专题-含有绝对值图像及综合问题

掌握绝对值运算的综合算式练习题绝对值运算是数学中常见的运算方法，它可以帮助我们解决一些与绝对值相关的问题。

掌握了绝对值运算的方法和技巧后，我们就能够更灵活地应用到解决实际问题中。

本文将为大家提供一些综合的绝对值运算练习题，帮助大家巩固所学的知识。

练习题一：求解绝对值方程1. |2x + 3| = 72. |5 - x| = 2x + 13. |3x - 4| - 5 = 104. |x - 1| + |x + 2| = 6练习题二：绝对值不等式的求解1. |2x - 3| > 52. |3x + 2| ≤ 103. |4 - 2x| ≥ 3x + 14. |2x + 1| < 4x - 3练习题三：绝对值运算的应用问题1. 若 |2x - 1| ≤ 7，求 x 的取值范围。

2. 一机场离市中心 10 公里，一旅行社从市中心到机场的车费是每公里 5 元，从机场到市中心的车费是每公里 8 元。

如果小明搭乘旅行社的班车旅行，往返车费不得超过 100 元，问他最远能在机场停留多长时间？3. 甲、乙两地相距160 公里，甲地有一辆卡车每小时行驶60 公里，乙地有一辆卡车每小时行驶 40 公里。

如果两辆卡车同时出发，以相同的速度往对方方向行驶，问多长时间两辆卡车会相遇？练习题四：绝对值与其他运算的综合应用1. 已知 x 是非零实数，求当 x + 1/x = 3 时，x - 1/x 的值。

2. 已知 a, b 是实数，若 |2a - b| = 3，|3a + 2b| = 5，求 |a + b| 的值。

以上所列的练习题涵盖了绝对值方程、绝对值不等式以及绝对值运算在应用问题中的运用。

在解答这些练习题时，我们可以灵活运用绝对值的定义和性质，结合所学的代数知识进行推理和运算，最终得到准确的答案。

通过这些综合的绝对值运算练习题的练习，我们可以提高自己的解题能力和思维灵活性，加深对绝对值运算的理解和应用水平。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------专题辅导：高考中有关绝对值综合题的类型及解法（上）高考中有关绝对值综合题的类型及解法（上）曾安雄绝对值是中学数学中的一个重要概念，也是历年高考中常考的知识点之一，由于其综合性强，几乎能与高中数学所有知识相结合。

故不少同学遇到此类问题，存在思路不清等障碍。

实际上处理起来并不难，关键在于：去掉绝对值符号（常用有定义法、分段讨论法、平方法及性质法等），将问题转化为不含绝对值的常规问题来解决。

下面将以高考题为例，浅谈含绝对值综合题的常见类型与解法，供参考。

一、与集合、映射知识相结合例 1（1999 年全国高考题）已知映射 f：AB，其中集合 A={-3， -2， -1， 1， 2， 3， 4} ，集合 B 的元素都是 A 中元素在 f 下的象，且对任意的 aA，在 B 中和它对应的元素是| a| ，则集合 B 中元素的个数是（）（A） 4 （B）3 （C） 6 （D） 7 解：本题含义就是找出映射 f：a| a| ，根据绝对值的定义，可算出-3， -2， -1， 0， 1，2， 3 的绝对值不同个数为 4，故选 A。

例 2（2019 年全国高考题）设集合 A={x| xZ 且-10x-1} ，1 / 4B={x| xZ 且| x| 5} ，则 A B 中的元素个数是（）（A） 11 （B） 10 （C） 16 （D） 15 解：化去集合 B 中的绝对值，可得 B={x| xZ 且-5x5} ，于是 A B={x| xZ 且-10x5} ={-10， -9，， -1， 0， 1， 2， 3， 4， 5} ，共有 16 个元素，故选 C。

二、与三角函数知识相结合三角函数中含有绝对值问题，常是分象限讨论而去掉绝对值符号。

绝对值的几何意义综合题型讲解与练习知识背景绝对值的定义（几何定义）：数轴上，表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。

记作a 图形解释：0a -表示数轴上数a 到数字0的距离；例子：3a -表示数轴上数a 到数字3的距离；2a +=(2)a --表示数轴上数a 到数字2-的距离；类型一：绝对值方程1.先阅读下列小明和小红的解题过程，再解答问题：解方程：32x +=．小明：当30x +≥时，原方程可化为32x +=，解得1x =-；当30x +<时，原方程可化为32x +=-，解得 5.x =-所以原方程的解是1x =-或5x =-． 小红：32x +=可以理解为数轴上数x 到数字3-的距离为2，在数轴上可以找到，距3-的距离是2的数字有-5和-1，则1x =-或5x =-(1) 解方程：150x --=；（用小明的方法）(2) 解方程：4160x --=；（用小红的方法）针对练习1．已知30x -=，那么x = ．2．关于x 的方程136++-=x x 的解是 ．3．若26x -=-，则x = ．4．定义运算a b ab a =-★，如131312=⨯-=★．若2a =，且4a b =★，则b 的值为 ．5．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为 ．类型二：绝对值最值问题模型：求x a b ++的最小值，当0x a +=时，式子有最小值b求x a b -++的最大值，当0x a +=时，式子有最大值b1. 当x = 时；12x +有最小值，最小值为 ；2. 当x = 时；47x ++有最小值，最小值为 ；3. 当x = 时；374x -+有最小值，最小值为 ；4. 当x = 时；12x -+有最大值，最大值为 ；5. 当x = 时；47x -++有最大值，最大值为 ；6. 当x = 时；374x --+有最大值，最大值为 ；7．若a 表示一个有理数，则式子51a --有最 值（填“大”或“小”），式子取到最值时，a = ．类型三：绝对值非负性1．已知()2120a b -++=，则()2018a b ＋的值为 ．2．若2m -和()22n +互为相反数，则2m n -的值为 ．3．若|1||2|0a ab -+-=，则111(1)(1)(2)(2)(2022)(2022)a b a b a b +++++++++= ．4．若a ，b 为实数，且()222|16|04a b b -+-=+，求3a b -的值 ． 5．如果p ，q 是非零实数，关于x 的方程||20232024||x p q --=-始终存在四个不同的实数解，则||||||||||p q p q pq p q p q p q pq p q +-+++++-的值为类型四：绝对值几何意义的应用1．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为 ；（3）若x 表示一个有理数，且31x -<<，则13x x -++= ；（4）求32x x -++的最小值。

第二讲 绝对值的综合运用专题绝对值⑴绝对值的几何意义及代数意义绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作│a │.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0.关于绝对值的几点需要注意：①取绝对值是一种用算，这个运算符号是“││”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号。

②绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或零。

③任何一个有理数都是两部分组成的：符号和它的绝对值，如：-5，符号是负号，绝对值是5。

⑵字母a 的绝对值的分类①,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，或②,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩，或③,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩⑶利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而小。

步骤：①计算两个负数的绝对值。

②比较这两个绝对值的大小。

③写出正确的判断结果。

⑷如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0。

例： 若0,0,0,0a b c a b c ++====则绝对值基本题型专项一、选择题1、有理数的绝对值一定是 （ ）A 、正数B 、整数C 、正数或零D 、自然数 2、下列说法中正确的个数有 （ ）①互为相反数的两个数的绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数的绝对值不相等；④绝对值相等的两个数一定相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么 （ ） A 、甲数必定大于乙数 B 、甲数必定小于乙数C 、甲、乙两数一定异号D 、甲、乙两数的大小，要根据具体值确定 4、绝对值等于它本身的数有 （ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个 5、下列说法正确的是（ ）A 、a -一定是负数B 、只有两个数相等时它们的绝对值才相等C 、若a b =，则a 与b 互为相反数D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 二、填空题6、数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为___________.7、绝对值小于π的整数有______________________8、当0a >时，a ＝_________，当0a <时，a ＝_________， 9、如果3a >，则3a -＝__________，3a -＝___________.10、若1x x =，则x 是_______（选填“正”或“负”）数；若1xx=-，则x 是_______（选填“正”或“负”）数；11、已知3x =，4y =，且x y <，则x y +＝________ 三、解答题12、已知420x y -++=，求x ，y 的值绝对值经典题型专项1.2. 若1abcdabcd=，计算a b c d a b c d +++的值。

初二数学上册综合算式专项练习题绝对值的应用问题初二数学上册综合算式专项练习题——绝对值的应用问题绝对值是数学中一个非常重要的概念，在实际问题中也有广泛的应用。

本文将通过一些综合算式练习题来进一步探讨绝对值的应用问题。

1. 某小区积分为x的居民有两部分，其中一部分积分在区域[-8, 3]内，另一部分积分的绝对值大于5。

假设已知居民积分的总和为20，求满足条件的居民积分的可能取值范围。

解析：设绝对值大于5的积分为y，根据题意可得以下不等式：|x| + |y| > 5-8 ≤ x ≤ 3根据绝对值的性质，要解决不等式 |x| + |y| > 5，可以分四种情况讨论：情况一：x ≥ 0, y ≥ 0在这种情况下，不等式可简化为 x + y > 5，其中-8 ≤ x ≤ 3，所以 y > 5 - x。

情况二：x ≥ 0, y < 0在这种情况下，不等式可简化为x - y > 5，由于y 的绝对值大于5，所以 y < -5，即 -y > 5。

合并两个不等式可得 x - y > 5。

情况三：x < 0, y ≥ 0在这种情况下，不等式可简化为 -x + y > 5，由于-8 ≤ x≤ 3，所以 y > 5 + x。

情况四：x < 0, y < 0在这种情况下，不等式可简化为 -x - y > 5，由于 y 的绝对值大于5，所以 -y > 5，即 y < -5。

合并两个不等式可得 -x - y > 5。

综上所述，满足条件的积分取值范围为：-8 ≤ x ≤ 3 且 y > 5 - x，或者 y < -5。

2. 一辆汽车以每小时40千米的速度向东行驶，另一辆汽车以每小时50千米的速度向西行驶。

两辆汽车分别从距离彼此90千米的A、B两地同时出发。

求在多长时间后两辆车相遇，并求相遇时的距离。

解析：设两辆车相遇的时间为t，根据题意可得以下等式：40t + 50t = 9090t = 90t = 1所以两辆车将在1小时后相遇，此时的距离为：40 * 1 + 50 * 1 = 90所以相遇时的距离为90千米。

含有绝对值方程的综合应用一、引言绝对值方程作为数学中的一类重要方程，在实际问题的求解过程中有着广泛的应用。

本文将通过几个实际问题的探讨，展示绝对值方程在综合应用中的作用。

二、问题一：货币兑换问题假设一个人将1000美元兑换成人民币，已知每个美元兑换成人民币的汇率为6.5，求此人最终得到的人民币数量。

解析：根据题目可设人民币数量为x，则绝对值方程可以表示为：|1000-6.5x|=0根据绝对值的定义可得：当1000-6.5x≥0时，方程变为 1000-6.5x=0，解得 x=153.85；当1000-6.5x<0时，方程变为 -(1000-6.5x)=0，解得 x=153.85。

综上所述，此人最终得到的人民币数量为153.85。

三、问题二：体温计误差修正问题某体温计在测量体温时存在误差，设实际体温为x摄氏度，体温计测量的体温为|x-a|摄氏度，已知误差为1度，求修正后的实际体温。

解析：根据题目可列出绝对值方程：|x-a|=1根据绝对值的性质可得：当x-a≥0时，方程变为 x-a=1，解得 x=a+1；当x-a<0时，方程变为 -(x-a)=1，解得 x=a-1。

综上所述，修正后的实际体温取决于a的值，如果a>1，则实际体温为a-1；如果a<1，则实际体温为a+1。

四、问题三：图书馆逾期罚款问题某图书馆每本书的逾期罚款规定为每天0.2元，且最高罚款不超过书本原价的10%，某读者借阅了一本原价为50元的书共10天，求该读者需支付的罚款金额。

解析：设罚款金额为x元，则绝对值方程可以表示为：|0.2*10-x|=0根据绝对值的性质可得：当0.2*10-x≥0时，方程变为 0.2*10-x=0，解得 x=2元；当0.2*10-x<0时，方程变为 -(0.2*10-x)=0，解得 x=2元。

综上所述，该读者需支付的罚款金额为2元。

五、问题四：电子设备折旧问题某电子设备购买时价值为5000元，每年折旧率为20%，求折旧了多少年后，设备的价值将低于原价的一半。

绝对值最值问题绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。

数a的绝对值记作a几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段（含端点）1、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，1如图乙，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．绝对值最值问题解析1、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，1如图乙，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．解：①.5﹣2＝3，﹣2﹣（﹣5）＝3，1﹣（﹣3）＝4；②、|x+1|，|x+1|＝2则x＝1或﹣3；③|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到﹣2与5两点的距离的和，当这点在﹣2和5之间时和最小，最小距离是：5﹣（﹣2）＝7；④代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到1、﹣2与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当x＝1时和最小，最小值是5到﹣2的距离，是5﹣（﹣2）＝7；⑤代数式|x﹣5|﹣|x+2|表示数轴上一点到5与﹣2两点的距离的差，当点小于等于﹣2时差最大，最大值是5与﹣2之间的距离，是7．故答案是：①3，3，4；②|x+1|，1或3；③﹣2≤x≤5；④x＝1；⑤x≤﹣2．2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．解：（1）1和﹣3两点之间的距离为|1﹣（﹣3）|＝4；故答案为：4；（2）∵|b|＝3|a|∴b＝±3a∵AB＝8∴|a﹣b|＝8当b＝3a时，|a﹣b|＝|﹣2a|＝8∴a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12当b＝﹣3a时，|a﹣b|＝|4a|＝8∴a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6综上所述：a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12或a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6．（3）由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，①当点b在a的右侧时，得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，|x﹣3|+|x﹣b|最小＝x﹣3+b﹣x＝4，解得：b＝7；②当点b在a的左侧时，得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，|x﹣3|+|x﹣b|最小＝3﹣x+x﹣b＝4，解得：b＝﹣1，综上所述：b＝7或﹣1．。

绝对值和数轴结合的题绝对值是数学中的一个重要概念，它描述的是数轴上某个点到原点的距离。

而数轴则是一个直观的数学工具，可以帮助学生理解数的顺序、比较大小、求解距离等问题。

下面我们就结合数轴来探讨一下绝对值的相关问题。

一、绝对值的定义和性质绝对值是指数轴上某个点到原点的距离。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，而0的绝对值是0。

绝对值的性质有：1）任何数的绝对值都是非负数；2）两个负数的绝对值是它们和的相反数；3）两个正数的绝对值是它们和。

二、数轴上点的表示在数轴上，每个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上有原点、正半轴、负半轴，其中正半轴上的点表示的是正实数，负半轴上的点表示的是负实数。

三、绝对值在数轴上的表示在数轴上，每个点到原点的距离都可以用绝对值来表示。

例如，数轴上表示3的点到原点的距离是3，表示-2的点到原点的距离是2。

同时，正数的绝对值可以在数轴上直接表示出来，而负数的绝对值则需要在数轴上取原点的相反方向来表示。

四、比较绝对值大小比较两个数的绝对值大小可以直接根据它们在数轴上的位置来确定。

如果两个数在数轴上距离原点的远近不同，那么它们的绝对值大小也不同。

例如，-5到原点的距离比-3到原点的距离远，所以|-5|<|-3|。

五、根据数轴判断绝对值大小根据数轴判断两个数的绝对值大小也是比较直观的。

例如，在数轴上表示-2和3的点距离原点的距离分别是2和3，所以|-2|<|3|。

六、数轴上两点间的距离数轴上两点间的距离可以通过计算它们的绝对值来确定。

如果两个点分别表示a和b，那么它们之间的距离可以用|a-b|来表示。

例如，在数轴上表示3和表示5的点之间的距离是2，因为|3-5|=2。

七、绝对值的应用题绝对值的应用题比较广泛，例如求一个数的绝对值、比较两个数的绝对值大小、根据数轴判断一个数的绝对值大小等。

在做应用题时，需要先理解题意，并根据题目要求选择合适的公式或方法来求解。