广东省2017-2018学年高三五校联考数学试卷(理科) Word版含解析

试卷类型：A 2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．38图1俯视图侧视图正视图6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C A ．16 B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257 B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB == ，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与 圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .DCBA15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；CBa 图3重量/克0.0320.02452515O （注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ，则样本数据的平均值为112233X x p x p x p =+++ （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在的小球个数为ξ，求ξ18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=.（1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+ .2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==. 在△ABC中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分） (1)解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3，……………6分 ()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. ……………10分 为：∴ξ的分布列……………11分 ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=） 18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则1==，AM MB∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD 平面=，ABFE AB∴EF∥AB，即EF∥MB. ……………1分∵EF=MB1=∴四边形EMBF是平行四边形. ……………2分∴EM∥FB，EM FB=.在Rt△BFC中，2224=，得FB=+==，又FB FCFB FC BC∴EM=……………3分在△AME中，AE=1AM=，EM=∴222+==，3AM EM AE∴⊥. AM EM……………4分∴AM FB⊥.⊥，即AB FB∵四边形ABCD是正方形，∴⊥. AB BCMO HFEDCB……………5分∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO∥FH，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . (9)分∴EO ⊥平面ABCD .∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO. ……………10分∵AO BD⊥，,EO BD O EO=⊂平面EBD，BD⊂平面EBD，∴AO⊥平面EBD. (11)分∴AEO∠是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分在Rt△AOE中，tanAOAEOEO∠==……………13分∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为……………14分证法2：连接AC，AC与BD相交于点O取BC的中点H，连接,OH EO，则OH∥AB，112OH AB==.由（1）知EF∥AB，且12EF AB=∴EF∥OH，且EF OH=.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH，且1EO FH==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . (8)分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅= ，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-. 令1x =，则平面BDE的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos , n AE ⋅=n AE n AE3=. ……………11分∴cos 3θ==，sintan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE 所成角的正切值为……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n+--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列. ∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①()1231442434144n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ . 由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ， ……………11分 两边对x取导数得，12123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ .……………13分 ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+, 即1y =+, ……………1分化简得24x y =. ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B的坐标为()211142,441kk k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441kk k --+. …………6分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分 ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-.……………4分令()2ln 2x g x x x=-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022xx x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n = 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n--=+. ……………14分。

广东省中山市2017-2018学年高三上学期第五次阶段测试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =--<，(){}|11B x y n x =-，则()R A B = ð（ ） A ．()12， B ．[)12， C ．()11-， D ．(]12， 2.已知复数()1z ai a R =+∈（i 是虚数单位），3455z i z =-+，则a =（ ） A ．2 B ．2- C ．2± D ．123.设函数()()22cos 10f x x ωω=->，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得图象与原图角重合，则ω的最小值等于（ ）A ．1B ．3C ．6D ．94.设31log 4a =，0.313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(22log log c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a b c << C.c a b << D ．a c b << 5.在ABC ∆中，1AB =，3AC =，60B =︒，则cos C =（ ）A ．56-B ．56C. D6.已知数列{}n a 满足11a =，()122n n a a n n N -+=≥∈，，则数列{}n a 的前6项和为（ ） A ．63 B ．127 C.6332 D ．127647.已知函数()53353f x x x x =---+，若()()26f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1-∞，B ．()3-∞， C. ()1+∞， D ．()3+∞， 8.已知()3226f x x x m =-+（m 是常数）在[]22-，上有最大值3，那么些函数在[]22-，上的最小值为（ ） A ．37- B ．29- C.5- D ．11-9.已知平形四边形ABCD 的对角线分别为AC BD ，，且2AE EC =，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则（ ）A ．151212FE AB AD =--B ．151212FE AB AD =-C. 511212FE AB AD =- D ．511212FE AB AD =--10.下列函数中，在区间()01，上单调递增的有①()32x f x x =-；②()2ln x f x x =；③()2243f x x x =-++．（ ） A ．0个 B ．1个 C.2个 D ．3个 11.下列命题中是真命题的为（ ）A ．“存在02000sin 1x x R x x e ∈++<，”的否定是“不存在02000sin 1x x R x x e ∈++<，”B ．在ABC ∆中，“222AB AC BC +>”是“ABC ∆为锐角三角形”充分不必要条件 C.任意31x x N ∈>，D ．存在002x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，000sin cos tan x x x +=12.若偶函数()y f x x R =∈，，满足()()2f x f x +=-，且[]02x ∈，时，()23f x x =-，则方程()sin f x x =在[]1010-，内的根的个数为（ ） A ．12 B ．8 C.9 D ．10 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.()1sin 7πα-=，α是第二象限角，则tan α= ． 14.数列{}n a 的前n 项和n S ，12a =，13n n a a +-=，若57n S =，则n = ．15.已知函数()31x f x ae x =-+的图象在点()()00f ，处的切线方程为y x b =+，则b = ．16.已知函数()()()ln 02ln x x e f x x x e ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==则a b c ++的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，660S =，且1a ，6a ，21a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足()1n n n b b a n N ++-=∈，且13b =，求数列{}n b 的通项公式．18.（本小题满分12分）已知函数()()21cos cos 042f x x x x ωωωω=⋅-<<且13f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若在263ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内函数()y f x m =+有两个零点，求实数m 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知函数()22f x x ax b =++，[]11x ∈-，． （Ⅰ）用a b ，表示()f x 的最大值M ； （Ⅱ）若2b a =，且()f x 的最大值不大于4，求a 的取值范围．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c ，，分别为内角A B C ，，的对边，AM 是BC 边上的中线，G 是AM上的点，2AG GM =．（Ⅰ）若ABC ∆的内角A B C 、、满足sinA :sinB:sinC 2，求sin C 的值（Ⅱ）若222b c bc a ++=，ABC S ∆=AG 取到最小值时，求b 的值21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x a x =+ （Ⅰ）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()()2g x f x x=+，在[)1+∞，上是单调函数，求实数a 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mf x x x=+，()32g x x x x =+-． （Ⅰ）若3m =，求()f x 的极值；（Ⅱ）若对于任意的s ，122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，都有()()110f s g t ≥，求m 的取值范围．广东省中山市2017-2018学年高三上学期第五次阶段测试理数试题答案一、选择题1-5:BBBDD 6-10:CAACC 11、12：DD 二、填空题13. 14.6 15.5 16.2122e e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，【解析】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查考生的数形结合思想、转化与化归思想及观察能力，重在考查特殊与一般数学思想方法的应用，作出函数()()()ln 02ln 0x x e f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩的大致图象，如图所示．由题意，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==，可知不妨设a b c <<，则01a <<，1b e <<．双()()()ln 01lnx 12ln x x x e x x e -<<⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩，所以ln ln a b -=，即1ab -，1b a =，同理ln 2ln a c -=-，即2e a = ，2c ae =．所以()22111a b c a ae e a a a ++=++=++，又01a <<，1b e <<，1b a =，所以11a e<<，令函数()()21111g x e x x x e ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，显然在区间11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()()11g g x g e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，从而2122e a b c e e+<++<+三、解答题17.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d 则()()1211161560205a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得125d a =⎧⎨=⎩ ∴23n a n =+．……………………………………………………………………………………………5 （Ⅱ）由1n n n b b a +-=,所以()112n n n b b a n a N +---=≥∈，当2n ≥时，()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()()121111432n n a a a b n n n n --=+++=--++=+ (9)故()2233x kx k Z ωππ+=+∈，()22233x kx k Z ωπ=+∈，故()13k k Z ∈=+∈． 因为04ω<<，用户1ω=，即()()cos 2sin 236x f x x f x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或，……………………6分（Ⅱ）由()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知()y f x m =+在63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在233x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，……9分又6x x =-时，1y m =+，3x π=时，1y m =-+，23x x =时，12y m =+．由题意知1102m m -+<≤+，∴112m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，……………………………………………………………………12分19.解：（Ⅰ）()()22f x x a b a =++-图角关于直线x a =-对称．且增区间为[]a -+∞，，减区间为(]a -∞-，，又[]11x ∈-， …………………………………………3分 ∴0a -≤，0a ≥时，()112M f a b ==++ 当0a ->，0a <时，()112M f a b =-=-+∴120120.a b a M a b a ++≥⎧=⎨-+<⎩，，，……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）当0a ≥时，2124M a a =++≤，2230a a +-≤，01a ≤≤．……………………………………9分 当0a <时，2124M a a =-+≤，2230a a --≤，10a -≤≤．…………………………………………11分 ∴11a -≤≤，即[]11a ∈-，．………………………………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）∵sinA :sainB:sinC 2=，∴由正弦定理得::2a b c =∴222c a b =+，故sin 1C =……………………………………………………………………………………1分（Ⅱ）依题意，2AG GM = ，故23AG AM =，故3AB AC AG += …………………………………………5分由222b c bc a ++=，得2221cos 22b c a A bc +-==-，故sinA =6分又1sin 2ADC S bc A ∆==12lx =；………………………………………………………………………7分因为2AG GM = ，3AB AC AG +=．故()22222222412499993AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AG +++⋅+⋅-==≥== …………………10分当且仅当b c ==11分故当AG 取到最小时，b 的值为．………………………………………………………………………12分 21.（Ⅰ）()2'2f x x x=-，令()'0f x >，得1x >；令()'0f x <，得01x <<， 所以()f x 的单调递增区间是()1∞，，()f x 的单调递区间是()01，． 若函数()g x 为[)1+∞，上的单调增函数，则()'0g x ≥在[)1+∞，上恒成立， 即222a x x ≥-在[)1+∞，上恒成立，设()222x x xϕ=-， ∵()x ϕ在[)1+∞，上单调递减， ∴()()max 10x ϕϕ==，∴0a ≥；②若函数()g x 为[)1+∞，上的单调函数，则()'0g x ≤在[)1+∞，上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围[)0+∞，． 22.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，，3m =时， ()3ln f x x x =+，()22313'x f x x x x-=-+=，()'30f =， ∴3x >，()'0f x >，()f x 是增函数，03x <<，()'0f x <，()f x 是减函数．∴()f x 有极小值()31ln3f =+，没有极大值．……………………………………………………5分 （Ⅱ）()32g x x x x =+-，()2'321g x x x =+-当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()'0g x >，∴()g x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调递增函数，()210g =最大，………………7分对于任意的s ，122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．()()110f s g t ≥恒成立，即对任意122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()lnr 1m f x x =+≥恒成立，∴ln m x x r ≥-，…………9分 令()ln h x x x r =-，则()'1ln 1ln h x x r =--=-． ∴当1x >时，()'0h x <，当01x <<时，()'0h x >， ∴()h x 在(]01，上是增函数，在[)1+∞，上是减函数，当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()h x 最大值为()11h =，…………………………………………………………………11分∴1m ≥即[)1m ∈+∞，．………………………………………………………………………………………12分。

广东省五校2018届高三1月联考数学（理）试题本试卷共23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}2．已知i是虚数单位，复数z满足（i﹣1）z=i，则z的虚部是（）A．B．C．D．3. 已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A．45°B．30°C．15°D．60°4．在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．已知，函数y=f （x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（ ） A ． B ．C ．D ．6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ） A ．3cm B ． 4cm C ．5cm D ．6cm7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y 的值为（ ）A ．2B ．﹣1C ．﹣D ．﹣8．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．1条或2条 9.已知实数x ，y 满足，则z=2|x ﹣2|+|y|的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．310．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，）B ．（1，2）C ．（，+∞）D ．（2，+∞）11．关于曲线C ：142=+y x 给出下列四个命题： （1）曲线C 有两条对称轴，一个对称中心（2）曲线C 上的点到原点距离的最小值为1 （3）曲线C 的长度l 满足24>l（4）曲线C 所围成图形的面积S 满足4<<S π 上述命题正确的个数是A ．1 B. 2 C. 3 D. 412．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），当x ∈[0，2]时，f （x ）=，函数g （x ）=x 3+3x 2+m ．若对任意s ∈[﹣4，﹣2），存在t ∈[﹣4，﹣2），不等式f （s ）﹣g （t ）≥0成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣12]B ．（﹣∞，14]C ．（﹣∞，﹣8]D ．（﹣∞，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在二项式nxx )1(-的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是 ． 14．已知=（，），||=1，|+2|=2，则在方向上的投影为 ．15．两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为 ．16．已知数列{}n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+为奇数，为偶数n nn nn a a a a a 13,21，如果1a =1，则 2018321....a a a a ++++= ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．18．如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，△ABD 是正三角形，△BCD 是等腰三角形，∠BCD=120°，EC ⊥BD ． （1）求证：BE=DE ； （2）若AB=2，AE=3，平面EBD ⊥平面ABCD ，直线AE 与平面ABD 所成的角为45°，求二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价； （2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考数据： =25，=5.36，=0.64（说明：以上数据i i y x ,为3月至7月的数据）回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）设点P（3，4），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（1）解不等式f（x）＞5；（2）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．广东省五校协作体2018届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.二、填空题：每题5分，满分20分. 13. 56- 14. 41-15. 109 16. 4709 三、解答题：满分70分.17．(1)因为2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )·sin C ，由正弦定理得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， ………（1分） 整理得2a 2＝2b 2＋2c 2－2bc ， ……………(2分) 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc 2bc ＝22， ……………（4分） 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4. ……………（5分） (2)由cos B ＝255，得sin B ＝1－cos 2B ＝1－45＝55， ……………（6分）所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－⎝⎛⎭⎫22×255－22×55＝－1010，……8分由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝10×5522＝2， ………（9分）所以CD ＝12AC ＝1， ………………………（10分） 在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝(10)2＋12－2×1×10×⎝⎛⎭⎫－1010＝13，…（11分）所以BD ＝13. ………（12分） 18．证明：（Ⅰ）取BD 中点O ，连结CO ，EO ，∵△BCD 是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD ，∴CO ⊥BD ，………………………（2分） 又∵EC ⊥BD ，EC∩CO=C ，∴BD ⊥平面EOC ，∴EO ⊥BD ， ………………………（4分） 在△BDE 中，∵O 为BD 的中点，∴BE=DE ． ………（5分）（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，EO⊥BD，∴EO⊥平面ABCD，……… （6分）又∵CO⊥BD，AO⊥BD，∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，在正△ABCD中，AB=2，∴AO=3，BO=DO=，………（7分）∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3，………（8分）A（3，0，0），B（0，，0），D（0，﹣，0），E（0，0，3），=（﹣3，，0），=（﹣3，﹣，0），=（﹣3，0，3），………（9分）设平面ABE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），………（10分）设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，1），………（11分）设二面角B﹣AE﹣D为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．………（12分）19．解：（Ⅰ）由题意月份x 3 4 5 6 7均价y 0.95 0.98 1.11 1.12 1.20=5，=1.072，………（1分）=10，………（2分）∴==0.064，………（3分）=﹣=0.752，………（4分）∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，………（5分）x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（6分）（Ⅱ）X的取值为1，2，3，………（7分）P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，………（10分）X的分布列为X 1 2 3P………（11分）E（X）=1×+2×+3×=．………（12分）20．解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，………（1分）又椭圆E的离心率为，得a=，………（2分）于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．………（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0 ………（4分），………（5分），==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．………（7分）要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）………（8分）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，………（9分）点O到直线AB的距离d=，………（10分）△OAB面积s==．………（11分）∴当t=0，△OAB面积的最大值为，………（12分）21．解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，………（1分）令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．………（2分）f（x）max=f（1）=﹣1．∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，………（3分）（2）∵．………（4分）①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，………（5分）②若，则由，即由，即，从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数………（6分）∴令，则，∴a=﹣e2，………（7分）（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0∴，………（8分）∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1令，………（9分）∴，∵，∴………（10分）而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0故h（x2）＞0，即………（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．（2分）又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；……… （5分）（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得2t22t10-+=，设t1、t2是上述方程的两实数根，……… （7分）所以t1+t2=2，t1t2=1，……… （8分）∴t1＞0，t2＞0，所以+= 22. ……… （10分）[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，………（1分）x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；………（2分）﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，………（3分）x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，………（4分）故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；………（5分）（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，………（7分）故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），………（8分）从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．………（9分）根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．………（10分）。

2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{|(1)(5)0}M x x x =--<，集合{|N x y =，则M N 等于（ ）A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[4,5)D ．(4,5) 2.设复数z 为纯虚数，a R ∈，且1013x a i+=-，则a 的值为（ ） A ． 3 B ． -3 C ．1 D ．-13.下面是2010年3月安徽省芜湖楼市商品住宅板块销售对比饼状图，由图可知，戈江区3月销售套数为（ ）A ．350B ．340C ．330D ． 306 4.若sin cos tan 390αα+=，则sin 2α等于（ ） A. 23-B.34-C. 23D. 345.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得，且1BC =，2DE =，3AE =，4AB =，则CD 等于（ ）A ．1223AB AE + B ．1223AB AE -C. 1223AB AE -+ D ．1223AB AE -- 6.直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左支、右支分别交于A B 、两点，O 为坐标原点，且AOB ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2．32 C. 5 D ．57.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 40B ．48 C. 56 D ．928.执行如图所示的程序框图，若输入的2x =，4n =，则输出的s 等于（ ）A ．94B ． 99 C. 45 D ．2039.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000m ，速度为1000/km h ，飞行员先看到山顶的俯角为18，经过108s 后又看到山顶的俯角为78，则山顶的海拔高度为（ ）A．(15cos78)km - B．(15sin78)km -C. (15cos78)km - D．(15sin78)km - 10.已知抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A，()B p ,且||PA||BF 等于（ ）A ． 4B ．92C. 5 D ．11211.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>在区间(0,)π上存在3个不同的0x ，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ）A ．523(,]26 B ．523(,)26 C. 319(,)26 D ．319(,]2612.已知函数3,1()2,1x x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩，若关于x 的方程(())f f x a =存在2个实数根，则a 的取值范围为（ ）A ．[24,0)-B ．(,24)[0,2)-∞-C.(24,3)- D ．(,24][0,2]-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x y ，满足约束条件802020x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最小值为_________.14.函数()426xxf x =--的零点为___________.15.设32340123455(12)2481632x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____________.16.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，且1611a a =，3412a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列112{}2n nn a a ++-的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）为调查了解某高等院校毕业生参加工作后，从事的工作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如下表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）．附表：（2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率；（3）以（2）中的频率作为概率.该校近几年毕业的2000名大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事的工作与大学所学专业对口的人数为X ，求X 的数学期望()E X . 19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，3AB AP ==，2AD PB ==，E 为线段AB 上一点，且:7:2AE EB =，点F G M ，，分别为线段PA PD BC 、、的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）若平面EFG 与直线CD 交于点N ，求二面角P MN A --的余弦值. 20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆2221(1)x y a a+=>的长轴长是短轴长的2倍，右焦点为F ，点,B C 分别是该椭圆的上、下顶点，点P 是直线:2l y =-上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ，记直线BM ，BP 的斜率分别为12k k ，.（1）当直线PM 过点F 时，求PB PM 的值；（2）求12||||k k +的最小值，并确定此时直线PM 的方程. 21. （本小题满分12分）设函数()2cos (1)ln(1)f x x x x x =--+++，22()()g x k x x=+.其中0k ≠.（1）讨论函数()g x 的单调区间；（2）若存在1(1,1]x ∈-，对任意21(,2]2x ∈，使得12()()6f x g x k -<-成立，求k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过点A 分别作O 的切线AP 与割线AC ，P 为切点，AC 与O 交于B C 、两点，圆心O 在PAC ∠的内部，//BD AP ，PC 与BD 交于点N .（1）在线段BC 上是否存在一点M ，使A P O M 、、、四点共圆？若存在，请确定点M 的位置；若不存在，请说明理由. （2）若CP CD =，证明：CB CN =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22((1)9x y ++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线:6OP πθ=()p R ∈与圆C 交于点M N ，，求线段MN 的长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集. （1）求M ；（2）求证：当,x y M ∈时，||15x y xy ++<.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5: ACDAC 6-10:BCADB 11、12：AB 二、填空题13.-2 14. 2log 3 15. 1- 16.6349π三、解答题17.解：（1）∵163412a a a a +=+=，………………1分∴16,a a 是2212110x x -+=方程的两根，且16a a <，………………2分 解得11a =，611a =，………………4分∴61510a a d -==，即2d =，………………5分 ∴21n a n =-.………………6分280(3053510)80 2.051 3.8414040651539k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”.………5分（2）这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率为65138016=.………………7分 （3）由题意可得13~(4,)16X B ，………………9分 ∴1313()4164E x =⨯=.……………………12分 19.（1）证明：在等腰APB ∆中，112cos 3PBABP AB ∠==，则由余弦定理可得22222132()2223339PE =+-⨯⨯⨯=，∴3PE =.………………2分 ∴2224PE BE PB +==，∴PE AB ⊥.………………3分∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，∴PE ⊥平面ABCD .………………4分（2）解：由已知可得//EN AD ，………………5分以E 为坐标原点，EP EB EN 、、分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则2((0,,1)(0,0,2)33P M N ，，，从而2(,1)33PM =-，2(0,,1)3MN =-.………………7分设平面PMN 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PM =，0n MN =，即2033x y z -++=，203y z -+=，令3y =，可得平面PMN的一个法向量为2)n =.………………9分 由（1）知平面AMN的一个法向量为4(3EP =，………………10分cos ,n EP ==，………………11分 由图可知二面角P MN A --的平面角为锐角， 故二面角P MN A --.………………12分20.解：（1）由椭圆2221(1)x y a a+=>的长轴长是短轴长的2倍得2a =.………………1分由题意(0,1)B ，(0,1)C -，焦点F ，当直线PM 过点F 时，则直线PM 的方程为11y =-，即1y x =-，令2y =-得x=(2)P -.………………3分联立22141x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M .………………4分 因为(3,3)PB =，15()77PM =，………………5分 所以454590777PB PM =+=.………………6分 （2）设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--，………………7分 联立221114y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++，………………8分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--，………………10分则1231||||||||4k k m m +=-+≥=31||||4m m -=，即m =±时取等号.所以12||||k k +此时直线PM 的方程为1y x =-.………………12分 21.解：（1）32222(1)'()2k k x g x kx x x -=-=，………………1分当0k >时，令'()0g x >，得1x >，∴()g x 的递增区间为(1,)+∞.………………2分令'()0g x <，得1x <，0x ≠，∴()g x 的递减区间为(,0)(0,1)-∞，...................3分 0k <当时，同理得()g x 的递增区间为(,0)(0,1)-∞，；递减区间为(1,)+∞. (5)分（2）'()2sin 1ln(1)12sin ln(1)f x x x x x =-+++=++，………………6分 ∵当(1,1]x ∈-时，2sin y x =及ln(1)y x =+均为增函数， ∴'()f x 在(1,1]-为增函数，又'(0)0f =，………………7分 ∴当(1,0)x ∈-时，'()0f x <；当(0,1]x ∈时，'()0f x >. 从而，()f x 在(1,0)-上递减，在(0,1]上递增，………………8分 ∴()f x 在(1,1]-上的最小值为(0)2f =-.………………9分 ∵12()()6f x g x k -<-，∴12()6()f x k g x <-+，∴min min ()6()f x k g x <-+，当0k >时，∴min ()(1)3g x g k ==，∴462k ->-，∴1k >.当0k <时，min ()(2)5g x g k ==，∴662k ->-，∴23k >， 又0k <，∴0k <时不合题意. 综上，(1,)k ∈+∞.………………12分22.（1）解：当点M 为BC 中点时，A P O M 、、、四点，证明如下： ∵M 为BC 的中点，故OM BC ⊥，即90OMA ∠=. 又∵OP AP ⊥，∴90OPA ∠=，∴OMA ∠与OPA ∠互补，∴A P O M 、、、四点共圆.………………5分 （2）证明：∵//BD AP ，∴CNB CPA ∠=∠， 连接PD ，∵AP 为切线，∴PDC CPA ∠=∠，∴CNB PDC ∠=∠，∵CP CD =，∴CPD PDC ∠=∠，又∵CBN CPD ∠=∠，∴CBN CNB ∠=∠，∴CB CN =.………………10分23.解：（1）22((1)9x y ++=可化为22250x y y +-+-=，故其极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ-+-=.………………5分（2）将6πθ=代入2cos 2sin 50ρθρθ-+-=，得2250ρρ--=，∴122ρρ+=，125ρρ=-，∴12||||MN ρρ=-==.………………10分 24.解：（1）3,2,1()31,2,213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩， 当2x <-时，由30x ->得，3x >，舍去； 当122x -≤≤时，由310x +>得，13x >-，即1132x -<≤； 当12x >时，由30x -+>得，3x <，即132x <<. 综上，1(,3)3M =-.………………6分 （2）∵,x y M ∈，∴||3x <，||3y <，∴||||||||||||||||||||333315x y xy x y xy x y xy x y x y ++≤++≤++=++<++⨯=.………………10分。

2017-2018学年广东省三（上）12月联考试卷（理科数学）一、选择题1．（6分）设复数z满足z﹣3i=3+zi，则z=（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i2．（6分）求值=（）A．1 B．2 C．D．3．（6分）“a≤﹣3”是“f（x）=﹣|x+a|在[3，+∞）上为减函数”的什么条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．不充分不必要4．（6分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种5．（6分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．6．（6分）如图是一个水平放置的透明无盖的正方体容器，高12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm37．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和BC的三等分点，若=，=，则=（）A．=+B．=+C．=+D．=+8．（6分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9．（6分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数10．（6分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x2项为（）A．0 B．﹣80x2C．80x2D．160x211．（6分）如图是一个圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径r=3）组成一个几何体，该几何图体三视中的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．63πB．80πC．36+27πD．36+45π12．（6分）设函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，] C．（，1）D．[，1）二、填空题13．（8分）若函数f（x）=为奇函数．则a=．14．（8分）经过双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是．15．（8分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．16．（8分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c ﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，+++…+=a n﹣2（n≥2），且a1=2．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和B n．18．（12分）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，（Ⅰ）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（Ⅱ）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．19．如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分，底面ABCD是矩形，侧棱GC、ED、FB都垂直于底面ABCD，GC=3，AB=2，BC=．四边形AEGF为菱形，经过C且垂直于AG的平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N；（1）求证：CN⊥BH；（2）求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值．20．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M（2，0）的动直线l与椭圆C相交于D、E两点，求△ODE面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）x﹣2lnx+a﹣2，g（x）=xe1﹣x（1）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求实数a的最小值（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）=g（x0）在（0，e]上总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．请在22、23、24、题中任选一题作答.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）过C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）若C1上的点P对应的参数为t=π，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（﹣∞，1）∪（7，+∞），求实数a，m的值；（2）当a=﹣1时，当x≤﹣2时，不等式f（x）+t≥f（x+2）恒成立，求t的取值范围．2017-2018学年广东省三（上）12月联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题1．（6分）（2016•北海一模）设复数z满足z﹣3i=3+zi，则z=（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i【分析】设出z=a+bi，代入z﹣3i=3+zi，得到关于a，b的方程组，解出即可．【解答】解：设z=a+bi，∵z﹣3i=3+zi，∴（a+bi）﹣3i=3+（a+bi）i，∴a+b﹣3+（b﹣a﹣3）i=0，∴，解得：，则z=﹣3，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查计算能力，是一道基础题．2．（6分）（2015秋•凯里市校级期末）求值=（）A．1 B．2 C．D．【分析】需利用公式1﹣sin2α=（sinα﹣cosα）2、cos2α=cos2α﹣sin2α、cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）解决．【解答】解：原式=======．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的倍角公式及和（差）角公式．3．（6分）（2015秋•广东校级月考）“a≤﹣3”是“f（x）=﹣|x+a|在[3，+∞）上为减函数”的什么条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．不充分不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合绝对值的性质，进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=﹣|x+a|在[3，+∞）上为减函数，∴﹣a≤3，∴a≥﹣3，∴“a≤﹣3”是“f（x）=﹣|x+a|在[3，+∞）上为减函数”的，不充分不必要故选：D．【点评】本题考查充要条件的判断和已知函数单调性求参数范围问题，对函数f（x）=﹣|x﹣a|的图象要熟练掌握4．（6分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题5．（6分）（2013•三门峡模拟）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．【点评】挖掘题设条件，合理运用双曲线的性质能够准确求解．6．（6分）（2015秋•广东校级月考）如图是一个水平放置的透明无盖的正方体容器，高12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【分析】根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积．【解答】解：根据几何意义得出：边长为12的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：6，∵球面恰好接触水面时测得水深为8cm，∴d=12﹣8=4，∴球的半径为：R=，R=∴球的体积为π×（）3=cm3故选D．【点评】本题考查了球的几何性质，运用求解体积面积，属于中档题．7．（6分）（2015秋•广东校级月考）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和BC的三等分点，若=，=，则=（）A．=+B．=+C．=+D．=+【分析】根据平面向量的线性表示与运算性质，利用与表示出即可．【解答】解：△ABC中，D、E分别是AB和BC的三等分点，∴==，==（﹣）=（﹣），∴=+=+（﹣）=+．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题目．8．（6分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题9．（6分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．10．（6分）（2015秋•运城期末）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x2项为（）A．0 B．﹣80x2C．80x2D．160x2【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后写出（2x﹣）5 的展开式的通项，进一步求得展开式中含x2项．【解答】解：令x=1，则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5 ，（2x﹣）5 的展开式的通项为=，则展开式（x+）（2x﹣）5 中含x2项为．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出含x2项，是中档题．11．（6分）（2015秋•广东校级月考）如图是一个圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径r=3）组成一个几何体，该几何图体三视中的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．63πB．80πC．36+27πD．36+45π【分析】由已知可得该几何图体是一个半圆柱与半球的组合体，半球和圆柱的底面半径r=3，半圆柱的高为2r=6，累加各个面的面积，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何图体是一个半圆柱与半球的组合体，半球和圆柱的底面半径r=3，半圆柱的高为2r=6，故该几何体的表面积S=×4πr2+2××πr2+×2πr×2r+2r×2r=5πr2+4r2=36+45π，故选：D．【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．12．（6分）（2015秋•广东校级月考）设函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，] C．（，1）D．[，1）【分析】设g（x）=（x﹣2）lnx，h（x）=ax﹣1，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax ﹣1的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g（1）≥h（1）=a﹣1且h（3）=3a﹣1≤g（3）=ln3，h （2）＞g（2），解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=（x﹣2）lnx，h（x）=ax﹣1，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=h（x）=ax﹣1的下方，∵g′（x）=lnx+1﹣，∴当x≥2时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，当x=1时，g（1）=0，当x=1时，h（1）=a﹣1＜0，即a≤1．直线y=ax﹣1恒过定点（0，﹣1）且斜率为a，由题意结合图象可知，存在唯一的整数x0=2，f（x0）＜0，故h（2）=2a﹣1＞g（2）=0，h（3）=3a﹣1≤g（3）=ln3，解得＜a≤．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二、填空题13．（8分）（2015秋•广东校级月考）若函数f（x）=为奇函数．则a=±2．【分析】由函数f（x）=为奇函数，可知：f（﹣x）=﹣f（x）在[﹣2，2]上恒成立，进而解得a值．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数．∴f（﹣x）=﹣f（x）在[﹣2，2]上恒成立，即=﹣在[﹣2，2]上恒成立，解得：a=±2，故答案为：±2【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．14．（8分）（2015秋•深圳校级期末）经过双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是x2+y2﹣2x+y﹣15=0．【分析】求出双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的坐标，利用待定系数法进行求解即可．【解答】解：双曲线的左顶点A（﹣3，0）、虚轴上端点B（0，4）、右焦点F（5，0），设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，得D=﹣2，E=，F=﹣15，即圆的一般方程为x2+y2﹣2x+y﹣15=0，故答案为：x2+y2﹣2x+y﹣15=0【点评】本题主要考查双曲线的图象和性质以及圆的方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．15．（8分）（2016•河南二模）若x，y满足约束条件，则的最小值为．【分析】做出不等式表示的平面区域，将化成1+，即求过点（1，﹣1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解：=1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．【点评】本题考查了简单的线性规划，是基础题．16．（8分）（2014•新课标I）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2015秋•广东校级月考）已知S n为数列{a n}的前n项和，+++…+=a n﹣2（n≥2），且a1=2．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和B n．【分析】（1）利用递推关系与“累乘求积”方法即可得出；（2）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵+++…+=a n﹣2（n≥2），∴+++…++=a n+1﹣2，∴=a n+1﹣a n，化为=，∴a n=••…••a1=•…••2=n+1，∴a n=n+1．（2）b n====，∴数列{b n}的前n项和B n=+…+==．【点评】本题考查了递推关系与“累乘求积”方法、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016•白银模拟）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区（Ⅰ）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（Ⅱ）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．【分析】（1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．（2）由已知条件得到X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，0.3），由此能求出X的分布列和期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）频率分布直方图如右图．…（3分）所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46…（5分）（2）男居民幸福的概率为：=0.5．女居民幸福的概率为：=0.6，故一对夫妻都幸福的概率为：0.5×0.6=0.3…（7分）因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，0.3）于是…（9分）∴E（X）=np=4×0.3=1.2…（12分）【点评】本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（2015秋•广东校级月考）如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分，底面ABCD是矩形，侧棱GC、ED、FB都垂直于底面ABCD，GC=3，AB=2，BC=．四边形AEGF为菱形，经过C且垂直于AG的平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N；（1）求证：CN⊥BH；（2）求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明CN⊥面BAH即可证明CN⊥BH；（2）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：连结BH，由题知AB⊥面BCGF又∵CN⊂面BCGF，∴AB⊥CN∵AG⊥面CMN，∴AG⊥CN又∵AG∩AB=A，AG、AB⊂面BAH，∴CN⊥面BAH又∵BH⊂面BAH，∴CN⊥BH（2）解：以DA、DC、DE为x、y、z轴，建立空间直角坐标系∵四边形AEFG为菱形，可设AE=EG=a，DE=b由AE2=AD2+DE2，得a2=5+b2，①由EG2=（GC﹣DE）2+DC2，得a2=（3﹣b）2+8，②以上面两式解得：a=3，b=2∴E（0，0，2）、A（，0，0）、G（0，2，3）∴=（﹣，0，2）、=（﹣，2.3），设=（x，y，z）为面AFGE的一个法向量，则由，解得=（8，﹣，4）为面AFGE的一个法向量由题知=（0，0，1）为面ABCD的一个法向量∴cos＜，＞==，∴所求二面角的余弦值为．【点评】本题综合考查空间中线线垂直和空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．20．（2015秋•广东校级月考）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M（2，0）的动直线l与椭圆C相交于D、E两点，求△ODE面积的最大值．【分析】（1）由于以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，可得=+=0．把点P（，）代入椭圆C的方程为：+=1，与b2+c2=a2联立解出即可得出．（2）设my=x﹣2，D（x1，y1），E（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（2+m2）y2+4my+2=0，△＞0，再利用弦长公式与点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：（1）A（0，b）．∵以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，∴PF⊥AF，∴=•（c，﹣b）=+=0．把点P（，）代入椭圆C：+=1的方程为：+=1，解得a2=2，∴b2+c2=2，可得b2=2﹣c2，代入+=0，解得c=1，b=1．∴椭圆C的方程为+y2=1．（2）设my=x﹣2，D（x1，y1），E（x2，y2）．联立，化为：（2+m2）y2+4my+2=0，△=16m2﹣8（2+m2）＞0，解得或m．∴y1+y2=，y1y2=．∴|DE|===．原点O到直线DE的距离d=．∴S△ODE=d|DE|=××=．设=t＞0，则m2=t2+2．∴S△ODE==≤，当且仅当t=2时取等号．∴m=，满足△＞0．∴当m=时，△ODE面积的最大值为．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2015秋•运城期末）已知函数f（x）=（2﹣a）x﹣2lnx+a﹣2，g（x）=xe1﹣x（1）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求实数a的最小值（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）=g（x0）在（0，e]上总存在两个不等的实根，求实数a 的取值范围．【分析】（1）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；（2）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a≠2时，求出f′（x）=0时x的值，根据x∈（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x 的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立．令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而，l（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（2）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；当a≠2时，f′（x）=2﹣a﹣=，x∈（0，e]当x=时，f′（x）=0．由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故0＜＜e，即a＜2﹣①，f（）=a﹣2ln，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2，所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不等的实根，使得f（x）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即，令h（a）=a﹣2ln，a∈（﹣∞，2﹣），则h′（a）=1﹣2[ln2﹣ln（2﹣a）]′=1﹣=，令h′（a）=0，得a=0或a=2，故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；当a∈（0，2﹣）时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．所以，对任意a∈（﹣∞，2﹣），有h（a）≤h（0）=0，即②对任意a∈（﹣∞，2﹣）恒成立．由③式解得：a≤2﹣．④综合①④可知，当a∈（﹣∞，2﹣]时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的两个不等的实根使f（x）=g（x0）成立．【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道压轴题．请在22、23、24、题中任选一题作答.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2016•榆林一模）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．【分析】（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．【解答】解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C．又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，∵∠APC=∠BPA，∵AC=AP，∴∠APC=∠C∴∠APC=∠C=∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BPA中∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴．∴．…（10分）【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015秋•广东校级月考）在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）过C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）若C1上的点P对应的参数为t=π，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最大值．【分析】（1）消去参数，求出C1，C2的普通方程即可；（2）求出P的坐标，设出Q的坐标，表示出M的坐标，代入点到直线的距离公式即可．【解答】解：（1）∵C1：（t为参数），∴C1：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，表示以（3，2）为圆心，1为半径的圆；∵C2：（θ为参数），∴C2：+=1，表示以长轴是8，短轴是6的椭圆；（2）t=π时，P（2，2），设Q（4cosθ，3sinθ），则M（2cosθ+1，sinθ+1），而C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7，即：x﹣2y﹣7=0，故M到C3的距离是：d==≤．（其中sinβ=，cosβ=，当且仅当sin（β﹣α）=﹣1时“=”成立．【点评】本题考查了求曲线的普通方程，考查点到直线的距离公式以及三角函数的最值问题，是一道中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2015秋•广东校级月考）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（﹣∞，1）∪（7，+∞），求实数a，m的值；（2）当a=﹣1时，当x≤﹣2时，不等式f（x）+t≥f（x+2）恒成立，求t的取值范围．【分析】（1）先求出不等式的解集，再根据f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（﹣∞，1）∪（7，+∞），即可求出a，m的值，（2）f（x）+t≥f（x+2）恒成立，得到f（x）min+t≥f（x+2）max，分别根据函数的性质求出最值即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣a|=当x≥a时，x﹣a＞m，即x＞a+m，当x＜a时，﹣x+a＞m，即x＜a﹣m，∵f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（﹣∞，1）∪（7，+∞），∴，解得a=4，m=3，（2）当a=﹣1时，f（x）=，当x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣1，函数为减函数，故f（x）min=f（﹣2）=2﹣1=1，当x≤﹣2时，则（x+2）≤0，∴f（x+2）=，由于当﹣3≤x≤﹣2时，函数f（x+2）为增函数，故f（x+2）max=f（﹣2）=1，由于当x＜3时，函数f（x+2）为减函数，故f（x+2）max=f（﹣3）=0，故函数f（x+2）max=1，∵不等式f（x）+t≥f（x+2）恒成立，∴1+t≥1，解得t≥0，故t的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及求能成立问题参数范围；关键是转化的思想应用．。

2018届广东五校高三第一次联考试卷理科数学满分：150分，时间：120分钟 命题人：胡俊春参考公式：柱体体积公式：Sh V =，S 为底面积，h 为柱体的高锥体体积公式：Sh V 31=，S 为底面积，h 为锥体的高 第一部分 选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把选择的答案涂在答题卡上。

1．已知全集B C A B A U U ⋂===则集合集合},4,1{},5,4,3,1{},6,5,4,3,2,1{等于A ．{1，4}B ．{2，6}C ．{3，5}D ．{2，3，5，6}2．“0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .不充分不必要条件 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A 、);()21(R x y x ∈= B 、);0(1≠=x x y C 、y=x （x ∈R ）； D 、).(3R x x y ∈-=4. 期末考试后，班长算出了全班40名同学的数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ：N 为（ ）A 、40：41B 、1：1C 、41：40D 、2：1 5.在等差数列中，若是9641272=++a a a ,则1532a a +等于( )()A ．12()B ．96()C 24()D ．486.设向量→a 与→b 的夹角为θ，→a =（2，1），3→b +→a =（5，4），则θcos = ( )A .54B . 31C .1010 D .10103 7. 如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为( )A 、 12πB 、2C 、 4D 、4π8. 在实数集上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是( )()A .()1 1，- ()B .()2 0， ()C )2321(，- ()D )21 23(，-第二部分 非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题，其中（9）～（12）是必做题，（13）～（15）是选做题，要求考生只从（13）、（14）、（15）题中任选2题作答，三题都作答的只计算前两题的得分。

图12018届高三级第一次阶段综合测试五校联考数学（理）科试卷试题说明：本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试时间为120分钟. 注意事项：答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答卷上；选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑，答案不能答在答卷上；非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须答在各题目指定区域内的相应位置上，不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．集合{}2,4,6M =的真子集的个数为A ．6B ．7C ．8D ．9 2．不等式2320x x -+<的解集是A ．{}21x x x <->-或B ．{}12x x x <>或C ．{}12x x <<D ．{}21x x -<<- 3．函数cos y x =的一个单调递增区间为A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,πC ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 4．设复数z 满足i 2i z =-，则z =A ．12i --B ．12i -C ．12i +D ．12i -+ 5．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=a b a b ，则n = A ．3- B ．1- C ．1 D ．36．如图1所示，是关于判断闰年的流程图，则以下年份 是闰年的为 A ．1996年 B ．1998年 C ．2018年 D ．2100年7．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． ②若α⊂m ，α⊂n ，mβ，n β，则αβ．③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交． ④若m αβ=，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β．其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1 8．函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２），则()12f x x 的最小值为A ．35B ．23C ．45 D二、、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2017-2018 学年广州市一般高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. ）（ 1）已知会合A x x 1 ， B x x2x0，则 A B （）（ A）x 1 x 1（ B）x 0 x 1（ C）x 0 x 1（ D）x 0 x 1【答案】 D【分析】试题剖析：A x1x1， B x 0x 1 ， A B x 0x 1，应选 D.考点：会合的交集 .（ 2）已知复数z3i，此中 i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在（）1i（ A）第一象限（ B）第二象限（C）第三象限（ D）第四象限【答案】 D【分析】试题剖析：z 3i1i14i12i， z 1 2i，即 z 对应点在第四象限，1i1i22应选 D.考点： 1、复数的观点；2、复数的运算 .（ 3）履行如下图的程序框图，假如输入x 3，则输出 k 的值为（）k0x2x3k k 2x100?是开始输入 x输出 k结束否（A）6（B）8（C）10（ D）12【答案】 C【分析】试题剖析：第一循环 x233 9, k 2 ；第二循环 x 2 9321,k 4 ；第三循环x 2 21 3 45, k 6 ；第四循环x 2 45 3 93, k8 ；第五循环x 2 93 3 189, k 10 ，189100结束循环，输出k 10，应选 C.考点 :程序框图及循环结构 .（ 4）假如函数 f x sin x60 的相邻两个零点之间的距离为，则的值为6（）（A）3（B）6（C）12（D） 24【答案】 B【分析】试题剖析：函数 f x sin x0的相邻两个零点之间的距离为函数的半个周6期，T, 6 ，应选B.26考点：三角函数的图象和周期 .（ 5）设等差数列a n的前 n 项和为 S n，且 a2a7a1224 ，则 S13（）（A）52（B）78（ C） 104（ D） 208【答案】 C【分析】a2a7a1224 ，3a724 ，即 a7 8 ，13 a1a1313a7104 ，试题剖析：S132应选 C.考点：等差数列的性质及前n 项和公式.（ 6）假如P1，P2， , ，P n是抛物线C：y24x 上的点，它们的横坐标挨次为x1， x2，,，x n，F 是抛物线 C 的焦点，若x1x2x n10 ，则 PF P F P F （）12n（ A）n 10（ B）n 20（ C）2n 10（ D）2n 20【答案】 A【分析】试题剖析：y 24x,p 1 ，由抛物线定义可知 PF 11 x 1 , P2 F2 x 2 ， ，2P n F 1 x n ，12nx 2 x nn10 ，应选 A.PF PF P F n x 1 考点： 1、抛物线的标准方程； 2、抛物线的定义及简单几何性质 .（ 7）在梯形 ABCD 中，ADBC ，已知 AD 4 ，BC6 ，若 CD mBA nBCm,nR ，则m（）n（A ） 3（ B ）11（D ） 3（ C ）33【答案】 A【分析】试题剖析： 过 A 作 AECD 交BG 于E ，则CD EA EB BA1BC BA ，即 m 1，31 m3 ，应选 A.n，3n考点 : 1 、平面向量基本观点定理；2、向量的运算 .x y 1 0,2（ 8）设实数 x ， y 知足拘束条件xy1 0, 则 x 2y 2的取值范围是（）x，1（A ） 1,17（B ） 1,17（C ） 1, 17（D ）2 , 17 22【答案】 A【分析】试题剖析：画出拘束条件所表示的可行域，如图，A1,2 , D 0.2 ，由可行域知z x y 222y1 0 的距离的平方为 1 ，的最大值是 AD17 ，最小值为 D 到直线 x2应选 A.y3A2x+y- 1= 01x= -1C-4-3-2-1O1234x-1x-y- 1=0-2DB-3考点 : 利用可行域求目标函数的最值 .（ 9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，全部棱的长都为1，极点都在同一个球面上，则该球的体积为（）（ A）（B）20 5（C）5（D）5 536【答案】 D 【分析】125， R545试题剖析：由题意知，R212, V球=R3 5 ，应选 D.24236考点 : 1 、棱柱的性质；2、球的体积公式 .（ 10）已知以下四个：p1：若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l；p2：若 f x2x 2 x，则x R，f x f x ；p3：若 f x x 1，则x00,， f x0 1 ；x 1p4：在△ABC中，若A B ，则 sin A sin B ．此中真的个数是（）（A）1（B）2（C） 3（ D）4【答案】 B【分析】试题剖析：假如l 与内无数条平行线垂直，则l 与不必定垂直，因此p1错误；f x2x 2 x，f x 2 x2x f x，故 p2正确；f x1, 只有一个根x0 ，x 0 时，f x1无解，故p3错误；因为在ABC中A B 必定有 a b ，再由正弦定理可得sin A sin B ，故p4正确；应选 B.考点： 1、直线与平面垂直的判断；2、正弦定理及函数的奇偶性.（11）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四周体的三视图，则该四周体的表面积为（）（A）882 46（B）882 26（C）2 2 26（D）126224【答案】 A【分析】试题剖析：由三视图可知，几何体是以P 为极点，以ABC 为底面，以 PC 为高的三棱锥，如图 . 由三视图可知PC4, BC 2 ，可求得AB PB 2 5,AC 4 2, AP 4 3，因此S表SABCSBCSPACSPAB 88 246 ，应选 A.BCAP考点： 1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.（12）以下数表的结构思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．12 3 4 5,2013 20142015 20163579,,,,4027 4029 403181216,,,,,,,805680602028,,,,,,,,,,16116,,,,,,,,,,,,,,,,该表由若干行数字构成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）（ A）201722015（ B）2017 22014（ C）201622015（D）201622014【答案】 B【分析】试题剖析：第一行为1、 2 、 3 的三角形，最后一行的数为3121；第一行为1、2、 3、4 的三角形，最后一行的数为 4 122；第一行为1、2、 3、4 、 5的三角形最后一行的数为，5123,可猜想第一行为1、 2、3,2016 最后一行的数为2016 122014201722014，应选 B.考点：概括推理及不完整概括法.第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分20 分．）（ 13）一个整体中有 60 个个体，随机编号 0， 1， 2，, ，59，依编号次序均匀分红 6 个小组，组号挨次为 1， 2，3，, ， 6．现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组随机抽取的号码为3，则在第 5 组中抽取的号码是．【答案】43【分析】试题剖析：整体 60 个个体，依编号次序分红 6 个小组，则间隔编号为6010 ，因此在第 5 组6中抽取的号码为 3 10443 ，故答案为43 .考点：系统抽样方法 .（ 14）已知双曲线C：x2y 2 1 a0,b0的左极点为 A ，右焦点为 F ，点B 0,b，a2b2且BA BF0 ，则双曲线C的离心率为．【答案】512【分析】试题剖析：BA BF 0,AB BF ，又BO AF，因此由射影定理知OB2OAOF，即 b 2ac c22， e2e10, e5151 a2，故答案为2考点:1、向量垂直与向量数目积之间的关系；2、双曲线的几何性质及离心率 .（ 15）x2x4x3的系数为2的睁开式中，．（用数字填写答案）【答案】40【分析】试题剖析： x2x4x2x24x 24C43 x2 x3中含 x3项其2睁开后只有与2系数和为C4123C43C312240，故答案为40 .考点：二项睁开式定理 .（ 16）已知函数f x 1x 1 ,x1,则函数 g x 2 x f x 2 的零点个数为2x，x4x 2,1个．【答案】 2考点 :函数的零点和图象交点的关系.三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（ 17）（本小题满分12 分）如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD BC ，AC 5 3 ，CD5, BD 2AD .（Ⅰ）求 AD 的长；（Ⅱ）求△ABC 的面积．CA D B75 3【答案】（Ⅰ） 5 ；（Ⅱ）.【分析】试题剖析：( Ⅰ ) 设 AD x x 0 ，则 BD 2 x ．因为 CD BC ， CD 5 ， BD 2 x ，因此cos CDB CD5，由余弦定理得BD2xcos ADC AD 2CD 2AC 2x252(53) 2．因为 cos ADC cos CDB ，即2AD CD2x 5x252(53) 25．解得 x 5 ．因此AD的长为 5 ；（Ⅱ）由 ( Ⅰ )AB 3 x15，所2x 52x以S ABC 1BC sin CBA可得正确答案 .AB2试题分析： ( Ⅰ )在ABC 中，因为BD 2AD，设 AD x x 0 ，则 BD 2 x ．在 BCD 中，因为CD BC，CD 5 ， BD 2x ，因此 cos CDB CDBD5．在 ACD 中，因为 AD x ， CD5，AC 5 3 ，2x由余弦定理得 cos ADC AD 2CD 2AC 2x252(5 3)2．因为2AD CD 2 x5CDB ADC，因此 cos ADC cos CDB ，即 x252(5 3)25．解得 x 5 ．因此AD的长为 5 .2x 5 2 x（Ⅱ）由（Ⅰ）求得AB3x 15 ， BC225 5 3 ．因此cos CBD BC34 xBD，2从而 sin1,因此S ABC1sin115 51753 CBD AB BC CBA34．2222考点：余弦定理及三角形面积公式.（ 18）（本小题满分12 分）从某公司生产的某种产品中抽取100件，丈量这些产品的质量指标值，由丈量结果获得如图所示的频次散布直方图，质量指标值落在区间55,65 ，65,75，75,85内的频次之比为4:2:1 ．（Ⅰ）求这些产质量量指标值落在区间75,85内的频次；（Ⅱ）若将频次视为概率，从该公司生产的这类产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间45,75 内的产品件数为X，求X的散布列与数学希望．频次组距0.0300.0190.0120.004015 25 35 45 55 65 75 85质量指标值【答案】（Ⅰ） 0.05 ；（Ⅱ） 1.8 .【分析】试题剖析：（Ⅰ）先依据比率设出质量指标值落在区间55,65 ， 65,75 , 75,85 内的频次，再依据各个矩形面积和为1可求得质量指标值落在区间75,85 内的频次；（Ⅱ）从该公司生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验，因此X听从二项散布 B n, p ，此中 n 3 ，依据独立重复试验概率公式求概率，依据二项散布希望公式求希望.试题分析：（Ⅰ）设区间75,85 内的频次为 x ，则区间55,65 ， 65,75 内的频次分别为4x 和 2x ．依题意得0.004 0.012 0.019 0.03 10 4x 2 x x 1 ，解得x0.05 .因此区间75,85 内的频次为0.05．（Ⅱ）从该公司生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，因此 X 听从二项散布B n, p ，此中n 3．由（Ⅰ）得，区间45,75 内的频次为0.3 0.2+0.1=0.6 ，将频次视为概率得p 0.6 ．因为X的全部可能取值为0、1、 2、 3，且 P(X 0)C300.600.430.064， P(X1)C13 0.610.420.288 ，P( X2)C320.620.410.432 ，P( X3) C330.630.400.216．因此 X 的散布列为：X0123P0.0640.2880.4320.216 X 听从二项散布B n, p，因此 X 的数学希望为EX 3 0.6 1.8 ．考点： 1、频次散布直方图； 2、失散型随机变量的均值希望 .（ 19）（本小题满分12 分）如图，四棱柱 ABCD A1 BC1 1D1的底面ABCD是菱形，AC BD O，AO1底面ABCD ，AB AA1 2．（Ⅰ）证明：平面ACO1平面 BB1D1 D ；（Ⅱ）若 BAD60 ，求二面角 B OB1 C 的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明看法析；（Ⅱ）6 4.【分析】试题剖析：（Ⅰ）先证AO BD，CO BD 可得BD平面ACO ，从而得平面BB1D1D平11面ACO1；（Ⅱ）以 O 为原点，OB，OC，OA1方向为x，y，z轴正方向成立如下图空间直角坐标系．分别求出平面OBB1的法向量，平面OCB1的法向量，利用空间向量夹角公式即可求得二面角 B OB1 C的余弦值 .试题分析：（Ⅰ）证明：因为 AO平面 ABCD，1BD 平面ABCD，因此AO BD．因为 ABCD 是菱形，1因此 CO BD ．因为AO1CO O ，因此 BD平面 ACO．因为BD 平面BB1 D1D，1因此平面BB1 D1 D 平面 ACO1．（Ⅱ）解：因为1平面 ABCD ，CO BD ，以 O 为原点，OB，OC，OA1方AO向为 x ，y， z 轴正方向成立如下图空间直角坐标系．因为 AB AA1 2 ，BAD60，因此 OB OD1，OA OC3，OA1AA12OA21．则B 1,0,0，C0, 3,0 ，A 0,3,0，A10,0,1 ，因此 BB1AA10, 3,1 ，OB1OB+ BB11, 3,1 ．设平面OBB1的法向量为n x, y, z ，因为 OB1,0,0， OB11, 3,1 ，因此x0,x3y z 0.令 y1，得 n0,1, 3．同理可求得平面OCB1的法向量为m1,0,1．因此 cos n,m36B OB1C 的平面角为钝角，22．因为二面角4因此二面角 B OB1 C 的余弦值为 6 ．4z D1C1A1B1DCyOA Bx考点： 1、线面及面面垂直的判断定理；2、利用法向量夹角公式求二面角的余弦.（ 20）（本小题满分12 分）已知椭圆 C 的中心在座标原点，焦点在x 轴上，左极点为 A ，左焦点为F12，0，点B2, 2在椭圆 C 上，直线y kx k 0 与椭圆C交于E，F两点，直线AE ， AF 分别与 y 轴交于点M ，N．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 MN 为直径的圆能否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因．【答案】（Ⅰ）x2y21；（Ⅱ）经过两定点P12,0， P22,0 . 84【分析】试题剖析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为 F12，0 ，因此a2b24．由点 B 2, 2 在椭圆 C上，得421，从而解出 a, b 获得椭圆 C 的方程；（Ⅱ）直线 y kx (k 0) 与椭圆x2y21 a2b284联立，解得 E, F 的坐标（用 k 表示），设出 AE ， AF 的方程，解出 M , N 的坐标，圆方程用k 表示，最后可求得MN 为直径的圆经过两定点.试题分析：（Ⅰ）设椭圆 C 的方程为x2y2 1 (a b 0) ，a2b2因为椭圆的左焦点为F12，0 ，因此a2b2 4 ．因为点 B 2,2在椭圆 C421 ．上，因此2b2a由①②解得， a2 2 ，b 2 ．因此椭圆 C 的方程为x 2y 2 1．84（Ⅱ）因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 2 2,0 ．因为直线 ykx ( k 0) 与椭圆x 2y 21交于两点 E ，F ，84设点 E x 0 , y 0 （不如设 x 00 ），则点 F x 0 , y 0 ．y kx, 2 8联立方程组x 2 y 2 1消去 y 得 x 12 ．8 42k因此 2 2 ，则 y 02 2k ．x 02k 2 1 2k 21因此直线 AE 的方程为 ykx2 2 ．1 12k2因为直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点 M ， N ，令 x0 得 y2 2k，即点 M 0,2 2k．112k 22k 211同理可得点 N0,2 2k．11 2k 2因此 MN2 2k2 2k2 2 1 2k 2．11 2k2112k2k设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P 0,2 ．k222 1 2k2则以 MN 为直径的圆的方程为x2y2 ，kk即 x 2y 2 2 2 y 4 ．k令 y0 ，得 x 24 ，即 x2 或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P 1 2,0 ， P 2 2,0 ．考点： 1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义 .（ 21）（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) e x+mx 3 , g xln x1 2 ．（Ⅰ）若曲线yf x 在点0 f 0 处的切线斜率为 1，务实数 m 的值；，（Ⅱ）当 m 1时，证明： f xg(x)x 3 .【答案】（Ⅰ） m 0 ；（Ⅱ）证明看法析 .【分析】试题剖析：（Ⅰ）先求出 f ( x) ，再令fe m，可解得m 的值；（Ⅱ） f xg( x) x31等价于 ex+ mln x 1 20 ，当 m1时，只要证明 e x1ln( x1) 2 0 ，设h xe x 1ln x 12 ，则 h xe x 1x 1 ，利用 hx 的单一性， 能够证明 h x 的1最小值 hx 0 为正，从而 f xg( x)x 3 .试题分析： （Ⅰ）因为f ( x)e x+ mx 3 ，因此 f (x)e x+m3x 2 . 因为曲线yf x 在点0 f 0处的切线斜率为 1，因此 fe m1，解得 m0 .，（Ⅱ）因为 f ( x) e x+m x 3 , g xln x12 ，因此 fxg( x) x 3 等价于 e x+m ln x 12 0．当 m 1时， e x+m ln x 1 2 e x 1 ln x 1 2 ．要证 e x+mln x 12 0 ，只要证明 e x 1 ln( x 1)20设 h x e x 1 ln x 12 ，则 h x e x 1x 1 .1设 p x ex 11x 110 ．x ，则 p x ex211因此函数 p xh xe x11 1 在 1，+ 上单一递加．x1 1因为 he 2 2 0 ， h 0 e 10，2因此函数 h xe x11 在 1，+上有独一零点x 0 ，且 x 01 ,0x 12因为 h x0，因此e x0 +11，即 ln x1x 1 .0x0100当 x1, x 时， h x0 ；当 x x,时， h x 0 ，00因此当 x x0时， h x 获得最小值 h x0.因此 h x h x0 = e x01ln x0 1 2x01x0120.1综上可知，当 m 1时，f x g( x)x3.考点： 1、利用导数求切线斜率；2、利用导数研究函数的单一性及最值 .请考生在第22、 23、 24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号 .（ 22）（本小题满分10 分）选修4－1：几何证明选讲如下图，△ABC 内接于⊙ O ，直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ，交 BC 的延伸线于点 D ，过点D 作DE CA 交BA 的延伸线于点 E ．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）若直线DE2AE BE ；EF 与⊙ O 相切于点F，且EF4，EA 2 ，求线段AC的长．FB．OE ACD【答案】（Ⅰ）证明看法析；（Ⅱ） 3 .考点： 1、三角形相像；2、切割线定理 .（ 23）（本小题满分10 分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 sin ，0,2 .（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线 C 上求一点 D ，使它到直线 l ：x3t3,（ t 为参数，t R ）的距离最y3t2短，并求出点D 的直角坐标.【答案】（Ⅰ） x2y2 2 y33 0 ；（Ⅱ）， .22【分析】试题剖析：（Ⅰ）利用极坐标方程与直角坐标的互化公式可得：（Ⅱ）参数方程化为一般方程，利用圆心到直线的距离减半径最小可知，过圆心与直线垂直的直线与圆的交点之一获得最小值，依据几何意义清除一个即可.试题分析：（Ⅰ）解：由 2 sin ，0,2 ，可得2 2 sin ．因为2x 2 y 2 ，siny ，因此曲线 C 的一般方程为 x 2y 2 2y0 （或 x 221）．y 1 （Ⅱ） 解： 因为直线的参数方程为x 3t 3,（ t 为参数， tR ），y3t2消去 t 得直线 l 的一般方程为 y3x 5 ．因为曲线 C ： x 2y 1 21是以 G0,1 为圆心， 1 为半径的圆，设点 Dx 0 , y 0 ，且点 D 到直线 l ： y3x 5 的距离最短，因此曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l ： y3x 5平行．即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于1，即y 0131．x 02 y 0 1233因为x 01，解得 x 0或 x 0 2．2 因此点 D 的坐标为3 1或3 32，2 ， ．22因为点 D 到直线 y3x 5 的距离最短，因此点 D 的坐标为332 ， ．2考点： 1、极坐标方程与直角坐标的方程互化； 2、参数方程与一般方程的互化 .（ 24）（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲设函数 f xx ax 1 a ． （Ⅰ）当 a1 时，求不等式f x1的解集；2（Ⅱ）若对随意【答案】（Ⅰ）a0,1 ，不等式1,；（Ⅱ）4f xb 的解集为空集，务实数 b 的取值范围．2，+ .【分析】试题剖析：（Ⅰ）议论三种状况x 1 ， 1 x 0 ， x 0 ，最后找并集即可； （Ⅱ）不等式f xb 的解集为空集，只要 bf x，利用基本不等式可得f xa 1 a ，max从而转变为ba1 a，最后运用三角换元法或平方后联合基本不等式求出maxa1 a.max试题分析：（Ⅰ） 解： 当 a 1 时， fx1 x 1 x1等价于．1 22①当 x1时，不等式化为 x 1 x，无解；21 1②当 1x 0 时，不等式化为 x1 xx 0 ；，解得41 2③当 x0 时，不等式化为 x1 x0 ．，解得 x2综上所述，不等式f x1的解集为1 , .4（Ⅱ）因为不等式f xb 的解集为空集，因此 bf x．max因为 f x x a x1 ax a x1 aa 1 aa 1 a ，当且仅当 x1 a 时取等号． 因此 f xmaxa1 a ．因为对随意 a0,1 ，不等式f xb 的解集为空集，因此 ba1 a, 令 gaa1 a ，max因此 g 2a12 a1 a1a21a22 ．当且仅当a1 a ，即 a12时等号成立．因此 g amax2 ．因此 b 的取值范围为2，+ ．考点： 1、绝对值不等式的解法； 2、利用基本不等式求最值.。

2017-2018学年全国大联考高三（上）试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，非空集合A={x|﹣l≤x≤a}，B={x|x≥1），且A⊆C U B，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．[﹣1，1] D．[﹣1，1）2．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．y=xsin2x B．y=xcos2x C．y=x+cosx D．y=x﹣cosx3．（5分）“t anx＞0”是“sin2x＞0“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，3），若m﹣n=（﹣5，﹣4），则m+n=（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）在△ABC中，角A．B、C的对边分别为a，b，c，若2a=3b，则=（）A．2 B．3 C．D．6．（5分）已知平面向量，满足||=3||=|﹣3|=3，则，的夹角为（）A．B．C． D．7．（5分）已知tan（α﹣β）=，tan（α+β）=，则tan2β=（）A．﹣ B．C．﹣ D．8．（5分）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图，则f（﹣）+f（﹣）+f（0）=（）A．B．C．D．9．（5分）设函数f（x）=，若f（f（﹣3））=﹣3，则b=（）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）如图，已知一座山高BC=80米，为了测量另一座山高MN，和两山顶之间的距离CM，在A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠BAC=30°，C、M两点的张角∠MAC=60°，从C点测得∠ACM=75°，则MN与CM分别等于多少米（）A．40（3+），140B．40（3+），80C．60（+），140D．60（+），8011．（5分）已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（2α+）=（）A．B． C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+c有两个极值点x1，x2，若x1＜x2，则f（x）=x1﹣x2的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．不能确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．（5分）函数f（x）=的定义域是．14．（5分）已知向量=（1，1），=（x，﹣2），=（﹣1，y），若⊥且∥，则x+y= ．15．（5分）已知△ABC的面积为1，且AB=1，A=，则BC长为．16．（5分）已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），z∈R，若函数f（x）在（﹣ω，ω）上是增函数，且图象关于直线x=﹣ω对称，则ω= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知角α的顶点为坐标原点，始边在x轴正半轴上，终边过点（m，﹣2）．若cosα=，求（1）tanα的值（2）sin2α的值．18．（12分）已知函数f（x）=log2（x+1），g（x）=log4（3x+1）．（Ⅰ）若f（x）≤g（x），求x的取值范围D；（Ⅱ）设H（x）=g（x）﹣f（x），当x∈D时，求函数H（x）的值域．19．（12分）已知向量，设函数．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）求函数f（x）的单调增区间和图象的对称轴方程．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知acos2+ccos2=b．（1）求证：a+c=2b，（2）若B=，S=4，求b．21．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）cos（x﹣），x∈R．（1）若对任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a成立，求a的取值范围；（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．22．（12分）已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞l），g（x）=b﹣，e为自然对数的底数．（1）当a=e，b=5时，求方程f（x）=g（x）的解的个数；（2）若存在x1，x2∈[﹣l，1]使得f（x1）+g（x2）+≥f（x2）=g（x1）+e成立，求实数a的取值范围．[注：（a x）′=a x lna]．2017-2018学年全国大联考高三（上）试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，非空集合A={x|﹣l≤x≤a}，B={x|x≥1），且A⊆C U B，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．[﹣1，1] D．[﹣1，1）【分析】根据补集与子集的定义，列出关于a的不等式组，求出解集即可．【解答】解：全集U=R，非空集合A={x|﹣l≤x≤a}，∴a≥﹣1，∵B={x|x≥1），∴∁U B={x|x＜1}；且A⊆C U B，∴，解得﹣1≤a＜1；所以实数a的取值范围是[﹣1，1）．故选：D．【点评】本题考查了补集与子集的定义与应用问题，是基础题目．2．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．y=xsin2x B．y=xcos2x C．y=x+cosx D．y=x﹣cosx【分析】先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（x）是否等于﹣f（x），从而根据奇函数的定义得出结论．【解答】解：函数y=f（x）=xsin2x的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣xsin（﹣2x）=xsin2x，故函数为偶函数；函数y=f（x）=xcos2x的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣xcos（﹣2x）=﹣xcos2x=﹣f（x），故函数为奇函数；函数y=f（x）=x+cosx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+cos（﹣x）=﹣x+cosx≠﹣f（x），∴故函数不是奇函数；函数y=f（x）=x﹣cosx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x﹣cos（﹣x）=﹣x﹣cosx≠﹣f（x），∴故函数不是奇函数；故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．3．（5分）（2016秋•黑龙江期中）“tanx＞0”是“sin2x＞0“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可得到tanx=＞0⇔sin2x＞0，再根据充要条件的定义即可判断．【解答】解：tanx=＞0⇔sinxcosx＞0⇔2sinxcosx＞0⇔sin2x＞0，故“tanx＞0”是“sin2x＞0“充分必要条件，故选：C【点评】本题考查了三角函数的转化、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，3），若m﹣n=（﹣5，﹣4），则m+n=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出．【解答】解：∵m﹣n=（﹣m﹣2n，2m﹣3n）=（﹣5，﹣4），∴﹣m﹣2n=﹣5，2m﹣3n=﹣4，解得m=1，n=2．则m+n=3．故选：C．【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，角A．B、C的对边分别为a，b，c，若2a=3b，则=（）A．2 B．3 C．D．【分析】由已知条件2a=3b，结合正弦定理推知3sinB=2sinA，故sinA=sinB，将其代入所求的代数式进行求值即可．【解答】解：∵在△ABC中，角A．B、C的对边分别为a，b，c，2a=3b，∴由正弦定理得到：3sinB=2sinA，故sinA=sinB，∴==3．故选：B．【点评】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2016秋•黑龙江期中）已知平面向量，满足||=3||=|﹣3|=3，则，的夹角为（）A．B．C． D．【分析】由条件可求出的值，从而对两边平方，即可求出cos的值，从而便可得出的夹角．【解答】解：根据条件，，；∴==9；∴；∴的夹角为．故选B．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，已知三角函数值求角．7．（5分）（2016秋•黑龙江期中）已知tan（α﹣β）=，tan（α+β）=，则tan2β=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【分析】由tan2β=tan[（α+β）﹣（α﹣β）]，展开两角差的正切得答案．【解答】解：∵tan（α﹣β）=，tan（α+β）=，∴tan2β=tan[（α+β）﹣（α﹣β）]=，故选：A．【点评】本题考查两角和与差的正切，是基础的计算题．8．（5分）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图，则f（﹣）+f（﹣）+f（0）=（）A．B．C．D．【分析】由函数图象求出T，从而得出ω的值，由f（）=1，代入f（x）=cos（2x+φ）求得φ的值，写出函数解析式，再计算f（﹣）+f（﹣）+f（0）的值．【解答】解：由图象可知函数的周期为T=﹣=，解得T=π=，∴ω=2；即f（x）=cos（2x+φ），∵f（）=1，∴cos（2×+φ）=1，即+φ=2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z；∴f（x）=cos（ωx+φ）=cos（2x﹣+2kπ）=cos（2x﹣）；∴f（﹣）+f（﹣）+f（0）=cos[2×（﹣）﹣]+cos[2×（﹣）﹣]+cos（2×0﹣）=0++=，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，考查特殊角的三角函数值，属于中档题．9．（5分）（2016秋•黑龙江期中）设函数f（x）=，若f（f（﹣3））=﹣3，则b=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由已知得f（﹣3）=log2（1+3）=2，从而f（f（﹣3））=f（2）=2﹣b=﹣3，由此能求出b．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣3）=log2（1+3）=2，∵f（f（﹣3））=﹣3，∴f（f（﹣3））=f（2）=2﹣b=﹣3，解得b=5．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．（5分）如图，已知一座山高BC=80米，为了测量另一座山高MN，和两山顶之间的距离CM，在A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠BAC=30°，C、M两点的张角∠MAC=60°，从C点测得∠ACM=75°，则MN与CM分别等于多少米（）A．40（3+），140B．40（3+），80C．60（+），140D．60（+），80【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB=30°，BC=80m，所以AC=160m．在△AMC中，∠MAC=60°，∠MCA=75°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，CM==80mAM==80（1+）m．在RT△MNA中，AM=80（1+）m，∠MAN=60°，得MN=80（1+）•=40（3+）m．故选：B．【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，考察了解三角形的实际应用，属于中档题．11．（5分）已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（2α+）=（）A．B． C．D．【分析】由题意可得sin（α+），进而由二倍角公式可得sin（2α+）和cos（2α+），代入cos （2α+）=cos[（2α+）﹣]=cos（2α+）+sin（2α+）化简计算可得答案．【解答】解：∵α是锐角，且cos（α+）=，∴sin（α+）==，∴sin（2α+）=2×=，cos（2α+）=（）2﹣（）2=﹣，∴cos（2α+）=cos[（2α+）﹣]=cos（2α+）+sin（2α+）=×（﹣）+×=．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和二倍角公式，属中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+c有两个极值点x1，x2，若x1＜x2，则f（x）=x1﹣x2的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．不能确定【分析】由函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+c有两个极值点x1，x2，通过函数的极值以及函数的单调性判断方程解的个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣b=（x﹣x1）（x﹣x2），即为3x2﹣2ax﹣b=0有两个不相等的正根x1，x2，∵x1＜x2，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2即有x＜x1，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，x1＜x＜x2，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；x2＜x，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，x=x2，函数取得极小值，∵x1＜x2，∴f（x）=x1﹣x2的解的个数不能确定．故选D．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数，考查了函数与方程的思想方法、推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．（5分）函数f（x）=的定义域是（0，4] ．【分析】函数f（x）=有意义，只需x＞0，且1﹣log 4x≥0，由对数函数的单调性，可得定义域．【解答】解：函数f（x）=有意义，只需x＞0，且1﹣log4x≥0，解得0＜x≤4．故答案为：（0，4]．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方数非负，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．14．（5分）已知向量=（1，1），=（x，﹣2），=（﹣1，y），若⊥且∥，则x+y= 1 ．【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出．【解答】解：∵⊥且∥，∴=x﹣2=0，﹣1﹣y=0，解得x=2，y=﹣1．∴x+y=1．故答案为：1．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）已知△ABC的面积为1，且AB=1，A=，则BC长为．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将c，sinA及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入计算即可求出a的值．【解答】解：∵AB=c=1，A=，△ABC的面积为1，∴S△ABC=bcsinA=b=1，即b=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=8+1+4=13，则BC=a=．故答案为：．【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基本知识的考查．16．（5分）已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），z∈R，若函数f（x）在（﹣ω，ω）上是增函数，且图象关于直线x=﹣ω对称，则ω= ．【分析】利用三角函数的单调性、对称性即可得出．【解答】解：函数f（x）=sinωx﹣cosωx=（ω＞0），z∈R，∵函数f（x）在（﹣ω，ω）上是增函数，∴2kπ﹣≤ωx﹣≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：，k∈Z，∴可得：﹣ω≥，ω≤，k∈Z，解得：0＜ω2≤，且0＜ω2≤2kπ+，k∈Z，解得：＜k＜，k∈Z，∴可解得：k=0，又图象关于直线x=﹣ω对称，∴=±1，∴ω2+=kπ+，k=0，ω＞0．解得ω=．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知角α的顶点为坐标原点，始边在x轴正半轴上，终边过点（m，﹣2）．若cosα=，求（1）tanα的值（2）sin2α的值．【分析】（1）利用已知及三角函数的定义可得=，可得m，进而可求tanα的值．（2）由已知可求r==，利用三角函数的定义可求sinα，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）∵角α的顶点为坐标原点，始边在x轴正半轴上，终边过点（m，﹣2）．若cosα=，∴=，可得m=1，∴tan=﹣2…5分（2）∵r==，∴sinα==﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣…10分【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦函数公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．18．（12分）（2015秋•齐齐哈尔校级期中）已知函数f（x）=log2（x+1），g（x）=log4（3x+1）．（Ⅰ）若f（x）≤g（x），求x的取值范围D；（Ⅱ）设H（x）=g（x）﹣f（x），当x∈D时，求函数H（x）的值域．【分析】（Ⅰ）若f（x）≤g（x），根据对数的运算法则解对数不等式即可求x的取值范围D；（Ⅱ）求出H（x）=g（x）﹣f（x）的表达式，结合复合函数单调性之间的关系即可求出当x∈D时，求函数H（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）若f（x）≤g（x），则log2（x+1）≤log4（3x+1）=log2（3x+1）=log2．则满足，即，即，解得0＜x＜1，即x的取值范围D=（0，1）；（Ⅱ）H（x）=g（x）﹣f（x）=log4（3x+1）log2（x+1）=log2（3x+1）﹣log2（x+1，设t=，则t=，则函数t=，在D=（0，1）上为增函数，∴1＜t＜2，则0＜log2t＜1．即0＜H（x）＜1，故当x∈D时，函数H（x）的值域为（0，1）．【点评】本题主要考查对数函数的性质和对数的运算，利用复合函数单调性之间的关系是解决函数值域的基本方法．19．（12分）（2010•镜湖区校级一模）已知向量，设函数．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）求函数f（x）的单调增区间和图象的对称轴方程．【分析】化简函数．为2sin（2x+）（1）利用正弦函数的有界性，直接求函数f（x）的最大值，求出最小正周期；（2）利用正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调增区间，正弦函数的对称轴方程求函数的对称轴方程．【解答】解：=sin2x﹣1+2cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）由于函数=2sin（2x+），所以函数的周期是：T=，函数的最大值为：2．（2）因为2x+∈[﹣]k∈Z 解得：x∈[]k∈Z就是函数的单调增区间．函数图象的对称轴方程为：x=【点评】本题考查正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的对称性，复合三角函数的单调性，考查计算能力，正弦函数的基本性质，是基础题，利用向量的数量积及其化简三角函数，是解题的基础．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知acos2+ccos2=b．（1）求证：a+c=2b，（2）若B=，S=4，求b．【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理以及二倍角公式化简，推出结果即可．（2）利用三角形的面积以及余弦定理，即可求出b的值．【解答】解：（1）证明：△ABC中，acos2+ccos2=b，由正弦定理得sinAcos2+sinCcos2=sinB，即sinA•+sinC•=sinB；所以sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，因为sin（A+C）=sinB，所以sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得a+c=2b；（2）因为S△ABC=acsinB=acsin=4，所以ac=16，又由余弦定理有b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，由（1）得a+c=2b，所以b2=4b2﹣48，得b=4．【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查三角函数的化简求值，考查计算能力．21．（12分）（2015•江苏二模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）cos（x﹣），x∈R．（1）若对任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a成立，求a的取值范围；（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣），由恒成立只需f min（x）≥a即可，求三角函数区间的最值可得；（2）由函数图象变换可得g（x）=sinx，可得g（x）﹣=0的零点，由三角函数的对称性可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）cos（x﹣）=cos（2x﹣）+sin（2x﹣）=cos 2x+sin 2x﹣cos 2x=sin 2x﹣cos 2x=sin（2x﹣），若对任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a成立，则只需f min（x）≥a即可．∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，∴当2x﹣=﹣，即x=﹣时，f（x）有最小值﹣，故a≤﹣；（2）依题意可得g（x）=sinx，由g（x）﹣=0得sinx=，由图可知sinx=在[﹣2π，4π]上有6个零点：x1，x2，x3，x4，x5，x6．根据对称性有=﹣，=，=，∴所有零点和为x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．22．（12分）已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞l），g（x）=b﹣，e为自然对数的底数．（1）当a=e，b=5时，求方程f（x）=g（x）的解的个数；（2）若存在x1，x2∈[﹣l，1]使得f（x1）+g（x2）+≥f（x2）=g（x1）+e成立，求实数a的取值范围．[注：（a x）′=a x lna]．【分析】（1）构造函数F（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣xlna+x2﹣b，从而代入a=e，b=5得F（x）=e x﹣x+x2﹣5，F′（x）=e x﹣1+3x；从而由导数的正负确定函数的单调性，再结合函数零点的判定定理可得F（x）在（1，2），（﹣2，﹣1）内分别有一个零点．（2）原题意可化为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得[f（x1）﹣g（x1）]﹣[f（x2）﹣g（x2）]≥e﹣；即存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得F（x1）﹣F（x2）≥e﹣；从而化为F（x）max﹣F（x）min≥e﹣，x∈[﹣1，1]；从而转化为函数F（x）的最值问题，求导可得F′（x）=a x lna﹣lna+3x=3x+（a x﹣1）lna；从而由导数的正负确定函数的单调性，从而可得F（x）min=F（0）=1﹣b，F（x）max=max{F（﹣1），F（1）}；再比较F（﹣1），F（1）的大小可得F（1）＞F（﹣1）；从而化为F（1）﹣F（0）≥e﹣；从而可得a﹣lna≥e﹣lne，从而解得．【解答】解：（1）令F（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣xlna+x2﹣b，当a=e，b=5时，F（x）=e x﹣x+x2﹣5，F′（x）=e x﹣1+3x；当x＞0时，F′（x）＞0，则F（x）在（0，+∞）上为增函数，当x＜0时，F′（x）＜0，则F（x）在（0，+∞）上为减函数；而F（0）=﹣4，F（1）=e﹣＜0，F（2）=e2﹣1＞0，F（﹣1）=＜0，F（﹣2）=+2＞0；又∵F（x）在（1，2），（﹣2，﹣1）上分别连续且单调，∴F（x）在（1，2），（﹣2，﹣1）内分别有一个零点，即方程f（x）=g（x）在区间（1，2），（﹣2，﹣1）内各有一个解；综上所述，方程f（x）=g（x）有两解．（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]使得f（x1）+g（x2）+≥f（x2）+g（x1）+e成立，即存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得[f（x1）﹣g（x1）]﹣[f（x2）﹣g（x2）]≥e﹣；即存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得F（x1）﹣F（x2）≥e﹣；即F（x）max﹣F（x）min≥e﹣，x∈[﹣1，1]；F′（x）=a x lna﹣lna+3x=3x+（a x﹣1）lna；①当x＞0时，由a＞1得a x﹣1＞0，lna＞0，故F′（x）＞0；②当x=0时，F′（x）=0；③当x＜0时，由a＞1得a x﹣1＜0，lna＞0，故F′（x）＜0；则F（x）在[﹣1，0]上为减函数，[0，1]上为增函数；故F（x）min=F（0）=1﹣b；F（x）max=max{F（﹣1），F（1）}；而F（1）﹣F（﹣1）=a﹣﹣2lna（a＞1）；设h（a）=a﹣﹣2lna（a＞0），则h′（a）=1+﹣2=（﹣1）2≥0，（当且仅当a=1时，等号成立）∴h（a）在（0，+∞）上为增函数，而h（1）=0；故当a＞1时，h（a）＞h（1）=0；∴F（1）＞F（﹣1）；故F（1）﹣F（0）≥e﹣；化简可得，a﹣lna≥e﹣lne，且易知m（a）=a﹣lna在（1，+∞）上是增函数，故a≥e；即实数a的取值范围为[e，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性命题，同时考查了分类讨论的思想及函数零点的判定定理的应用，属于难题．。

2017-2018学年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（ ）（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< 【答案】D 【解析】 试题分析：{}11A x x =-<<，{}01B x x ≤≤，{}01A B x x ∴=≤<，故选D.考点：集合的交集. （2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()()31124112i i z i i i ++==+-+12i =+，12z i ∴=-，即z 对应点在第四象限，故选D.考点：1、复数的概念；2、复数的运算.（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）【答案】C 【解析】试题分析： 第一循环2339,2x k =⨯+==；第二循环29321,4x k =⨯+==；第三循环221345,6x k =⨯+==；第四循环245393,8x k =⨯+==；第五循环2933189,10x k =⨯+==，189100>结束循环，输出10k =，故选C.考点: 程序框图及循环结构. （4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 【答案】B 【解析】 试题分析：函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两个零点之间的距离为函数的半个周期，,626T ππωω∴===，故选B. 考点：三角函数的图象和周期.（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（ ） （A ）52 （B ）78 （C ）104 （D ）208 【答案】C 【解析】试题分析：271224a a a ++=，7324a ∴=，即78a =，∴()11313713131042a a S a +===，故选C.考点：等差数列的性质及前n 项和公式.（6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（ ）（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D ）220n + 【答案】A 【解析】试题分析：24,12py x =∴=，由抛物线定义可知11221,2PF x P F x =+=+，⋅⋅⋅，1n n P F x =+，12n PF P F P F ∴++⋅⋅⋅()12n n x x x =+++⋅⋅⋅+10n =+，故选A. 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义及简单几何性质. （7）在梯形ABCD 中，AD BC ，已知4AD =，6BC =，若C D m B A n B C =+(),m n ∈R ，则mn=（ ） （A ）3- （B ）13- （C ）13（D ）3 【答案】A 【解析】试题分析： 过A 作AE CD 交BG 于E ，则C D E A E B B A ==+13B C B A =-+，即1m =，13n =-，3mn=-，故选A.考点: 1、平面向量基本概念定理；2、向量的运算.（8）设实数x ，y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()222x y ++的取值范围是（ ）（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C）⎡⎣ （D）⎣ 【答案】A 【解析】试题分析：画出约束条件所表示的可行域，如图，()()1,2,0.2A D --，由可行域知()22z x y =++的最大值是217AD =，最小值为D 到直线10x y --=的距离的平方为12，故选A.考点: 利用可行域求目标函数的最值.（9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）（A ）20π （B （C ）5π （D 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知，22215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，34=23R V R π=∴=球，故选D.考点: 1、棱柱的性质；2、球的体积公式. （10）已知下列四个：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B 【解析】试题分析：如果l 与α内无数条平行线垂直，则l 与α不一定垂直，所以1p 错误；()22x x f x -=-，()()22x x f x f x -∴-=-=-，故2p 正确；()1,f x =只有一个根0x =，0x ∴>时，()f x 1=无解，故3p 错误； 因为在ABC ∆中A B >一定有a b >，再由正弦定理可得sin sin A B >，故4p 正确；故选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理及函数的奇偶性.（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）（A）8+（B）8+（C）2+（D）1224++【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是以P 为顶点，以ABC ∆为底面，以PC 为高的三棱锥，如图.由三视图可知4,2PC BC ==，可求得AB PB AC ===AP =所以ABC BC PAC S S S S ∆∆P ∆=++表 PAB S ∆+8=+ A.CP考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 20163 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ） （A ）201520172⨯ （B ）201420172⨯ （C ）201520162⨯ （D ）201420162⨯【答案】B 【解析】试题分析：第一行为1、2、3的三角形，最后一行的数为()1312+⨯；第一行为1、2、3、4的三角形，最后一行的数为()2412+⨯；第一行为1、2、3、4、5的三角形最后一行的数为，()3512+⨯…可猜想第一行为1、2、3…2016最后一行的数为()2014201420161220172+⨯=⨯，故选B.考点：归纳推理及不完全归纳法.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ． 【答案】43 【解析】试题分析：总体60个个体，依编号顺序分成6个小组，则间隔编号为60106=，所以在第5组中抽取的号码为310443+⨯=，故答案为43.考点：系统抽样方法.（14）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．【答案】12【解析】试题分析：0,BA BF AB BF =∴⊥，又B O A F ⊥，所以由射影定理知2OB OA OF =，即2b ac =22c a =-，2110,2e e e --==，故答案为12考点: 1、向量垂直与向量数量积之间的关系；2、双曲线的几何性质及离心率. （15）()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） 【答案】40- 【解析】试题分析：()422x x -- ()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C x x -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理. （16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个． 【答案】2考点: 函数的零点和图象交点的关系.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =. （Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）5；【解析】试题分析：(Ⅰ)设AD x =()0x >，则2BD x =．因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CDCDB BD∠=52x=，由余弦定理得2222225cos 225AD CD AC x ADC AD CD x +-+-∠==⨯⨯⨯⨯．因为cos cos ADC CDB ∠=-∠，即52x=-．解得5x =．所以AD 的长为5；（Ⅱ）由(Ⅰ) 3AB x =15= ，所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠ 可得正确答案. 试题解析：(Ⅰ) 在ABC ∆中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在BCD ∆中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=52x=．在ACD ∆中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯CDB ADC ∠+∠=π，所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，即22255252x x x+-=-⨯⨯．解得5x =．所以AD 的长为5.（Ⅱ）由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC =． 所以cos 2BC CBD BD ∠==从而1sin 2CBD ∠=,所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=考点：余弦定理及三角形面积公式. （18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[)45,75内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．【答案】（Ⅰ）0.05；（Ⅱ）1.8. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据比例设出质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75,[]75,85内的频率，再根据各个矩形面积和为1可求得质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =，根据独立重复试验概率公式求概率，根据二项分布期望公式求期望. 试题解析：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ， 则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =. 所以区间[]75,85内的频率为0.05．（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．因为X 的所有可能取值为0、1、2、3， 且033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 服从二项分布(),B n p ，所以X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．考点：1、频率分布直方图；2、离散型随机变量的均值期望. （19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB C --的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）4【解析】试题分析：（Ⅰ）先证1AO BD ⊥，CO BD ⊥可得BD ⊥平面1ACO ，进而得平面11BB D D ⊥平面1ACO ；（Ⅱ）以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．分别求出平面1OBB 的法向量，平面1OCB 的法向量 ，利用空间向量夹角公式即可求得二面角1B OB C -- 的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以1AO BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1ACO ．因为BD ⊂平面11BB D D ， 所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ． （Ⅱ）解 ：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系． 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC =11OA ==．则()1,0,0B，()C，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==，()11+OB OB BB ==．设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ，因为()1,0,0OB =，()1OB =，所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n ．同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．所以cos ,<>==n m ．因为二面角1B OB C --的平面角为钝角， 所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．考点：1、线面及面面垂直的判定定理；2、利用法向量夹角公式求二面角的余弦. （20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）经过两定点()12,0P ，()22,0P -. 【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．由点(2B 在椭圆C 上，得22421a b +=，进而解出,a b 得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=联立，解得,E F 的坐标（用k 表示），设出AE ，AF 的方程，解出,M N 的坐标，圆方程用k 表示，最后可求得MN 为直径的圆经过两定点.试题解析：（Ⅰ） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． 因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． 由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --． 联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =0y =．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =M ⎛ ⎝．同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以MN ==．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P ⎛ ⎝⎭． 则以MN 为直径的圆的方程为22x y k ⎛++=⎝⎭2， 即224x y y k++=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．考点：1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义. （21）（本小题满分12分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-. 【答案】（Ⅰ）0m =；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出()f x '，再令()0e 1m f '==，可解得m 的值；（Ⅱ）()3()f x g x x>-等价于()+eln 120x mx -+->，当1m ≥时，只需证明1e ln(1)20x x +-+->，设()()1e ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+，利用()h x 的单调性，可以证明()h x 的最小值()0h x 为正，进而()3()f x g x x >-.试题解析：（Ⅰ）因为+3()e x m f x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e1mf '==，解得0m =.（Ⅱ）因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->设()()1e ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增． 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+. 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x . 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.考点：1、利用导数求切线斜率；2、利用导数研究函数的单调性及 最值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3.考点：1、三角形相似；2、切割线定理.（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）2220x y y +-=；（Ⅱ）32⎫⎪⎪⎝⎭，. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用极坐标方程与直角坐标的互化公式可得：（Ⅱ）参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离减半径最小可知，过圆心与直线垂直的直线与圆的交点之一取得最小值，根据几何意义排除一个即可.试题解析：（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）．（Ⅱ）解：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+．因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-． 因为()220011x y +-=，解得02x =-或02x =． 所以点D的坐标为122⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，或322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． 由于点D到直线5y =+的距离最短， 所以点D 的坐标为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． 考点：1、极坐标方程与直角坐标的方程互化；2、参数方程与普通方程的互化. （24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()f x x x =+-． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）)∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）讨论三种情况1x ≤-，10x -<<，0x ≥，最后找并集即可；（Ⅱ）不等式()f x b ≥的解集为空集，只需()max b f x >⎡⎤⎣⎦，利用基本不等式可得()f x进而转化为max b >，最后运用三角换元法或平方后结合基本不等式求出max. 试题解析：（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥． ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．因为 ()f x x x =-x x ≤==当且仅当x ≥所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以maxb >, 令()g a =所以()21ga =+2212≤++==12a =时等号成立．所以()max g a =⎡⎤⎣⎦b 的取值范围为)∞．考点：1、绝对值不等式的解法；2、利用基本不等式求最值.。