第二章析取范式与合取范式

1析取范式与合取范式这是命题公式的两种特殊的简明形式。

一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。

我们将学习这种转化方法及其应用。

1. 析取范式定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。

由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。

由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。

例1.2 求下列公式的析取范式。

(1) ()(2) () ()p q pp q p q →∧⌝∨∧⌝∧方法小结：（1） 将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。

（2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。

（3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。

（4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾律、零律）练习1.3定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。

2. 合取范式定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。

由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。

例2.2 求下列公式的合取范式。

(1) ()(2) () ()p q pp q p q ⌝→∨∧∨⌝∨方法小结：（1）将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。

（2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。

（3）用分配律将合取联结词移到括号之外。

（4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律）练习2.3定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。

3.极小项为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。

符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。

在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。

我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。

析取范式与合取范式析取范式与合取范式合同协议书合同基本信息合同名称：析取范式与合取范式合同协议书合同编号：____________________________签署日期：____________________________合同生效日期：____________________________合同标的：析取范式与合取范式应用及其相关服务合同方信息合同方甲（服务提供方）：名称：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________合同方乙（服务接受方）：姓名：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________服务内容服务项目1：析取范式的理论讲解与应用服务项目2：合取范式的理论讲解与应用服务项目3：相关案例分析与实际应用服务项目4：提供相关资料及文献支持服务标准服务标准1：服务内容应涵盖析取范式与合取范式的基本概念、计算方法及应用实例。

服务标准2：提供的材料应为最新的研究成果及学术资料，确保准确性与前瞻性。

服务标准3：服务应包括理论讲解、问题解答及案例分析，确保服务效果。

服务时间与地点服务开始日期：____________________________服务结束日期：____________________________服务地点：____________________________服务时间安排：____________________________费用及支付方式服务费用总额：____________________________费用明细：明细1：____________________________明细2：____________________________支付方式：____________________________支付时间安排：____________________________第一次支付：____________________________第二次支付：____________________________双方责任合同方甲（服务提供方）负责按合同约定提供服务，确保服务质量，并在规定时间内完成服务内容。

等值演算是一种逻辑代数的方法，可用于简化布尔代数的表达式。

在逻辑电路设计和计算机科学领域，利用等值演算可以帮助我们求解复杂的布尔函数的主析取范式和主合取范式。

在布尔代数中，一个布尔函数可以表示为一系列输入变量和输出变量的逻辑关系式。

通过布尔代数的运算规则，我们可以对这些逻辑关系式进行等值变换，将其简化为更加简洁的形式。

其中，最重要的简化形式包括主析取范式和主合取范式。

主析取范式是指一个布尔函数的各项按照与或关系相连的形式，其中每一项都是不可简化的极小项。

主析取范式的求解可以帮助我们理解布尔函数的逻辑结构，并为电路的设计提供参考。

主合取范式则是指一个布尔函数的各项按照或与关系相连的形式，其中每一项都是不可简化的极大项。

主合取范式的求解同样可以帮助我们理解布尔函数的逻辑结构，并为电路的设计提供参考。

接下来，我们将通过等值演算的方法，来求解一个布尔函数的主析取范式和主合取范式。

1. 我们需要将布尔函数转换为真值表的形式。

真值表可以清晰地展现出布尔函数在各个输入变量组合下的输出取值情况。

通过真值表的分析，我们可以对布尔函数进行等值变换和化简。

2. 我们利用等值演算的定理和法则，对布尔函数进行等值变换。

其中，包括重要的等值演算定理，如恒等律、吸收律、对偶律等。

通过运用这些定理和法则，我们可以将布尔函数逐步化简为主析取范式和主合取范式的形式。

3. 我们将化简后的布尔函数表示为主析取范式和主合取范式的形式。

主析取范式和主合取范式的求解过程中，需要格外注意每一步等值变换的正确性和合理性，以确保最终得到的主析取范式和主合取范式是布尔函数的最简形式。

通过以上等值演算的步骤和方法，我们可以成功地求解出一个复杂布尔函数的主析取范式和主合取范式。

这些简化后的形式将极大地方便我们对布尔函数的理解和分析，为逻辑电路的设计和优化提供重要的参考依据。

等值演算作为一种重要的逻辑代数方法，在计算机科学和信息技术领域也有着广泛的应用和意义。

第四节 主析取范式与主合取范式n 个命题变项虽然可以构成无穷多个形式各异的命题公式，但就其真值而言，只有22n种。

对应每种真值情况虽然又有无穷多个等值的公式，但这些公式却有相同的标准形式。

本节将给出规范公式的概念，这种规范的公式能表达真值表所能给出的一切信息。

定义4.1 命题变项及其否定统称为文字。

如p ，q ，¬p ，¬q ，L 都是文字，即每个命题变项产生两个文字。

（1）仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。

（2）仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。

例如，p ∧q ，p ∧¬q ∧r ，L 都是简单合取式。

p ∨q ， ¬p ∨q ∨r ，L 都是简单析取式。

单个文字既是简单析取式，又是简单合取式。

定义4.2 （1）仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式； （2）仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取式。

例如，p ，¬q ，p ∧q ，（p ∧¬q ）∨（p ∧q ），L 都是析取范式。

p ，¬r ，p ∨q ，（p ∨q ）∧（q ∨¬r ），L 都是合取范式。

注意，两个文字构成的简单合取式与析取式都既是析取范式又是合取范式。

例如，p ∨q 是析取范式，它是由两个简单的合取式p 与q 析取而成。

同时它也是合取范式，看成是一个简单析取式构成的合取范式。

定义 4.3 （1）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单合取式中，若每个i p （1,2,,i n =L ）都以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极小项。

（2）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单析取式中，若每个ip （1,2,,i n =L ）以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极大项。

两个命题变项p ，q 共可形成4个极小项：¬p ∧¬q ，¬p ∧q ，p ∧¬q ，p ∧q 。

实验二实验题目：生成主析取范式和主合取范式实验目的：1.熟悉地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算；通过实验提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力；使学生具备程序设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析。

2.掌握命题逻辑中的联接词、真值表、主范式等，进一步能用它们来解决实际问题。

实验内容：利用计算机构造真值表来建立主析取范式和主合取范式实验原理：1.合取：二元命题联结词。

将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P ∧Q。

这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P 为真, Q为真时方可P∧Q为真, 而P、Q只要有一为假则P∧Q 为假。

2.析取：二元命题联结词。

将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P ∨Q。

这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P为假, Q为假时方可P∨Q为假, 而P、Q只要有一为真则P∨Q为真。

3.真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。

列出命题公式真假值的表。

通常以1表示真，0 表示假。

命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定，命题联结词的真值表给出了真假值的算法。

真值表是在逻辑中使用的一类数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效。

4.主析取范式：在含有n个命题变元的简单合取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单合取式为小项。

由若干个不同的小项组成的析取式称为主析取范式;与A等价的主析取范式称为A的主析取范式。

任意含n个命题变元的非永假命题公式A都存在与其等价的主析取范式,并且是惟一的。

5.主合取范式：在含有n个命题变元的简单析取式中,若每个命题变元与其否定不同时存在,而两者之一出现一次且仅出现一次,称该简单析取式为大项。

由若干个不同的大项组成的合取式称为主合取范式;与A等价的主合取范式称为A 的主合取范式。

任意含n个命题变元的非永真命题公式A都存在与其等价的主合取范式,并且是惟一的。

合取范式与析取范式
我们知道在离散数学中，有主合取范式与主析取范式的概念。

本文分享什么是主合取范式与主析取范式，以及如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。

首先，我们需要了解一下数学概念。

简而言之，
主合取范式，就是若干个极大项的合取（交集）。

如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
主析取范式，就是若干个极小项的析取（并集）。

如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
而所谓的极大项，就是包含全部数目的命题变元的析取表达式
比如：
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
所谓的极小项，就是涵盖全部数目的命题变元的谓词表达式
例如：
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面言归正传，我们看如何按步骤求解命题公式的主合取范式与主析取范式。

常用的方法存有两种，等值演算法和真值表法
等值演算法，就是按照步骤推导公式，最终得到主合取范式或者主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面，我们来举个例子，求出命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
最后，我们看看如何采用真值表方法，谋命题公式的主合取范式与主析取范式。

如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
我们来看这样一个具体内容例子。

根据真值表，我们取值为0的指派，得到最大项从而写下最小项的谓词，获得主合取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。

求命题公式非(p→q)v非r的主析取范式与
合析取范式
析取范式与合取范式是逻辑学中非常重要的概念，它们用于表达
人类逻辑思维的架构。

析取范式简称为P，合取范式则称为Q。

其中，
析取范式是一种简单的逻辑关系，通常采取“否定前提即断言”的原则，表达“如果P不成立，则Q必成立”的定义。

而合取范式则是一
种复杂的逻辑关系，用于表达“P和Q同时成立，则R必成立”的定义。

非(p→q)v非r是一种析取范式导出的结论，表示“非(p→q)与
非r同时为真”。

这一命题公式可以由一个简单的逻辑演绎推导出来：由已知条件p→q，及q为假，得到p为假，即非p为真；由已知条件
r，及r为假，得到非r为真；根据析取范式的定义，得出非（p→q）
与非r同时为真的结论。

此外，对于非（p→q）v非r的命题公式，也可以采取合取范式
的推导方式来证明，即：如果p→q为真且r为真，则非（p→q）v非
r也必然为真。

由此可以得出，非（p→q）v非r的合取范式也可以用
来表明它与相应的已知条件都具有合乎逻辑的关系。

综上所述，析取范式与合取范式是逻辑学中重要的概念，它们可
以用来推导非（p→q）v非r的命题公式，既可以用析取范式证明，也可以用合取范式证明。

通过认真分析，就可以很好地了解这种混合逻
辑的思路。

因此，深入研究这些基本的逻辑思维模式和构造有利有弊，有其非常重要的意义。

主合取范式和主析取范式求法在我们日常生活中，逻辑就像是一根无形的线，把一切串联在一起。

你知道的，逻辑不仅仅是那些严肃的数学公式，也可以是我们日常交流中潜移默化的存在。

说到逻辑，就不得不提到主合取范式和主析取范式了。

听起来有点复杂，其实说白了就是把逻辑表达得更清晰。

别急，咱们慢慢聊聊。

主合取范式，嗯，这个名字一听就觉得有点拗口。

其实呢，就是把逻辑表达成“与”的形式。

想象一下，你在一场聚会上，大家都在聊着自己的事儿。

这时候，你决定说：“好吧，我们来聊聊谁最喜欢吃披萨、喝啤酒、看电影。

”这个时候，你就把几个条件结合起来了，听起来就像是一道很酷的逻辑公式。

在主合取范式中，你只要把这些条件都用“与”连接起来，比如“我喜欢披萨与我喜欢啤酒与我喜欢看电影”，这就是个典型的主合取范式。

主析取范式又是个啥呢？就像个派对上不同的人选择不同的食物一样，主析取范式强调的是“或”的关系。

比如说你在问大家：“你们想吃披萨还是汉堡，还是炸鸡？”这个时候，大家的选择就成了不同的选项。

每个选项都可以单独成一个句子，比如“我喜欢披萨或我喜欢汉堡或我喜欢炸鸡”。

听起来是不是很简单呢？这就是主析取范式，简单明了，直来直去。

怎么从一个复杂的逻辑表达转化成这两种形式呢？咱们可以把这些条件一个一个拆开，慢慢分析。

你得搞清楚逻辑中的每一个命题，像是在解一个拼图。

然后，把这些命题用“与”或者“或”连接起来。

别担心，这个过程就像在做美食，先把材料准备好，然后根据自己的喜好来搭配。

你可以把条件拿出来，像一个厨师一样，看看哪些可以一起炒，哪些可以单独炖。

假设你有几个命题，比如“天气很好”、“有时间去公园”、“带了零食”。

你想把它们转成主合取范式。

简单，直接把它们用“与”连起来，变成“天气很好与有时间去公园与带了零食”。

嘿，这样就完成了！换成主析取范式，只需把每个命题用“或”连接，就可以得到“天气很好或有时间去公园或带了零食”。

这样一来，逻辑就变得清晰又简单了。

重言式与矛盾式的主析取范式与主合取范式。

1、先看下列简单的问题：命题公式P→（Q→P）的主合取范式为。

解：根据蕴涵词的意义，当P为假时，P→（Q→P）为真；当P为真时，Q→P为真，因而P→（Q→P）为真，所以P→（Q→P）永远为真，即P→（Q→P）是一个重言式。

P→（Q→P）中总共有两个命题变元P和Q，因而对应有个不同的极大项，每个极大项对应着使得P→（Q→P）为假的一种赋值。

现在P→（Q→P）不可能为假，所以P→（Q→P）的主合取范式中不能含有极大项，因而其主合取范式只能是一个不含极大项的空范式。

我们约定：用1表示重言式的主合取范式。

所以命题公式P→（Q→P）的主合取范式为1。

2、一般地，如果一个命题公式G中共有n个命题变元。

每个变元有真和假两种不同的赋值。

因而G总共有2n种不同的赋值。

对应着每一种赋值，都有一个极小项和极大项，极小项在对应的赋值下为真，极大项在对应的赋值下为假。

如果G正好在m种赋值下为真，在另外的种赋值下为假，那么使得G为真的m种赋值所对应的m个极小项的析取就是G的主析取范式，使得G为假的其他种赋值所对应的个极大项的合取就是G的主合取范式。

如果G是重言式，全部2n种赋值都使得G为真，因而所有的2n个极小项的析取是G的主析取范式。

重言式G的主合取范式不含极大项，是空范式，就用1表示。

如果G是矛盾式，全部2n种赋值都使得G为假，因而所有的2n个极大项的合取是G的主合取范式。

矛盾式G的主析取范式不含极小项，是空范式，就用0表示。

3、P→（Q→P）的主析取范式为由P→（Q→P）对应的所有4个极小项的析取得到。

4、重言式和矛盾式的主析取范式和主合取范式，在教材中没有讲清楚，因而在做有关练习和考试题时，同学们感到茫然。

现在，大家应该清楚了。

这里也进一步明确了用真值表方法求主合取范式和主析取范式的依据和步骤。