有关反比例函数的应用的中考真题(教师版)

中考数学复习《反比例函数》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若点()1,2A x ，()2,1B x -和()3,4C x 都在反比例函数8y x=的图像上，则1x ，2x 和3x 的大小关系是( ) A.123x x x <<B.231x x x <<C.132x x x <<D.213x x x <<2．若点()26-，在反比例函数ky x=的图象上，则下列说法正确的是( ) A.该函数的图象经过点()34--，B.该函数的图象位于第一、三象限C.当0x >时，y 的值随x 值的增大而增大D.当1x >-时，4y >3．如图，在同一平面直角坐标系中函数y ax a =+与函数ay x=的图象可能是( ) A. B. C. D.4．如图，点A 是双曲线()160y x x =-<上的一点，点B 是双曲线()60y x x=-<上的一点，AB 所在直线垂直x 轴于点C ，点M 是y 轴上一点，连接MA 、MB ，则MAB △的面积为( )A.5B.6C.10D.165．如图，点A ，B 为反比例函数()0ky x x=>的图象上的两点，且满足45AOB ∠=︒，若点A 的坐标为()3,5，则点B 的坐标是( ).A.15215,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1010,2⎛ ⎝⎭C.()8,2D.()8,36．如图，已知点A 、B 分别在反比例函数y ＝1x （x ＞0），y ＝－4x（x ＞0）的图象上，且OA⊥OB ，则OBOA的值为( )A.4B.2C.14D.127．如图,在ABC 中2AC BC == 90ACB ∠=︒ AC x ∥轴 点D 是AB 的中点 点C 、D 在(k 0,x 0)ky x=≠>的图象上 则k 的值为( )A.1-B.2-C.1D.28．已知蓄电池的电压为定值（电压三星近总度阻） 使用蓄电池时 电流（单位：A ）与电阻尺（单位：Ω）是反比例函数关系 它的图象如图所示 下列说法不正确的是( )A.函数解析式为60I R=B.蓄电池的电压是C.当6ΩR =时 8A I =D.当10A I ≤时 6R ≥Ω9．如图 在平面直角坐标系中直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点 以AB 为边在第一象限作正方形ABCD 点D 在双曲线()0ky k x=≠上.将正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后 点C 恰好落在该双曲线上 则a 的值( )A.1B.2C.3D.410．如图 直线22y x =-与x 轴 y 轴分别交于点A B 与反比例函数()0ky k x=>图像交于点C .点D 为x 轴上一点（点D 在点A 右侧） 连接BD 以BA BD 为边作ABDE E 点刚好在反比例函数图像上 设(),E m n 连接EC DC 若1()2ACED S AD AD n =+四边形 则k 的值为( )A.8B.10C.12D.1611．如图 直线y kx =与双曲线3y x -=在同一坐标系中如图所示 则不等式3x-<的解集为( )A.01x <<B.1x <-C.1x <-或01x <<D.10x -<<或1x >12．智能手机已遍及生活中的各个角落 手机拍照功能也越来越强 高档智能手机还具有调焦（调整镜头和感光芯片的距离）的功能.为了验证手机摄像头的放大率（摄像头的放大率是指成像长度与实物长度的比值 也可计算为像距与物距的比值） 小明用某透镜进行了模拟成像实验 得到如图所示的像距v 随物距u 变化的关系图像 下列说法不正确的是( )A.当物距为45.0cm 时 像距为13.0cmB.当像距为15.0cm 时 透镜的放大率为2C.物距越大 像距越小D.当透镜的放大率为1时 物距和像距均为20cm13．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪 其电路图如图1所示 其中定值电阻110ΩR =2R 是一个压敏电阻 用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中放入水箱底部 受力面水平 承受水压的面积S 为0.012m 压敏电阻的阻值随所受液体压力F 的变化关系如图2所示（水深h 越深 压力F 越大） 电源电压保持6V 不变 当电路中的电流为0.3A 时 报警器（电阻不计）开始报警 水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：UI R=1000Pa 1kPa =）.则下列说法中不正确的是( )2R F pS =A.当水箱未装水（）时 压强p 为0kPaB.当报警器刚好开始报警时 水箱受到的压力F 为40NC.当报警器刚好开始报警时 水箱中水的深度h 是0.8mD.若想使水深1m 时报警 应使定值电阻1R 的阻值为 二、填空题14．一个圆柱形蓄水池的底面半径为x cm 蓄水池的侧面积为40π2cm 则这个蓄水池的高h （cm ）与底面半径x （cm ）之间的函数关系式为_____.15．在反比例函数12my x-=的图象上的图象在二、四象限 则m 的取值范围是_______. 16．若点()11,A y -、21,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()31,C y 都在反比例函数21x k y +=（k 为常数）的图象上 则1y 、2y 、3y 的大小关系为_____.17．如图 点(3,1)P -是反比例函数m y x =的图象上的一点 设直线y kx =与双曲my x=的两个交点分别为P 和P 当mkx x>时 写出x 的取值范围_____.18．如图 在平面直角坐标系xOy 中正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上 OA ＝10 点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点 将⊥OAD 沿直线OD 折叠后得到⊥OA ′D 若反比例函数y kx=（k ≠0）的图象经过A ′点 则k 的值为_____. 0m h =12Ω19．如图 在平面直角坐标系中直线12y k x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B 与双曲线2(0)k y x x=>交于点C 连接OC .若52,sin 5OBC S BOC =∠=△ 则12k +的值是______.20．如图 点1A 2A 3A …在反比例函数()10y x x=>的图象上 点1B 2B 3B … n B 在y 轴上 且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=直线y x =与双曲线1y x=交于点1A 111B A OA ⊥ 2221B A B A ⊥ 3323B A B A ⊥ … 则2023B 的坐标是________.三、解答题21．如图所示 一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于两点(1),A n (2,1)B -- 与y 轴相交于点C .(1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)直接写出：不等式mkx b x+>解集是______； (3)依据相关数据求AOB 的面积.22．如图 菱形OABC 的边OA 在y 轴正半轴上 点B 的坐标为()48，.反比例函数11k y x=的图象经过菱形对角线AC OB ，的交点D 设直线OC 的解析式为22y k x =.(1)求反比例函数的解析式； (2)求菱形OABC 的边长；(3)请结合图象直接写出不等式120k k x x-<的解集. 23．如图▱OABC 的顶点O 与坐标原点重合 边OA 在x 轴正半轴上 60AOC ∠=︒2OC = 反比例函数()0ky x x=>的图像经过顶点C 与边AB 交于点D.(1)求反比例函数的表达式.(2)尺规作图：作OCB ∠的平分线交x 轴于点E.（保留作图痕迹 不写作法） (3)在（2）的条件下 连接DE 若DE CE ⊥ 求证：AD AE =. 24．如图 已知一次函数26y x =+与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A m 与x 轴交于点B .(1)填空：m 的值为______ 反比例函数的解析式为______； (2)直接写出当0x >时 26kx x+<的解集； (3)点P 是线段AB 上一动点（不与A 、B 点重合） 过P 作直线PM x ∥轴交反比例函数的图象于点M 连接BM .若PMB △的面积为S 求S 的取值范围.25．如图 已知抛物线2y x bx =+与x 轴交于O (4,0)A 两点 点B 的坐标为(0,3)-. （1）求抛物线的对称轴；（2）已知点P 在抛物线的对称轴上 连接OP BP .若要使OP BP +的值最小 求出点P 的坐标；（3）将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折 其余部分保持不变 得到一个新的图象.当直线(0)y x m m =+≠与这个新图象有两个公共点时 在反比例函数y mx=的图象中y 的值随x 怎样变化？判断并说明理由.26．如图 在平面直角坐标系中正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数()10,0ky k x x=>>的图象上 边AB 在x 轴上 点F 在y 轴上 已知23AB =.（1）判断点E 是否在该反比例函数的图象上 请说明理由；（2）求出直线EP ：()20y ax b a =+≠的解析式 并根据图象直接写出当0x >时 不等式kax b x+>的解集. 27．如图① 有一块边角料ABCDE 其中AB BC DE EA 是线段 曲线CD 可以看成反比例函数图象的一部分.测量发现：90A E ∠=∠=︒ 5AE = 1AB DE == 点C 到AB AE 所在直线的距离分别为2 4.（1）小宁把A B C D E 这5个点先描到平面直角坐标系上 记点A 的坐标为()1,0-；点B 的坐标为()1,1-.请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE ； （2）求直线BC 曲线CD 的函数表达式；（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP 其中M N 在AE 上（点M 在点N 左侧）点P 在线段BC 上 点Q 在曲线CD 上.若矩形的面积是53则=_________.参考答案1．答案：B解析：将三点坐标分别代入函数解析式8y x=得： 182x = 解得14x =； 28-1x =解得28x =-； 384x =解得； 824-<<故选：B. 2．答案：C解析：⊥点()26-，在函数ky x=的图象上 ⊥2(6)120k =⨯-=-< ⊥函数ky x=位于第二、四象限 在每个象限内 y 的值随x 的增大增大 ⊥()341212-⨯-=≠-⊥该函数的图象不经过点()34--，把=1x -代入12y x=求得12y = ⊥当10x -<<时 12y > 综上 只有选项C 说法正确 故选：C. 3．答案：A解析：当0a ＞时 一次函数图像经过第一、二、三象限 反比例函数图像位于一、三象限 可知A 符合题意；32x =231x x x ∴<<当0a ＜时 一次函数图像经过第二、三、四象限 反比例函数图像位于二、四象限 可知B C D 不符合题意.故选：A.4．答案：A解析：如图所示 作MN BA ⊥交BA 的延长线于N则12AMB S BA MN =⋅设点A 的坐标为16a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， <0aAB 所在直线垂直x 轴于点CB ∴点坐标为6a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，16610AB a a a ⎛⎫∴=---=- ⎪⎝⎭ MN a =()11101105222ABM S AB MN a a a a ⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⨯-⨯=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.5．答案：A解析：将OA 绕O 点顺时针旋转90︒到OC 连接AB 、CB作AM y ⊥轴于MCN x ⊥轴于N点A 的坐标为()3,53AM ∴= 5OM =45AOB ∠=︒45BOC ∠=︒∴在AOB 和COB △中OA OC AOB COBOB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AOB COB ∴△≌△AB CB ∴=90AOM AON CON AON ∠+∠=︒=∠+∠AOM CON ∴∠=∠ 在AOM 和CON 中AOM CON AMO ONCOA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ (AAS)AOM CON ∴△≌△3CN AM ∴== 5ON OM == (5,3)C ∴-点A 为反比例函数(0)k y x x=>图象上的点 3515k ∴=⨯= 15y x ∴=设B 点的坐标为15(,)m m AB CB =22221515(3)(5)(5)(3)m m m m ∴-+-=-++解得215m =（负数舍去）15215,B ⎛∴ ⎝⎭故选A.6．答案：B解析：作AC y ⊥轴于C BD y ⊥轴于D 如图点A 、B 分别在反比例函数1(0)y x x => 4(0)y x x=->的图象上 11122OAC S ∆∴=⨯= 1|4|22OBD ∆=⨯-=OA OB ⊥90AOB ∠=︒∴90AOC BOD ∴∠+∠=︒AOC DBO ∴∠=∠Rt AOC Rt OBD ∴∆∆∽ ∴212()2AOC OBD S OA S OB ∆∆== ∴12OA OB =. ∴2OB OA=. 故答案为B. 7．答案：B解析：设(0,)A b 根据题意(2,)C b - (2,2)B b -+点D 是AB 的中点(1,1)D b ∴-+点C 、D 在(k 0,x 0)k y x=≠>的图象上 2(1)k b b ∴=-=-+解得1b =22k b ∴=-=-故选：B.8．答案：C解析：设图象过蓄电池的电压是A 、B 选项正确 不符合题意；当=6ΩR 时 (A 6010)6I ==∴C 选项错误 符合题意；当10I =时 6R =由图象知：当10A I ≤时 6R ≥Ω∴D 选项正确 不符合题意；故选：C.9．答案：B解析：作CE y ⊥轴于点E 交双曲线于点G 作DF x ⊥轴于点F在24y x =-+中令0x = 解得4y =∴B 的坐标是(0,4)令0y = 解得2x =∴A 的坐标是(2,0)kI R =(5,12)60k ∴=60I R ∴=∴60V ∴4OB ∴= 2OA =90BAD ∠=︒90BAO DAF ∴∠+∠=︒直角ABO △中90BAO OBA ∠+∠=︒DAF OBA ∴∠=∠在OAB △和FDA △中DAF OBA BOA AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)OAB FDA ∴≌△△同理 OAB FDA BEC ≌≌△△△ 4AF OB EC ∴=== 2DF OA BE ===∴D 的坐标是(6,2) C 的坐标是(4,6)点D 在双曲线(0)k y k x=≠上 6212k ∴=⨯=∴函数的解析式是：12y x =把6y =代入12y x=得：2x = 422a ∴=-=故选B.10．答案：C解析：直线与x 轴 y 轴分别交于点A B(1,0)A ∴ (0,2)B -作EF x ⊥轴于F 如图所示：22y x =-四边形是平行四边形在和中E 点刚好在反比例函数图像上设C 的纵坐标为hABDE AE BD ∴=//DE AB DAE ADB ∴∠=∠AEF △DBO △EAF BDO AFE DOB AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)AEF DBO ∴≌△△2EF OB ∴==AF OD =1DF OA ∴==(,)E m n 2m AD ∴=+2n =2(2)k mn AD ∴==+122AD k ∴=-//DE BC AED CED S S ∴=△△()11122222ACD CED ACD AED ACED S S S S S AD h AD AD h ∴=+=+=⋅+⋅=+四边形△△△△()12ACED S AD AD n =+四边形122h AD k ∴==-C 的纵坐标为代入得解得反比例函数图像经过点C 解得 20k =（舍去） 12k∴=故选：C.11．答案：D解析：有题意可知 当3y =时 33x= 解得=1x - ∴直线y kx =与双曲线3y x=在第二象限交点的坐标为1,3)- 由中心对称可得 直线y kx =与双曲线3y x=在第四象限交点的坐标为3)- ∴观察图象可得 不等式3kx x<的解集为10x <<或1x >. 故选：D.12．答案：B解析：由函数图象可知：当物距为45.0cm 时 像距为13.0cm 故选项A 说法正确；由函数图象可知：当像距为15.0cm 时 物距为300cm ． 放大率为15.00.530.0= 故选项B 说法错误；由函数图象可知：物距越大 像距越小 故选项C 说法正确；由题意可知：当透镜的放大率为1时 物距和像距均为20cm 故选项D 说法正确 故选：B.13．答案：B解析：A.由图3得：当0h =时 0p = 故此项说法正确；122-22y x =-12222x -=-14x k =11(,2)42C k k ∴-(0)k y k x=>11(2)42k k k ∴-=112k =B.当报警器刚好开始报警时 260.310R =+ 解得210R =Ω 由图2可求得：2800R F =80010F∴= 解得80F N = 故此项说法错误； C.当报警器刚好开始报警时 由上得80F N = 则有800.01p =⨯ 8P p k a ∴= 由图3求得10p h = 810h = 解得：0.8h = 故此项说法正确；D.当报警器刚好开始报警时：1260.3R R =+ 1220R R ∴+=Ω 当1h =时 10110kPa p =⨯= 100000.01100F N ∴=⨯= 28008100R ==Ω 120812R ∴=-=Ω 故此项说法正确. 故选：B.14．答案：20h x = 解析：根据题意 得240x h ππ⋅= ⊥20h x=. 故答案为：20h x=. 15．答案：12m > 解析：由题意得 反比例函数12m y x -=的图象在二、四象限内 则120m -< 解得12m >. 故答案为12m >. 16．答案：213y y y << 解析：反比例函数2(1k k y x+=为常数） 210k +> ∴该函数图象在第一、三象限 在每个象限内y 随x 的增大而减小点1(1,)A y -、1(4B 2)y 、3(1,)C y 都在反比例函数2(1k k y x +=为常数）的图象上 114-<- 点A 、B 在第三象限 点C 在第一象限213y y y ∴<<故答案为：213y y y <<.17．答案：-3＜x ＜0或x ＞3 解析：⊥直线y =kx 与双曲线y =m x的两个交点分别为P 和P ′ P （-3 1） ⊥P ′的坐标为（3 -1）当mx ＞kx 时 x 的取值范围为-3＜x ＜0或x ＞3故答案为：-3＜x ＜0或x ＞3. 18．答案：48解析：如图所示：过A '作EF OC ⊥于F 交AB 于E⊥90OA D '∠=︒90OA F DA E ∴∠'+∠'=︒⊥90A F AOF O ∠'+∠'=︒D AOF AE ∴'=∠'∠D A FO AE '=∠∠'A OF DA E ∴''∠△△设A '（m n ）OF m ∴= A F n '=.正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上 OA ＝10点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点∴ 103DE m = 10A E n '=-.310103m n m m ==-- 解得：m =6 n =8. ∴A '（6,8） ∴ 反比例函数中k =xy （0k ≠）=48 故答案为：48.19．答案：9解析：据题意可知(0,2)B 设(,)Cx y 52,sin OBC S BOC =∠=△1222x ∴⨯= 52xOC = 解得2,25x OC ==2225OC x y =+=即2425y +=得4y = 故(2,4)C 将(2,4)C 代入直线12y k x =+ 双曲线2(0)k y x x => 得到 121,8k k == 故12189k k +=+= 故答案为：9.20．答案：(0,22023解析：联立1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =由题意可知145AOB ∠=︒111B A OA ⊥11OA B ∴△为等腰直角三角形1122OB OA ∴==过2A 作22A H OB ⊥交y 轴于H 则容易得到21A H B H = 设21A H B H x == 则()2,2A x x +()21x x ∴+=解得121x = 221x =-（舍去）2121A H B H ∴== 1212222B B B H ==2222222OB ∴=+=同理可得323OB =则2n OB n =即(0,2n B n(20230,22023B ∴故答案为：(0,22023. 21．答案：(1)2y x = 1y x =+ (2)1x >或20x -<<(3)32解析：（1）反比例函数m y x =的图象过(2,1)--∴反比例函数的解析式为：2y x = 点(1),A n 在反比例函数图象上∴12n ⨯=∴2n =∴点A 的坐标为(1,2)将点A B 坐标代入一次函数y kx b =+中得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得11k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为：1y x =+.（2）根据图象可知 不等式0m kx b x+>>的解集是：1x >或20x -<<. 故答案为：1x >或20x -<<； （3）过点A 作AG y ⊥轴于点G 过点B 作BH y ⊥轴于点H 如下图所示：一次函数1y x =+与y 轴相交于点C∴C 点坐标为(0,1)∴1OC =A 点坐标为(1,2)∴1AG =B 点坐标为(2,1)--∴2BH =∴11123222AOB AOC BOC S S S ⨯⨯=+=+=△△△. 22．答案：(1)18y x = (2)5 (3)463x <或63x << 解析：（1）⊥菱形OABC 的对角线交于点D⊥OD DB =⊥点B 的坐标为()48，⊥点D 的坐标为()24， 又⊥反比例函数11k y x=经过点D ⊥1248k =⨯= ⊥18y x =； （2）过点B 作BE y ⊥轴于点E设OA AB a == 则8AE a =- 4BE =在Rt ABE 中222BE AE AB += 即()22248x x +-= 解得：5x =⊥菱形OABC 的边长为5；（3）⊥点B 的坐标为()48， 5BC =⊥点C 的坐标为()43，代入22y k x =得：234k = 解得：234k =⊥234y x =令1y y = 则834x x = 解得：63x =±结合图象 不等式120k k x x -<的解集为463x <或463x <<.23．答案：(1))30y x =>(2)见解析(3)见解析解析：（1）过点C 作CF OA ⊥于点F 如解图所示.在Rt COF △中2OC = 60COF ∠=︒30sin 6023CF C ∴=⋅==︒1cos60212OF OC =⋅︒=⨯=.(1,3C ∴. 把(3C 代入反比例函数()0ky x x =>中得3k =∴反比例函数的表达式为)30y x =>.（2）如解图所示 所作射线CE 即为所求.（3）证明：在OABC 中//OC AB //CB OA .60AOC ∠=︒120OCB OAB ∴∠=∠=︒. CE 平分OCB ∠60OCE BCE OEC ∴∠=∠=∠=︒.DE CE ⊥90CED ∴∠=︒.180609030AED ∴∠=︒-︒-︒=︒.1801203030ADE ∴∠=︒-︒-︒=︒.AED ADE ∴∠=∠.AD AE ∴=.24．答案：(1)8 8y x= (2)01x << (3)S 的取值范围是2504S <≤ 解析：（1）⊥一次函数26y x =+的图象经过点()1,A m ⊥268m =+=⊥点()18A ，⊥反比例函数()0k y x x =>的图象经过点()18A ， ⊥188k =⨯=⊥反比例函数的解析式为8y x=； 故答案为：8 8y x =；（2）观察图象得 26k x x+<的解集为1x <<； （3）设点P 的纵坐标为n ⊥点P 在线段AB 上 点M 在8y x =的图象上 ⊥0n << 点P 的横坐标为62n -⊥PM x ∥轴⊥点M 的坐标为8n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ⊥862n MP n -=. ⊥()21186125322244PMBn S MP n n n n -⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯=--+ ⎪⎝⎭. ⊥08n << 且104-<⊥当03n <<时 S 随n 的增大而增大 当38n ≤<时 S 随n 的增大而减小. ⊥当3n =时 △的面积最大 最大值为254 ⊥S 的取值范围是2504S <≤. 25．答案：（1）抛物线的对称轴为直线2x =（2）点P 的坐标为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （3）y 的值随x 的增大而增大解析：（1）由题意得：2440b +=4b ∴=-∴函数关系式为：24y x x =-∴对称轴为：4222b x a -=-=-=； （2）由题意得：OP PB +的值最小 实际就是在同一直线一旁有两点 在直线上求点只要取O 点关于直线2x =对称的点 过AB 的直线与直线的交点就是点P设过AB 的直线为 由在上()4,0A 2x =3y kx =-()4,0B 3y kx =-得34k =334AB y x =-P 在直线2x =上332342y ∴=⨯-=-32,2P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； （3）24y x x =-在x 轴下方的部分沿x 轴翻转当直线()0y x m m =+≠有两个不相同的解0∴∆> 2340m -⨯> 得94m <又0> 904m ∴<< 在反比例函数m y x=中 904m k <=< y 随x 的增大而减小. 26．答案：（1）点E 在该反比例函数的图象上 理由见解析（2）39y x =+ 323x <<解析：（1）六边形ABCDEF 为正六边形 23AB =23AB AF ∴== 60FAO =︒cos 603OA AF ∴=⋅︒= sin603AF =⋅︒=()0,3F ∴ )3,0A 连接PF PA六边形ABCDEF 为正六边形PE PF PA PB ∴=== 60EPF FPA APB ∠=∠=∠=︒EFP ∴△ FAP △ ABP △为等边三角形23AF PF ∴==()23,3P ∴ 把()23,3P 代入1k y x =得：23=解得：63k =043k ∴=-∴反比例函数表达式为163y x=. EFP △ FAP △为等边三角形∴点E 和点A 关于PF 对称)3,6E ∴ 把3x =代入163y x =得：13663y == ∴点E 在该反比例函数的图象上； （2）把()3,6E ()23,3P 代入()20y ax b a =+≠得： 6333a b a b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ 解得：39a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴直线EP 的解析式为：39y x =+()3,6E ()23,3P由图可知 当323x <<时 k b x +>. 27．答案：（1）见解析（2）直线BC 的函数表达式3522y x =曲线的函数表达式4y x= （3）72 解析：（1）根据点A 的坐标为()1,0- 点B 的坐标为()1,1- 补全x 轴和y 轴 90A E ∠︒∠== 5AE = 1AB DE == 点C 到AB AE 所在直线的距离分别为2 4 ()1,4C ∴ ()4,1D根据AB BC DE EA 是线段 曲线CD 是反比例函数图象的一部分 画出图形ABCDE如图所示 （2）设线段BC 的解析式为y kx b =+ 把()1,1B - ()1,4C 代入得 14k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得 3252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3522y x ∴=+设曲线CD 的解析式为'k y x =把()1,4C 代入得 '41k = '4= 4y x ∴=； （3）设(),0M m 则35,22P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 435,352222Q m m ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭3522PM m ∴=+ 43522m m =-+354352222PM PQ m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭23554223m m ∴--= 2915140m m ∴+-= 23m ∴= 或73m =-（舍去） 32572322PM ∴=⨯+=. 故答案为：72.。

反比例函数综合应用题如图，A 、B 两点在函数()0m y x x=>的图象上.（1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

2、如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =xk 2（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= (用含k 1、k 2的式子表示)；（3分） （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分） ②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）3、如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，P A 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．4、已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数k y x=的图象交于点()32A ，．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴(第7题图)交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k y x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，，与交于点，连接． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上， 如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =．（2）若点A B ，分别在反比例函数ky x =6已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。

北师大版九年级数学上第六章反比例函数及其应用练习题基础达标训练1. (2018台州)已知电流I (安培)、电压U (伏特)、电阻R (欧姆)之间的关系为I ＝UR，当电压为定值时，I 关于R 的函数图象是( )2. 反比例函数y ＝k x(k >0)，当x <0时，图象在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限第3题图3. (2018广东省卷)如图所示，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x(k 2≠0)相交于点A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标是( ) A. (－1，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－1) D. (－2，－2)4. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m (m ≠0)与y ＝m x(x ≠0)的图象可能是( )5. (2018兰州)如图，反比例函数y ＝k x(x <0)与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点的横坐标分别为－3，－1，则关于x 的不等式kx<x ＋4(x <0)的解集为( )A. x <－3B. －3<x <－1C. －1<x <0D. x <－3或－1<x <0第5题图6. (2018天津)若点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)在反比例函数y ＝－3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3B. y 2<y 3<y 1C. y 3<y 2<y 1D. y 2<y 1<y 37. (2018济宁)请写出一个过点(1，1)，且与x 轴无交点的函数解析式：____________．8. (2018哈尔滨)已知反比例函数y ＝3k －1x的图象经过点(1，2)，则k 的值为________． 9. (2018南宁)对于函数y ＝2x，当函数值y <－1时，自变量x 的取值范围________．10. (2018陕西)已知A ，B 两点分别在反比例函数y ＝3m x (m ≠0)和y ＝2m －5x (m ≠52)的图象上，若点A 与点B 关于x 轴对称，则m 的值为________．11. (2018连云港)设函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点坐标为(a ，b )，则1a ＋2b的值是________．12. (2018南京)函数y 1＝x 与y 2＝4x的图象如图所示，下列关于函数y ＝y 1＋y 2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x <2时，y 随x 的增大而减小；③当x >0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是________．第12题图 第13题图13. (2018绍兴)如图，Rt △ABC 的两个锐角顶点A ，B 在函数y ＝k x(x >0)的图象上，AC ∥x 轴，AC＝2.若点A 的坐标为(2，2)，则点B 的坐标为________．14. (8分)(2018湘潭)已知反比例函数y ＝k x的图象过点A (3，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．15. (8分)如图，已知反比例函数y ＝kx的图象经过点A (4，m )，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2.(1)求k 和m 的值；(2)若点C (x ，y)也在反比例函数 y ＝k x的图象上，当－3≤x ≤－1时，求函数值y 的取值范围．第15题图16. (8分)如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x的图象交于A (2，m )，B (n ，－2)两点．过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，且S △ABC ＝5. (1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据所给条件，请直接写出不等式k 1x ＋b ＞k 2x的解集；(3)若P (p ，y 1)，Q (－2，y 2)是函数y ＝k 2x图象上的两点，且y 1≥y 2，求实数p 的取值范围．第16题图17. (8分)(2018河南)如图，一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝k x(x >0)的图象交于点A (m ，3)和B (3，1)．(1)填空：一次函数的解析式为______________，反比例函数的解析式为______________；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围．第17题图能力提升训练1. 如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC ⊥y轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，则k 1－k 2的值是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 22. (2018云南)已知点A (a ，b )在双曲线y ＝5x上，若a 、b 都是正整数，则图象经过B (a ，0)、C (0，b)两点的一次函数的解析式(也称关系式)为__________．第3题图3. (2018烟台)如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx的图象在第一象限交于点P ，若OP ＝10，则k 的值为________．4. (2018宁波)已知△ABC 的三个顶点为A (－1，－1)，B (－1，3)，C (－3，－3)，将△ABC 向右平移m(m >0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x的图象上，则m 的值为________．5. (2018成都)在平面直角坐标系x O y 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x，1y)称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B′均在反比例函数y ＝k x的图象上，若AB ＝22，则k ＝__________．6. (8分)(2018德阳)如图，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，（0≤x≤3）－x ＋9，（x ＞3）的图象与双曲线y ＝kx (k≠0，x ＞0)相交于点A (3，m)和点B .(1)求双曲线的解析式及点B 的坐标；(2)若点P 在y 轴上，连接PA ，PB ，求当PA ＋PB 的值最小时点P 的坐标．第6题图拓展培优训练1. (2019长郡第二届澄池杯)如图，直线y ＝x ＋4与双曲线y ＝k x(k ≠0)相交于A (－1，a )、B 两点，在y 轴上找一点P ，当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为________．第1题图 第2题图2. 如图，已知点(1，3)在函数y ＝k x(x ＞0)的图象上．正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数y ＝k x(x ＞0)的图象又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为________．答案1. C 【解析】 当电压为定值时，I ＝UR为反比例函数，且R >0，I >0，∴只有第一象限有图象．2. C 【解析】∵在反比例函数y ＝k x中，k ＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限内，∴当x ＜0时，函数图象在第三象限．3. A 【解析】如题图，A 、B 两点是关于原点对称的，又∵A 的坐标是(1，2)，∴B 的坐标是(－1, －2)．4. D 【解析】当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 的图象经过第二、三、四象限，函数y ＝mx的图象位于第二、四象限；当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 的图象经过第一、二、三象限，函数y ＝m x的图象位于第一、三象限，故选D.5. B 【解析】k x<x ＋4(x <0)表示x <0时，反比例函数图象在一次函数图象下方时x 的取值范围，∵反比例函数图象与一次函数图象交于A 、B 两点，点A 和点B 的横坐标分别为－3，－1，∴由函数图象可知，k x<x ＋4(x <0)的解集为：－3<x <－1.6. B 【解析】∵点A 、B 、C 在反比例函数图象上，将点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)分别代入y ＝－3x 得，y 1＝－3－1＝3，y 2＝－31＝－3，y 3＝－33＝－1，∴y 2＜y 3＜y 1. 7. y ＝1x8. 19. －2<x <0 【解析】∵y ＜－1，即2x ＜－1，∴2x＋1＜0，整理得x (x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜0.10. 1 【解析】设A (x ，y )，则B (x ，－y )，∵A 在y ＝3m x 上，B 在y ＝2m －5x上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3mx－y ＝2m －5x，∴3m x ＋2m －5x＝0，∴m ＝1. 11. －2 【解析】∵点(a ，b )是函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点，∴b ＝3a，b ＝－2a －6，即ab ＝3，2a ＋b ＝－6，则1a ＋2b ＝b ＋2a ab ＝－63＝－2.12. ①③ 【解析】由函数图象可知①正确；由反比例函数在y 轴两边增减性不一样，故②错误；∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x＝(x)2＋(2x )2－4＋4＝(x －2x )2＋4，当x ＝2x时，函数有最小值，此时x ＝2，y ＝4，故函数图象最低点的坐标为(2，4)，正确结论的序号是①③.13. (4，1) 【解析】∵点A (2，2)在函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴2＝k 2，得k ＝4，∵在Rt △ABC 中，AC ∥x 轴，AC ＝2，∴点B 的横坐标是4，∴y ＝44＝1，∴点B 的坐标为(4，1)．14. 解：(1)将点A (3，1)代入反比例函数解析式中，得1＝k 3，∴k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x；(2)已知一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)， 联立两个解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x y ＝ax ＋6，整理得ax 2＋6x －3＝0①，∵一次函数与反比例函数图象只有一个交点， 则①式中Δ＝62－4a ×(－3)＝0， 解得a ＝－3≠0，∴一次函数解析式为y ＝－3x ＋6. 15. 解：(1)k ＝xy ＝2S △OAB ＝2×2＝4，将点A (4，m)代入y ＝4x，得m ＝1；(2)当x ＝－3时，y ＝－43；当x ＝－1时，y ＝－4， ∴－4≤y ≤－43.16. 解：(1)将A (2，m )，B(n ，－2)代入y ＝k 2x得k 2＝2m ＝－2n ，即m ＝－n ，则A (2，－n )，如解图，过A 作AE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥y 轴于F ，延长AE 、BF 交于D ，第16题解图∵A (2，－n)，B (n ，－2)， ∴BD ＝2－n ，AD ＝－n ＋2，BC ＝2， ∵S △ABC ＝12·BC ·BD ，∴12×2×(2－n)＝5，解得n ＝－3， 即A (2，3)，B (－3，－2)，将A(2，3)代入y ＝k 2x得k 2＝6，即反比例函数的解析式是y ＝6x，把A (2，3)，B(－3，－2)代入y ＝k 1x ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k 1＋b－2＝－3k 1＋b，解得k 1＝1，b ＝1，∴一次函数的解析式是y ＝x ＋1；(2)不等式k 1x ＋b ＞k 2x的解集是－3＜x ＜0或x ＞2；(3)分为两种情况：当点P 在第三象限时，要使y 1≥y 2，实数P 的取值范围是P ≤－2；当点P 在第一象限时，要使y 1≥y 2，实数P 的取值范围是P ＞0，综上所述，P 的取值范围是P ≤－2或P ＞0.17. 解：(1)y ＝－x ＋4，y ＝3x；(2)由(1)得3＝3m，解得m ＝1，∴A 点坐标为(1，3)，设P 点坐标为(a ，－a ＋4)(1≤a ≤3)，则S ＝12OD ·PD ＝12a (－a ＋4)＝－12(a －2)2＋2，∵－12＜0，∴当a ＝2时，S 有最大值，此时S ＝－12×(2－2)2＋2＝2，由二次函数的性质得，当a ＝1或3时，S 有最小值， 最小值为－12×(1－2)2＋2＝32，∴S 的取值范围是32≤S ≤2.能力提升训练1. D 【解析】设点A (m ，k 1m )、点B (n ，k 1n )，则点C(k 2m k 1，k 1m )、点D (k 2n k 1，k 1n)，∵AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －k 2mk 1＝2k 2nk 1－n ＝1k 1m －k 1n ＝3，解得k 1－k 2＝2.2. y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1 【解析】∵点A (a ，b ) 在双曲线y ＝5x 上，∴b ＝5a ，∵a ，b 都是正整数，∴a ＝1，b ＝5或a ＝5，b ＝1.①当a ＝1，b ＝5时，B (1，0)，C (0，5)，设一次函数的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，把B (1，0)，C (0，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋b 1＝0b 1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－5b 1＝5，∴一次函数的解析式为y ＝－5x ＋5；②当a ＝5，b ＝1时，设一次函数解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，把B (5，0)，C (0，1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧5k 2＋b 2＝0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－15b 2＝1，∴一次函数的解析式为y ＝－15x ＋1，综上所述，一次函数的解析式为y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1.3. 3 【解析】设点P (m ，m ＋2)，由OP ＝10，可得m 2＋(m ＋2)2＝(10)2，∵m ＞0，解得m ＝1，又∵点P (1 ，3)在y ＝k x的图象上，∴k ＝3.4. 0.5或4 【解析】分两种情况讨论：①若为AC 中点(－2，－2)向右平移m 个单位后落在图象上，则有点(m －2，－2)在y ＝3x 上，代入得－2＝3m －2，∴m ＝0.5；②若为AB 中点(－1，1)向右平移m 个单位后落在图象上，则有点(m －1，1)在y ＝3x 上，代入得1＝3m －1，∴m ＝4，∴m 为0.5或4.5. －43【解析】设A 、B 的坐标分别为：A (a ，－a ＋1)，B(b ，－b ＋1)，∵AB ＝22，∴(a －b)2＋(－a ＋1＋b －1)2＝(22)2，∴a －b ＝±2，由倒影点的定义得A ′(1a ，11－a )，B ′(1b ，11－b)，又∵A ′、B ′都在函数y ＝kx 上，∴k ＝1a （1－a ）＝1b （1－b ），则a (1－a )＝b (1－b )，整理得(a－b)(1－a －b)＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0，即a ＋b ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a －b ＝2与⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a －b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32，∴k ＝1a （1－a ）＝－43.6. 解：(1)∵A (3，m )在直线y ＝2x 上， ∴m ＝2×3＝6， ∴A (3，6)，∵A (3，6)在双曲线y ＝kx上，∴k ＝3×6＝18，∴双曲线的解析式为y ＝18x，当x >3时，联立解析式得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋9y ＝18x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6(舍去)， ∴点B 的坐标为(6，3)；(2)如解图，作A 关于y 轴的对称点A ′(－3，6)，第6题解图 连接PA′， ∵PA ′＝PA ，∴PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A′B ， 当A ′，P ，B 三点共线，即P 在A′B 与y 轴的交点P ′处时，PA ＋PB 取到最小值， ∵A ′(－3，6)，B (6，3)，∴AB ＝（6＋3）2＋（3－6）2＝310， ∴PA ＋PB 的最小值是310，设直线A′B 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，已知直线过点A ′(－3，6)，B (6，3)，代入得⎩⎪⎨⎪⎧6＝－3k ＋b 3＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝5，∴y ＝－13x ＋5，令x ＝0，得y ＝5， ∴P ′(0，5)，∴当PA ＋PB 取到最小值310时，点P 的坐标为(0，5)． 拓展培优训练1. (0，52) 【解析】把点A 坐标代入y ＝x ＋4，得－1＋4＝a ，∴a ＝3，即A (－1，3)，把点A坐标代入双曲线的解析式得3＝－k ，解得k ＝－3，联立函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝3(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝1，即点B 坐标为(－3，1)，如解图，作点A 关于y 轴的对称点C ，则点C 坐标为(1，3)，连接BC ，与y 轴的交点即为点P ，使得PA ＋PB 的值最小，设直线BC 的解析式为y ＝ax＋b ，把B ，C 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋b ＝1a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝52，∴直线BC 解析式为：y ＝12x ＋52，令x ＝0，y ＝52，即点P 的坐标为(0，52)．第1题解图2. 6 【解析】∵点(1，3)在函数y ＝k x 图象上，代入得：k ＝3，即y ＝3x，设A (a ，b)，由题意知E (a ＋b 2，b 2)，又∵函数图象在第一象限，经过点A 、E ，分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝3b 2（a ＋b2）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝62b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－62b ＝－6(舍)，∴点E 的横坐标为a ＋b 2＝ 6.。

九年级数学上册第六章《反比例函数》测试卷-北师大版（含答案）（满分 120 分）一、选择题（每题3分，共30分） 1.下列函数中，是反比例函数的是（ ）A. y = -2xB. y =-12xC. y =11x- D. y =21x 2.已知点 P （-1，4）在反比例函数y = kx（k =0）的图象上，则K 值是（ ） A. -14B.14 C. 4 D. -4 3.下列各点中，在函数y = -6x图象上的是（ ）A. （-2，-4）B.（2，3）C.（-1，6）D.（-12，3）4.反比例函数y =5m x-的图象在第二、四象限内，那么m 的取值范围是（ ） A. m <0B. m >0C.m >5D. m <55. 函数4y=-x，当x >0时的图象为下图中的（ ）6.已知点（1，y 1），B （2，y 2），C （-3，y 3）都在反比例函数y =6x 的图象上，则y 1，y 2 ，y 3；的大小关系是（ ） A. y 3<y 1 <y 2； B. y 1<y 2<y 3； C. y 2，y 1，y 3； D. y 3<y 2<y 1；7.关于反比例函数y = 4x的图象，下列说法正确的是（ ） A.必经过点（1，1）B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x 轴成轴对称D.两个分支关于原点成中心对称8.三角形的面积为4 c m²，底边上的高y（c m）与底边x（c m）之间的函数关系图象大致应为（）9. 函数y= ax与y=αx-a（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（）10.如图，函数y1=x-1和函数y2=-2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），若y1<y2，则x的取值范围是（）A.x<-1或0<x<2B.x<-1或x>2C.-1<x<0或0<x<2D．-1<x<0或x>2二、填空题（每题4分，共28分）11.反比例函数y=- 1x的图象在第__________象限，在每个象限内，y随x的增大而________ .12. 反比例函数y= kx过A（-1，4）和B（2，m）两点，则m= ___________________.13．对于函数y= 3x，当x>0时y__________0，这部分图象在第_____________象限.14.完成某项任务可获得500 元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式_________________________________.15.若点P（1，m），P，（2，n）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上，则m_____n（填">""<"或"="）.16.如图，已知点A在反比例函数图象上，A M⊥x轴于点M，且⊥AO M的面积为1，则反比例函数的解析式为______________________.17.如图，一次函数y= kx＋b与反比例函数y=mx的图象交于A（2，1），B（-1，n）两点.连接OA，OB，则三角形OAB 的面积为____________.三、解答题（一）（每题6分，共18 分）18.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100 页，需8天完成任务.（1）每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系?（2）要求4天完成，每天应完成几页?19.已知反比例函数y =kx（k为常数，k≠0）的图象经过A（2，3）.（1）求这个函数的解析式；（2）判断点B（-1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由.20.如图，反比例函数y =kx（k为常数，且k≠0）经过点A（1，3）.（1）求反比例函数的解析式；（2）在x轴正半轴上有一点B，若⊥AOB 的面积为6，求直线AB的解析式.四、解答题（二）（每题8 分，共24 分）21.码头工人以每天30 吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8 天时间.（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度ν（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系?（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?22.如图，已知A （-4，2），B （n ，-4）是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =mx的图象的两个交点. （1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.23．如图，已知在平面直角坐标系x O y 中，0是坐标原点，点A （2，5）在反比例函数y =kx的图象上，过点A 的直线y =x +b 交x 轴于点 B. （1）求k 和b 的值； （2）求⊥OAB 的面积；（3）当-3≤x ≤-1时，反比例函数值的范围为_________________.五、解答题（三）（每题10 分，共 20 分） 24.一次函数y =k 1x ＋b 与反比例函数y =2k x（x <0）的图象相交于A ，B 两点，且与坐标轴的交点为（-6，0），（0，6），点B 的横坐标为-4. （1）试确定反比例函数的解析式；（2）求⊥AOB 的面积； （3）直接写出不等式后k 1x +b>2k x的解.25.对教室进行"薰药消毒".已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y （毫克）与燃烧时间x （分钟）之间的关系如图所示（即图中线段 OA 和双曲线在 A 点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于 2 毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室?参考答案一、1.B 2.D 3.C 4.D 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10. A 二、11.二、四 增大 12. -2 13. > 一 14.500y x= 15. <16. y =-2x 17. 32三、18.解：(1)800y x=，反比例函数 (2)当x =4，800y x== 200(页) 19.解：(1) 6y x= (2)不在，理由如下： 当x = -1，61y =-= -6≠6 ⊥点B(-1，6)不在y =6x 的图象上。

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）反比例函数的应用一．选择题（共12小题）1．（2023•大连）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I＝4A时，R＝10Ω，则当I＝5A时R的值为（）A．6ΩB．8ΩC．10ΩD．12Ω【答案】B【分析】设I=UR ，则U＝IR＝40，得出R=40I，计算即可．【解答】解：设I=UR，则U＝IR＝40，∴R=40I =405=8，故选：B．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握欧姆定律．2．（2023•荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I=UR）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意得到电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I=UR），于是得到结论．【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I=UR），R、I均大于0，∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．3．（2023•随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（）A．3A B．4A C．6A D．8A【答案】B，再将（8，3）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．【分析】根据函数图象可设I=UR，【解答】解：设I=UR∵图象过（8，3），∴U＝24，∴I=24，R=4（A）．当电阻为6Ω时，电流为：I=246故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．4．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可．【解答】解：∵压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．∴当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，故选：D．【点评】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象．5．（2023•丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（）A．S小于0.1m2B．S大于0.1m2C．S小于10m2D．S大于10m2【答案】A【分析】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．，F＝100，【解答】解：∵p=FS，∴p=100S∵产生的压强p要大于1000Pa，＞1000，∴100S∴S＜0.1，故选：A．【点评】本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．6．（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【答案】A【分析】根据等量关系“电流=电压”，即可求解．电阻【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴40a＝80b，∴a＝2b，∴a＞b，故选：A．”是解决此题的关键．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流=电压电阻7．（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（）A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω【答案】A【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，．∴I=UR∵已知电灯电路两端的电压U为220V，．∴I=220R∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，≤0.11，∴220R∴R≥2000．故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，利用已知条件列出不等式是解题的关键．8．（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（）A．反比例函数B．正比例函数C．二次函数D．以上答案都不对【答案】B【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得I=k′kV（k′k为常数），即可得到答案．【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数），由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数），∴VI =kk′，∴I=k′k V（k′k为常数），∴I与V的函数关系是正比例函数，故选：B．9．（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为I=13RB．蓄电池的电压是18VC．当I≤10A时，R≥3.6ΩD．当R＝6Ω时，I＝4A【答案】C【分析】根据函数图象可设I=kR，再将（4，9）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．【解答】解：设I=kR，∵图象过（4，9），∴k＝36，∴I=36R，∴蓄电池的电压是36V．∴A，B均错误；当I＝10时，R＝3.6，由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，∴C正确，符合题意；当R＝6时，I＝6，∴D错误，故选：C．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．10．（2021•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案．【解答】解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV（V，p 都大于零），∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键．11．（2021•丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学【答案】B【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．【解答】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，∵F乙最小，∴乙同学到支点的距离最远．故选：B．【点评】本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是本题关键．12．（2021•娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y=xa+x（a为常数且a＞0，x＞0）的性质表述中，正确的是（）①y随x的增大而增大②y随x的增大而减小③0＜y＜1④0≤y≤1A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】A【分析】可借助反比例函数的性质，将原函数进行变形后，左右两边取倒数，观察1y与x的变化关系，再借助x和a的取值范围，即可确定正确结果．【解答】解：∵y=xa+x（a为常数且a＞0，x＞0），∴1y =a+xx，即1y=ax+1，根据反比例函数的性质，∵a＞0，∴当x增大时，ax随x的增大而减小，∴ax+1也随x的增大而减小，即1y也随x的增大而减小，则y就随x的增大而增大，∴性质①正确．又∵a＞0，x＞0，∴a+x＞0，∴xa+x＞0，即y＞0，又∵x＜a+x，∴xa+x＜1，即y＜1，∴0＜y＜1，∴性质③正确．综上所述，性质①③正确，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象性质的应用，借助把新的函数形式变形为反比例函数的形式，再运用反比例函数的性质，从而得到新函数的性质，这样的方法也是研究函数的一种普遍方法，是一种把未知转化为已知的数学思想．应熟练掌握反比例函数的图象性质是解决问题的基础．二．填空题（共9小题）13．（2023•广东）某蓄电池的电压为48V ，使用此蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）的函数表达式为I =48R ．当R ＝12Ω时，I 的值为 A ．【答案】4．【分析】直接将R ＝12代入I =48R中可得I 的值．【解答】解：当R ＝12Ω时，I =4812=4（A ）． 故答案为：4．【点评】此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键．14．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p （kPa ）与汽缸内气体的体积V （mL ）成反比例，p 关于V 的函数图象如图所示．若压强由75kPa 加压到100kPa ，则气体体积压缩了 mL ．【答案】20．【分析】设这个反比例函数的解析式为V =kP ，求得V =6000P，当P ＝75kPa 时，求得V =600075=80，当P ＝100kPa时求得，V =6000100=60于是得到结论．【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V =kP ， ∵V ＝100ml 时，p ＝60kpa ， ∴k ＝PV ＝100ml ×60kpa ＝6000， ∴V =6000P，当P ＝75kPa 时，V =600075=80， 当P ＝100kPa 时，V =6000100=60，∴80﹣60＝20（mL），∴气体体积压缩了20mL，故答案为：20．【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．15．（2023•扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于m3．【答案】0.6．，把V＝3m3时，p＝【分析】设气球内气体的压强p（Pa）与气球体积V（m3）之间的函数解析式为P=kV8000Pa代入解析式求出k值，得到P关于V的函数解析式，再根据气球内的气体压强大于40000Pa得到关于V的不等式，从而确定正确的答案．．【解答】解：设气球内气体的压强p（Pa）与气球体积V（m3）之间的函数解析式为P=kV∵当V＝3m3时，p＝8000Pa，∴k＝Vp＝3×80000＝24000，∴p=24000，V∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，∴p≤40000时，气球不爆炸，≤40000，∴24000V解得：V≥0.6，∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3．故答案为：0.6．【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．16．（2023•南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m 增加到2m时，撬动这块石头可以节省N的力．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）【答案】100．【分析】根据杠杆定律求得函数的解析式后代入L＝1.5和L＝2求得力的大小即可．【解答】解：根据“杠杆定律”有FL＝1000×0.6，∴函数的解析式为F=600，L=400，当L＝1.5时，F=6001.5=300，当L＝2时，F=6002因此，撬动这块石头可以节省400﹣300＝100N，故答案为：100．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．17．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．【答案】400．【分析】设p=k，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．S【解答】解：设p=k，S∵函数图象经过（0.1，1000），∴k＝100，，∴p=100S=400（Pa），当S＝0.25m2时，物体所受的压强p=1000.25故答案为：400．【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．18．（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I=UR，测得数据如下：那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝4A．【答案】4．【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案．【解答】解：把R＝220，I＝1代入I=UR得：1=U220，解得U＝220，∴I=220R，把R＝55代入I=220R得：I=22055=4，故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据已知求出反比例函数的解析式．19．（2022•青海）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P=FS，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为（用小于号连接）．【答案】P1＜P2＜P3．【分析】根据反比例函数的性质解答即可．【解答】解：∵P=FS，F＞0，∴P随S的增大而减小，∵A，B，C三个面的面积比是5：3：1，∴P1，P2，P3的大小关系是：P1＜P2＜P3，故答案为：P1＜P2＜P3．【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确把握反比例函数的性质是解题的关键．20．（2021•青岛）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到km/h．【答案】240．【分析】依据行程问题中的关系：时间＝路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式，把t＝2.5h代入即可得到答案．【解答】解：∵从甲地驶往乙地的路程为200×3＝600（km），∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为t=600v，当t＝2.5h时，即2.5=600v，∴v＝240，答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h．故答案为：240．【点评】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．21．（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作T m（m为1～8的整数）．函数y=kx（x＜0）的图象为曲线L．（1）若L过点T1，则k＝；（2）若L过点T4，则它必定还过另一点T m，则m＝；（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；（2）将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解；（3）由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），∵L过点T1，∴k＝﹣16×1＝﹣16，故答案为：﹣16；（2）∵L过点T4，∴k＝﹣10×4＝﹣40，∴反比例函数解析式为：y=−40，x当x＝﹣8时，y＝5，∴T5在反比例函数图象上，∴m＝5，故答案为：5；（3）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，若曲线L过点T3（﹣12，3），T6（﹣6，6）时，k＝﹣12×3＝﹣36，若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40，∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴﹣36＜k＜﹣28，∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，故答案为：7．【点评】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．三．解答题（共15小题）22．（2023•吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：（1）求波长λ关于频率f的函数解析式．（2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ．；【答案】（1）λ=300f（2）当f＝75MHz时，电磁波的波长入为4m．【分析】（1）设解析式为λ=k（k≠0），用待定系数法求解即可；f（2）把f＝75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．【解答】解：（1）设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=k（k≠0），f=30，把点（10，30）代入上式中得：k10解得：k＝300，；∴λ=300f=4，（2）当f＝75MHz时，λ=30075答：当f＝75MHz时，此电磁波的波长入为4m．【点评】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．23．（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．（1）求h 关于ρ的函数解析式；（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h ＝25cm ，求该液体的密度ρ．【答案】（1）h 关于p 的函数解析式为 ℎ=20ρ；（2）该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．【分析】（1）设h 关于ρ的函数解析式为 ℎ=k ρ，把ρ＝1，h ＝20代入解析式，解方程即可得到结论； （2）把 h ＝25 代入 ℎ=20ρ，求得ρ＝0.8，于是得到结论．【解答】解：（1）设h 关于ρ的函数解析式为 ℎ=kρ，把ρ＝1，h ＝20代入解析式，得k ＝1×20＝20， ∴h 关于ρ的函数解析式为 ℎ=20ρ；（2）把 h ＝25 代入 ℎ=20ρ，得 25=20ρ，解得：ρ＝0.8，答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．24．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A （固定）中放置一个物体，在右边托盘B （可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与点C 的距离x （cm ）（0＜x ≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：把上表中的x 与y 1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y 1关于x 的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；②求y2关于x的函数表达式；③当0＜x≤60时，y1随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．【答案】（1）作出y2关于x；（2）①y1是x的反比例函数，y1=300x②y2=300−5；x③减小，减小，下；（3）6≤x≤12.5．【分析】（1）描点作出图象即可；（2）①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；②由y2与y1关系，结合①可得答案；③观察图象可得答案；（3）根据19≤y2≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．【解答】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：（2）①观察表格可知，y1是x 的反比例函数， 设y1=kx ，把（30，10）代入得：10=k 30，∴k ＝300，∴y1关于x 的函数表达式是y1=300x；②∵y1＝y2+5， ∴y2+5=300x；∴y2=300x−5；③观察图象可得，当0＜x ≤60时，y1随x 的增大而减小，y2随x 的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；故答案为：减小，减小，下； （3）∵y2=300x−5，19≤y2≤45，∴19≤300x −5≤45， ∴24≤300x≤50，∴6≤x ≤12.5．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．25．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y （单位：cm ）是物距（小孔到蜡烛的距离）x （单位：cm ）的反比例函数，当x ＝6时，y ＝2．（1）求y 关于x 的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm ，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）y=12x；（2）4cm．【分析】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；（2）根据解析式代入数值解答即可．【解答】解：（1）由题意设：y=kx，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y=12x；（2）把y＝3代入y=12x，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm．【点评】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答．26．（2023•达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻L（灯丝的阻值R L＝2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、R L之间关系为I=UR+R L，通过实验得出如下数据：（1）a＝，b＝；（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2（x≥0），结合表格信息，探究函数y=12x+2（x≥0）的图象与性质．①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2（x≥0）的图象；②随着自变量x 的不断增大，函数值y 的变化趋势是 ．（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x ≥0时，12x+2≥−32x +6的解集为 ．【答案】（1）2，1.5； （2）①见解答过程； ②不断减小； （3）x ≥2或x ＝0．【分析】（1）由已知列出方程，即可解得a ，b 的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意，3=12a+2，b =126+2，∴a ＝2，b ＝1.5； 故答案为：2，1.5；（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y =12x+2（x ≥0）的图象如下：②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，故答案为：不断减小；（3）如图：由函数图象知，当x≥2或x＝0时，12x+2≥−32x+6，即当x≥0时，12x+2≥−32x+6的解集为x≥2或x＝0，故答案为：x≥2或x＝0．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．27．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【答案】（1）y＝﹣2.5x+12；（2）y=13.5x；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．【分析】（1）设AC的函数关系式为：y＝kx+b，将A和C代入，从而求得k，b，进而求得的结果；（2）可推出x•y＝13.5为定值，所以当x≥3时，y是x的反比例函数，进而求得结果；（3）将x＝15代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，从而得出结论．【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，∴{b=123k+b=4.5，∴{b=12k=−2.5，∴线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，∴y是x的反比例函数，∴y=13.5x（x≥3）；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：当x＝15时，y=13.515=0.9，∵13.5＞0，∴y随x的增大而减小，∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．【点评】本题考查了求一次函数关系式，反比例函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数及其图象性质．28．（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）请求出这个反比例函数的解析式；（2）蓄电池的电压是多少？（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？【答案】（1）I=48R；（2）48；（3）用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=kR ，将点（8，6）代入I=kR，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=kR，∵图象经过（8，6），∴6=k8，解得k＝6×8＝48，∴I=48R；（2）蓄电池的电压是6×8＝48；（3）∵I≤10，I=48R，∴48R≤10，∴R≥4.8，即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．29．（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．【答案】（1）ρ=10V；（2）该气体的密度为1kg/m3．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）将V＝10代入函数解析式求解．【解答】解：（1）设ρ=kV，将（4，2.5）代入ρ=kV 得2.5=k4，解得k＝10，∴ρ=10V．（2）将V＝10代入ρ=10V得ρ＝1．∴该气体的密度为1kg/m3．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．30．（2022•大连）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．【答案】（1）ρ=9.9V（V＞0）；（2）1.1≤ρ≤3.3．【分析】（1）设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=kV（k≠0），利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，进而可得出密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）由k＝9.9＞0，利用反比例函数的性质可得出当V＞0时ρ随V的增大而减小，结合V的取值范围，即可求出二氧化碳密度ρ的变化范围．【解答】解：（1）设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=kV（k≠0）．∵当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3，∴1.98=k5，∴k＝9.9，∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=9.9V（V＞0）．（2）∵k＝9.9＞0，∴当V＞0时，ρ随V的增大而减小，∴当3≤V≤9时，9.99≤ρ≤9.93，即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出k值；（2）利用反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，找出ρ的变化范围．31．（2022•广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求储存室的容积V的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．【答案】（1）10000．（2）400≤S≤625．【分析】（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式求出V的值；（2）由d的范围和图象的性质求出S的范围．【解答】解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd ，把点（20，500）代入解析式得500=V20，∴V＝10000．（2）由（1）得S=10000d，∵S随d的增大而减小，∴当16≤d≤25时，400≤S≤625，【点评】此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中．32．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．。

北师大版数学2024年中考反比例函数专题复习含答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AB与BC的长度比为3:4，若该矩形的周长为28，则BD 的长为（）A．5B．6C．8D．10 2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，△ABC=90°，A点坐标（－2，0），B点坐标为（1，1），点C在反比例函数y=k x上，则k的值为（）A．−2−√2B．−√2C．-4D．-2 3．已知函数y=k x的图象过点(3，2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．(3，−2)B．(−2，3)C．(1，−6)D．(−6，−1)4．若反比例函数y＝k+2x的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜－2B．k＞－2C．k＜2D．k＞25．在下列函数图象上任取不同两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，一定能使y2−y1x2−x1<0成立的是（）A．y=3x−1(x<0)B．y=−x2+2x−1(x>0)C．y=−√3D．y=x2−4x−1(x<0)x(x>0)6．若双曲线y=k x（k<0），经过点A(−1，y1)，B(−3，y2)，则y1与y2的大小关系为（）A．y1<y2B．y1>y2C．y1=y2D．无法比较y1与y2的大小7．汽车以60千米／时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米／时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．8．函数y=−1x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若0＜x1＜x2，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1、y2的大小不确定9．小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b＞0.你认为其中正确的信息是（）A．①②③⑤B．①②③④C．①③④⑤D．②③④⑤10．已知A（x1，y1）和B（x2，，y2）是反比例函数y=8x的上的两个点，若x2＞x1＞0，则（）A．y2＞y1＞0B．y1＞y2＞0C．0＞y1＞y2D．0＞y2＞y1二、填空题11．如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，△DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②（G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③（H为EF和DG 的交点），则图③中△DHF=°12．已知x=2−√5是一元二次方程x2−4x+m=0的一个根，则m=，方程的另一个根是.13．在▱ABCD中，∠A=30°，AD=4√3，连接BD，若BD=4，则线段CD 的长为.14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠D=90°，AC=25，AD=24.若点E是AB边上一动点，则CE的最小值为．15．直线y=2x﹣4与x轴的交点坐标是三、解答题16．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=mx(m≠0)相交于A、B两点，且A点坐标为（1，3），B点的横坐标为﹣3．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象直接写出使得kx+b<mx时x的取值范围．17．如图，在△ABC中，AB=AC，BD△AC于D，若△ABC=72°，求△ABD的度数．四、综合题18．如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a,2)，并且直线y＝kx＋b经过x 轴上点B(2,0)．（1）求直线y＝kx＋b的解析式；（2）求两条直线与y轴围成的三角形面积；（3）直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集．19．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（）元；②月销量是（）件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？20．如图，直线y＝12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣12x2+bx+c 经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得△DBA＝2△BAC，求D点的坐标；（3）M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B1的坐标．21．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近（精确到0.1）；（2）试估计袋子中有黑球个；（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球个或减少黑球个．答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】57 12．【答案】-1；2+√5 13．【答案】4或8 14．【答案】7 15．【答案】（2，0）16．【答案】（1）解：将点 A （1，3）代入 ，解得：m ＝3．∴反比例函数解析式为y =3x．∵点 B 的横坐标为﹣3， ∴点 B 坐标（﹣3，﹣1）．把 A （1，3），B （﹣3，﹣1）代入 y ＝kx+b 得：{k +b =3−3k +b =−1解得：{k =1b =2∴一次函数的解析式为 y ＝x+2；（2）解：由图象可知 kx+b ＜mk 时，x ＜﹣3 或 0＜1 17．【答案】解：∵BD△AC 于D ，∴△BDC=90°，∵△B=72°，AB=AC，∴△A=36°，∴△ABD=90°﹣△A=54°18．【答案】（1）解：把A(a,2)代入y＝－2x中，得－2a＝2，∴a＝－1，∴A(－1,2)，把A(－1,2)、B(2,0)代入y＝kx＋b中得{−k+b=22k+b=0，∴k＝－23，b＝43，∴一次函数的解析式是y＝－23x＋43；（2）解：设直线AB与y轴交于点C，则C(0，43)，∴S△ABC＝12×43×1＝23；（3）解：不等式(k＋2)x＋b≥0可以变形为kx＋b≥－2x，结合图象得到解集为：x≥－1. 19．【答案】（1）x﹣60；400﹣2x（2）解：由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2（x﹣130）2+9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元20．【答案】（1）解：y＝12x+2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣12x2+bx+c，得{c=2−12×(−4)2−4b+c=0，解得{b=−32c=2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣12x2﹣32x+2（2）解：取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD△AB′交抛物线于点D，∵B、B′关于x轴对称，∴AB＝AB′，△BAB′＝2△BAC，设AB′：y＝kx﹣2，代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k＝﹣1 2，则BD：y＝﹣12x+2，解{y=−12x+2y=−12x2−32x+2得{x1=0y1=2，{x2=−2y2=3，∴D（﹣2，3）（3）解：∵△BOC绕点M逆时针旋转90°，∴B1O1△x轴，O1C1△y轴，当B1、O1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则O1的横坐标为x+2，∴﹣12x2−32x+2＝﹣12（x+2）2﹣32（x+2）+2，解得x＝﹣5 2，则B1（﹣52，218）；当B1、C1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则C1的横坐标为x+2，C1的纵坐标比B1的纵坐标大1，∴﹣12x2−32x+2＝﹣12（x+2）2﹣32（x+2）+2﹣1，解得x＝﹣3，则B1（﹣3，2），∴B1的坐标为（﹣52，218）或（﹣3，2）．21．【答案】（1）0.6（2）30（3）10；10北师大版数学2024年中考反比例函数专题复习含答案一、选择题1．在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（）A．①：对角线相等B．②：对角互补C．③：一组邻边相等D．④：有一个角是直角2．如图，在同一直角坐标系中，函数y=kx与y=k x(k≠0)的图象大致是（）.A．①②B．①③C．②④D．③④3．设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y= k x图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝−4x的图象上，若x1＜x2，则下列关于y1、y2大小关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定5．对于双曲线y= 1−mx，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0B．m＞1C．m＜0D．m＜1 6．若点A(−2，y1)，B(−1，y2)，C(1，y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1>y2>y3B．y3>y1>y2C．y2>y1>y3D．y2>y 3>y17．函数y=x+m与y= mx（m≠0）在同一坐标系内的图像可以是（）A．B．C．D．8．若点A(−1,y1),B(2,y1),C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图像上，则y1,y2,y3的大小关系为（）A．y1>y2>y3B．y2>y3>y1C．y1>y3>y2D．y3>y 2>y19．一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．若点A(−3，y1)，B(−2，y2)，C(1，y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1>y2>y3B．y3>y1>y2C．y2>y1>y3D．y3>y 2>y1二、填空题11．长方形ABCD中,△ADB=20°,现将这一长方形纸片沿AF折叠,当折痕AF与AB的夹角△BAF为时, AB′∥BD.12．点(α，β)在反比例函数y=kx的图像上，其中α，β是方程x2−2x−8=0的两根，则k= ．若点A(−1，y1)，B(−14，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y=k x的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是．13．如图，点D是△ ABCD内一点，CD△x轴，BD△y轴，BD＝√2，△ADB＝135°，S△ABD＝2，若反比例函数y＝kx（x＜0）的图象经过A、D两点，则k的值是．14．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑米．15．三张完全相同的卡片上分别写有函数y=3x，y=3x，y=x2，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是.三、解答题16．已知反比例函数y=k x过点P（2，﹣3），求这个反比例函数的解析式，并在直角坐标系中作出该函数的图象．17．在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求BC边上的高线AD的长。

2024年人教版九年级数学中考专题训练：反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x+m 的图象与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于A 、B 两点，已知A （1，2）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）连接AO 、BO ，求△AOB 的面积．2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数.已知当时，.（1）求出这个函数的表达式；（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？3．如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点．（1）则 ，　　，　（2）观察图像，请直接写出满足的取值范围．（3）若Q 为y 轴上的一点，使最小，求点Q 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，内切于，反比例函数的图象经过点P ，交直线于点C ，D （C 在点D 的左侧）.kx()P kPa ()3mV 30.8m V =120kPa P =128kPa ()10ky k x=≠2y x b =-+()13A ，()3B n ，k =b =n =12y y ≥QA QB +364y x =-+P ABO ()0ky x x=>AB（1）求反比例函数的解析式；（2）过点C ，D 分别作x 轴，y 轴的平行线交于点E ，求的面积.5．如图1，点A （1，0），B （0，m ）都在直线y ＝﹣2x+b 上，四边形ABCD 为平行四边形，点D 在x轴上，AD=3，反比例函数（x>0）的图象经过点C ．（1）求k 的值；（2）将图1的线段CD 向右平移n 个单位长度（n≥0），得到对应线段EF ，线段EF 和反比例函数（x>0）的图象交于点M ．①在平移过程中，如图2，若点M 为EF 的中点，求△ACM 的面积；②在平移过程中，如图3，若AM ⊥EF ，求n 的值．6．如图，点A 是反比例函数图象上的点，AB 平行于y 轴，且交x 轴于点，点C 的坐标为，AC 交y 轴于点D ，连接BD ，（1）求反比例函数的表达式；（2）设点P 是反比例函数图象上一点，点Q 是直线AC 上一点，若以点O ，P ，D ，Q CDE ky x=ky x=()0ky k x=>()10B ，()10-，AD =()0ky x x=>为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标； （3）若点是该反比例函数图象上的点，且满足∠MDB>∠BDC ，请直接写a 的取值范围.7．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．（1）写出该商品上市以后销售量y （万件）与时间x （天数）之间的表达式；（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？8．在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x>0）和的图象，两个函数图象交于A （x 1，y 2），B （x 2，y 2）两点，在线段AB 上选取一点P ，过点P 作y 轴的平行线交反比例函数图象于点 O （如图1）.在点P 移动的过程中，发现PO 的长度随着点P 的运动而变化.为了进一步研究 PO 的长度与点P 的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题∶（1）设点P 的横坐标为x ，PQ 的长度为y ，则y 与x 之间的函数关系式为 （x 1<x<x 2）；（2）为了进一步的研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象；①列表∶()M a b ，ky x=1y x=5y x =-+x 1234ym3n表中 m ＝ ，n ＝；②描点∶根据上表中的数据，在图2中描出各点；③连线∶请在图2中画出该函数的图象.观察函数图象，当x ＝时，y 的最大值为；（3）应用∶已知某矩形的一组邻边长分别为m ，n ，且该矩形的周长 W 与n 存在函数关系，求 m 取最大值时矩形的对角线长.9．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M 的坐标．10．若关于x 的函数y ，当时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”.（1）①若函数，当时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数（，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；（2）若函数，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；（3）若函数，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值.若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.11．已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为1x 13122x 535234220W n=-+1y x =+()0my x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=1122t x t -≤≤+2M Nh -=4044y x =1t =y kx b =+0k ≠21y x x=≥（）24y x x k =-++原来的2倍，设原矩形的一边加长a 米，另一边长加长b 米，可得a 与b 之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y ＝﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：（1）类比反比例函数可知，函数y ＝﹣2的自变量x 的取值范围是 ，这个函数值y 的取值范围是　　．（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y ＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y ＝﹣2的图象，画出函数y ＝|﹣2|的图象；（3）结合函数y ＝|﹣2|的图象解答下列问题：①求出方程|﹣2|＝0的根；②如果方程|﹣2|＝a 有2个实数根，请直接写出a 的取值范围．12．如图，抛物线与x 轴交于两点（在的左边），与y 轴交于C ，；双曲线经过抛物线的顶点，点的横坐标为1．123a +123x +123x +123x +123x +123x +123x +123x +123x +23y ax bx =++A B 、A B 3tan CAB ∠=(0)ky k x=≠23y ax bx =++D D（1）求抛物线和双曲线的解析式．（2）点P 为抛物线上一动点，且在第一象限，连接，求当四边形取得最大值时，点P 的坐标，并求出这个最大值．（3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q ，使得，请求出点Q 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）分别求一次函数及反比例函数的表达式；（2）在第三象限内的B 点右侧的反比例函数图象上取一点P ，连接且满足．i ）求点P 的坐标；ii ）过点A 作直线，在直线l 上取一点Q ，且点Q 位于点A 的左侧，连接，试问：能否与相似？若能，求出此时点Q 的坐标；若不能，请说明理由．14．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数图像的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．15．如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A （2，a ），B 两点.BP CP 、ABPC QB QC =xOy y kx b =+my x=(14)A ，(4)B n -，PA PB ，15PAB S = l PB BQ QAB ABP (0)n n ≥1133⎛⎫⎪⎝⎭，y x =12(21)，2y x =122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(11)--，(11)，1y x=31y ax a =-+2()21y x n n =---+(0)ky k x=≠1y x =-（1）求反比例函数的表达式及A ，B 两点的坐标；（2）M 是x 轴上一点，N 是y 轴上一点，若以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点M 的坐标；（3）如图2，反比例函数的图象上有P ，Q 两点，点P 的横坐标为，点Q 的横坐标与点P 的横坐标互为相反数，连接，，，.若的面积是的面积的3倍，求m 的值.16．如图，直线AC 与双曲线交于A （m ，6），B （3，n ）两点，与x 轴交于点C ，直线AD 与x 轴交于点D （－11，0），（1）请直接写出m ，n 的值；（2）若点E 在x 轴上，若点F 在y 轴上，求的最小值；（3）P 是直线AD 上一点，Q 是双曲线上一点，是否存在点P ，Q ，使得四边形ACQP 是正方形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H 点”，如（2，-3）与（-3，2）是一对“H 点”.（1）点 和它的“H 点”均在直线 上，求k 的值；AB ky x=(2)m m >AP AQ BP BQ ABQ ABP ()60y k x=≠AF EF BE ++()m n ，y kx a =+（2）若直线 经过的A ，B 两点恰好是一对“H 点”，其中点A 还在反比例函数 的图象上，一条抛物线 也经过A ，B 两点，求该抛物线的解析式；（3）已知 ，B 为抛物线 上的一对“H 点”，且满足：， ，点P 为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P 满足△PAB 的面积为16，求 的值.18．已知：如图，一次函数y ＝-2x+10的图象与反比例函数y＝的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），点A 横坐标为4.（1）求反比例函数解析式及点B 的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x 的不等式-2x+10-＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.19．如图，反比例函数与一次函数相交于点A （1，4）和点B （4，1），直线 的图象与y 轴和x 轴分别相交于点C 和点D ；（1）请直接写出当时自变量x 的取值范围；（2）将一次函数向下平移8个单位长度得到直线EF ，直线EF 与x 和y 轴分别交于点E 和点F ，抛物线过点A 、D 、E 三点，求该抛物线的函数解析式（也称函数表达式）；3y kx =+2y x=2y x bx c =++()()A m n m n <，()20y ax bx c a =++≠2m n +=3mn =-a b c ++kxkx()110k y x x=>22y k x n =+2y 12y y ≥22y k x n =+2y ax bx c =++（3）在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PBF 是以BF 为斜边的直角三角形，若存在，请用尺规作图（圆规和无刻度直尺）画出点P 所在位置，保留作图痕迹，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E 、F （E 、F 不与A 重合），沿着将矩形折叠使A 、D 重合．（1）当点E 为中点时，求点F 的坐标，并直接写出与对角线的关系；（2）如图2，连接．①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；②当平分时，直接写出k 的值．21．如图1，四边形为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C ．（1）求点C 的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图，将正方形沿x 轴向右平移m 个单位长度得到正方形A ′B ′C ′D ′，点A ′恰好落在反比例函数的图象上，求n 值．（3）在（2）的条件下，坐标系内是否存在点P ，使以点O ，A ′，B ′，P 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．xOy (43)A -，(0)ky k x=<ABOC AC AB EF ABOC AC EF BC CD CDE CD ACO ∠ABCD 4OA =2OB =()0ky k x=≠2ABCD22．如图，在平面直角坐标系中，A （8，0）、B （0，6）是矩形OACB 的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x ＞0）经过AC 的中点D ，点E 是矩形OACB 与双曲线y ＝的另一个交点．（1）点D 的坐标为 ，点E 的坐标为 ；（2）动点P 在第一象限内，且满足S △PBO ＝S △ODE ．①若点P 在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标；②若点Q 是平面内一点，使得以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q 的坐标．23．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将一次函数向下平移个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值；（3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．24．如图，一次函数的图象与反比例函数（k 为常数且）的图象交于A ，B 两点，其中，直线与y 轴、x 轴分别交于C ，D 两点．kxkx561y k x b =+2k y x=()41A -，()4B m ，1k 2k b 1y k x b =+m 2k y x=m P y PAB 3P 4y x =+ky x=0k ≠()13A -，4y x =+（1）求反比例函数的表达式；（2）在x 轴上找一点P ，使的值最小，并求满足条件的点P 的坐标；（3）在坐标平面中是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．PA PB COD答案解析部分1．【答案】（1）解：把点A （1，2）代入y ＝-x+m ，得-1+m ＝2，∴m ＝3，∴一次函数解析式为y ＝﹣x+3；把点A （1，2）代入y ＝，∴k ＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y ＝；（2）解：联立方程组{y ＝−x +3y ＝2x ， 解得或，∴B （2，1），设直线y ＝﹣x+3与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∴S △AOB =S △COB -S △COA =×3×2-×3×1=1.5.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式即可；（2）先求出点B 的坐标，再求出直线与y 轴的交点C 的坐标，再利用S △AOB =S △COB -S △COA ，根据三角形的面积公式进行计算即可.2．【答案】（1）解：设P 与V 之间的函数表达式为，当时，，所以，∴，∴P 与V 之间的函数表达式为；（2）解：当时，，∴，∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于.【解析】【分析】（1）由题意可设，把V=0.8，P=120代入解析式计算可求得F 的值，则解析式可k x 2x12x y =⎧⎨=⎩21x y =⎧⎨=⎩1212F P V=0.8V =120P =1200.8F =96F =96P V =128P ≤96128V ≤0.75V ≥30.75m F P V=求解；（2）由题意可得关于V 的不等式，解这个不等式可求解.3．【答案】（1）3；4；1（2）解：0＜x≤1或x≥3（3）解：作A 关于y 轴的对称点，连接，如图，∵，∴A 关于y 轴的对称点A ′(−1，3)．设直线的解析式为，将A ′(−1，3)，代入可得：∴，解得：．∴直线的解析式为，令，则，∴．【解析】【解答】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于、两点，∴，，∴，，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，；将点代入得；故答案为：3，4，1（2）解：由图像可得：满足的取值范围是或；A 'A B '()13A ，A B 'y ax c =+()31B ，331a c a c -+=⎧⎨+=⎩1252a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A B '1522y x =-+0x =52y =502Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10k y k x=≠2y x b =-+()13A ，()3B n ，3k =31b =-+3k =4b =13y x =24y x =-+()3B n ，13y x=1n =12y y ≥01x <≤3x ≥【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入求出k 、n 的值，再将点A 的坐标代入求出b 的值即可； （2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；（3）作A 关于y 轴的对称点，连接，利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入解析式求出y 的值，可得点Q 的坐标。

反比例函数中考真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．（2021·西藏·中考真题）如图．在平面直角坐标系中，△AOB 的面积为278，BA 垂直x 轴于点A ，OB 与双曲线y ＝kx相交于点C ，且BC △OC ＝1△2，则k 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣94C ．3D ．922．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，矩形OABC 的面积为36，它的对角线OB 与双曲线y kx=相交于点D ，且OD ：OB ＝2：3，则k 的值为（ ）A ．12B ．﹣12C ．16D ．﹣163．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边BC 与x 轴平行，A ，B 两点纵坐标分别为4，2，反比例函数ky x=经过A ，B 两点，若菱形ABCD 面积为8，则k 值为（ ）A ．-B ．-C ．8-D ．-4．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x=和2k y x=的图象上，若60BCD ∠=︒，则12k k 的值为（ ）AB ．23C．D ．13-5．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =与双曲线()2ky k x=>相交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．设(),2M m 为双曲线()2ky k x=>上一点，直线AM ，BM 分别交y 轴于C ，D 两点，则OC OD -的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 边在y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（4，2），反比例函数2(0)y x x=>的图象与BC 交于点D ，与对角线OB 交于点E ，与AB 交于点F ，连接OD ，DE ，EF ，DF ．下列结论：△sin cos DOC BOC ∠=∠；△OE BE =；△DOE BEF S S =△△；△:2:3OD DF =．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题7．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，ABC 的顶点B 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，顶点C 在x 轴负半轴上，//AB x 轴，AB ，BC 分别交y 轴于点D ，E ．若32BE CO CE AD ==，13ABCS =，则k =_____．8．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△OABC 的顶点A ，B 在第一象限内，顶点C 在y 轴上，经过点A 的反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象交BC 于点D ．若CD ＝2BD ，△OABC 的面积为15，则k 的值为______．9．（2021·四川巴中·中考真题）如图，平行于y 轴的直线与函数y 1kx=（x ＞0）和y 22x =（x ＞0）的图象分别交于A 、B 两点，OA 交双曲线y 22x=于点C ，连接CD ，若OCD 的面积为2，则k ＝_______．10．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，直线AB 与反比例函数()0,0ky k x x=>>的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，且AB BC =，连接OA ．已知OAC 的面积为12，则k 的值为_____________．11．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点a y x =与by x=（a ＞b ＞0）在第一象限的图象分别为曲线C 1，C 2，点P 为曲线C 1上的任意一点，过点P 作y 轴的垂线交C 2于点A ，作x 轴的垂线交C 2于点B ，则阴影部分的面积S △AOB ＝_______．（结果用a ，b 表示）12．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，MN 垂直于x 轴，以MN 为对称轴作ODE 的轴对称图形，对称轴MN 与线段DE 相交于点F ，点D 的对应点B 恰好落在(0,0)ky k x x=≠<的双曲线上．点O E 、的对应点分别是点C A 、．若点A 为OE 的中点，且1AEF S =△，则k 的值为____．13．（2021·广西柳州·中考真题）如图，一次函数2y x =与反比例数()0ky k x=>的图像交于A ，B 两点，点M 在以()2,0C 为圆心，半径为1的C 上，N 是AM 的中点，已知ON 长的最大值为32，则k 的值是_______．14．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数y x =与反比例函数1y x=（0x >）的图象交于点A ，过点A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1//BA OA ，交反比例函数图象于点1A ；过点1A 作111A B A B ⊥交x 轴于点B ；再作121//B A BA ，交反比例函数图象于点2A ，依次进行下去，……，则点2021A 的横坐标为_______．三、解答题15．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角ABC 的顶点A ，B 在函数()0,0ky k x x=>>图象上，//AC x 轴，线段AB 的垂直平分线交CB 于点M ，交AC 的延长线于点E ，点A 纵坐标为2，点B 横坐标为1，1CE =．（1）求点C和点E的坐标及k的值；（2）连接BE，求MBE△的面积．参考答案：1．A 【解析】 【分析】过C 作CD △x 轴于D ，可得△DOC △△AOB ，根据相似三角形的性质求出S △DOC ，由反比例函数系数k 的几何意义即可求得k ． 【详解】解：过C 作CD △x 轴于D ，△BC OC＝12， △OC OB＝23， △BA △x 轴， △CD △AB ， △△DOC △△AOB ， △DOC AOB S S ∆∆＝（OC OB ）2＝（23）2＝49， △S △AOB ＝278， △S △DOC ＝49S △AOB ＝49×278＝32，△双曲线y ＝kx 在第二象限，△k ＝﹣2×32＝﹣3，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S △DOC 是解决问题的关键．2．D 【解析】 【分析】过D 点作DE △OA ，DF △OC ，垂足为E 、F ，由双曲线的解析式可知S 矩形OEDF =|k |，由于D 点在矩形的对角线OB 上，可知矩形OEDF △矩形OABC ，并且相似比为OD :OB ＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S 矩形OEDF =16，再根据在反比例函数y k x=图象在第二象限，即可算出k 的值． 【详解】解：过D 点作DE △OA ，DF △OC ，垂足为E 、F ，△D 点在双曲线y kx=上， △S 矩形OEDF =|xy |=|k |，△D 点在矩形的对角线OB 上， △矩形OEDF △矩形OABC ， △29()4OEDF OABC OD OB S S ==， △S 矩形OABC =36， △S 矩形OEDF =16， △|k |=16， △双曲线y kx=在第二象限， △k =-16， 故选：D ． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D 点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k |． 3．A【解析】 【分析】过点A 作AE BC ⊥，设,44k A ⎛⎫⎪⎝⎭，,22k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据菱形的面积得到AB 的长度，在Rt ABE△中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A 作AE BC ⊥，△A ，B 两点纵坐标分别为4，2，反比例函数ky x=经过A ，B 两点， △设,44k A ⎛⎫⎪⎝⎭，,22k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，△2AE =，244k k k BE =-+=-， △菱形ABCD 面积为8， △8BC AE ⋅=，解得4BC =， △4AB BC ==，在Rt ABE △中，222AB AE BE =+，即22242BE =+，解得BE = △k =- 故选：A ． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键． 4．D 【解析】 【分析】连接AC 、BD ，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出△BOC =90°，△BCO =12△BCD =30°，解直角三角形求得tan 30OB OC ︒==，作 BM △x 轴于M ，CN △x 轴于N ，证得△OMB △△CNO ，得到2()BOMCONS OB S OC∆∆=，根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求得结果． 【详解】解：连接AC 、BD ，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x=和2ky x =的图象上，A ∴与C 、B 与D 关于原点对称，AC ∴、BD 经过点O ，90BOC ∴∠=︒，1302BCO BCD ∠=∠=︒，tan30OB OC ∴︒=作BM x ⊥轴于M ，CN x ⊥轴于N ，90BOM NOC NOC NCO ∠+∠=︒=∠+∠， BOM NCO ∴∠=∠， 90OMB CNO ∠=∠=︒， OMB CNO ∴∆∆∽，∴2()BOM CON S OB S OC∆∆=， ∴12112132k k =-， ∴1213k k =-， 故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k 的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．5．B【解析】【分析】根据直线2y x =与双曲线()2k y k x=>相交于A ，B 两点，其中点A在第一象限求得A ⎝，B ⎛ ⎝，再根据(),2M m 为双曲线()2k y k x =>上一点求得,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭；根据点A 与点M 的坐标求得直线AM解析式为y而求得OC =B 与点M 的坐标求得直线BM解析式为2k y -=OD =OC OD -即可． 【详解】 解：△直线2y x =与双曲线()2k y k x =>相交于A ，B 两点， △联立可得：2,,y x k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得：11x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或22x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ △点A 在第一象限，△A ⎝，B ⎛ ⎝． △(),2M m 为双曲线()2k y k x=>上一点， △2k m =． 解得：2k m =． △,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设直线AM 的解析式为11y k x b =+，将点A ⎝与点,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可得：1111,2?,2k b k k b ⎨⎪=+⎪⎩解得：11k b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩△直线AM的解析式为y x ． △直线AM 与y 轴交于C 点，△0C x =．△2202C k yk -=+=． △C ⎛⎝．△2k >，△OC == 设直线BM 的解析式为22y k x b =+，将点B ⎛ ⎝与点,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可得：2222?,2?,2k b k k b ⎧⎛+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩解得：22k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩△直线BM的解析式为y ． △直线BM 与y 轴交于D 点，△0D x =．△2202D k yk -=+ △D ⎛⎝．△2k >，△OD =．△OC OD -k k22842k k k k-=- ()22422k k k k -=-=4．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．6．A【解析】【分析】 根据题意，图中各点的坐标均可以求出来，sin CD DOC OD ∠=，cos =OC BOC OB∠，只需证明CD OC OD OB=即可证明结论△；先求出直线OB 的解析式，然后求直线OB 与反比例函数2(0)y x x =>的交点坐标，即可证明结论△；分别求出DOE S △和BEF S ，进行比较即可证明结论△；只需证明OCD DBF ∽，即可求证结论△．【详解】解：△OABC 为矩形，点B 的坐标为（4，2），△A 点坐标为(4，0)，C 点坐标为(0，2)， 根据反比例函数2(0)y x x=>， 当2y =时，1x =，即D 点坐标为(1，2)，当4x =时，12y =，即F 点坐标为(4，12)， △21OC CD ==，，△OD△24OC CB ==，，△OB△sinCD DOC OD ∠=，cos =OC BOC OB ∠， △sin cos DOC BOC ∠=∠，故结论△正确；设直线OB 的函数解析式为：y kx =，点B 代入则有：2=4k ，解得：12k =， 故直线OB 的函数解析式为：12y x =， 当122x x =时，1222x x ==-；(舍)即2x =时，1y =，△点E 的坐标为(2，1)，△点E 为OB 的中点，△OE BE =，故结论△正确； △112CD AF ==，， △332BD BF ==，， 由△得：13122DOE DBE SS BD ==⨯⨯=， 13222BEF S BF =⨯⨯=， △DOE BEF S S =△△， 故结论△正确；在Rt OCD △和Rt DBF 中，32232OC DB CD BF ===，， △OCD DBF ∽，△::2:3OD DF OC DB ==，故结论△正确，综上：△△△△均正确，故选：A ．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反比例函数与几何综合，结合题意求出图中各点坐标是解决本题的关键．7．18【解析】【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，通过设参数表示出△ABC 的面积，从而求出参数的值，再利用△ABC 与矩形ODBF 的关系求出矩形面积，即可求得 k 的值．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ．//AB x 轴，DBE COE ∴∽，DB BE DE CO CE EO∴==， 32BE CO CE AD ==， 32DB DE BE CO CO EO CE AD ∴====， 设3CO a =，3DE b =，则2AD a =，2OE b =，332DB a ∴=，5OD b =， 92a BD ∴=， 132a AB AD DB ∴=+=， 1113513222ABC a S AB OD b =⋅⋅=⨯⨯=， 45ab ∴=， 94551822ODBF a ab S BD OD b ⋅=⋅===矩形， 又反比例函数图象在第一象限，18k ∴=，故答案为18．【点睛】此题考查反比例函数知识，涉及三角形相似及利用相似求长度，矩形面积公式等，难度一般．8．18【解析】【分析】过点D 作DN △y 轴于N ，过点B 作BM △y 轴于M ，可得2CN MN =，设OC ＝a ，CN ＝2b ，则MN ＝b ，根据△OABC 的面积为15表示出BM 的长度，根据CD ＝2BD 求出ND 的长，进而表示出A ，D 两点的坐标，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求出．【详解】解：过点D 作DN △y 轴于N ，过点B 作BM △y 轴于M ，△//DN BM ， △CN CD MN BD= ， △CD ＝2BD ， △2CN CD MN BD==，即2CN MN = ， 设OC ＝a ，CN ＝2b ，则MN ＝b ，△△OABC 的面积为15，△BM ＝15a， △//DN BM ，△CDN CBM ， △DN CD BM CB= ， △CD ＝2BD ， △23CD CB = ，△ND ＝23BM ＝10a， △A ，D 点坐标分别为（15a ，3b ），（10a ，a ＋2b ）， △15a •3b ＝10a（a ＋2b ）， △b ＝25a ， △k ＝15a •3b ＝15a •3×25a ＝18， 故答案为：18．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何意义，相似三角形的性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键．9．8【解析】【分析】设A （m ，k m ），则B （m ，2m），D （m ，0），C （n ，k n ），由112=222OCD C m S OD y m n n ===△得出12n m =，再根据()1122OCD OAD ACD k S S S k m n m=-=--△△△求解即可得到答案. 【详解】解：设A （m ，k m ），则B （m ，2m ），D （m ，0），C （n ，k n ）， △112=222OCD C m S OD y m n n ===△， △12n m =， 又△()1122OCD OAD ACD k S S S k m n m=-=--△△△ 112m n k m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12n k m =14k = △124k =解得8k故答案为：8.【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数比例系数的几何意义，函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 10．8.【解析】【分析】过点A作AE△x交x轴于E，过点B作BF△x交x轴于F，根据AB=BC，可以得到EF=FC，再根据三角形面积公式即可求解.【详解】解：如图所示，过点A作AE△x轴交x轴于E，过点B作BF△x轴交x轴于F△AE△x轴，BF△x轴，AB=BC△EF=FC，AE=2BF（中位线定理）设A点坐标为（a，ka），则B点坐标为（2a，2ka）△OC=OE+EF+FC△OC=OE+EF+FC=3a△11=31222OACkS OC AE aa==△解得8k故答案为：8.【点睛】本题主要考查了中位线定理，反比例函数的性质和三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练运用相关知识进行求解.11．12a 22b a- 【解析】【分析】设B （m ，b m ），A （b n，n ），则P （m ，n ），阴影部分的面积S △AOB ＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．【详解】解：设B （m ，b m ），A （b n，n ），则P （m ，n ）， △点P 为曲线C 1上的任意一点，△mn ＝a ，△阴影部分的面积S △AOB ＝mn 12-b 12-b 12-（m b n -）（n b m-） ＝mn ﹣b 12-（mn ﹣b ﹣b 2b mn+） ＝mn ﹣b 12-mn +b 22b mn- 12=a 22b a-． 故答案为：12a 22b a-． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn ＝a 可解决问题．12．24-【解析】【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定EG 和EO 之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推论，得到FG 和OD 之间的关系，设EG =x ，FG =y ，用它们表示出D 点坐标，接着得到B 点坐标，利用1AEF S =△，得到1xy =，再利用反比例函数的定义，计算出B 点横纵坐标的积，即为所求k 的值．【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE =GA ，CG =OG ，BC =OD ，△点A 为OE 的中点，△AE =OA ， △1244EG EG EG OE AE EG ===, △MN △y 轴， △14FG EG OD EO ==， △=4OD FG ，△1AEF S =△， △112AE FG ⋅=, △1212EG FG ⨯⋅=， △1EG FG ⋅=，设EG =x ，FG =y ，则OG =3x ，OD =4y ，△()0,4D y ，因为D 点和B 点关于MN 对称，△()6,4B x y -△1EG FG ⋅=，△1xy =△6424x y -⋅=-,△点B 恰好落在(0,0)k y k x x=≠<的双曲线上， △24k =-，故答案为：24-．【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、平行线分线段成比例定理的推论、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．13．32 25【解析】【分析】根据题意得出ON是ABM的中位线，所以ON取到最大值时，BM也取到最大值，就转化为研究BM也取到最大值时k的值，根据,,B C M三点共线时，BM取得最大值，解出B的坐标代入反比例函数即可求解．【详解】解：连接BM，如下图：在ABM 中，,O N 分别是,AB AM 的中点，ON ∴是ABM 的中位线，12ON BM ∴=， 已知ON 长的最大值为32， 此时的3BM =，显然当,,B C M 三点共线时，取到最大值：3BM =，13BM BC CM BC =+=+=，2BC ∴=，设(,2)B t t ，由两点间的距离公式：2BC ==，22(2)44t t ∴-+=， 解得：124,05t t ==（取舍）， 48(,)55B ∴， 将48(,)55B 代入()0k y k x=>， 解得：3225k =， 故答案是：3225． 【点睛】 本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究BM 取最大值时k 的值．14【解析】【分析】由点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点，即可求出点A 的坐标，且可知45AOB ∠=︒，又AB AO ⊥可知AOB ∆是等腰直角三角形，再结合1BA OA //可知11BA B ∆是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求2021A 的坐标，即n A 的坐标（n=1,2,3……），故想到过点2021A 作20212021A C x ⊥轴，即过n A 作n n A C x ⊥轴．设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为2m +，再利用点1A 在双曲线上即可求解1A 坐标，同理可得2021A 的坐标．【详解】解：过n A 作n n A C x ⊥轴于点n C点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点1y x y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩ ()1,1A ∴1,45OC AC AOC ∴==∠=︒AB AO ⊥∴AOB ∆是等腰直角三角形∴22OB AC ==1BA OA //∴11BA B ∆是等腰直角三角形∴111AC BC =设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为12m +点1A 在双曲线上∴()1121m m +=解得11m设2A 的纵坐标为()20m m >，则2A的横坐标为12222m m m ++=∴()221m m =解得2m同理可得3m由以上规律知：n m2021m ∴2021A∴2021A =【点睛】本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．15．（1）()1,2，()2,2，23k =；（2）512 【解析】【分析】（1）由点A 的纵坐标为2，点B 的横坐标为1，可以用k 表示出A ，B 两点坐标，又//AC x 轴，ABC 为直角三角形，所以可以得到点C 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1，由此得到C 点坐标，又由于1CE =，可以得到E 点坐标，因为EM 垂直平分AB ，所以AE BE =，根据此等式列出关于k 的方程，即可求解；（2）由（1）中的k 值，可以求出A ，B 的坐标，利用勾股定理，求出线段AB 的长度，从而得到BD 的长度，先证明BDM BCA △∽△，利用相似三角形对应边成比例，求出BM 的长度，即可求出MBE △的面积．【详解】解：（1）如图，连接BE ，由题意得点A 的坐标为(2k ，2)，点B 的坐标为(1,)k ， 又//AC x 轴，且ACB △为直角三角形，∴点C 的坐标为(1,2)，又△1CE =，∴点E 的坐标为(2,2)，点E 在线段AB 的垂直平分线上，EA EB ∴=，在Rt BCE 中，222EB BC CE =+，221(2)(2)2k k ∴+-=-， 2k ∴=或23，当2k =时，点A ，B ，C 三点重合，不能构成三角形，故舍去，23k ∴=， (1,2)C ∴，(2,2)E ，23k =； （2）由（1）可得，23AC =，43BC =，1CE =， 设AB 的中点为D ，AB =12BD AB ==， ABC MBD ∠=∠，90BDM BCA ∠=∠=︒，BDM BCA ∴△∽△， ∴BM BD BA BC=，53463BM ∴=， 1155122612MBE S BM CE ∆∴=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题是一道反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等相关知识，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决此题的关键．。

反比例函数☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015崇左）若反比例函数kyx=的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3 【答案】A．【解析】试题分析：∵反比例函数kyx=的图象经过点（2，﹣6），∴2(6)12k=⨯-=-，解得k=﹣12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．2．（2015苏州）若点A（a，b）在反比例函数2yx=的图象上，则代数式ab﹣4的值为（）A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6 【答案】B．【解析】试题分析：∵点（a，b）反比例函数2yx=上，∴2ba=，即ab=2，∴原式=2﹣4=﹣2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．3．（2015来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2015河池）反比例函数1myx=（0x>）的图象与一次函数2y x b=-+的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当21y y>时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，21y y>．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．5．（2015贺州）已知120k k <<，则函数1k y x =和21y k x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2015宿迁）在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数x y 2=的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D ． 【解析】试题分析：①当∠PAB=90°时，P 点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入x y 2=得23y =-，所以此时P 点有1个；②当∠APB=90°，设P （x ，2x ），2PA =222(3)()x x ++，2PB =222(3)()x x -+，2AB =2(33)+=36，因为222PA PB AB +=，所以222222(3)()(3)()x x x x +++-+=36，整理得42940x x -+=，所以2x =，或2x =，所以此时P 点有4个；③当∠PBA=90°时，P 点的横坐标为3，把x=3代入x y 2=得23y =，所以此时P 点有1个；综上所述，满足条件的P 点有6个．故选D ．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2015自贡）若点（1x ，1y ），（2x ，2y ），（3x ，3y ），都是反比例函数x y 1-=图象上的点，并且1230y y y <<<，则下列各式中正确的是（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．231x x x <<【答案】D ． 【解析】试题分析：由题意得，点（1x ，1y ），（2x ，2y ），（3x ，3y ）都是反比例函数x y 1-=上的点， 且1230y y y <<<，则（2x ，2y ），（3x ，3y ）位于第三象限，y 随x 的增大而增大，23x x <，（1x ，1y ）位于第一象限，1x 最大，故1x 、2x 、3x 的大小关系是231x x x <<．故选D ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2015凉山州）以正方形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线3y x =经过点D ，则正方形ABCD 的面积是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 【答案】C ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．9．（2015眉山）如图，A 、B 是双曲线x ky =上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ）A ．34B ．38C ．3D ．4【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质．10．（2015内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线kyx=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（）A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kyx=经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kyx=经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．11．（2015孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数1yx=的图象上．若点B在反比例函数kyx=的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．12．（2015宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为410m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．13．（2015三明）如图，已知点A 是双曲线2y x =在第一象限的分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，两垂线交于点C ，随着点A 的运动，点C 的位置也随之变化．设点C 的坐标为（m ，n ），则m ，n 满足的关系式为（ ）A ．2n m =-B ．2n m =-C ．4n m =-D ．4n m =-【答案】B ． 【解析】试题分析：∵点C 的坐标为（m ，n ），∴点A 的纵坐标是n ，横坐标是：2n ，∴点A 的坐标为（2n ，n ），∵点C 的坐标为（m ，n ），∴点B 的横坐标是m ，纵坐标是：2m ，∴点B的坐标为（m ，2m ），又∵22n m mn =，∴22mn m n =⋅，∴224m n =，又∵m ＜0，n ＞0，∴2mn=-，∴2nm=-，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．14．（2015株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数12 yx =图象上的概率是（）A．12B．13C．14D．16【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．15．（2015乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，3 4OA OB =．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kyx=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为27时，k的值是（）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题．16．（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数3yx=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．D．【答案】D．【解析】试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3 yx =的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=，S菱形ABCD=底×高=×2=D．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2015临沂）在平面直角坐标系中，直线2y x=-+与反比例函数1yx=的图象有唯一公共点，若直线y x b=-+与反比例函数1yx=的图象有2个公共点，则b的取值范围是（）A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．18．（2015滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数1yx=-、2yx=的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（）A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变 【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2015扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是 ． 【答案】（﹣1，﹣3）． 【解析】 试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2015泰州）点（a ﹣1，1y ）、（a+1，2y）在反比例函数()0>=k x ky 的图象上，若21y y <，则a 的范围是 ． 【答案】﹣1＜a ＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．21．（2015南宁）如图，点A在双曲线y =0x >）上，点B 在双曲线ky x =（0x >）上（点B 在点A 的右侧），且AB ∥x 轴．若四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】 【解析】试题分析：因为点A在双曲线y =0x >）上，设A 点坐标为（a，因为四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a ，可得B 点坐标为（3a），可得：k=3a，故答案为：考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2015桂林）如图，以▱ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A 、C 的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A 的反比例函数ky x =的图象交BC 于D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是 ．【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题．23．（2015贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线1y x=-上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线1yx=-上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若11a=-，则a2015= ．【答案】2．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2015南京）如图，过原点O 的直线与反比例函数1y ，2y 的图象在第一象限内分别交于点A ，B ，且A 为OB 的中点，若函数11y x =，则2y 与x 的函数表达式是 ．【答案】24y x =．【解析】试题分析：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，∵点A 在反比例函数11y x =上，∴设A （a ，1a ），∴OC=a ，AC=1a ，∵AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，∴AC ∥BD ，∴△OAC ∽△OBD ，∴AC OC OA BD OD OB ==，∵A 为OB 的中点，∴12AC OC OA BD OD OB ===，∴BD=2AC=2a ，OD=2OC=2a ，∴B （2a ，2a ），设2k y x =，∴k=224a a ⋅=，∴2y 与x 的函数表达式是：24y x =．故答案为：24y x =．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．25．（2015攀枝花）如图，若双曲线ky x =（0k >）与边长为3的等边△AOB （O 为坐标原点）的边OA 、AB 分别交于C 、D 两点，且OC=2BD ，则k 的值为 ．．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．26．（2015荆门）如图，点1A ，2A 依次在0)y x ＞的图象上，点1B ，2B 依次在x 轴的正半轴上，若11A OB △，212A B B △均为等边三角形，则点2B 的坐标为 ．【答案】（，0）．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题．27．（2015南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数3yx=（0x>）的图象上，则△OAB的面积等于．【答案】9 2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题．28．（2015烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数kyx=（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．【答案】15 4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题．29．（2015玉林防城港）已知：一次函数210y x=-+的图象与反比例函数kyx=（0k>）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若52BCBD=，求△ABC的面积．【答案】（1）8yx=，B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，12-）；（3）10．【解析】试题分析：（1）把点A 的坐标代入ky x =，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B 的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A 作AH ⊥OE 于H ，设AP 与x 轴的交点为M ，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E （5，0），OE=5．∵A （4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH ⊥OE ，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM ，∴△AHM ∽△EHA ，∴AH MH EH AH =，∴212MH=，∴MH=4，∴M （0，0），可设直线AP 的解析式为y mx =，则有42m =，解得m=12，∴直线AP 的解析式为12y x=，解方程组128y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得：42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP=90°，同理可得：点P 的坐标为（﹣16，12-）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，12-）；（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴CD CTBD BS=．∵52BCBD=，∴32CT CDBS BD==．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2014年题组】1. （2014年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线4yx=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D．【解析】试题分析：∵点A、B是双曲线4yx=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，∴根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∵S阴影=1，∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．故选D．考点：反比例函数系数k的几何意义．2. （2014年吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（）A. （2，2）B. （2，3）C. （3，2）D.3 4,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C．考点：1.切线的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系．3. （2014年江苏连云港）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）.若函数ky x =在第一象限内的图像与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 2≤k ≤449B. 6≤k ≤10C. 2≤k ≤6D. 2≤k ≤225【答案】A ． ．考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法的应用；23.曲线上点的坐标与方程的关系；一元二次方程根的判别式．4. （2014年江苏盐城）如图，反比例函数ky x =（x ＜0）的图象经过点A （﹣1，1），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t 的值是（ ）B.32C.43 D.【答案】A ．【解析】考点：1.反比例函数的综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.等腰直角三角形的性质；4.轴对称的性质；5.方程思想的应用．5. （2014年重庆市B卷）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数ky(k0)x=≠在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，23），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，－2），则点F的坐标是（）A、5(,0)4B、7(,0)4C、9(,0)4D、11(,0)4【答案】C．【解析】试题分析：∵A （m ，2），∴正方形ABCD 的边长为2.∵E （n ，23），∴n m 2=+.∵反比例函数ky (k 0)x =≠在第一象限的图象经过A ，E ，∴k 2k 2m 22m m m 12k 3m 23m 2⎧=⇒=⎪⎪−−−−→=⇒=⎨+⎪=⎪+⎩把①代入②① ②.∴n m 23=+=，即点E 的坐标为（3，23）.设直线EG 的解析式为y ax b =+，∵G （0，－2），∴283a b a 39b 2b 2⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩.∴直线EG 的解析式为8y x 29=-.令y=0得89x 20x 94-=⇒=.∴点F 的坐标是9,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ .故选C ． 考点：1.反比例函数和一次函数交点问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.正方形的性质．6. （2014年广西北海）如图，反比例函数ky x =（x ＞0）的图象交Rt △OAB 的斜边OA 于点D ，交直角边AB 于点C ，点B 在x 轴上．若△OAC 的面积为5，AD ：OD=1：2，则k 的值为【答案】20．考点：1.反比例函数系数k 的几何意义；2.相似三角形的判定和性质． 7. （2014年广西崇左）如图，A （4，0），B （3，3），以AO ，AB 为边作平行四边形OABC ，则经过C 点的反比例函数的解析式为 ．【答案】3y x =-．考点：1.平行四边形的性质；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系．8. （2014年广西玉林、防城港）如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线1k y x =和2ky x =的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论：①12k AM CN k =；②阴影部分面积是()121k k 2+；③当∠AOC=90°时12k k =；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．9. （2014年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线2yx=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线kyx=（k＜0）上运动，则k的值是．【答案】﹣6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．10. （2014年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数kyx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=﹣2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．☞考点归纳归纳1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。

反比例函数及其应用（26题）一、单选题1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数()0y kx k k =-¹与ky x=的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2024·山东济宁·中考真题）已知点()()()1232,,1,,3,A y B y C y --在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O 为正六边形ABCDEF 的中心，EF x ∥轴，点E 在双曲线(ky k x=为常数，0)k >上，将正六边形ABCDEF D 恰好落在双曲线上，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3二、填空题4．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当0x >时，y 随x 的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．5．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力´阻力臂=动力´动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N 和0.5m ，动力为(N)F ，动力臂为(m)l ．则动力F 关于动力臂l 的函数表达式为．6．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC BC，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A B，两点恰好都落在函数6yx=的图象上，则a的值为．故答案为：2或3．7．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象与O e 交于,A B 两点，且点,A B 都在第一象限．若()1,2A ，则点B 的坐标为 ．∵反比例函数ky x=的图象与∴221kk ==，设()B n m ，，则2nm k ==∵22215OB OA ==+=三、解答题8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像相交于点()1,A n -、()2,1B ．(1)求一次函数、反比例函数的表达式；(2)连接OA OB 、，求OAB V 的面积．∵1y x =-，∴当0x =时，1y =-，∴()0,1C -，∴OAB V 的面积12OC x =×9．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()2,3-，点B 的坐标为()3,n(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象，直接写出关于x 的不等式kax b x+<的解集10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数y kx b =+（0k ¹）的图象与反比例函数4y x=的图象相交于(),4A m ，()4,B n 两点．(1)求一次函数的解析式；C t t在一次函数的图象上，直线CO与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，(2)若点(),并写出直线CD在图中的一个特征．11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点B ，C 在第一象限，四边形OABC 是平行四边形，点C 在反比例函数ky x=的图象上，点C 的横坐标为2，点B 的纵坐标为3．提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为()111,P x y ，()222,P x y ，则12PP 中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，点D 是AB 边的中点，且在反比例函数ky x=图象上，求平行四边形OABC 的面积；(3)如图3，将直线13:4l y x =-向上平移6个单位得到直线2l ，直线2l 与函数()0ky x x =>图象交于1M ，2M 两点，点P 为12M M 的中点，过点1M 作11M N l ⊥于点N ．请直接写出P 点坐标和1M NOP的值．【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．12．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与反比例函数()0ky k x=¹的图象交于AB 、两点，点A 的横坐标为1．(1)求k 的值及点B 的坐标．(2)点P 是线段AB 上一点，点M 在直线OB 上运动，当12BPO ABO S S =△△时，求PM 的最小值．∴222210510BP OP PM OB ×´===【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键13．（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()()2,3,,2A B m -两点在反比例函数ky x=的图象上．(1)求k 与m 的值；(2)连接BO ，并延长交反比例函数ky x=的图象于点C ．若一次函数的图象经过A ，C 两点，求这个一次函数的解析式．14．（2024·江西·中考真题）如图，AOB V 是等腰直角三角形，90Ð=°ABO ，双曲线()0,0ky k x x=>>经过点B ，过点()4,0A 作x 轴的垂线交双曲线于点C ，连接BC ．(1)点B 的坐标为______；(2)求BC 所在直线的解析式．∵AOB V 是等腰直角三角形，90Ð=ABO ∴4OA =，∴2BD OD AD ===，∴()2,2B ，15．（2024·山东泰安·中考真题）直线()10y kx b k =+¹与反比例函数28y x=-的图象相交于点()2,A m -，(),1B n -，与y 轴交于点C ．(1)求直线1y 的表达式；(2)若12y y >，请直接写出满足条件的x 的取值范围；(3)过C 点作x 轴的平行线交反比例函数的图象于点D ，求ACD V 的面积．16．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+与x 轴相交于点()2,0A -，与反比例函数ay x=的图象相交于点()2,3B ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)直线()2x m m =>与反比例函数()0a y x x =>和()20y x x=->的图象分别交于点C ，D ，且2OBC OCD S S =△△，求点C 的坐标．【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合：17．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数y ax b =+（a ，b 为常数，0a ¹）的图象与反比例函数ky x=（k 为常数，0k ¹）的图象交于(2,4)A ，(,2)B n -两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)直线AB 与x 轴交于点C ，点(,0)P m 是x 轴上的点，若PAC △的面积大于12，请直接写出m 的取值范围．对于2y x =+，当20y x =+=，解得∴()2,0C -，∵(,0)P m ，∴2CP m =+，18．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1(0)y kx k =+¹的图像与反比例函数6y x=的图像交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的横坐标为2．(1)求k 的值；(2)利用图像直接写出61kx x+<时x 的取值范围；(3)如图2，将直线AB 沿y 轴向下平移4个单位，与函数6(0)y x x =>的图像交于点D ，与y 轴交于点E ，再将函数6(0)y x x=>的图像沿AB 平移，使点A 、D 分别平移到点C 、F 处，求图中阴影部分的面积．19．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x=（k 为常数且0k ¹）上有一点()3,A m -，且与直线24y x =-+交于另一点(),6B n ．(1)求k 与m 的值；(2)过点A 作直线l x ∥轴与直线24y x =+交于点C ，求sin OCA Ð的值．∵l x ∥轴，x 轴y ⊥轴，∴A 、C 、D 的纵坐标相同，均为把2y =代入24y x =-+解得1x =，∴()1,2C ，20．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，求：(1)反比例函数表达式；(2)点C 坐标．由图可得3AD =，2OD =，设点C 的坐标为6,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则CE \63BE OE OB m=-=--，Q 矩形直尺对边平行，21．（2024·四川达州·中考真题）如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，0k ¹）的图象与反比例函数m y x=（m 为常数，0m ¹）的图象交于点()2,3A ，(),2B a -．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点C 是x 轴正半轴上的一点．且90BCA Ð=°．求点C 的坐标．90BCA Ð=°Q NCB ACM \Ð+Ð=MAC ACM Ð+Ð=Q NCB MAC\Ð=Ðtan tan NCB MAC\Ð=Ð即NB MC NC AM=22．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数()10y kx b k =+¹的图象与反比例函数()20m y m x=¹的图象相交于()()1,3,1A B n -，两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象直接写出12y y >时，x 的取值范围；V的面积．(3)过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求ABC∵点B C 、关于原点对称，∴()3,1C ，∴312MN =-=，1CN =，ON ∴ABC BOD ADOM S S S S =++V V 梯形梯形()(11123．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．()0y ax b a =+¹的图象与反比例函数()0k y k x=¹的图象交于点()()1,4,1A B n -、．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)利用图象，直接写出不等式k ax b x+<的解集；(3)已知点D 在x 轴上，点C 在反比例函数图象上．若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标．24．（2024·四川德阳·中考真题）如图，一次函数22y x =-+与反比例函数(0)k y x x=<的图象交于点()1,A m -．(1)求m 的值和反比例函数k y x=的解析式；(2)将直线22y x =-+向下平移h 个单位长度(0)h >后得直线y ax b =+，若直线y ax b =+与反比例函数(0)k y x x =<的图象的交点为(),2B n ，求h 的值，并结合图象求不等式k ax b x<+的解集．25．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数y =的图象与反比例函数k y x =的图象的一个交点是(A m ．点()P n 在直线y =上，过点P 作y 轴的平行线，交k y x =的图象于点Q ．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求OPQ △的面积．26．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l 与反比例函数k y x =的图象交于1,42M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),1N n 两点．(1)求反比例函数及一次函数的表达式；(2)求OMN V 的面积；(3)若点P 是y 轴上一动点，连接PM PN ，．当PM PN +的值最小时，求点P 的坐标．又直线l 为25y x =-+，∴5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,5B ．∴52OA =，5OB =，∴12OMN AOB AON BOM S S S S =--=´△△△△轴于点∵1,42M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与M ¢关于y 轴对称，∴M ¢为1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．又()2,1N ，设M N ¢的解析式为则14221c d c d ì-+=ïíï+=î，解得65175c d ì=-ïïíï=ïî。