辽宁省沈阳二中高二数学上学期12月月考试题 理

2021-2022年度辽宁省上学期12月份考试高二数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图所示，三棱锥中，M，N分别是AB，OC的中点，设，，，用，，表示，则( )A. B.C. D.2.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )A. B. C. D.3.如图所示，二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则平面与平面的夹角为( )A. B. C. D.4.圆关于直线对称，则的最小值是( )A. B. C. D.5.已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P为到棱AB，距离相等的点，则点P的轨迹是( )A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线6.已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且，则( )A. 1B. 13C. 17D. 1或137.已知F 是椭圆的左焦点，P 为椭圆上的动点，椭圆内部一点M 的坐标是，则的最大值是( )A. 10B. 11C. 13D. 218.已知空间向量，均为单位向量，且它们的夹角为，则向量在方向上的投影数量是( )A.B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.对于直线，下列说法错误的是( )A.时直线l 的倾斜角为B. 直线l 斜率必定存在C. 直线l 恒过定点D.时直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为10.已知椭圆的焦距为，则( )A. B.或C. 离心率D. 离心率或11.已知椭圆的离心率为，则n 的值可能是( )A. 4B.C. 2D.12.已知抛物线上一点P 到准线的距离为，到直线的距离为，则的取值可以为( )A. 3B. 4C.D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.抛物线的准线方程是__________.14.已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且它们的离心率之和为，则双曲线C的方程是__________.15.圆上的点到直线距离的最大值是__________.16.如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面直线与AM所成角的余弦值为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

沈阳二中2015-2016学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收 高三（16届）数学试题(理科)说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设{|{|ln(1)}A x y B y y x ====+，则AB = （ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -<≤D ．∅ 2. 已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n ≥2)，则x n 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n C.n ＋12 D.2n ＋13．下列四个结论：①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆否命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”.其中正确结论的个数是 ( ) A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知函数()f x 的图像是连续不断的，有如下的x ，()f x 的对应表则函数存在零点的区间有 ( ) A ．区间[][]1,22,3和 B ．区间[][]2,33,4和C ．区间[][][]2,33,44,5、和D ．区间[][][]3,44,55,6、和5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β6.已知cos cos tan sin sin ααααα+=+则的值为 （ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．12D ．2 7 .已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋a x n ≥n ＋1 (n ∈N *)，则a 等于 ( ) A.nB.2nC.n 2D.n n8.6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有( ) A.40种B.48种C.60种D.68种9.设平面区域D 是由双曲线y 2﹣=1的两条渐近线和抛物线y 2=﹣8x 的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x ，y ）∈D ，则的取值范围是 （ ）A ．[﹣1，]B ．[﹣1，1]C ．[0，]D ．[0，]10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （A.11.如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.4B.7C.332 D.312. 设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（ ）A ． [3,3]-B ． [3,)+∞C ． [2,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞第Ⅱ卷 （90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________． 14. 等比数列{a n }中，a 3=9前三项和为S 3=3x 2dx ，则公比q 的值是________．15.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ．16．已知椭圆（a ＞b ＞0），圆O ：x 2+y 2=b 2，过椭圆上任一与顶点不重合的点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，则=_____三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n －1＋2n (n ∈N *，n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n .18．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值.19．（本小题满分12分）某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率;(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附χ2=P(χ2>k) 0.05 0.010k3.841 6.63520．（本小题满分12分）如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．21．（本小题满分12分）已知椭圆M 的左、右焦点分别为F 1(－3，0)、F 2(3，0)，且抛物线x 2＝4y 的焦点为椭圆M 的顶点，过点P (0,2)的直线l 与椭圆M 交于不同的两点A 、B .(1)求椭圆M 的方程； (2)求△OAB 面积的取值范围；(3)若S △OAB ＝45，是否存在大于1的常数m ，使得椭圆M 上存在点Q ，满足OQ →＝m (OA →＋OB →)？若存在，试求出m 的值；若不存在，试说明理由.22．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）=+bx （a ≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x ）=e 2x +be x，x ∈[0，ln2]，求函数φ（x ）的最小值； （Ⅲ）设函数f （x ）的图象C 1与函数g （x ）的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．数学试题答案(理科)1-----12 BDCCA DDBBA BB13.12 14. 1或﹣ 15. 4π 16.17.解 (1)∵a 1＝2，a n ＝a n －1＋2n (n ∈N *，n ≥2)，∴a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝6，a 4－a 3＝8，……，a n －a n －1＝2n ， 以上各式相加得a n ＝a 2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)， 当n ＝1时，a 1＝2也适合上式，∴a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *).--------------------------------5分 (2)由(1)得a n ＝n (n ＋1)， ∴1a n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.---------------10分 18.解 (1)∵3sin C cos C －cos 2C ＝12，∴32sin 2C －12cos 2C ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，∵0<C <π，∴2C －π6＝π2，解得C ＝π3.----------------6分(2)∵m 与n 共线， ∴sin B －2sin A ＝0，由正弦定理a sin A ＝bsin B得b ＝2a .①∵c ＝3，由余弦定理得9＝a 2＋b 2－2ab cos π3，②联立方程①②得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2 3.------------------------------12分19.解:(1)300×=90,---------------------------------2分所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率的估计值为0.75.---4分(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4时,75人的每周平均体育运动时间不超过4时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:结合列联表可算得χ2=≈4.762>3.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.---12分20.解答：（Ⅰ）证明：如图，∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=，又∵AD=，AB=2，∴AD2+BD2=AB2，则∠ADB=90°，∴AD⊥BD．又∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD=AD，∴ED⊥面ABCD，则BD⊥ED，又∵AD∩DE=D，∴BD⊥面ADEF，又BD⊂面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF；----------------------------------------------4分（Ⅱ）在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足为N，∵AB∥CD，∴DN⊥CD，又∵ED⊥面ABCD，∴DN⊥ED，∴以D为坐标原点，DN所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，），N（1，0，0），设M（x0，y0，z0），由，得，∴x 0=0，，则M（0，λ，），设平面BDM的法向量，则，∴，令x=1，得．∵平面ABF的法向量，∴，解得：．∴M （0，），∴点M 的位置在线段CE 的三等分点且靠近C 处．-------------------------12分21.解 (1)由题意得抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1).所以椭圆M 的一个顶点为(0,1)，又其焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0). 故c ＝3，b ＝1，a ＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1.--------------2分(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 即为y 轴，此时A 、B 为椭圆M 短轴的两个端点，A 、B 、O 三点共线，显然不符合题意.当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，代入消去y 整理得(4k 2＋1)x 2＋16kx ＋12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由一元二次方程根与系数的关系可得，x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1，(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 4k 2＋12－4×124k 2＋1 ＝14k 2＋12[(－16k )2－48(4k 2＋1)]＝164k 2－34k 2＋12，故|x 1－x 2|＝44k 2－34k 2＋1， |AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 2·4k 2－34k 2＋1.而点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，所以△OAB 的面积S ＝12·|AB |·d ＝12·41＋k 2·4k 2－34k 2＋1·21＋k 2＝44k 2－34k 2＋1. 设t ＝4k 2－3>0，故k 2＝t 2＋34，所以S ＝4t 4·t 2＋34＋1＝4t t 2＋4＝4t ＋4t，因为t >0，所以t ＋4t≥2t ·4t＝4， 当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取得等号，此时k 2＝74，解得k ＝±72，S 取得最大值1.故△OAB 面积的取值范围为(0,1].----------------------------------8分 (3)由(2)可知，△OAB 的面积S ＝44k 2－34k 2＋1＝45， 即54k 2－3＝4k 2＋1，两边平方整理得4k 4－23k 2＋19＝0，解得k 2＝1或k 2＝194.设Q (x 0，y 0)，由OQ →＝m (OA →＋OB →)， 解得x 0＝m (x 1＋x 2)＝－16km4k 2＋1，y 0＝m (y 1＋y 2)＝m (kx 1＋2＋kx 2＋2)＝m [k (x 1＋x 2)＋4]＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 24k 2＋1＋4＝4m 4k 2＋1.故Q ⎝⎛⎭⎪⎫－16km 4k 2＋1，4m 4k 2＋1， 由点Q 在椭圆M 上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－16km 4k 2＋124＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 4k 2＋12＝1，整理得64k 2m 2＋16m 2＝(4k 2＋1)2， 解得m 2＝4k 2＋116，故m 2＝516或m 2＝54.因为m >1，故m ＝52.---------------------------------------------12分 所以存在实数m ＝52，使得椭圆M 上存在点Q ，满足OQ →＝m (OA →＋OB →). 22. 解：（I ）依题意：h （x ）=lnx+x 2﹣bx ． ∵h （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴对x ∈（0，+∞）恒成立，∴，∵x ＞0，则．--------------------------------------2分∴b 的取值范围是．（II）设t=e x，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．∵．∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，y min=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，当t=2时，y min=4+2b．综上所述：----------------------------6分（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．则点M、N 的横坐标为．C1在点M 处的切线斜率为．C2在点N 处的切线斜率为．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．．则即∴设，则，（1）令，则，∵u＞1，∴r′（u）＞0，优质文档所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！----------------12分优质文档。

沈阳二中2011——2012学年度上学期12月月考高三（12届）数学试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知复数21iz i+=-,则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D 第四象限 2、设集合101x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =-<，则“1a =”是“A B ≠∅ ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件3、等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =（ ） A ．8- B. 6- C. 8 D. 64、已知m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有下列命题：① 若n m ,α⊂∥α，则m ∥n ② 若m ∥α，m ∥β，则α∥β③ 若m n ,=βα ∥n ，则m ∥α且m ∥β④ 若βα⊥⊥m m ,，则α∥β其中真命题的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、已知)3,(-=x ，)1,2(-=，),1(y =，若)(-⊥，∥)(+，则与的夹角为（ ）A ．0B ．4πC ．2πD ．34π 6、正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为 （ ）A B C ．23D7、要得到x x x y cos sin cos 32+=的图象，只需把x y 2sin =的图象上所有点（ ）A ．向左平移6π个单位，再向上移动23个单位 B ．向左平移6π个单位，再向下移动23个单位 C ．向右平移6π个单位，再向上移动23个单位 D ．向右平移6π个单位，再向下移动23个单位 8、把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法总数为（ ） A ．24 B ．48 C ．96 D ．1449、已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得1144,a m n=+则的最小值为 （ ）A ．32B ．53C ．94D ．不存在10、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．1211、已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ,若目标函数y x z +=2的最大值7，最小值为1，则=++acb a ( ) A ． 2 B ．1 C ． －1 D ． －212. 在一次研究性学习中，老师给出函数()()1xf x x R x=∈+，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时给出命题：甲：函数()f x 的值域为[]1,1-；乙：若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； 丙：若规定11()(),()(())n n f x f x f x f f x -==，则()1n x f x n x=+ 对任意n N *∈恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷 （90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上）13、在二项式)2nx -的展开式中，只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 14、O 是ABC ∆所在平面内一点，6OA OC OB +=-，则AOB ∆与AOC ∆的面积比为15、已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)(<'x f ，则212)(+<x x f 的解集为16．已知三棱锥A BCO -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运 动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分10分）解关于x 的不等式2(2)20ax a x +-->（a R ∈）18、（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2=c ，3π=C （1）求ABC ∆的面积S 的最大值；（2）若A A B C 2sin )sin(sin =-+,求ABC ∆的面积．O ABM N CP∙19、（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面为直角梯形，90=∠=∠DCB ADC ,1=AD ，3=BC ，2==CD PC ,⊥PC 平面ABCD（1）在线段AB 上是否存在一点E ，使平面⊥PDE 平面PAC ，如果存在，说明E 点位置；如果不存在，说明理由．（2）求二面角B PA D --的余弦值．20.（本小题满分12分）在海岛A P ，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30，俯角（与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，当目标视线在水平视线的下方时称为俯角）为30的B 处。

沈阳二中201X ——201X 学年度上学期12月份小班化学习成果 阶段验收高二（ 15 届）数学试题（理）命题人：高二数学组 审校人： 高二数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列命题：①至少有一个x 使x 2＋2x ＋1＝0成立；②对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0成立；③对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0不成立；④存在x 使x 2＋2x ＋1＝0成立． 其中是全称命题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2. 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ”，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤13. P 为正六边形ABCDEF 外一点，O 为ABCDEF 的中心，则PA PB PC PD PE PF +++++等于( )A ．POB ．3POC ．6POD ．04. 对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x 、y 、z ∈R)， 则x ＋y ＋z ＝1是P 、A 、B 、C 四点共面的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是 ( ) A ．2 3B ．6C ．4 3D ．126. 下列四个条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．条件的是 ( ) A ．p ：a >b q ：a 2>b 2 B ．p ：a >b q ：2a >2bC ．p ：ax 2＋by 2＝c 为双曲线 q ：ab <0 D ．p ：ax 2＋bx ＋c >0 q ：c x 2＋b x＋a >0 7. 抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线的距离为( )A ．1 B. 3 C.33 D.368. 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1和x 轴正半轴交点为A ，和y 轴正半轴的交点为B ，P 为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB 面积最大值为 ( )A.2abB.22abC.12ab D ．2ab9. 已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( )A ．2219x y -=B ．2219y x -= C. 22137x y -= D. 22173x y -= 10. 已知1F 、2F 是双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的两焦点，以线段F 1F 2为边作正21F MF ∆，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+ 11. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－212. 已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x 第Ⅱ卷 （90分）二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，P 是椭圆上一点，∠F 1PF 2＝90°，求椭圆离心率的最小值为14.过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，过,A B 两点分别作其准线的垂线,AM BN ，垂足分别为,M N ，AB 倾斜角为α，若1122(,),(,)A x y B x y ，则①2124p x x =；221p y y -=．②||1cos p AF α=-，||1cos p BF α=+③||||2||||AF BF AF BF p +=∙， ④||AB =1222,sin px x p α++= ⑤0FM FN = 其中结论正确的序号为15. 若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为________．16. 设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是________．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）如右图，在空间四边形SABC 中，AC 、BS 为其对角线，O 为△ABC 的重心，试证：（1）OA 0OB OC ++=(；(2)1()3SO SA SB SC =++．18. （本小题满分12分）已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若条件p 是条件q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 19. （本小题满分12分） 设直线y ax b =+与双曲线2231x y -=交于A 、B ，且以AB 为直径的圆过原点，求点(,)P a b 的轨迹方程．20. （本小题满分12分）在抛物线 y 2＝4x 上恒有两点关于直线l ：y ＝kx ＋3对称，求k 的范围． 21.（本小题满分12分）已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点(1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于Q 1，Q 2两点，且Q 1，Q 2两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．22. （本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.沈阳二中201X ——201X 学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高二（ 15 届）（理）数学试题答案一、 选择题（每题5分，共60分） BACCC DABAD BD二、 填空题（每题5分共20分）13、22 14、①②③④⑤ 15、－1216、m ≥1或m ＝0 三、 解答题（共70分）17、证明：(1)，①，② ，③①＋②＋③得. (2)，④，⑤，⑥由(1)得：.④＋⑤＋⑥得3即SO ＝13()．18. 解： A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}．①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，解得1≤a ≤3.,或⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.故a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．19. 解： 联立直线与双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b3x 2－y 2＝1，消去y 得：(a 2－3)x 2＋2abx ＋b 2＋1＝0.∵直线与双曲线交于A 、B 两点，∴⎩⎨⎧a 2－3≠0Δ>0⇒a 2<3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝2ab3－a 2，x 1·x 2＝b 2＋1a 2－3.由OA →⊥OB →得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1·y 2＝(ax 1＋b )(ax 2＋b )＝a 2x 1x 2＋ab (x 1＋x 2)＋b 2， ∴有b 2＋1a 2－3＋a 2·b 2＋1a 2－3－2a 2b 2a 2－3＋b 2＝0.化简得：a 2－2b 2＝－1.故P 点(a ，b )的轨迹方程为2y 2－x 2＝1(x 2<3)．20. 解： 设B 、C 关于直线y ＝kx ＋3对称，直线BC 方程为x ＝－ky ＋m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m＝0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 中点M (x 0，y 0)， 则y 0＝y 1＋y 22＝－2k ，x 0＝2k 2＋m .∵点M (x 0，y 0)在直线l 上，∴－2k ＝k (2k 2＋m )＋3， ∴m ＝－2k 3＋2k ＋3k，因M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝4x 内部，则y 02<4x 0，把m 代入化简得k 3＋2k ＋3k <0，即(k ＋1)(k 2－k ＋3)k<0，解得－1<k <0.21.解： (1)设A (2,1)是弦P 1P 2的中点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.22. 解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x（II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得.31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----。

辽宁省2023—2024学年度上学期12月份月考考试高二数学试卷（答案在最后）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1.若m R ∈则方程221x y m +=所表示的曲线一定不是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线2.两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（）A.相交或异面B.相交C.异面D.平行3.直线1l ：310++=mx y ，2l ：()2520x m y +++=，若12l l //，则实数m 的值为（）A.6- B.1C.6-或1D.3-4.若直线1l ：230x y -+=关于直线l ：20x y -+=对称的直线为2l ，则2l 的方程为（）A.210x y ++=B.210x y +-=C.0x y += D.230x y -+=5.已知椭圆E:22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A.245x ＋236y ＝1B.236x ＋227y ＝1C.227x ＋218y ＝1D.218x ＋29y ＝16.在正四面体A BCD -中，其外接球的球心为O ，则AO =（）A.131244AD AB AC -+B.331444AD AB AC ++C.111444AD AB AC ++D.131444AD AB AC -+7.已知圆22:(2)()2()C x y a a -++=∈R 关于直线:1l y x =-对称，过点(2,)P a a 作圆C 的两条切线PA 和PB ，切点分别为A B 、，则||AB =（）A.3B.3C.5D.58.如图，在正方形中，点E ，F 分别是线段AD ，BC 上的动点，且AE BF =，AC 与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．现将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，在EF 从AB 滑动到CD 的过程中，AGC ∠的大小（）A.先变小后变大B.先变大后变小C.不发生变化D.由小变大二、多项选择题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知12,v v 分别为直线12,l l 的方向向量（12,l l 不重合），12,n n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（）A.2121////v v l l ⇔B.111v n l α⊥⇔⊥C.12////n n αβ⇔D.12n n αβ⊥⇔⊥10.下列四个方程所表示的曲线中既关于x 轴对称，又关于y 轴对称的是（）A.22094x y -= B.220y x -= C.2491x y += D.222x y +=11.已知P 为双曲线2214x y -=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 做2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A.I 的横坐标为2B.1212255PIF PIF IF F S S S -=△△△C.2OA =D.121255PF F IF F S S =△△12.已知点()2,0M -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，则（）A.抛物线C 的方程是24y x= B.124x x =C.当3AF FB = 时，323AB =D.AMF BMF∠=∠三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.点()00,Mxy 是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是_________.14.已知向量()3,,1a m =-- ，(),2,1b n =- ，若//a b ，则m ，n 满足的关系式为______．15.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则点B 到平面APC 的最大距离为______．16.已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且3APB π∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是______．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点()4,4M 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 为C 的焦点，A 、B 是C 上两个动点．（1）直线AB 经过点F 时，求AB 的最小值．（2）若直线MF ，MB 的倾斜角互补，MF 与C 的另一个交点为A ，求直线AB 的斜率．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面1,2,3ABC AC BC CC ===，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 中点．（1）求证：1C M //平面1B DE ；（2）若DE BC ⊥，求二面角1A DE B --的余弦值．19.设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C ，D ，且焦距为2.F 为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C ，D 两点.若直线MC 与MD 的斜率之积为34-.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()4,0P 作一条斜率不为0的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点（A 在B ，P 之间），直线BF 与椭圆E 的另一个交点为H ，求证：点A ，H 关于x 轴对称.20.已知点M 到直线l ：2x =的距离和它到定点()1,0F ．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若点P 是直线l 上一点，过P 作曲线E 的两条切线分别切于点A 与点B ，试求三角形PAB 面积的最小值．（二次曲线220Ax By C ++=在其上一点()00,Q x y 处的切线为000Ax x By y C ++=）21.如图，四棱锥E ABCD -中，平面CBE ⊥平面ABE ，120ABE ∠= ，23AB DC ==，2BE =，//DC AB ，CB CE =．（1）求证：平面DAE ⊥平面ABE ；（2）若60DBA ∠= ，求BD 与平面ABE 所成角的正切值．22.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上．（1）点1A ，2A 为C 的左右顶点，P 为双曲线C 上异于1A ，2A 的点，求12PA PA k k ⋅的值；（2）点M ，N 在C 上，且12AM AN k k ⋅=，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．辽宁省2023—2024学年度上学期12月份月考考试高二数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1.若m R ∈则方程221x y m +=所表示的曲线一定不是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线【答案】C 【解析】【分析】讨论参数m 的取值，从而确定方程所代表的曲线，即可判断各项的正误.【详解】当0m =时，曲线方程为1x =±，即为两条直线；当10m =>时，曲线方程为221x y +=，即为原点为圆心，半径为1的圆；当10m =-<时，曲线方程为221x y -=，即为双曲线；而不论m 为何值时，都不可能为抛物线.故选：C2.两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（）A.相交或异面B.相交C.异面D.平行【答案】A 【解析】【分析】令m n λ=，利用空间向量的坐标运算判断即可.【详解】令m n λ=，即()()1,1,22,2,1λ-=-，则12122λλλ=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，此方程组无解，则直线1l ，2l 不平行，即相交或异面.故选：A ．3.直线1l ：310++=mx y ，2l ：()2520x m y +++=，若12l l //，则实数m 的值为（）A.6-B.1C.6-或1D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据已知得出2560m m +-=，求解得出m 的值，代入12,l l 的方程检验，即可得出答案.【详解】由12l l //可得，()5320m m +-⨯=，即2560m m +-=，解得6m =-或1m =.当6m =-时，1l 方程为6310x y -++=，2l 方程为220x y -+=不重合，满足；当1m =时，1l 方程为310x y ++=，2l 方程为2620x y ++=，即310x y ++=，与1l 重合，舍去.综上所述，6m =-.故选：A.4.若直线1l ：230x y -+=关于直线l ：20x y -+=对称的直线为2l ，则2l 的方程为（）A.210x y ++=B.210x y +-=C.0x y +=D.230x y -+=【答案】D 【解析】【分析】直线1l 与l 的交点在直线2l 上，并且直线1l 上任取一点，该点关于直线l 的对称点也在直线2l 上，根据两点坐标求出2l 斜率，即可求出直线2l 的方程.【详解】联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即1l 与l 的交点为()1,1-.又点()0,3A 在1l 上，设A 关于l 的对称点为()1,A a b ，则310032022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，即()11,2A ，所以直线2l 的斜率()211112k -==--，从而直线2l 的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=.故选：D5.已知椭圆E:22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A.245x ＋236y ＝1B.236x ＋227y ＝1C.227x ＋218y ＝1D.218x ＋29y ＝1【答案】D 【解析】【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，所以22222211222211x y a x y a b b ⎧+=⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩，运用点差法，所以直线AB 的斜率为22b k a =，设直线方程为22(3)b y x a =-，联立直线与椭圆的方程222224()690a b x b x b a +-+-=，所以2122262b x x a b+==+；又因为22a b 9-=，解得229,18b a ==.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.6.在正四面体A BCD -中，其外接球的球心为O ，则AO =（）A.131244AD AB AC -+B.331444AD AB AC ++C.111444AD AB AC ++D.131444AD AB AC -+【答案】C 【解析】【分析】根据立体图形结合空间向量的线性运算即可.【详解】由题知，在正四面体A BCD -中，因为O 是外接球的球心，设三角形BCD 的中心为点,E BC 的中点为F ，则34AO AE =，121211111333322333AE AD AF AD AB AC AD AB ⎛⎫=+=+⨯+=++ ⎪⎝⎭ ，111444AO AB AC AD =++ ．故选：C ．7.已知圆22:(2)()2()C x y a a -++=∈R 关于直线:1l y x =-对称，过点(2,)P a a 作圆C 的两条切线PA 和PB ，切点分别为A B 、，则||AB =（）A.3B.3 C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】圆心C 在直线l 上，求出a ，利用切线算出,,PC AC PA 的长度，再利用等面积法即可的.【详解】圆心(2,)C a -在直线:1l y x =-上，解得1a =-，因此22:(2)(1)2C x y -+-=，(2,1)P --，22218,PC AC r PA PC AC PA ===∴=-=∴=，111222PAC S PA AC PC AB =⋅=⋅ ,∴||5AB =故选:D8.如图，在正方形中，点E ，F 分别是线段AD ，BC 上的动点，且AE BF =，AC 与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．现将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，在EF 从AB 滑动到CD 的过程中，AGC ∠的大小（）A.先变小后变大B.先变大后变小C.不发生变化D.由小变大【答案】C【解析】【分析】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，利用空间向量的数量积可判断.【详解】设正方形的边长为1，AE a =，(),0,0A a ，()0,1,1C a -，()0,,0G a ，()0,1,0F ，(),1,0B a ，(),,0AG a a =- ，()0,1,1GC a a =--，1cos 2AG GC AGC AG GC⋅∠===，由面面垂直关系可知120AGC ∠=︒，即角度不会发生变化，所以C 正确；故选：C.二、多项选择题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知12,v v 分别为直线12,l l 的方向向量（12,l l 不重合），12,n n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（）A.2121////v v l l ⇔B.111v n l α⊥⇔⊥C.12////n n αβ⇔D.12n n αβ⊥⇔⊥【答案】ACD 【解析】【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可.【详解】A ：由题设2121////v v l l ⇔，对；B ：由题设111//v n l α⇔⊥ ，111v n l α⊥⇔⊂或1//l α，错；C ：由题设12////n n αβ⇔，对；D ：由题设12n n αβ⊥⇔⊥，对.故选：ACD10.下列四个方程所表示的曲线中既关于x 轴对称，又关于y 轴对称的是（）A.22094x y -= B.220y x -= C.2491x y += D.222x y +=【答案】ACD 【解析】【分析】由()()(),,,,,x y x y x y --同时满足方程求得正确答案.【详解】(),x y 关于x 轴的对称点为(),x y -，关于y 轴的对称点为(),x y -，()()(),,,,,x y x y x y --同时满足方程22094x y-=、2491x y +=、222x y +=，ACD 选项正确.22120,2y x y x -==，是开口向上的抛物线，关于y 轴对称，不关于x 轴对称，B 选项错误.故选：ACD11.已知P 为双曲线2214x y -=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 做2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A.I 的横坐标为2B.1212255PIF PIF IF F S S S -=△△△C.2OA =D.121255PF F IF F S S =△△【答案】ABC 【解析】【分析】求出双曲线的实半轴长及半焦距，再利用双曲线的定义，结合三角形内切圆的性质逐项计算判断即得.【详解】双曲线2214x y -=的实半轴长2a =，半焦距c =，设12PF F △的内切圆在1PF ，2PF ，12F F 上的切点分别为,,M N T ，切点(,0)T t ，显然1212122||||24a PF PF MF NF TF TF t =-=-=-==，即2t =，而12IT F F ⊥，则I 的横坐标为2，A 正确；设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121212121521552PIF PIF IF F r PF PF S S a S c r F F --=== ，B 正确；延长2F A 交1PF 于E 点，由PA 平分12F PF ∠，2PA AF ⊥，得2||||PF PE =，A 为2F E 的中点，因此11224OA EF PF PF ==-=，即有2OA =，C 正确；12121212121212121()225521252PF F IF F r PF PF F F S PF PF F Fa c S F F c r F F +++++==>=⋅ ，D 错误.故选：ABC12.已知点()2,0M -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，则（）A.抛物线C 的方程是24y x= B.124x x =C.当3AF FB = 时，323AB =D.AMF BMF∠=∠【答案】BCD 【解析】【分析】求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，可判断A 选项；设直线l 的方程为2x my =+，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B 选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出2m 的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C 选项；计算出直线AM 、BM 的斜率之和，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线C 的准线方程为2px =-，因为点()2,0M -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，则22p-=-，可得4p =，所以，抛物线C 的方程为28y x =，A错；对于B 选项，抛物线C 的焦点为()2,0F ，若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为2x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，可得28160y my --=，264640m ∆=+>，则1216y y =-，所以，()22212121648864y yx x -=⋅==，B 对；对于C 选项，因为3AF FB =，即()()11222,32,x y x y --=-，则123y y -=，因为12228y y y m +=-=，可得24y m =-，则()2221223344816y y y m m =-=-⨯-=-=-，则213m =，此时，()()21212124224881AB x x my my m y y m =++=++++=++=+1328133⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，111124AM y y k x my ==++，同理可得224BM y k my =+，所以，()()()()1221121212444444AM BMy my y my y y k k my my my my ++++=+=++++()()()()()1212121224323204444my y y y m mmy my my my ++-+===++++，所以，AMF BMF ∠=∠，D 对.故选：BCD.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.点()00,Mx y 是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是_________.【答案】相离【解析】r <，由点到直线的距离公式可得圆心到直线200x x y y r +=的距离d 2=，则有d r >，即可判断直线与圆的位置关系.【详解】解：因为()00,Mxy 是圆222x y r +=内异于圆心的点，所以22200x y r +<r <，①又圆心到直线200x x y y r +=的距离d =2=，②联立①②可得的d r >，即直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是相离，故答案为相离.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及点到直线的距离公式，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题.14.已知向量()3,,1a m =-- ，(),2,1b n =- ，若//a b ，则m ，n 满足的关系式为______．【答案】6mn =（答案不唯一）【解析】【分析】根据//a b得到存在实数λ，使a b λ=，根据坐标运算列式可得答案.【详解】//a b ，()3,,1a m =-- ，(),2,1b n =- ，则存在实数λ，使a b λ=，即321nm λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，可得m ，n 满足的关系式为6mn =或1n m -=等故答案为：6mn =（答案不唯一）.15.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA=，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则点B 到平面APC 的最大距离为______．【答案】2【解析】【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点B 到平面APC 的距离，然后求其最值即可.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤，则)()1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0,0,0,2A B C D ，则()11,1,2BD =-- ，故()1,,2BP BD λλλλ==--，则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=-- ，()1,1,0AC =- ，()0,1,0AB =设平面APC 的法向量(),,n x y z =r，则()0120n AC x y n AP x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，取2x λ=可得()2,2,21n λλλ=- ，则点B 到平面APC的距离为||||AB n n ⋅= ，当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当0λ≠时，2==.当且仅当12λ=时，等号成立，所以点B 到平面APC 的最大距离为22.故答案为：2.16.已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且3APB π∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是______．【答案】,2⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】连接,,OA OP OB ，则,OA AP OB BP ⊥⊥，设点(),P x y ，则22222b xy b a=-，分析可得||2OP b a =≥，可得ba范围，进而可得离心率的范围.【详解】连接,,OA OP OB ，则,OA AP OB BP ⊥⊥，由切线长定理可得PA PB =，又OA OB =，PO PO =，所以AOP BOP ≅ 所以126APO BPO APB π∠∠∠===，则||2||2OP OA b==设点(),P x y ，则22222b xy b a=-，且x a ≥，所以||2OP b a ====≥=所以12b a ≥，故2c e a ===.故答案为：,2⎫+∞⎪⎢⎣⎭.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点()4,4M 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 为C 的焦点，A 、B 是C 上两个动点．（1）直线AB 经过点F 时，求AB 的最小值．（2）若直线MF ，MB 的倾斜角互补，MF 与C 的另一个交点为A ，求直线AB 的斜率．【答案】（1）4（2）12-【解析】【分析】（1）先代入点M 的坐标求出抛物线方程，设直线AB 的方程为1x ty =+，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式求解AB 的最小值；（2）先利用MF MA k k =求出A 坐标，再利用0MB MA k k +=求出B 点坐标，进而可得直线AB 的斜率．【小问1详解】点()4,4M为抛物线()2:20C y px p =>上一点∴168p =，得2p =，即抛物线方程为24y x =，设直线AB 的方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，216160t ∆=+>，∴12124,4y y t y y +==-，∴()2222121221212216811222444444y y y y y y t AB x x t +-++=+++=+=+=+=+≥.当0=t 时，等号成立，∴直线AB 经过点F 时，求AB 的最小值为4【小问2详解】直线MF ，MB 的倾斜角互补，()1,0F ，则直线MF 的斜率2240444414443M A A A A MF M M M M A A y y y y k y y x x y y y ---======--++-解得1A y =-，则1,14A ⎛⎫-⎪⎝⎭，同理44BMB k y =+，44043B MB MA k k y ∴=++=+，解得7B y =-，则49,74B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线AB 的斜率7(1)6149112244AB k ----===--.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面1,2,3ABC AC BC CC ===，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 中点．（1）求证：1C M //平面1B DE ；（2）若DE BC ⊥，求二面角1A DE B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66-【解析】【分析】（1）取1A D 的中点N ，连接1,MN C N ，证明平面1MNC //平面1B DE 后可证得题中线面平行；（2）先证得BC AC ⊥，然后建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．【小问1详解】取1A D 的中点N ，连接1,MN C N ，因为1,2AD CE ==，11//AA CC ，所以1//C E DN 且1C E DN =，所以四边形1DEC N 为平行四边形，所以1//DE C N ，又1C N ⊄平面1B DE ，DE ⊂平面1B DE ，所以1C N //平面1B DE ，因为M 为棱11A B 中点，所以1//MN DB ，又MN ⊄平面1B DE ，1DB ⊂平面1B DE ，所以MN //平面1B DE ，又11,,C N MN N C N MN ⋂=⊂平面1MNC ，所以平面1MNC //平面1B DE ，又1C M ⊂平面1MNC ，所以1C M //平面1B DE ；【小问2详解】因为1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC BC ⊥，又11,,,DE BC DE CC E DE CC ⊥⋂=⊂平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ，又AC ⊂平面11ACC A ，所以ACBC ⊥，如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,2,0,0,0,0,2,0,1,0,0,2,0,2,3B C D E B ，因为BC ⊥平面11ACC A ，所以()0,2,0CB =，即为平面11ACC A 的一个法向量，()()12,0,1,0,2,1DE EB =-=，设平面1DEB 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DE x z n EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，则2,1z y ==-，所以()1,1,2n =- ，则cos ,6CB n CB n CB n ⋅===-，由图可知，二面角1A DE B --为钝二面角，所以二面角1A DE B --的余弦值为6-．19.设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C ，D ，且焦距为2.F 为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C ，D 两点.若直线MC 与MD 的斜率之积为34-.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()4,0P 作一条斜率不为0的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点（A 在B ，P 之间），直线BF 与椭圆E 的另一个交点为H ，求证：点A ，H 关于x 轴对称.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据直线MC 与MD 的斜率之积得到2222413x y a a+=，故2234b a =，结合焦距得到24a =，23b =，得到椭圆方程；（2）设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出0FA FH k k +=，得到结论.【小问1详解】由题意有(),0C a -，(),0D a ，设(,)M x y ，34MC MD y y k k x a x a ⋅=⋅=-+-，化简得2222413x y a a+=，结合22221x y a b +=，可得2234b a =，由椭圆焦距为2，有2222231144a b a a a -=-==，得24a =，23b =，椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】显然直线AB 方程斜率不存在时，与椭圆方程无交点，根据椭圆的对称性，欲证A ，H 关于x 轴对称，只需证FA FH k k =-，即证0FA FH k k +=，设()22,A x y ，()11,B x y ，直线AB 方程为4x my =+，由2243412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()223424360m y my +++=，()()2224436340m m ∆=-⨯+>，解得24m >，所以1222434my y m -+=+，1223634y y m =+.则()()()()()()()12211221121212121211111111FA FHk y x y x y x y x y y y y x x x x k x x -+-+-++==-=---+--，因为()()1221121212223624232303434my x y x y y my y y y m m m -+-+=++=⋅+⋅=++，所以0FA FH k k +=，即A ，H 关于x 轴对称.20.已知点M 到直线l ：2x =的距离和它到定点()1,0F．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若点P 是直线l 上一点，过P 作曲线E 的两条切线分别切于点A 与点B ，试求三角形PAB 面积的最小值．（二次曲线220Ax By C ++=在其上一点()00,Q x y 处的切线为000Ax x By y C ++=）【答案】（1）2212x y +=；（2）22.【解析】【分析】（1）设(),M x y=（2）设()2,P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，写出切线AP 、BP 并将点代入得直线AB 为1x ty +=，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与2212x y +=，应用韦达定理、弦长公式求AB 的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形PAB 面积的最小值.【小问1详解】设(),M x y=E ：2212x y +=，所以点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=.【小问2详解】设()2,P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，则切线AP 为1112x x y y +=，切线BP 为2212x xy y +=，将点P 分别代入得112211x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，所以直线AB 为:1m x ty +=，点P 到m的距离2d ==，当0=t 时，min 1d =．另一方面，联立直线AB 与22112x ty E x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty +--=，所以1221222212t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则)21222112122t AB y y t t +⎫=-==-⎪++⎭，当0=t时，min AB =122ABP S AB d =⋅≥△．故0=t 时，ABP S 最小值为22.21.如图，四棱锥E ABCD -中，平面CBE ⊥平面ABE ，120ABE ∠= ，23AB DC ==，2BE =，//DC AB ，CB CE =．（1）求证：平面DAE ⊥平面ABE ；（2）若60DBA ∠= ，求BD 与平面ABE 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明面面垂直即可；（2）利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】取BE 中点F ，连接CF ，因为CB CE =，则CF BE ⊥，又平面CBE ⊥平面ABE ，平面CBE 平面ABE BE =，CF ⊂平面CBE ，则CF ⊥平面ABE ，设CF h =，如图过B 作GB BE ⊥交AE 于G 点，建立空间直角坐标系B xyz -，则333,,022A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0B ，()2,0,0E ，()1,0,C h ，由题意23AB DC ==，则131,,0,,24444CD BA D h ⎛⎫⎛⎫==-⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以77,,,,,04422AD h AE ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面DAE 的一个法向量(),,m x y z =，则733004407022x y hz AD m AE m x y ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎪⎩，令7,0x y z =⇒==，即()m = ，又易知平面ABE 的一个法向量()0,0,1n =，因为0m n ⋅=，则m n ⊥ ，所以平面DAE ⊥平面ABE；【小问2详解】由（1）得3,22BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,44BD h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，则1cos 2DAB BA BD BA BD ⋅===⋅∠ ，解得32h =，则13,,442BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又平面ABE 的法向量()0,0,1n =，设BD 与平面ABE 所成角为θ，则332sin cos ,24BD n BD n BD nθ⋅====，所以37tan 7θ==．22.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上．（1）点1A ，2A 为C 的左右顶点，P 为双曲线C 上异于1A ，2A 的点，求12PA PA k k ⋅的值；（2）点M ，N 在C 上，且12AM AN k k ⋅=，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【答案】（1）12;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）代入点(2,1)A ，得22a =，从而得双曲线方程及1A ，2A 的坐标，设P 点坐标为(),x y，则12PA PA k k ==，结合P 在双曲线C 上，即可得答案；（2）设直线MN 方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及12AM AN k k ⋅=，得()4210m k m +-=，舍去210k m +-=，从而得0m =，直线MN 过定点()0,0O ，ADO △为直角三角形，D ∠为直角，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证.【小问1详解】解：因为点()2,1A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，所以双曲线22:12x C y -=，则())12,A A ．设P 点坐标为(),x y，则12PA PA k k ==，所以12222PA PA y k k x ⋅==-．因为点P 在曲线C 上，所以2212x y =-，所以122211222PA PA x k k x -⋅==-，所以12PA PA k k ⋅的值为12．【小问2详解】证明：依题意，直线MN 的斜率存在，故设其方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()222124220k x kmx m ----=，显然2120-≠k ，否则不可能有两个交点，()()()22222(4)412228120km k mm k ∆=----=+->，由韦达定理得2121222422,1212km m x x x x k k--+==--，因为直线,AM AN 的斜率之积为12，所以()()()()121212121111122222y y y y x x x x ----⋅==----，所以()()()()121222211x x y y --=--，即()()()()121222211x x kx m kx m --=+-+-，所以有()()()221212212122(1)40k x x k m x x m ⎡⎤-+-+++--=⎣⎦，将韦达定理代入化简得()4210m k m +-=，而当210k m +-=，此时直线l 为()1221y kx k k x =+-=-+，易知l 恒过定点()2,1A ，故舍去，所以0m =，此时满足Δ0>且直线MN 过定点()0,0O ，（如图所示）又因为,AD MN D ⊥为垂足，所以ADO △为直角三角形，D ∠为直角，所以当点Q 为斜边AO 的中点11,2⎛⎫⎪⎝⎭时，DQ 为定值522AO =．综上所述，存在定点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，使得DQ 为定值2．。

沈阳二中2014——2015学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高三（ 15 届）数学（理科）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1、已知是实数集，集合,{}N=y y x =则 ( )2.已知是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3、已知，，则 （ ） A. B.或 C. D.4.已知两个不同的平面和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是 （ ）A.0B.1C.2D.35．下列说法中，正确的是 （ ）A ．命题“若，则”的逆命题是真命题B ．命题“存在，02>-x x ”的否定是：“任意，02≤-x x ” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 6.点在直线上移动，则的最小值是 （ ）A.8B. 6C.D.7、若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．或D ．或8. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A .B .C .D .正视图侧视图俯视图9．对于非零向量，定义一种向量积：．已知非零向量，且都在集合中。

则= （ ）A ．B ．C ．D ．10.已知向量的夹角为()2,1,,1,OA OB OP tOA OQ t OB PQ θ====-uu r uu u r uu u r uu r uuu r uu u r uu u r，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为 （ ）A. B. C. D.11、已知函数的周期为4，且当时，()12f x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩ (](]1,11,3x x ∈-∈，，其中．若方程恰有5个实数解，则的取值范围为 ( ) A．833⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， B．3⎛ ⎝ C ． D ．12.函数()||()x x af x e a R e =+∈在区间上单调递增，则的取值范围是 （ ）A ． B. C ． D ．第Ⅱ卷 （90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13已知，直线交圆于两点，则 ．14．在数列中，121,(1) 1.nn n a a a +=+-=记是数列的前n 项和，则15．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-,在区间()0,1内任取两个实数,p q ,且p q ≠,若不等式()()111f p f q p q +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为 。

命题人：沈阳二中高二数学组 审校人：沈阳二中高二数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一 .选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．双曲线3322=-y x 的渐近线方程是（ ）A. x y 3±=B. 13y x =±C. x y 3±=D. x y 33±=2．若0,1a b a b <<+=，则221,,2,2a ab a b +中最大的数为（ ）A. aB. 12C. 2abD. 22a b +3．对于常数m 、n ,“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要. 4．在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 22D. 45．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为F 1、F 2 ，离心率为33，过F 2的直线l 交C与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A. 22132x y +=B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y += 6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ， A 1A →＝c ，则下列向量中与 B 1M →相等的向量是( )A.－12a ＋12b ＋cB. 12a －12b ＋cC. 12a ＋12b ＋cD. －12a －12b ＋c 7．已知抛物线24y x =，P 是抛物线上一点，F 为焦点，一个定点(5,3)A 。

2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（ ） A ．51 B ．42 C ．39 D ．36【答案】D【分析】先进行单循环赛，6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后3个班再进行单循环赛，分别求出所需比赛场次，即可得出答案. 【详解】先进行单循环赛，有245C =30场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛， 6支球队打3场，决出最后胜出的三个班， 最后3个班再进行单循环赛，由23C =3场. 所以共打了30+3+3=36场. 故选：D.2．“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据焦点在x 轴上的椭圆求出m ，再根据充分性，必要性的概念得答案.【详解】由方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆得：220m m >+>， 解得21m -<<-或m>2， 由充分性，必要性的概念知，“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的充分不必要条件.故选：A.合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y a bx =+中，2b =，1x =，3y =，则1a =；④通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量2χ越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；对于命题②，由kx y ce =，两边取自然对数，可得ln ln y c kx =+，令ln z y =，得ln z kx c =+，0.34z x =+，所以ln 40.3c k =⎧⎨=⎩，则40.3c e k ⎧=⎨=⎩，命题②正确；对于命题③，回归直线方程y a bx =+中，3211a y bx =-=-⨯=，命题③正确；对于命题④，通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选C.【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.4．()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（ ） A ．45 B ．36 C ．28 D ．21【答案】A【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.【详解】解：当()823x y z ++展开式的项只含有1个字母时，有3项，当()823x y z ++展开式的项只含有2个字母时，有2137C C 21=项,当()823x y z ++展开式的项含有3个字母时，有27C 21=项,所以()823x y z ++的展开式共有45项； 故选：A.5．已知()52232x x --21001210a a x a x a x =++++，则0110a a a ++=（ ）【答案】A【分析】首先令0x =，这样可以求出0a 的值，然后把2232x x --因式分解，这样可以变成两个二项式的乘积的形式，利用两个二项式的通项公式，就可以求出110a a 、的会下，最后可以计算出0110a a a ++的值.【详解】令0x =，由已知等式可得：50=232a =，()55552[(12)(2)]2((2)3122)x x x x x x =-+=-⋅+--，设5(12)x -的通项公式为：51551(2)(2)rrr r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为：0155555(2)2C C C --⋅⋅、、；设5(2)x +的通项公式为：5512r r r r T C x -+=⋅⋅‘’‘’‘，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为： 4501555522C C C ⋅⋅、、，0115401555522)(2240,a C C C C =⋅⋅⋅=-⋅⋅+-5551055(2)32a C C =-⋅⋅=-，所以01103224032240a a a ++=--=-，故本题选A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，正确求出通项公式是解题的关键.6．平行四边形ABCD 内接于椭圆22221x y a b +=()0a b >>AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（ ）A ．1-4B ．1-2C ．D ．-1【答案】A【分析】利用对称关系转化为中点弦问题即可求解. 【详解】22222223331,,,2444c c a b b a a a a -=∴==∴=， 设112233(,),(,),(,),A x y B x y D x y设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以//OE AB ,所以1OE k =, 因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，所以22112222332211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2131321313OE AD y y y y b k k a x x x x +--=⋅=⋅+-, 所以22114AD b k a ⨯=-=-，即14AD k =-.故选:A.7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e ⋅+的取值范围是A ．()1,+∞B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的离心率，平面几何分析方法，值域的求法.由于椭圆和双曲线有公共点，那么公共点既满足椭圆的定义，也满足上曲线的定义，根据已知条件有22PF c =，利用定义列出两个离心率的表达式，根据题意求121e e ⋅+的表达式，表达式分母还有二次函数含有参数，根据三角形两边和大于第三边，求出c 的取值范围，进而求得121e e ⋅+的取值范围.【详解】设椭圆方程为()222221122111x y a b c a b +=-=，双曲线方程为()222221122111x y a b c a b -=+=，由椭圆和双曲线的几何性质可得，1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，依题意可知22PF c =，110PF =，代入可得，125,5a c a c =+=-.故2122212251112525c c c e e a a c c ⋅+=⋅+=+=--，三角形两边的和大于第三边，故5410,2c c >>，120,0a a >>，故5c <故22223745402554252525c c c <⇒<⇒<-><-. 故选：B.【点睛】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a +=，得到a ，c 的关系．（2）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a -=，得到a ，c 的关系．8．已知A ，B ，C ，D 是椭圆E ：22143x y +=上四个不同的点，且()1,1M 是线段AB ，CD 的交点，且3AM CM BMDM==，若l AC ⊥，则直线l 的斜率为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．2【答案】C【分析】设出点的坐标()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由3AMBM=得到3AM MB =，列出方程，得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，分别把()()1122,,,A x y B x y 代入椭圆，得到()()111122143x y -+-=，同理得到()()331122143x y -+-=，两式相减得到34AC k =-，利用直线垂直斜率的关系求出直线l 的斜率. 【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为3AM BM =，故3AM MB =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，则12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()()1122,,,A x y B x y 都在椭圆上，故2211143x y +=，且()()22119114443x y -+-=， 两式相减得：()()1181142442443x y -⨯+-⨯=，即()()111122143x y -+-=①， 同理可得：()()11221x y -+-=②，②－①得：()()131311043x x y y -+-=， 所以131334ACy y k x x -==--， 因为l AC ⊥，所以直线l 的斜率为143AC k -=. 故选：C【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.二、多选题9．已知两点(5,0),(5,0)M N -，若直线上存在点P ，使||||6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”．下列直线中为“B 型直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y = C ．43y x =D ．2y x =【答案】AB【解析】首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支；进而可得其方程，若该直线为“B 型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案．【详解】解：根据题意，满足||||6PM PN -=的点的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支； 则其中焦点坐标为(5,0)M -和(5,0)N ，即5c =，3a =， 可得4b =；故双曲线的方程为221916x y -=，(0)x > 双曲线的渐近线方程为43y x =±∴直线43y x =与双曲线没有公共点， 直线2y x =经过点(0,0)斜率43k >，与双曲线也没有公共点 而直线1y x =+、与直线2y =都与双曲线221916x y-=，(0)x >有交点 因此，在1y x =+与2y =上存在点P 使||||6PM PN -=，满足B 型直线的条件 只有AB 正确 故选：AB ．10．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以12,A A 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．12,A A 两两互斥B ．()22|3P B A = C ．事件B 与事件2A 相互独立 D ．()914P B =【答案】AD【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次取一球，所以12,A A 是两两互斥的事件，故A 项正确； 因为()()1212P A P A ==，()()()2225|7P BA P B A P A ==，故B 项错误； 又()()()1114|7P BA P B A P A ==，所以()()()1214159272714P B P BA P BA =+=⨯+⨯=，故D 项正确.从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B 与事件2A 不相互独立，故C 项错误. 故选：AD11．已知抛物线E ：2y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点41,116P ⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过E 上的点()11,A x y 反射后，再经E 上的另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ） A ．12116x x =B ．54AB =C ．ABP QBP ∠=∠D ．延长AO 交E 的准线于点C 则存在实数λ使得CB CQ λ= 【答案】ACD【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线AB 经过抛物线的焦点，直线2l 平行于x 轴，由此可求出点,A B 的坐标，判断各选项的真假．【详解】如图所示：因为141,1,16P l ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点P 且1//l x 轴,故(1,1)A ,故直线101:1414AF y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭- 化简得4133y x =-,由24133y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 并化简得231044y y --=,即1214y y =-,()21212116x x y y ==，故A 正确；又11y =, 故214y =-,B 11,164⎛⎫- ⎪⎝⎭,故121125116216AB x x p =++=++=,故B 错误；因为412511616AP AB =-==，故APB △为等腰三角形，所以ABP APB ∠=∠,而12l l //,故PBQ APB ∠=∠,即ABP PBQ ∠=∠，故C 正确；直线:AO y x =,由14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩得11,,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故C B y y =,所以,,C B Q 三点共线,故D 正确．故选：ACD ． 12．已知当随机变量()2,XN μσ时，随机变量X Z μσ-=也服从正态分布．若()2,,X X N Z μμσσ-~=，则下列结论正确的是（ ）A ．()0,1ZNB ．()12(1)P X P Z μσ-<=-<C ．当μ减小，σ增大时，(2)P X μσ-<不变D ．当,μσ都增大时，(3)P X μσ-<增大 【答案】AC【分析】根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误. 【详解】对任意正态分布()2,X N μσ，X Z μσ-=服从标准正态分布()0,1ZN 可知A 正确，由于X Z μ-=，结合正态分布的对称性可得()(1)12(1)P X P Z P Z μσ-<=<=->，可知B 错误，已知正态分布()2,X N μσ，对于给定的*N k ∈，()P X k μσ-<是一个只与k 有关的定值，所以C正确，D 错误. 故选：AC.三、填空题 13．设()2,XB p ，若()519P X ≥=，则p =_________ .【答案】13【分析】由二项分布的概率公式()()1n kk kn P X k p p -==-C ，代入()()()112P X P X P X ≥==+=可得结果. 【详解】()2,XB p ,()()()()()0122222112C 1+C 12P X P X P X p p p p p p ∴≥==+==--=-,2529p p ∴-=，解得：13p ∴=或53p =(舍去)故答案为：13.14．已知()35P A =，()12P B A =，()23P B A =，则()P B =______. 【答案】1330【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可 【详解】因为()35P A =，所以32()1()155P A P A =-=-=， 因为()23P B A =，所以()()211133P B A P B A =-=-=， 所以由全概率公式可得()()()()()P B P B A P A P B A P A =+ 131213253530=⨯+⨯=, 故答案为：133015．现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是______. 【答案】2##0.4.【分析】先计算出男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的总情况，再按照古典概型计算概率即可.【详解】3位男生和3位女生共6位同学站成一排共有66A 种不同排法，其中男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻有2322233422A (A A 6A A )-种不同排法，因此所求概率为232223342266A (A A 6A A )2=.A 5- 故答案为：25.16．关于曲线C ：22111x y +=，有如下结论： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线0x y ±=对称； ③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点； 其中所有正确结论的序号为_________. 【答案】①②④【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确. 【详解】对于①，将方程中的x 换为x -，y 换为y -，得()()222211111x y x y +=+=--，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x 换为y 或y -，y 换为x 或x -，得()()2222221111111y x x y y x +=+=+=--，所以曲线C 关于直线0x y ±=对称，故②正确； 对于③，由22111x y +=得221110y x=-≥，即21x ≥，同理21y ≥，显然曲线C 不是封闭图形，故③错误；对于④，由③知曲线C 不是封闭图形，联立22221112x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去2y ，得42220x x -+=，令2t x =，则上式转化为2220t t -+=，由()224240∆=--⨯=-<可知方程无解，因此曲线C 与圆222x y +=无公共点，故④正确. 故答案为：①②④.四、解答题17．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，___________. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)4352T x =和74254T x =(2)51T x =，4352T x =，35516T x =【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项. （2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 【详解】（1）二项展开式的通项公式为：211C C ,0,1,2,,2rr r rr n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，∴()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-(舍去)，∴5n =.若选②，则由题得()221111C 22141C 22n n nn n n n n n n ----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5n =， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52rr r rr r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.当52rZ -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭.18．已知圆()22:()(21)4C x a y a a -+-+=∈R ，定点()1,2M -.(1)过点M 作圆C 的切线，切点是A ，若线段MA C 的标准方程；(2)过点M 且斜率为1的直线l ，若圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，求a 的取值范围. 【答案】(1)22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=(2)(4【分析】（1）由题可知，圆心(),21C a a -，2r =，由勾股定理有222MC MA r =+，根据两点间距离公式计算即可求出a 的值，进而得出圆的方程；（2）因为圆C 上有且仅有4个点到l 的距离为1，圆C 的半径为2，因此需圆心C 到直线l 的距离小于1，设直线l 的方程为：()211y x -=+，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）解：由题可知，圆心(),21C a a -，2r =由勾股定理有222MC MA r =+，则222(1)(23)225a a ++-=+= 即2510150a a --=，解得：3a =或1a =-，所以圆C 的标准方程为：22(3)(5)4x y -+-=或22(1)(3)4x y +++=. （2）解：设直线l 的方程为：()211y x -=+，即30x y -+=， 由题，只需圆心C 到直线l 的距离小于1即可，所以1d =<，所以4a -44a <所以a 的取值范围为(4.19．某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，125E ζ=，②240 【解析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为123205p ==，332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计 155202220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3.其中24353(2)5C P C ξ===， 34352(3)5C P C ξ===ξ的分布列为： ξ2 3 P3525所以321223555E ξ=⨯+⨯=. ②332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【点睛】考查完成22⨯列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题. 20．安排5个大学生到,,A B C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的． （1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．【答案】（1）;（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）5个大学生去三所学校支教，共有种方法，若恰有2人去A 校支教，那就从5人中先选2人，去A 大学，然后剩下的3人去B 和C 大学支教，有种方法，最后根据古典概型求概率；（2）根据题意，，表示5人都去了同一所大学支教，表示5人去了其中2所大学支教，那可以将5人分组，分为4和1，或是3和2，然后再分配到2所大学，计算概率，表示5人去了3所大学支教，那分组为113，或是122型，再将三组分配到三所大学，计算概率，最后列分布列.试题解析：（1）5个大学生到三所学校支教的所有可能为53243=种，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ，则有352280C ⋅=种，∴80()243P M =． 答：5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率80243． （2）由题得：1,2,3ξ=，15ξ=⇒人去同一所学校，有133C =种，∴ 31(1)24381P ξ===， 25ξ=⇒人去两所学校，即分为4,1或3,2有24323552()90C C C A ⋅+⋅=种，∴ 903010(2)2438127P ξ====， 35ξ=⇒人去三所学校，即分为3,1,1或2，2,1有312235253311()1502!2!C C C C A ⋅⋅⋅⋅+⋅= 种，∴15050(3)24381P ξ===． ∴ 的分布列为【解析】1.排列组合；2.离散型随机变量的分布列.21．已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于,A B 两点．(1)若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；(2)若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C 使得||||AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】(1)3 (2)32(3):1l x =、:0l y =或3:1l x y =+【分析】（1）根据直线垂直x 轴，可得,A B 坐标，进而可求线段长度.（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解.【详解】（1）因为(1,0)F ，令1x =，得21143y +=，所以32y =±，所以||3AB = （2）设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设210,0y y ><，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=， 2144(1)m ∆=+，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ()2221122221212169434434m y y y y y m m m y --⎛⎫- ⎪++-+-==+⎝⎭2211112122AOBm SOF y y +=⋅-=21m t +=，则1t ≥，2661313AOB t S t t t==++△，记1()3h t t t =+，可得1()3h t t t=+在[)1,+∞上单调递增所以211322AOBSOF y y =⋅-≤当且仅当0m =时取到， 即AOB 面积的最大值为32；（3）①当直线l 不与x 轴重合时，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为M ．由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 因为ABC 的重心G 在y 轴上，所以120C x x x ++=， 所以121228()234C x x x m y y m -=--=-+-=+，又()12122242234M m y y x x x m +++===+，1223234M y y my m +-==+， 因为||||AC BC =，所以CM AB ⊥ ,故直线:()M M CM y y m x x -=--，所以29()34C M C M m y y m x x m =--=+，从而2289,3434m C m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 代入22143x y +=得22(31)0m m -=，所以0,m =:1l x =或:1l x y =+．② 当直线l 与x 轴重合时，点C 位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时:0l y =． 综上，:1l x =，:0l y =或:1l x y =+． 22．已知双曲线2222:100x y C a b a b-=>>（，），1F 、2F 分别是它的左、右焦点，(1,0)A -是其左顶点，且双曲线的离心率为2e =．设过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P Q 、两点，其中点P 位于第一象限内． (1)求双曲线的方程；(2)若直线AP AQ 、分别与直线12x =交于M N 、两点，证明22MF NF ⋅为定值； (3)是否存在常数λ，使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2213y x -= (2)证明见解析 (3)存在，2【分析】（1）根据题意可得1a =，2ce a==，即可求解,b c 的值，进而得到双曲线方程； （2）设直线l 的方程及点,P Q 的坐标，直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，得到1212,y y y y +的值，进而得到点,M N 的坐标，计算22MF NF ⋅的值即可；（3）在直线斜率不存在的特殊情况下易得2λ=，再证明222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，将角度问题转化为斜率问题，即222tan 21PAPAk PAF k ∠=-，22tan PF AF P k ∠=-，即可求解=2λ. 【详解】（1）解：由题可知：1a = ∵2ce a==，∴c ＝2 ∵222+=a b c ，∴b = ∴双曲线C 的方程为：2213y x -=（2）证明：设直线l 的方程为：2x ty =+，另设：()11,P x y ，()22,Q x y ，∴()2222131129032y x t y ty x ty ⎧⎪⎨⎪-=⇒-++==+⎩， ∴121222129,3131t y y y y t t -+==--，又直线AP 的方程为()1111y y x x =++，代入()11311,2221y x M x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, 同理，直线AQ 的方程为()2211y y x x =++，代入()22311,2221y x N x ⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭, ∴()()1222123333,,,221221y y MF NF x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴()()()()()12121222212121212999999441144334439y y y y y y MF NF x x ty ty t y y t y y ⋅=+=+=+++++⎡⎤+++⎣⎦2222999993109124444393131t t t t t t ⨯-=+=-=-⎛⎫⨯+⨯+ ⎪--⎝⎭,故22MF NF ⋅为定值.（3）解：当直线l 的方程为2x =时，解得(2,3)P ， 易知此时2AF P △为等腰直角三角形，其中22,24AF P PAF ππ∠=∠=，即222AF P PAF ∠=∠，也即：=2λ，下证：222AF P PAF ∠=∠对直线l 存在斜率的情形也成立，121112222212112122tan 212(1)tan 21tan 1(1)1()1PAPAy PAF k x y x PAF y PAF k x y x ⨯∠++∠====-∠-+--+，∵()222211111313y x y x -=⇒=-，∴()()()()()()11111222121112121tan 22122131y x y x y PAF x x x x x ++∠===--+--+--，∴21221tan tan 22PF y AF P k PAF x ∠=-=-=∠-， ∴结合正切函数在0,,22πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的图像可知，222AF P PAF ∠=∠，。

辽宁省沈阳二中高三数学上学期12月月考试卷理高三（17届） 数学理科试题命题：高三数学备课组说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分2、客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷（60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ） A.{}0,3 B.{}2,0,3 C.{}1,0,3 D.{}2,1,0,3 2．若奇函数f （x ）的定义域为R ，则有（ ）A ．f （x ）＞f （-x ） C ．f （x ）≤f （-x ） C ．f （x ）·f （-x ）≤0 D ．f （x ）·f （-x ）＞0 3．若a,b 是异面直线，且a ∥平面 ，那么b 与平面的位置关系是（ ） A ．b ∥B ．b 与相交C ．b ⊂D ．以上三种情况都有可能 4.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）（A ）sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （B ）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5.已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n6．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（ ） A ．B ．C ．D ．7．设变量x ，y 满足约束条件，则z=﹣2x+y 的最小值为（ ）A ． ﹣7B ． ﹣6C ． ﹣1D ． 28．下列函数中在上为减函数的是（ ）A ．y=﹣tanxB ．C ．y=sin2x+cos2xD ．y=2cos 2x ﹣19.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）810.已知三个互不重合的平面γβα、、，且c b a ===γβγαβα ,,，给出下列命题：①若c a b a ⊥⊥,，则c b ⊥；②若P b a = ，则P c a = ；③若c a b a ⊥⊥,，则γα⊥；④若b a //，则c a //．其中正确命题个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知点P 为函数f （x ）=lnx 的图象上任意一点，点Q 为圆[x ﹣（e+）]2+y 2=1任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．e+﹣112．已知f （x ）=x （1+lnx ），若k ∈Z ，且k （x ﹣2）＜f （x ）对任意x ＞2恒成立，则k 的最大值为（ ）A ． 3 B. 4 C ． 5 D ． 6 第Ⅱ卷（90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分， 共20分）_____)1()10()0(2)0)(1(log )(.13123=-+⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=+f f x x x x f x ，则14.,0,5a b a b >+=若1++3________a b +，则最大值为15．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为，此时四面体ABCD 外接球表面积为______． 16 ．过双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为原点，若，则双曲线的离心率为 ．三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分） 已知函数)0(2sin 2)sin(3)(2>+-=ωωωm xx x f 的最小正周期为π3，当[0,]x π∈时，函数()f x 的最小值为0. （Ⅰ）求函数)(x f 的表达式；（Ⅱ）在△ABC ，若A C A B B C f sin ),cos(cos sin 2,1)(2求且-+==的值 18. （本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1) 证明:2145a a =+;(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<. 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD=2a ，2AD a =点E 是SD 上的点，且(02)DE a λλ=<≤（Ⅰ）求证：对任意的(0,2]λ∈，都有AC BE ⊥ （Ⅱ）设二面角C —AE —D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ，若tan tan 1θϕ=，求λ的值.20. （本小题满分12分）已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点P 是准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于,A B 两点，若点P 的纵坐标为(0)m m ≠，点D 为准线l 与x 轴的交点．（1）求直线PF 的方程；（2）求DAB ∆的面积S 范围；D PFA Oyx（3）设AF FB λ=，AP PB μ=，求证λμ+为定值 21. （本小题满分12分） 设函数()1xf x e -=-.(Ⅰ)证明:当x ＞-1时,()1x f x x ≥+; (Ⅱ)设当0x ≥时,()1xf x ax ≤+,求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

沈阳二中2015—2016学年度上学期12月月考高二（17届）数学试题（理科）命题人：高二数学组 审校人：高二数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，，则 （ ）A ．B ．C ．D ．2. 复数,则 （ ） A ．25 B ． C ．5D ．3. 已知，，则的大小关系是A ．B ．C ．D ． （ ）4. 已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，则l ∥m 是l ∥α的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知A 、B 、C 是圆O ： x 2＋y 2＝r 2上三点，且，则等于（ ）A ．0 B.12 C.32 D ．－326. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为 （ ）A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1}7. 函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．58.已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m 等于 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．89. 存在两条直线x ＝±m 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于A 、B 、C 、D 四点，若四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为 （ ）A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)10.已知数列{a n }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．a n ＝2n －1B ． a n ＝2nC．a n＝2n＋1 D．a n＝2n－311.若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F和M(4,4)且与l相切的圆共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12.已知双曲线，过其右焦点的直线交双曲线于两点，的垂直平分线交轴于点，则的值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．14.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋at＝7at，(a、t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、t的值，a＋t＝________.15.已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cos x，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________．16.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）若函数的图象与直线（m>0）相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列。