000A4锐角三角函数知识点

锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二、锐角三角函数的增减性：（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0三、同角三角函数的关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA 或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．四、互余两角的函数关系：在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°-∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．五、特殊角的三角函数值：（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=； tan60°=；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．六、计算器-三角函数（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．（2）求锐角三角函数值的方法：如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．注意：不同型号的计算器使用方法不同．（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：如已知sinα=0.5678，一般先按键“SHIFT”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键七、解直角三角形1、（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2、解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案3、坡度角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=hl=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．4、仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．5、方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．。

《锐角三角函数》讲义知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=；∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围<sinA< cosA<tanA>例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第1题图①＝______， ＝______；②＝______， ＝______； ③＝______， ＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．典型例题：类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ；(2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4. 已知A ∠是锐角，，求A cos ，A tan 的值对应训练：1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为A．55B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B .45C .34D . 43类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，及x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12B ．3C ．35D ．453.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则sin α=．4.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，，则这个菱形的面积=cm 2．5.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．23B ．32 C ．34 D ．436. 如图6，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )D C B A Oy x第8题图Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35 Ｄ．457. 如图7，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若 ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．22 8. 如图8，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.类型三. 化斜三角形为直角三角形例1如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例2．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练 1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是A.23 cm 2 .43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值（） A ．12 B ．55 C ．1010 D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 A.41 B. 31 C.21D.13．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（）A ． 5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而 例1．求下列各式的值．1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2． 2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2. 3）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45° 锐角α 30° 45° 60° sin α cos αtan αCBA ABO4．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+． 5．计算：；例2．求适合下列条件的锐角α ．(1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3.已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.如图，△ABC 中，∠A=30°，，43AC =AB 的长.解直角三角形1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， ①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边及角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______； _____；______．④直角三角形中成比例的线段．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：，6=c ，求a 、b ；(4)已知：求a 、c ；DCBAACB(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型二：解直角三角形的实际应用 仰角及俯角：例1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ． 200米B ． 200米C ． 220米D ． 100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．例3.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．例4.如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都及地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.类型四. 坡度及坡角例．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，及灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13≈)综合题：三角函数及四边形：1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan ∠BDC= 6． (1)求BD 的长； (2)求AD 的长．2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ． （1）求证：∠BAE =∠DAF ； （2）若AE =4，AF =245，，求CF 的长．A BCD ECB A三角函数及圆：1.已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 及⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。

锐角三角函数知识点一：锐角三角函数1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。

2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin 。

3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos 。

4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan 。

sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。

考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。

3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。

5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosBB 、1n cosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。

（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。

6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。

7、如图（1），∠α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一个点P （3，4），则sin α=______ 8、如图（2）所示，在正方形网格中，sin ∠AOB 等于（ ） A 5B 25C 、12D 、2注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

锐角三角函数知识点归纳总结锐角三角函数是中学数学中的一门重要概念，涵盖了三角函数的绝大部分知识点。

掌握锐角三角函数是解决三角函数问题的关键，也是解决初等三角方程的基础。

本文将就锐角三角函数的相关知识点进行归纳总结，便于读者进行系统地学习和掌握。

一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，在锐角三角函数中有着重要的地位。

正弦函数在数学中的表达式为sinx，其定义域为实数集合R，值域为闭区间[-1,1]。

具体来说，正弦函数在锐角三角形中，它的值等于对边长度与斜边长度的比值。

正弦函数在锐角三角函数中的性质：1. 周期性：sin(x+2kπ)=sinx，其中k为任意整数。

2. 对称性：sin(-x)=-sinx。

3. 奇偶性：sin(-x)=-sinx，sin(x+π)=-sinx。

4. 增减性：在区间[0,π/2]上，sinx单调递增；在区间[π/2,π]上，sinx单调递减。

5. 值域：正弦函数在[-π/2,π/2]上单调递增，值域为[-1,1]。

在求解三角函数的数值计算时，使用正弦函数的一般方法是将角度转换为弧度，然后采用计算器进行计算。

二、余弦函数余弦函数是一种最为常见的三角函数之一，通常在三角函数的解题中被广泛应用。

余弦函数在数学中的表达式为cosx，其定义域为实数集合R，值域为闭区间[-1,1]。

具体来说，余弦函数在锐角三角形中，它的值等于邻边长度与斜边长度的比值。

余弦函数在锐角三角函数中的性质：1. 周期性：cos(x+2kπ)=cosx，其中k为任意整数。

2. 对称性：cos(-x)=cosx。

3. 奇偶性：cos(-x)=cosx，cos(x+π)=-cosx。

4. 增减性：在区间[0,π/2]上，cosx单调递减；在区间[π/2,π]上，cosx单调递增。

5. 值域：余弦函数在[0,π]上单调递减，值域为[1,-1]。

三、正切函数正切函数是三角函数中的一种，通常用于解决三角函数运算或求解空间中的几何问题。

锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。

2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。

一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。

3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。

二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。

圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。

2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。

三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。

2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。

四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。

九年级锐角三角函数知识点锐角三角函数是初中数学中的一个重要知识点，也是后续高中数学学习的基础。

它是研究角度与三角函数之间的关系的一门学科。

一、三角函数的定义与性质三角函数是代表角度与三角函数之间关系的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

这三个函数分别用sin、cos和tan 表示。

在锐角三角函数中，这些函数都是定义在锐角上的。

1. 正弦函数：正弦函数是指对于任意锐角，其对边与斜边的比值。

在一个直角三角形中，我们可以将一个锐角的对边与斜边的比值定义为sinA，其中A表示角度。

正弦函数的取值范围在-1到1之间。

2. 余弦函数：余弦函数是指对于任意锐角，其邻边与斜边的比值。

在一个直角三角形中，我们可以将一个锐角的邻边与斜边的比值定义为cosA，其中A表示角度。

余弦函数的取值范围也在-1到1之间。

3. 正切函数：正切函数是指对于任意锐角，其对边与邻边的比值。

在一个直角三角形中，我们可以将一个锐角的对边与邻边的比值定义为tanA，其中A表示角度。

正切函数的取值范围是整个实数集。

二、三角函数的运算性质除了基本的定义和取值范围外，三角函数还有一些重要的运算性质，包括三角函数的周期性和互余关系。

1. 周期性：三角函数是周期性函数，即对于任意角度A，它与A+360°的函数值相等。

这意味着三角函数的函数图像在一个周期内重复出现。

2. 互余关系：正弦函数和余弦函数之间存在互余关系，即sinA = cos(90°-A)，cosA = sin(90°-A)。

这个关系可以通过代入角度验证。

三、三角函数的应用除了在数学中的研究和计算外，三角函数在实际中也有广泛的应用。

1. 在物理学中，三角函数常常用于描述振动和波动现象。

例如，在谐振器的分析中，正弦函数被用来表示振动的位移变化。

2. 在工程学中，三角函数被广泛应用于计算建筑物和结构物的设计和施工。

例如，在测量喷泉的水流角度时，可以利用三角函数计算出水流的高度和距离。

锐角三角函数 讲义一、基础知识点: 1.定义:如图在△ABC 中，∠C 为直角,我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；ca A =sin 把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ;cb A =cos 把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tan A ;ba A =tan 2、三角函数值(1）特殊角的三角函数值角度 三角函数 0° 30° ４5° ６０° 90° s ｉｎA 0 12 22 32１cosA １ 32 22 12 0ｔanA313不存在(２）锐角三角函数值的变化：（1)当α为锐角时，各三角函数值均为正数,且0<s ｉｎα＜1，0<c ｏs α＜1,当0°≤α≤45°时，sin α，tan α随角度的增大而_＿_____,ｃo ｓα随角度的增大而____＿__.（3）当0°<α<45°时,ｓin α__＿＿_c ｏs α;当45°＜α<90°时,ｓin α______c ｏs α.3、 同角、互余角的三角函数关系:(1)同角三角函数关系：1cos sin 22=+A A .； AA A cos sin tan =；(２)互余锐角的三角函数关系:)90cos(cos sin A B A -︒==，)90sin(sin cos A B A -︒==。

1、 解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边),求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表： 已知条件 解法 一条边和一个锐角 斜边ｃ和 锐角Ａ290,sin ,cos ,sin cos B A a c A b c A S c A A ο=-===直角边a 和锐角A 90,,,tan sin a aB A b c A Aο=-==两条边两条直角 边a 和b 22c a b =+,1,90,2A B A S ab ο=-=直角边ａ和 斜边c22,sin ,,90ab c a A A B A cο=-==-备注:a 、ｂ、c 为三角形的三边;A 、B 、C 为三角形的三个内角、S 为三角形的面积 三、典型例题：1． 锐角三角函数的相关概念例1、如图１，在RT △A ＢＣ中，∠C=９0°,si ｎA ＝53,则tanB 的值为（ﻩ）A ．34ﻩ B.54 ﻩC ．45 ﻩﻩD ．43例5例2、如图,⊙O 是△A ＢC 的外接圆,A Ｄ是⊙Ｏ的直径,若⊙O 的半径是23，AC=２,则ｓinB 的值是（ )Ａ.32ﻩﻩ B.23ﻩﻩﻩC ．43 ﻩﻩD ．34ﻩ例3：已知在Rt ABC △中,∠C 为直角，A Ｃ = ４cm ，ＢＣ = 3cm ，sin ∠A ＝ ． 例4：在Rt ABC △中,90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．例5:如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝9０°,ＡB =5,AC ＝２，则cos Ａ的值是( ) A.错误! B.错误! C.错误! D ．错误!A CB图1A BCDO例2ACB ACBDBACDE 例6：如图2,在△ABC 中,∠C =９0°，ＡB =1０cm ,sinA =54，则B Ｃ的长为 __＿c ｍ． 例6例７:正方形网格中，AOB ∠如图3放置，则cos AOB ∠的值为（ ）A.55ﻩ Ｂ．255ﻩ C.12ﻩﻩD.2 典型例题题型一：求锐角三角函数的值例1 在Ｒt △ＡＢC 中,∠C ＝90°，sin Ｂ=35,点D 在ＢＣ边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠ＢAD 的正切值.变式训练1 如图,在ABC △中,90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ,若23AC =,32AB =,则tan BCD ∠的值为（ ) A.2 B ．2C ．6ﻩD ．3变式训练2如图,在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ＡDE=6０°,BD=4,CE=43，则△ABC 的面积为( )A.83B.１5ﻩC.3D.3题型三:化简计算例1(1））计算：20113015(1)()(cos68)338sin 602π---+++-.ABO例7变式1图 变式2图变式:已知α是锐角，且s ｉn(α+15°）＝32。

锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值,并熟练准确的记住特殊角的三角函数值; 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系"及“锐角三角函数值随角度变化的规律".【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时,比值也随之变化． （2）sinA ，cosA,tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF"；另外,、、常写成、、．(3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°〈∠A〈90°间变化时,，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值锐角Ca bc30°45°160°要点诠释:（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．（2)仔细研究表中数值的规律会发现:、、的值依次为、、,而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小)而增大(或减小）；②余弦值随锐角度数的增大(或减小）而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°．(1）互余关系：，;(2)平方关系:; （3)倒数关系：或；（4）商数关系：．要点诠释:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B，C都在格点上,则∠ABC的正切值是（）A ．2B ．C ．D ．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【答案】D ． 【解析】 解:如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2,BC=， ∴△ABC 为直角三角形, ∴tan ∠B==，故选：D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC 、AB 的长，再求正切函数． 举一反三:【变式】在Rt ΔABC 中,∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ,sinA = , cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ,sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值:(1）（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；ACa bc(2）(2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)(2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：(1）原式==122-．(2）原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63-；（3）原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中,∠C=90°，若∠A=45°,则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°,sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+｜sinB﹣｜=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求(1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值．【答案与解析】解：（1）∵｜1﹣tanA)2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°,∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC,∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB,∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6,AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中,63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质,利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC,由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知,而已知CD ＝6，AB ＝10,可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①,在△ABC 中，AB ＝AC,顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题:(1）sad60°＝________．(2）对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．（3）如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1）1； （2)0＜sadA ＜2;(3）如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a,∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】（1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等,故sadA ＝1；（2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；（3）将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示,根据定义可求解．。

《锐角三角函数》知识点一：锐角三角函数（正弦、余弦、正切）（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 ，记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边；（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即 bcos cA A ∠==的邻边斜边；（3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切， 记作tan A ，即atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边。

锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。

知识点二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表知识点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）两锐角之间的关系： A ＋B ＝90° （2）三条边之间的关系：（3）边角之间的关系： ①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 正比cosA 随着角度的增大而 减小 反比tanA 随着角度的增大而 增大 正比知识点一、二、三对应基础练习1.在Rt ABC △中，9032C AB BC ∠===°，，，则cos A 的值是 。

2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC = 1，AB = 4 ， 则sin A 的值是（ ）A ．1515 B ．41 C ．31 D ．4153. 如图1，在Rt △ABC 中，ACB ∠90=，CD ⊥AB 于D ，若3BC =，4AC =，则tan BCD ∠的值为 （ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．454.在△ABC 中，90C ∠=，12sin 13A =，周长为60，CD 是斜边AB 上的高，则CD 的长是 。

锐角三角函数重点知识梳理锐角三角函数是三角学的基础内容，掌握锐角三角函数的有关概念及性质是学习解直角三角形的关键。

因此，学习时需注意掌握以下几个重点内容。

一. 理解锐角三角函数的定义教材中在研究锐角三角函数的定义时，是将锐角放在直角三角形中给出的。

如图1所示，在Rt ABC ∆中，∠=C 90°，∠A 、∠B 、∠C 对应的边分别为a 、b 、c ，锐角A 的正弦、余弦、正切、余切函数，分别记作sin cos A a c A b c ==，，tan A a b =，cot A b a =。

由此可见，锐角三角函数值是一个比值，四个三角函数值随角度的变化而变化。

当锐角固定时，它的四个三角函数值也就确定了。

aA b C图1例1. 在∆ABC 中，AB=AC=3，BC=2，则cos B =____________。

解析：由题设可知，△ABC 不是直角三角形，不能直接运用锐角三角函数的定义，故需构造直角三角形（构造直角三角形是要求大家掌握的解题技巧）。

如图2所示，过点A 作AD BC ⊥于D ，由AB=AC 可知，△ABC 是一个等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”性质，可知BD BC ==121，故cos B BD AB ==13。

二. 熟记特殊角的三角函数值任意锐角的三角函数值都可以用计算器求得，但特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值应当熟练掌握，以便于运用它们进行计算，求值或解直角三角形。

例2. 在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A =12，cot B =3，则△ABC 的形状是（ ）B D CA. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定解析：根据特殊角的锐角三角函数值，易知∠A=∠B=30°，则∠C=120°，故△ABC 为钝角三角形。

应选C 。

三. 弄清锐角三角函数间的关系1. 同角三角函数间的关系：（1）平方关系：sin cos 221αα+=；（2）倒数关系：tan cot αα⋅=1； （3）商数关系：tan sin cos cot cos sin αααααα==，。