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反证法逻辑原理即证“完备性前提下的原命题的逆否命题”作者：孙贤忠（湖南省长沙市第七中学邮编：410003）【摘要】：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。
这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。
一个命题：若A则B为真，这只是简洁的形式，因为若A则B为真，其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实，乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真，否则绝不可能推出结论B为真。
【关键词】：反证法证明矛盾逆否命题一反证法出现反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说明假设不成立，原命题得证。
反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡεις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。
二反证法所依据的逻辑思维规律反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。
再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。
法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
中学数学教学参考（上旬>2021年第4期维新天地t应用退中求进的思想解竞赛題张诏晨（陕西省西安市浐灞丝路学校)文章编号：1002-2171(2021)4-0076-03先退后进，以退求进，这是一种重要的探索问题 和解决问题的思想方法，在数学史上曾经被许多数学 家所推崇。
华罗庚教授曾经指出：“善于‘退’，足够 地‘退’，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好 数学的一个诀窍！”所谓“退”，就是退到简单情形，把简单情形作为 考察的起点。
通过对简单情形的讨论,探索出一般问 题的结论，或者在解决简单情形的过程中觅得解决一 般问题的途径，以达到投石问路的作用。
这也就是我 们常说的从特殊到一般、从简单到复杂的解题策略。
“退”只是一种策略，“退”是为了找到解决问题的 途径而快速地前进。
能否运用退中求进的思想解决 问题，往往取决于能否从简单情形向一般情形或复杂 情形的过渡。
下面举例说明退中求进的思想在数学竞赛中的 应用。
例 1 已知 a … = 3n + 2,6…=2;j ，n e N +。
设数列 {心丨和{匕}的公共项从小到大组成数列<c …}，求数列 {<：…}的前《项和S …。
解析：由a …=3« + 2知，凡是被3除余2的整数 (不小于5)都属于数列。
根据这一特征观察数列的前 10 项：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024,发现下面画横线尚项也1数列的项，_ 它们属于数列U …}。
于是，数列的前四项为8,说明：本题根据数列的特征，通过考察数列{6J 的前 10 项，得到 c …=62…+1 =22”+1 (n 6N +),然后 再加以证明.使问题得到完整的解决。
例2给定W (W >2)个互不相等的实数a i ，a 2，… 〜，用这些数构成所有可能的和（一个数也可以看作一个和）。
证明：在所有这些和中，至少有”^^+1)个两两不等。
Creative Education Studies 创新教育研究, 2023, 11(10), 3178-3186Published Online October 2023 in Hans. https:///journal/ceshttps:///10.12677/ces.2023.1110467新课标下2023年长沙中考数学试题“SEC”一致性分析肖令君1，罗志军1*，卢伟21湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南娄底2涟源市桥头河镇石狗中学，湖南涟源收稿日期：2023年9月6日；录用日期：2023年10月10日；发布日期：2023年10月19日摘要《义务教育数学课程标准》(2022年版)是教师实施教学、中考数学进行命题的基本依据，而教学成果以及中考数学结果可反映出课程标准与实际教学的配适度，在一定程度上可起到反向调节的作用。
因此，研究课程标准与中考数学试题的一致性十分必要。
本文以2023年长沙市初中学业水平考试试卷为分析对象，以SEC一致性分析模式为研究工具，分析中考数学试题与课程标准(2022年版)的一致性程度并在结合新课标要求的基础上对中考数学命题及实施教学给出相关建议，以推动教育目标的实现，提升教育教学的质量。
关键词新课程标准，中考数学试题，SEC模式The 2023 Changsha Senior HighEntrance ExaminationMathematics Test Questions“SEC” Consistency AnalysisLingjun Xiao1, Zhijun Luo1*, Wei Lu21School of Mathematics and Finance, Hunan University of Humanities and Technology, Loudi Hunan2Shigou Middle School in Qiaotouhe Town of Lianyuan City, Lianyuan HunanReceived: Sep. 6th, 2023; accepted: Oct. 10th, 2023; published: Oct. 19th, 2023*通讯作者。
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用作者：陆同新来源：《读写算》2014年第14期美国心理学家弗里德曼做的“登门槛”心理实验表明：“先得寸再进尺，往往能实现目标。
”华罗庚也说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃”。
这，就是“以退为进”的策略。
“以退为进”策略在数学学习中常常用到：一、退到思维起点，变“繁”为“简”，构建数学模型数学教学是思维活动的教学。
思维是智力的核心。
要使学生的思维得到有效的发展，教师就要在学生学习新知时为他们寻找合适的思维起点。
常常需要从简单出发，轻松上路，在数学学习活动中建构模型，渐进数学的本质。
特级教师刘松在教学《数学广角---找次品》（人教版五下）时，将文本中的数据变大，使原题变为：“2187瓶木糖醇中有一瓶特别轻（次品），用天平秤称，至少几次才能保证找到它？”教学时，学生有说2185次的、一千多次的、729次的……教师引领学生从3瓶想起，分成三堆（1、1、1），需要1次能找到；接下来9瓶（分成3、3、3）需要2次；再到27瓶（分成9、9、9）需要3次；到81瓶（分成27、27、27）需要4次；到243瓶（分成81、81、81）需要5次；再到729瓶（分成243、243、243）需要6次；最后到2187瓶（分成729、729、729）需要7次。
即：2187→（729、729、729）→（243、243、243）→（81、81、81）（27、27、27）→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1）学生面对庞大的数据2187时，显得束手无策，不得其门而入。
退到适合学生思维的起点，从最简单处想起。
用天平秤称时，将数据三等分，保证以最少的次数找到“次品”。
经过这样的变“繁”为“简”，逐步推进，不仅解决了问题，还帮助学生地积累了数学活动经验，顺利地构建了数学模型。
二、退到旧知原点，变“快”为“慢”，感悟数学思想奥苏贝尔曾经说过：“影响学生的最重要因素是学生已经知道了什么。
再探“高超”的数学解题策略---以退为进作者孙贤忠（湖南省长沙市第七中学，邮编410003）【摘要】：通过对数学问题进行观察、联想，我们往往从整体上把握住问题，形成解题的初步（有时甚至只是模糊的）策略（解决问题的想法，解决问题的方向，解答的范围等等）。
以退为进就是将解题的初步策略付诸实施，试探是否可行，是否有进展，是否可以接近解题目标，是否能缩小解答所在的范围等等，这样一步一步地探索，直至找到解题途径。
【关键词】：以退为进策略联想观察尝试【正文】：以退为进是探索式思维的一种重要方法，在解题中如何着手进行以退为进？下面几种一般的以退为进方法常常被采用。
一、简单化，化难为易常见的解数学题的探索过程是连续化简过程，因此，将难题简化是以退为进的一个基本方法。
1、从简单情形入手首先考虑符合题意的最简单情形，以退为进找出这种情形的解法，然后再过渡到一般情形。
例1设m、n是任意实数，试在平面上找出所有这样的点，它位于方程x2+y2-2mχ-2ny+4(m-n-2)=0表示的曲线系中的每一曲线上。
分析显然，我们所要寻找的点就是曲线系中所有曲线的公共点，其坐标应满足曲线系的方程（不论m、n是什么实数）。
既然如此，所求的点就应该在曲线系中的任一曲线上，于是，我们先以退为进考虑m1=n1=0和m2=0,n2=1两种简单情形，相应地得到曲线系中的两条曲线：c1 : x2+y2-8=0,c2 : x2y2-2y-12=0而所求的点必定是c1和c2的交点，将c1与c2的方程联立解得x1=2 x2=-2y1=-2 y2=-2于是，一般情形（m、n为任意实数），就变成判别P（2，-2）、Q（-2，-2）是否为所寻找的点，代入原方程知，只有p点的坐标在不论m、n是什么实数时都满足方程，因此它位于曲线系中的每一条曲线上。
2、将复杂问题分解为几个简单问题复杂的综合问题分解为几个简单问题复杂的综合问题，往往是由一些较简单的问题巧妙地揉合而成的，因此，要善于通过观察，将它分解成几个小问题，各个击破后再综合起来。
以退为进妙解题
胡爱书
【期刊名称】《中学生数理化（八年级数学北师大版）》
【年(卷),期】2009(000)005
【摘要】@@ 当你要翻跃高墙时,总会往后退几步,然后再冲上去.这就叫"以退为进".有时做题也应如此.rn那么,应当怎样先"退"再"进",取得解题的成功呢?本文以利用三角形内角和定理求角的题目为例,加以说明.
【总页数】4页(P31-34)
【作者】胡爱书
【作者单位】(Missing)
【正文语种】中文
【相关文献】
1.让根回归方程以退为进解题 [J], 姜强柱;
2.让根回归方程以退为进解题 [J], 姜强柱;
3.以退为进——浅谈利用必要条件解题 [J], 周丽;林志展
4.以退为进
——刍议高中数学函数解题技巧 [J], 唐艳
5.以退为进——刍议高中数学函数解题技巧 [J], 唐艳
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解一元一次方程----去分母桂电中学李娜教材分析：本节课知识与前面几个课时密切相连，是学习解一元一次方程方法的最后一节课。
在掌握知识方面不仅要求学生学会去分母解方程的方法，更要把前面所学的知识与之融会贯通，能够按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序，有目的、有步骤的求一元一次方程的解，并达到灵活运用。
从而体会并掌握解一元一次方程的化归思想，提高运算能力。
学生情况分析：尽管学生已经在前面几节课学习了一些解一元一次方程的步骤，但是去分母的原理和容易错的地方仍然是这节课需要解决的重点和难点。
本节课经历“在解决问题时出现障碍，从而寻求解决的方法，生成新的知识点形成知识树”的过程，进一步渗透化归思想，从而提高课堂教学效率。
教学目标：1.能根据方程的特点，正确而熟练地去分母，解方程。
2.能够对一元一次方程的解法进行归纳和总结。
教学重点：会求带有分母的一元一次方程的解。
教学难点：分子是多项式时，去分母时要加括号；去分母时不要漏乘不含分母的项。
教法：引导探索法，讲练结合教学过程：（本节课采取分组竞争学习的方法来完成，全班分成男生和女生两大组，黑板上画有一棵葡萄树，哪个小组举手积极回答问题并且对的可以长出一颗葡萄，最后哪个组长出的葡萄多，哪个组获胜，可以得到每人加1分操行分）一、温故知新1、下列方程解法正确吗如果不对，错在哪里（错误：移项没变号）（错误：去括号没变号）（错误：去括号漏乘）（错误：系数没有化为1）设计意图：在复习中通过辨别纠错，切入本节的主题——通过去分母解一元一次方程，为后续知识的学习做好铺垫。
二、新知探究下列方程的解正确吗设计意图：通过判断y=2不是方程的解，引导学生思考如何解带有分母的方程，从而进入主题：去分母。
三、例题讲解解：去分母得：2y-（y-2）=6 解：去分母得：5（3x+1）-20 =3x-2-2（2x+3）去括号得：2y-y+2 =6 去括号得：15x+5-20 =3x-2-4x-6移项，合并同类项得：y =4 移项得：15x-3x+4x =-2-6-5+20合并同类项得：16x =77系数化为一得：x=16四、归纳：想一想：解一元一次方程有哪些步骤解一元一次方程的步骤是：(1)去分母（依据等式性质2）(2)去括号240.20.30.02 20.50.01()x x xx --+=(3)移项（移项要变号）(4)合并同类项(5) 系数化1 （依据等式性质2）解一元一次方程中有哪些易点：（1）去分母易漏乘没有分母的项（2）当分子是多项式时，约去分母后，分子不打括号（3）去括号时，当括号外面是负号时，忘记变号（4）当括号外面有系数时会漏乘（5）系数化为1时，左右两边除以等号右边的数设计意图：通过设计这两个例题，讲解如何去分母——找分母的最小公倍数，及在最易出错的地方故意出错，引起学生的注意，通过板书，教会学生的书写过程。
再探“高超”的数学解题策略---以退为进作者 孙贤忠（湖南省长沙市第七中学，邮编410003）【摘要】：通过对数学问题进行观察、联想，我们往往从整体上把握住问题，形成解题的初步（有时甚至只是模糊的）策略（解决问题的想法，解决问题的方向，解答的范围等等）。
以退为进就是将解题的初步策略付诸实施，试探是否可行，是否有进展，是否可以接近解题目标，是否能缩小解答所在的范围等等，这样一步一步地探索，直至找到解题途径。
【关键词】：以退为进 策略 联想 观察 尝试【正文】：以退为进是探索式思维的一种重要方法，在解题中如何着手进行以退为进？下面几种一般的以退为进方法常常被采用。
一、简单化，化难为易常见的解数学题的探索过程是连续化简过程，因此，将难题简化是以退为进的一个基本方法。
1、从简单情形入手首先考虑符合题意的最简单情形，以退为进找出这种情形的解法，然后再过渡到一般情形。
例1设m 、n 是任意实数，试在平面上找出所有这样的点，它位于方程x 2+y 2-2m χ-2ny+4(m-n-2)=0 表示的曲线系中的每一曲线上。
分析 显然，我们所要寻找的点就是曲线系中所有曲线的公共点，其坐标应满足曲线系的方程（不论m 、n 是什么实数）。
既然如此，所求的点就应该在曲线系中的任一曲线上，于是，我们先以退为进考虑m 1=n 1=0和m 2=0,n 2=1两种简单情形，相应地得到曲线系中的两条曲线：c 1 : x 2+y 2-8=0,c 2 : x 2y 2-2y-12=0而所求的点必定是c 1和c 2的交点，将c 1与c 2的方程联立解得 x 1=2 x 2=-2 y 1=-2 y 2=-2 于是，一般情形（m 、n 为任意实数），就变成判别P （2，-2）、Q （-2，-2）是否为所寻找的点，代入原方程知，只有p 点的坐标在不论m 、n 是什么实数时都满足方程，因此它位于曲线系中的每一条曲线上。
2、将复杂问题分解为几个简单问题 复杂的综合问题分解为几个简单问题复杂的综合问题，往往是由一些较简单的问题巧妙地揉合而成的，因此，要善于通过观察，将它分解成几个小问题，各个击破后再综合起来。
例2 设)(a f =a 10-a 5+a 2-a +1，求证：对于一切实数a ，都有)(a f >0。
分析 本题为多项求和，各项是同底幂，于是联想到指数涵数y=a x的性质，以退为进用指数函数增减性来证题，但指数函数y=a x 的增减性与底数a 有关，因此，我们将问题分解成如下向种情况来讨论。
① 当a <0时, a 的偶次幂为正,奇次幂为负,于是f(a)=a 10+(-a )5+a 2+(-a )+1 1 即 f(a)-1>0② 当a =0或1时, f(a)=1>0③ 当0<a <1时, y=a x 为减函数，a 5<a 2,于是f(a)=10a+（2a -5a ）+（1-a ）>0；④ 当a >1时,y=a x为增函数，a 10>a 5，a 2>a ，所以f(a)=（a 10-a 5）+（a 2-a ）+1>0.综合①,②,③,④,对一切实数a 都有f(a)>0.二、特殊化，寻找突破口对于某些数学问题，先找出符合题意的特殊值，特殊图形，特殊位置来进行试探，往往能得到启示，找到解题算途径。
1、分析特例，寻求启示 例3 如图，设两圆o 1 o 2内切于A ，其半径分别为R 、r （R>r ），任作一直线垂直于连心所在的直线，并使其在连心线同侧分别交⊙o 1、⊙o 2于B 、C 。
求证：△ABC 外接圆的面积是定值。
分析 对于这个问题，我们先在特殊位置来考察“定值”，连心线o 1o 2过A 点，设它与⊙o 1、⊙o 2分别交于E 、F ，过F 作FB /垂直于o 1o 2 ,此时,B 、C 的特殊位置为B /、F ，△AB /F是△ABC 的特殊位置，其外接圆的直径是AB /，显然AB / 2=AE ·AF=4R ·r是定值，从而面积也是定值，对于一般情形，连结EB 、FC 并延长交于P ，因为∠ABP= ∠ACP 为直角，所以A 、C 、B 、P 四点共圆，从而AP 是△ABC 外接圆直径，由特殊情形得到启示，只要证明AP 2=AE ·AF 即可，而这不难通过相似三角形来加以证明。
2、利用特例，奠定基础从所周知，数学归纳法是用特例奠基的，有的题目虽然不用数学归纳法，但解题时可先讨论一种简单特例，然后把一般情形化归为特例，以退为进。
例 4 如图，设△ABC 的外心为0，垂心为H ，BC 求证；OM=1/2AHEP分析 观察图形的各种情形，发现当O 在AB 边上时，证明最为简单，可以联想到把一般情形化为这种特殊情形来证明，为此，连结BO ，并延长交圆周于A / ，对△A /BC 而言，垂心H 与C 重合，显然有OM=21A /C ，再证AH=A /C 即可，而这不难通过证明AHCA /是平行四边形而得到。
例4 已知函数8m mx 6mx y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项的系数是m ，所以应分m=0或0m ≠进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为R ； 当0m ≠时，08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是1m 00)8m (m 4)m 6(0m 2≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆> 综上可知1m 0≤≤。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例5 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立，因为)x (f 的定义域为R ，即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时，0k 34k 162<⨯-=∆恒成立，解得43k 0<<； ②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k 的取值范围是43k 0<≤。
3、使用特例，完善解题有些题对其特例的推演，以退为进，也恰是解题中的重要步骤， 例6 证明：圆系x 2+y 2+2(1+sin 2θ)x-2(1+sin 2θ)y+(1+6sin 2θ)=0经过定点，并求定点坐标。
分析 既是定点，则应与参数θ无关，不妨取特例θ=0，2π所得两圆之交点必为所求，为此，取θ=0 ,2π,所得两圆方程分别为 (x-1)2+(y-1)2=1, (x-2)2+(y-2)2=1 ’易知它们的交点为P （-1，2）及Q （-2，1），将P 、Q 坐标代入圆系方程适合，即圆系过定点P 和Q 。
三、变换视角，选择主攻方向如果按照题意直接求解（证）有很大的困难，我们可以尝试变换一个角度去看问题，或者变易论题，或者换用另一种数学内容方法来演解，或通过数形变换，从中选择最容易突破难点的主攻方向。
1、变易论题例6 已知二次方程a x 2+2bx+1=0及cx 2+2dx+1=0（a c ≠0） 的系数a 、bd 、c 组成等差数列，求证：上述两个方程至少有一个方程有实根。
分析 此题直接证明有困难，因此以退为进先将原题变易为逆否命题；已知方程a x 2+2bx+1=0及cx 2+2dx+1=0均无实根，求证：a 、bd 、c 不成等差数列，再将变易命题变易为：已知 b 2- a <0,d 2-c<0求证：a +c ≠2bd ，从最后的变易命题易知：a +c>b 2+d 2≥2bd例7 已知不等式12121312111>+++++++n n n n log a (a-1)+32对于一切大于1的自然数n 都成立，求实数a 的取值范围。
分析：注意到不等式仅仅左边是与n 有关的式子，从函数的观点看，左边是关于n 的函数，要使原不等式成立，转化为这函数的最小值大于右式，如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手。
解：设f(n)= n n n n 21312111+++++++ (n ∈N, n≥2).f(n+1)-f(n)=()1(213121++++++n n n )-(n n n 212111+++++ )=11221121+-+++n n n =)22)(12(1++n n >0,∴ f(n)是关于n(n∈N,n≥2）的递增函数，则f(n)>f(2)=127.要使不等式成立，只须121log a (a-1)+32<127，解之得1<a<251+.某些数学问题，通过函数的单调性，可将函数值间的关系转化为自变量间的关系研究，从而达到化繁为简的目的。
特别是在比较数式大小，证明不等式，求值或最值，解方程（组）等方面应用十分广泛。
2、数形转换有关图形问题，可转换到“数”来解决，这是大家熟知的，而有不少关于数学问题，解题人往往忽略从“形”的角度去研究解决它。
例8 已知不等式2x ≥a x +b 的解集是1≤x ≤4，求a 、b 的值。
分析 此题用纯代数方法求解较为困难，若通过构造函数①y=2x ; ②y=a x +b 察其图象（图）知：在区间（1，4）上，函数①的图象是抛物线弧，而P 、Q 的坐标分别为P （1，2），Q （4，4）；②的图象是直线，由题意，这条直线过P 、Q.因此，问题等价于求过P 、Q 。
因此，问题等价于求过P 、Q 的直线方程，将P 、Q 坐标代入②，解之可得a =32 , b=34 例 9 设A ={x ｜–2≤x ≤a }，B ={y ｜y =2x +3，且x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C .进而将C ⊆B 用不等式这一数学语言加以转化. 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.实际这是思维策略上的以退为进.解：∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下：①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜z 2≤z ≤4}要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾. ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知：必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a ax解得21≤a ≤2 ③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，则C ⊆B 成立. 综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］.3、横向求索解题时人们的观察常常是纵向追溯，即按照知识系统，回顾和使用所学内容，而忽视“横向求索” ，即不习惯采用那些看来与题意不“相关”的其他数学分支的内容，事实上，这种“旁敲侧击” 以退为进，对于解数学题有时却是一个重要策略。
