人教版八年级下册数学菱形.ppt

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20、任何人都不可以随随便便的成功，它来自完全的自我约束和坚韧不拔的毅力。永远别放弃自己，哪怕所有人都放弃了你。
Hale Waihona Puke •6、在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?
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7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。
菱形
1.什么叫做平行四边形？ 2.什么叫矩形？ 3.平行四边形和矩形之间的关系 是什么？
矩形
一 . 定义
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
感受
生活
三菱越野汽车欣赏
菱形就在我们身边
菱形是特殊的平行四边形，它具有平 行四边形的一切性质．即
边：菱形的对边平行且相等． 角：菱形的对角相等． 对角线：菱形的对角线互相平分．
求：（1）∠ABC的度数 （2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
D
C
O
A
B
E
回味无穷
这 堂 课 你 学 到 了 什 么？
作业
课本 60 页 5、11题
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1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。
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2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
A
O
B
D
C
课堂检测
1.已知菱形的周长是12cm，那 么它的边长是______.

(2)从图中你能得到哪些 从图中你能得到哪些 结论?并说明理由 并说明理由. 结论 并说明理由
提示:从边、 对角线、 提示 从边、角、对角线、 从边 面积等方面来探讨
菱形的性质： 菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形， 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质. 边形的所有性质
由于平行四边形的对边相等， 由于平行四边形的对边相等， 对边相等 而菱形的邻边相等 邻边相等， 而菱形的邻边相等， 菱形的性质1： 故： 菱形的性质 ： 菱形的四条边都相等 四条边都相等。 菱形的四条边都相等。 又：
【菱形的面积公式】 菱形的面积公式】
A 菱形是特殊的平行四边形 菱形是特殊的平行四边形, 特殊的平行四边形 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? 面积公式计算菱形的面积吗 D
菱形
B
O E
C
S菱形=BC●AE
为 什 么 ?
思考:计算菱形的面积除了上式方法外 利 思考 计算菱形的面积除了上式方法外,利 计算菱形的面积除了上式方法外 计算菱形的面积公式吗? 用对角线能 计算菱形的面积公式吗
相等的线段： 相等的线段： AB=CD=AD=BC
5
A
1 2
7 8
D
O
6 3 4
OA=OC OB=OD
B
C
∠ ∠ ∠ 相等的角： 相等的角： DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠ ∠ ∠ ° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
A
B
O
D
C
19
四边形
作
业
P98练习题 P98练习题 习题19.2 习题19.2

BC 翻折后，得到△DBC.求证：四边形 知识点3 四条边相等的四边形是菱形
则□ABCD的周长为( )
ABDC
是菱形．
AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD
证明：∵将△ABC 沿底边 BC 翻折得到△DBC， 知识点3 四条边相等的四边形是菱形
11．(湖州中考)如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF. 证明：过点A作AF⊥BC于点F，AE⊥CD于点E，
∠D＝∠B＝90°.
3
∴AF＝CE＝
22＋ 2 2
＝5 2
.
∵BE＝DF＝32
，∴CF＝AE＝4－32
.
∴四边形 AECF 是菱形．
(2) 解：如图，过点 F 作 FH⊥AB 于点 H，
则四边形 AHFD 是矩形，
∴AH＝DF＝32
，FH＝AD＝2.∴EH＝52
D．12
二级能力提升练
11．(湖州中考)如图，已知在△ABC中，D，E，F分别 是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形； (2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
(1)证明：∵D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点， ∴DF∥BC，FE∥AB. ∴四边形 BEFD 是平行四边形．
10．在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3， 4．(例2)如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝8，DB＝6. AC⊥BD，AC与BD互相平分
B.AC＝BC AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD
解：重叠部分是菱形． ∴四边形ABCD是平行四边形．
C.∠B＝60° 8．我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？

D
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形， A
O
C
即AC⊥BD，
B
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、 BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
证明：连接AC、BD.
A
E
D
∵四边形ABCD是矩形，
F
H
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点， B
G
C
E F G H 1B D ， F G E H 1A C ,
2
2
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各
边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
E
B
A
∵点E、F、G、H为各边中点，
F
E F G H 1 2 B D ， F G E H 1 2A C , D
小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证一证 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
B
∴AB=CD , BC=AD.
A
∴四边形ABCD是平行四边形.
C D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结 菱形的判定定理：
解：四边形EFGH是菱形.

求证：(1)AB＝BC＝CD＝DA.
(2)AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和 ∠ABC. 证明： (2) ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD,
又∵AB=AD, ∴AO⊥BD，∠1=∠2.
即AC⊥BD，AC平分∠BAD.
同理可证，AC平分∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC.
二、折纸实验 研究性 质：
2. 猜想菱形性质并推理证明: 从菱形的边、角、对角线等方面进行研究，菱形还有以下性质: 性质1：菱形的四条边都相等. 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA.
二、折纸实验 研究性 质：
2. 猜想菱形性质并推理证明: 性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一 组对角. 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB， ∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA.
二、折纸实验 研究性 质：
3. 应用性质探究菱形的面积. 方法一：利用平行四边形的面积公式 S菱形＝BC·AE.
方法二：把菱形的面积看成四个小直角三角形的面
1 1 1 1 1 4 OA OB 4 AC BD AC BD 2 2 2 2 2 S菱形ABCD＝4S△AOB＝
积，
二、折纸实验 研究性 质：
3. 应用性质探究菱形的面积.
你有什么发现？ 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半， 数学语言表示：
1 1 1 1 1 4 ＝ OA OB 4 AC BD AC BD S菱形ABCD 2 2 2 2 2
二、折纸实验 研究性 质：
例1
[教材P56例3] 如图，菱形花坛ABCD的边长为20

灿若寒星
解 ： 当 四 边 形 EDD′F 为 菱 形 时 ， △A′DE 是 等 腰 三 角 形 ， △A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA 是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝
DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E＝
∠A ， ∠DEA′ ＝ ∠DCA ， ∴∠DA′E ＝ ∠DEA′ ， ∴DA′ ＝ DE ，
7．如图，AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( B ) A．△ABD 与△ABC 的周长相等 B．△ABD 与△ABC 的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
灿若寒星
8．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝4.
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
八年级数学(下册)·人教版
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质
灿若寒星
1．定义：四条边相等的四边形 叫做菱形．菱形是轴对称图形，它的对称 轴是 两条对角线所在的直线 . 2．性质：①菱形的四条边 相等 ；②菱形的对角线 互相垂直平分 ，并且 每条对角线 平分 一组对角． 3．菱形的面积等于两对角线长的乘积的 一半 .
解：∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝8cm，OD＝21BD＝ 6cm.∴AD＝ 62＋82＝10，∴C 菱形＝4AD＝40cm.由 S 菱形＝AB×DE＝12 ×AC×BD，即 10×DE＝12×16×12，∴DE＝9.6cm.
灿若寒星
5．如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到 △ACD，再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后 点 D′，未到达点 B 时，A′C′交 CD 于 E，D′C′交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD′F 为菱形时，试探究△A′DE 的形状，并判断△A′DE 与△EFC′是否全等？请说明理由．

角
菱形的两组对角分别相等
对角线
菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对 角线平分一组对角
对称性
菱形是轴对称图形
课堂总结
2.本节课你感受到了哪些数学思想方法？ （1）从一般到特殊： 平行四边形 有一组邻边相等 菱形. （2）转化思想： 将四边形问题转化为三角形问题. （3）从特殊到一般：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
求证:AC⊥BD.
分析：
菱形ABCD （从定义出发）
AB=AD □ABCD
等腰△ABD OB=OD
猜想2：菱形的对角线互相垂直.
已知:四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD交于点O. 求证:AC⊥BD.
分析：等腰△ABD
OB=OD
三线合一
AO⊥BD，AO平分∠BAD AC⊥BD，AC平分∠BAD
猜想2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵点C在y轴负半轴上，∴点C的坐标为（0，-2）.
=△ABD的面积+△CBD的面积
点D的坐标为（ ，0）.
2 解∴：OD∵=四OB边=形ABCD是菱形，AC=6，BD=8体， 会几何图形研究的一般步骤和方法
菱形的两组对角分别相等
= BD×AO + BD×CO
(1)菱形是轴对称图形.
猜想2：菱形的对角线互相垂直.
问题1：平行四边形的边特殊化得到什么图形呢？
∴AB=AD，OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是菱形，
菱形的两组对角分别相等
菱形性质定理1：菱形的四条边都相等.
例3 如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD，∠ABC=60°，点A的坐标为（0，2）.
求B，C，D各点的坐标.
猜想2：菱形的对角线互相垂直.

A∴S△AOFra bibliotek＝1 2
OA·OB＝
1 2
×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
B
O
D
∵ AB AO2 BO2 52 122 13,
C
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ 11230.
课堂检测
能力提升题
求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B
F
C
EA
又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．
D
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
课堂小结
边
菱
形 的
角
性
O
C
形
的
菱形的两组对角分别相等 角
性
菱形的邻角互补
质
B
怎样判断一 个四边形是 菱形？
菱形的两条对角线互相平分
对角线 菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
素养目标
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比 思想，体会研究图形判定的一般思路. 1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已 知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 .
B
O
D
C
= AC(BO+DO)
= AC·BD. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
探究新知 素养考点 1 利用菱形的面积公式解答问题
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的 长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.

： 平行四边形
∵ 四边形ABCD是平行四边形
A
D
又∵AC⊥BD于点O;
∴□ ABCD是菱形
O
B
C
A
证明：∵ AO=3，BO=4，AB=5 B
O
D
∴AO2+BO2=32+42=25，AB2=25
∴AB2=AO2+BO2
C
∴△OAB是直角三角形
∴AC⊥BD于点O
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
D.
的 四边形是菱形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形
D.
∠DOA=∠DOC
∴四边形EFGH是菱形
的四边形是菱形；
∴∠DOA=∠DOC=90°
菱形的对角线 ∴四边形ABCD是菱形
∴四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形AEDF是平行四边形
互相平分
对角线互相垂的 平行四边形是菱形
求证：四边都相等 四边形
∵AB=CD,AD=BC
一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为 ，其面积为
∴四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形AFCE是平行四边形
∴四边形AEDF是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
D
C
。
四边形
在四边形ABCD中
A
D
∵AB=BC=CD=DA
∵四边形ABCD是平行 四边形，AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
A B
D C
菱形的特殊性质
逆命题
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 在四边形ABCD中
四条边都相等
9、已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．

在Rt△AOB中，由勾股定理得
D
AB= AO2 BO2 =5,
∴菱形的周长为20，菱形的面积为24.
对应训练
2. 小雨在参观故宫博物院时,被太和殿窗棂的三 交六椀菱花图案所吸引,他从中提取出一个含60° 角的菱形ABCD(如图)．若AB的长度为2,求菱形 ABCD的面积．
A
B 60°
D
C
对应训练
和平行四边形相比,有什么特殊之处?
菱形在平行四边形的基础上多了邻
边相等的条件.
探究点1
菱形的性质
将一个菱形分别沿它的两条对角线对折,然后打开.
观察图形,回答下列问题:
（3）平行四边形的两组对边分别相
等,那么菱形的四条边有怎样的关系
呢? 由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形,由平行
四边形对边相等的性质容易发现菱形的四条边都相等
课后作业
4. 如图，在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，
EC=2a, ∠BAD=120°，点P在BD上，则PE+PC
的最小值是 2 3a .
A
D
120P°
B E 2a C
一组对角. 综合来看,这两条性质可用下面的几何语言来表示:
几何语言：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD ,AC⊥BD ,
B
AC平分∠BAD ,CA平分∠BCD ,
BD平分∠ABC,DB平分∠ADC.
A
O
D
C
对应训练
1. 菱形不具有的性质是（ B ）
A. 四条边都相等 C. 是轴对称图形
第十八章 平行四边形
菱形的性质
情境导入
拿一个活动的平行四边形教具,移动它的一条边,使这条 边与邻边的长度相等,这时它是什么图形?