极坐标系袁志军精品PPT课件

4 F•
3
G
• 5
3
F(6,4) 3
G(7,5 ) 3
例2、在极坐标系中描下列各点：
A(3, 0)、B(6,
5
6
)、C(1,
2
)、D(5,
4
3
)、E(4,
),
F
2,
5
3
5
2
6
B● E●
4
●。C
O1
●A
x
F●
●D
4
5
3
3
3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆, 图 书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的 极坐标系,写出各点的极坐标.
二 极坐标系
1.与角α终边相同的角：
β=α+2kπ,k∈Z
2.平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _一__一__对应的.
平面直角坐标系是最简
单最常用的一种坐标系，但 不是唯一的一种坐标系. 有 时用别的坐标系比较方便.
y
b
P(.a,b)
O
ax
还有什么坐标系呢？
思考：右图是某校园的平面 示意图，假设某同学 在教学
A(4, π ), B(4, π 2 ), C(4, π 4 ), D(4, π 2 )
6
6
6
6
[思考]它们所表示的点有什么关系？
本题点M的极坐标统一表达式：
4，2kπ+
π 6
探究：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
① 平面上一点的极坐标是否唯一？
② 若不唯一，那有多少种表示方法？
③ 坐标不唯一是由谁引起的？
解:以点A为极点,AB所在 D
C
的射线为极轴(单位长
120m
E 450
度为1 m),建立极坐标系. 50m 600
则点A,B,C,D,E的极坐
A(O) 60m B
x
标分别为 A(0, 0), B(60, 0),
π
π
C(120, ), D(60 3, ),
3
2
E(50, 3π ). 4
练习：在同一个极坐标中描出以下各点：
③再选定一个单位长度和角的正方向（通常取 逆时针方向）.
O
X
这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标，记作M (,) .
对极坐标平面中任意一点A(, )( 0, π π)
(1)点A关于极轴对称的点为_(___,____)_
3 2
极坐标系与直角坐标系的异同
• 相同点：两者都通过一对有序实数对表示平面上的点. • 不同点：
– (x,y)与两坐标轴的距离有关;而(ρ,θ)与极轴出发的角 和极点的距离有关
– 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合 { (x,y)|x、y∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集 与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应 的（(ρ,θ )与(ρ,θ+2kπ )表示同一个点 ）
实验楼
D
楼处，请回答下列问题： （1）他向东偏北60 °方向 走120m后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆 和办公楼的位置，他应如何
120m
办公楼
E 450
50m
600
A 60m
教学楼
描述？
图书馆
C
B
体育馆
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从这向东走60米
！
出发点
方向
④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内确定可唯一的一点 M
(2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应
原因在于：极角有无数个
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ) 都可以作为它的极坐标. 如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π 或－π＜θ≤ π,
– 若规定ρ>0，θ∈[0,2π)，可使极坐标与平面内的点一 一对应(极点除外)
课堂小结
• 建立一个极坐标系需要哪些要素?
– 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向
• 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
– 无数，极角有无数个
• 一点的极坐标有否统一的表达式？
– 有，(ρ，2kπ+θ)
• 极坐标与直角坐标的互化
的位置如图所示，求这个正六边形各顶点
的极坐标。
E
D
解：O(0,
0)，A(a, 5π )
3O
B( 3a, 11π ) C(2a, 0)
C
x
6
D( 3a, π ) E(a, π ) A
B
6
3
Ex设点A(2, π )，直线l为过极点且垂直于极轴 6
的直线，分别求点A关于极轴、直线l、极点
的对称点的极坐标（限定 0, π π)
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想.
思考：类比建立平面直角体系的过程，怎样 建立用距离与角度确定平面上点的位置的体系？
1、极坐标系的建立： ①在平面内取一个定点O，叫做极点.
② 从极点O点引一条射线OX，叫做极轴.
一般地，不作特殊说明时，认为≥0， 可取任意实数.
特别规定：当点M为极点时，它的极坐标
为_(_0_,__)_,___可__为__任__意__值__._
O
M X
例1、 如图，写出各点的极坐标：
5
6 D• E•
2
4
•C
。
B•
O1
•A
x
A(4,0)
B(3, )
4
Байду номын сангаас
C(2,
2
)
D(5,56 )
E(4.5, )
θ
y
x cos , y sin
Oxx
直角坐标化极坐标：
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
当点不在第一象限内 时，是否还成立？ 原理是什么？
互化练习
1(1)将点M的极坐标5, 2 化为直角坐标；
3
(2)将点M的直角坐标 3,1 化成极坐标.
2.已知两点的极坐标 2, ，3, ，求两点间的距离.
极坐标化直角坐标： 直角坐标化极坐标：
x cos , y sin
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
课后思考
思考:
极坐标系中, 点M的坐标为(-10, 坐标中, 不是M点的坐标的是(
3
), )
则下列各
A
10,
4
3
B
10,
5
3
C
10,
5
3
D
10,
2
3
2.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标系中
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了. 特别强调：
一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0.
3.极坐标与直角坐标的互化
互化前提
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
• 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
• 3. 两种坐标系的单位长度相同.
互化关系式
y
M(, )
极坐标化直角坐标：