第二课时对数函数的图象及性质的应用(习题课)1.已知a=log23.4,b=log43.6,c=log30.3,则( A )(A)a>b>c (B)b>a>c(C)a>c>b (D)c>a>b解析:因为a=log23.4>1,0<b=log43.6<1,c=log30.3<0,所以a>b>c,故选A.2.已知a=lg e,b=(lg e)2,c=lg,则( B )(A)a>b>c (B)a>c>b(C)c>a>b (D)c>b>a解析:因为e>,所以lg e>lg,所以a>c,因为0<lg e<lg=,所以b=(lg e)2<lg e=lg=c,所以a>c>b.故选B.3.若log a<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值X围为( C )(A)(,1) (B)(,+∞)(C)(0,)∪(1,+∞) (D)(0,)∪(,+∞)解析:当a>1时,log a<log a a,即a>,此时a>1,当0<a<1时,log a<log a a,即a<,此时0<a<.综上可知0<a<或a>1,选C.4.设a>1,函数f(x)=log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a等于( D )(A) (B)2 (C)2(D)4解析:因为a>1,所以f(x)=log a x在区间[a,2a]上单调递增,所以log a(2a)-log a a=即log a2=,所以=2,即a=4.故选D.5.已知log a>log b>0,则有( D )(A)1<b≤a (B)1<a<b(C)0<a<b<1 (D)0<b<a<1解析:由log a>0,log b>0知0<a<1,0<b<1,又因为log a>log b,由图象知a>b,所以0<b<a<1.故选D.6.函数f(x)=|lo x|的单调递增区间是( D )(A)(0,] (B)(0,1] (C)(0,+∞) (D)[1,+∞)解析:f(x)的图象如图所示,由图象可知单调递增区间为[1,+∞).故选D.7.若log a<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值X围是( B )(A)(0,) (B)(0,)∪(1,+∞)(C)(1,+∞) (D)(0,1)解析:当a>1时,log a<0<1,成立.当0<a<1时,y=log a x为减函数.由log a<1=log a a,得0<a<.综上所述,0<a<或a>1.故选B.8.若函数f(x)=log a(2x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-,0)内恒有f(x)>0,则f(x)的单调减区间是( B )(A)(-∞,-) (B)(-,+∞)(C)(-∞,0) (D)(0,+∞)解析:当x∈(-,0)时,2x+1∈(0,1),所以0<a<1.又因为f(x)的定义域为(-,+∞),y=2x+1在(-,+∞)上为增函数,所以f(x)的单调减区间为(-,+∞).故选B.9.设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值X围是.解析:①若a>0,则-a<0,所以log2a>lo a⇒log2a>log2⇒a>⇒a>1.②若a<0,则-a>0,lo(-a)>log2(-a)⇒log2(-)>log2(-a)⇒->-a⇒a∈(-1,0). 由①②可知a∈(-1,0)∪(1,+∞).答案:(-1,0)∪(1,+∞)10.已知函数f(x)=log2为奇函数,则实数a的值为.解析:由奇函数得f(x)=-f(-x),log2=-log2,=,a2=1,因为a≠-1,所以a=1.答案:111.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=.解析:由题知f(-x)=f(x),即-xln(-x+)=xln(x+),则ln(x+)+ln(-x+)=0,所以ln(a+x2-x2)=0,即ln a=0,所以a=1.答案:112.函数y=log2(4+3x-x2)的单调递减区间是.解析:由4+3x-x2>0得-1<x<4.令t=4+3x-x2,则t在(-1,]上单调递增,在[,4)上单调递减,因此所求单调递减区间为(,4).答案:(,4)13.已知函数f(x)=(1)在直角坐标系中,画出该函数图象的草图;(2)根据函数图象的草图,求函数y=f(x)的值域、单调增区间.解:(1)当x<1时,f(x)是二次函数,主要画出顶点、对称轴和函数图象与两个坐标轴的交点. 当x≥1时,画出f(x)=lo x的图象,然后关于x轴对称变换即可.(2)根据图象可知,函数值域为R,单调增区间为(-∞,0),(1,+∞).14.已知:函数f(x)=log a(2+x)-log a(2-x)(a>0且a≠1).(1)求f(x)定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)求使f(x)>0的x的集合.解:(1)因为f(x)=log a(2+x)-log a(2-x)(a>0且a≠1),所以解得-2<x<2,故所求函数f(x)的定义域为{x|-2<x<2}.(2)f(-x)=log a(-x+2)-log a(2+x)=-[log a(x+2)-log a(2-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)原不等式可化为log a(2+x)>log a(2-x).①当a>1时,y=log a x单调递增,所以即0<x<2.②当0<a<1时,y=log a x单调递减,所以即-2<x<0,综上所述,当a>1时,不等式的解集为(0,2);当0<a<1时,不等式的解集为(-2,0).15.已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).(1)若f(x)定义域为R,某某数a的取值X围;(2)若f(x)值域为R,某某数a的取值X围;(3)是否存在a∈R,使f(x)在(-∞,2)上单调递增,若存在,求出a的取值X围;若不存在,请说明理由.解:令u(x)=x2-2ax+3,(1)f(x)定义域为R,则u(x)>0恒成立,⇒Δ<0⇒-<a<,即实数a的取值X围为(-,).(2)f(x)值域为R,则u(x)能取遍(0,+∞)的所有实数,⇒Δ≥0⇒a≤-或a≥,即实数a的取值X围为(-∞,-]∪[,+∞).(3)不存在.理由如下:f(x)在(-∞,2)上单调递增,则u(x)在(-∞,2)上单调递减,且u(x)min>0⇒⇒⇒a∈ ,所以不存在这样的实数a.16.若函数f(x)=log a|x+1|在(-1,0)上有f(x)>0,则f(x)( C )(A)在(-∞,0)上是增函数(B)在(-∞,0)上是减函数(C)在(-∞,-1)上是增函数(D)在(-∞,-1)上是减函数解析:当-1<x<0时0<x+1<1,因为log a|x+1|>0,所以0<a<1,因此f(x)=log a|x+1|在(-∞,-1)上递增,在(-1,+∞)上递减.故选C.17.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值X围是( D )(A)[-1,2] (B)[0,2](C)[1,+∞) (D)[0,+∞)解析:当x≤1时,由21-x≤2,即1-x≤1,解得0≤x≤1;当x>1时,由1-log2x≤2,即log2x≥-1,解得x>1.综上所述,x的取值X围是[0,+∞),故选D.18.已知y=log a(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值X围是.解析:令y=log a t(t>0),t=2-ax,若0<a<1,所以t是x的减函数,不合题意,所以a>1,又因为t>0对任意x∈[0,1]恒成立,所以2-a>0⇒a<2,所以实数a的取值X围是(1,2).答案:(1,2)19.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f=0,则不等式f(lo x)>0的解集为.解析:因为f(x)是R上的偶函数,所以它的图象关于y轴对称.因为f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)在(-∞,0]上为减函数,作出函数大致图象如图所示.由f=0,得f-=0.所以f(lo x)>0⇒lo x<-或lo x>⇒x>2或0<x<,答案:(0,)∪(2,+∞)20.已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=x+b没有交点,求b的取值X围;(3)设h(x)=log9(a·3x-a),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求a的取值X 围.名师点拨:根据偶函数性质,利用f(-x)=f(x)及对数运算性质建立方程求k.函数y=f(x)的图象与直线y=x+b无公共点,则转化为方程f(x)=x+b无解,分离参数可求b的X围,而h(x)与f(x)的图象只有一个公共点,可转化为方程f(x)=h(x)只有一个实根.解:(1)因为y=f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即对于任意x恒成立.于是2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9-log9(9x+1)=-x恒成立,而x不恒为零,所以k=-.(2)由题意知方程log9(9x+1)-x=x+b即方程log9(9x+1)-x=b无解.令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.因为g(x)=log9=log9(1+),由1+>1,则g(x)=log9(1+)>0,所以b的取值X围是(-∞,0].(3)由题意知方程3x+=a·3x-a有且只有一个实数根.令3x=t>0,则关于t的方程(a-1)t2-at-1=0(记为(*))有且只有一个正根.若a=1,则t=-,不合题意,舍去.若a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由Δ=0⇒a=或-3.但a=⇒t=-2,不合题意,舍去;而a=-3⇒t=.若方程(*)的两根异号⇔(a-1)·(-1)<0⇔a>1.综上所述,实数a的取值X围是{-3}∪(1,+∞).。
