高中数学-直线、圆与方程压轴题(培优、提高)

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第1２周直线与圆的方程（测试时间：50分钟，总分：80分）班级：＿_＿________＿姓名:___＿＿_____＿_ 座号：＿_＿______＿_＿得分:_＿_____＿____一、选择题(本题共1０小题，每小题5分,共５0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１．已知点()3,4在直线:10l ax y-+=上，则直线l的倾斜角为Ａ．30ﻩﻩﻩﻩﻩﻩＢ．45C．60ﻩﻩﻩﻩD．1202.圆()2211x y++=的圆心到直线1y x=-的距离为A.1ﻩﻩﻩＢ.22C.2ﻩﻩD.2【答案】C【解析】圆心为()1,0-，直线方程为10x y--=,所以()2211211d--==+-,故选Ｃ. 3．已知圆22460x y x y+-+=的圆心坐标为，则A.8 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩB．1６C.12 ﻩﻩﻩD．13【答案】D【解析】由圆的标准方程可知圆心为,即2213a b+=．故选Ｄ。

4．若3π2π2α<<，则直线1cos sin x y αα+=必不经过 A.第一象限 ﻩﻩﻩﻩﻩ Ｂ．第二象限C.第三象限ﻩﻩ D.第四象限【答案】B【解析】令0x =,得sin 0y α=<,令0y =,得cos 0x α=>,直线过()()0,sin cos ,0αα，两点,因而直线不过第二象限.本题选择B 选项。

1．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-= 【答案】D 【解析】试题分析：直线210x y -+=和直线1x =的交点为()1,1，直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程的斜率为12k =-，故所求直线方程为()1112y x -=--，化简可得230x y +-=，故选D ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程 2．已知点A （2，3），B （－3，－2），若直线l 过点P （1，1）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．324k k ≥≤或 B ．324k ≤≤ C ．34k ≥D ．2k ≤ 【答案】A 【解析】试题分析：用数形结合，建立坐标系直线PA 的斜率31221-=-k=，直线PB 的斜率213314--'=--k =，结合图象可得直线l 的斜率取值范围是324k k ≥≤或；考点：1．数形结合思想；2．直线的斜率公式；3．过点()2,3P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A ．230x y -= B ．50x y +-=C ．320x y -=或50x y +-=D ．230x y -=或50x y +-=【答案】C 【解析】试题分析：当截距都为0时，过点()0,0时直线为320x y -=，当截距不为零时，设直线为1x ya a+=，代入点()2,3P 得550a x y =∴+-= 考点：直线方程4．直线l 经过点(2,),(3,A y B ，且倾斜角范围是2[,]33ππ，则y 的范围是（ ）A 、[-B 、(,0])-∞⋃+∞C 、(,[0,)-∞-⋃+∞D 、 【答案】C 【解析】 试题分析：)2[,]tan 33k πθπθ∈∴=∈+∞(,-∞([),0,k y =∈-∞-+∞ 考点：直线倾斜角与斜率的关系5．对于直线x sin α+y+1=0，其斜率的取值范围是（ ）A ．-,-1][1,+)∞⋃∞（ B ．[1,1]- C ．[-,]44ππD ．[-,]22ππ【答案】B【解析】试题分析：直线的斜率为αsin -=k ，因此斜率的取值范围是[-1，1]，答案选B ． 考点：直线的一般方程与斜率6．若直线ax+2y+6=0与直线x+a(a+1)y+a 2－1=0垂直，则实数a 的值为（ ） A ．－32 B ．0 C ．1 D ．0或－32【答案】D ． 【解析】试题分析：根据一般式直线方程中，两直线垂直的等价条件，则有2(1)0a a a ++=，即2230a a +=，解得a=0或a=－32，故选D ．考点：直线的一般式方程中，两直线垂直的等价参数关系．7．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是（ ） A ．58 B ．2 C ．511 D ．57 【答案】B 【解析】试题分析：根据两直线平行，可以断定8m =，所以直线方程可化为3410x y ++=，由公式可得两直线之间的距离1925d +==，故选B ． 考点：平行线间的距离公式．8．直线30x y -+=被圆()()22222x y ++-=截得的弦长等于（ ）A ．2． 【答案】D 【解析】试题分析：圆心为()2,2-，半径r =圆心到直线的距离为d ==，所以弦长l 满足2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：直线与圆相交问题9．圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值A ．4B 1C ．6-【答案】A 【解析】试题分析：作2C 关于x 轴的对称点)4,3(-A ，连接1AC 得1AC 所在直线方程0177=-+y x ，与x 轴的交点为)0,717(P ，此时21PC PC +最小，连接1PC 、2PC 分别交圆于N M 、，则PNPM +最小，PN PM +==--+3121PC PC 425-考点：1.圆与最值问题；10．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+D ．221+【答案】B 【解析】试题分析：先将圆012222=+--+y x y x 配方得1)1()1(22=-+-y x ，知此圆的圆心坐标为),1,1( 半径r=1,再求出圆心到已知直线的距离：12)1(121122>=-+--=d ，画出草图可知：所求最大值应为1+2，故选B ．考点：直线与圆的位置关系．11．设抛物线28y x =的焦点为F ,准线为l ，P 为抛物线上一点，且,PA l A ⊥为垂足，如果直线AF 的斜率为1-，则PF 等于（ ）A ．2B ．4C ． 8D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：∵抛物线方程为28y x =，∴焦点20F （，），准线方l 程为2x =-，∵直线AF 的斜率为1-，直线AF 的方程为2y x =--（），当2x =-时，4y =，由可得A 点坐标为()2,4A -,PA l A ⊥ 为垂足，∴P 点纵坐标为4，代入抛物线方程，得点P 坐标为()2,4P ， 224PF PA ∴==--=（）． 考点：抛物线的定义12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 、5B 、2C 、332 D 、3 【答案】B 【解析】试题分析：()02，F ，4=p ，所以422=+b a ，根据抛物线的焦半径公式，522=+=+=x px PF ，解得3=x ，代入抛物线有242=y ，因为点P 是交点，所以代入双曲线，有124922=-b a ，解得：3,122==b a ，所以离心率2==a c e ．考点：1．抛物线的几何性质；2．双曲线的方程；3．抛物线的方程．13．已知点()0,2A ，抛物线C:2(0)y ax a =>（0a >）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M，与其准线相交:KM MN =于点N ，若则a 的值等于（ ） A ．41 B ．21C ．1D ．4【答案】D 【解析】 试题分析：(,0),:1:54a F M F M K M M N =∴ ，42421:2:=∴=∴=a a KM KN ． 考点：抛物线的性质．14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．xy 22±= B ．x y 2±= C ．x y 2±= D ．x y 21±= 【答案】A【解析】试题分析：根据题意，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程，则a b ====则所求双曲线的渐近线方程为xy 22±=，所以答案为A ．考点：1．双曲线的标准方程；2，双曲线的渐近线方程．15．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ） A ．（1，1） B ．（41,21） C ．)49,23( D ．（2，4）【答案】A 【解析】试题分析：设抛物线上的点为()200,x x点到直线的距离为d =，当01x =时取得最小值，所以点的坐标为（1，1）考点：1．点到直线的距离；2．函数求最值16．已知抛物线的方程为x y 42=，过其焦点F 的直线l 与抛物线交于B A ,两点，若BOF AOF S S ∆∆=（O 为坐标原点），则=AB （ ） A ．316 B ．38 C ．34D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：设B A ,的纵坐标为21,y y ，则由BOF AOF S S ∆∆=，得212121y OF y OF =，即021=+y y ；即x AB ⊥轴，即()1,1y A ，则21=y ，所以4=AB ． 考点：直线与抛物线的位置关系．17．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1、F 2F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A【解析】试题分析：由椭圆的定义可知三角形的周长为344)(221111==+++=++a BF AF BF AF AB BF AF ，解得3=a ，又离心率33=a c ，所以1=c ，由222c b a +=得2=b ，所以椭圆的方程为12322=+y x ，答案选A ．考点：椭圆的方程与几何性质18．已知F 是抛物线24y x =的焦点，A B ， 是抛物线上的两点，12AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 11 【答案】B 【解析】试题分析：∵212A B AF BF x x +=++=，∴10A B x x +=，∴52A Bx x +=，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5，故选B. 考点：直线与抛物线的位置关系.19．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ． 【答案】4【解析】试题分析：设11ce a =，22ce a =，则221222212313a a e e c ++=，又2221212122cos3PF PF PF PF F F π+-=，所以22121212()3PF PF PF PF F F +-=，22121212()PF PF PF PF F F -+=，即22112434a PF PF c -=，2221244a PF PF c +=，因此222222121241216,34,a a c a a c +=+=2212134.e e +=考点：椭圆及双曲线定义20．将一个半径为2的半圆面围成一个圆锥，所得圆锥的轴截面面积等于 ．【解析】试题分析：半径为2的半圆面的半周长是π2，那么围成圆锥的半径为r ，ππ22=r ，1=r ，所以轴截面是以2为边长的等边三角形，面积是3432==a S ． 考点：圆锥的基本计算21．椭圆221259x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 中点，则||ON = ．【答案】4 【解析】试题分析：根据椭圆的定义：1021=+MF MF ,所以82=MF ,N 是1MF 中点，O 是21F F 的中点，所以4212==MF ON ． 考点：1．椭圆的定义；2．椭圆的几何意义．22．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(1,8)A -，P 为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是______________ 【答案】9 【解析】试题分析：根据题意，过P 作抛物线的准线的垂线垂足为P ' ，根据抛物线的定义PF PP '=,所以PA PF PA PP '+=+的最小值即为抛物线上一个动点P 到一个定点()1,8A -的距离与到定直线1y =-的距离之和的最小值，显然，最小值即为点A 到直线1y =-的距离为()819--=．考点：1．抛物线的定义；2．距离的最小值．23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，点M 为线段AB 的靠近点B 的三等分点，∠MOA=45°，则椭圆的离心率为 .【解析】试题分析：A （a,0）,B （0,b ）,M 的靠近点B 的三等分点，所以M （2,33a b ），又因为∠MOA=45°，所以2233a b a b =∴=，222222223344a c a b e e a a a -====∴=考点：本题考查椭圆的离心率点评：通过M 是三等分点，相似三角形求得M 点坐标，再利用∠MOA=45°，可得M 的横纵坐标相等，找到a,b 的关系24．设抛物线22y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值为_____________. 【答案】4.5 【解析】试题分析：根据题意抛物线的焦点坐标为：()1,0F ，过焦点的直线与抛物线22y x =交于两点，直线斜率一定存在，设过焦点()1,0F 与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 的直线方程为：()1y k x =-带入22y x =中，化简为：()22221204k x k x k -++=，根据韦达定理得：1214x x =，根据抛物线的定义知：4AF BF +121211555944222222x x x x ⎛⎫=+++=++≥== ⎪⎝⎭（当且仅当“1241x x ==”时取“=”），所以4AF BF +的最小值为4.5. 考点：1.抛物线的定义；2.基本不等式求最值.25．已知P 是双曲线1366422=-y x 上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________． 【答案】33 【解析】试题分析：根据双曲线定义知;1216PF PF -==,所以2116161733PF PF =+=+=或21PF =（舍去），故答案为33. 考点：1.双曲线定义；2.计算.26．在平面直角坐标系中，已知两点(3,0)A -及(3,0)B ，动点Q 到点A 的距离为10，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ． （Ⅰ）求||||PA PB +的值；（Ⅱ）求点P 的轨迹方程【答案】（Ⅰ）10；（Ⅱ）2212516x y += 【解析】试题分析：（Ⅰ）由线段的垂直平分线的性质及抛物线的定义易得||||PA PB +=||PA +||PQ =||AQ =10（Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆的定义可知点P 的轨迹是中心在原点，以,A B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，则椭圆方程可求试题解析：（Ⅰ）因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，∴||PB =||PQ ， ∴||||PA PB +=||PA +||PQ =||AQ =10；（Ⅱ）由（Ⅰ）知||||PA PB +=10（常数），又||||PA PB +=10＞6=||AB ，∴点P 的轨迹是中心在原点，以,A B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中210,26a c ==，所以椭圆的轨迹方程为2212516x y +=． 考点：椭圆、抛物线的定义。

高考数学培优专题08 直线与圆的方程一、单选题1. ( 2分) （2020·新课标Ⅰ·文）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. ( 2分) （2020高三上·石家庄月考）已知过点的直线l与圆交于、两点，则的最小值为（）A. B. 2 C. D. 43. ( 2分) （2020·新课标Ⅱ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B. C. D.4. ( 2分) （2020·新课标Ⅰ·理）已知⊙M：，直线：，P为l 上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（）A. B. C. D.5. ( 2分) （2020·吉林模拟）已知圆，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（）A. 或B.C. 或D.6. ( 2分) （2020·长春模拟）已知圆E的圆心在y轴上，且与圆的公共弦所在直线的方程为，则圆E的方程为（）A. B. C. D.7. ( 2分) （2020高三上·南昌月考）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，且，则动点的轨迹长度为（）A. B. C. D.8. ( 2分) （2020·榆林模拟）已知平面平面，且是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（）A. B. 16 C. D.二、多选题9. ( 3分) （2020高二上·郓城月考）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（）A. 始终过定点B. 若，则或-3C. 若，则或2D. 当时，始终不过第三象限10. ( 3分) （2020·德州模拟）直线与圆C：相交于A、B两点,则AB 长度可能为（）A. 6B. 8C. 12D. 1611. ( 3分) （2020高二上·重庆期中）已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（）A. 两圆有两条公切线B. 直线的方程为C. 线段的长为D. 圆上点，圆上点，的最大值为12. ( 3分) （2020高二上·重庆月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（）A. 的方程为B. 在上存在点，使得到点的距离为3C. 在上存在点，使得D. 在上存在点，使得三、填空题13. ( 1分) （2020高三上·如东月考）过点且与直线平行的直线l被圆所截得的弦长为________．14. ( 1分) （2020高三上·宁波期中）已知圆：，线段在直线上运动，点是线段上任意一点，若圆上存在两点，，使得，则线段长度的最大值是________．15. ( 1分) （2020·丹阳模拟）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（﹣1，0），B （1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：（1）；（2）；（3）∥，则△ABC的顶点C的轨迹方程为________．16. ( 1分) （2020·邵阳模拟）已知为坐标原点，圆：，圆：．分别为圆和圆上的动点，则的最大值为________．四、解答题17. ( 5分) （2018·临川模拟）已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为(Ⅰ) 求圆的方程；(Ⅱ) 设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；18. ( 10分) （2019高三上·西城月考）已知点，点是圆上任意两个不同点，且满足，点是弦的中点.（1）求点的轨迹方程;（2）已知直线，若被所截得的线段长之比为，求的值19. ( 10分) （2020·东莞模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆心，点E在直线上，点P满足，，点P的轨迹为曲线M．（1）求曲线M的方程．（2）过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若、、成等差数列，求直线l的方程．20. ( 10分) （2020·泉州模拟）已知圆，直线与圆O相切于点A，直线垂直y轴于点B，且．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）直线与E相交于两点，若的面积是的面积的两倍，求直线的方程．21. ( 5分) （2020·辽宁模拟）已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.22. ( 15分) （2018·兴化模拟）已知圆与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点.（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得 ( 为坐标原点)，求的取值范围；（3）设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】【解答】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为.故答案为：B.【分析】根据直线和圆心与点连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.2.【答案】C【考点】点到直线的距离公式，圆的一般方程【解析】【解答】解：将圆的方程化为标准方程，则圆心为，半径，则圆心到定点的距离为，最小值为.故答案为：C.【分析】先根据题意求出圆心的坐标和半径，再求圆心到定点的距离，最后求的最小值3.【答案】B【考点】点到直线的距离公式，圆的标准方程，点与圆的位置关系【解析】【解答】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故答案为：B.【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.4.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系，圆系方程【解析】【解答】圆的方程可化为，点M到直线l的距离为，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故答案为：D.【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．5.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】由题意，圆，若直线上总存在点P，使得过点P 的圆C的两条切线互相垂直，如图所示，根据过点P的圆C的两条切线互相垂直，可得四边形APBC为正方形，所以，所以只需圆心到直线的距离，解得或.故答案为：A.【分析】直接利用直线和圆的位置关系，由于存在点P使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.6.【答案】C【考点】直线与圆相交的性质【解析】【解答】两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为，又圆的圆心为，半径为1，故，解得.故所求圆心为.直线截得所成弦长，圆心到直线的距离为，所以直线截得所求圆的弦长，解得.故圆心坐标为，半径为，故答案为：C.【分析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径.7.【答案】C【考点】轨迹方程【解析】【解答】设，则，又，，，所以，即，因此，又，所以，即点的轨迹方程为；当时，；当时，；当时，；当时，；画出点对应的轨迹图形如下（四边形）：由解得，同理，又，，所以，，因此动点的轨迹长度为.故答案为：C.【分析】设，根据题中条件，得到，由，求出点的轨迹方程为，画出轨迹方程对应的图形，即可求出轨迹长度.8.【答案】C【考点】轨迹方程【解析】【解答】由于平面平面，且交线为，，所以平面，平面.所以和分别是直线与平面所成的角，所以，所以，即，所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则，，设（点在第一象限内），由得，即，化简得，由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以点的轨迹长度为.故选：C【分析】根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度.二、多选题9.【答案】A,C,D【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，直线的一般式方程与直线的平行关系，直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】【解答】：过点，A符合题意；当时，，重合，B不符合题意；由，得或2，C符合题意；：始终过，斜率为负，不会过第三象限，D符合题意.故答案为：ACD【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解.10.【答案】B,C【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为直线过定点,故圆的圆心到直线的距离的最大值为.又圆的半径为6,故弦长的最小值为. 又当直线过圆心时弦长取最大值为直径12,故.故答案为：BC【分析】先求得圆心到直线的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长的范围即可.11.【答案】A,D【考点】直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，A符合题意；对于B，因为圆，圆，两圆作差得即，所以直线的方程为，B不符合题意；对于C，圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，所以，C不符合题意；对于D，圆的圆心，半径为1，所以，D符合题意.故答案为：AD.【分析】根据题意由两圆的位置关系、两圆方程作差以及垂径定理和圆心之间的距离逐项判断即可得出结论。

1 / 42021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题08 直线与圆的方程姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．以点(2，－1)为半径的圆的标准方程是（ ）A ．(x ＋2)2＋(y －1)2B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)22．设直线1:10l kx y -+=，2:10l x ky -+=，若12l l ⊥，则k =（ ）A ．-1B ．1C ．±1D ．03．圆2228130+--+=x y x y 截直线10ax y +-=所得的弦长为a =（ ） A ．43- B ．34- CD ．24．直线0x a +-=的倾斜角为 （ （A ．30B ．150︒C ．120︒D ．与a 取值有关5．斜率为4的直线经过点A (3,5)（B (a,7)（C (（1（b )三点，则a （b 的值为( )A ．a （72 （b （0 B ．a （（72（b （（11C ．a （72（b （（11 D ．a （（72（b （116．若方程22420x y x y k +-++=表示圆，则k 的取值范围是（ ）2 / 4A ．5k >B ．5k <C ．5k ≥D ．5k ≤7．已知3(2,)A -,(3,2)B --,直线l 过定点(1,1)P ,且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．344k -≤≤ B ．344k ≤≤ C ．12k ≠ D ．4k ≤-或34k ≥ 8．若实数,x y 满足224240x y x y ++-+=，则y x的取值范围是（ ） A ．4,[0,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B ．3,[0,)4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ C ．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多选题9．（多选）若直线1l 的倾斜角为α，且12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角可能为（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．90α︒-D ．180α︒-10．若直线3y x b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A ．2-B ．2±C ．2D ．5±11．直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．212．古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值可以为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．53 / 4三、填空题13．直线2:sin 103l x y π-+=的斜率为__． 14．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx -2y -5＝0相交于同一点，则m 的值为________．15．若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________．16．已知直线l ：340x y m ++=，圆C ：22420x y x +-+=，则圆C 的半径r =______；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______．四、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点()1,0A -，()5,4B -，()1,2C ．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求AB 边上的高线所在直线的方程．18．已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ．（1）求圆C 的方程；（2）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．19．已知圆C 与y 轴相切，圆心在射线()300x y x -=≥，且被直线y x =截得的弦长为． （1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，求点P 到直线34110x y -+=的距离的最小值．20．已知圆O ：228x y +=，点()012P -,，直线l 过点0P 且倾斜角为α. （1）判断点0P 与圆O 的位置关系，并说明理由；4 / 4（2）若3π4α=，求直线l 被圆O 所戴得的弦AB 的长. 21．圆224x y +=，点P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若点P 的坐标为(6,2)-，求直线PA 、PB 的方程；（2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标．22．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.。

直线、圆及其交汇问题一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线x ＋ay ＋1＝0与直线(a ＋1)x －2y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．22．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )．A ．－1B ．1C ．3D ．－33．由直线y ＝x ＋2上的点向圆(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为( )．A.30B.31 C ．4 2 D.334．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )．A.95 B ．1 C.45 D.1355．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． 7．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标和半径． 10．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．11．(12分)如图，已知△ABC 的边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，M (2,0)满足BM →＝MC →，点T (－1,1)在AC 边所在直线上且满足 AT →·AB →＝0.(1)求AC 边所在直线的方程； (2)求△ABC 外接圆的方程；(3)若动圆P 过点N (－2,0)，且与△ABC 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．参考答案1．C [因为两直线垂直，所以a ＋1－2a ＝0，解得a ＝1，故选C.]2．B [圆的方程x 2＋y 2＋2x －4y ＝0可变形为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，所以圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程得a ＝1.]3．B [设点M 是直线y ＝x ＋2上一点，圆心为C (4，－2)，则由点M 向圆引的切线长等于CM 2－1，因此当CM 取得最小值时，切线长也取得最小值，此时CM 等于圆心C (4，－2)到直线y ＝x ＋2的距离，即等于|4＋2＋2|2＝4 2，因此所求的切线长的最小值是22－1＝31.]4．C [圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.] 5．B [C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33＜m ＜0或0＜m ＜33.]6．解析 设C (x,0)，由|CA |＝|CB |，得x －2＋9＝x －2＋1解得x ＝2，∴r ＝|CA |＝10，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案 (x －2)2＋y 2＝107．解析 对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)， r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2. 所以|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5， 即m ＋2＋m ＋2＝5，解得：m ＝2或m ＝－5. 答案 2或－58．解析 因为圆心移动的距离为2，所以劣弧⌒PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，CB ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2，所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．答案 (2－sin 2,1－cos 2)9．解 法一 (代数法)直线与圆方程联立得5x 2＋10x －27＋4m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝4m －275，x 1＋x 2＝－2，y 1y 2＝12＋m 5.若OP ⊥OQ ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以4m －275＋12＋m 5＝0，所以m ＝3.因此圆的半径为r ＝52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.法二 (几何法)设PQ 的中点为M ，圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，则直线CM 与PQ 垂直，因此k CM ＝2，直线CM 的方程为y －3＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x －y ＋4＝0，直线CM与直线PQ 联立可得交点M (－1,2)，此时半径为r ＝|CP |＝|CQ |＝|CM |2＋|MQ |2＝|CM |2＋|MO |2＝1＋14＋1＋4＝ 254＝52. 10．解 (1)将圆C 配方得：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得：y ＝(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)由|PO |＝|PM |，得：x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0.即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，当|PM |取最小值时即|OP |取得最小值，直线OP ⊥l . ∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0.得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.11．解 (1)∵AT →·AB →＝0，∴AT ⊥AB ，又T 在AC 上，∴AC ⊥AB .∴△ABC 为Rt △ABC .又AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，所以直线AC 的斜率为－3，又因为点T (－1,1)在直线AC 上，所以AC 边所在直线的方程为：y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)AC 与AB 的交点为A ，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－ 2)，∵BM →＝MC →，∴M (2,0)为Rt △ABC 斜边上的中点，即为Rt △ABC 外接圆的圆心，又r ＝|AM |＝－2＋＋2＝2 2，从而△ABC 外接圆的方程为：(x －2)2＋y 2＝8.(3)因为动圆P 过点N ，所以|PN |是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切， 所以|PM |＝|PN |＋2 2，即|PM |－|PN |＝2 2.故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2 2的双曲线的左支． 因为实半轴长a ＝ 2，半焦距c ＝2. 所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2.从而动圆P 的圆心的轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ≤－2)．。

圆与方程【知识梳理】 1、确定圆的要素 2、圆的标准方程和一般方程 3、直线和圆、圆与圆的位置关系 4、用解析方法解决几何问题 【重难点问题】 1、求圆的方程 2、位置关系 3、求最值、范围 4、求轨迹 5、存在性问题 6、定切线，定圆，定点【典题讲练】 【例1】以(2 1)A -，，(1 5)B ，为半径两端点的圆的方程是_______________． 【变】圆心在直线20x y +=上，并且经过点(1 3)A ，和(4 2)B ，的圆的方程为_______________．【拓】求过A （0，0）、B （1，1）、C （4，2）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【例2】过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为______________． 【变】已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为_____________． 【拓1】已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为_______________．【拓2】在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________．【例3】过点P ﹣1）的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________．【变】（1）过点P （2，1）的直线l 被圆x 2＋y 2＝10截得的弦长为___________．（2）已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A 、B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为__________． 【拓】（1）圆x 2＋y 2＋2x ＝0和x 2＋y 2﹣4y ＝0的公共弦所在直线方程为___________．（2）过点（3，1）作圆（x ﹣1）2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________．【例4】若直线y ＝k （x ﹣4）与曲线y 有公共点，则k 的取值范围为___________．【练】若过定点M （﹣1，0）且斜率为k 的直线与圆x 2＋y 2＋4x ﹣5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是___________．【变】（1）若关于x 的方程3x b +=只有一个解，则实数b 的取值范围是____________．（2）曲线1x 与直线45y kx k =-+有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是____________． A ．53(,]124B ．78(,]243C ．8[,)3+∞D ．72(,)(,)243-∞+∞ （3）若曲线221:20C x y x +-=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(B ．(，0)(0⋃C ．[D ．(-∞，⋃，)+∞【例5】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）yx； （2）14y x --； （3）736xy +； （4）y x -；（5）23x y +；（6）22x y +；（7）221014x x y y -+-．【练】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）14y x --； （2）23x y +； （3）221014x x y y -+-． （4）若对任意的x ，y 有20x y m ++≥，求m 的取值范围．【变】（1）已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．（2）设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．【拓】（1）已知实数x ，y 满足方程22220x y x y ++-=，则||||x y +的最大值为( )A ．2B ．4C ．D ．2+（2）已知实数x ，y 满足221x y +≤，340x y +≤，则32x x y ---的取值范围是( )A ．[1，4]B ．19[17，4]C ．[1，11]3D ．19[17，11]3（3）设点(,)P x y 是圆22:2230C x x y y ++--=上任意一点，若|2|||x y x y a --+-+为定值，则a 的值可能为( ) A ．4- B ．0C ．3D ．6【例6】设P 为直线0x y -=上的一动点，过P 点做圆22(4)2x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值_______________．【练】（1）在平面直角坐标系xOy 中，过圆221:()(4)1C x k y k -++-=上任一点P 作圆222:1C x y +=的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k =_______________．（2）已知点P 为直线1y x =+上的一点，M ，N 分别为圆221:(4)(1)4C x y -+-=与圆222:(2)1C x y +-=上的点，则||||PM PN -的最大值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【变】（1）已知两点A (0，－3)，B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为____________．（2）过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．（3）已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为____________．（4）已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2﹣2x ﹣2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为___________．（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(1,1)B -，点P 为圆22(4)4x y -+=上任意一点，记OAP ∆和OBP ∆ 的面积分别为1S 和2S ，则12S S 的最小值是____________．【例7】（1）已知|M 1M 2|＝2，点M 与两定点M 1，M 2距离的比值是一个正数m ．试建立适当坐标系，求点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形．（直接翻译）（2）已知点P 在圆221x y +=运动，点M 的坐标为(2,0)M ，Q 为线段PM 的中点，则点Q 的轨迹方程为_______________．（设坐标转移）（3）由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为_______________．（几何法）（4）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2﹣6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．（消参法）【练】（1）自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为____________．（2）已知3AB =，动点P 满足2PA PB =，那么PAB ∆的面积的最大值为_______________．（3）在圆228x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是_______________．（4）已知动圆P 与圆M ：（x ＋1）2＋y 2＝16相切，且经过M 内的定点N （1，0）．试求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程．【拓】（1）过定点(3,2)P 任作一直线与圆2242110x y x y +---=相交于A 、B 两点，A 和B 两点处的切线相交于M ，求点M 的轨迹方程．（2）已知圆224x y +=，(1,1)B 为圆内一点，P ，Q 为圆上动点，若90PBQ ∠=︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为____________________．（3）已知直线:l y x b =+与圆22:(1)1C x y ++=相交于A ，B 两点，点P 在l 上，且||||2PA PB ⋅=.当b 变化时，求点P 的轨迹方程.【例8】在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是_______________．【练】在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存 在点M ，使||2||MA MO =，则圆心C 的横坐标的取值范围为( ) A ．12[0,]5B ．[0，1]C ．12[1,]5D ．12(0,)5【变】（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:30l x y +-=和圆22:()8M x y m +-=，若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l的距离为，则实数m 的取值范围是_______________．（2）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -、(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是( ) A ．[3，7] B ．[4，6]C ．[3，6]D ．[4，7]（3）已知圆22:1O x y +=，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为_______________．（4）在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( ) A ．5B ．3CD．（5）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上，满足2240PA PB +=，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是_______________．22:()(4)1M x a y a -+-+=M P P O A B 60APB ∠=︒a【例9】已知当a R ∈且1a ≠时，圆2222(2)20x y ax a y +-+-+=总与直线l 相切，则直线l 的方程是___________．【练】已知：正数m 取不同的数值时，方程222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=表示不同的圆，求：这些圆的公切线（即与这些圆都相切的直线）的方程．【变1】（1）已知直线2:2(1)440l mx m y m +---=，若对任意m R ∈，直线l 与一定圆相切，则该定圆方程为_______________．（2）当实数m 变化时，不在任何直线2mx ＋（1－m 2）y －4m －4＝0上的所有点（x ，y ）形成的图形的面积为_______________．【变2】无论a 如何变化直线sin cos 10x y αα++=总和一个定圆相切，则该定圆方程为_______________．【例10】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．48(,)99B ．24(,)99C ．(2,0)D ．(9,0)【变1】已知圆M （M 为圆心）的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线 l 上，过P 点作圆M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ． （1）若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A 、P 、M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【变2】已知圆O 过点A (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． （1）求圆O 的方程；（2）若EF 、GH 为圆O 的两条相互垂直的弦，垂足为N （1，22），求四边形EGFH 的面积的最大值； （3）已知直线l ：y ＝12x －2，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究直线CD 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．【变3】已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A （3，0），且与圆O 相切． （1）求直线l 1的方程；（2）设圆O 与x 轴相交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′．求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总经过定点，并求出定 点坐标．【家庭作业】1、过点(3,4)P -作圆22(1)2x y -+=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为( ) A ．220x y +-=B ．210x y --=C ．220x y --=D ．220x y ++=2、圆C 的方程为221x y +=，(,2)P x ．过P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B 两点．则APB ∠最大为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3、已知直线1:360l x y +-=与圆心为(0,1)M ，半径为的圆相交于A ，B 两点，另一直线2:22330l kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为( )A ．B ．C ．1)D ．1)4、在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( )A ．5B ．3CD ．5、已知关于x 2ax =-有且只有一个解，则实数a 的取值范围为_______________．6、已知实数x ，y 满足22430x x y -++=，则21x y x ++-的取值范围是_______________． 7、设圆22:(1)1C x y -+=，过点(1,0)-作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．8、在平面直角坐标系xOy 中，直线:420l kx y k ---=，k R ∈，点(2,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =，求实数k 的取值范围．9、设实数x 、y 满足方程：2286210x y x y +--+=． （1）当3x ≠时，求12y P x +==-的取值范围； （2）求2S x y =-的最大值与最小值；（3）求2210226T x y x y =+-++的最大值与最小值．10、已知点(0,4)A ，点P 在直线20x y -=上运动．以线段AP 为直径作一个圆，求该圆恒过的定点坐标．11、已知圆22:4C x y +=，点P 为直线280x y --=上的一个动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，求证直线AB 恒过点.。

第二章 直线和圆的方程【压轴题专项训练】一、单选题1．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22= 点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d ++==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦ 则[]22122,62ABP S AB d d ==∈故答案选A.2．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥或4k ≤- B ．344k -≤≤ C ．15k <- D ．344k -≤≤ 【答案】A【详解】()()110m x y -+-=，所以直线l 过定点()1,1P ，所以34PB k =，4PA k =-， 直线在PB 到PA 之间，所以34k ≥或4k ≤-，故选A ． 3．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为A ．1B ．3C ．19D ．49【答案】A 【详解】试题分析：由题意得两圆22()4x a y ++=与22(2)1x y b y +-=相外切，即222242149a b a b +=+⇒+=，所以222222222222221111(4)1414()[5][52]1999a b a b a b a b a b b a b a ++=+=++≥+⋅=，当且仅当22224=a b b a 时取等号，所以选A.考点：两圆位置关系，基本不等式求最值4．过圆22:1O x y +=内一点11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线交圆O 于A ，B 两点，过A ，B 分别作圆的切线交于点P ，则点P 的坐标满足方程（ ）A ．240x y +-=B ．240x y -+=C ．240x y --=D ．240x y ++= 【答案】A 【分析】设出P 点坐标，求解出以OP 为直径的圆M 的方程，将圆M 的方程与圆O 的方程作差可得公共弦AB 的方程，结合点11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭在AB 上可得点P 的坐标满足的方程.【详解】 设()00,P x y ，则以OP 为直径的圆()()00:0M x x x y y y -+-=，即22000x y x x y y +--=① 因为,PA PB 是圆O 的切线，所以,OA PA OB PB ⊥⊥，所以A ，B 在圆M 上，所以AB 是圆O 与圆M 的公共弦，又因为圆22:1O x y +=①，所以由①-①得直线AB 的方程为：0010x x y y +-=，又点11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭满足直线AB 方程，所以00111042x y +-=，即240x y +-=.故选：A.5．在平面直角坐标系中，已知点(),P a b满足1a b +=，记d 为点P 到直线20x my --=的距离.当,,a b m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【分析】根据直线:20l x my --=过定点A 确定出对于给定的一点P ，d 取最大值时PA l ⊥且max d PA=，然后根据点P 为正方形上任意一点求解出max PA ，由此可知max d.【详解】直线:20l x my --=过定点()2,0A ，对于任意确定的点P ，当PA l ⊥时，此时d PA=，当PA 不垂直l 时，过点P 作PB l ⊥，此时d PB=，如图所示：因为PB AB ⊥，所以PA PB>，所以max d PA=，由上可知：当P 确定时，max d 即为PA，且此时PA l ⊥；又因为P 在如图所示的正方形上运动，所以max maxd PA =， 当PA 取最大值时，P 点与()1,0M -重合，此时()213PA =--=，所以max 3d =， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析d 取最大值时PA 与直线l 的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.6．若实数,x y 满足42x y x y -=-，则x 最大值是（ ）A ．4B ．18C ．20D ．24【答案】C 【分析】当0x =时，解得0y =；当0x >，令t y =，可得222x t x t -+=-，设()22x f t t =-+，()2g t x t =-，则问题等价于()f t和()g t 有公共点，观察图形可求解. 【详解】当0x =时，解得0y =，符合题意；当0x >时，令t y =，则0t ≥，又0x y -≥，则t x ≤，即0,t x ⎡⎤∈⎣⎦， 则原方程可化为222xt x t -+=-，设()22xf t t =-+，()2g t x t =-，0,t x ⎡⎤∈⎣⎦， 则()f t 表示斜率为2-的直线，()g t表示以原点为圆心，半径为x 的四分之一圆，则问题等价于()f t和()g t 有公共点，观察图形可知，当直线与圆相切时，由25x x =，解得20x ， 当直线过点()0,x时，2xx =，解得4x =，因此，要使直线与圆有公共点，[]4,20x ∈，综上，[]{}4,200x ∈⋃，故x 的最大值为20.故选：C. 【点睛】关键点睛：解题得关键是令t y =，将问题转化为直线()22xf t t =-+与圆有公共点.7．已知圆222:()(21)2C x m y m m -+-+=，有下列四个命题：①一定存在与所有圆都相切的直线； ①有无数条直线与所有的圆都相交； ①存在与所有圆都没有公共点的直线； ①所有的圆都不过原点. 其中正确的命题个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【分析】①可先设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径建立等式求解. ①①根据直线与两条切线的相对位置，可找出与圆相交和相离的直线 ①假设过原点，有解 【详解】由圆222:()(21)2C x m y m m -+-+=知圆心坐标为(),21m m -，半径2||r m =，圆心在直线21y x =-上， ①假设存在直线与所有圆均相切，设为y kx b =+ 则(),21m m -到y kx b =+的距离为2|r m =可得2212||1km m br m k -++==+21221b k mk +-+=+直线与所有圆均相切，故切线应与m 无关，可取1b =-，有2221k k -=+解得26k =-±.即()216y x -±=-所以，存在与所有圆均相切的直线，故①正确；过点0,1介于两相切直线之间的直线，均与所有圆相交，故①正确；过点0,1在两相切直线之外部区域的直线，与所有圆均没有交点，故①正确；假设过原点，则222()(21)2m m m -+-+=，得1m =或13m =，故①错误.故选：C 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8．已知,x y R ∈，则2222(1)4(2)1y x x y -++-+++的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．25D ．6 【答案】C 【分析】将问题转化为“点()0,y 到点()2,1的距离加上点(),0x 到点()2,1的距离加上点(),0x 到点()0,y 的距离之和的最小值”，采用分类讨论的方法并画出辅助图示求解出最小值. 【详解】因为2(1)4y -+表示点()0,y 到点()2,1的距离，2(2)1x -+表示点(),0x 到点()2,1的距离， 22x y +表示点(),0x 到点()0,y 的距离，设()()()2,1,,0,0,A B x C y ，则2222(1)4(2)1y x x y -++-+++表示AB BC AC ++的长度和，显然当点(),0x 与点()0,y 在,x y轴的非负半轴上，对应原式的结果更小， 当()(),0,0,x y 均不在坐标原点，如下图所示：考虑到求解最小值，所以2,1x y ≤≤，设,B A 关于原点的对称点为,B A ''，所以2221225AB BC AC AC B C A B AB A B AA '''''''++=++≥+>=+=；当()(),0,0,x y 其中一个在坐标原点，如下图所示：此时分别有225AC BC AB AC AC AC ++>+==，225AC BC AB AB AB AB ++>+==， 所以25AC BC AB ++>； 当()(),0,0,x y 都在坐标原点时，2221225AB AC BC ++=+=，综上可知：2222(1)4(2)1y x x y -++-+++的最小值为25， 故选：C. 【点睛】思路点睛：求解形如()()()()2222x a y b x c y d -+-+-+-的式子的最小值思路： （1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析； （3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线21y ax a =-+必过定点（2，1）B ．直线3240x y -+=在y 轴上的截距为－2C ．直线310x y ++=的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23-【答案】ACD 【分析】代入点的坐标判断A ，求出纵截距判断B ，求出斜率得倾斜角，判断C ，写出平移直线后的方程，与原方程一致，由此求得b a -，判断D ．【详解】2211z a -+=，所以点(2,1)在直线上，A 正确；对3240x y -+=，令0x =，得2y =，直线3240x y -+=在y 轴上截距为2，B 错误；直线310x y ++=的斜率为3-，倾斜角为120︒，C 正确；设直线l 方程为0ax by c ，沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后得(3)(2)0a x b y c ++-+=，即320ax by c a b +++-=它就是0ax by c ，所以320a b -=，所以23a k b =-=-，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程，利用直线方程研究直线的性质是解析几何的基本方法．掌握直线的概念与特征是解题关键．10．已知点P 是直线3450x y -+=上的动点，定点()1,1Q ，则下列说法正确的是（ ）A ．线段PQ 的长度的最小值为45B ．当PQ 最短时，直线PQ 的方程是3470x y +-=C ．当PQ 最短时P 的坐标为1341,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．线段PQ 的长度可能是23 【答案】AC 【分析】当PQ 垂直直线3450x y -+=时，PQ 最短，即可判断A 、D ，设出P 坐标，根据最短使PQ 与直线垂直求解P 坐标，即可判断C ，由两点式求出直线方程，即可判断B ． 【详解】解：当PQ 垂直直线3450x y -+=时，PQ 最短，Q 到直线的距离为223454534-+=+，故A 正确；故PQ 的长度范围为4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，2435<，故D 错误； 设35,4m P m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3514413PQ m k m +-==--，解得1325m =， 故P 为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确；此时直线PQ 的方程是114113112525y x --=--，即4370x y +-=，故B 错误，故选：AC ．11．（2021•佛山模拟）已知圆2221:C x y r +=，圆2222:()()C x a y b r -+-=，(0r >，且a ，b 不同时为0)交于不同的两点1(A x，1)y ，2(B x ，2)y ，下列结论正确的是A ．221122ax by a b +=+ B ．1212()()0a x x b y y -+-=C ．12x x a +=，12y y b +=D ．M ，N 为圆2C 上的两动点，且||3MN r =，则||OM ON +的最大值为22a b r ++ 【答案】ABC【解析】根据题意，圆2221:C x y r +=和圆2222:(?)(?)(0)C x a y b r r +=>交于不同的两点A ，B ， ∴两圆方程相减可得直线AB 的方程为：22220a b ax by +--=，即22220ax by a b +--=，分别把点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点坐标代入22220ax by a b +--=得：221122??0ax by a b +=，222222??0ax by a b +=，所以选项A 正确，上面两式相减得：12122()2()0a x x b y y -+-=，即1212()()0a x x b y y -+-=，所以选项B 正确， 两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段AB 与线段12C C 互相平分，则有120222x x a a ++==，12022y y bb++==， 变形可得12x x a +=，12y y b +=，C 正确；M ，N 为圆2C 上的两动点，且||3MN r =，设MN 的中点为D ， 则2C D MN ⊥，所以22231()22C D r r r=-=， 所以MN 的中点D 的轨迹为以2(,)C a b 为圆心，12r为半径的圆，所以MN 的中点D 的轨迹方程为2221()()4x a y b r -+-=， 又||2||OM ON OD +=，所以||OM ON +的最大值为222212()22a b r a b r++=++，故D 错误．故选ABC ． 三、填空题12．已知C 为圆：()2211x y -+=上一动点，点B 坐标为()1,3，点A 坐标为()4,0，则3AC BC +的最小值为_________．【答案】27 【分析】设圆心为M ，由圆的方程得到圆心和半径，取4,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可证得CMDAMC ，得到3AC CD =，可知()333AC BC CD BC BD +=+≥，利用两点间距离公式可求得最小值.【详解】设圆：()2211x y -+=的圆心为M ，则()1,0M ，半径1MC =，取4,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13MD MC MC MA ==，CMD CMA ∠=∠，CMD AMC ∴，3AC CD∴=，()333AC BC CD BC BD∴+=+≥（当且仅当,,B C D 三点共线且C 在线段BD 上时取等号）， ()2242713033BD ⎛⎫=-+-=⎪⎝⎭，327AC BC ∴+≥，即3AC BC+的最小值为27.故答案为：27. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆部分的最值问题的求解，解题关键是能够利用三角形相似将问题转化为三角形两边之和大于第三边的问题，由此确定三点共线时取得最小值. 13．已知函数2()1f x x ax b=---，其中a ，b R ∈，()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为___________.【答案】212- 【分析】数形结合分析可知(,)M a b 的最小值为()[]21,0,1g x x x =-∈与()212h x ax b x +=+=-+的纵向距离，从而可以求出结果. 【详解】 函数()2()1,f x x ax b M a b =---≤，即四分之一圆[]21,0,1y x x =-∈上的点到直线1x y +=上的最大距离为212-，此时圆上的点记为P ，如图：只有过PN 的中点且平行于直线1x y +=的直线才满足条件，所以当211,2a b +=-=时，(,)M a b 的最小值为()[]21,0,1g x x x =-∈与()212h x ax b x +=+=-+的纵向距离，即(,)M a b 的最小值为22211222⎛⎫--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：212-.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．14．已知直线()()()11410a x a y a -++-+= （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数1y x x =+的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是___________．【答案】[3)-+∞，【分析】把直线方程整理成a 的多项式，根据恒等式的知识求出定点P 的坐标， 【详解】由()()()11410a x a y a -++-+=得(4)40x y a x y -+-++-=①4040x y x y -+-=⎧⎨+-=⎩，解得0,4x y =⎧⎨=⎩，①(0,4)P 。

第二章直线与圆的方程（压轴题专练）一、选择题1．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（）A ．A 点的坐标为()2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为5【答案】D【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.【详解】因为1:20l x my m -+-=可以转化为(1)20m y x -+-=，故直线恒过定点A ()2,1，故A 选项正确；又因为2l ：240mx y m ++-=即()42y m x -=-+恒过定点B ()2,4-，由1:20l x my m -+-=和2:420l mx y m +-+=,满足()110m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥,可得PA PB ⊥,故B 选项正确；所以()()22222221425PA PB AB +==++-=,故C 选项正确;因为PA PB ⊥,设,PAB ∠θθ=为锐角,则5cos ,5sin PA PB θθ==,所以()()252cos sin 5PA PB θθθϕ+=+=+,所以当()sin 1θϕ+=时,2PA PB +取最大值,故选项D 错误.故选：D.2．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．6【答案】D【分析】根据动直线方程求出定点,A B 的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得22||||18PA PB +=，最后由基本不等式222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】解：由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=，因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以6P A PB +≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选：D.3．在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by c ax by c δ++=++，下面四个命题中的假命题为（）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1δ=，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1δ=-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交；【答案】A【分析】根据题意对δ一一分析，逐一验证．【详解】解：对于A ，1122ax by c ax by cδ++=++化为：112222()0(0)ax by c ax by c ax by c δ++-++=++≠，即点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此A 不正确．对于B ，1δ=，则1212()()0a x x b y y -+-=，即过M ，N 两点的直线与直线l 的斜率相等，又点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此两条直线平行，故B 正确；对于C ，1δ=-，则1122()0ax by c ax by c +++++=，化为1212022x x y y a b c ++++=，因此直线l 经过线段MN 的中点，故C 正确；对于D ，1δ>，则2112222()()()0ax by c ax by c ax by c δ++⨯++=++>，则点M ，N 在直线l 的同侧，故D 正确；故选A【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事转化为点(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ⊥）A ．2B ．2C D ．5【答案】D【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点()11,M x y 到点()0,4A 的距离与点()22,N x y 到点()5,0B 的距离和，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，证明AM CN =，由CN NB CB +≥求目标函数最小值.表示点()11,M x y 到点()0,4A 的距离，表示点()22,N x y 到点()5,0B 的距离，MA NB +=+，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，因为直线1l 的方程为20x y -+=，()0,4A ，所以AC ==又直线1:2l y x =+与直线2:l y x =平行，1MN l ⊥，所以MN =所以//,MN AC MN AC =，所以四边形AMNC 为平行四边形，所以AM CN =，CN NB +=+，又CN NB CB +≥，当且仅当,,C N B 三点共线时等号成立，所以当点N 为线段CB 与直线2l 的交点时，CB ，因为过点()0,4A 与直线1l 垂直的直线的方程为4y x =-+，联立42y x y x =-+⎧⎨=+⎩，可得13x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()1,3，所以CB =，5，故选：D.将问题转化为两点之间的距离问题.5．已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D【答案】A【分析】由题设可知圆C ：22(4)16x y -+=，在坐标系中找到(4,0)D -，应用三角线相似将2PA 转化到||PD ，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.【详解】由题设，知：(4,0)C 且||8MN ==，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y -+=，如上图，坐标系中(4,0)D -则24OD AC CP OC ====，∴12AC PC CP DC ==，即△APC △PCD ，故12PA PD =，∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中||||||PD PB BD -<，∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD ==故选：A【点睛】关键点点睛：首先求出圆C 方程，找到定点D 使AC PC CP DC =，进而将2PA 转化到其它线段，结合三角形三边关系求目标式的最值.6．过点()8,4A -作抛物线28y x =的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 与y 轴分别交于点B ，C ，则ABC ∆的外接圆方程为（）A ．2264160x y x y ++--=B ．226160x y x ++-=C ．2256120x y x y ++--=D ．224160x y y +--=【答案】A【解析】设切线方程为l ：()84x t y +=-，与抛物线联立，表示线段AB 的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.【详解】设过点()8,4A -的抛物线2:8E y x =的切线方程为l ：()84x t y +=-，即84x ty t =--（*），代入28y x =得288(48)0y ty t -++=，由0∆=得2240t t --=，（1）所以方程（1）有两个不相等的实数根1t ，2t ，且122t t +=，124t t =-，在（*）中令0x =得180,4B t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，280,4C t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，设ABC ∆的外接圆圆心为点()100,O x y ，则()0122B C y y y =+=，下求0x ：线段AB 中点横标04x '=-，纵标0144y t '=+，线段AB 的中垂线方程为1144(4)y t x t --=-+，令2y =得211021424t t x t -++=，由（1）知21124t t +=，故03x =-，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则229R =，所以ABC ∆的外接圆方程为22(3)(2)29x y ++-=，即2264160x y x y ++--=.故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPA λ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O，0,2Q ⎛ ⎝⎭，直线1:230l kx y k -++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（）A ．B．6-C．9-D．3【答案】A【分析】由直线方程可得12l l ⊥，则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，得到P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，可得)332PQ y =+≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PQ PA =，结合AQ =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥，进而求解.【详解】由已知1:230l kx y k -++=过定点()2,3C -，2:320l x ky k +++=过定点()2,3D --，因为1l k k =，21l k k=-，所以121l l k k ⋅=-，即12l l ⊥，所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，故圆心为()2,0-，半径为3，则P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，易知O 、Q 在该圆内，又32PO =即)332PO y ==≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PO PA =，又2AQ =，所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以32PO PQ +的最小值为故选：A.8．已知点P 为直线l ：20x y +-=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．3310x y ++=B ．3310x y +-=C ．2210x y ++=D ．2210x y +-=【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得,,,A P B C 四点共圆，AB CP ⊥，从而将PC AB ⋅转化为2PA ，进而确定PC l ⊥时PC AB ⋅取得最小值，再求得以PC 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆C ：2220x x y ++=可化为()2211x y ++=，所以圆心()1,0C -，半径为1r =，因为PA ，PB 是圆C 的两条切线，则,PA AC PB BC ⊥⊥，由圆的知识可知，,,,A P B C 四点共圆，且AB CP ⊥，PA PB =，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⨯= ，又PA =所以当PC 最小，即PC l ⊥时，PC AB ⋅取得最小值，此时PC 的方程为1y x =+，联立120y x x y =+⎧⎨+-=⎩，解得13,22x y ==，即13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故以PC 为直径的圆的方程为13(1)022x x y y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，221031222x x y y +-+=-，又圆22:20C x x y ++=，两圆的方程相减即为直线AB 的方程：3310x y ++=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将PC AB ⋅转化为2PA ，从而确定PC AB ⋅最小时P 的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.9．（多选）已知O 为坐标原点，()3,1A ，P 为x 轴上一动点，Q 为直线l ：y x =上一动点，则（）A ．APQ △周长的最小值为B ．AP AQ +的最小值为1C ．AP PQ +的最小值为D OP +的最小值为4【答案】BCD【分析】设A 关于直线l ：y x =的对称点为()11,3A ，A 关于x 轴的对称点为()23,1A -，对于A ：根据对称性可得1212PQ QA PA PQ QA PA A A ++=++≥，进而可得结果；对于B ：根据点到直线的距离分析判断；对于C ：因为2AP PQ A P PQ +=+，结合点到直线的距离分析判断；对于D ：根据题意分析可得)2OP A P CP+=+，结合点到直线的距离分析判断.【详解】设()3,1A关于直线l：y x=的对称点为()11,3A，()3,1A关于x轴的对称点为()23,1A-，可知12,QA QA PA PA==，对于选项A：可得APQ△周长1212PQ QA PA PQ QA PA A A++=++≥=当且仅当12,,,A P Q A四点共线时，等号成立，所以APQ△周长的最小值为A错误；对于选项B：设()3,1A到x轴，直线l：0x y-=的距离分别为12,d d，则121,d d==，可得121AP AQ d d+≥+=，所以AP AQ+的最小值为1B正确；对于选项C：因为2AP PQ A P PQ+=+，设()23,1A-到直线l：0x y-=的距离为3d=可得23A P PQ d +≥=所以AP PQ +的最小值为C 正确；对于选项D ：作PC l ⊥，垂足为C ，因为直线l 的斜率1k =，则45COP ∠=︒，可得CP =，则23AP CP A P CP d +=+≥=，)2234OP A P OP A P CP d ⎫++=⎪⎪⎭，OP +的最小值为4，故D 正确；故选：BCD.二、填空题10．设R m ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值．【答案】9【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；【详解】由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以22222||||||(12)(03)18PA PB AB +==--+-=，因为2218||2PA PB PA PB =+≥⋅，所以9PA PB ⋅≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号．【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.11．若恰有三组不全为0的实数对(a ,)b满足关系式|1||431|a b a b t ++=-+=t 的所有可能的值为．【答案】52或75t ==，然后对t 进行分类讨论即可求解.【详解】由已知得0t >t ==，看成有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，又5AB ==，（1）当||522AB t ==，此时易得符合题意的直线l 为线段AB 的垂直平分线68230x y --=以及与直线AB 平行的两条直线86110x y ++=和86390x y +-=；（2）当||522AB t <=时，有4条直线l 会使得点(1,1)A 和(4,3)B -到它们的距离相等，注意到l 不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．设点A 到l 的距离为d ，①作为增根被舍去的直线l ，过原点和A ，B 的中点5(,1)2M -，其方程为250x y +=，此时52t d ==，符合；②作为增根被舍去的直线l ，过原点且与AB 平行，其方程为430x y +=，此时7552t d ==<，符合；综上，满足题意的实数t 为52或75故答案为：52或75t ==，将问题转化为有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，然后分类讨论即得.12．已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为.【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到AP QB +最小值即为所求.【详解】由直线1l 与2l PQ =()4,0B 作直线l 垂直于1:10l x y -+=，如图，则直线l 的方程为：4y x =-+，将()4,0B 沿着直线l B '点，有()3,1B '，连接AB '交直线1l 于点P ，过P 作2⊥PQ l 于Q ，连接BQ ，有//,||||BB PQ BB PQ ''=，即四边形BB PQ '为平行四边形，则||||PB BQ '=，即有||AP QB AP PB AB ''+=+=，显然AB '是直线1l 上的点与点,A B '距离和的最小值，因此AP QB +的最小值，即AP PB '+的最小值AB '，而AB '==，所以AP PQ QB ++的最小值为AB PQ '+【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.13．在平面直角坐标互中，给定()()1,2,3,4M N 两点，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠最大值时，点P 的横坐标为【答案】3【分析】根据条件结合圆的性质，转化为求圆的半径最小，利用数形结合，即可求解.【详解】过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上，其中MPN ∠为弦MN 所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，MPN ∠最大，设圆心坐标为(,5)E a a -，又由点P 在x 轴上移动，当圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，设切点为(,0)P a ，圆的半径为5a -，所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-，代入点(1,2)M 代入圆的方程，可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-，整理得2250a a +-=，解得3a =或5a =-（舍去），所以点P 的横坐标的为3.故答案为：3.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:2C x a y a -+-+=，点(0,2)A ，若圆C 上的点M 均满足2210MA MO +>，则实数a 的取值范围是．【答案】a<0或3a >【分析】将条件2210MA MO +>坐标化，先转化为22(1)4x y +->恒成立，即圆C 上所有动点到定点(0,1)B 距离的最小值大于2，再转化为(0,1)B 与圆心C 距离的不等关系求解可得.【详解】设(,)M x y ，由点(0,2)A ，2210MA MO +> 222222(2)2(22)10x y x y x y y ∴+-++=+-+>即点M 满足22(1)4x y +->2，设点(0,1)B ，即2MB >恒成立则min 2MB >，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值大于2，又圆(,2)C a a -，半径为1，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值即为：1BC -.12BC ∴->.即3BC =，化简得230a a ->，解得a<0或3a >.故答案为：a<0或3a >.15．已知P 为直线60x y ++=上一动点，过点P 作圆22:66140C x y x y +--+=的切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 面积最小时，直线AB 的方程为．【答案】6=0x y +【分析】求得四边形PACB 面积最小时P 点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线AB 的方程.【详解】圆22:66140C x y x y +--+=，即()()22233=2x y -+-，所以圆心为()3,3C ，半径2r =，1=2=22PACB S PA r PA ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭所以当CP 最小，也即CP 垂直60x y ++=时，四边形PACB 面积最小，直线60x y ++=的斜率为1-，则此时直线CP 的斜率为1，则直线CP 的方程为y x =，由60y xx y =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得3x y ==-即(3P --，对应PC ，=PA PB以P 为圆心，半径为((2233=12x y -++-+，即()()226622x y x y ++++-，由()()2222661406622x y x yx y x y ⎧+--+=⎪⎨++++-⎪⎩，两式相减并化简得26=0x y ++-，也即直线AB 的方程为26=0x y ++-.故答案为：26=0x y ++-【点睛】研究直线和圆的位置关系问题，主要思路是数形结合的数学思想方法，直线和圆有关的相切问题，连接圆心和切点的直线，与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，再根据表达式来求最值.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积取最小值时，直线l 对应的方程为.【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0x ＋y －2＝0【详解】(1)①当直线l 经过坐标原点时，可得a ＋2＝0，解得a ＝－2．所以直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；②当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由条件得221a a a +=++，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．综上可得直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．(2)在(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0（a >－1）中，令0x =，得2y a =+；令0y =，得21a x a +=+．所以2(,0),(0,2)1a M N a a +++．由于1a >-，得210a a +>+>．所以22121(2)1(1)2(1)1(2)212121OMNa a a a S a a a a ∆++++++=⋅⋅+=⋅=⋅+++111[(1)2][22]2212a a =+++≥=+．当且仅当111a a +=+，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．答案：(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0(2)x ＋y －2＝0【点睛】用基本不等式求最值时，首先要判断是否满足了使用基本不等式的条件，若满足则可直接利用基本不等式求出最值；若不满足，则需要对代数式进行适当的变形，此时要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等变形的技巧，通过变形使得代数式满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．三、解答题17．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记()015011,,5n n n n T a a a x y a a a T=+++==+++ ，作函数()y f x =，使其图像为逐点依次连接点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线．(1)求(0)f 和(1)f 的值；(2)设1n n P P -的斜率为(1,2,3,4,5)n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系；(3)证明：当(0,1)x ∈时，()f x x <；(4)求由函数y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积．（用12345,,,,a a a a a 表示）【答案】(1)(0)0f =，(1)1f =(2)12345k k k k k <<<<(3)见解析(4)124512345225()a a a a a a a a a --++++++【分析】（1）运用代入法进行求解即可；（2）根据斜率公式，结合已知进行判断即可；（3）要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，根据已知定义，结合放缩法进行证明即可.（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积，求出1S ，再由112S S =-求解即可.【详解】（1）0015(0)0a f a a a ==+++ ，015015(1)1a a a f a a a +++==+++ ；（2）[]01011111()()5155n n n n n n n n a a a a a a y y T k a n n x x T ---+++-+++-===--- (1,2,,5)n = ，因为12345a a a a a <<<<，所以12345k k k k k <<<<；（3）由于()f x 的图像是连接各点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=事实上，当1(,)n n x x x -∈时，1111()()()()()n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=-+-11111111()()n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x f x f x x x xx x x x x x x x ------------=+<+=----下面证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=对任何n (1,2,3,4)n =，15()n a a ++ 1[(5)]()n n n a a =+-++ 11()(5)()n n n a a n a a =+++-++ 1()(5)n n n a a n na ≤+++- []1()(5)n n n a a n a =+++-< 115()n n n a a a a nT++++++= 所以1()5n n n a a nf x x T ++=<= ，综上，(),(1,2,3,4)n n f x x n <=（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积则1011012212332111()()()()()()222S y y x x y y x x y y x x =+-++-++-3443455411()()()()22y y x x y y x x ++-++-123451(2222)10y y y y y =++++[]112123123411()()()510a a a a a a a a a a T =++++++++++123411(432)105a a a a T=++++直线y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积为1245112345221.25()a a a a S S a a a a a --++=-=++++【点睛】关键点睛：在证明()f x x <，(0,1)x ∈时，关键在于将其转化为证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，结合题设定义进行证明.18．已知曲线():,0T F x y =，对坐标平面上任意一点(),P x y ,定义[](),=F P F x y ,若两点P ,Q ，满足[][]0F P F Q ⋅>，称点P ,Q 在曲线T 同侧；[][]0F P F Q ⋅<，称点P ,Q 在曲线T 两侧.(1)直线l 过原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中()1,1A -，()2,3B ,求直线l 的倾斜角的取值范围；(2)已知曲线()(,3450F x y x y =+-=，O 为坐标原点，求点集[][]{}0S P F P F O =⋅>的面积；(3)记到点()0,1与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ，曲线()22:,0=+--=T F x y x y y a ，若曲线C 上总存在两点M ,N 在曲线T 两侧,求曲线C 的方程与实数a 的取值范围.【答案】(1)33[0,arctan (,)24ππ ；(2)83S π=（3）()()222480:24120y x x C y x x ⎧=-≥⎪⎨=+<⎪⎩，52⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）由题意设出直线方程为y kx =，通过新定义，得到[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，求出斜率范围，进而可求出倾斜角范围；（2）先由题意得到点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，求出23AOB π∠=，进而可求出结果；（3）先设曲线C 上的动点为(,)x y5=y ，化简整理，即可得出轨迹方程；再由新定义，将[][]0⋅<F M F N 化为(6)(24)0--<a a ，进而可得出结果.【详解】（1）由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y kx =，则(),0=-=F x y kx y ，因为()1,1A -，()2,3B ，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，则[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，解得312-<<k ；故倾斜角的范围是33[0,arctan (,)24ππ ；（2）因为[]0<F O ，所以[](345)0=+-F P x y ，故2234504x y x y +-<⎧⎨+<⎩，点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，则O 到AB 的距离为1，故23AOB π∠=，因此，所求面积为：2214182223223ππ=⋅⋅+⋅=S（3）设曲线C 上的动点为(,)x y 5=y ，化简得曲线C 的方程为：228(3),0312(2),20x y y x y y ⎧=-≤≤⎨=+-≤≤⎩，其轨迹为两段抛物线弧；当03≤≤y 时，[]2(,)9246,24=-+-∈--F x y y y a a a ；当20-≤≤y 时，[]2(,)11246,24=++-∈--F x y y y a a a ，故若有[][]0⋅<F M F N ，则(6)(24)0--<a a ，解得624<<a .【点睛】本题主要考查新定义下直线与圆的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线斜率与倾斜角的概念等即可，属于常考题型.19．如图，已知A ，(0,0)B，(12,0)C ，直线:(20l k x y k --=．(1)证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；(3)若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程．【答案】(1)证明见解析，定点坐标为(2,；170y +-=；(3)2100x +-=．【分析】（1）整理得到(2))0k x y -+-=，从而得到方程组，求出定点坐标；（2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S = 得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到123P P k =，由对称性得3PK k =-，写成直线方程.【详解】（1）直线:(20l k x y k --=可化为(2))0k x y -+-=，令200xy -=⎧⎪-=，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩l 经过的定点坐标为(2,；（2）因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12AB AC BC ===，由题意得直线AB 方程为y =，故直线l 经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM =，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =⨯⨯，所以3||||94AD AC ==，设00(,)D x y ，所以34AD AC =，即003(6,(6,4x y --=-，所以0212x =，0y =21(2D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =所以直线l170y +-=；（3）设P 关于BC的对称点1(2,P -，关于AC 的对称点2(,)P m n ，直线AC12612x -=-，即)12y x =-，直线AC的方程为12)y x =-，所以(1221222n m n m ⎧-⋅=-⎪-⎪⎨++⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩，解得14,m n ==2P ，由题意得12,,,P K I P四点共线，123P P k =，由对称性得3PK k =-，所以入射光线PK的直线方程为2)y x ---，即2100x -=．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上．(1)设直线l ：43y x =+与圆M 交于C ，D 两点，且OC OD =，求圆M 的方程；(2)设直线y =与（1）中所求圆M 交于E ，F 两点，点P 为直线5x =上的动点，直线PE ，PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线EF 两侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)22(1)(4x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）由||||OC OD =，知OM l ⊥，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，解方程可得t ，讨论t 的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程；（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，求得E ，F 的坐标，PE 和PF 的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，3PE PF k k =．设PE k m =，则3PF k m =．设直线GH 的方程为y kx b =+，代入圆的方程，运用韦达定理，可得k ，b 的关系，即可得到所求定点．（1）圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上，设M t ⎛ ⎝⎭由||||OC OD =，知OM l ⊥.所以2OM k t =1t =±.当1t =时，圆心M 到直线:4l y =+的距离1)d =小于半径，符合题意；当1t =-时，圆心(1,M -到直线:4l y =+的距离1)d =大于半径，不符合题意.所以，所求圆M 的方程为22(1)(4x y -+-=.（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，又知(E -，F ，所以06PE y k =，02PF y k =．显然3PE PF k k =，设PE k m =，则3PF k m =．从而直线PE 方程为：(1)y m x +，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(1)(22)30m x m x m ++-+-=，所以212311m x m --⨯=+，即21231m x m -=+；同理直线PF 方程为：3(3)y m x -，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(19)(542)8130m x m x m +-++-=，所以222813319m x m -⨯=+，即22227119m x m -=+．所以22212224232713221199101m m m x x m m m m --+=+=+++++；222122242327111231199101m m m x x m m m m --=⋅=-+++⋅++．消去参数m 整理得121227()200x x x x -++=．①设直线GH 的方程为y kx b =+，代入22(1)(4x y -+=，整理得222(1)(22)0k x kb x b ++--+-=．所以122221kb x x k --+=-+，21221b x x k -⋅=+．代入①式，并整理得22(71030b k b k +-+-+=，即(250b k b k ++-=，解得2b k =或5b k -．当2b k =时，直线GH 的方程为(2)y k x =-；当5b k =时，直线GH 的方程为(5)y k x =-，过定点第二种情况不合题意（因为G ，H 在直径EF 的异侧），舍去．所以，直线GH 过定点．21．如图所示，已知圆222:()0O x y r r +=>上点(1,)a 处切线的斜率为圆O 与y 轴的交点分别为A B 、，与x 轴正半轴的交点为D ，P 为圆O 的第一象限内的任意一点，直线BD 与AP 相交于点M ，直线DP 与y 轴相交于点N ．（1）求圆O 的方程；（2）试问：直线MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）(2,2).【分析】(1)根据切线斜率得切点与圆心连线斜率，解得a,再代入圆方程得r,即得结果，(2)先设直线AP 方程，分别解得P 坐标，M 坐标,以及N 坐标，再求出直线MN 方程，最后根据方程求定点.【详解】（1）由题意得2211413a a r ⋅=-∴==+=∴22:4O x y += （2）设:2(10)AP y kx k =+-<<()222221404y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩222422,11k k P k k ⎛⎫-+⇒- ⎪++⎝⎭()()0,2,2,0B D - ∴直线:2BD y x =-2422,211y x k M y kx k k =-⎧---⎛⎫⇒⎨ ⎪=+--⎝⎭⎩由,,D P N 三点共线得：2222222002222140221121N N k y k k k y k k k k k -+---+-++=⇒==--+++-+∴21MN kk k =+直线MN 为：22211k k y x k k -+=+++即：()()2220y x k y -++-=由2022202y x y x y -==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴直线MN 过定点()2,2.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22．已知圆C 经过()0,1A ，()()4,0B a a >两点．(1)如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点坐标．(2)已知点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M 和N ，当圆C 的面积最小时，试求BM BN ⋅的最小值.【答案】(1)证明见解析，定点为()4,1(2)min 8BM BN ⋅=【分析】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，由AB 是圆C 的直径，得0AP BP ⋅= ，从而可求出圆C 的方程，即可得出结论；（2）根据题意可得点C 在直线3y x =-上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以AA '为直径的圆，从而可求出圆C 的方程，进而可求得B 点的坐标，设出直线l 的方程，分别求出,M N 的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解．【详解】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，因为AB 是圆C 的直径，所以0AP BP ⋅= ，即()()()()(),14,410x y x y a x x y y a -⋅--=-+--=，所以圆C 的方程为：()()()410x x y y a -+--=，则4x =，1y =时等式恒成立，故定点为()4,1，所以无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为()4,1；（2）因点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，所以点C 在直线3y x =-上，又圆C 的面积最小，所以圆C 是以AA '直径的圆，设过点A 与直线3y x =-垂直的直线方程为1y x =-+，由方程组31y x y x =-⎧⎨=-+⎩得()2,1C -，则AC =所以圆C 的方程为()()22218x y -++=，当4x =时，1a =或3a =-，又0a >，所以1a =，即()4,1B ，由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 的方程为()14y k x -=-，当0x =时14y k =-，当0y =，时14x k =-，所以||||448BM BN ⋅=，（当且仅当221k k =，即1k =±时取等号）则当1k =±时，min 8BM BN ⋅=。

高三数学解析几何压轴题训练——直线与圆一、选择题1．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线所在直线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上．又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以半径最小的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.2．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，因此2＋a －1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(2＋4)2＋(1＋1)2－4＝6.3．若曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 解析：选C 注意到y ≥1，曲线y ＝1＋4－x 2是圆x 2＋(y －1)2＝4在直线y ＝1的上方部分的半圆．又直线kx －y －2k ＋4＝0⇒y －4＝k (x －2)知恒过定点A (2,4)．如图，由B (－2,1)，知k AB ＝4－12－(－2)＝34，当直线与圆相切时，|－1－2k ＋4|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝512，故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.4．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，易知d max ＝12＋32＝10，所以|AB |min ＝214－10＝4.5．已知P 是过三点O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)的圆M 上一点，圆M 与x 轴、y 轴的交点(非原点)分别为S ，T ，则|PS |·|PT |的最大值为( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选B 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0， 即(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8.令x＝0，得y2＋6y＝0，解得y＝0或y＝－6.所以S(8,0)，T(0，－6)．而圆心(4，－3)在直线ST上，所以PS⊥PT.即|PS|2＋|PT|2＝(2r)2＝100.所以|PS|·|PT|≤12(|PS|2＋|PT|2)＝50.所以(|PS|·|PT|)max＝50.6．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：选B当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.7．若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于两点A，B，且∠ACB ＝60°(其中C为圆心)，则直线l的方程是()A．4x－3y－5＝0 B．x＝2或4x－3y－5＝0C．4x－3y＋5＝0 D．x＝2或4x－3y＋5＝0解析：选B由题意可得，圆C的圆心为C(－1,2)，半径为23，因为∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，边长为23，所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，与圆相交且圆心C到直线l的距离为3，满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设l：y－1＝k(x－2)，则圆心C到直线l的距离d＝|3k＋1|k2＋1＝3，解得k＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0. 8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2.当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|.又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0间距等于1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求的圆的半径的取值范围是(4,6)．10．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13解析：选C 法一：(排除法)由圆心在x 轴上，可排除A 、B ，又圆过(0,1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝⎛⎭⎫332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，|PO |＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴|PO |min ＝|MO |－1，|PO |max ＝|MO |＋1， ∵|MO |＝a 2＋(a －4)2，∴由a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 12．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，又|PQ |＝29－d 2，所以S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝(9－d 2)d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：法一：由题意，设M (2＋cos θ，2＋sin θ)，则N (2＋cos θ，－2－sin θ)，将N 的坐标代入kx ＋y ＋3＝0，可得sin θ－k cos θ＝2k ＋1.因为sin θ－k cos θ＝k 2＋1sin(θ－φ)，其中tan φ＝k ，所以|2k ＋1|≤k 2＋1，即3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43. 法二：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 问题转化为直线kx ＋y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝1有公共点N . 所以|2k －2＋3|k 2＋1≤1，即|2k ＋1|≤k 2＋1，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43.答案：－4314．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：415．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上不同的两点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．解析：由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，0在直线x －y －1＝0上，所以－k2－1＝0，解得k ＝－2，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为322，所以△PAB 面积的最大值为12×22×⎝⎛⎭⎫1＋322＝3＋ 2.答案：3＋ 216．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有一个，两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝5， 圆心(－1,0)，r ＝5，两直线分别与圆相切时对应的a 的边界值为：|－2＋a 2＋1|5＝5时，a ＝±6； |a －2|5＝5时，a ＝－3或a ＝7， 所以a 的边界值分别为－3,7，±6.由题意可知，两平行直线中必有一条与圆相切，另一条与圆相离，相切，相交三种情况都满足题意，故a ∈[]－3，－6∪[]6，7.答案：[]－3，－6∪[]6，7。

压轴题06 直线和圆中的隐形圆问题在考查直线与圆的综合问题时，有些时候题设条件中没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来求解，这类问题称为“隐圆”问题隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.○热○点○题○型1利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 ○热○点○题○型2圆的内接四边形与托勒密定理 ○热○点○题○型3向量隐圆 ○热○点○题○型4米勒圆与最大视角1.如图32-3所示，已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|P A →＋PB →|的取值范围为________．图32-32.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,0)，B (5,0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一点P ，使得直线P A ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为_________．3. 如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为_______.4.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．1125.若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______. 6.在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=-- （1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.7.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是__________.8.已知向量→→→c b a ,,满足1,2||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.9.已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅=，1a b ==，()()12c a c b -⋅-=，则c a -的最大值为（）AB ．1C ．32D ．210.已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.解析：如图，设D 是圆O 上不同于点P 的任意一点，连结DA 与圆O 交于点E ，连接 EC ，由三角形外角的性质，可知ADC AEC ∠>∠，由圆周角定理：=∠APC AEC ∠， 因此ADC APC ∠>∠，当且仅当ACP ∆的外接圆与圆O 相切于点P 时，APC ∠最大. 此时，可设ACP ∆的外接圆圆心),1(t M ，由于此时P M O ,,三点共线且MP OM OP +=，而42+==t MC MP ，则531422=+++t t ，解得：5442=t ， 于是58=M R ，由正弦定理，则APB ∠sin 的最大值为45.11.如图32-2所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围是________．图32-212.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P (3,1)，PO →·()P A →＋PB →＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，求实数a 的值．。