上海交通大学大学物理静电场3
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q 4 0 r
试与均匀带电球体的电势作比较！
例: 设两球面同心放置, 半径分别为R1和R2 , 带电q1, q2 , 求其电势分布. q2 解：法一) 按高斯定理可得场强分布 q1 r r R 0 ( ) 1 q1 e r ( R1 r R 2 ) E 2 4 0 r q1 q 2 e 4 r 2 r ( r R 2 ) 0 r<R1时:
a
带电粒子在 C 点时，它 与带电杆相互作用电势能 为
a
a o x dx
a
C x
W qV qQ ln 3 8 0a
（2）带电粒子从 C 点起运动到无限远处时，电场 力作功，电势能减少。粒子动能增加。
1 1 2 2 mv mv qQ ln 3 8 0 a 2 2
F qE ( q ) E 0 M pE W pE
F
。 -q
+q F p 。
+
电偶极子在非均匀外电场中既转动又平动（向强场处）。 如：摩擦起电实验中，小 纸片被玻璃棒的吸引。
-
E
例：真空中一均匀带电细直杆，长度为 2a，总电量为 +Q，沿 ox 轴固定放置（如图）。一运动粒子质量为 m、带有电量 +q，在经过 x 轴上的 C 点时，速率为 v。 试求：（1）粒子在经过x轴上的 C 点时，它与带电杆 之间的相互作用电势能（设无穷远处为电势零点）； （2）粒子在电场力作用下运动到无穷远处的速率 v ( 设 v 远小于光速).
静电ห้องสมุดไป่ตู้的环流定理 讨论
E dl 0
L
•静电场为保守力场 •环流定理是静电场的基本方程 •环流定理的微分形式
E 0
表明静电场为无旋（度）场 静电场为有源无旋场 斯托克斯公式
E dl
L
S
( E ) dS
二. 电势能与电势
对于保守力场，可以引入势能的 概念—电势能。
r≥R2时: V3
E
r
E3dr
2
r
q1 q2 q1 q2 dr 2 4 0 r 4 0 r
4 0 r
q1
er
( R1 r R 2 ) (r R2 )
q1 q 2 er 2 4 0 r
法二)
也可运用多个带电体的电势叠加法计算.
由此得粒子在无限远处的速率
qQ 2 v ln 3 v 4 0am
12
例、如图，已知两点电荷电量分别为 q1 = 3.010-8C , q2 = -3.0 10-8 C。A 、B、C、D为电场中四个点，图 中a=8.0cm, r=6.0cm。（1）今将电量为2.010-9 C的点 电荷从无限远处移到A点，电场力作功多少？电势能 增加多少？ 解：
VA
4 o r
q1
q2
A
B r D r a/2
C
4 o r 2 a 2 r
q1
a/2
VA 1800 (V )
WA qVA 3.6 10 ( J )
6
q2
AA W WA 3.6 106 ( J )
W 3.6 106 ( J )
（2）将此电荷从A点移到B点，电场力作多少 功？电势能增加多少？
dq 4 0 r
i
V Vi
例、均匀带电圆环，带电量为q，半径为a，求轴线 上任意一点的P电势。 解： 法一） dq d l
q 2 a
dl
a
r
P
x
dV
dq 4 0 r
dq 4 0 r
L
x
V dV
q 4 0 r
V
q 4 0 x a
2 2
b
q0
Aab
( b)
(a)
(q0E) dl (Wb Wa )
( b)
E
(Wb Wa ) Wa
(a)
a (q0E) dl
如果设 b 点为电势能的零点，即 Wb 0
Wb 0 a
(q0E) dl
通过连接 a、b 间的任意一条路径，都可以确定出 a 点的电势能。
A r B
C r
（2）
VB
4 o r
q1
4 o r
q2
r D
0
a/2
6
a/2
6
AAB WA WB 3.6 10 0 3.6 10 ( J )
W 3.6 10 ( J )
6
（3）将此点电荷从C点移到D，电场力作多少功？ 电势能增加多少？ A B
i
i
a
试验电荷在静电场中移动时，电场力所作的功只与 试验电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无关。 即静电场力是保守力，静电场是保守力场。
保守力作功的特点： A q0 E dl 0
q0 0
E dl 0
l
l
静电场中电场强度 E 的环流为零, 称静电场的环流定理
V1 E1dr E2 dr E3dr
r
R1
R2
q2 4 0 R1 4 0 R2
q1
R1
R2
R1≤r ≤R2时:
q2
V2 E2 dr E3dr
r R2
R2
q1 r
q1 q1 q2 q1 q2 4 0 r 4 0 R2 4 0 R2 4 0 r 4 0 R2 q1
法二）
qx E 2 2 32 4 0 ( x a )
1
a
r
P
x
x
V
x
E dl Edx
x
q 4 0
x
xdx 2 2 32 (x a )
V
q 4 0 x a
2 2
例、半径为R的均匀带电球面，带电量为q。 求电势分布。 解： 按高斯定理可得场分布
(Wb Wa )
( b)
(a)
(q0E) dl
(b)
(a )
Wb W a E dl q q 0 0
——与试验电荷无关，只与电场在a、b两点间的分布有关。 可以引入一个新的物理量——电势
W V q0
标量, 单位：伏特（V=J/C）
r r D r a/2
C
（3）
VC
q1 4 o a r
2 2
4 o r
2
E
q
q
r
r
dr
dl
E
点电荷场力作功与具体路径无关！
2. 一般电荷分布的静电场
b b Aab (q0 E) dl (q0 Ei ) dl (q0 Ei ) dl
b a
a
因 a
b
( q0 Ei ) dl 与路径无关，则 Aab 与路径无关！
上次课主要内容 电场线 电通量 高斯定理
e
S
S
E cos dS E dS
S
1 e E dS
o
q
i 1
n
i内
1 e E dS
S
0
dV
V
高斯定理的应用
· 从对称的源电荷分布求场强分布
§11.5 环流定理与电势
E
VP
P
E dl
r
q 4 0 r
2
dr
q
r
P
q 4 0 r
•点电荷的电势是球对称的，对称中心在点电荷处； •电势是标量，正负与电荷及电势零点选择有关。
2、点电荷系的电势 E Ei
i
E q1 r1 r2 r 3 r n q3 qn P
V V1 V2
q1 4 0 R1 V1 q1 4 0 r (r R1 ) (r R1 )
q2 q1 r
q2 4 0 R2 V2 q2 4 0 r
(r R2 ) (r R2 )
q1 q2 (r R1 ) 4 0 R1 4 0 R2 q2 q1 ( R1 r R2 ) V V1 V2 4 0 R2 4 0 r q1 q2 4 r 4 r (r R2 ) 0 0
a o
a
a
C
x
解：（1）在杆上取线元 dx，其上电量
dq Qdx 2a
设无穷远处电势为零， dq 在 C 点处产生的电势
a
a o x dx
a
C x
Q dx 2a dV 4 0 2a x
整个带电杆在 C 点产生的电势
dx Q V dV ln 3 L 8 0a a 2a x 8 0 a Q
VP E dl Ei dl P P q2 i E1 dl E2 dl En dl
P P
V1 V2 Vn
i
4 0 ri
V
qi
P
电势叠加原理
3、连续分布电荷的电势 4、多个带电体的总电势
M p E
电势能: W W W qV (q)V q(V V )
而 V V E d l El cos 则 W qE cos pE cos p E
