角平分线知识的点滴
- 格式：doc
- 大小：101.00 KB
- 文档页数：4
初中角平分线知识点滴
塔水初中 张友金
角平分线在初中的数学中占有重要的份量，七年级到九年级的教科书都涉及到角平分线的知识，总共有五个地方出现过，为了叙述的方便，我结合例题分别说说以上的知识点。
七年级的教科书出现在两个地方，在七年级上册的第四章图形的理解第3节角这个节中简单的引出了角平分线定义： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线；而在下册的第七章三角形第1节与三角形相关的线段再次提到了三角形中的角平分线，包括内角平分线和外角平分线，这个节中的经典例题比大量，现举3例：
例题1：由两条内角平分线所组成的角
如图1，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，那么∠BOC 与∠A 有什么关系呢？证明你的猜想．
探索与分析：因为BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线， 所以∠1=12∠ABC ，∠2=12
∠ACB ，在△OBC 中， ∠BOC=1800-（∠1+∠2）=1800-12
（∠ABC+∠ACB ）= 1800-12（1800-∠A ）=900+12∠A ，由此得到结论． 点评：解决本题的关键在于两条角平分线架起了与之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡，细心审题，发现已知与所求之间的联系常是解题的关键
结论1：由三角形的两条内角平分线所组成的角等于900与第三角一半的和． 例题2：由两条外角平分线所组成的角
如图2，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角平分线交于点P ，试问∠P 与∠A 有什么关系？
证明你的结论．
探索与分析：因为BP 、CP 分别平分∠DBC ，∠ECB ，所以
∠1=12∠DBC ，∠2=12
∠ECB ，在△PBC 中，∠P= 1800-（∠1+∠2）=1800-12（∠DBC+∠ECB ）=1800-12 （180-0∠ABC+1800-∠ACB ）=1800-12[3600-（∠ABC+∠ACB ）]= 12
（∠ABC+∠ACB ）= 12（1800-∠A ）=900-12∠A ，由此得到结论 结论2：由三角形两条外角平分线所组成的角等于900与第三角一半的差．
例题3：由三角形一个角的内角平分线和另一个角的外角平分线所组成的角
如图3，，△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点P ，试问∠P 与
2 A B C O 1 图1 1 2
B A E
C
D P 图2
∠A 有什么关系？证明你的结论．
探索与分析：因为BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACD ，所以 ∠1=12∠ACD ，∠2=12∠ABC ，又因为∠1是△PBC 的外角， 所以∠1=∠P+∠2，所以∠P=∠1-∠2=12（∠ACD-∠ABC ），因为∠∠∠ABC ，所以∠A=∠ACD-∠ABC ，所以∠P=12
∠A ，由此得到结论 结论3：由三角形一个角的内角平分线和另一个角的外角平分线所组成的角等于第三角的一半．
在八年级上册第十一章全等三角形的第三节又介绍了角平分线的画法和性质，这里主要说说性质，性质有2个：
1.角平分线上的一点到角的两边距离相等。
2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
这两个性质题设与结论恰恰相反，其中一个是另一个的逆定理，学生在应用的时候往往容易混淆，关键要分清条件是什么。
例题4：证明三角形三个角的角平分线相交于一点。
证明： 如图，BO 、AO 是△ABC 的两条角平分线，过O 作OD ⊥AB
于D ，过O 作OF⊥AC 于F ，过O 作OE⊥BC 于E
∵BO、AO 是角平分线 OD⊥AB OF⊥AC OE⊥BC
∴OD=OE OD=OF （角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴OF=OE
∵OF=OE OF⊥AC OE⊥BC
∴OC 是∠ACB 的平分线（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
综上可得三角形的三条角平分线相交于一点（如图中的O 点）
说明：这道例题综合应用了角平分线的判定与性质，有一定的难度，关键在于如何把判定与性质综合应用。
图3 A 1 2 B C P D
在九年级的上册的第二十四章的第2节介绍内切圆的圆心时又涉及到了三角形的内心，即角平分线的交点，这个知识点的提及恰是创建在上面的这个例题的基础上，学生有了以上例题的知识应该不难理解。
这有个例题就把勾股定理与角平分线的性质很好的结合起来了。
例题5：在Rt ΔABC 中，∠C=90°,AC=3，BC=4，求ΔABC 的内切圆的半径。
分析：我们知道一般三角形的面积有个公式是S=lr 2
1，其中l 代表三角形的周长，r 就代表内切圆的半径，所以这道题只需要求出三角形的面积和周长就能够了，根据勾股定理不难算出斜边是5，从而得出周长12，面积6，所以r 应该为1.
在下册学习第二十七章相似的第2节相似三角形中讲到比例线段时就涉及有角平分线的定理，角平分线的定理是指：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
以前旧教科书中有，不过现在教科书已经删了。
它的证明并不难，考试题中经常出现，比如今年绵阳市的数学中考的最后一题的第（2 ）问就出现过，原题是这样的： 例题6：（2011绵阳市数学中考）
已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E ，如图1。
（1）若BD 是AC 的中线，如图2，求BD CE
的值； （2）若BD 是∠ABC 的平分线，如图3，求BD CE
的值； （3）结合（1）、（2），请你推断BD CE 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BD CE
的能值小于43
吗？若能，求出满足条件的D 点的位置；若不能，请说明理由。
我们单说第（2）问吧
解：根据角平分线定理可得:=AD CD =AB
BC =2 设AD=1，则CD=2，那么AB=12+
根据勾股定理可得BD=2)21(1++
又∆ ABD ∽ΔECD ∴
BD CD AB CE = 即：()22112
12++=+CE ∴CE=()2
21122+++
2=∴CE
BD 从以上的内容能够看出角平分线的知识贯穿了整个初中数学的教科书，而且知识点也比大量，考题也千变万化的，需要我们的同学灵活掌握，多加练习，达到举一反三的目的。
