【高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第九章 平面解析几何9.5

2014届高考数学（文）一轮复习单元测试第九章解析几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、．（2013年高考重庆卷（文4））设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上的动点,则PQ 的最小值为 （ ）A ．6B ． 4C ．3D ．22 ．（2013年高考天津卷（文5））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = （ ）A ．12-B ．1C ．2D ．123 ．（2013年高考广东卷（文7））垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（ ）A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=4、【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】椭圆221259x y +=的焦距为A ．4B ．6C ．8D ．105、【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为A ．2 B. 3 C. 4 D.56．（ 2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22 C ．1D ．27、【东北三校2013届高三3月第一次联考】与椭圆:C 2211612y x +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）A ．2213y x -= B ．2221y x -=C ．22122y x -= D ．2213y x -=8 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 9 ．（2013年高考重庆卷（文10））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A ．2]B ．2)C ．)+∞D ．)+∞ 10、【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】设12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，与直线y b =相切的2F 交椭圆于点E ，E 恰好是直线EF 1与2F 的切点，则椭圆的离心率为A.2B.3C.3D.411．（2013年高考课标Ⅰ卷（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为 （ ）A ．2B ．C ．D ．412、【贵州省遵义四中2013届高三第四月考文】设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F 、2F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3：2，则曲线C 的离心率等于（ ）（A ）2332或 （B ）223或（C ）122或（D ）1322或二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .14.（2013年高考江西卷（文14））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是_________.15、（2013年高考湖南（文14））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为___________.16、（2013年高考辽宁卷（文15））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点, ,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) （2013年高考四川卷（文））已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点. (Ⅰ)求k 的取值范围;(Ⅱ)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.18. (本小题满分12分) （2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.19．(本小题满分12分) 【北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．20．(本小题满分12分) 【（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .21．(本小题满分12分) （2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.22．(本小题满分12分) （上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）已知抛物线C :px y 22=)0(>p ,直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B .(1)当直线l 过点)0,(p M -时,证明21y y ⋅为定值;(2)当p y y -=21时,直线l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)记)0,(p N ,如果直线l 过点)0,(p M -,设线段AB 的中点为P ,线段PN 的中点为Q .问是否存在一条直线和一个定点,使得点Q 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.祥细答案一、选择题 1、【答案】B【解析】本题考查圆的性质以及距离公式。

第九章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．(2012²浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1或a ＝－2，故选A.2．(2012²湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4|}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案 A解析 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.3．经过抛物线y 2＝4x 的焦点且平行于直线3x －2y ＝0的直线l 的方程是( )A ．3x －2y －3＝0B ．6x －4y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，直线3x －2y ＝0的斜率是32，∴直线l 的方程是y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0，故选A.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心C (a,0)(a >0)，由3a ＋45＝2得，a ＝2，故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.5．(2012²江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2答案 B解析 由等比中项的性质得到a ，c 的一个方程，再进一步转化为关于e 的方程，解之即得所求．依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|²|F 1B |，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝55. 6．(2012²浙江)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.选B.7．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→²PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→²PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40. ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→²PF 2→＝40.∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.8．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0)答案 A解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 21＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．9．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →²CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|²|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →²CD →＝|AB →|²|CD →|＝y A y B ＝p 2.10．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1,1)和两动点P 、Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 D解析 设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，∴k AP ＝x 21－1x 1＋1＝x 1－1，k PQ ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1.由题意得k PA ²k PQ ＝(x 1－1)(x 2＋x 1)＝－1，∴x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1.利用函数性质知x 2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕点P 逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．答案 2x －y ＋8＝0 解析 ∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点．∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.12．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．答案 (x ＋135)2＋(y －65)2＝45解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A (－115，25)，B (－3,2)．因为AB 为直径，其中点为圆心，即为(－135，65)，r ＝12|AB |＝255， 所以圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.13．(2012²江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析 设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43. 14．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．答案x 24＋y 22＝1 解析 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝ 2.∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.15．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|²|MP →|＋MN →²NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为________．答案 3解析 因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|²|MP →|＋MN →²NP →＝0，得 6x ＋32＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x .所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3.16．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤a c ＝1e .又双曲线的渐近线方程y ＝±3x ，则ba＝ 3.因此e ＝c a ＝2，故0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若OP →²OQ →＝－12，求直线l 的方程；(2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率． 解析 (1)依题意知直线l 的斜率存在， 因为直线l 过点M (－2,0)， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以|OP →|＝|OQ →|＝1.因为OP →²OQ →＝－12，即|OP →|²|OQ →|²cos∠POQ ＝－12.所以∠POQ ＝120°，所以点O 到直线l 的距离等于12.所以|2k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1515.所以直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0.(2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以MP ＝PQ ，即P 为MQ 的中点，所以MQ →＝2MP →. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2＝2x 1＋2，y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1＋1，y 2＝2y 1.①因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.②由①及②得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，4x 1＋12＋4y 21＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－78，y 1＝±158.故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159. 18．(本题满分12分)(2012²北京文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k 21＋2k2. 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |²d ＝|k |4＋6k 21＋2k2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1. 19．(本题满分12分)(2012²天津理)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解析 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ²k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)方法一依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2(ab)2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4.因此k 2>3，所以|k |> 3. 方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)²4a 21＋k 22<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.20. (本题满分12分)如图，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左，右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6x －4＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6.∵点P 位于x 轴上方，∴x ＝－6舍去， 只能取x ＝32.由于y >0，于是y ＝52 3.∴点P 的坐标是(32，523)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)(－6≤m ≤6)， 则M 到直线AP 的距离是m ＋62.于是m ＋62＝6－m ，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.21．(本题满分12分)已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． (1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ →＝QB →，且NQ →²AB →＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析 (1)由题意，知m ＋1>1，即m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0， 解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23， 此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， ∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0， 即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2.由AQ →＝QB →，得Q 为线段的AB 的中点， 则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t 1＋3k2.∵NQ →²AB →＝0，∴直线AB 的斜率k AB 与直线QN 的斜率k QN 乘积为－1，即k QN ²k AB ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k2²k ＝－1.化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ， 解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是(12，2)．22．(本题满分12分)(2012²浙江文)如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )．由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.故k ²2m ＝1.所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )．即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0.所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1²y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2²|y 1－y 2|＝1＋4m 2²4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |²d ＝|1－2(m －m 2)|²m －m 2.由Δ＝4m －4m 2>0，得0<m <1.令u ＝m －m 2，0<u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)．设S (u )＝u (1－2u 2)，0<u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈(0，12]． 所以[S (u )]max ＝S (66)＝69.故△ABP 面积的最大值为69.1．(2012²辽宁文)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是 ( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.2．(2012²孝感统考)若直线过点P (－3，－32)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0答案 D解析 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝|3k －32|k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知答案为D.3．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94 D ．4答案 C解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，可知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.4．已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC ＝32，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为A ．6πB ．8πC ．16πD ．18π答案 D解析 当A 与B 或C 重合时，此时圆的面积最大，且圆的半径r ＝BC ＝32，所以圆的面积S ＝πr 2＝π(32)2＝18π，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为18π.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于A.13 B.33 C.12 D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.6．椭圆x 24＋y 23＝1离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0答案 B解析 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.7．已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，则PA →²PB →的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0 C ．(－12，0)D ．[－1,0)答案 C解析 设P (x ，y )，∴|PO |2＝|PA ||PB |， 即x 2＋y 2＝x －12＋y 2²x ＋12＋y 2，整理得2x 2－2y 2＝1.∴PA →²PB →＝(1－x ，－y )²(－1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1 ＝2x 2－32.∴P 为圆内动点且满足x 2－y 2＝12.∴22<|x |<32，∴1<2x 2<32. ∴－12<2x 2－32<0，选C.8．(2012²新课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8答案 C解析 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________． 答案2－1解析 令AB ＝2，则AC ＝2 2.∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋ 2. 可得e ＝ca＝12＋1＝2－1.10．(2012²北京理)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．答案3解析 直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12³1³23＝ 3.11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→²F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|.(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点P (－1,0)，交y 轴于点M ，若MQ →＝2QP →，求直线l 的方程．解析 (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)．由于AF 2→²F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为(a 2－2，±2a)，故AF 1→所在直线方程为y ＝±(x a a 2－2＋1a)．所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)．又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)． 所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 斜率为k ， 直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )． 设Q (x 1，y 1)，∵MQ →＝2QP →， ∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－23，y 1＝k3.又Q 在椭圆C 上，得－2324＋k322＝1，解得k ＝±4.故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)， 即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(1)如果点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率； (2)若函数y ＝2＋log m x (m >0且m ≠1)的图像，无论m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2B →²F 2A →的取值范围．解析 (1)∵点A 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴△AF 1F 2为一直角三角形． ∵|F 1A |＝c ，|F 1F 2|＝2c ， ∴|F 2A |＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝3c . 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)∵函数y ＝2＋log m x 的图像恒过点(1，2)，由已知条件知还恒过点(b ，a )，∴a ＝2，b ＝1，c ＝1.点F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ①若AB ⊥x 轴，则A (－1，22)，B (－1，－22)． ∴F 2A →＝(－2，22)，F 2B →＝(－2，－22)．∴F 2A →²F 2B →＝4－12＝72.②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 2＋2y 2－2＝0，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.(*) ∵Δ＝8k 2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根． x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－11＋2k2.∴F 2A →＝(x 1－1，y 1)，F 2B →＝(x 2－1，y 2)． ∴F 2A →²F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝(1＋k 2)2k 2－11＋2k 2＋(k 2－1)(－4k 21＋2k 2)＋1＋k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－921＋2k 2. ∵1＋2k 2≥1，∴0<11＋2k 2≤1,0<921＋2k 2≤92. ∴－1≤F 2A →²F 2B →＝72－921＋2k 2<72. 综上，由①②，知－1≤F 2A →²F 2B →≤72.13．(2013²衡水调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解析 (1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k (x －4k23＋4k2)．在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k. 当k <0时，3k ＋4k ≤－43；当k >0时，3k＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0<0或0<y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是[－312，312]． 14．(2013²北京海淀区期末)已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32，Q 为椭圆C 的左顶点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点(－65，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．①若直线l 垂直于x 轴，求∠AQB 的大小；②若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且a 2＝b 2＋c 2.由题意可知：b ＝1，c a ＝32. 解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得Q (－2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝－65.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，x 24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝－45.即A (－65，45)，B (－65，－45)(不妨设点A 在x 轴上方)，则k AQ ＝45－0－65－－2＝1，k BQ ＝－45－0－65－－2＝－1.因为k AQ ²k BQ ＝－1，所以AQ ⊥BQ .所以∠AQB ＝π2，即∠AQB 的大小为π2.②当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋65)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋65，x 24＋y 2＝1，消去y 得(25＋100k 2)x 2＋240k 2x ＋144k 2－100＝0.因为点(－65，0)在椭圆C 的内部，显然Δ>0.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－240k 225＋100k2，x 1x 2＝144k 2－10025＋100k 2.因为QA →＝(x 1＋2，y 1)，QB →＝(x 2＋2，y 2)，y 1＝k (x 1＋65)，y 2＝k (x 2＋65)，所以QA →²QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2 ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋k (x 1＋65)²k (x 2＋65)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2＋65k 2)(x 1＋x 2)＋4＋3625k 2＝(1＋k 2)144k 2－10025＋100k ＋(2＋65k 2)(－240k 225＋100k )＋4＋3625k 2＝0. 所以QA →⊥QB →.所以△QAB 为直角三角形．假设存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形，则|QA |＝|QB |. 如图，取AB 的中点M ，连接QM ，则QM ⊥AB.记点(－65，0)为N .因为x M ＝x 1＋x 22＝－120k 225＋100k 2＝－24k 25＋20k2，所以y M ＝k (x M ＋65)＝6k5＋20k 2，即M (－24k 25＋20k 2，6k 5＋20k2)．所以QM →＝(10＋16k 25＋20k 2，6k 5＋20k 2)，NM →＝(65＋20k 2，6k 5＋20k2)．所以QM →²NM →＝10＋16k 25＋20k ³65＋20k ＋6k 5＋20k ³6k 5＋20k ＝60＋132k 25＋20k ≠0.所以QM →与NM →不垂直，即QM →与AB →不垂直，矛盾．所以假设不成立，故当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形．15．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值．解析 (1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为e ＝c a ＝22，圆x 2＋y 2＝4的直径为4，则2a ＝4， 得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c2⇒⎩⎨⎧a ＝2，c ＝2，b ＝ 2.所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)直线AB 的直线方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <2 2. ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3²x 1＋x 22－4x 1x 2＝3²12m 2－m 2＋4＝ 3 4－m 22.又P 到AB 的距离为d ＝|m |3.则S △ABC ＝12|AB |d ＝12 34－m 22|m |3＝12m 24－m 22＝122m 28－m 2≤122²m 2＋8－m 22＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)取等号． ∴(S △ABC )max ＝ 2.16．设椭圆C ：x 2＋2y 2＝2b 2(常数b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 是直线l ：x ＝2b 上的两个动点，F 1M →²F 2N →＝0.(1)若|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，求b 的值； (2)求|MN |的最小值．解析 设M (2b ，y 1)，N (b ，y 2)， 则F 1M →＝(3b ，y 1)，F 2N →＝(b ，y 2)． 由F 1M →²F 2N →＝0，得y 1y 2＝－3b 2.① (1)由|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，得 3b 2＋y 21＝2 5.②b 2＋y 22＝2 5.③由①、②、③三式，消去y 1，y 2，并求得b ＝ 2. (2)易求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.方法一 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥ －2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b ，|MN |取最小值23b .方法二 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋9b4y 21＋6b 2≥12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b 时，|MN |取最小值23b .17．(2013²武汉)如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解析 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2.①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)、(32，1)，此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1.所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[4k 2t24＋k 22－4t 2－44＋k 2]＝43|t |t ＋3.因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |≤2，且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S ＝12|AB |³1≤1，当且仅当t ＝±3时，△AOB 面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(0，－3)或(0，3)．18．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过A (1,0)点，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上P 点的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与PA 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解析 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′| x ＝t＝2t ，所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故Δ＝16[－t 4－2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t t 2－h 21＋t 2. 设线段PA 的中点横坐标为x 3＝1＋t2.由已知得x 0＝x 3，即t t 2－h 21＋t 2＝1＋t2.② 显然t ≠0，h ＝－(t ＋1t＋1)．③当t >0时，t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时取得等号，此时h ≤－3不符合①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋(－1t)≥2，当且仅当t ＝－1时取得等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.19．已知△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(－2，0)，B (2，0)，点C 在x 轴上方． (1)若点C 坐标为(2，1)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程；(2)过点P (m,0)作倾斜角为34π的直线l 交(1)中曲线于M 、N 两点，若点Q (1,0)恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值．解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，c ＝2，2a ＝|AC |＋|BC |＝4，b ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程解得 3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4m3，x 1x 2＝2m 2－43若Q 恰在以MN 为直径的圆上，则y 1x 1－1²y 2x 2－1＝－1，即m 2＋1－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0,3m 2－4m －5＝0，解得m ＝2±193. 20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 关于直线y ＝x ＋1的对称点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解析 (1)⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2⇒x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，V (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m⇒3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝96－8m 2>0⇒－23<m <2 3. ∴x 3＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 3＝x 3＋m ＝m3.又⎩⎪⎨⎪⎧y 3＋y 42＝x 3＋x 42＋1，y 4－y 3x 4－x 3＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝m3－1，y 4＝1－2m3，在x 2＋y 2＝1上．∴(m3－1)2＋(1－2m 3)2＝1⇒m 29－2m 3＋4m 21－4m3＋1＝0. ∴5m 2－18m ＋9＝0⇒(5m －3)(m －3)＝0. ∴m ＝35或m ＝3经检验成立．∴m ＝35或m ＝3.21．(2012²浙江宁波市期末)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1(x 1>0)，过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线l ：y ＝p2于点M ，当|FD |＝2时，∠AFD ＝60°.(1)求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；(2)若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1的值．解析 (1)设A (x 1，y 1)，则切线AD 的方程为y ＝x 1p x －x 212p.所以D (x 12，0)，Q (0，－y 1)，|FQ |＝p 2＋y 1，|FA |＝p2＋y 1，所以|FQ |＝|FA |.所以△AFQ 为等腰三角形， 且D 为AQ 中点，所以DF ⊥AQ . ∵|DF |＝2，∠AFD ＝60°，∴∠QFD ＝60°，p2＝1，得p ＝2，抛物线方程为x 2＝4y .(2)设B (x 2，y 2)(x 2<0)， 则B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x224⇒P (x 1＋x 22，x 1x 24)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝1⇒M (x 12＋2x 1，1)．同理N (x 22＋2x 2，1)，所以面积S ＝12(x 12＋2x 1－x 22－2x 2)²(1－x 1x 24)＝x 2－x 14－x 1x 2216x 1x 2.①设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则b >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y⇒x 2－4kx －4b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，代入①得S ＝16k 2＋16b 4＋4b 264b ＝1＋b 2k 2＋bb，使面积最小，则k ＝0，得到S ＝1＋b 2bb.②令b ＝t ， ②得S (t )＝1＋t 22t＝t 3＋2t ＋1t ，S ′(t )＝3t 2－1t 2＋1t2， ∴当t ∈(0，33)时S (t )单调递减；当t ∈(33，＋∞)时S (t )单调递增． ∴当t ＝33时，S 取最小值为1639，此时b ＝t 2＝13，k ＝0， ∴y 1＝13即x 1＝233.22.如图，已知M (m ，m 2)、N (n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上的两个不同的点，且m 2＋n 2＝1，m＋n ≠0，直线l 是线段MN 的垂直平分线，设椭圆E 的方程为x 22＋y 2a＝1(a >0，a ≠2)．(1)当M 、N 在C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与椭圆E 交于P 、Q 两点，设线段AB 的中点为R ，线段QP 的中点为S ，若OR →²OS →＝0，求椭圆E 的离心率的取值范围．解析 (1)由题意知，直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n 2m －n＝m ＋n .又l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n. ∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2， 即2≥(m ＋n )2(当m ＝n 时，等号成立)，∴|m ＋n |≤ 2. ∵M 、N 是不同的两点，即m ≠n ，∴0<|m ＋n |< 2. ∴|k |>22，即k <－22或k >22. (2)由题意易得，线段MN 的中点坐标为(m ＋n 2，m 2＋n 22)．∵直线l 是线段MN 的垂直平分线， ∴直线l 的方程为y －m 2＋n 22＝k (x －m ＋n2)．又∵m 2＋n 2＝1，k ＝－1m ＋n， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将直线l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理，得x 2－kx －1＝0， ①(a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0. ②易知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4>0， 方程②的判别式Δ2＝8a (2k 2＋a －1)．由(1)易知k 2>12，且a >0，∴2k 2＋a －1>a >0，∴Δ2>0恒成立．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x A ＋x B ＝k ，y A ＋y B ＝kx A ＋1＋kx B ＋1＝k (x A ＋x B )＋2＝k 2＋2.∴线段AB 的中点R 的坐标为(k 2，k 22＋1)．又x P ＋x Q ＝－4ka ＋2k ，y P ＋y Q ＝kx P ＋1＋kx Q ＋1 ＝k (x P ＋x Q )＋2＝2aa ＋2k 2. ∴线段QP 的中点S 的坐标为(－2k a ＋2k 2，aa ＋2k 2)． ∴OR →＝(k 2，k 22＋1)，OS →＝(－2k a ＋2k 2，a a ＋2k 2)，由OR →²OS →＝0，得－k 2＋a k 22＋1a ＋2k 2＝0，即－k 2＋a (k 22＋1)＝0.∴a ＝2k 2k 2＋2.∵k 2>12，∴a ＝2k 2k 2＋2＝21＋2k2>25，a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2<2.∴25<a <2.由题易知，椭圆E 的离心率e ＝2－a 2，∴a ＝2－2e 2，∴25<2－2e 2<2，∴0<e 2<45，∴0<e <255.∴椭圆E 的离心率的取值范围是(0，255)．。

基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.椭圆＋＝的焦距为，则的值等于( )或解析当>时，－＝，∴＝；当<<时，－＝，∴＝.答案.“<<”是“方程＋＝表示椭圆”的( ).充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件解析若＋＝表示椭圆.则有∴<<且≠.故“<<”是“＋＝表示椭圆”的必要不充分条件.答案.(·西安质量检测)已知中心在原点的椭圆的右焦点为(，)，离心率等于，则的方程是( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析依题意，所求椭圆的焦点位于轴上，且＝，＝＝⇒＝，＝－＝，因此其方程是＋＝，故选.答案.(·兰州诊断)已知椭圆：＋＝(>>)的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，若椭圆的中心到直线的距离为，则椭圆的离心率＝( )解析设椭圆的焦距为(<)，由于直线的方程为＋－＝，∴＝，∵＝－，∴－＋＝，解得＝或＝(舍去)，∴＝.答案.(·江西师大附中模拟)椭圆＋＝与直线＝－交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为( )解析设(，)，(，)，则＋＝，＋＝，即－＝－(－)，－－)＝－，＝－，∴×(－)×＝－，∴＝，故选.答案二、填空题.若椭圆＋＝上一点到焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是.解析由椭圆定义知＋＝，又＝，∴＝.答案.已知椭圆＋＝(>>)的离心率等于，其焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△中，＋)的值等于.解析在△中，由正弦定理得＋)＝，因为点在椭圆上，所以由椭圆定义知＋＝，而＝，所以＋)＝＝＝.答案.(·福建卷改编)已知椭圆：＋＝(＞＞)的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：－＝交椭圆于，两点.若＋＝，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是.解析设椭圆的左焦点为，半焦距为，连接，，则四边形为平行四边形，所以＋＝＋＝.根据椭圆定义，有＋＋＋＝，所以＝，解得＝.因为点到直线：－＝的距离不小于，即≥，≥，所以≥，所以－≥，－≥，解得＜≤，所以＜≤，所以椭圆的离心率的取值范围为.答案三、解答题.如图所示，已知椭圆＋＝(>>)，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.()若∠＝°，求椭圆的离心率；()若椭圆的焦距为，且＝，求椭圆的方程.。

第九章第二节排列与组合一、选择题1.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有( )A．2 680种B．4 320种C．4 920种D．5 140种2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种 D．20种3．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )A．80 B．120C．140 D．504．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某某世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一．每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( ) A．152 B．126C．90 D．545．研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A，B，C，D，E五个操作实验，每位同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D实验，下午不能做E 实验，则不同的安排方式共有( )A．144种 B．192种C．216种 D．264种6．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为( )A．72 B．108C．180 D．216二、填空题7．5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆，宾馆有3间客房可选，一间客房为3人间，其余为2人间，则5人入住两间客房的不同方法有______种(用数字作答)．8．将数字1,2,3,4,5按第一行2个数，第二行3个数的形式随机排列，设a i(i＝1,2)表示第i行中最小的数，则满足a1>a2的所有排列的个数是________．(用数字作答) 9．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________种．三、解答题10．某某鲁能、某某申花、某某泰达与某某绿城四家中国足球俱乐部参加了2011年亚洲足球俱乐部冠军联赛，为了打出中国足球的精神面貌，足协想派五名官员给这四支球队做动员工作，每个俱乐部至少派一名官员，且甲、乙两名官员不能到同一家俱乐部，共有多少种不同的安排方法？11.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？12．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．详解答案一、选择题1. 解析：先将7盆花全排列，共有A77种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5A33 A44种，故所求摆放方法有A77－5A33A44＝4 320种．答案：B2．解析：依题意，就所剩余的是一本画册还是一本集邮册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6种．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种．答案：B3．解析：当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有C35C12＝20种不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有C25C23＝30种不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有C25C13＝30种不同的分配方案．故共有20＋30＋30＝80种不同的分配方案．答案：A4．解析：考虑特殊元素(位置)优先安排法．第一类：在丙、丁、戊中任选一位担任司机工作时有C13C24A33＝108.第二类：在丙、丁、戊中任选两位担任司机工作时，有C23A33＝18，∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.答案：B5．解析：根据题意得，上午要做的实验是A，B，C，E，下午要做的实验是A，B，C，D，且上午做了A，B，C实验的同学下午不再做相同的实验．先安排上午，从4位同学中任选一人做E实验，其余三人分别做A，B，C实验，有C14·A33＝24种安排方式．再安排下午，分两类：①上午选E实验的同学下午选D实验，另三位同学对A，B，C实验错位排列，有2种方法，则不同的安排方式有N1＝1×2＝2种；②上午选E实验的同学下午选A，B，C实验之一，另外三位从剩下的两项和D一共三项中选，但必须与上午的实验项目错开，有3种方法，则不同的安排方式有N2＝C13·3＝9种，于是，不同的安排方式共有N＝24×(2＋9)＝264种．答案：D6．解析：设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法；综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180种参加方法．答案：C二、填空题7．解析：由题意可知，5人入住的两间客房为一间3人间和一间2人间，则所求的不同方法有C35C12＝20种．答案：208．解析：依题意数字1必在第二行，其余数字的位置不限，共有A24A33＝72个．答案：729．解析：先从6双手套中任取一双，有C16种取法，再从其余手套中任取2只，有C210种取法，其中取到一双同色手套的取法有C15种．故总的取法有C16(C210－C15)＝240种．答案：240三、解答题10．解：法一：根据题意，可根据甲、乙两人所去俱乐部的情况进行分类：(1)甲乙两人都单独去一个俱乐部，剩余三人中必有两人去同一家俱乐部，先从三人中选取两人组成一组，与其他三人组成四个组进行全排列，则不同的安排方法有C23A44＝3×24＝72(种)；(2)甲、乙两人去的俱乐部中有一个是两个人，从剩余三人中选取一人与甲或乙组成一组，和其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有C12C13A44＝2×3×24＝144(种)．所以不同的安排方法共有72＋144＝216种．法二：如果甲、乙两人可以去同一家俱乐部，则先从五人中选取两人组成一组，与其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法共有C25A44＝10×24＝240种；而甲、乙两人去同一家俱乐部的安排方法有C22A44＝24种．所以甲、乙两人不能去同一家俱乐部的安排方法共有240－24＝216种．11. 解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有A33＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有A33＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E，有A33＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有A13A33＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．12．解：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，∴有C310＝120(种)．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，∴有C510＝252(种)．(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672种．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，∴有C512－C15·C47－C57＝596(种)．(5)分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务为C17·C15；第二步：选2男1女补足5人有C26·C14种；第三步：为这3人安排工作有A33.由分步乘法计数原理共有C17·C15·C26·C14·A33＝12 600(种)．。

(建议用时：分钟)一、选择题.若向量＝(＋，)与向量＝(－，)共线，则直线＝＋必经过定点( ).(，－) .(，) .(－，) .(－，－)解析因为向量＝(＋，)与向量＝(－，)共线，则＋＝－，即＝－－，于是直线方程化为＝－－，即＋＝(－)，故直线必过定点(，－)，选.答案.过点(－，－)的直线与圆＋＝有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )解析由题设知过点的直线斜率存在，设过点的直线方程为＝(＋)－，则由直线和圆有公共点知≤.解得≤≤.故直线的倾斜角的取值范围是.答案.过点(，)的直线与圆：(－)＋＝交于、两点，为圆心，当∠最小时，直线的方程为( )＝＝－＋＝－＋＝解析当⊥，即弦长最短时，∠最小，＝－，∴·＝－，∴＝，∴的方程为：－＋＝.答案.在圆＋＝上与直线：＋－＝的距离最小的点的坐标是( )解析过圆(，)与直线垂直的直线方程为－＝，由解得或结合图形可知所求点的坐标为.答案.已知两点(－，)，(，)，点是圆(－)＋＝上任意一点，则△面积的最大值与最小值分别是( )，(－) (＋)，(－)，－(＋)，(－)解析如图，圆心(，)到直线：－＋＝的距离为＝，故圆上的点到直线的距离的最大值是＋，最小值是－，又＝，故△面积的最大值和最小值分别是＋，－.答案.(·阜阳一模)设曲线的方程为(－)＋(＋)＝，直线的方程为－＋＝，则曲线上的点到直线的距离为的点的个数为( )解析由(－)＋(＋)＝，得圆心坐标为(，－)，半径＝，圆心到直线的距离＝＝＝.要使曲线上的点到直线的距离为，此时对应的点在直径上，故有两个点.答案二、填空题.在平面直角坐标系内，到点(，)，(，)，(，)，(，－)的距离之和最小的点的坐标是.解析设平面上任一点，因为＋≥，当且仅当，，共线时取等号，同理＋≥，当且仅当，，共线时取等号，连接，交于一点，若＋＋＋最小，则点为所求.又＝＝，∴直线的方程为－＝(－)，即－＝.①又＝＝－，∴直线的方程为－＝－(－)，即＋－＝.②由①②得解得∴(，).答案(，).(·湖北卷)直线：＝＋和：＝＋将单位圆：＋＝分成长度相等的四段弧，则＋＝. 解析由题意知，直线截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线的距离为，即＝，则＝.同理可得＝，则＋＝.答案.在平面直角坐标系中，圆的方程为＋－＋＝，若直线＝－上至少存在一点，使。

第9讲函数的应用【2014年高考会这样考】1．考查二次函数模型的建立及最值问题．2．考查分段函数模型的建立及最值问题．3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．4．合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.对应学生34考点梳理1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝ax＋b(a≠0)；(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)指数函数模型：y＝N(1＋p)x(x>0，p≠0)(增长率问题)；(5)对数函数模型y＝b log a x(x>0，a>0且a≠1)；(6)幂函数模型y＝x n；(7)y＝x＋ax型(x≠0)；(8)分段函数型．2．三种函数模型图象与性质比较一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论．考点自测1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为( )．A ．95元B ．100元C ．105元D ．110元解析 设定价为(90＋x )元，则每件商品利润为90＋x －80＝(10＋x )(元)，利润y ＝(10＋x )(400－20x )＝20(x ＋10)·(20－x )＝－20(x －5)2＋4 500，当x ＝5时，利润最大，故售价定为95元．答案 A2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.答案 D3．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再慢慢走余下的路程，图中纵坐标表示离学校的距离s，横坐标表示出发后的时间t，则如图所示的四个图形中较符合该学生走法的是()．解析纵轴表示离学校的距离，排除A，C，开始跑步，后慢慢走，说明函数开始下降较快，后来下降较慢．答案 D4．(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案610 0005．(人教A版教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．解析已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*答案y＝a(1＋r)x，x∈N*对应学生35考向一 一次函数、二次函数模型【例1】►据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．[审题视点] 正确理解s 的意义及函数v ＝f (t )的图象是解答此题的关键，该函数的定义域即风暴发生的时间由函数v ＝f (t )的图象确定，即0≤t ≤35. 解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650， t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．1.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．2．当两变量之间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数则可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点．【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系；(2)求日销售额S 的最大值．解 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2t ＋200)⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N 45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎨⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N . (2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210.∵6 210<6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400. 考向二 指数函数模型【例2】►有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V m 3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r m 3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )＝p r ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r e －r V t (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)求证：当g (0)<p r 时，湖泊的污染程度将越来越严重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%?[审题视点] 本题信息量大，解析式较繁，需要考生有较强的阅读理解能力和计算能力，同时，对题目的转化尤为重要，(2)中即证明g (t )递增；(3)中转化为解方程即可．(1)解 设0≤t 1<t 2，∴g (t )为常数，∴g (t 1)＝g (t 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫e －r V t 1－e －r V t 2＝0.∴g (0)＝p r .(2)证明 设0<t 1<t 2，则g (t 1)－g (t 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·(e －r V t 1－e －r V t 2) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·e r V t 2－e r V t 1e r V (t 1＋t 2). ∵g (0)－p r <0，t 1<t 2，∴g (t 1)<g (t 2)．故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重．(3)解 污染源停止，即p ＝0，此时g (t )＝g (0)·e －r V t .设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g (t )＝5%·g (0)，即有5%·g (0)＝g (0)·e －r V t .由实际意义知g (0)≠0，∴120＝e －r V t .∴t ＝V r ln 20，即需要V r ln 20天时间．1.指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．【训练2】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t >1. 当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4，得a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时． 考向三 函数y ＝x ＋a x模型【例3】►上海某玩具厂生产x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P 元，且P ＝1 000＋5x ＋110x 2，x ∈(0,200]，而每万套售出价格为Q 元，其中Q ＝a x ＋b (a >5 000，b >5)．(1)该玩具厂生产多少万套吉祥物时，使得每万套成本费用最低？(2)若产出的吉祥物能全部售出，产量多大时，厂家所获利润最大？[审题视点] 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件．解 (1)P x ＝1 000＋5x ＋110x 2x ＝1 000x ＋x 10＋5≥25(当且仅当x ＝100时，取等号)，∴生产100万套时，每万套成本费用最低．(2)由题设，利润f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b x －(1 000＋5x ＋110x 2)＝－110x 2＋(b －5)x ＋a －1 000＝－110[x －5(b －5)]2＋a －1 000＋52(b －5)2，x ∈(0,200]．当5(b －5)≤200，即5<b ≤45时，[f (x )]max ＝f [5(b －5)]＝52(b －5)2＋a －1 000，∴当产量为(5b －25)万套时，利润最大．当b >45时，函数f (x )在(0,200]上是增函数，∴当产量为200万套时，[f (x )]max ＝200b ＋a －6 000.对于y ＝x ＋a x (a >0)类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，或利用函数的单调性求最值．【训练3】 (2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解(1)由已知条件C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2 (6x＋10)8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5即x＝5时等号成立．所以当隔热层为 5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．对应学生36规范解答2——函数建模及函数应用问题【命题研究】从近三年的高考试题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．预测2014年高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题．【真题探究】►(本小题满分12分)(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[教你审题] 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x 的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解．[规范解答] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )(0<x <30)．(2分) (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，(4分)所以当x ＝15时，S 取得最大值．(6分)(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，(8分)V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.(9分)当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．(11分)此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.(12分)[阅卷老师手记] (1)在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，但应注意结果与实际情况相符合． (2)用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．解函数应用题的一般程序是：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文学语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．【试一试】 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支 2 000元． Z&xx&k(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600(20<P ≤26)，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．对应学生241A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·成都调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为 ( )．解析 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x .答案 D2．(2013·青岛月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )．A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 A3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )． A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)，∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案 B4．(2013·太原模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x－25x ＋12，∵x ∈N *，∴y x ≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的年平均利润最大．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 46．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486. 答案 30 cm 、20 cm三、解答题(共25分)7．(12分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29，y 2＝12x .(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623 时，y 1>y 2，即使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即使用“如意卡”便宜．8．(13分)(2013·济宁模拟)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000，即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )(1＋0.2x %)万元，则10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )(1＋0.2x %)，所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1 000x ≥2 2x 500×1 000x ＝4，当且仅当2x 500＝1 000x ，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·潍坊联考)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x ，y剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，记y ＝f (x )，则y ＝f (x )的图象是 ( )．解析 由题意得2xy ＝20，即y ＝10x ，当x ＝2时，y ＝5，当x ＝10时，y ＝1时，排除C ，D ，又2≤x ≤10，排除B.答案 A2．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )． A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析 由题意M ′(t )＝M 02－t 30⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2， M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10ln 2， ∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·阜阳检测)按如图所示放置的一边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y＝f (x )，则y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为________．解析 将P 点移到原点，开始运动，当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段首尾相接的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＋π4＝π＋1. 答案 π＋14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 解析 由已知条件y ＝⎩⎨⎧ 8，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6解得x ＝9.答案 9三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·湖南)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速度移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v(3|v －c |＋10)． (2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v－15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5(3c ＋10)v －15，0<v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c. 6．(13分)(2013·徐州模拟)某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝r (米)，设建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S (r )；(2)由于条件限制r ∈[30,40]，问当r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)解 (1)塑胶跑道面积S ＝π[r 2－(r －8)2]＋8×10 000－πr 22r ×2 ＝80 000r ＋8πr －64π.∵πr 2＜10 000，∴0＜r ＜100π.(2)设运动场的造价为y 元， y ＝150×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －64π＋30×⎝ ⎛10 000－80 000r)－8πr ＋64π＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π.令f (r )＝80 000r ＋8πr ，∵f ′(r )＝8π－80 000r 2， 当r ∈[30,40]时，f ′(r )＜0， ∴函数y ＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r ＝40时，y min ≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元.。

【创优导学案】2014届高考数学总复习 第九章 直线、平面、简单几何体 9-1课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 263 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．一个班级有5个小组，每一个小组有10名学生，随机编号为1～10号，为了了解他们的学习情况，要求抽取每组的2号学生留下来进行问卷调查，这里运用的方法是A ．分层抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．系统抽样法解析 D 因为按照一定规则进行抽样，故选D.2．(2013·郑州测试)一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数为( ) A ．20B ．15C ．12D ．10解析 D 应抽取女生人数n ＝80×25200＝10. 3．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36解析 B 设该单位有老年职工x 人，则160＋x ＋2x ＝430，∴x ＝90.设抽取的样本中的老年职工有y 人，则有32160＝y 90，∴y ＝18. 4．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为A ．30B ．25C ．20D ．15解析 C 由题意可知，可将学号依次为1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14，故还有一个同学的学号应为14＋6＝20.5．某企业对全厂的男女职工共2 400人进行健康调查，采取分层抽样法抽取一个容量为120的样本，已知女职工比男职工多抽了20人，则该厂的男职工人数应是A．1 000 B．1 200C．1 400 D．1 600解析 A 依题意，应该抽取女职工70人、男职工50人，所以该厂一共有男职工2 400 120×50＝1 000人．6．为了检查某超市货架上的奶粉中维生素的含量，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样的方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47解析 D 选取的奶粉的编号构成公差为10的等差数列，且首项在1到10之间，末项在41～50之间．故选D.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型产品有16件，那么此样本容量n＝________.解析依题意A、B、C三种不同型号样本个数之比为2∶3∶5，∴样本中B型产品有24件，C型产品有40件，∴n＝16＋24＋40＝80.【答案】808．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是_____________________________________________________________件．解析设C产品的数量为x，则A产品的数量为1 700－x，C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层抽样的定义可知：1 700－xa＋10＝xa＝1 300130，∴x＝800.【答案】8009．(2013·咸阳模拟)某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后，再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名学生上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为________．解析 根据抽样的等可能性，设高一年级共有x 人，则80x ＝20100，∴x ＝400. 【答案】 400三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)某工厂有1 000名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样方法进行具体实施．解析 ①将所有工人随机编号，由0001至1 000；②分段，取间隔k ＝1 00010＝100，将总体均分为10组，每组含100个工人； ③从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l ；④将l,100＋l,200＋l ，…，900＋l 共10个号选出．这10个号所对应的工人组成要抽取的样本．11．(12分)某批零件共160个，其中，一级品48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个．从中抽取一个容量为20的样本．请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同．解析 (1)简单随机抽样法：可采取抽签法，将160个零件按1～160编号，相应地制作1～160号的160个号签，把它们放在一起，并搅拌均匀，从中随机抽取20个．显然每个个体被抽到的概率为20160＝18. (2)系统抽样法：将160个零件从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8个．然后在第1组用抽签法随机抽取一个号码，例如它是第k 号(1≤k ≤8)，则在其余组中分别抽取第k ＋8n (n ＝1,2,3，…，19)号，此时每个个体被抽到的概率为18. (3)分层抽样法：按比例20160＝18，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48×18＝6个，64×18＝8个，32×18＝4个，16×18＝2个，每个个体被抽到的概率分别为648，864，432，216，即都是18.综上可知，无论采取哪种抽样，总体的每个个体被抽到的概率都是18. 12．(16分)一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？写出抽样过程．解析 ∵21∶210＝1∶10，∴2010＝2，4010＝4，15010＝15.∴应从大型商店中抽取2家，从中型商店中抽取4家，从小型商店中抽取15家． 抽样过程：(1)计算抽样比21210＝110；(2)计算各类百货商店抽取的个数：2010＝2，4010＝4，15010＝15；(3)用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家；(4)将抽取的个体合在一起，就构成所要抽取的一个样本．。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。

【创优导学案】2014届高考数学总复习第九章直线、平面、简单几何体 9-4课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P257解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是( )①S＝1＋2＋3＋ (30)②S＝1＋2＋3＋…＋30＋…；③S＝1＋2＋3＋…＋n(n∈N*)．A．①②B．①③C．②③D．①②③解析 B ②为求无限项的和，而算法要求必须在有限步之内完成，所以，不能用算法求解．2．阅读程序框图(如图)，若输入的a，b，c分别为21,32,75，则输出的a，b，c分别是( )A．75,21,32 B．21,32,75C．32,21,75 D．75,32,21解析 A 该程序框图是利用赋值语句交换a，b，c的值，逐一进行即可．3．(2013·泉州模拟)执行如图所示的程序框图，若输出y的值为2，则输入的x应该是( )A ．2或 3 B ．2或± 3 C ．2D ．2或－3解析 D 由程序框图可得：当x ＜0时，y ＝x 2－1， ∴x 2－1＝2，x 2＝3.∴x ＝－ 3. 当x ＞0时，y ＝2x－2， ∴2x－2＝2，∴2x＝4＝22. ∴x ＝2，综上所述，x ＝2或－ 3.4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 B 试将程序分步运行： 第一次循环：S ＝11－2＝－1，n ＝2；第二次循环：S ＝11－－1＝12，n ＝3；第三次循环：S ＝11－12＝2，n ＝4.5．阅读如图所示的程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是( )A ．i ＞5?B ．i ＞6?C ．i ＞7?D ．i ＞8?解析 A 因为16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，所以判断框内应填写i ＞5？或i ≥6？. 6．阅读如图所示的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是( )A ．5 049B ．5 050C ．5 051D ．5 052解析 A 由循环结构可得S ＝100＋99＋…＋3＋2＝5 049.故输出的变量S 的值为5 049.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx ≥2，2－x x <2，如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．解析 由框图可知，只要满足①中的条件，则对应的函数解析式为y ＝2－x ，故此处应填写“x <2？”，则②处应填写“y ＝log 2x ”．【答案】 x <2？ y ＝log 2x8．(2013·西安模拟)执行如图所示的程序框图，输出结果的值是________．解析 ∵16>2，∴x ＝16＝4. ∵4>2，∴x ＝4＝2. ∵2>2不成立， ∴y ＝e2－2＝e 0＝1.【答案】 19．执行如图所示的程序框图，输出的结果为________．解析 S ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12 011×2 013＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12 011×2 013＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 013＝1 0062 013. 【答案】1 0062 013三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)(2013·锦州模拟)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据.观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据a i4041434344464748在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，求输出的S 的值．解析 根据题表中数据可得a ＝44，由程序框图得S ＝42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋428＝7.11．(12分)按图所示的程序框图操作．(1)操作结果得到的数集是什么？如果把依次产生的数看成是数列{a n}的项，试写出其通项公式；(2)如何变更A框，能使操作流程图产生的数分别是数列{2n－2}的前10项？解析(1)操作结果得到的数集是{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，其通项公式为a n＝2n －1(n∈N*，且n≤10)．(2)变更A框为：写下0，这时可依次产生0,2,4，…，18，恰好为数列{2n－2}的前10项．12．(16分)在国家法定工作日内，每周满工作量的时间为40小时，若每周工作时间不超过40小时，则每小时工资8元；如因需要加班，超过40小时的每小时工资为10元．某公务员在一周内工作时间为x小时，但他须交纳个人住房公积金和失业保险(这两项费用为每周总收入的10%)．试分析算法步骤并画出其净得工资y元的程序框图(注：满工作量外的工作时间为加班)．解析算法如下：第一步，输入工作时间x小时．第二步，若x≤40，则y＝8x(1－10%)；否则，y＝[40×8＋(x－40)×10](1－10%)．第三步，输出y值．程序框图如图所示：。