河北省衡中高一上学期第五次月考(期末)数学(理)试题有答案-名师版

河北省衡水中学2021届高三数学上学期五调考试试题 理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知()2sin 3απ+=-，则cos2=α（ ） A.79 B. 19-C.19D. 59-【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式求得2sin 3α=，再由余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得()2sin sin 3απα+=-=-，即2sin 3α=， 又由2221cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，410S =，则6S 等于（ ） A. 12 B. 18C. 24D. 42【答案】B 【解析】 【分析】根据24264,,S S S S S --成等差数列列方程组，解方程求得6S 的值. 【详解】由于{}n a 是等差数列，故24264,,S S S S S --成等差数列，所以()422642S S S S S -=+-，即()62104410S -=+-，解得618S =.故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和的性质，考查方程的思想，属于基础题. 3.2021年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2021 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，202X 年编号为 2，…，2021年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7y x =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2021 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关， 又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选D.【点睛】回归直线方程中ˆb的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强. 4.函数2cos 1()22x xx f x --=-的部分图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及03x π<<时，()0f x >进行排除即可得解. 【详解】因为2cos 1()22x xx f x --=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以B ，D 错误， 当03x π<<时，()0f x >，所以C 错误.故选A.【点睛】本题主要考查了识别函数图像，一般从以下几个方面进行选择即可：奇偶性，定义域，特殊值，极限值，属于基础题.5.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,3D. 1(,1)2【答案】C 【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥，即222(12)e a c -≥， 22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题. 6.若()421ax x -+的展开式中5x 的系数为56-，则实数a 的值为A. 2-B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将三项的多项式的幂的形式组合成两项的幂的形式，运用两次二项式展开式的通项公式得出()421ax x -+的通项公式()24tr tr t r C C a x --，令25r t -=，解此不定方程得出t ,r 的值，得到关于a 的方程，可得解. 【详解】()()442211ax xx ax ⎡⎤-+=+-⎣⎦,所以()421x ax ⎡⎤+-⎣⎦的展开式的通项为()()()()2221444rr tttrr t r tr tr r r T C x ax C C x ax C C a x --+=-=-=-，其中0,1,2,3,4;0,1,r t r ==，令25r t -=，所以1,3t r =⎧⎨=⎩或34t r =⎧⎨=⎩， 当13t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()314312C C a a ⋅⋅-=-， 当34t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()3433444C C a a ⋅⋅-=-， 因为5x 的系数为56-，所以312456a a --=-，即33140a a +-=，即()()22270a a a -++=，所以2,a =故选B .【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项的系数，本题关键在于将底数的三项式，组合成二项，运用二项式展开式的通项，建立方程求解，属于中档题.7.现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A.2764B.916C.81256D.716【答案】B 【解析】 【分析】四名学生随意选择共256种选法，恰有一个地方未被选中共144种，所以其概率为916. 【详解】四名学生从四个地方任选一个共有4444256⨯⨯⨯=种选法，恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分堆在排序共有23446432144C A ⨯=⨯⨯⨯=种， 所以恰有一个地方未被选中的概率为144925616=. 故选：B【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，其本质是利用排列组合知识解决计数问题.8.已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D.c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 5,log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小.【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log 5lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）A. 36πB. 40πC. 41πD. 44π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，当该球为底面边长分别为2、1，高为6的长方体的外接球时，球的半径取最小值，然后利用公式可计算出球体的表面积.【详解】由题意知，当该球为底面边长分别为2、1，高为6的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为141364122++=， 因此，该球形容器的表面积的最小值为414414ππ⋅=.故选C.【点睛】本题考查长方体的外接球，解题的关键就是要弄清楚球为长方体的外接球时，球的半径最小，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.10.已知定义在R 上的偶函数()()()()()3sin cos 0,,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A. 1 3 C.123【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简()()()3cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭由函数为偶函数求出ϕ，再由()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，求出ω，将6π代入表达式即可求解.【详解】()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 为偶函数，0ϕπ<< 所以23ϕπ=，即()2cos f x x ω=， 又因为x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 可得：()002f f π⎛⎫+=⎪⎝⎭所以2cos 02cos02πω+=，解得()22k k Z πωππ=+∈ 所以42k ω=+，0>ω且ω取最小值， 所以2ω=综上可得()2cos2f x x =，∴2cos 163f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式以及三角函数的奇偶性，属于中档题11.不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()ln3,2B. [)2ln3,2-C. (]0,2ln3-D.()0,2ln3-【答案】C 【解析】 【分析】设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-，通过导数判断()g x 的单调性，结合直线()2h x ax a =-恒过定点()2,0，得到两函数的图象，结合题意得不等式组()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解出即可.【详解】由题意可知，22ln 4ax a x x ->--， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-. 由()1212x g x x x='-=-. 可知()2ln 4g x x x =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数， ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如下，若有且只有两个整数1x ，2x ，使得()10f x >，且()20f x >，则()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即022ln 3a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a <≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．12.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是（ ）A. 25|235t t B. 25|25t t C. |223t t D. |222t t【答案】D 【解析】 【分析】为确定F 点位置，先找过1A 与平面1D AE 平行且与平面11B BCC 相交的平面，分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，可知平面1//A MN 平面1D AE ，故F 在线段MN 上，可知线面角为11A FB ∠，分析其正切值即可求出.【详解】设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接,AG EG ，则G 为BC 的中点. 分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，则11//A M D E ， ∵1A M平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE . ∵1,A M MN 是平面1A MN 内的两条相交直线， ∴平面1//A MN 平面1D AE ，且1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点.设直线1A F 与平面11BCC B 所成角为θ，运动点F 并加以观察，可得：当点F 与点M （或N ）重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角等于11A MB ，此时所成角θ达到最小值，满足111tan 2A B B Mθ；当点F 与MN 中点重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角达到最大值，此时11111tan 222A B B FB M θ，∴1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合为|222t t ，故选D.【点睛】本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(1,3),3a b ==，向量a 与向量b 的夹角为120︒，则()a ab -=________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积公式可得.【详解】因为(1,3)a =,所以||1(2a =+=, 所以||||cos120a b a b ⋅=123()32=⨯⨯-=-, 所以()a ab -=222(3)437a a b -⋅=--=+=. 故答案为:7【点睛】本题考查了平面向量数量积,属于基础题.14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，过A 点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，有下面三个结论：①点H 是1A BD ∆的中心；②AH 垂直于平面11CB D ；③直线1AC 与直线1B C 所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______.【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，先利用线面垂直的性质，结合已知条件，得到1HB HD HA ==，进而可判断①； 对于②，由已知条件，根据面面平行的判定定理，得到平面11//CB D 平面1A BD ，再由AH 垂直于平面1A BD ，即可判断②；对于③，连接111,,AC BC AD ，根据线面垂直的判定定理，得到1B C ⊥平面11ABC D ，即可得出11AC B C ⊥，从而可判断③【详解】对于①，因为AH ⊥平面1A BD ，1AB AD AA ==， 所以1Rt Rt Rt ∆≅∆≅∆ABH ADH AA H ， 所以1HB HD HA ==，所以H 是1A BD ∆的外心；又因为1A BD ∆是等边三角形，所以点H 是△1A BD 的中心.故①正确； 对于②，因为1111//,=A B AB A B AB ，//,=CD AB CD AB ，所以11//A B CD ，且11A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//B C A D . 又因为1A D ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD . 同理可证11//B D 平面1A BD .又因为1111B C B D B ⋂=，所以平面11//CB D 平面1A BD ；又因为AH 垂直于平面1A BD ，所以AH 垂直于平面11CB D .故②正确； 对于③，连接111,,AC BC AD .因为四边形11BCC B 是正方形，所以11B C BC ⊥.因为AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1B C AB ⊥. 又因为1BC ABB ，所以1BC ⊥平面11ABCD .又因为1AC ⊂平面11ABC D ，所以11AC B C ⊥， 所以直线1AC 与1B C 所成的角是90°.故答案为①②③【点睛】本题主要考查棱柱相关结构特征的判断，熟记棱柱的结构特征，以及线面、面面平行与垂直的判定定理即可，属于常考题型.15.已知F 为抛物线2C y x ：＝的焦点，点A 、B 在抛物线上位于x 轴的两侧，且OA OB ⋅＝12(其中O 为坐标原点)，若AFO 的面积是18，则BFO 的面积是______ 【答案】12【解析】 【分析】 根据三角形AFO面积求得A 点的纵坐标，代入抛物线方程求得A 点的坐标，根据12OA OB ⋅=及B 点在抛物线上，求得B 点的纵坐标，由此求得三角形BFO 的面积.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且120y y ⋅<.由抛物线2y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，而111111,1,1248AFO S y y x ∆=⨯⨯===.由121221212OA OB x x y y x y y ⋅=+=+=①，由于B在抛物线上，故222y x =②，由①②解得24y =，所以2111242BFO S y ∆=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查抛物线上点的坐标的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查三角形的面积公式，考查方程的思想，属于中档题.16.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足sin (23cos )b A a B =-，则B =__________．若D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD 的面积为15，则BC =_________． 【答案】 (1). 6π(2). 15 【解析】 【分析】①利用正弦定理sin sin sin (23cos )B A A B =-，得sin 23cos B B =-，即可求解； ②根据三角形ACD 的面积求出15sin 4ACD ∠=，得出余弦值根据余弦定理求出AD ，利用正弦定理求15sin A =，再求BC . 【详解】①ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin 0A >由题：sin (23cos )b A a B =-，由正弦定理可得：sin sin sin (23cos )B A A B =-， 所以sin 23cos B B =-，sin 3cos 2B B +=，2sin 23B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,B π∈，所以6B π=，②锐角三角形ACD 152CD =，4AC =， 所以1sin 152CD AC ACD ⨯⨯⨯∠=所以sin ACD ∠=1cos 4ACD ∠=，锐角三角形ACD 中，由余弦定理：4AD ==，由正弦定理sin sin ACD A AD CD ∠=，sin 8A =，在ABC ∆中由正弦定理可得：sin sin BC ACA B=， 解得：15BC .故答案为：①6π【点睛】此题考查利用正余弦定理和面积公式解三角形，关键在于熟练掌握定理公式，合理使用.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在2021、2021每高考数学全国Ⅰ卷中，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲.2021年髙考结束后，某校经统计发现:选择第22题的考生较多并且得分率也较高.为研究2021年选做题得分情况，该校高三质量检测的命题完全采用2021年高考选做题模式，在测试结束后，该校数学教师对全校高三学生的选做题得分进行抽样统计，得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只选做—道题): 第22题的得分统计表第23题的得分统计表(1)完成如下2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2)若以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，如果你是考生，根据上面统计数据，你会选做哪道题，并说明理由.附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(1) 列联表见解析；有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2) 选做第23题，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知数据可填好列联表，计算出2K 观测值10.828k >，从而可知有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；（2）分别计算全体学生两道题的平均得分，选做平均得分较大的题.【详解】（1）由数据表可得22⨯列联表如下：理科人数 500 400 900 文科人数 200 100 300总计 7005001200则2K 的观测值()212002004005001008011.4210.8287005003009007k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关.(2)全体高三学生第22,23题的平均得分分别为:()1144757507532005125822510 6.4700700x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈； ()213746350623685658270107.5500500x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈； 21x x > ∴以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，应选做第23题.【点睛】本题考查独立性检验解决实际问题、利用平均数估计总体的数据特征等知识；考查学生的计算和求解能力，属于较易题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11160,,2BAC A AC A AB AA AB AC ∠=∠=∠===,点O 是BC 的中点.（1）求证:BC ⊥ 平面1A AO ；（2）若11A O =，求直线1BB 与平面11A C B 所成角的正弦值. 【答案】(1) 见解析;(2) 21sin 7θ=. 【解析】试题分析:（1）利用11A AB A AC ∆≅∆可得11A B A C =,而AB AC =，O 是BC 中点，所以1,AO BC AO BC ⊥⊥，由此可证得BC ⊥平面1A AO .（2）以1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算线面角的正弦值为217. 试题解析:(1)11111111,,A AC A AB AB AC AA AA A AB A AC A B AC ∠=∠===∴∆≅∆∴=.又O 为BC 中点，1,AO BC A O BC ∴⊥⊥.又11,,AO AO O AO AO ⋂=⊂平面1,A AO BC ∴⊥平面1A AO .(2)60,2,BAC AB AC O ∠===为BC 中点，2,1,3BC BO CO AO ∴====又222111112,1,,AA A O AO A O AA AO A O ==∴+=∴⊥.又由（1）知，1,BO AO BO AO ⊥⊥，则以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()13,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1AB C A -.()()1113,1,0,0,1,1C A CA A B ∴===-.设平面11A C B 的一个法向量为(),,n x y z =，则30{x y y z +=-=，令1x =，得(()111,3,3,3,0,1n BB AA =--==-.设1BB 与平面11A C B 的所成角为θ，则11·2321sin 727·BB n BB nθ===.19.已知单调等比数列{}n a 中，首项为12，其前n 项和是n S ，且335441,,2a S S a S ++成等差数列,数列{}n b 满足条件(nb 123n12.a a a a =(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ) 设 1n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和 n T . ①求 n T ;②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有 k n T T ≥. 【答案】(Ⅰ) 1()2n na ；(1)nb n n =+； (Ⅱ)①见解析；②见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公比，据此即可确定数列{}n a 的通项公式，进一步利用递推关系可得数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)①.结合(Ⅰ)中求得的通项公式分组求和即可确定n T 的值； ②.利用作差法结合指数函数和一次函数增长速度的关系可得k 的值.【详解】(Ⅰ)设11n n a a q -=. 由已知得 53344122S a S a S =+++ 即 5341222S a S =+ 进而有()543122S S a -=. 所以53122a a =，即214q = ，则12q =±，由已知数列{}n a 是单调等比数列，且11.2a = 所以取12q =，数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵(12312nb na a a a =， ∴232222n ⨯⨯⨯⨯=()12222n n nb += 则()1n b n n =+.数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+. (Ⅱ)由(Ⅰ)得()11121n n n n c a b n n =-=-+ ①设n n p a =，{}n p 的前n 项和为n P .则2111112222n n n P =+++=-. 又设1111n n q b n n ==-+，{}n q 的前n 项和为n Q . 则1111111122311n Q n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以n n n T P Q =-= 112n -1111112n n n ⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭ ②令1111112212n n n n T T n n ++-=--+=++ ()()()()11122212n n n n n n ++++-++.由于12n +比()()12n n ++变化快，所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增，而456,,n T T T T 递减.所以，4T 最大.即当4k =时，k n T T ≥【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和的方法，数列中最大项的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，AB AC =，,D E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为030，求二面角1D BC B --的余弦值. 【答案】（1）见证明（2）22【解析】 【分析】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直； （2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，易证AF ⊥平面11BCC B ，再证明DE AF ,可得DE ⊥平面11BCC B（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值. 解法3：（1）同解法2（2）设12AA a =，利用三棱锥1B BDC -等体积转化，得到1B 到面BCD 的距离，利用1B C 与平面BCD 所成的角为30︒得到1B C 与d 的关系，解出a ，在两个平面分别找出,DF EF 垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值. 【详解】解法1：（1）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设1AB =，AD a =，则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ， ()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,22E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,0BC =-，()11,1,2B C a =--． 因为0DE BC ⋅=，10DE BC ⋅=，所以DE BC ⊥，1DE B C ⊥，BC ⊂面11BCC B ，1B C ⊂面11BCC B ，1BC B C B ⋂= 于是DE ⊥平面11BCC B ．（2）设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =， 则0n BC ⋅=，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =-，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1cos ,sin30n B C =︒，11n B C n B C⋅∴=⋅(122=+，解得22a =，(1,1,2n =． 由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2112cos ,21nAF n AF n AF+⋅==⋅，所以二面角1D BC B --的余弦值为 解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ,AB AC = ∴ AF BC ⊥，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC∴ 1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ,1B B ⊂平面11BCC B ,1BC B B B ⋂=∴ AF ⊥平面11BCC B ．E 为1B C 中点，∴ 1EF BB ，112EF BB =， ∴ EF DA ，EF DA ＝，∴四边形ADEF 为平行四边形， ∴ AF DE ．∴ DE ⊥平面11BCC B ．（2）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，则()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =， 则0n BC ⋅=，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =-，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1|cos ,)|sin30n BC <>=︒，11n B C n B C⋅∴=⋅()22121242a a =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，解得2a =，(1,1,2n =． 由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫=⎪⎝⎭，211cos ,1n AF n AF n AF+⋅==⋅所以二面角1D BCB --的余弦值为解法3： （1）同解法2．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =2AF =,BD DC ==DF ∴==12BDCSBC DF ∴=⋅=，1112BCB SBB BC =⋅=， D 到平面1BCB距离DE=，设1B 到面BCD 距离为d ，由11B BDC D BCB V V --=得11133BCB BDC S DE Sd ⋅=⋅，即11323d ⋅= d =．因为1BC 与平面BCD 所成的角为30︒， 所以12sin30d B C d===︒，而在直角三角形1B BC中1B C ===，解得2a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,所以AF BC ⊥，EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ， DF ⊂平面DBC ,EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角， 而22DA AF ==,可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒， 所以二面角1D BC B --的余弦值为22．【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,13（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:260l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程．【答案】（Ⅰ）22182x y +=（Ⅱ）y=0或y=23x 【解析】 【分析】（Ⅰ）列a,b,c 的方程组求解即可求得方程；（Ⅱ）当1l 的斜率k=0时符合题意；当1l 的斜率k ≠0时，设直线1:,l y kx =与椭圆联立，求得P ，Q 坐标，进而求得PO ，设直线1l 的中垂线方程：1y x k=-,求其与2l 的交点M,由 MPQ 为等边三角形,得到MO =解方程求得k 值即可【详解】（Ⅰ）由题222224112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩解得a=,∴椭圆C 的方程为22182x y +=（Ⅱ）由题，当1l 的斜率k=0时，此时直线2l :x y 0-+=与y 轴的交点（0，满足题意； 当1l 的斜率k ≠0时，设直线1:,l y kx =与椭圆联立22182y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2214k x+=8,22814x k=+,设P （00x y ，）,则Q （00x y --，）,222002288 ,,1414k x y PO k k ∴==∴==++又PQ 的垂直平分线方程为1y x k =-，由10y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, M ⎛∴ ⎝⎭,MO ∴=, ∵MPQ 为等边三角形,MO ∴==解得k=0(舍去)，k=23,∴直线1l 的方程为y=23x 综上可知，直线1l 的方程为y=0或y=23x 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查方程求法，弦长公式，等边三角形的应用，准确转化与化归，熟练计算是关键，是中档题22.已知函数()ln(1)1xf x e x ax x =--+-． （1）若0a =，证明：()0f x ≥．（2）若函数()f x 在0x =处有极大值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）12a > 【解析】 【分析】（1）求出导函数，()1xf x e =-'，讨论单调性得最值，即可证明； （2）分析极大值点左右两侧导数值的符号，分类讨论即可得解. 【详解】（1）若0a =，()1xf x e x =--，()1x f x e =-'，由()0f x '>得0x >，由由()0f x '<得0x <，所以()1xf x e x =--在,0单调递减，在0,单调递增，所以()()100x f x e x f =--≥=恒成立；（2）()ln(1)1xf x e x ax x =--+-，()1,x ∈-+∞，()1ln(1)1x x f x e a x x ⎛⎫'=-++ ⎪+⎝⎭-，0(0)100f e a -'=-⨯=，函数()f x 在0x =处有极大值， 即1()1ln(1)1ln(1)111xxx f x e a x e a x x x ⎛⎫⎛⎫'=-++=-++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝-⎭-， 在0x =处左正右负，且在0x =处连续， 必存在0ε>，(),x εε∈-，必有(),0x ε∈-，()0f x '>，()0,,()0x f x ε'∈<，记()2l 1()11xf x e a x x ⎛⎫''=-+⎪ ⎪++⎝⎭， 若()2l 10,()011xa f x e a x x ⎛⎫''≤=-+>⎪ ⎪++⎝⎭恒成立，则()1ln(1)1xx f x e a x x ⎛⎫'=-++⎪+⎝⎭-在定义域单调递增， 0,()(0)0x f x f ''>>=，不合题意，舍去；若()()221l 1l 10,0,2,2211111,xa x e a a x x x x ⎛⎫<≤>+<-+>- ⎪ ⎪++++⎝⎭> ()2l 1()12011xf x e a a x x ⎛⎫''=-+>-≥ ⎪ ⎪++⎝⎭，()f x '在()0,x ∈+∞上单调递增， 即()0,,()(0)0x f x f ''∈+∞>=，不合题意，舍去；当()21l 1,()211xa f x e a x x ⎛⎫''>=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭单调递增， (0)120f a ''=-<，必存在0ε>，使得当(),x εε∈-时，()0f x ''<，此时()f x '在(),x εε∈-单调递减，0(0)100f e a -'=-⨯=必有(),0x ε∈-，()0f x '>，()0,,()0x f x ε'∈<，即函数()f x 在(),0x ε∈-递增，在()0,x ε∈递减，即函数()f x 在0x =处有极大值， 综上所述：12a >【点睛】此题考查利用导函数证明不等式，通过导函数讨论单调性分析函数极值最值问题，涉及分类讨论，第二问若能利用极大值点二阶导性质分析，只需解一个不等式即可得解，可以减少计算量，但是需要再去证明.。

上学期第五次月考 高一年级理科数学试题考试时间120分钟 试题分数150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题(本题共15小题，每小题4分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1、如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A 、AB DC = B 、AD AB AC += C 、AB AD BD -= D 、0AD CB += 2、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A 、ln y x =B 、21y x =+C 、sin y x =D 、cos y x =3、已知向量()()2,1,1,a b m ==-，且()()//a b a b +-，则m 的值为（ ） A 、2 B 、2- C 、12 D 、12- 4、函数()2ln -+=x x x f 的零点所在的一个区间是（ ）A 、(3，4)B 、()3,2C 、()2,1D 、()1,05、已知23)4sin(=+απ，则)43sin(απ-的值为（ ）A 、－32 B 、 32 C 、－ 12 D 、126、已知平面向量,a b 的夹角为60°，，，则（ ）A 、2B 、23CD 、 4 7、已知点，， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A 、B C 、D 、（ ）8、给出如下四个函数①)3sin(5)(π-=x x f ②()cos(sin )f x x = ③x x x f 2sin )(=④xxx f 2tan 1tan )(+=其中奇函数的个数是 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 9、函数)2,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，若将)(x f 图像上所有点的横坐标缩短为原 的21倍（纵坐标不变），得到函数)(x g 的图像，则)(x g 的解析式为（ ） A 、)64sin(π+=x y B 、)34sin(π+=x y C 、)6sin(π+=x y D 、)12sin(π+=x y10、若f (cos )＝cos2，则f (sin 15°)的值为（ ）A 、－32 B 、32 C 、－12 D 、1211、已知()()sin f x x ωϕ=+（0ω>， 2πϕ<）满足()()2f x f x π+=-，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则()f x 的解析式可以为（ ）A 、()sin(2)6f x x π=+B 、()sin(2)6f x x π=-C 、()sin(2)3f x x π=+D 、()sin(2)3f x x π=-12、要得到函数2log (21)y x =+的图像，只需将21log y x =+的图像（ ）A 、向左移动12个单位 B 、向右移动12个单位 C 、向左移动1个单位 D 、向右移动1个单位13、已知函数()f x 在()-∞+∞，上是奇函数，若对任意的实数0x ≥都有(2)()f x f x +=且当[02)x ∈，时，2()log (1)f x x =+，则(2013)(2014)f f -+的值（ ）A 、2B 、2-C 、1-D 、1 14、在平行四边形ABCD 中，，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，则AE BF ⋅=（ ）A 、B 、1-C 、2D 、15、设函数1sin()20()1()09x x x f x x π--<⎧⎪=⎨⎪⎩，，≤≥，若关于的方程()0f x a -=有三个不等实根1x ，2x，3x ，且12352x x x ++=-，则的值是（ ） A 、13B 、3C 、12D 、2第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水市第五中学2020年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．1 C．D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为是一平放的直三棱柱，正视图为其底面，高为2．利用柱体体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为是一平放的直三棱柱，正视图为其底面，高为2V=Sh==2．故选D．2. 幂函数的图象过点，那么方程的值为（）A． B．2 C．1 D．4参考答案：D3. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足.当时，.若在区间[－2,3]上方程恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．(1,2)参考答案：B4. 设f（x）=3x﹣x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）A．0，1] B．1，2] C．﹣2，﹣1] D．﹣1，0]参考答案：D【考点】二分法求方程的近似解．【分析】令f（x）=3x﹣x2=0，得3x=x2，分别作出函数y=3x，t=x2的图象观察图象的交点所在区间即可．【解答】解：∵f（﹣1）=3﹣1﹣（﹣1）2=﹣1=﹣＜0，f（0）=30﹣02=1＞0，∴f（﹣1）?f（0）＜0，∴有零点的区间是﹣1，0]．【答案】D5. sin150°的值等于（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】根据诱导公式直接求解．【解答】解：sin150°=sin30°=故选A．【点评】本题考查了诱导公式的应用，属于基础题型．6. 制作一个面积为，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济（够用，又耗材最少）的是A．B．C．D．参考答案：略7. 下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是（）A．y=log3x B．y=3|x| C．y=D．y=x3参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数图象特点或定义域的特点，奇函数的定义，以及y=x3函数的图象即可找出正确选项．【解答】解：根据对数函数的图象知y=log3x是非奇非偶函数；y=3|x|是偶函数；y=是非奇非偶函数；y=x3是奇函数，且在定义域R上是奇函数，所以D正确．故选D．8. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若则 B．若则C．若则 D．若则参考答案：C9. 如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A．11 B．11.5 C．12 D．12.5参考答案：C【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数．【解答】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．故选：C．【点评】本题考查频率分布直方图，考查样本重量的中位数，考查学生的读图能力，属于基础题．10. 已知△A BC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则角A为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】根据G为三角形重心，化简已知等式，用c表示出a与b，再利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：∵△ABC的重心为G，∴++=，即+=﹣，∵a+b+c=，∴（a﹣c）+（b﹣c）=，∴a﹣c=0，b﹣c=0，即a=c，b=c，∴cosA===，则A=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数，（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为参考答案：略12. 设，，，则的大小关系是（从小到大排列）。

2017—2018学年度上学期第五次月考高一年级理科数学试题考试时间120分钟试题分数150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题(本题共15小题，每小题4分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1、如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A BC D2、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A B C D3）A B C D、1 -4）A、(3，4) B C D5）A、－32B、32C、－12D、12660°）A 、2BCD 、 47的投影为A B C D （ ）8、给出如下四个函数① ②（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个9）A 、B 、C 、D 、10、若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin 15°)的值为（ ）A 、－32 B 、32 C 、－12 D 、1211（）A、B、C、D、12）ABCD13（）ABCD14、在平行四边形ABCD中，，则AE BF⋅=（）ABCD15）ABC D第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填入答题纸相应位置) 16的夹角为_____。

17，的取值范围为_____ ___。

18、燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行____ __ 单位。

19、在下列结论中：①函k ∈Z ）为奇函数；②函数对称；③函数。

三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）20、（本小题满分10分）21、（本小题满分12分）22、（本小题满分12分）已知向量 (22,2cos2,⎛ ，()f x 的图象过点与其相邻的最高点的距离为723、（本小题满分12分）；24、（本小题满分12分）()0+∞，25、（本小题满分12分）再向上平移1值范围。

上学期第五次月考高一理数试题参考答案一、选择题:CDDCB CBBAA DACCA 二、填空题：161718、320；19、①③④20、（1（221、22、解析：(1) (22,2cos2,⎛22=⨯，2,=∴点(B由2k ππ-(2) 由（123、解：（2分）（4分）-------------------------------------（6分）--------------------------------------------------（8分）（12分）24、解（1（2全优试卷。

数学试卷〔理科〕第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，那么中阴影局部表示的集合为〔 〕A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2.i 为虚数单位，中复平面内的点A 表示复数z ，那么表示复数1zi+的点是〔 〕A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如下，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白局部都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，那么他击中阴影局部的概率是〔 〕A ．14π-B ．4π C ．18π- D ．与a 的取值有关 4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t 〔单位：百万元〕进展了初步统计，得到以下表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，那么p 的值为〔 〕 A ．45 B ．50 C.55 D ．60 5.焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，那么双曲线C 的方程为〔 〕A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.某几何体的三视如下，那么该几何体的体积为〔 〕A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率准确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如是利用刘徽的割圆术设计的程序框，那么输出的n 为〔 〕 〔参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin 7.50.1305≈°〕A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开场逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，那么函数()t f x =的象大致为〔 〕A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，那么三棱锥A BCD -的体积是〔 〕 A ．26 B ．212 C. 24D 310. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.假设ABC ∆的面积13S =，那么ab 的最小值为〔 〕 A ．12 B ．13 C. 16D ．3 11.直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的象恰好有3个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是〔 〕A ．(3,4)B ．(2,)+∞ C. (2,5) D ．(3,22)12.直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-,A B 两点，那么,A B 之间的最短间隔 是〔 〕A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.假设6(n x x x+的展开式中含有常数项，那么n 的最小值等于________.14.抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，假设OAF ∆的面积为3，那么p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，那么不同的分配方法总数为__________.16.假设不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，那么实数a 的取值范围是___________.三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.〔本小题总分值12分〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.〔1〕求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； 〔2〕求数列{}n n a b 的前n 项和. 18.〔本小题总分值12分〕某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369〞的绿色环保活动小组对2021 年1月～2021 年12月〔一年〕内空气质量指数API 进展监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：〔1〕假设该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P 〔单位：元〕与空气质量指数API 〔记为t 〕的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；〔2〕假设本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.〔本小题总分值12分〕在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C A A π∠=.〔1〕假设,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ； 〔2〕求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 20.〔本小题总分值12分〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点2)P 到椭圆C的右焦点的间隔 6〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.〔本小题总分值12分〕 函数221()()(1)(22)2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O . 〔1〕务实数,a b 的值；〔2〕假设2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.请考生在22、23中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：坐标系与参数方程曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x t y t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩〔t 为参数〕.〔1〕写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；〔2〕设曲线C 经过伸缩变换'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y+的最小值，并求相应点M 的坐标.23. 〔本小题总分值10分〕选修4-4：不等式选讲实数0,0a b >>，函数()||||f x x a x b =--+的最大值为3. 〔1〕求a b +的值；〔2〕设函数2()g x x ax b =---，假设对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.2021～2021学年度上学期高三年级五调考试理科数学答案一、选择题A D A D CC BD B BB D二、填空题13.5 14. 2 15.84 16.1a ≤-三、解答题〔本大题共8题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置〕17.解：〔1〕()*11n n a S n N λ+=+∈， ()112n n a S n λ-∴=+≥，1n n n a a a λ+∴-=，即()()112,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………2分()231a λ∴=+，()()241113λλ∴+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=，…………4分 ()12,13132n n n a b n n -∴==+-=-.………………6分 〔2〕()1322n n n a b n -=-⋅，()121114272322n n T n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅………………①()()12312124272352322n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅……………②…………8分 ① —②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…()()12121332212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………10分整理得：()3525n n T n =-⋅+………………12分18.〔Ⅰ〕设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元〞为事件A 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为()3939,100P A ∴=…………4分 〔Ⅱ〕根据以上数据得到如表：…………8分 2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关.…………12分 19.〔此题总分值12分〕解：〔1〕取11AC 的中点G ， 连接,FG EG ，在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄平面1111,ABB A A B ⊂平面11ABB A ，GE ∴平面11ABB A ，同理可得GE 平面11ABB A ，…………2分 又GFGE G =，所以平面GEF 平面11ABB A ，EF ⊂平面GEF ，EF ∴平面11ABB A .…………4分〔2〕连接1AC ，在11AAC 中，11111,4C A A AC π∠=， 所以由余弦定理得2222111111*********cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，平面11AA C C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如下的空间直角坐标系，设1AB =，那么()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分 设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =，那么11110,0m AC m A B •=•=，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，那么221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量， 所以222110113222cos ,112113m n m n m n⨯+⨯+⨯<>===⨯⨯++， 平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值22211.20.〔此题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕因为椭圆C 的右焦点(),0,6,2F c PF c =，…………1分()2,2在椭圆C 上，22421a b ∴+=，…………2分由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.…………4分〔Ⅱ〕由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，M AB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l 的方程为：2y kx =那么直线2l 的方程为：()()112212,,,,y x A x y B x y k=-+，由22184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()221240k x ++-=，所以12122412x x x x k -+==+，…………7分那么12AB x =-=8分又圆心(Q 到2l 的间隔1d =<21k >，…………9分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的间隔 等于Q 点到AB 的间隔 ，设为2d，即2d ==10分所以M AB ∆面积212s AB d ==11分 令()2213,t k =+∈+∞，那么110,,3S t ⎫⎛⎫∈=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，综上，M AB ∆面积的取值范围为⎤⎥⎝⎦.…………12分21.解：〔1〕()()()()221221222x f x ax bx a b ax b e x x x x ⎡⎤=++-++-++-+⎣⎦ ()()2212322xax a b x a e x x ⎡⎤=+++-+⎣⎦，…………1分 ()00f a ∴==，又()010,1f a b b =-+=∴=.………………4分 〔2〕不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分 令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫=-++==-+=- ⎪⎝⎭.当0x >时，()10x h x e =->；当0x <时，()10x h x e =-<，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=， 即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤. ∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥， 当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根， 从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分22.解:〔1〕由1x t =-，得1t x =-，代入2y =，20y -=.由2p =，得2224,4p x y =∴+=.…………5分〔2〕,12x x C y y ⋅⋅⋅⎧=⎪∴⎨=⎪⎩的直角坐标方程为2214x y +=. ∴设()2cos ,sinM θθ，那么2cos ,sin x y θθ==.222224cos cos 2sin 2cos 233x y πθθθθθ⎛⎫∴-+=-+=++ ⎪⎝⎭ ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1x y=-⎧⎪⎨=⎪⎩时，上式取最小值1. 即当M ⎛ ⎝⎭或1,M ⎛- ⎝⎭时，222x y +的最小值为1.…………10分 23.解：〔Ⅰ〕()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，…………2分 所以()f x 的最大值为a b +， 3a b ∴+=.………………4分〔Ⅱ〕当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=-+=-，…………6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，()max 3g x <-成立，()g x 的对称轴为2a x a =-<， ()g x ∴在[),x a ∈+∞为减函数， ()g x ∴的最大值为()22223g a a ab a a =---=-+-，…………8分 2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<.………………10分。

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．若幂函数f （x ）的图象过点（16，8），则f （x ）<f （x 2）的解集为 A.（–∞，0）∪（1，+∞） B.（0，1） C.（–∞，0）D.（1，+∞）2．已知函数()1424xx f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（）A.[)3,+∞B.[]3,4C.133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(2)(2)()xf x x f x +=+，则(5)f 的值为 A.0 B.1 C.2D.54．已知lg lg 0a b +=，则函数xy a =与函数log b y x =-的图象可能是（）A. B.C. D.5．为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数cos 2y x =的图像上所有的点（）A.向左平移8π个单位长度 B.向右平移8π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度6．集合{}N 22x x ∈-<用列举法表示是（） A.{}1,2,3 B.{}1,2,3,4 C.{}0,1,2,3,4D.{}0,1,2,37．电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度α=（） 注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等； （ⅱ）取π等于3进行计算 A.30密位 B.60密位 C.90密位D.180密位8．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面开展图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）9．若{}{}2,0,1,,0a a b -=，则20172017a b +的值为 A.0 B.1 C.-1D.210．已知正实数,x y 满足+=2x y xy ,则2x y+最小值为A.32+ B.3C.3+D.11．对x R ∀∈，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（） A.22a -<≤ B.22a -≤≤ C.2a <-或2a ≥D.2a ≤-或2a ≥12．函数f (x )=|x |+ax(a ∈R )的图象不可能是（） A. B.C. D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．若偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，且()01f =-，()10f =，则不等式()0f x ≥的解集是___________. 14．某高中校为了减轻学生过重的课业负担，提高育人质量，在全校所有的1000名高中学生中随机抽取了100名学生，了解他们完成作业所需要的时间（单位：h ），将数据按照，，，，，，分成6组，并将所得的数据绘制成频率分布直方图（如图所示）.由图中数据可知___________；估计全校高中学生中完成作业时间不少于的人数为___________.15．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________ 16．函数()0.5log 43y x -_________.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−1,2,3,4}，B ={x ∈Z|y =ln (9−x 2)}，则A ∩B =( )A. {1,2,3}B. {−1,2}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4}2.已知复数z 1=a 2−3a +3i ，z 2=2+(a 2−4a)i ，a ∈R ，若z 1+z 2为纯虚数，则a =( )A. 1或2B. 1C. 2D. 33.已知向量a ,b 满足|a |=2,b =(2,0)，且|a +b |=2，则a 在b 上的投影向量的坐标为( )A. (−1,0)B. (1,0)C. (−2,0)D. (2,0)4.已知cos (α+π2)=2cos(α+3π)，则sin 2α+12sin2αcos 2α=( )A. −14 B. 34 C. 2D. 65.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为( )A. 16π3B. 16πC. 64π3D. 72π6.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，3S 2=a 1+2a 3，a 3=8，则数列{a n +2n−1}的前5项和为( )A. 55B. 57C. 87D. 897.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)−m =0在x ∈[−π12,π6]上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为( )A. (−2,2]B. (−2,− 3]C. [ 3,2]D. (− 3, 3]8.已知定义域为R的函数f(x)不是常函数，且满足f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=0，则∑2026i=1f (i)=( )A. −2B. 2C. −2026D. 2026二、多选题：本题共3小题，共18分。