦函数的相关性质进展求解，但要注意的符号对解题结果的影响，这一点在解题中很容易无视．，有两个不同的零点，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，可得或者，由题意得函数在时有一个零点，所以只需函数在时有一个零点即可，令即可得到结果．【详解】由题意得，当时，函数有一个零点；当时，令，得，要使函数有两个不同的零点，那么只需，解得．应选C．【点睛】解决函数零点存在性问题的常用方法有三种：一是用零点存在性定理进展判断，二是通过解方程得到函数的零点，三是用函数的图象，借助数形结合求解．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．在上单调递减的一个充分不必要条件是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出函数在上单调递减的充要条件，再结合所给的选项进展判断、选择即可．【详解】结合复合函数的单调性，函数在上单调递减的充要条件是，解得．选项A中，是函数在上单调递减的既不充分也不必要条件，所以A不正确；选项B中，是函数在上单调递减的充要条件，所以B不正确；选项C中，是函数在上单调递减的必要不充分条件，所以C不正确；选项D中，是函数在上单调递减的充分不必要条件，所以D正确．应选D．【点睛】解答此题时注意两点：〔1〕根据题意先求出函数在给定区间上的充要条件，求解时容易无视函数的定义域；〔2〕由于求的是函数递减的充分不必要条件，可转化为所选的范围是区间的真子集的问题．考察转化和计算才能，属于根底题．的图象的一个对称中心为，要得到函数的图象，只需将函数的图象〔〕A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据题意求出函数的解析式，然后再结合图象的变换进展求解即可得到答案．【详解】∵函致的图象的一个对称中心为，∴，解得，∴，∴，∴将函数的图象向右平移个单位长度即可得到函数的图象．应选C．【点睛】解答三角函数图象变换的注意点：〔1〕进展图象变换时，变换前后的三角函数名称一样，假设名称不一样，那么先要根据诱导公式统一名称．〔2〕在进展三角函数图象变换时，可以“先平移，后伸缩〞，也可以“先伸缩，后平移〞，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对而言的，即图象变换要看“变量〞发生了多大的变化，而不是“角〞变化多少．y=•sinx的局部图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】设，由得，那么函数的定义域为．∵，∴函数为奇函数，排除D．又，且，故可排除B．，且，故可排除C．选A．在上有且仅有一个极值点，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得到，然后将问题转化为函数在区间上有一个变号零点的问题处理，别离参数后借助数形结合的方法可得结果．【详解】∵，∴．∵函数在区间上有且仅有一个极值点，∴在区间上只有一个变号零点．令，得．令，那么在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴，又．结合函数的图象可得，当时，在区间上只有一个变号零点．∴实数的范围为．应选B．【点睛】此题具有综合性，解答此题时注意以下几点：〔1〕将函数有一个极值点的问题转化为导函数有一个变号零点的问题处理，然后再转化为两个函数图象的公一共点的问题处理；〔2〕解题中要利用数形结合的方法解题，求解时注意所求范围的端点值能否取到．上的函数满足，，那么关于x的不等式的解集为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由构造函数，那么有，从而得到函数在上单调递增．又，所以不等式可化为，根据函数的单调性可得，于是可得所求结果．【详解】令，那么，∵，∴，∴函数在上单调递增．又，∴．结合题意，不等式可转化为，即，∴，解得，原不等式的解集为．应选B．【点睛】对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要根据不等式的形式构造出相应的函数，然后根据所给的不等式得到导函数的符号，进而得到构造的函数的单调性，然后再根据所构造的函数的单调性进展解题，其中根据题意构造符合题意的函数是解题的关键．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共计20分．13.的终边过点，假设，那么__________．【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义得到，再根据得到，于是可得的值．【详解】∵的终边过点，∴．又，∴，∴．故答案为．【点睛】此题考察正切函数的定义和诱导公式，解题的关键是得到关于的方程，属于根底题．14.，那么__________．【答案】【解析】【分析】先根据定积分得到，两边平方后可得所求．【详解】∵，∴，即，∴，∴．故答案为．【点睛】此题考察微积分根本定理和三角函数的根本关系，解题的关键是根据定积分得到，考察转化才能和计算才能．，，那么的值是__________．【答案】【解析】【分析】令，那么可得函数为奇函数，然后根据题意求解可得结果．【详解】设，那么，∴函数为奇函数．∵，∴，∴，∴．故答案为．【点睛】解答此题的关键是构造函数，并利用函数为奇函数进展求解，另外解题中还要注意这个整体在解题中所起的作用．，假设函数在上的最大值与最小值之差为2，那么实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】设，结合导数可得函数的值域为，最大值与最小值之差为2，从而得到函数的值域为，最大值与最小值之差也为2．然后根据题意可得或者，于是可得所求的范围．【详解】设，那么，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∵，，，∴函数的值域为，最大值与最小值之差为2，∴函数的值域为，最大值与最小值之差也为2．∵函数在上的最大值与最小值之差为2，∴或者，解得或者.∴实数的取值范围为．故答案为．【点睛】此题考察用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进展合理的转化．二、解答题：本大题一一共6小题，一共计70分．解容许写出文字说明、证明过程或者盐酸步骤．：函数的定义域为，，使得不等式成立，假设“或者且〞为假，务实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】恒成立，那么有，解得．令，且，，所以函数在上单调递减，所以，即，所以的值域为，，使得成立，那么．那么有，不等式组无解．那么有，解得．综上可得．所以实数的取值范围是．【点睛】解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的根本运算．18.四边形OACB中，a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边长，且满足．〔1〕证明：；〔2〕假设，设，，求四边形OACB面积的最大值．【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】【分析】〔1〕由及正弦定理和三角变换可得，再由正弦定理可得结论成立．〔2〕先证得为等边三角形，根据及三角形的面积公式，得到，然后根据的取值范围可得所求的最大值．【详解】〔1〕证明：∵，由正弦定理得，∴，∴，∴，由正弦定理得：．〔2〕解：∵，，∴，∴为等边三角形．由题意得，∵，∴，∴当，即时，有最大值，且最大值为．【点睛】此题考察用三角函数模型解决问题，该类问题主要有两种情形：一种是用的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立准确的或者者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，表达了中“数学建模〞的本质．解题中的关键是将问题逐步转化成形如的函数的问题求解．图象的一条对称轴为．〔1〕求的最小值；〔2〕当取最小值时，假设，，求的值．【答案】〔1〕1〔2〕【解析】【分析】〔1〕由题意得，又函数图象的一条对称轴为，所以，根据条件可得所求；〔2〕由〔1〕知，可得，根据同角关系可得，最后利用求解可得所求的结果．【详解】〔1〕由题意得．因为函数的一条对称轴为，所以，所以，又，所以的最小值为1．〔2〕由〔1〕知．∴．∵，∴∴．【点睛】〔1〕解答形如的函数的问题时，需要把作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意的符号对结果的影响．〔2〕在解答“给值求值〞型的问题时，要注意角的变换，通过“拆〞、“凑〞等方法将所求角用角表示出来，然后再将所给条件作为整体进展求解．是奇函数．〔1〕务实数m，n的值；〔2〕假设对于任意的，不等式恒成立，务实数a的取值范围．【答案】〔1〕，〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据和，利用取特殊的方法求出，但要注意进展验证；〔2〕由题意得到函数在上为减函数，然后将不等式转化为对任意的，恒成立，最后根据二次方程根的分布求解．【详解】〔1〕∵是R上的奇函数，∴，∴，∴，又，∴，解得，∴．经历证可得函数为奇函数，∴，．〔2〕由〔1〕知，∴在上为减函数．∵,∴，又是奇函数，∴，又为减函数，∴对任意的恒成立．∴对任意的恒成立．令，那么,解得.∴实数的取值范围为．【点睛】〔1〕函数的奇偶性求参数的取值时，一般根据定义得到关于变量的恒等式，然后通过比较系数可得所求参数．也可根据题意利用取特殊值的方法求解，但求出参数的值后必须进展验证．〔2〕解决一元二次不等式的恒成立问题时，可通过二次函数求最值解决，也可通过别离参数后再最值，也可通过构造函数、利用二次方程根的分布求解．解题时注意要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．．〔1〕当时，讨论函数的单调性；〔2〕假设函数有两个极值点，，证明:．【答案】〔1〕时，在单调递增；时，在区间，单调递增；在区间单调递减．〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕求出导函数，然后根据方程的判别式得到导函数的符号，进而得到函数的单调性；〔2〕由题意得到方程有两个根，故可得，且．然后可得，最后利用导数可证得，从而不等式成立．【详解】〔1〕∵，∴．①当，即时，，所以在单调递增；②当，即时，令，得，，且，，当时，；当时，；∴单调递增区间为，；单调递减区间为．综上所述：当时，在单调递增；时，在区间，单调递增；在区间单调递减．〔2〕由〔1〕得．∵函数有两个极值点，，∴方程有两个根，，∴，且，解得．由题意得．令，那么，∴在上单调递减，∴，∴．【点睛】〔1〕求函数的单调区间或者讨论函数的单调性时，假设解析式中含有参数时，解题中一定要弄清参数对导函数在某一区间内的符号是否有影响，假设有影响那么必须进展分类讨论．〔2〕解答第二问的关键在于求出的表达式后将问题转化，通过构造新函数并利用单调性可得结论成立．．〔1〕当时，求函数在点处的切线方程；〔2〕对于任意的，的图象恒在图象的上方，务实数a的取值菹围．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；〔2〕由题意得在恒成立，令，那么需求出函数的最小值即可，但由于的零点不易求出，故通过再次求导的方法逐步求解，进而求得的最小值．【详解】〔1〕当时，，∴，∴，又，∴函数在点处的切线方程为，即．〔2〕由题知当时，恒成立，即当时，恒成立，等价于在恒成立．令，那么，令，那么，∴在上单调递增，且，存在唯一零点，使得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴．由，得，∴，即．设，那么,∴在单调递增．∴，∴，∴,∴．∴．故实数的取值范围为．【点睛】〔1〕对于恒成立问题，求解的根本方法是别离参数后转化为求函数的最值的问题．〔2〕解答第二问的难度较大，由于导函数的符号不易判断，进而需要构造函数再次求导，直到问题得以解决，这是解题中常用的方法．〔3〕对于导函数的零点存在但是不可求的问题，解题时可根据导函数的单调性得到零点所在的范围，在得到函数的单调性后进一步得到函数的最值，在求最值的过程中需要利用导函数的零点进展代换，以到达求出函数最值的目的，如在此题中由得到，进而得到是能求出最值的关键．。

云南省文山市2024学年高三下学期第一次阶段性测试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>2．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，1CC =1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．15605．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A ．12-+ B ．12i C ．12-- D ．12i - 6．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =-- C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+7．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．8．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 9．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 10．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS =，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（ ） A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+11．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ） A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<12．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ） A ．2B ．2C ．3D ． 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届山东临沂市高三下学期第一次阶段检测试题数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2D ．52．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2B ．153C ．163D ．33．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．4．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+5．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞8．复数12i2i+=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 510．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 11．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．13612．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

最新高三（上）第一次段考数学试卷一、单选择题（共8题，每题5分，共40分）1. 已知集合A ={−2, 1}，B ={x|ax =2}，若A ∩B =B ，则实数a 值集合为( ) A.{−1} B.{2} C.{−1, 2} D.{−1, 0, 2}2. 已知z ＝1−3i 1+i，则|z|=( )A.√2B.2C.√5D.33. 设x ∈R ，则“x 2−5x <0”是“|x −1|<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. a →=(2, 1)，a →⋅b →=10，|a →+b →|=5√2，则|b →|=( ) A.√5 B.√10 C.5D.255. 函数f(x)=x 3e x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.6. 中国古代数学成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位．“算经十书”是汉、唐千余年间陆续出现的10部数学著作，包括《周髀算经》、《九章算术》、……、《缀术》等，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书．某中学图书馆全部收藏了这10部著作，其中4部是古汉语本，6部是现代译本，若某学生要从中选择2部作为课外读物，至少有一部是现代译本的概率是（ ） A.1315B.23C.815D.137. 函数f(x)=sin x +2|sin x|，x ∈[0, 2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ） A.(0, 1) B.(0, 3) C.(1, 3) D.(0, 2)8. 已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1=2，n 2a n+12−4(n +1)2a n 2−2(n +1)a n +na n+1=0，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2019=( )A.2019×22020+2B.2019×22020−2C.2018×22020+2D.2018×22020−2二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分）已知f(2x −1)=4x 2，则下列结论正确的是( ) A.f(3)=9 B.f(−3)=4C.f(x)=x 2D.f(x)=(x +1)2下列各式中，值为12的是（ ） A.cos 2π12−sin 2π12B.tan 22.5∘1−tan 222.5∘C.2sin 195∘cos 195∘D.√1+cos π62设随机变量X 服从正态分布N(μ, σ2)，且X 落在区间(−3, −1)内的概率和落在区间(1, 3)内的概率相等．若P(X >2)=p ，则下列结论正确的有（ ） A.μ=0B.σ=2C.P(0<X <2)=12−p D.P(X <−2)=1−p下列说法中正确的是（ ） A.AB →+BA →＝0→B.若|a →|=|b →|且a → // b →，则a →＝b →C.若a →、b →非零向量且|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D.若a → // b →，则有且只有一个实数λ，使得b →=λa →三、填空题（共4题，每题5分，共20分）曲线y =(x +2)e x 在点(0, 2)处的切线方程为________．(1x2−2x)6的展开式中的常数项为________．已知π2<α<π，0<β<π2，tanα=−34，cos(β−α)=513，则sinβ的值为________．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=6，a3+a9=14，数列{b n}满足b n=1S n−n，记{b n}的前n项和为T n，T n的最小值为t，若x+y=t(x, y>0)，则1x +4y最小值为________．四、解答题（共6题，共70分）已知函数f(x)＝cos2x+√3sin(π−x)cos(π+x)−12．求函数f(x)在[0, π]上的单调递减区间．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n−1(n∈N+)．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log4a n+1，求{b n}的前n项和为T n．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(a+c)2=b2+2√3ab sin C．（1）求B的大小；（2）若b=8，a>c，且△ABC的面积为3√3，求a．（银川质检）已知函数f(x)=ax−1−ln x(a∈R)．讨论函数f(x)的定义域内的极值点的个数；若函数f(x)在x=1处取得极值，∀x∈(0, +∞)，f(x)≥bx−2恒成立，求实数b的最大值．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．已知函数f(x)=e x−m⋅ln(x+1)，m∈R．（1）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）若m=4，证明f(x)有且仅有两个不同的零点．（参考数据：e e≈15.15）参考答案与试题解析最新高三（上）第一次段考数学试卷一、单选择题（共8题，每题5分，共40分）1.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】A∩B＝B，可以得到B⊆A，求出集合A的子集，这样就可以求出实数a值集合．【解答】解：A∩B=B⇒B⊆A，A={−2, 1}的子集有⌀，{−2}，{1}，{−2, 1}，当B=⌀时，显然有a=0；当B={−2}时，−2a=2⇒a=−1；当B={1}时，a⋅1=2⇒a=2；当B={−2, 1}，不存在a符合题意，∴ 实数a值集合为{−1, 0, 2}.故选D.2.【答案】C【考点】复数的模【解析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【解答】z＝1−3i1+i =(1−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−2i，则|z|=√5．3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式的解法【解析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果【解答】解：∴ x2−5x<0，∴ 解得0<x<5，∴ |x−1|<1，∴ 解得0<x<2，∴ 0<x<5推不出0<x<2，而0<x<2⇒0<x<5，∴ 0<x<5是0<x<2的必要不充分条件，即x2−5x<0是|x−1|<1的必要不充分条件．故选B.4.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算向量的模【解析】a→=(2, 1)，a→⋅b→=10，|a→+b→|=5√2，|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2=50，代入求解即可．【解答】解：∴ a→=(2, 1)，a→⋅b→=10，|a→+b→|=5√2，∴ |a→+b→|2=(5√2)2，即|a→|=√5，∴ |b→|2=25，即|b→|=5，故选：C5.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换函数的图象【解析】利用特殊点，即可判断；【解答】由x=0不在定义域内，x=−1时函数值为正数，图象在x轴的上方；当x趋向正无穷时，由于指数增长较快，因此函数值趋向于0．6.【答案】A【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=C102=45，至少有一部是现代译本包含的基本事件个数m=C41C61+C62=39，由此能求出至少有一部是现代译本的概率．【解答】某中学图书馆全部收藏了这10部著作，其中4部是古汉语本，6部是现代译本， 若某学生要从中选择2部作为课外读物，基本事件总数n =C 102=45，至少有一部是现代译本包含的基本事件个数m =C 41C 61+C 62=39， ∴ 至少有一部是现代译本的概率是p =m n=3945=1315．7. 【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 函数零点的判定定理【解析】先将解析式中的绝对值去掉，再利用数形结合来求解k 的取值范围． 【解答】解：由题意知：f(x)=sin x +2|sin x|={3sin x,0≤x ≤π−sin x,π<x ≤2π，其图象如右图所示：因为函数f(x)的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点， 所以k ∈(1, 3)，故选C ．8. 【答案】 C【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】将n 2a n+12−4(n +1)2a n2−2(n +1)a n +na n+1＝0因式分解后整理可推出a n+1n+1=2⋅a n n，即数列{a n n }是以a 11＝2为首项，以2为公比的等比数列，从而得a n ＝n ⋅2n，再根据错位相减法即可求得S n ． 【解答】因为n 2a n+12−4(n +1)2a n 2−2(n +1)a n +na n+1＝0，所以[na n+1+2(n +1)a n ][na n −2(n +1)a n ]+[na n+1−2(n +1)a n ]=0， 所以[na n+1+2(n +1)a n +1][na n+1−2(n +1)a n ]=0，因为数列{a n }的各项均为正数，所以na n+1−2(n +1)a n =0，即an+1n+1=2⋅a n n，又因为a 1=2，所以数列{an n}是以a11＝2为首项，以2为公比的等比数列，所以a n n＝2n ，即a n ＝n ⋅2n ，故S n ＝1⋅21+2⋅22+⋯+n ⋅2n ①， 2S n ＝1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1②，①-②得：−S n ＝21+22+⋯+2n −n ⋅2n+1＝2n+1−2−n ⋅2n+1＝(1−n)⋅2n+1−2， 所以S n ＝(n −1)⋅2n+1+2， 所以S 2019＝2018⋅22020+2．二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分） 【答案】 B,D【考点】函数解析式的求解及常用方法 函数的求值【解析】利用配凑法求出函数解析式，进而得解． 【解答】解：令t =2x −1，即x =t+12，∴f(t)=4(t+12)2=(t +1)2，∴f(3)=16，f(−3)=4，f(x)=(x +1)2. 故选BD . 【答案】 B,C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】利用二倍角公式以及三角函数的值，化简求解即可． 【解答】 对于A ，cos 2π12−sin 2π12=cos π6=√32； 对于B ，tan 22.5∘1−tan 222.5∘=12tan 45∘=12；对于C ，2sin 195∘cos 195∘=sin 390∘=sin 30∘=12；对于D ，√1+cos π62=√1+√322=√2+√32．【答案】 A,C【考点】正态分布的密度曲线 【解析】由正态分布曲线的对称性结合已知逐一核对四个选项得答案． 【解答】∴ 正态分布N(μ, σ2)关于x =μ对称，又X 落在区间(−3, −1)内的概率和落在区间(1, 3)内的概率相等， ∴ μ=0，故A 正确；∴ 正态分布N(μ, σ2)关于x =μ对称，∴ P(X >0)=12，则P(0<X <2)=P(X >0)−P(X ≥2)=12−p ，故C 正确；P(X <−2)=P(X >2)=p ，σ不确定，故B ，D 错误． 【答案】 A,C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由相反向量的定义可判断A ；由向量的模和向量共线的概念可判断B ；由向量的数量积的性质，以及向量垂直的条件，可判断C ；由向量共线定理可判断D ． 【解答】由AB →，BA →互为相反向量，则AB →+BA →=0→，故A 正确； 由|a →|=|b →|且a → // b →，可得a →=b →或a →=−b →，故B 错误；由a →、b →非零向量且|a →+b →|=|a →−b →|，两边平方可得a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2−2a →⋅b →+b →2，即a →⋅b →=0，所以a →⊥b →，故C 正确；若a → // b →且a →≠0→，则有且只有一个实数λ，使得b →=λa →，故D 错误． 三、填空题（共4题，每题5分，共20分）【答案】3x −y +2=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x =0处的导数，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答】由y =(x +2)e x ，得y′=e x +(x +2)e x =(x +3)e x ， ∴ y′|x=0=3，∴ 曲线y =(x +2)e x 在点(0, 2)处的切线方程为y =3x +2，即3x −y +2=0． 【答案】 240【考点】二项式定理及相关概念 【解析】由二项式的展开式的通项公式，整理，可令x 的指数为0，计算可得所求常数项． 【解答】(1x 2−2x)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r (1x 2)6−r (−2x)r =(−2)r C 6r x 3r−12， 由3r −12=0，可得r =4，即有展开式的常数项为16×15=240． 【答案】6365【考点】两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系 【解析】 【解答】解：∴ π2<α<π，tan α=−34，∴ cos α=−√cos 2αcos 2α+sin 2α=−√11+tan 2α=−45， ∴ sin α=√1−cos 2α=35. ∴ 0<β<π2， ∴ −π<β−α<0.又∴ cos (β−α)=513>0， ∴ −π2<β−α<0，∴ sin (β−α)=−√1−cos 2(β−α)=−1213，∴ sin β=sin [(β−α)+α]=sin (β−α)cos α+cos (β−α)sin α =(−1213)×(−45)+513×35=6365. 故答案为：6365． 【答案】9【考点】基本不等式及其应用 数列的求和 【解析】结合等差数列中项公式、通项公式与前n 项和公式可推出S n =n(n+3)2，故b n =2(1n −1n+1)，由裂项相消法可求得T n ，从单调性上知t =T 1=1，即x +y =1，再根据基本不等式中的“乘1法”即可得解． 【解答】由等差数列中项公式知，a 3+a 9=14=2a 6，∴ a 6=7， ∴ a 5=6，∴ 公差d =1，∴ 数列{a n }的通项公式为a n =a 5+(n −5)d =n +1， ∴ a 1=2，S n =n(a 1+a n )2=n(n+3)2，∴ b n =1S n −n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，∴ T n =b 1+b 2+...+b n =2[(1−12)+(12−13)+...+(1n −1n+1)]=2−2n+1，是单调递增数列， 故T n 的最小值为t =T 1=1， ∴ x +y =1，∴ 1x +4y =(1x +4y )(x +y)=5+(yx +4x y)≥5+2√y x ⋅4x y=9，当且仅当yx =4xy ，即x =13，y =23时，等号成立， ∴ 1x+4y 的最小值为9．四、解答题（共6题，共70分） 【答案】解∴ 由已知得：f(x)＝cos 2x −√3sin x cos x −12 =1+cos 2x 2−√32sin 2x −12=−sin (2x −π6)，由2kx −π2≤2x −π6≤2kx +π2，k ∈Z ，可得kx −π6≤x ≤kx +π3．k ∈Z ， 又x ∈[0, π]，∴ 函数f(x)在[0, π]的单调递减区间为[0, π3]和[5π6, π]．【考点】正弦函数的单调性 【解析】先对f(x)化简，然后求出函数所有的单调递减区间，再给K 赋值，使x 的范围在已知区间上，即可求解． 【解答】解∴ 由已知得：f(x)＝cos 2x −√3sin x cos x −12 =1+cos 2x 2−√32sin 2x −12=−sin (2x −π6)，由2kx −π2≤2x −π6≤2kx +π2，k ∈Z ，可得kx −π6≤x ≤kx +π3．k ∈Z ，又x ∈[0, π]，∴ 函数f(x)在[0, π]的单调递减区间为[0, π3]和[5π6, π]．【答案】∴ S n =2n −1(n ∈N +)，n ＝1，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝2n −1−(2n−1−1)＝2n−1．n ＝1时也成立．∴ a n ＝2n−1． b n ＝log 4a n +1=n−12+1=n+12，∴ {b n }的前n 项和为T n =n(1+n+12)2=n 2+3n 4．【考点】 数列递推式 数列的求和【解析】（1）由S n =2n −1(n ∈N +)，可得：n ＝1，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n −S n−1，即可得出．（2）b n ＝log 4a n +1=n+12，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】∴ S n =2n −1(n ∈N +)，n ＝1，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝2n −1−(2n−1−1)＝2n−1．n ＝1时也成立．∴ a n ＝2n−1． b n ＝log 4a n +1=n−12+1=n+12， ∴ {b n }的前n 项和为T n =n(1+n+12)2=n 2+3n 4．【答案】由(a +c)2=b 2+2√3ab sin C ，得：a 2+c 2+2ac =b 2+2√3ab sin C ，所以：a 2+c 2−b 2+2ac =2√3ab sin C ，即：2ac(cos B +1)=2√3ab sin C ， 所以有：sin C(cos B +1)=√3sin B sin C ， 因为C ∈(0, π)， 所以sin C >0，所以cos B +1=√3sin B ，即√3sin B −cos B =2sin (B −π6)=1， 所以sin (B −π6)=12． 又0<B <π， 所以：−π6<B −π6<5π6，所以：B −π6=π6，即B =π3． 因为12ac sin B =12ac ⋅√32=3√3，所以ac =12．又b 2=a 2+c 2−2ac cos B =(a +c)2−3ac =(a +c)2−36=64， 所以a +c =10，把c =10−a 代入到ac =12(a >c)中，得a =5+√13． 【考点】 余弦定理 【解析】（1）由余弦定理化简已知等式可得sin C(cos B +1)=√3sin B sin C ，结合sin C >0，利用两角差的正弦函数公式可求sin (B −π6)=12，结合范围0<B <π，可求B 的值．（2）利用三角形的面积公式可求ac =12，根据余弦定理即可解得a 的值．【解答】由(a+c)2=b2+2√3ab sin C，得：a2+c2+2ac=b2+2√3ab sin C，所以：a2+c2−b2+2ac=2√3ab sin C，即：2ac(cos B+1)=2√3ab sin C，所以有：sin C(cos B+1)=√3sin B sin C，因为C∈(0, π)，所以sin C>0，所以cos B+1=√3sin B，即√3sin B−cos B=2sin(B−π6)=1，所以sin(B−π6)=12．又0<B<π，所以：−π6<B−π6<5π6，所以：B−π6=π6，即B=π3．因为12ac sin B=12ac⋅√32=3√3，所以ac=12．又b2=a2+c2−2ac cos B=(a+c)2−3ac=(a+c)2−36=64，所以a+c=10，把c=10−a代入到ac=12(a>c)中，得a=5+√13．【答案】当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上没有极值点；当a>0时，f(x)在(0,+∞)上有一个极值点．1−1e2．【考点】利用导数研究函数的极值导数求函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−1x =ax−1x，当a≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减．∴ f(x)在(0,+∞)上没有极值点．当a>0时，由f′(x)>0得x>1a，∴ f(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增，即f(x)在x=1a处有极小值．综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上没有极值点；当a>0时，f(x)在(0,+∞)上有一个极值点．【名师指导】本题考查导数及其应用、不等式恒成立问题．通过对函数f(x)求导，结合参数a的取值范围分类讨论，由导函数的正负来确定其单调性，从而确定相应的极值点与极值点的个数；∴ 函数f(x)在x=1处取得极值，∴ f′(1)=a−1=0，则a=1，从而f(x)=x−1−ln x，∴ f(x)≥bx−2，即1+1x−ln xx≥b，令g(x)=1+1x−ln xx，则g′(x)=ln x−2x2，由g′(x)>0得x>e2，由g′(x)<0得0<x<e2，则g(x)在(0,e2)上单调递减，在(e2,+∞)上单调递增，∴ g(x)min=g(e2)=1−1e2，∴ 实数b的最大值是1−1e2．【名师指导】本题考查导数及其应用、不等式恒成立问题．根据函数f(x)在x=1处取得极值加以转化，进而确定参数a的值，得到函数f(x)的解析式，结合不等式恒成立分离参数，通过构造函数g(x)，并对其求导，确定其单调性与极值，进而确定参数b的最大值．【答案】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)(i)随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=C41C32C73=1235，P(X=2)=C42C31C73=1835，P(X=3)=C43C73=435，所以随机变量的分布列为：E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A发生的概率为67．【考点】互斥事件的概率加法公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列分层抽样方法【解析】(1)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；(2)若(I)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望；(II)利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)(i)随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=C41C32C73=1235，P(X=2)=C42C31C73=1835，P(X=3)=C43C73=435，所以随机变量的分布列为：随机变量X的数学期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A发生的概率为67．【答案】因为f′(x)＝e x−mx+1，x=0是f(x)的极值点，所以f′(0)＝e0−m0+1＝0，解得m=1，即f′(x)＝e x−1x+1，又因为y=e x与y＝−1x+1在(−1, +∞)上单调递增，所以当−1<x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，即f(x)在(−1, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增．因为当m=4时，f′(x)＝e x−4x+1在(−1, +∞)上单调递增，因为f′(0)=e0−4=−3<0，f′(1)＝e1−42＝e−2>0，所以存在x0∈(0, 1)，使得f′(x0)=0，即f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，另由f(0)=e0>0，f(1)=e1−41n2=ln e e−ln16<0，而f(2)=e2−4⋅ln3>0，所存在x1∈(0, 1)，x2∈(1, 2)，使得f(x1)=f(x2)=0，即f(x)有且仅有两个不同的零点．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出f′(x)，代入x=0可得m，进而利用导数求f(x)的单调性即可；（2）求出f′(x)可得其在(−1, +∞)上单调递增，通过零点存在性定理得存在x0∈(0, 1)，使得f′(x0)=0，进而可得f(x)在(0, +∞)上的单调性，接着通过判断f(0)，f(1)，f(2)的正负值，即可得f(x)的零点个数．【解答】因为f′(x)＝e x−mx+1，x=0是f(x)的极值点，所以f′(0)＝e0−m0+1＝0，解得m=1，即f′(x)＝e x−1x+1，又因为y=e x与y＝−1x+1在(−1, +∞)上单调递增，所以当−1<x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，即f(x)在(−1, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增．因为当m=4时，f′(x)＝e x−4x+1在(−1, +∞)上单调递增，因为f′(0)=e0−4=−3<0，f′(1)＝e1−42＝e−2>0，所以存在x0∈(0, 1)，使得f′(x0)=0，即f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，另由f(0)=e0>0，f(1)=e1−41n2=ln e e−ln16<0，而f(2)=e2−4⋅ln3>0，所存在x1∈(0, 1)，x2∈(1, 2)，使得f(x1)=f(x2)=0，即f(x)有且仅有两个不同的零点．。

广东省深圳市深圳中学2024届高三一月阶段测试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数从小到大排列为
2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（）
A．甲、乙的第70百分位数相等
B．甲的极差比乙的极差小
C．甲的平均数比乙的平均数大
(1)证明：平面EAC ^平面
PBC ；
(2)当2BE EP =uuu r uuu r
时，求二面角P AC E --的余弦值.
20．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮
比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得1-分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是
相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为()P A ，乙得1分的概率为()P B ，
两人都得0分的概率为()P C .(1)求()()(),,P A P B P C 的值；
(2)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．
答案第231页，共22页。

2025届西安市高三数学上学期第一次质量检测考试卷本卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,1=-=-A x x B x log x x ，则A B ⋂=()A.{}10x x - B.{}10x x -< C.{}10x x -< D.{}10x x -<<2.“01a <<”是“函数()log (2)a f x a x =-在(,1)-∞上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()()2sin x xf x x e e x-=-+-在区间[]2.8,2.8-的大致图像为()A. B. C. D.4.已知5log 2a =，2log b a =，1()2bc =，则()A.c b a >> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>5.已知定义在R 上的函数()f x 满足3(2)()f x f x +=，且(2)1f =-，则(100)f =()A.3B.1C.1-D.3-6．已知函数1,0,()()12,0,x e x f x g x kx x x⎧-⎪==-⎨<⎪⎩ ，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是()A.{}e B.[,)e +∞ C.1(,0){}8e -⋃ D.1(,){}8e -∞-⋃7.已知函数3()1f x x x =-+，则()A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.直线2y x =是曲线()y f x =的切线D.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心8.已知函数24,0(),0x x f x x log x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于()A.28-B.28C.14- D.14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211(x x'=- B.()x xe e '--= C.21(tan )x cos x'=D.1(ln ||)x x'=10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则()A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11.已知0c b a <<<，则()A.ac b bc a+<+ B.333b c a +< C.a c ab c b+<+ D.>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某班的全体学生参加化学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则该班学生化学测试成绩的第40百分位数为__________.13.若曲线x y e x =+在点(0,1)处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.14.5(1)(2)y x y x-+的展开式中，23x y 的系数为__________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数3212()2.32a f x x x ax +=-+（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.16．为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线bx a y e +=的附近，请根据下表中的数据求出（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数a 和b 的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.37 3.98 3.87 3.46 3.29附：经验回归方程：ˆˆˆybx a =+中，1221ˆniii nii x ynx y b xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i ii x z==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈17.已知函数()log (1)a f x x =+，()2log (2)(a g x x t t =+∈R )，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x 的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围．18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布2(,)N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字);(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<<+≈，(33)0.9973.)P μσξμσ-<<+≈（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；(ⅱ)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19.已知函数1()ln (1).x f x ae x a x -=+-+（1）当0=a 时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.6513.ln 214.40三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)15.（本小题满分13分）解：(1)1a =时，3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x '=-+=--，所以1x <或2x >时，()0f x '>；12x <<时，()0f x '<则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞上递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =...............................5分陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测数学参考答案题号12345678答案CBABDCDA题号91011答案ACDBCDABD3212(2)()232a f x x x ax +=-+，则()()(2)f x x a x '=--，当2a =时，()0f x ' ，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，()0f x '>；2x a <<时，()0f x '<,所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，()0f x '>；2a x <<时，()0f x '<所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减................................8分（2）令-+<=≈，所以，解得，由于，所以，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下................................5分17.（本小题满分15分）解：(1)1=- t 时，()()2log 1log 21a a x x +- ，又01a <<，21(21)210x x x ⎧+-∴⎨->⎩，2450151242x x x x ⎧-⎪∴∴<⎨>⎪⎩，∴解集为：15{|}24x x <；...............................6分(2)解法一：()222F x tx x t =+-+，由()0F x =得：22(2x t xx +=-≠-且12)x -< ，22(2)4(2)2x t x x +∴=-+-++，设2U x =+(14U < 且2U ≠，则212424U t U U U U=-=--+-+，令2()U U Uϕ=+， 当1U <<时，()U ϕ4U <<时，()U ϕ单调递增，且9(1)3,(4).2ϕϕϕ===9()2U ϕ∴且() 4.U ϕ≠12402U U∴---< 或2044U U<--- ，t 的取值范围为：2t - 或224t +解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得：24t =，又1212x x t ==-(]1,2,∈-24t +∴=；②()F x 在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则有()()120F F -<，解得：2t <-或1t >，又经检验：2t =-或1t =时，()F x 在(1,2]-上都有零点；2t ∴- 或 1.t ③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有0,01122(1)0(2)0t t F F >∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩或0,01122(1)0(2)0t t F F <∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-<⎪<⎪⎩，解得：214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t - 或224t +...............................15分18.（本小题满分17分）(1)(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即69x μ≈=11s σ≈≈，所以X ∽2(69,11)N ，因为质量指标值X 近似服从正态分布2(69,11)N ，所以1(69116911)1()(80)22P X P X P X μσμσ--<<+--<<+== 10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16................................5分(2)()(0.010.01)1010020i +⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[85,95]的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：3010103202(0)19C C P C η===，21101032015(1)38C C P C η===，12101032015(2)38C C P C η===，0310103202(3)19C C P C η===，随机变量η的分布列为：η0123P21915381538219所以η的数学期望2151523()0123.193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=...............................11分()ii 设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由(1)知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以Y ∽(100,0.16)B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))()100ln(25)m m E Y m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-,令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4x ∈，()0f x '>，()f x 递增79;(,24)4x ∈，()0f x '<，()f x 递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大................................17分19.（本小题满分17分）(1)解：当0=a 时，()ln =-f x x x ，且知11()1-'=-=xf x x x，在(0,1)上，()0'>f x >，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0'<f x ，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞..............................4分(2)证明：因为1a =，所以1()ln 2x f x e x x -=+-，且知11()2x f x e x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x ' 在(0,)+∞上恒成立，设11()2x g x ex -=+-，0x >，则121()x g x e x-'=-，注意1x y e -=，21y x=-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g = ，即()0f x ' ，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;...............................10分(3)由11()1x f x ae a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()1x h x ae a x -=+--，有121()x h x ae x-'=-，①当0a 时，11()0x xh x aex -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1x y ae -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞..........................17分。

一、选择题1. 答案：D解析：由指数函数的性质可知，当x>0时，y=2^x是增函数，且2^0=1，故选D。

2. 答案：A解析：由函数的性质可知，y=x^3在定义域内单调递增，故选A。

3. 答案：B解析：由二次函数的性质可知，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，故选B。

4. 答案：C解析：由数列的性质可知，an+1/an=2an/(an+1-an)，故选C。

5. 答案：A解析：由立体几何的性质可知，正方体的对角线互相垂直，故选A。

二、填空题6. 答案：-1/3解析：由指数函数的性质可知，y=2^x在x=0时，y=1，故2^(-1/3)=1/2^1/3=1/2，故答案为-1/3。

7. 答案：-4解析：由二次函数的性质可知，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，故顶点坐标为(-1, -4)。

8. 答案：9解析：由数列的性质可知，an+1/an=2an/(an+1-an)，故an+1=2an(an+1-an)，化简得an+1=2an^2，代入an=1，得an+1=2。

9. 答案：2解析：由立体几何的性质可知，正方体的对角线互相垂直，故正方体的对角线长度为2a，其中a为正方体的边长。

10. 答案：1/2解析：由向量的性质可知，向量a与向量b的数量积等于它们的模长乘以它们的夹角的余弦值，故|a|=1，|b|=2，cosθ=1/2，得θ=60°。

三、解答题11. 解答：（1）由指数函数的性质可知，y=2^x在x=0时，y=1，故2^(-1/3)=1/2^1/3=1/2，得a=1/2。

（2）由二次函数的性质可知，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，代入a=1/2，得顶点坐标为(-1, -4)。

12. 解答：（1）由数列的性质可知，an+1/an=2an/(an+1-an)，故an+1=2an(an+1-an)，化简得an+1=2an^2，代入an=1，得an+1=2。

河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}230A x x x =-<，{|3x B x =≥，则A B = （）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.( D.()1,32.若0.15a =，21log 32b =，3log 0.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b3.设,a b R ∈，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（）A.33a b > B.2log ()0a b -> C.22a b > D.11a b>4.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（）A.－1.519B.－1.726C.－1.609D.－1.3165.已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（）A.311log 0x y--= B.321xx y-=C.120x y --= D.ln 1x y =-6.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数．若对任意x ∈R ，都有[()2]3x f f x -=，则(4)f =（）A.9B.15C.17D.337.函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A.3B.4C.6D.与m 值有关8.已知正实数x ，y 满足()21x y +-=，则2x y +的最小值为（）A.1B.2C.4D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合U 为全集，集合,,A B C 均为U 的子集．若A B ⋂=∅，A C ⋂≠∅，B C ≠∅ ，则（）A.U ()A B C ⊆ ðB.U ()C A B ⊆ ðC.UA B C = D.A B C =∅10.已知定义域为I 的偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且x I ∃∈，使()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A.2()3f x x =- B.()22x x f x -=+C.()2log f x x= D.1()f x x x=-11.在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（）A.222<+a b abB.++>ab a bC.224++≥a b c D.++≤a b c12.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C .甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分.13.若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______．15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x -为偶函数，且当01x <≤时，2()log (2)f x x =，则(21)f =_______.16.已知函数()()24,,e 1,x x x af x a x a-⎧-≥=∈⎨-<⎩R ，若函数g (x )＝f (f (x )＋1)有三个零点，则实数a 的取值范围是_______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()||f x x x =-.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若对任意0x ≥，不等式()20f x x m -+>恒成立，求实数m 的取值范围．18.已知函数22()log (2)log (2)f x x x =+--.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若关于x 的方程2()log ()f x a x =+有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.19.设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.证明：（1）11192a b b c c a ++≥+++；（2）33332ab bc ca abc a b c ++-++≥.20.已知函数1()()21x f x x R =∈+.（1）已知()f x 的图象存在对称中心(,)a b 的充要条件是()()g x f x a b =+-的图象关于原点中心对称，证明：()f x 的图象存在对称中心，并求出该对称中心的坐标；（2）若对任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，求实数n 的最大值．21.经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量()m t （百件）与时间第t 天的关系如下表所示：第t 天1310L30日销售量()m t （百件）23 6.5L16.5未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润()1f t （元）与时间第t 天的函数关系式为()1388(115f t t t =-+，且t 为整数)，而后15天此商品每天每件的利润()2(f t 元)与时间第t 天的函数关系式为()26002f t t=+（1630t ，且t 为整数）.（1）现给出以下两类函数模型：①()m t kt b =+（k b ､为常数）；②()(tm t b a a b =⋅､为常数，0a >且1a ≠.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.22.已知函数()()211,011,1x x f x x x ⎧-<<⎪=⎨⎪-≥⎩.（1）当0a b <<，且()()f a f b =时，求()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围；（2）是否存在正实数a ，()b a b <，使得函数()y f x =在[],a b 上的取值范围是[]1,1a b --.若存在，则求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}230A x x x =-<，{|3x B x =≥，则A B = （）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.( D.()1,3【答案】B 【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{132xB x x x ⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭，则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.2.若0.15a =，21log 32b =，3log 0.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.【详解】0.1551a =>= ，1222log 3log 0b ==且22log log 1b =<=，33log 0.8log 10c =<=，c b a ∴<<，故选：A3.设,a b R ∈，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（）A.33a b >B.2log ()0a b -> C.22a b > D.11a b>【答案】B【解析】【分析】结合充分不必要条件的定义，对A ，33a b a b >⇔>⇔>；对B ，2log ()01a b a b ->⇔->；对C ，22a b a b >⇔>；对D ，11a b>，需要讨论a 、b 的符号，即可进一步判断【详解】对A ，33a b a b >⇔>⇔>，故A 不成立；对B ，2log ()011a b a b a b b ->⇔->⇒>+>，故B 成立；对C ，22a b a b >⇔>，不一定推出a b >，故C 不成立；对D ，11a b >，若1100a b b a<<⇒<<，故D 不成立.故选：B4.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（）A.－1.519B.－1.726C.－1.609D.－1.316【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算性质进行简单的对数近似值的运算.【详解】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为5ln 0.2234≈，所以55ln 5ln 4ln ln 4 1.3860.223 1.60944⎛⎫=⨯=+≈+=⎪⎝⎭，所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.故选：C5.已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（）A.311log 0x y--= B.321xx y-=C.120x y --= D.ln 1x y =-【答案】A 【解析】【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】由311log 0x y --=，得31log 1x y=-，所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--，化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的，即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取=1x -，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误；由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称，显然与题中图象不符，所以选项D 错误，故选：A.6.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数．若对任意x ∈R ，都有[()2]3x f f x -=，则(4)f =（）A.9B.15C.17D.33【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性可得()2x t f x =-，进而根据()2x g x x =+的单调性即可求解1t =，进而可得()21x f x =+，代入即可求解.【详解】因为()f x 是R 上的单调函数，所以存在唯一的R t ∈，使() 3.f t =由方程[()2]3x f f x -=，得()2x t f x =-，则()2x f x t =+，所以()2 3.tf t t =+=设()2xg x x =+，由于2,x y y x ==均为定义域内的单调递增函数，所以()g x 在R 上是增函数，且(1)g =3，所以1t =，所以()21x f x =+，故()442117.f =+=故选：C 7.函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A.3B.4C.6D.与m 值有关【答案】C 【解析】【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++，设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--，所以()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=,故选：C.8.已知正实数x ，y 满足()21x y +-=，则2x y +的最小值为（）A.1B.2C.4D.32【答案】B 【解析】【分析】将已知的式子12x y +===+，然后判断函数()f t t =，0t >，的单调性，从而可得12x y=，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果【详解】因为()21x y -=，所以12x y +===+．设()f t t =+0t >，易知()f t t =在()0,∞+上单调递增，故12x y=，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=，当且仅当2x y =时取等号，所以2x y +的最小值为2．故选：B ．【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合U 为全集，集合,,A B C 均为U 的子集．若A B ⋂=∅，A C ⋂≠∅，B C ≠∅ ，则（）A.U ()A B C ⊆ ðB.U ()C A B ⊆ ðC.UA B C = D.A B C =∅【答案】AD 【解析】【分析】根据题意列出韦恩图，根据集合间的关系逐个判断即可.【详解】如图所示：由图可得U ()A B C ⊆ ð，故A 正确；集合C 不是U ()A B ⋃ð的子集，故B 错误；U A B C = ，故C 错误；A B C ⋂⋂=C ∅⋂=∅，故D 正确．故选：AD.10.已知定义域为I 的偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且x I ∃∈，使()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A.2()3f x x =-B.()22x x f x -=+C.()2log f x x =D.1()f x x x=-【答案】AC 【解析】【分析】通过初等函数的奇偶性以及单调性等逐个判断即可.【详解】对于A ，2()3f x x =-的定义域为R ，22()()33()f x x x f x -=--=-=，所以()f x 为偶函数．又()()120,f f x =-<在区间()0,∞+上单调递增，故A 符合；对于B ，()220x x f x -=+>恒成立，故B 不符合；对于C ，()2log f x x =的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，()22log log ()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数．又1102f ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故C 符合；对于D ，因为1()f x x x=-的定义域为()(),00,,∞∞-⋃+1()()f x x f x x -=-+=-，所以()f x 为奇函数，故D 不符合.故选：AC.11.在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（）A.222<+a b ab B.++>ab a bC.224++≥a b c D.++≤a b c【答案】ABC【解析】【分析】根据题意得()2ab a b abc -<=，结合边的关系即可判断A ；根据边的关系及基本不等式即可判断BC ；用边长为D【详解】对于A ，222<+a b ab ，即222-<a b ab ，也就是()2ab a b abc -<=，另一方面，在ABC 中，0,>-<ab a b c ，则()-<ab a b abc 成立，故A 正确；对于B ，++>+≥=ab a b ab c ，故B 正确；对于C ，2224++≥+≥=a b c a bc ，当且仅当222a b c ===时取等号，故C 正确；对于D ，边长为2abc =，但1++=+>a b c D 错误．故选：ABC ．12.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强【答案】AC【解析】【分析】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，利用作差法和指数函数的性质比较大小即可判断选项AB ；利用作商法和幂函数指数函数的性质比较大小即可判断选项CD .【详解】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，对于A ，0.141212122,,,15,01b b r r T T b b -=><<<<<∴210.140.421121,0r r b b T T -->>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()1200.1.1424211100r r T b T b --=⋅-⋅>，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故A 正确；对于B ，121212,,T T r r b b =>>，∴2210.0.140.140.141402.14121110,r r r b b b b b ----->>>>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()210.141210.14100r r T b b --=->，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故B 错误：对于C ，112221,,b b E E r r =><，∴()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r r T b T b --⋅>⋅∴()()11220.140.142110.14121r r r r T b b T b ---->=>，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故C 正确；对于D ，12121221,,,01r r E E b b b b =><<<，∴()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r r T b T b --⋅>⋅∴()()11220.140.142110.14121r r r r T b b T b ---->==，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故D 错误．故选：AC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分.13.若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．【答案】103-【解析】【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题知命题的否定“2[1,3],x x ∀∈+10ax +≤”是真命题．令2()1([1,f x x ax x =++∈3])，则()()120,33100,f a f a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩解得103a ≤-，故实数a 的最大值为10.3-故答案为：10.3-14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313x f x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______．【答案】{}1,0-【解析】【分析】根据指数函数的性质分析()f x 的值域，进而得到()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即可【详解】∵()11313x f x =-+，()30,x ∈+∞，∴令30x t =>，则()()1112,1333f x g t t ⎛⎫==-∈- ⎪+⎝⎭故函数()()y f x g t ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故答案为：{}1,0-15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x -为偶函数，且当01x <≤时，2()log (2)f x x =，则(21)f =_______.【答案】1【解析】【分析】根据()f x 和()1f x -的奇偶性可得()f x 是以4为周期的函数，进而得解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--．又(1)f x -为偶函数，所以(f x -()()1)11f x f x =--=-+，则()(2)f x f x =-+=()()44f x f x ⎡⎤--+=+⎣⎦，故()f x 是以4为周期的函数，故()()2211log 21f f ===.故答案为：1.16.已知函数()()24,,e 1,x x x a f x a x a-⎧-≥=∈⎨-<⎩R ，若函数g (x )＝f (f (x )＋1)有三个零点，则实数a 的取值范围是_______．【答案】((2⎤-⋃⎦【解析】【分析】数形结合，分成a ≤－2，－2＜a ≤0，0＜a ≤2，a ＞2四种情况讨论即可.【详解】令()1f x t +=，则()()g x f t =，()()1g x f f x ⎡⎤=+⎣⎦ 有三个零点，∴f (t )＝0有两个根12,t t ，且需满足()11t f x =+有两解时，()21t f x =+有且仅有一解.①a ≤－2时，f (x )如图：g (x )＝f (t )＝0⇒1222t t -＝，＝，()()1123t f x f x =+=-⇒=-，由图可见此时y ＝－3与f (x )有两个交点，()()2121t f x f x =+=⇒=，此时要使y ＝1与f (x )有且仅有一个交点，则2e 11ln241a a a a -⎧-⇒-⎪⎨-<⇒<<⎪⎩2a <-；②－2＜a ≤0时，f (t )＝0只有一个解t ＝2，t ＝f (x )＋1＝0没有三个解；③0＜a ≤2时，f (x )如图：()()102g x f t t ==⇒=，20t =，()()1121t f x f x =+=⇒=，y ＝1和f (x )必有两个交点；()()2101t f x f x =+=⇒=-，此时要使y ＝－1和f (x )有且仅有一个交点，则22413a a a -≤-⇒≤⇒≤≤∴0a <≤；④a ＞2时，()()0g x f t ==只有一个根t ＝0，t ＝f (x )＋1＝0没有三个解.综上所述，((2a ⎤∈-⋃⎦.故答案为：((2⎤-⋃⎦.【点睛】本题关键是令()1f x t +=，将()()1g x f f x ⎡⎤=+⎣⎦有三个零点的问题转化为：f (t )＝0有两个根12,t t ，且需满足()11t f x =+有两解时，()21t f x =+有且仅有一解，数学结合即可求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()||f x x x =-.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若对任意0x ≥，不等式()20f x x m -+>恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(1,2)-（2）9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义将不等式转化为222x x -<-<，根据一元二次不等式即可求解.（2）将恒成立问题转化为最值问题，根据二次函数的性质求解最值即可.【小问1详解】由()2f x <，得22x x -<，所以222x x -<-<，即2220,20,x x x x ⎧-+>⎨--<⎩解得12x -<<，所以不等式()2f x <的解集为()1,2.-【小问2详解】由题知对任意0x ≥，2|2x x x m ---恒成立.令()()220g x x x x x =--≥，当01x ≤≤时，()[]22,0g x x x =--∈-；当1x >时，()293,4g x x x ∞⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭，所以()g x 的最小值为94-，所以94m -<-，即94m >，所以实数m 的取值范围为9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭18.已知函数22()log (2)log (2)f x x x =+--.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若关于x 的方程2()log ()f x a x =+有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，理由见解析（2）()1,2【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）将问题等价转化为4(2)32a x x=+---在区间()2,2-上有两个不同的实数根，构造函数()43,0,4y t t t =+-∈，数形结合即可求解.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：由题意得20,20,x x +>⎧⎨->⎩解得22x -<<，即函数()f x 的定义域为()2,2-，故定义域关于原点对称又()()()()22log 2log 2f x x x f x -=--+=-，故()f x 为奇函数．【小问2详解】由()()2log f x a x =+，得()()()222log 2log 2log x x a x +--=+，所以22x a x x+=+-，所以()()422423222x x a x x x x x x --+=-=-=+-----，故方程()()2log f x a x =+有两个不同的实数根可转化为方程4(2)32a x x =+---在区间()2,2-上有两个不同的实数根，即函数y a =与4(2)32y x x =+---在区间()2,2-上的图象有两个交点．设()2,2,2,t x x =-∈-则()43,0,4.y t t t =+-∈作出函数()43,0,4y t t t =+-∈的图象如图所示．当12a <<时，函数y a =与()43,0,4y t t t=+-∈的图象有两个交点，即关于x 的方程()()2log f x a x =+有两个不同的实数根，故实数a 的取值范围是()1,2．19.设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.证明：（1）11192a b b c c a ++≥+++；（2）33332ab bc ca abc a b c ++-++≥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用1a b c ++=进行代换，再利用基本不等式即可证明；（2）利用立方和公式将333a b c ++进行变式，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】证明：1111111(222)2a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭1111[()()()]2a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭119(3)(36)222a b b c c a b c c a a b b c a b b c c a a b c a ++++++=++++++≥+=++++++，（当且仅当13a b c ===时，等号成立）【小问2详解】证明：()3322()(1)a b a b a b ab c ab +=++-≥-()3322()(1)b c b c b c bc a bc+=++-≥-()3322()(1)c a c a c a ca b ca+=++-≥-三式相加得()33323a b cab bc ca abc ++≥++-即33332ab bc ca abca b c ++-++≥（当且仅当13a b c ===时，等号成立）20.已知函数1()()21x f x x R =∈+.（1）已知()f x 的图象存在对称中心(,)a b 的充要条件是()()g x f x a b =+-的图象关于原点中心对称，证明：()f x 的图象存在对称中心，并求出该对称中心的坐标；（2）若对任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，求实数n 的最大值．【答案】（1）证明见解析，对称中心的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2【解析】【分析】(1)根据()()g x f x a b =+-为奇函数化简成一个有x 的等式，要求x 式子的系数等于零，其余常数也为零.(2)112(1)()1f mx f x x -+=整理成12,,x x m 的表达式，用1,x m 来表示2x ，根据1x 的范围求出2x 的范围用n 表示，任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则满足1x 的范围是2x 范围的子集.【小问1详解】假设()f x 的图象存在对称中心(,)a b ，则()(21)1x a g x f x a b b +=+--+=的图象关于原点中心对称．因为()g x 的定义域为R ，所以()()g x g x -+=1102121x a x a b b -++-+-=++恒成立，即2(12)(22)22220x a x a a b b b +-+-++--⋅=恒成立，所以2120,22220,a b b b -=⎧⎨--⋅=⎩解得0,1,2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以()f x 的图象存在对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为对任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，所以12111112121m x x x -+=++，即112121,mx x x -+=所以11210mx x x -+=，即121111.mx x m x x -==-因为1[1,]x n ∈，所以1111,.m m m x n ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦因为231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以131,1,2m m n ⎡⎤⎡⎤--⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以11,13,2m m n -≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩即2,13,2m m n≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩所以min 13122m n ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，所以 2.n ≤故实数n 的最大值为2．21.经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量()m t （百件）与时间第t 天的关系如下表所示：第t 天1310L 30日销售量()m t （百件）23 6.5L 16.5未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润()1f t （元）与时间第t 天的函数关系式为()1388(115f t t t =-+，且t 为整数)，而后15天此商品每天每件的利润()2(f t 元)与时间第t 天的函数关系式为()26002f t t=+（1630t ，且t 为整数）.（1）现给出以下两类函数模型：①()m t kt b =+（k b ､为常数）；②()(t m t b a a b =⋅､为常数，0a >且1a ≠.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.【答案】（1）选择函数模型①，其解析式为()322t m t =+（130t ≤≤且t 为整数）（2）这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析【解析】【分析】（1）将将()1,2以及()3,3分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算()10m 判断是否满足即可；（2）记日销售利润为y ，根据一次函数与二次函数的单调性分析y 的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可【小问1详解】若选择模型（1），将()1,2以及()3,3代入可得233k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()322t m t =+，经验证，符合题意；若选择模型（2），将()1,2以及()3,3代入可得323b a b a ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(),32t m t ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，当10t =时，()1012.4m ≈，故此函数模型不符题意，因此选择函数模型（1），其解析式为()322t m t =+（130t ≤≤且t 为整数）【小问2详解】记日销售利润为y ，当115t 且t 为整数时，()()()2133793881322222t y m t f t t t t ⎛⎫=⋅=+⋅-+=-++⎪⎝⎭，对称轴796t =，故当13t =时，利润y 取得最大值，且最大值为392（百元）当1630t 且t 为整数时，()()23600900230322t y m t f t t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1630t 时，利润y 单调递减，故当16t =时取得最大值，且最大值为375.25（百元）所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.22.已知函数()()211,011,1x x f x x x ⎧-<<⎪=⎨⎪-≥⎩.（1）当0a b <<，且()()f a f b =时，求()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围；（2）是否存在正实数a ，()b a b <，使得函数()y f x =在[],a b 上的取值范围是[]1,1a b --.若存在，则求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1,+∞（2）存在，1a =，2b =【解析】【分析】（1）根据条件得到,a b 的关系，代入()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭消去b 得到关于a 的函数，求其最值即可；（2）假设存在满足条件的实数a ，b ，且0a b <<，分a ，()0,1b ∈，a ，[)1,b ∈+∞，()0,1a ∈，[)1,b ∈+∞讨论，列方程组求解.【小问1详解】因为()()211,011,1x x f x x x ⎧-<<⎪=⎨⎪-≥⎩，所以()f x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，由0a b <<且()()f a f b =，可得01a b <<<且()2111b a-=-，故()22211111b a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令1u a=，则1u >，函数21y u u =+-在()1,u ∈+∞上单调递增，所以1y >，即()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围是()1,+∞.【小问2详解】存在满足条件的实数a ，b ，理由如下：假设存在满足条件的实数a ，b ，且0a b <<.①当a ，()0,1b ∈时，()11f x x=-在()0,1上单调递减，则由()()11f a b f b a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，即111111b a a b⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得ab =1，因为a ，()0,1b ∈，故此时不存在符合条件的实数a ，b .②当a ，[)1,b ∈+∞时，()()21f x x =-在[)1,+∞上单调递增.则由()()11f a a f b b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，即()()221111a ab b ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，所以a ，b 是方程2320x x -+=得1x =或2x =，所以，此时存在符合条件的实数1a =，2b =.③当()0,1a ∈，[)1,b ∈+∞时，由于10a -<，而()01f x a ≥>-，故此时不存在符合条件的实数a ，b .综上所述，存在符合条件的实数1a =，2b =.。