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5．1.2 数据的数字特征考点 学习目标核心素养基本数字特征 理解数据的基本数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差与标准差等 数据分析数字特征的应用会用数字特征解决相关问题数学运算问题导学预习教材P61－P67的内容，思考以下问题： 1．数据的数字特征主要有哪些？ 2．实际问题是如何用数字特征刻画的？ 3．方差与标准差有什么关系？1．最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示．2．平均数(1) x －＝1n(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )＝1n ∑i ＝1nx i ＝nt ；其中符号“∑”表示求和，读作“西格玛”. (2)求和符号的性质：①∑i ＝1n(x i ＋y i ) ＝∑i ＝1nx i ＋∑i ＝1ny i ；②∑i ＝1n ( kx i ) ＝k ∑i ＝1nx i ；③∑i ＝1nt ＝nt ；④1n ∑i ＝1n(ax i ＋b )＝a x －＋b ． 3．中位数、百分位数(1)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数．(2)设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，x 3，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数．特别地，规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是x n (即最大值)． 4．众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．5．极差、方差与标准差(1)极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差． (2)方差：s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2．(3)如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2； (4)方差的算术平方根为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数是一组数据中间的数．( ) (2)众数是一组数据中出现次数最多的数．( )(3)一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )A ．减少计算量B ．避免故障C ．剔除异常值D ．活跃赛场气氛解析：选C.因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________，25%分位数为________．答案：6 5样本中共有5个个体，其值分别为a ，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．解析：由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1.所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：2利用概念求平均数、中位数、众数某电冰箱专卖店出售容积为182 L 、185 L 、228 L 、268 L 四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就做一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．(1)这组数据的平均数有实际意义吗？ (2)这组数据的中位数、众数分别是多少？ (3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数？【解】 (1)这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值． (2)这组数据共有110个，中位数为228，众数为228.(3)专卖店总经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228 L 型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些．一组数据中出现次数最多的数据是众数，它是我们关心的一种集中趋势，通常选择众数进行决策．若数据3.2，3.4，3.2，x ，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．解析：由题意x ＋3.42＝3.5，x ＝3.6，所以众数是3.2，平均数是16(3.2＋3.4＋3.2＋3.6＋3.9＋3.7)＝3.5.答案：3.2 3.5利用三数——平均数、众数、中位数解决问题某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：测试项目测试成绩甲乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力647284(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．【解】 (1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73， 乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74， 所以候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3， 乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8， 所以候选人甲将被录用．5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．小王数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少？解：小王平时测试的平均成绩x －＝89＋78＋853＝84(分)．所以84×10%＋90×30%＋87×60%10%＋30%＋60%＝87.6(分)．所以小王该学期的总评成绩应该为87.6分．极差、方差与标准差某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．小宇的作业：解：x －甲＝15(9＋4＋7＋4＋6)＝6，s 2甲＝15[(9－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2]＝15(9＋4＋1＋4＋0) ＝3.6.甲、乙两人射箭成绩统计表第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 46 乙成绩757a7(1)a ＝________；x 乙＝________； (2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；(3)①观察图，可看出________的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．【解】 (1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30， 则a ＝30－7－7－5－7＝4，x －乙＝30÷5＝6， 故答案为：4，6； (2)如图所示：(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定， 故答案为：乙；s 2乙＝15[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1.6，由于s 2乙＜s 2甲，所以上述判断正确．②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a 的值进而利用方差的意义比较稳定性即可．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)： 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙8375808090859295(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．解：(1) x －甲＝18(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，x －乙＝18(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知x －甲＝x －乙＝85分，所以s 2甲＝18[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为x －甲＝x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力． 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．1．已知一组数据2，1，x ，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是( ) A ．2 B ．2.5 C ．3D ．5解析：选B.由众数的意义可知x ＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为2＋32＝2.5.2．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2，3x 2－2，3x 3－2，3x 4－2，3x 5－2的平均数和方差分别为( )A ．2，13B ．2，1C ．4，23D ．4，3答案：D3．样本101，98，102，100，99的标准差为( ) A. 2 B ．0 C ．1D ．2解析：选A.样本平均数x －＝100，方差为s 2＝2， 所以标准差s ＝2，故选A.4. ∑i ＝15（2i －1）＝ .解析：∑i ＝15(2i －1)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：255．甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．解析：由题意知x －乙＝6，s 2乙＝6<s 2甲，则乙的成绩比较稳定． 答案：乙[A 基础达标]1．已知一组数据3，a ，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B.由数据3，a ，4，5的众数为4，可得a 为4，再求这组数据3，4，4，5的平均数为4.2．小华所在的年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法错误的是( )A ．1.65米是该班学生身高的平均水平B ．班上比小华高的学生人数不会超过25人C ．这组身高数据的中位数不一定是1.65米D ．这组身高数据的众数不一定是1.65米解析：选B.本题考查了一组数据中中位数、平均数、众数的概念及三者的取法，由平均数所反映的意义知A 选项正确，由中位数与平均数的关系确定C 选项正确，由众数与平均数的关系确定D 选项正确，由于平均数受一组数据中的极大、小值的影响，故B 选项错误．3．某排球队12名队员的年龄如下表所示：A ．19岁，19岁B ．19岁 ，20岁C ．20岁 ，20岁D ．20岁 ，22岁解析：选B.由众数的定义可知，数据19出现的次数最多达4次，12个数据中，由小到大排列后第6个与第7个位置上的数都是20，这两个数的平均数也是20.所以该队队员年龄的众数与中位数分别是19岁，20岁．4．已知一组数据：12，5，9，5，14，则下列说法不正确的是( ) A ．平均数是9 B ．中位数是9 C ．众数是5D ．极差是5解析：选D.数据描述类的题目，主要考查了平均数、中位数、众数、极差的计算，题目数据比较简单，先从简单的众数入手，C 是正确的，其次从小到大排列5，5，9，12，14，B 是正确的，再算平均数，所以A 也正确，故选择D.5．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2，得s 2＝110×100－32＝1，即标准差s ＝1.6．某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同．若知道某位选手的决赛的得分，要判断他是否获奖，只需知道这11名学生决赛得分的( )A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差解析：选A.由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知11人成绩的中位数是第6名的得分．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的得分以及全部得分的中位数，比较即可．7．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．解析：由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是40×90＋50×8190＝85(分)．答案：858．某住宅小区6月份随机抽查了该小区6天的用水量(单位：吨)，结果分别是30、34、32、37、28、31，那么，请你估计该小区6月份(30天)的总用水量约是________吨．解析：(30＋34＋…＋31)÷6＝32，所以估计该小区6月份(30天)的总用水量约是32×30＝960(吨)． 答案：9609．某学校抽查了某班级某月5天的用电量，数据如下表(单位：度)：(1)求这5(2)求这5天用电量的众数、中位数；(3)学校共有36个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量． 解：(1)因为(9×3＋10×1＋11×1)÷5＝9.6， 所以这个班级5天用电量的平均数为9.6度． (2)众数是9度，中位数是9度． (3)因为9.6×36×22＝7603.2，所以估计该校该月的总用电量为7603.2度．10．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)．如果甲、乙两人只有1解：甲的平均数为： x －甲＝15(10＋8＋9＋9＋9)＝9.乙的平均数为： x －乙＝15(10＋10＋7＋9＋9)＝9.甲的方差为s 2甲＝15[(10－9)2＋(8－9)2]＝25.乙的方差为s 2乙＝15[(10－9)2＋(10－9)2＋(7－9)2]＝65.甲、乙两人平均数相同，但s 2甲<s 2乙，说明乙的波动性大，故应让甲入选．[B 能力提升]11．(2019·湖南省张家界市期末联考)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y ，10，11，9，(x ，y ∈N )，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.由这组数据的平均数为10，方差为2可得x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，因为不要直接求出x 、y ，只要求出|x －y |，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，由(x －10)2＋(y －10)2＝8得t 2＝4；所以|x －y |＝2|t |＝4.故选A.12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 ( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3解析：选D.根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故选D.13．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x ，23，27，28，31，中位数为22，则x ＝________．解析：由题意知x ＋232＝22，则x ＝21.答案：2114．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36. 根据以上数据，试判断他们谁更优秀．解：x －甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝1986＝33，s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝16×94≈15.7； x －乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33， s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝16×76≈12.7. 所以x －甲＝x －乙，s 2甲＞s 2乙.说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．[C 拓展探究]15．一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下表：这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．解：(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)s 2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝150×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.s 2乙＝150×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256. 因为s 2甲＜s 2乙，所以甲组成绩较乙组成绩稳定．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为20人，乙组成绩大于或等于90分的人数为24人，所以乙组成绩在高分阶段的人数多，同时，乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．。
5．1.3 数据的直观表示必备知识基础练进阶训练第一层1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )2．如图是两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户居民家庭教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是( )A.甲户比乙户大 B．乙户比甲户大C.甲、乙两户一样大 D．无法确定哪一户大3．端午节期间，某市一周每天最高气温(单位：℃)情况如图所示，则这组表示最高气温数据的中位数是( )A.22 B．24C.25 D．274．甲、乙两名同学12次考试中数学成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲同学比乙同学发挥稳定，且平均成绩也比乙同学高B.甲同学比乙同学发挥稳定，但平均成绩比乙同学低C.乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩也比甲同学高D.乙同学比甲同学发挥稳定，但平均成绩比甲同学低5．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[80，90)①②[90，100)0.050[100，110)0.200[110，120)360.300[120，130)0.275[130，140)12③[140，150]0.050合计④根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________．6．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96，106](单位：厘米)，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].(1)求出x的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本总量N的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数．关键能力综合练进阶训练第二层7．(多选)某班数学测试成绩及班级平均分关系的图如下所示．其中说法正确的是( )A.王伟同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B.张诚同学的数学学习成绩波动最小C.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平D.在6次测验中，每一次成绩都是王伟第1，张诚第2，赵磊第38．如图所示的是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图，根据统计图判断下面叙述不正确的是( )A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B.深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门9．(多选)某调查机构对某地互联网行业进行了调查统计，得到整个互联网行业从业者的年龄分布扇形图、90后从事互联网行业的岗位分布条形图如图，则下列结论中一定正确的是( )A.互联网行业从业者中90后占一半以上B.互联网行业从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多10．已知甲、乙两组数可分别用图(1)、(2)表示，估计这两组数的平均数的相对大小是x甲______x乙，方差的相对大小是s________s(填“>”或“<”或“＝”).11．“校园安全”受到全社会的广泛关注，某校政教处对部分学生及家长就校园安全知识的了解程度，进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：(1)参与调查的学生及家长共有________人；(2)在扇形统计图中，“基本了解”所对应的圆心角的度数是________；(3)在条形统计图中，“非常了解”所对应的学生有________人；(4)若全校有1 200名学生，请你估计对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生共有________人．12．某高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图的可见部分如图所示，根据图中的信息，可确定被抽测的人数为________，分数在[90，100]内的人数为_ _______．13．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图：分组频数频率一组0≤t<500二组5≤t<10100.10三组10≤t<1510②四组15≤t<20①0.50五组20≤t≤25300.30合计100 1.00解答下列问题：(1)这次抽样的样本容量是多少？(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？核心素养升级练进阶训练第三层14．(多选)给出如图所示的三幅图：则下列说法中，正确的有( )A.从折线图能看出世界人口的变化情况B.2050年非洲人口将达到大约15亿C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D.从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢15．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A 和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图所示．(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数．(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，根据平均数你会选择哪款？说明理由．5．1.3 数据的直观表示1．答案：D解析：用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是柱形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．2．答案：B解析：由条形统计图可知，甲户居民全年总支出为1 200＋2 000＋1 200＋1 600＝6 000(元)，教育支出占总支出的百分比为×100%＝20%，乙户居民教育支出占总支出的百分比为25%，则乙户居民比甲户居民教育支出占总支出的百分比大．故选B.3．答案：B解析：中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数).由此将这组数据重新排序为20，22，22，24，25，26，27，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为24.4．答案：C解析：由茎叶图的性质可知乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩比甲同学高．5．答案：3 0.025解析：由位于[110，120)的频数为36，频率为＝0.300，得样本容量n＝120，所以[130，140)的频率为＝0.100，故②处应为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①处应为0.025×120＝3.6．解析：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，且频率之和等于1，∴0.050×2＋0.100×2＋0.125×2＋0.150×2＋x×2＝1，∴x＝0.075.(2)样本中身高小于100厘米的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3.∴样本容量N＝＝120.(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.∴学生数为120×0.75＝90(人).7．答案：AC解析：从图中看出王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高，第6次考试张诚没有赵磊的成绩好．8．答案：D解析：由图可知，A、B、C均正确，对于D，涨幅从高到低居于前三位的是天津、西安和南京，所以D错误．9．答案：ABC解析：A中，根据扇形图可知互联网行业从业者中90后占了56%，故正确；B中，互联网行业中从事技术岗位的90后人数占总人数的0.396×0.56≈0.222，故正确；C 中，互联网行业中从事运营岗位的90后人数占总人数的0.17×0.56≈0.095，而80前从事互联网行业的人数才占总人数的0.03，故正确；D中，因为互联网行业中从事运营岗位的80后人数占总人数的比例不能确定，所以无法判断．10．答案：＝ <解析：x甲＝(10×2＋20×6＋30×6＋40×2)＝25，x乙＝(10×3＋20×5＋30×5＋40×3)＝25，s＝[(10－25)2×2＋(20－25)2×6＋(30－25)2×6＋(40－25)2×2]＝75，s＝[(10－25)2×3＋(20－25)2×5＋(30－25)2×5＋(40－25)2×3]＝100，故x甲＝x乙，s<s.11．答案：(1)400 (2)135° (3)62 (4)790解析：(1)根据参加调查的人中，不了解的占5%，人数是16＋4＝20人，据此即可求参与调查的学生及家长总人数是：(16＋4)÷5%＝400(人).(2)利用360°乘以对应的比例即可求解：基本了解的人数是：73＋77＝150(人)，则对应的圆心角的底数是：360°×＝135°.(3)利用总人数减去其它的情况的人数即可求解：400－83－77－73－54－31－16－4＝62(人).(4)学生人数：62＋73＋54＋16＝205(人)，“非常了解”和“基本了解”的人数：62＋73＝135(人).当全校有1 200名学生，“非常了解”和“基本了解”的学生共有：1 200×≈790(人).12．答案：25 2解析：由频率分布直方图知，分数在[90，100]内的频率和[50，60)内的频率相同，所以分数在[90，100]内的人数为2人，总人数为＝25人．13．解析：(1)样本容量是100.(2)①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中的阴影部分：(3)设旅客平均购票用时为t min，则有≤t<，即15≤t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组．14．答案：AC解析：从折线图能看出世界人口的变化情况，故A正确；从柱形图中可得到：2050年非洲人口大约将达到17亿，故B错误；从扇形图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由题中三幅图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误．15．解析：(1)由已知，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件．11。
高中必修二数学教案《数据的数字特征》教材分析在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。
（由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。
）在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地领悟它们各自的特点，在详尽的问题中依照情况有针对性地选择一些合适的数字特点。
学情分析在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。
在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，学生经历分析数据、作出推断的过程，可以进一步体会统计对决策的作用。
教学目标1、通过实例，理解数据的数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数，理解不同数字特征的优势与不足。
2、会用求和符号表示平均数，掌握求和符号的性质。
3、能根据现实问题的需要选择适当的数字特征来表达数据信息，体会数字特征在分析数据时的重要作用，培养数学抽象能力、数学运算能力、数据分析素养。
教学重点平均数、中位数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。
教学难点根据问题的需要，选择适当的数字特征来表达数据的信息。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比。
在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值。
例如，上述情境中的两个班的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较。
二、学习新知1、最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况。
一般地，最大值用max表示，最小值用min表示。
日常生活中，有时我们只关心数据的最值。
比如，高考部分科目实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计入总成绩；末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等。
新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：5.1.3 数据的直观表示学习任务核心素养(教师独具)1．了解柱形图、折线图、扇形图的定义．2．能够利用茎叶图解决实际问题．(重点) 3．会列频数分布直方图，会列频率分布直方图．(难点)1．通过频率分布直方图及频率分布折线图的学习，培养数据分析的核心素养．2．借助茎叶图及频率分布直方图解决实际问题，提升数学运算的核心素养.2020年某市居民的支出构成情况如下表所示：食品衣着家庭设备用品及服务医疗保健交通和通信教育文化娱乐服务居住杂项商品和服务39.4% 5.9% 6.2% 7.0% 10.7% 15.9% 11.4% 3.5%问题：(1)要直观、形象地表示这些数据间的数量关系，应作出哪种统计图？(2)要直观、形象地表示这些数据在全部数据中所占的比例，应作出哪种统计图？[提示](1)柱形圆．(2)扇形图．知识点1柱形图、折线图、扇形图1．柱形图(也称为条形图)作用形象地比较各种数据之间的数量关系特征(1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例(2)每一矩形都是等宽的2.折线图作用形象地表示数据的变化趋势特征一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的数据3.扇形图(也称为饼图、饼形图)作用形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例特征每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比1．关于如图所示的统计图中(单位：万元)，下列说法正确的是()A ．第一季度总产值4.5万元B ．第二季度平均产值6万元C ．第二季度比第一季度增加5.8万元D ．第二季度比第一季度增长33.5% C [依次分析选项可得：A ．第一季度总产值3＋4＋4.5＝11.5万元，错误；B ．第二季度平均产值为4.5＋6＋6.83≈5.77万元，错误；C ．第二季度比第一季度增加(4.5＋6＋6.8)－(3＋4＋4.5)＝5.8万元，正确；D ．第二季度比第一季度增长 5.811．5≈50%，错误．故选C ．]知识点2 茎叶图作用(1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征(2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息 (3)比较两组数据的集中或分散程度特征所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列1．一般情况下，茎叶图中的“茎”“叶”分别指哪些数？[提示] “叶”是数据的最后一个数字，其前面的数字作为“茎”．2.如图是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是________，最低分是________．4% 51 [由茎叶图知，样本容量为25,90分以上的有1人，故优秀率为125＝4%，最低分为51分．]知识点3 频率(或频数)分布直方图(或折线图) 1．画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤(1)找出最值，计算极差；(2)合理分组，确定区间；(3)整理数据；(4)作出有关图示：频数分布直方图纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比频率分布直方图纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为12.频数分布折线图和频率分布折线图把频数分布直方图和频率分布直方图中把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来，且画成与横轴相交．3.甲、乙两个城市2020年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温比较稳定的城市是________．甲[从折线统计图中可以很清楚的看到乙城市的气温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大．]类型1条形图、折线图、扇形图的应用【例1】现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1 500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图．解答下列问题：(1)图中D所在扇形的圆心角度数为________．(2)若2020年全市共有30 000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名？(3)根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？[思路探究](1)由扇形统计图中的数据求出D占的百分比，乘以360°即可得到结果；(2)由样本中视力在4.9以下的人数占的百分比，乘以30 000即可得到结果；(3)根据扇形统计图中影响视力的因素，提出合理化建议即可．[解](1)根据题意得：360°×(1－40%－25%－20%)＝54°.(2)根据题意得：30 000×8001 500＝16 000(名)，则估计视力在4.9以下的学生约有16 000名．(3)建议中学生应少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力．扇形统计图、条形统计图、折线统计图的特点1．扇形统计图的特点(1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．(2)易于显示每组数据相对于总数的大小．2．条形统计图的特点(1)条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．(2)易于比较数据之间的差别．3．折线统计图的特点(1)能清楚地反映事物的变化情况．(2)显示数据变化趋势．[跟进训练]1．某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图)，该校七、八、九三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高”．乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“九年级的体育达标率最高．”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是()A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．甲、乙和丙B [由扇形统计图可以看出：八年级共有学生800×33%＝264人； 七年级的达标率为260800×37%×100%≈87.8%；九年级的达标率为235800×30%×100%≈97.9%；八年级的达标率为250264×100%≈94.7%.则九年级的达标率最高．则乙、丙的说法是正确的，故选B ．] 类型2 茎叶图及其应用【例2】 (对接教材P 77练习B T 4)某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107； 乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101．画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较． [解] 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，叶主要集中在8、9、10的茎上；甲同学的得分情况也是大致对称，叶主要集中在7、8、9的茎上．乙同学的成绩总体情况比甲同学好．1．绘制茎叶图关键是分清茎和叶．一般地说，当数据是两位数时，十位上的数字为“茎”，个位上的数字为“叶”；如果是小数，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”．解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶．2．应用茎叶图可以对两组数据进行比较，画图时，要找到两组数据共同的茎，分析时要从数据分布的对称性、中位数、稳定性等方面比较．3．茎叶图的优点是保留了原始信息，并可以随时记录数据，但当样本容量较大时就不适合了.[跟进训练]2.如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，则污损的数字是________．3 [设污损的叶对应的成绩为x ，由茎叶图可得，89×5＝83＋83＋87＋x ＋90＋99，∴x ＝3.故污损的数字是3.]类型3 频率分布直方图的绘制及应用1．我们抽取样本的目的是什么？把抽出的样本数据做成频率分布表，需要对数据做什么工作？[提示] 用样本去估计总体，为决策提供依据．分组、频数累计、计算频数和频率． 2．画频率分布直方图时，如何决定组数与组距？[提示] 组数与样本容量大小有关，当样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组，组距的选择应力求取整，一般运用“极差组距＝组数”．3．同一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图相同吗？ [提示] 不相同．对同一组数据，不同的组距与组数对结果有一定的影响． 4．频率分布直方图的纵轴表示频率吗？ [提示] 不．表示频率组距.【例3】 某省为了了解和掌握2019年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92 102 109 104 112 105 124 87 131 97 102 123 104 104 128 109 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97 126 108123 119 98 121 101 113 102 103 104 108 (1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和折线图；(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例．[思路探究] 先求极差．根据极差与数据个数确定组距、组数，然后按频率分布直方图的画法绘制图形．[解] 100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数为555＝11．(1)频率分布表如下：分组 频数 频率 频率/组距 [80,85) 1 0.01 0.002 [85,90) 2 0.02 0.004 [90,95) 4 0.04 0.008 [95,100) 14 0.14 0.028 [100,105) 24 0.24 0.048 [105,110) 15 0.15 0.030 [110,115) 12 0.12 0.024 [115,120) 9 0.09 0.018 [120,125) 11 0.11 0.022 [125,130) 6 0.06 0.012 [130,135] 2 0.02 0.004 合计1001.000.200(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示：(3)从频率分布表中可知，这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24＋0.15＋0.12＋0.09＝0.60，据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.(0.60＝60%)1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系 (1)若极差组距为整数，则极差组距＝组数； (2)若极差组距不为整数，则极差组距的整数部分＋1＝组数．2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．[跟进训练]3．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；(3)求样本数据不足0的频率．[解](1)频率分布表如下：分组频数频率[－20，－15)70.035[－15，－10)110.055[－10，－5)150.075[－5,0)400.200[0,5)490.245[5,10)410.205[10,15)200.100[15,20]170.085合计200 1.000(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．(3)样本数据不足0的频率为：0.035＋0.055＋0.075＋0.200＝0.365.1．如果想用统计图来反映各数据的变化趋势，比较合适的统计图是()A．条形图B．折线图C．扇形图D．其他图形B[能反映各数据变化趋势的统计图是折线图．]2．某地农村2005年到2020年间人均居住面积的统计图如图所示，则增长最多的5年为()A．2005年～2010年B．2010年～2015年C．2015年～2020年D．无法从图中看出C[2005年～2010年的增长量为3.1,2010年～2015年的增长量为3.2,2015年～2020年的增长量为3.8.]3．(多选题)下列关于茎叶图的叙述错误的是()A．将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或变化不大的位作为一个主杆(茎)，将变化大的位的数作为分枝(叶)，列在主杆的后面B．茎叶图只可以分析单组数据，不能对两组数据进行比较C．茎叶图更不能表示三位数以上的数据D．画图时茎要按照从小到大的顺序从下向上列出，共茎的叶可随意同行列出BCD[由茎叶图的概念知，只有A选项正确，故选BCD．]4．观察如图所示的统计图，下列结论正确的是()A．甲校女生比乙校女生多B．乙校男生比甲校男生少C．乙校女生比甲校男生少D．甲、乙两校女生人数无法比较D[题图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生人数不知道，因此男生、女生的具体人数也无法得知．]5．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A，B两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如下表所示．根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3∶2的比例计算两人的总成绩，那么________(填A或B)将被录用．测试成绩测试项目A B面试9095综合知识测试8580 B[A的成绩＝(90×3＋85×2)÷5＝88(分)，B的成绩＝(95×3＋80×2)÷5＝89(分)．因此B将被录用．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．重复的数据在茎叶图中是如何表示的？[提示]应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．2．你认为茎叶图有哪些优点？[提示]茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据．3．频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？[提示]频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律．。
人教B版（2019）高中数学必修第二册课程目录与教学计划表教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。
不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。
目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！课程目录教学计划、进度、课时安排第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1 实数指数幂及其运算4.1.2 指数函数的性质与图像本节综合与测试4.2对数与对数函数4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则4.2.3对数函数的性质与图像本节综合与测试4.3指数函数与对数函数的关系4.4幂函数4.5增长速度的比较4.6函数的应用(二)4.7数学建模活动:生长规律的描述本章综合与测试第五章统计与概率5.1统计5.1.1 数据的收集5.1.2 数据的数字特征5.1.3 数据的直观表示5.1.4用样本估计总体本节综合与测试5.2数学探究活动:由编号样本估计总数及其模拟5.3概率5.3.1样本空间与事件5.3.2事件之间的关系与运算5.3.3古典概型5.3.4频率与概率5.3.5随机事件的独立性本节综合与测试5.4统计与概率的应用本章综合与测试第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念6.1.2向量的加法6.1.3向量的减法6.1.4 数乘向量6.1.5向量的线性运算本节综合与测试6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理6.2.2 直线上向量的坐标及其运算6.2.3平面向量的坐标及其运算本节综合与测试6.3平面向量线性运算的应用本章综合与测试本册综合。
5.3.5随机事件的独立性课后篇巩固提升夯实基础1.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反面”,下列结论正确的为()A.A与B相互独立B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A与B互斥D.P(AB)=12A,由题意得事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响,所以A与B相互独立,所以A中结论正确.对于选项B,C,由于事件A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故选项B,C中结论不正确.对于选项D,由于A与B相互独立,因此P(AB)=P(A)P(B)=1,4所以D中结论不正确.故选A.2.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为()A.0.42B.0.28C.0.18D.0.120.6,0.7,则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4,0.3,由于两人考试相互独立,所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为0.4×0.3=0.12.故选D.3.某市某校在秋季运动会中,安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响.现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则一名同学投篮得2分的概率为()A.0.5B.0.48C.0.4D.0.32A ,“第二次投进”为事件B ,则得2分的概率为P=P (A B )+P (B B )=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.故选B .4.在某段时间内,甲地不下雨的概率为P 1(0<P 1<1),乙地不下雨的概率为P 2(0<P 2<1),若在这段时间内两地下雨相互独立,则这段时间内两地都下雨的概率为 ( )A.P 1P 2B.1-P 1P 2C.P 1(1-P 2)D.(1-P 1)(1-P 2)P 1,乙地不下雨的概率为P 2,且在这段时间内两地下雨相互独立,所以这段时间内两地都下雨的概率为P=(1-P 1)(1-P 2).5.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13(两人是否通过测试互不影响),两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13B.23C.12D.1A ,B ,则P (A )=12,P (B )=13,两人中有且只有一人能通过为事件B B+A B , 故所求的概率为P (B B+A B )=P (B )P (B )+P (A )P (B )=(1-12)×13+12×(1-13)=12.故选C .6.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为8081,则此射手的命中率是 ,此射手恰好命中三次的概率是 .3281设此射手每次射击命中的概率为P ,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知该射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1-8081=181,则(1-P )4=181,解得P=23.(2)此射手恰好命中三次的概率为P 1=13×23×23×23+23×13×23×23+23×23×13×23+23×23×23×13=3281.7.一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.求: (1)这名学生在途中遇到4次红灯的概率; (2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率; (3)这名学生至少遇到一次红灯的概率.设事件A 为在途中遇到4次红灯,P (A )=(13)4×(1-13)×5=10243.(2)设首次停车前经过3个路口为事件B , 则P (B )=(1-13)3×13=881.(3)设至少遇到一次红灯为事件C , 则其对立事件为全遇到绿灯, 所以P (C )=1-(1-13)5=211243.能力提升1.甲骑自行车从A 地到B 地,途中要经过4个十字路口,已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( ) A.13 B.427C.49D.1127解析由题可知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1-13=23,所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是23×23×13=427. 2.端午节放假,甲回老家过节的概率为13,乙、丙回老家过节的概率分别为14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( ) A.5960B.12C.35D.160A ,B ,C ,至少1人回老家过节为事件D ,则P (D )=1-P (BBB )=1-P (B )P (B )P (B )=1-23×34×45=35.故选C .3.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为p ,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=( ) A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2p+p (1-p )+p (1-p )2=0.784,整理可得p (2-p+1-2p+p 2)=p (p 2-3p+3)=0.784,将各选项中的数分别代入方程可知A 项正确. 4.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为12,23,23,若他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为 .A 表示“甲命中”,事件B 表示“乙命中”,事件C 表示“丙命中”,则P (A )=12,P (B )=23,P (C )=23,所以他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为p=P (AB B )+P (A B C )+P (B BC )+P (ABC )=12×23×13+12×13×23+12×23×23+12×23×23=1218=23.5.在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是34,甲、乙两人都回答错误．．的概率是112,乙、丙两人都回答正确．．的概率是14.设每人回答问题正确与否是相互独立的. (1)求乙答对这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.记甲、乙、丙答对这道题分别为事件A ,B ,C ,设乙答对这道题的概率P (B )=x ,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A ,B ,C 是相互独立事件. 由题意,得P (BB )=P (B )P (B )=(1-34)×(1-x )=112,解得x=23, 即乙答对这道题的概率为23.(2)设“甲、乙、丙、三人中,至少有一人答对这道题”为事件M , 丙答对这道题的概率P (C )=y. 由题意得P (BC )=P (B )P (C )=23×y=14,解得y=38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P (BBB )=P (B )P (B )P (B )=(1-34)(1-23)(1-38)=596.因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对立事件,所以所求事件概率为P (M )=1-596=9196.。
