龙驭球《结构力学Ⅰ》(第三版)辅导系列-第14章 结构矩阵分析续论【圣才出品】

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图 14-2
选定的基本内力参数组成的向量为：
②如果单元满足平衡条件，则单元杆端力量 应是图 14-3 中的 3 个基本的“平衡杆 端力量所组成”
即 （14-1）
式（14-1）称为方案Ⅰ的单元平衡矩阵方程， 称为方案Ⅰ的单元平衡矩阵。
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（1）方案Ⅰ 单元变形向量 ΛeⅠ和单元几何矩阵 。
①单元变形向量 ΛeⅠ的定义
②其有 3 个分量，可写成
（14-2）
其中 3 个变形分量（图 14-6）分别为
图 14-6 ③ΛeⅠ中的 3 个变形分量 λ、β1、β2 是 3 个广义位移，与 中的 3 个广义力 FN1、M1、M2 保持共轭关系
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第 14 章 结构矩阵分析续论
14.1 复习笔记
一、概述 1．结构矩阵分析中的“三基矩阵方程” （1）“内力-荷载”之间的平衡矩阵方程（及其平衡矩阵 H）； （2）“变形-位移”之间的几何矩阵方程（及其几何矩阵 G）； （3）“内力-变形”之间的本构矩阵方程（及其本构矩阵 A）。 2．平衡矩阵 H 与几何矩阵 G 之间的互伴定理 定理揭示了“平衡”与“几何”两个不同领域之间深藏的互伴关系，并用精密简洁的 形式来表述。 3．刚度矩阵的算式 对矩阵位移法作些补充：推导出刚度矩阵的三个新算式，其中一个是
图 14-4
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其中， 是第Ⅱ方案的单元平衡矩阵：
三、单元几何矩阵及其两种方案（局部坐标系） 1．几何分析 （1）单元两端共有 6 个杆端位移分量（图 14-5），组成单元杆端位移向量
图 14-5
单元杆端力向量 与单元杆端位移向量 相伴而作功，称为外力功 W
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图 14-3
（2）方案Ⅱ—单元内力向量 和单元平衡矩阵 （局部坐标系） ①把轴力 FN1、剪力 FN1 和弯矩 M1 选为 3 个基本内力参数，如图 14-4 所示。因此， 方案Ⅱ的基本内力参数向量为
方案Ⅱ的单元平衡矩阵方程为
“离散一集成”套路。
2．荷载类型
（1）直接作用在结点上的，称为结点荷载；
（2）直接作用在杆件上的，称为非结点荷载。
本章中主要只讨论结点荷载问题。
3．平衡分析
单元 e wk.baidu.com平衡分析，采用局部坐标系
（图 14-1）。
图 14-1 单元处于平衡状态时，力系应满足 3 个平衡条件，因此
基于基本内力参数 X1、X2、X3 的选取方式多样，下面选取两种常用方案进行讨论。 （1）方案Ⅰ—单元内力向量 和单元平衡矩阵 （局部坐标系） ①把轴力 FN1 和弯矩 M1、弯矩 M2 选为 3 个基本内力参数，如图 14-2 所示。
故上式（14-2）还可以写成 3）
其中，
（14-
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式（14-3）称为方案Ⅰ的单元几何矩阵方程， 称为方案Ⅰ的单元几何矩阵。
（2）方案Ⅱ 单元变形向量 和单元几何矩阵 。
单元变形向量 为
其中，
（14-4）
式（14-4）称为方案Ⅱ的单元几何矩阵方程。 称为方案Ⅱ的单元几何矩阵。
四、“平衡-几何”互伴定理
以上两节分别对结构的杆件单元进行了平衡分析和几何分析，分别导出了单元平衡矩
阵 和单元几何矩阵 的两种方案。现将两者综合比较，得出以下几点结论。
1．矩阵 和矩阵 各有多种表示方案
单元平衡矩阵 和单元几何矩阵 的表示形式不是唯一的，有多种方案可供选择。
2．矩阵 与矩阵 之间存在两类不同关系（互伴与非互伴关系）
④内力 FeE 和变形 Λe 之间为共轭关系，其所作内力功 W 为
则下列互伴关系成立：
（2）图式表示
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由图上式看出，在满足前提条件式（a）、式（b）、式（c）的情况下，关键是看“内
力-变形”共轭关系式（d）是否成立。如式（d）成立，则互伴关系（e）必成立。
（2）单元杆端位移向量 有 6 个位移分量，其中有 3 个刚体位移分量，还有 3 个非 刚体位移分量，称为变形分量，平衡力系在 3 个刚体位移分量上不作功，而只与单元变形 向量 Λe 相伴作功，称为内力功 Wi，设内力 FeE 与变形 Λe 之间为共轭关系，则下式成立
2．方案选取 变形向量 Λe 有多种选取方案，下面对方案Ⅰ和方案Ⅱ分别讨论。
3．“平衡-几何”互伴定理的表述
如果所选取的内力 FeE 和变形 Λe 之间为共轭关系，则平衡矩阵 和几何矩阵 必互
为转置矩阵：
4．将“平衡-几何”互伴定理用算式与图式重述 （1）满足下列前提条件的情况 ①杆端力 与内力 之间的平衡条件
②杆端位移 与变形 Λe 之间的几何条件
③杆端力 与杆端位移 之间为共轭关系，其所作外力功 W 为
K=HAG 4．补充内容 （1）矩阵内力法； （2）矩阵冗力法。
二、单元平衡矩阵及其两种方案（局部坐标系） 1．“离散一集成”套路
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计算结构力学、程序结构力学、结构矩阵分析在作法上有一个共同特点—先将结构离
散成单元，再将单元集成为结构，问题在“先散后集”中得到解决，这种作法不妨称为
（1）互伴关系
如果
互为转置矩阵，则称两者之间存在互伴关系。
与 之间存在互伴关系：
也存在互伴关系：
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（2）非互伴关系
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如果 与 不是互为转置矩阵，则称 与 之间不存在互伴关系。
之间不存在互伴关系，
之间也不存在互伴关系。
5．“平衡-几何”互伴定理与虚功原理 （1）虚功原理的表述 在满足下列前提条件的情况下： ①杆端力 与内力 FeE 之间的平衡条件式（a）； ②杆端位移 与变形 Λe 之间的几何条件式（b）； ③杆端力 与杆端位移 之间的共轭关系式（c）。 如果内力 和变形 Λe 之间满足共轭关系式（d），则下列虚功方程成立：