广西省梧州市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析

2025届梧州市重点中学高三第一次调研测试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种2．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．853．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）A ．12B ．45C ．38D ．344．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．26．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ） A ．0 B ．2- C ．52- D ．3-7．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x =+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P -，渐近线方程为2y x =±的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x y B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147y x -=10．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ）①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a <<A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}3,4D. {}2,3,4【答案】B2. 已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A. 62i -B. 42i -C. 62i +D. 42i +【答案】C3. ）A. 2B.C. 4D. 【答案】B4. 下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A. 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D. 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A5. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A. 13B. 12C. 9D. 6【答案】C6. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ） A. 65- B. 25- C. 25 D. 65【答案】C7. 若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ）A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<【答案】D 8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立【答案】B 二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同【答案】CD10. 已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ）A . 12OP OP = B. 12AP AP = C. 312OA OP OP OP ⋅=⋅ D. 123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ） A. 点P 到直线AB 的距离小于10 B. 点P 到直线AB的距离大于2C. 当PBA ∠最小时，PB =D. 当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A. 当1λ=时，1AB P △的周长为定值B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D. 当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】BD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______. 【答案】114. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =- 15. 函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】116. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1n k k S==∑______2dm .【答案】 (1). 5 (2). ()41537202n n -+-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n nb a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.19. 记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=. 20. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD(2) 621. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，点M 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b <+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b +=， 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<， 故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=， 故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立， 综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >， 结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-， 即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t t x t --=-， 要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<， 即证：()1ln ln 111t t t t t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<， 令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭， 先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111x u x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==， 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立. 综上所述，112e a b <+<.。

2021年广西桂林市高考数学第一次调研试卷（理科）（一模）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若3(2)(3)z i i =-+，则复数z 的实部与虚部之和为( ) A ．12B ．11C ．10D ．62．（5分）已知集合2{|340}A x x x =--<，{|0}B x x m =<<，若{|04}A B x x =<<，则m 可能的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．53．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，其历史可以追溯到公元前一世纪．明、清两代这一在民间广受喜爱的游戏逐渐流传至海外并有了一个新的名字“唐图”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A ．516B ．1132C ．716D ．13324．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,4)P ，则其焦点到准线的距离为( )A ．18B ．14C ．4D ．85．（5分）曲线2()11x f x e x =-++在点(0,0)处的切线的方程为( ) A ．y x =-B ．3y x =C ．0y =D ．4y x =6．（5分）设0.43a =，1()2b π=，3log 7c =( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>7．（5分）函数sin ()()22x xxf x x ππ-=-+的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知a ，b 是非零向量且满足(2)b a a -⊥，||2a =，则a b ⋅的值是( ) A ．23B ．2C ．23-D ．2-9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程2240x y x +-=．若直线(1)y x =+上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的值可以是( ) A ．4-B ．3-C ．2D ．410．（5分）函数()sin (0)g x x ωω=>的图象向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，()f x 在[0，2]π上有且只有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．812(,)55B ．812[,)55C ．1229(,)510D ．1229[,)51011．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为( )A ．1B ．23C ．56 D ．1312．（5分）已知定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+>成立，则( )①()2()43f f ππ<；②()3()36f f ππ<；③()3()63f f ππ<；④2()3()64f f ππ<．A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知实数x ，y 满足502200x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为 ．14．（5分）37(3)x x+展开式中7x 的系数是 ．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，1cos 4A =-，26AB AB BC +⋅=-，则边长a 的值为 ．16．（5分）某市民广场有一批球形路障球（如图1所示）．现公园管理处响应市民要求，决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳（如图2所示）．其中立方八面体有24条棱、12个顶点、14个面(6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体经过测量，这批球形路障球每个直径为60cm ，若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球，则每个改造后的立方八面体表面积为 2cm ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：机动车行驶时，驾驶人、乘坐人员应当按规定使用安全带，摩托车驾驶人及乘坐人员应当按规定佩戴安全头盔．虽然电动自行车不属于机动车，但是电动自行车使用频率高且车速较快，据统计摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约80%为颅脑损伤致死．为了维护电动自行车使用人的生命健康安全，全国多个地区出台各项规定要求电动自行车驾驶人和乘坐人都必须佩戴安全头盔．如表是某市一主干路段，交警对电动车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数统计数据：月份678910不佩戴安全头盔人数115100959070（1）请利用所给数据求出该路段电动自行车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数y与月份x之间的线性回归方程ˆˆˆy bx a=+．（2）利用（1）中的回归方程，预测该路段12月份“不佩戴安全头盔”驾驶人和乘车人人数；附：1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-．18．（12分）设公差不为零的等差数列{}na满足34a=-，且2a，1a，3a成等比数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）若数列{}13nna--的前n项和为nS，求使得20nS-成立的最小正整数n．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆F中心在原点，焦距为2，右准线l的方程为3x=．过2F的直线交于E于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若222AF F B=，求直线AB的方程．20．（12分）如图所示，在三棱锥A BCD-中，侧棱AB⊥平面BCD，F为线段BD中点，23BCDπ∠=，3AB=，2BC CD==．（1）证明：CF⊥平面ABD；（2）设Q是线段AD上一点，二面角A BQ C--的正弦值为13，求DQDA的值．21．（12分）设函数()1x f x xe =-． （1）求函数()f x 的极小值；（2）求证：()()x g x f x ae =-在R 上有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2(3x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=． （1）求l 的极坐标方程和1C 的直角坐标方程； （2）若曲线2C 的极坐标方程为6πθ=，2C 与l 的交点为A ，与1C 异于极点的交点为B ，求||AB ．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|2|f x x a =-，()|2|g x x =+． （1）若()2()f x g x +的最小值为2，求实数a 的值；（2）若关于x 的不等式()()6f x g x +<的解集为A ，若[1，2]A ⊆，求实数a 的取值范围．2021年广西桂林市高考数学第一次调研试卷（理科）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若3(2)(3)z i i =-+，则复数z 的实部与虚部之和为( ) A ．12 B ．11C ．10D ．6【解答】解：3(2)(3)(2)(3)55z i i i i i =-+=++=+，则实部与虚部之和5510=+=． 故选：C ．2．（5分）已知集合2{|340}A x x x =--<，{|0}B x x m =<<，若{|04}A B x x =<<，则m 可能的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【解答】解：2{|340}(1,4)A x x x =--<=-，(0,4)AB =，4m ∴．故选：D ．3．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，其历史可以追溯到公元前一世纪．明、清两代这一在民间广受喜爱的游戏逐渐流传至海外并有了一个新的名字“唐图”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设正方形边长为a ，则其面积2S a =，阴影部分面积22212125()()2216a S '=⨯+⨯=， ∴所求概率516S p S '==．故选：A ．4．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,4)P ，则其焦点到准线的距离为( )A ．18B ．14C ．4D ．8【解答】解：设抛物线方程：22y px =，代入(1,4)P 得8p =，其焦点到准线的距离为8． 故选：D ．5．（5分）曲线2()11x f x e x =-++在点(0,0)处的切线的方程为( ) A ．y x =-B ．3y x =C ．0y =D ．4y x =【解答】解：曲线2()11x f x e x =-++，可得22()(1)x f x e x '=++，(0)3f '=， 则切线方程为3y x =． 故选：B ．6．（5分）设0.43a =，1()2b π=，3log 7c =，则( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【解答】解：0.40331>=，1a ∴>，0110()()122π<<=，∴102b <<，333137312log log log =<<=，∴112c <<， 所以a c b >>． 故选：D ．7．（5分）函数sin ()()22xxxf x x ππ-=-+的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为sin()()()22x xx f x f x ---==-+，故函数()f x 是奇函数，排除选项A ，B ；取0x >，则()0f x >，排除选项C ． 故选：D ．8．（5分）已知a ，b 是非零向量且满足(2)b a a -⊥，||2a =，则a b ⋅的值是( ) A ．23B ．2C ．23-D ．2-【解答】解：设a ，b 的夹角为θ；(2)b a a -⊥，∴(2)0b a a -⋅=，220b a a ⋅-=又||2a =，24a =，∴2a b ⋅=． 故选：B ．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程2240x y x +-=．若直线(1)y x =+上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的值可以是( ) A ．4-B ．3-C ．2D ．4【解答】解：由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=， 圆心(2,0)C ，半径2r =，过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，P ∴，C 及两切点构成正方形，则||2PC = 又P 在直线(1)y x =+上，∴圆心到直线的距离2221d =+．解得：222-．结合选项可得，实数的值可以是2． 故选：C ．10．（5分）函数()sin (0)g x x ωω=>的图象向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，()f x 在[0，2]π上有且只有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．812(,)55B ．812[,)55C ．1229(,)510D ．1229[,)510【解答】解：依题意得()()sin[()]sin()555f xg x x x πππωωωω=+=+=+，2T πω=， 如图所示：因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=， 22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=， 所以2429255πππωω<，解得1229510ω<，故选：D ．11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为( )A ．1B ．23C ．56 D ．13【解答】解：由三视图可知，该几何体是由正方体截取四个角所得，三棱锥的体积为：111111326⨯⨯⨯⨯=， 其体积为111463-⨯=． 故选：D ．12．（5分）已知定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+>成立，则( )①()2()43f ππ；②()3()36f ππ；③()3()63f ππ<；2()3()64ππ．A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②④【解答】解：设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'⋅+⋅'=， 因为(0,)2x π∈时，cos ()sin ()0xf x xf x '+>，所以(0,)2x π∈时，2()cos ()sin ()0cos f x x f x xg x x '⋅+⋅'=>，因此()g x 在(0,)2π上单调递增，所以()()43g g ππ<，()()63g g ππ<，()()64g g ππ<，()()34()2()14322f f f ππππ<⇒<，①正确； ()()63()3()16332f f f ππππ<⇒<，③正确；()()642()3()6432f f ππππ<⇒<，④正确．故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知实数x ，y 满足502200x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为 9 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由50220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(1,4)B ，由2z x y =+，得22x z y =-+表示斜率为12-，纵截距为2z的一组平行直线，平移直线22x zy =-+，当直线经过点(1,4)B 时，此时直线22x zy =-+截距最大，z 最大，此时9z =．故答案为：9． 14．（5分）37(3)x x展开式中7x 的系数是 945 ． 【解答】解：37(3x x+展开式的通项公式7213772177(3)()3rrrr rr r T C x C xx---+=⋅=，令72172r -=，解得：4r =，7x ∴系数为945，故答案为：945．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，1cos 4A =-，26AB AB BC +⋅=-，则边长a 的值为 8 ．【解答】解：21()cos 64AB AB BC AB AB BC AB AC bc A bc +⋅=⋅+=⋅==-=-，24bc ∴=，∴由242bc b c =⎧⎨-=⎩解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去），22212cos 3616264()644a b c bc A ∴=+-=+-⨯⨯⨯-=，8a ∴=．故答案为：8．16．（5分）某市民广场有一批球形路障球（如图1所示）．现公园管理处响应市民要求，决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳（如图2所示）．其中立方八面体有24条棱、12个顶点、14个面(6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体经过测量，这批球形路障球每个直径为60cm，若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球，则每个改造后的立方八面体表面积为540018003+2cm．【解答】解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，则立方八面体表面有8个正三角形，再加上6个小正方形，且正方形边长与正三角形边长相等，当立方八面体外接于路障球时体积最大，即路障球为立方八面体的外接球．设立方八面体棱长为a，外接球直径2222260d a a a=+=，则30a=，所以立方八面体表面积22368540018003S a=+=+．故答案为：540018003+三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：机动车行驶时，驾驶人、乘坐人员应当按规定使用安全带，摩托车驾驶人及乘坐人员应当按规定佩戴安全头盔．虽然电动自行车不属于机动车，但是电动自行车使用频率高且车速较快，据统计摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约80%为颅脑损伤致死．为了维护电动自行车使用人的生命健康安全，全国多个地区出台各项规定要求电动自行车驾驶人和乘坐人都必须佩戴安全头盔．如表是某市一主干路段，交警对电动车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数统计数据：月份678910不佩戴安全头盔人数115100959070（1）请利用所给数据求出该路段电动自行车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数y 与月份x 之间的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （2）利用（1）中的回归方程，预测该路段12月份“不佩戴安全头盔”驾驶人和乘车人人数；附：1122211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 【解答】解：（1）67891085x ++++==，115100959070945y ++++==，515222156115710089599010705894100ˆ103649648110058105i ii ii x yxybxx ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-====-++++-⨯-∑∑，ˆˆ94(10)8174ay bx =-=--⨯=， 所以，y 与x 之间的回归直线方程为ˆ10174y x =-+； （2）当12x =时，ˆ101217454y=-⨯+=， 预测该路段12月份的“不佩戴安全头盔”驾驶人与乘车人为54人．18．（12分）设公差不为零的等差数列{}n a 满足34a =-，且2a ，1a ，3a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}13n n a --的前n 项和为n S ，求使得20n S -成立的最小正整数n ． 【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为2a ，1a ，3a 成等比数列，所以2123a a a =， 即2111()(2)a a d a d =++，整理得1320a d +=①． 又因为3124a a d =+=-②．所以联立①②，解得12a =，3d =-． 所以23(1)35n a n n =--=-+．（2）由（1）可得113(35)3n n n a n ---=-+-，所以0121(23)(13)(43)[(35)3]n n S n -=-+--+--+⋯+-+-0121[2(1)(4)(35)](3333)n n -=+-+-+⋅⋅⋅+-+-+++⋯+022[2(35)]3(13)73317331213222n n n n n n n n n +-+-----+=-=-=-， 11S =，23S =-，12S S >，由273()2x x f x -=在[2，)+∞是单调减函数，31()2x g x -=-是单调减函数，则{}n S 是单调递减数列． 又316S =-，450S =-，则能使得20n S -成立的最小正整数为4..19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆F 中心在原点，焦距为2，右准线l 的方程为3x =．过2F 的直线交于E 于A ，B 两点． （1）求椭圆E 的方程；（2）若222AF F B =，求直线AB 的方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为22221()x y a b a b+=>，其中2223c a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：23a =，1c =，2212b a ∴=-=，故所求椭圆方程为22132x y +=． （2）设AB 方程为1x my =+，代入椭圆22236x y +=中得：222(1)36my y ++=，即22(23)440m y my ++-=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 由222AF F B =得122y y -=，解得2m =±． 则直线AB的方程为1)y x =-．20．（12分）如图所示，在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ⊥平面BCD ，F 为线段BD 中点，23BCD π∠=，3AB =，2BC CD ==．（1）证明：CF ⊥平面ABD ；（2）设Q 是线段AD 上一点，二面角A BQ C --的正弦值为134，求DQ DA的值．【解答】（1）证明：因为BC CD =，F 为线段BD 中点，所以CF BD ⊥． 因为AB ⊥平面BCD ，CF ⊂平面BCD ，所以CF AB ⊥． 又因为AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，AB BD B =，所以CF ⊥平面ABD ．（2）解：作FE BQ ⊥于E ，连接CE ，设DBQ θ∠=，CEF α∠=， 由（1）知CF ⊥平面ABD ，所以CF BQ ⊥，CF FE ⊥， 所以BQ ⊥平面EFC ，所以BQ EC ⊥， 所以CEF ∠为二面角D BQ C --的平面角，因为二面角D BQ C --与二面角A BQ C --为互补二面角， 所以13sin α=，3cos α=，2sin30tan 2cos30sin 3sin CF EF αθθ︒===︒⋅， 所以1333sin θ=，于是sin 13θ=，23sin()213πθ-=，1123sin 11321323sin()32213DBQQBA QB BD S DQ QA S QB BA θπθ∆∆⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅-⋅， 所以14DQ DA =，即DQ DA 的值为14．21．（12分）设函数()1x f x xe =-．（1）求函数()f x 的极小值；（2）求证：()()x g x f x ae =-在R 上有且仅有一个零点． 【解答】解：（1）()(1)x x x f x e xe x e '=+=+，由()0f x '>，得1x >-，所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数， 由()0f x '<，得1x <-，所以函数()f x 在区间(,1)-∞-上是减函数，故()f x 在1x =-处取得极小值，且1(1)1f e-=--．（2）证明：()()()1x x g x f x ae x a e =-=--，()()(1)x x x g x e x a e x a e '=+-=-+， 由()0g x '>，得1x a >-，所以函数()g x 在区间(1,)a -+∞上是增函数， 由()0g x '<，得1x a <-，所以函数()g x 在区间(,1)a -∞-上是减函数， 故()g x 在1x a =-处取得最小值，且1(1)10a g a e --=--<， 当1x a <-时，1x a -<-则()()110x x g x x a e e =--<--<， 当1x a >-时，由220a +>则211a a a ++>-， 此时2221(1)(1)1aa g a a a e ++++=+-，又2(1)1a +>，22131()024a a a ++=++>，∴324(1)10g a a e ++>->，又()g x 图象不间断，()g x ∴在(,1)a -∞-时没有零点，()g x 在(1,)a -+∞有且仅有一个零点；综上所述，()()x g x f x ae =-在R 上有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2(3x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=． （1）求l 的极坐标方程和1C 的直角坐标方程； （2）若曲线2C 的极坐标方程为6πθ=，2C 与l 的交点为A ，与1C 异于极点的交点为B ，求||AB ．【解答】解：（1）直线l的参数方程为2(3x t y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得直线l0y +-， 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，故直线lcos sin 0θρθ+-=； 由曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，得26cos 0ρρθ-=， 即2260x y x +-=，化为22(3)9x y -+=． 故曲线1C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． （2）由题意设(,)6A A πρ，(,)6B B πρ，cossin066A A ππρ+-，解得A ρ=；又6cos6B πρ==|||||A B AB ρρ∴=-==[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|2|f x x a =-，()|2|g x x =+． （1）若()2()f x g x +的最小值为2，求实数a 的值；（2）若关于x 的不等式()()6f x g x +<的解集为A ，若[1，2]A ⊆，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）()2()|2||24|f x g x x a x +=-++ |224||4|x a x a ---=--，|4|2a ∴+=，解得2a =-或6-．（2）由()()6f x g x +<，得|2||2|6x a x -++<， 当[1x ∈，2]时，|2||2||2|26x a x x a x -++=-++<， 即|2|4x a x -<-，∴2424x a x x a x -<-⎧⎨->-⎩，∴443aa x +-<<，由[1，2]A ⊆，可知42341a a +⎧>⎪⎨⎪-<⎩，解得25a <<．即a 的取值范围为(2,5)．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（新高考Ⅰ）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.(2021·湖南省·历年真题)设集合A={x|−2<x<4}，B={2,3，4，5}，则A∩B=()A. {2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3，4}2.(2021·广东省深圳市·期末考试)已知z=2−i，则z(z−+i)=()A. 6−2iB. 4−2iC. 6+2iD. 4+2i3.(2021·湖南省·历年真题)已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√24.(2021·湖南省·历年真题)下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是()A. (0,π2) B. (π2,π) C. (π,3π2) D. (3π2,2π)5.(2021·湖南省·历年真题)已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为()A. 13B. 12C. 9D. 66.(2021·湖南省·历年真题)若tanθ=−2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=()A. −65B. −25C. 25D. 657.(2021·湖南省·历年真题)若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则()A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8.(2021·湖南省·历年真题)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. (2021·湖南省·历年真题)有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i =x i +c(i =1,2，…，n)，c 为非零常数，则( )A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同10. (2021·湖南省·历年真题)已知O 为坐标原点，点P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,−sinβ)，P 3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则( ) A. |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | B. |AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗11. (2021·湖南省·历年真题)已知点P 在圆(x −5)2+(y −5)2=16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当∠PBA 最小时，|PB|=3√2D. 当∠PBA 最大时，|PB|=3√212. (2021·湖南省·历年真题)在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则( )A. 当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值B. 当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值C. 当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP D. 当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·湖南省·历年真题)已知函数f(x)=x 3(a ⋅2x −2−x )是偶函数，则a = ______ ． 14. (2021·湖南省·历年真题)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP.若|FQ|=6，则C 的准线方程为______ ．15. (2021·湖南省·历年真题)函数f(x)=|2x −1|−2lnx 的最小值为______ ． 16. (2021·湖南省·历年真题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm ×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm ×12dm ，20dm ×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1=240dm 2，对折2次共可以得到5dm ×12dm ，10dm ×6dm ，20dm ×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2=180dm 2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______ ；如果对折n 次，那么∑S k n k=1= ______ dm 2．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(2021·湖南省·历年真题)已知数列{a n}满足a1=1，a n+1={a n+1,n为奇数, a n+2,n为偶数.(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；(2)求{a n}的前20项和．18.(2021·湖南省·历年真题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．19.(2021·湖南省·历年真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC．(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．20.(2021·湖南省·历年真题)如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥A−BCD的体积．21.(2021·湖南省·历年真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−√17,0)，F2(√17,0)，点M满足|MF1|−|MF2|=2.记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设点T在直线x=1上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，2且|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．22.(2021·湖南省·历年真题)已知函数f(x)=x(1−lnx)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna−alnb=a−b，证明：2<1a +1b<e．答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−2<x<4}，B={2,3，4，5}，∴A∩B={x|−2<x<4}∩{2,3，4，5}={2，3}．故选：B．直接利用交集运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵z=2−i，∴z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i．故选：C．把z=2−i代入z(z−+i)，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征【解析】解：由题意，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2π⋅√2=π⋅l，解得l=2√2，所以该圆锥的母线长为2√2．故选：B．设母线长为l，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：令−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ，k∈Z．则−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z．当k=0时，k∈[−π3,2π3]，(0,π2)⊆[−π3，2π3]，故选：A．本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．本题考查正弦函数单调性，是简单题．5.【答案】C【知识点】椭圆的性质及几何意义、基本不等式【解析】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9．故选：C．利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．6.【答案】C【知识点】二倍角公式及其应用、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系【解析】解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθ1+tan2θ=4−21+4=25．故选：C．由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于中等题．【知识点】函数与方程的综合应用、导数的几何意义 【解析】解：函数y =e x 是增函数，y′=e x >0恒成立，函数的图象如图，y >0，即取得坐标在x 轴上方，如果(a,b)在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(a,b)在x 轴或下方时，只有一条切线． 如果(a,b)在曲线上，只有一条切线； (a,b)在曲线上侧，没有切线；由图象可知(a,b)在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0<b <e a ． 故选：D ．画出函数的图象，判断(a,b)与函数的图象的位置关系，即可得到选项．本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【知识点】相互独立事件同时发生的概率【解析】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)， 两点数和为7的所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)， P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=56×6=536，P(丁)=66×6=16， A ：P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)， B ：P(甲丁)=136=P(甲)P(丁)， C ：P(乙丙)=136≠P(乙)P(丙)，D ：P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁)， 故选：B ．分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．【知识点】众数、中位数、平均数、方差与标准差【解析】解：对于A ，两组数据的平均数的差为c ，故A 错误； 对于B ，两组样本数据的样本中位数的差是c ，故B 错误； 对于C ，∵标准差D(y i )=D(x i +c)=D(x i )， ∴两组样本数据的样本标准差相同，故C 正确； 对于D ，∵y i =x i +c(i =1,2，…，n)，c 为非零常数，x 的极差为x max −x min ，y 的极差为(x max +c)−(x min +c)=x max −x min ， ∴两组样本数据的样本极差相同，故D 正确． 故选：CD ．利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，是基础题．10.【答案】AC【知识点】向量的数量积【解析】解：∵P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,−sinβ)，P 3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)， ∴OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,−sinβ)， OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos(α+β),sin(α+β))，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)， AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−1,sinα)，AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ−1,−sinβ)，则|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√cos 2α+sin 2α=1，|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√cos 2β+(−sinβ)2=1，则|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，故A 正确；|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(cosα−1)2+sin 2α=√cos 2α+sin 2α−2cosα+1=√2−2cosα， |AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(cosβ−1)2+(−sinβ)2=√cos 2β+sin 2β−2cosβ+1=√2−2cosβ，|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，故B 错误；OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α+β)， OP 1−⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cosαcosβ−sinαsinβ=cos(α+β)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 正确； OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×cosα+0×sinα=cosα，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cosβcos(α+β)−sinβsin(α+β)=cos[β+(α+β)]=cos(α+2β)，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 错误． 故选：AC ．由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ACD【知识点】直线与圆的位置关系及判定 【解析】解：∵A(4,0)，B(0,2)，∴过A 、B 的直线方程为x4+y2=1，即x +2y −4=0，圆(x −5)2+(y −5)2=16的圆心坐标为(5,5)， 圆心到直线x +2y −4=0的距离d =|1×5+2×5−4|√12+22=11√5=11√55>4，∴点P 到直线AB 的距离的范围为[11√55−4,11√55+4]，∵11√55<5，∴11√55−4<1，11√55+4<10，∴点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故A 正确，B 错误；如图，当过B 的直线与圆相切时，满足∠PBA 最小或最大(P 点位于P 1时∠PBA 最小，位于P 2时∠PBA 最大)，此时|BC|=√(5−0)2+(5−2)2=√25+9=√34， ∴|PB|=√|BC|2−42=√18=3√2，故CD 正确． 故选：ACD ．求出过AB 的直线方程，再求出圆心到直线AB 的距离，得到圆上的点P 到直线AB 的距离范围，判断A 与B ；画出图形，由图可知，当过B 的直线与圆相切时，满足∠PBA 最小或最大，求出圆心与B 点间的距离，再由勾股定理求得|PB|判断C 与D ． 本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．12.【答案】BD【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：对于A ，当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ，当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2， 当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1， 故周长不为定值，故选项A 错误；对于B ，当μ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段B 1C 1上， 因为B 1C 1//平面A 1BC ，所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等， 又△A 1BC 的面积为定值，所以三棱锥P −A 1BC 的体积为定值，故选项B 正确；对于C ，当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线段M 1M 上，当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ， 又B 1C 1∩B 1B =B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ，又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ， 同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故选项C 错误；对于D ，当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则点P 在线的DD 1上，当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ， 在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ， 又BE ∩A 1E =E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1， 在正方体形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，又AD 1∩AB 1=A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1， 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故选项D 正确．故选：BD ．判断当λ=1时，点P 在线段CC 1上，分别计算点P 为两个特殊点时的周长，即可判断选项A ；当μ=1时，点P 在线段B 1C 1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B ；当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，则点P在线段M 1M 上，分别取点P 在M 1，M 处，得到均满足A 1P ⊥BP ，即可判断选项C ；当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，则点P 在线的DD 1上，证明当点P 在点D 1处时，A 1B ⊥平面AB 1D 1，利用过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D ． 本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．13.【答案】1【知识点】函数的奇偶性【解析】解：函数f(x)=x 3(a ⋅2x −2−x )是偶函数， y =x 3为R 上的奇函数，故y =a ⋅2x −2−x 也为R 上的奇函数， 所以y|x=0=a ⋅20−20=a −1=0， 所以a =1． 故答案为：1．利用奇函数的定义即可求解a 的值．本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】x =−32【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：由题意，不妨设P 在第一象限，则P(p2,p)，k OP =2，PQ ⊥OP ． 所以k PQ =−12，所以PQ 的方程为：y −p =−12(x −p 2)， y =0时，x =5p 2，|FQ|=6，所以5p2−p2=6，解得p =3， 所以抛物线的准线方程为：x =−32． 故答案为：x =−32．求出点P 的坐标，推出PQ 方程，然后求解Q 的坐标，利用|FQ|=6，求解p ，然后求解准线方程．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.【答案】1【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】解：函数f(x)=|2x −1|−2lnx 的定义域为(0,+∞)． 当0<x ≤12时，f(x)=|2x −1|−2lnx =−2x +1−2lnx ， 此时函数f(x)在(0,12]上为减函数，所以f(x)≥f(12)=−2×12+1−2ln 12=2ln2； 当x >12时，f(x)=|2x −1|−2lnx =2x −1−2lnx ， 则f′(x)=2−2x =2(x−1)x，当x ∈(12,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴当x =1时f(x)取得最小值为f(1)=2×1−1−2ln1=1． ∵2ln2=ln4>lne =1，∴函数f(x)=|2x −1|−2lnx 的最小值为1． 故答案为：1．求出函数定义域，对x 分段去绝对值，当0<x ≤12时，直接利用单调性求最值；当x >12时，利用导数求最值，进一步得到f(x)的最小值．本题考查利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】5 240(3−n+32n)【知识点】数列求和方法【解析】解：易知有20dm ×34dm,10dm ×32dm,5dm ×3dm,52dm ×6dm ，54dm ×12dm ，共5种规格；由题可知，对折k 次共有k +1种规格，且面积为2402k ，故S k =240(k+1)2k，则∑S k n k=1=240∑k+12knk=1，记T n =∑k+12kn k=1，则12T n =∑k+12k+1n k=1， ∴12T n =∑k+12k n k=1−∑k+12k+1n k=1=1+(∑k+22k+1n−1k=1−∑k+22k+1n k=1)−n+12n+1=1+14(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1，∴T n =3−n+32n，∴∑S k n k=1=240(3−n+32n)． 故答案为：5；240(3−n+32n)．依题意，对折k 次共有k +1种规格，且面积为2402k ，则S k =240(k+1)2k，∑S k n k=1=240∑k+12kn k=1，然后再转化求解即可．本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a 1=1，a n+1={a n +1,n 为奇数a n +2,n 为偶数，所以a 2=a 1+1=2，a 3=a 2+2=4，a 4=a 3+1=5， 所以b 1=a 2=2，b 2=a 4=5，b n −b n−1=a 2n −a 2n−2=a 2n −a 2n−1+a 2n−1−a 2n−2=1+2=3， 所以数列{b n }是以b 1=2为首项，以3为公差的等差数列， 所以b n =2+3(n −1)=3n −1． (2)由(1)可得a 2n =3n −1，n ∈N ∗，则a 2n−1=a 2n−2+2=3(n −1)−1+2=3n −2，n ≥2， 当n =1时，a 1=1也适合上式， 所以a 2n−1=3n −2，n ∈N ∗，所以数列{a n }的奇数项和偶数项分别为等差数列，则{a n }的前20项和为a 1+a 2+...+a 20=(a 1+a 3+⋯+a 19)+(a 2+a 4+⋯+a 20)=10+10×92×3+10×2+10×92×3=300．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)由数列{a n }的通项公式可求得a 2，a 4，从而可得求得b 1，b 2，由b n −b n−1=3可得数列{b n }是等差数列，从而可求得数列{b n }的通项公式；(2)由数列{a n }的通项公式可得数列{a n }的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可． 本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由已知可得，X 的所有可能取值为0，20，100，则P(X =0)=1−0.8=0.2， P(X =20)=0.8×(1−0.6)=0.32P(X=100)=0.8×0.6=0.48，所以X的分布列为：(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)=0×0.2+20×0.32+ 100×0.48=54.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y=0)=1−0.6=0.4，P(Y=80)=0.6×(1−0.8)=0.12，P(Y=100)=0.6×0.8=0.48，则Y的期望为E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，因为E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；(2)由(1)可得E(X)，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得E(Y)，比较E(X)与E(Y)的大小，即可得出结论．本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：由正弦定理知，bsin∠ABC =csin∠ACB=2R，∴b=2Rsin∠ABC，c=2Rsin∠ACB，∵b2=ac，∴b⋅2Rsin∠ABC=a⋅2Rsin∠ACB，即bsin∠ABC=asinC，∵BDsin∠ABC=asinC．∴BD=b；(2)由(1)知BD=b，∵AD=2DC，∴AD=23b，DC=13b，在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA=BD 2+AD2−AB22BD⋅AD=b2+(23b)2−c22b⋅23b=13b2−9c212b2，在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC=BD 2+CD2−BC22BD⋅CD=b2+(13b)2−a22b⋅13b=10b2−9a26b2，∵∠BDA+∠BDC=π，∴cos∠BDA+cos∠BDC=0，即13b2−9c212b2+10b2−9a26b2=0，得11b2=3c2+6a2，∵b2=ac，∴3c2−11ac+6a2=0，∴c=3a或c=23a，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=a2+c2−b22ac =a2+c2−ac2ac，当c=3a时，cos∠ABC=76>1(舍)；当c=23a时，cos∠ABC=712；综上所述，cos∠ABC=712．【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(1)利用正弦定理求解；(2)要能找到隐含条件：∠BDA和∠BDC互补，从而列出等式关系求解．本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题．20.【答案】解：(1)证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD；(2)取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过O作OM//CF与BC交于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(0,−1,0)，C(√32,12,0)，D(0,1，0)，设A(0,0，t)，则E(0,13,2t3)，因为OA ⊥平面BCD ，故平面BCD 的一个法向量为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,t)， 设平面BCE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,43,2t 3)，所以由{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{√32x +32y =043y +2t 3z =0， 令x =√3，则y =−1，z =2t ，故n ⃗ =(√3,−1,2t )， 因为二面角E −BC −D 的大小为45°，所以|cos <n ⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t√4+4t 2=√22，解得t =1，所以OA =1，又S △OCD =12×1×1×√32=√34，所以S △BCD =√32，故V A−BCD =13⋅S △BCD ⋅OA =13×√32×1=√36．【知识点】线面垂直的判定、圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用等腰三角形中线就是高，得到AO ⊥BD ，然后利用面面垂直的性质，得到AO ⊥平面BCD ，再利用线面垂直的性质，即可证明AO ⊥CD ；(2)建立合适的空间直角坐标系，设A(0,0，t)，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t 的值，然后利用锥体的体积公式求解即可．本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0),x >0， 根据题意{c =√172a =2c 2=a 2+b 2，解得{a =1b =4c =√17，∴C 的方程为x 2−y 216=1(x >0)；(2)设T(12,m)，直线AB 的参数方程为{x =12+tcosθy =m +tsinθ，将其代入C 的方程并整理可得，(16cos 2θ−sin 2θ)t 2+(16cosθ−2msinθ)t −(m 2+12)=0，由参数的几何意义可知，|TA|=t 1，|TB|=t 2，则t 1t 2=m 2+12sin 2θ−16cos 2θ=m 2+121−17cos 2θ， 设直线PQ 的参数方程为{x =12+λcosβy =m +λsinβ，|TP|=λ1，|TQ|=λ2，同理可得，λ1λ2=m 2+121−17cos 2β，依题意，m 2+121−17cos 2θ=m 2+121−17cos 2β，则cos 2θ=cos 2β，又θ≠β，故cosθ=−cosβ，则cosθ+cosβ=0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．【知识点】直线与双曲线的位置关系【解析】(1)M 的轨迹C 是双曲线的右支，根据题意建立关于a ，b ，c 的方程组，解出即可求得C 的方程；(2)设出直线AB 的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得|TA|⋅|TB|，同理求得|TP|⋅|TQ|，再根据|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|，即可得出答案．本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】(1)解：由函数的解析式可得f′(x)=1−lnx −1=−lnx ，∴x ∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增， x ∈(1,+∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减， 则f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减．(2)证明：由blna −alnb =a −b ，得−1a ln 1a +1b ln 1b =1b −1a ， 即1a (1−ln 1a )=1b (1−ln 1b )，由(1)f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减， 所以f(x)max =f(1)=1，且f(e)=0， 令x 1=1a ，x 2=1b ，则x 1，x 2为f(x)=k 的两根，其中k ∈(0,1)． 不妨令x 1∈(0,1)，x 2∈(1,e)，则2−x 1>1，先证2<x 1+x 2，即证x 2>2−x 1，即证f(x 2)=f(x 1)<f(2−x 1)，令ℎ(x)=f(x)−f(2−x)，则ℎ′(x)=f′(x)+f′(2−x)=−lnx−ln(2−x)=−ln[x(2−x)]在(0,1)单调递减，所以ℎ′(x)>ℎ′(1)=0，故函数ℎ(x)在(0,1)单调递增，∴ℎ(x1)<ℎ(1)=0.∴f(x1)<f(2−x1)，∴2<x1+x2，得证．同理，要证x1+x2<e，即证1<x2<e−x1，根据(1)中f(x)单调性，即证f(x2)=f(x1)>f(e−x1)，令φ(x)=f(x)−f(e−x)，x∈(0,1)，则φ′(x)=−ln[x(e−x)]，令φ′(x0)=0，x∈(0,x0)，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，x∈(x0,1)，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，又x>0，f(x)>0，且f(e)=0，故x→0，φ(0)>0，φ(1)=f(1)−f(e−1)>0，∴φ(x)>0恒成立，x1+x2<e得证，则2<1a +1b<e．【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性，(2)利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属于难题．。

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ）A ．45B ．45-C ．45±D ．352．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A ．25,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,83．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．16274．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．15．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．16．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅的最小值为（ ） A ．-14 B ．-12 C ．-l D ．1 7．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%8．已知非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 9．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A = B ．A B B ⋃= C ．()U A B =∅ D ．U B A ⊆10．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．643πB ．2563πC ．4363πD 2048327π11．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12 B ．12- C ．1- D ．2 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）A ．312+B ．512+C ．32D ．51+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

年广西梧州市高三毕业班第一次测试数 学（文科）（答卷时间：120分钟 满分：150分）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共四页。

全部解答都写在答卷（卡）上，不要写在本试卷面上。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和2B 铅笔写、涂在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不准答在试卷面上。

3．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率：P n (k)=C kn ·P k ·(1－P)n －k ；球的表面积公式S=24R π；球的体积公式V 球=334R π 其中R 表示球的半径。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把所选选项的字母填写到答题卡对应题目的空格内。

1．不等式0213≥--x x 的解集是 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤231x x（B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤231x x（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤231x x x 或（D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤231x x x 或 2．如果()()()()()x f x f x f x f x f 则且,,=-=+π可以是（A ）x sin（B ）x sin（C ）x 2sin（D ）x cos3．已知向量b a ,，且3,4==b a ，夹角60°，则b a +等于（A ）37（B ）13（C ）17（D ）134．已知直线a 、b ，平面βα、；以下推理正确的是 （A ）αα//a b b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ （B ）αβαβ////a a ⇒⎭⎬⎫⊥（C ）αββα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a // （D ）αβαβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a // 5．已知曲线32x y =，则过点（1，2）的切线的斜率是（A ）2（B ）4（C ）6（D ）86．{}n a 是 首项a 1=1，公差d=3的等差数列，如果a n =,则序号n 等于 （A ）667（B ）668（C ）669 （D ）6707．直线01=++bx ax 被圆1322=+y x 截得弦长为6，则22b a +的值为（A ）21 （B ）41 （C ）43 （D ）32 8．在△ABC 中，已知CCB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是 （A ）等边三角形（B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形（D ）钝角三角形9．函数()34++=xx x f 在[)+∞,1上的最小值是 （A ）5（B ）7（C ）8（D ）1110．将边长为a 正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D —ABC 的体积为（A ）63a（B ）123a（C ）3123a （D ）3122a 11．函数()bx ax f -=的图象如图所示，其中a,b 为常数。

2021新高考1卷数学试题精校word 版及参考答案2021年普通高等学校招生全国统一考试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则AB =A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}2．已知2i z =-，则(i)z z +=A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +3A ．2B ．C ．4D ．4．下列区间中，函数π()7sin()6f x x =-单调递增的区间是A ．π(0,)2B ．π(,π)2C ．3π(π,)2D ．3π(,2π)25．已知1F ，2F 是椭圆22194x y C +=：的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为 A ．13B ．12C ．9D ．66．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A ．65-B ．25-C ．25D ．657．若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西2021高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·焦作期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·南康期中) 设，则在复平面对应的点位于第（）象限A . 一B . 二C . 三D . 四3. （2分） (2019高二上·大观月考) 已知下表为x与y之间的一组数据，若y与x线性相关，则y与x的回归直线必过点（）x0123y1387A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·湖南月考) 已知，均为单位向量且夹角为，则下列向量与垂直的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·荥经期中) 已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A . S1B . S2C . S3D . S46. （2分） (2019高二上·汇川期中) 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A .B .C .D .7. （2分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面平面CBD，形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）A .B .C .D .8. （2分）已知圆x2﹣2x+y2﹣2my+2m﹣1=0，当圆的面积最小时，直线y=x+b与圆相切，则b=（）A . ±1B . 1C . ±D .9. （2分） (2019高一上·集宁月考) 已知函数，则它的部分图象大致是（）.A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·东莞期末) 已知函数的最小正周期为π，将函数f（x）的图象向右平移个所得图象对应的函数为y=g（x），则关于函数为y=g（x）的性质，下列说法不正确的是（）A . g（x）为奇函数B . 关于直线对称C . 关于点（π，0）对称D . 在上递增11. （2分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A . 2B . 3C . 4D . 612. （2分） (2019高一上·连城月考) 函数定义域为R,且对任意 , 恒成立,则下列选项中不恒成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·兰州模拟) 的展开式中，常数项的值为________．（用数字作答）14. （1分）(2020·广东模拟) 若，满足约束条件则的取值范围为________.15. （1分）(2018·孝义模拟) 数列满足，若，则数列的前项的和是________．16. （1分）(2017·鞍山模拟) 已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高二上·宁阳期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= ．（1）证明：a、c、b成等差数列；（2）求cosC的最小值．18. （10分）淮南二中体育教研组为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对本校200名高二学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间（分钟）[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）总人数203644504010将学生日均课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．参考公式：k2= ，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男女15110合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的：“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．19. （5分） (2019高二上·丽水期末) 如图,在三棱锥中，分别为 , 的中点，为的中点， .（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.20. （10分）(2016·山东理) 平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1 ，△PDM的面积为S2 ，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．21. （10分） (2019高二下·上饶月考) 已知函数．（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）求函数的最小值.22. （5分） (2017高二上·清城期末) 已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线 c1：（α为参数）．（Ⅰ）求曲线c1的普通方程；（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．23. （15分） (2016高一上·无锡期末) 已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、答案：23-3、考点：解析：第21 页共21 页。

2021年广西名校高考数学一模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝，集合B＝．则A∪∁R B＝（）A．（6，）B．（6，]C．（6，）D．R2．警察抓了4名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁四人相互认识，警察将四名嫌疑人分别进行审问．甲说：“是乙和丙其中一个干的．”乙说：“我和甲都没干．”丙说：“我和乙都没干．”丁说：“我没干．”已知四人中有两人说谎，且只有一人偷窃，下列两人不可能同时说谎的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．丙和丁D．丁和甲3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，M，N分别是AB、BC的中点，平面B1AC 分别与D1M、D1N交于P、Q两点，则S＝（）A．B．C．D．4．在四面体ABCD中，AB＝6，BC＝3，BD＝4，若∠ABC与∠ABD互余，则的最大值为（）A．20B．30C．40D．505．（x﹣1）（x2﹣1）（x3﹣1）（x4﹣1）（x5﹣1）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（）A．0B．55C．90D．1206．＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．执行如图所示的程序框图，结果是（）A．162B．171C．180D．无输出8．＝（）A．B．C．D．9．已知a＝，b＝，c＝1﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a10．已知数列a n＝a n﹣12+3a n﹣1，a1＝2，则log2（a6+1）＝（）A．63log23﹣31B．33log23﹣15C．63log32﹣31D．33log32﹣15 11．已知椭圆＝1上有相异的三点A，B，C，则S△ABC的最大值为（）A．B．C．D．12．若a、b是小于180的正整数，且满足＝．则满足条件的数对（a，b）共有（）A．2对B．6对C．8对D．12对二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.13．已知恒正函数f（x）＝x2f′（x），f（1）＝．若x1、x2、x3＜0，且x1+x2+x3＝﹣ln2．则的最大值为．14．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），C为x2+y2＝1上的动点，则|AC|+|BC|的取值范围为．15．已知△ABC满足AB＝1，AC＝2，cos A＝．若E为△ABC内一点，满足λ（λ∈R），且＝0，延长AE至BC交于点D，则＝．16．已知数列{a n}和{b n}满足a1＝2，b1＝1，a n+b n＝b n+1，a n+1+b n+1＝4a n，则＝．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17-21为必考题，每个试题考生都必须作答。