2019年高考数学二轮复习课件及学案专题四 数列2-4-1

2.4.1 等差数列、等比数列1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3⎝⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3S 3＝S 3－a 3＋S 3＋a 4，∴S 3＝a 4－a 3，∴3a 1＋3×22d ＝d ，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. [答案] B2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 解法一：等差数列{an }a 1＋48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 8，得d ＝4，故选C.的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得 ，，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝4，故选C.}的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 23＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，又a 1＝1，∴S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.故选A. [答案] A4．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二2 份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f[解析] 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D. [答案] D5．(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n＝634，则a 8＝________.[解析] 设等比数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1＝2S 3，不符合题意， ∴q ≠1，由题设可得⎪⎧a 1－q31－q ＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝14，q ＝2，∴a 8＝a 1q ＝4×2[答案] 32高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，该部分以选择题、填空题为主，在4～7题的位置或13～14题的位置，难度不大，以两类数列的基本运算和基本性质为主．。

数列[江苏卷5年考情分析]第一讲 小题考法——数列中的基本量计算1．(2018·南通、泰州一调)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．解析：由a 8＝a 6＋6a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋6a 2q 2，则q 4－q 2－6＝0，所以q 2＝3(负值舍去)，又q >0，所以q ＝3，则a 3＝a 2q ＝ 3.答案： 32．公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且S 10＝λa 4，则λ的值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 6＝3a 4，得a 1＋5d ＝3(a 1＋3d )，则a 1＝－2d ，又S 10＝λa 4，所以λ＝S 10a 4＝10a 1＋10×92d a 1＋3d＝1－2d ＋10×92d－2d ＋3d＝25.答案：253．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1－q31－q ＝74，S 6＝a 1－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：324．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为________．解析：设{a n }的公比为q 且q >0，因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 1＋a 2＝2×12a 3＝a 3，即a 1＋a 1q ＝a 1q 2，因为a 1≠0，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52<0(舍去)，所以a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 3＋a 4q 2a 3＋a 4＝q 2＝3＋52.答案：3＋52[方法技巧]等差(比)数列基本运算的策略(1)在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个最基本的元素．(2)在进行等差(比)数列项的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体代换法的使用，以减少计算量.[题组练透]1．在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝________.解析：由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝4，则2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，∴log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.答案：202．(2018·南京、盐城、连云港二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为________．解析：因为S 15＝30，所以a 1＋a 152＝30，a 1＋a 15＝4，即2a 8＝4，a 8＝2，又因为a 7＝1，所以公差d ＝1，a 5＝a 7－2d ＝－1，S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝－9.答案：－93．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17a 9＝________. 解析：由题知，a 3＋a 15＝6>0，a 3a 15＝8>0，则a 3>0，a 15>0，由等比数列的性质知a 1a 17＝a 3a 15＝8＝a 29⇒a 9＝±22.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 9＝a 3q 6>0，故a 9＝22，故a 1a 17a 9＝822＝2 2. 答案：2 24．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3，S 9－S 6＝12，则S 6＝________. 解析：在等比数列{a n }中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即3，S 6－3,12成等比数列，所以(S 6－3)2＝3×12＝36，所以S 6－3＝±6，所以S 6＝9或S 6＝－3(舍去)．答案：95．(2018·苏州暑假测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，总有S n ≤S k ，则k 的值是________．解析：在等差数列{a n }中，设公差为d ，因为“a n －S n ＝a 1＋(n －1)d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1n ＋n n －2d ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)”的二次项系数为1，所以－d2＝1，即公差d ＝－2，令n ＝2，得a 1＝13，所以前n 项和S n ＝13n ＋n n －2×(－2)＝14n －n 2＝49－(n－7)2，故前7项和最大，所以k ＝7.答案：7[方法技巧]等差、等比数列性质问题求解策略(1)等差、等比数列性质的应用的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n＝a p ＋a q ”这一性质与求和公式S n ＝n a 1＋a n2的综合应用．[必备知能·自主补缺](一) 主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d (1)q ≠1，S n ＝a 1－qn1－q＝a 1－a n q1－q； (2)q ＝1，S n ＝na 12．判断等差数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． 3．判断等比数列的常用方法 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (二) 二级结论要用好 1．等差数列的重要规律与推论 (1)p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ＋a q ＝a m ＋a n .(2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd .(3)连续k 项的和(如S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…)构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 奇S 偶＝a ma m ＋1. (5)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1. [针对练] 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ， 所以d ＝192－1626＝5.答案：52．等比数列的重要规律与推论 (1)p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ·a q ＝a m ·a n .(2){a n }，{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．(3)连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m 项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝q . (5)对于等比数列前n 项和S n ，有： ①S m ＋n ＝S m ＋q mS n ；②S m S n ＝1－q m 1－q n(q ≠±1)． [课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．(2018·南京三模)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1＝1，S 6＝3S 3，则a 7的值为________．解析：由S 6＝3S 3，得(1＋q 3)S 3＝3S 3.因为S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≠0，所以q 3＝2，得a 7＝4. 答案：42．(2018·南通三模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若公差d ＝2，a 5＝10，则S 10的值是________．解析：法一：因为等差数列{a n }中a 5＝a 1＋4d ＝10，d ＝2，所以a 1＝2，所以S 10＝10×2＋－2×2＝110.法二：在等差数列{a n }中，a 6＝a 5＋d ＝12，所以S 10＝a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝5×(10＋12)＝110.答案：1103．(2018·苏锡常镇调研(二))已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝4，则4a 1d＝________.解析：因为S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ，S 5＝5a 1＋5×42d ＝5a 1＋10d ，所以S 10S 5＝10a 1＋45d 5a 1＋10d ＝2a 1＋9d a 1＋2d ＝4，可得d ＝2a 1，故4a 1d＝2.答案：24．(2018·苏中三市、苏北四市三调)已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．若a 3＝2，S 12＝4S 6，则a 9的值为________．解析：由S 12＝4S 6，当q ＝1，显然不成立，所以q ≠1，则a 1－q121－q＝4a 1－q 61－q，因为a 11－q≠0，所以1－q 12＝4(1－q 6)，即(1－q 6)(q 6－3)＝0，所以q 6＝3或q ＝－1，所以a 9＝a 3q 6＝6或2.答案：2或65．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2， 所以a 2b 2＝1. 答案：16．已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________． 解析：由题意S 5S 3＝5a 1＋10d3a 1＋3d＝3，化简得d ＝4a 1，则a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179.答案：1797．(2018·常州期末)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，则a 3的最小值为________．解析：依题意有a 2a 4＝a 23，a 2a 3a 4＝(a 3)3＝a 2＋a 3＋a 4≥a 3＋2a 2a 4＝3a 3，整理有a 3(a 23－3)≥0，因为a n >0，所以a 3≥3，所以a 3的最小值为 3.答案： 38．(2018·盐城期中)在数列{a n }中，a 1＝－2101，且当2≤n ≤100时，a n ＋2a 102－n ＝3×2n恒成立，则数列{a n }的前100项和S 100＝________.解析：因为当2≤n ≤100时，a n ＋2a 102－n ＝3×2n恒成立，所以a 2＋2a 100＝3×22，a 3＋2a 99＝3×23，…，a 100＋2a 2＝3×2100，以上99个等式相加， 得3(a 2＋a 3＋…＋a 100)＝3(22＋23＋…＋2100)＝3(2101－4)，所以a 2＋a 3＋…＋a 100＝2101－4，又因为a 1＝－2101，所以S 100＝a 1＋(a 2＋a 3＋…＋a 100)＝－4. 答案：－49．(2018·扬州期末)已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4，a 3,6a 5成等差数列，且a 3＝3a 22，则S 3＝________.解析：设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，则q >0，且a 1>0， 由4a 4，a 3,6a 5成等差数列，得2a 3＝4a 4＋6a 5， 即2a 3＝4a 3q ＋6a 3q 2，解得q ＝13.又由a 3＝3a 22，解得a 1＝13，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝13＋19＋127＝1327.答案：132710．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案：20011．(2018·扬州期末)在正项等比数列{a n }中，若a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，则a 5＋a 6的最小值为________．解析：令a 1＋a 2＝t (t >0)，则a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6可化为tq 2－2t ＝6(其中q 为公比)，所以a 5＋a 6＝tq 4＝6q 2－2q 4＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤4q 2－2＋q 2－＋4≥6⎣⎢⎡⎦⎥⎤24q 2－2q 2－＋4＝48(当且仅当q ＝2时等号成立)．答案：4812．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋2n，则数列{a n }的通项公式a n＝________.解析：当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＋2n－2n －1＝2a n ＋2n －1，从而a n ＋1＋2n＝3(a n ＋2n －1)．又a 2＝2a 1＋2＝4，a 2＋2＝6，故数列{a n ＋1＋2n}是以6为首项，3为公比的等比数列，从而a n ＋1＋2n ＝6×3n －1，即a n ＋1＝2×3n －2n ，又a 1＝1＝2×31－1－21－1，故a n ＝2×3n －1－2n －1.答案：2×3n －1－2n －113．数列{a n }中，若对∀n ∈N *，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝k (k 为常数)，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则该数列的前100项的和等于________．解析：由a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝k ，a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝k ，得a n ＋3＝a n ， 从而a 7＝a 1＝2，a 9＝a 3＝3，a 98＝a 2＝4， 因此a 1＋a 2＋a 3＝9，所以S 100＝33(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝33×9＋2＝299. 答案：29914．(2018·无锡期末)已知等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 根据等比数列的性质可得a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3， 由于a 3≠0，可得a 4＝2. 因为a 4，54，2a 7成等差数列，所以2×54＝a 4＋2a 7，可得a 7＝14，由a 7＝a 4q 3，可得q ＝12，由a 4＝a 1q 3，可得a 1＝16， 从而a n ＝a 1qn －1＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.法一：令a n ≥1可得n ≤5，故当1≤n ≤5时，a n ≥1，当n ≥6时，0<a n <1，所以当n ＝4或5时，a 1·a 2·…·a n 的值最大，为1 024.法二：令T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝24×23×22×…×25－n＝24＋3＋2＋…＋(5－n )＝2n＋5－n2＝2n－n2. 因为n ∈N *，所以当且仅当n ＝4或5时，n－n2取得最大值10，从而T n 取得最大值T 10＝210＝1 024.答案：1 024B 组——力争难度小题1．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋b (a ＞0，b ＞0)有两个不同的零点m ，n ，且m ，n 和－2三个数适当排序后，既可成为等差数列，也可成为等比数列，则a ＋b 的值为________．解析：由题意可得m ＋n ＝a ，mn ＝b ，因为a ＞0，b ＞0，可得m ＞0，n ＞0，又m ，n ，－2这三个数适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝m －2，mn ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝n －2，mn ＝4.②解①得m ＝4，n ＝1， 解②得m ＝1，n ＝4.所以a ＝5，b ＝4，则a ＋b ＝9. 答案：92．已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比q >1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为________．解析：由a 2a 4＝a 3得a 23＝a 3，又{a n }的各项均为正数，故a 3＝1，T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝1，当n ＝6时，T 6＝T 5·a 6，又公比q >1，a 3＝1，故a 6>1，T 6>1.答案：63．设a 1，a 2，…，a 10成等比数列，且a 1a 2·…·a 10＝32，设x ＝a 1＋a 2＋…＋a 10，y ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 10，则xy＝________.解析：由a 1a 2·…·a 10＝32，得a 1a 2·…·a 10＝(a 1a 10)5＝32，则a 1a 10＝2，设公比为q ，则a 1a 10＝a 21q 9＝2，因为x ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1－q 101－q，y ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1q 101－1q＝1－q 10a 1q 9－q ，所以x y＝a 21q 9＝2. 答案：24．(2018·南京考前模拟)数列{a n }中，a n ＝2n －1，现将{a n }中的项依原顺序按第k 组有2k 项的要求进行分组：(1,3)，(5,7,9,11)，(13,15,17,19,21,23)，…，则第n 组中各数的和为________．解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝n 2，因为2＋4＋…＋2n ＝n (n ＋1)＝n 2＋n,2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1)＝n 2－n .所以第n 组中各数的和为S n 2＋n －S n 2－n ＝(n 2＋n )2－(n 2－n )2＝4n 3.答案：4n 35．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若2S 4＝S 2＋2，则S 6的最小值为________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为2S 4＝S 2＋2， 当q ＝1时，则8a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝13，所以S 6＝2.当q ≠1时，2×a 1－q 41－q＝a 1－q 21－q＋2，所以a 1－q 21－q＝22q 2＋1，则S 6＝a 1－q 61－q＝22q 2＋1(1＋q 2＋q 4)＝4q 2＋24＋34q 2＋2≥24q 2＋24·34q 2＋2＝3，当且仅当q 2＝3－12时取等号． 综上可得S 6的最小值为 3. 答案： 36．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为________．解析：所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1<12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3<12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6<12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10<12a 5＝60，不符合题意；……；当n ＝26时，S 26＝＋2＋－251－2＝441＋62＝503<12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝＋2＋－251－2＝484＋62＝546>12a 28＝540，符合题意．故使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27.答案：27。