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现代控制理论 第十一章 参数估计方法

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《现代控制理论》课程教案

《现代控制理论》课程教案

《现代控制理论》课程教案一、教学目标1. 了解自动控制系统的概念，理解自动控制的基本原理和特点。

2. 掌握线性系统的状态空间表示，熟悉状态空间方程的求解方法。

3. 学习控制器的分析和设计方法，包括PID控制、状态反馈控制和观测器设计。

4. 学会运用现代控制理论解决实际工程问题，提高系统的稳定性和性能。

二、教学内容1. 自动控制系统的基本概念和原理自动控制系统的定义、分类和性能指标开环控制系统和闭环控制系统的区别与联系2. 状态空间表示及其应用状态空间方程的定义和求解方法状态转移矩阵和初始状态对系统行为的影响状态空间图的绘制和分析3. 控制器的分析和设计PID控制原理及其参数调整方法状态反馈控制和观测器的设计方法控制器设计实例和仿真分析4. 系统的稳定性和性能分析线性时不变系统的稳定判据系统的瞬时响应、稳态响应和频率响应分析系统性能指标的优化方法三、教学方法1. 讲授法：讲解基本概念、原理和方法，阐述重点难点。

2. 案例分析法：分析实际工程案例，让学生学会运用现代控制理论解决问题。

3. 实验法：安排实验课程，让学生动手实践，加深对理论知识的理解。

4. 讨论法：组织课堂讨论，培养学生独立思考和团队协作的能力。

四、教学资源1. 教材：《现代控制理论》，作者：吴启迪、何观强。

2. 课件：PowerPoint 或其他演示软件制作的课件。

3. 实验设备：控制系统实验平台。

4. 仿真软件：MATLAB/Simulink。

五、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业完成情况和实验报告。

2. 考试成绩：期末考试，包括选择题、填空题、计算题和论述题。

3. 实践能力：实验报告和实际工程问题的解决方案。

六、教学安排1. 课时：共计32课时，其中包括16次课堂讲授，8次实验操作，8次课堂讨论。

2. 授课方式：课堂讲授结合实验操作和课堂讨论。

3. 进度安排：第1-8课时：讲授自动控制系统的基本概念和原理。

第9-16课时：讲解状态空间表示及其应用。

现代控制理论第11讲

现代控制理论第11讲

0 1
0 0
0 0
0 4
1 7 2 16
0 1 0 3 0 9
0 0 1 2 3 8
（4）求变换后各矩阵
1 0 0 0 1 0
0 0 6 0
~ A
Rc1 ARc
0 0
1 0
5 0
0 0
1 0 4
2 1 2
~ A11
0
~ AA~1222
0 0 0 0 3 0
0 0 0 1 2 3
2、传递函数阵的能控标准型实现
0r
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Ac
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a0 I r
Ir 0r
0r a1I r
0r
Ir
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Ir
an1I r
0r
0
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Bc
0r
I r
Cc 0 1 n2 n1
0r 和Ir r r 零矩阵和单位矩阵
r－系统输入的维数,这个实现的维数是nr维
现代控制理论第十一讲
§3—9 传递函数矩阵的实现问题
问题：对于某一给定的传递函数将有无穷多的状态空间 表达式与之对应，即一个传递函数阵描述着无穷多个不 同的系统结构，是否存在一个维数最小的实现？
可以从模拟结构图中看出：
系统的输入u和输出y之间只存在一条唯一的单向控制通 道，即u→ B1→ ∑ 1→C1 → y。
0 0 1 0 0 0
0
0
0
1
0
0
0 0 0 0 1 0
A
0
0
0
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0
1
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0 6 0 11 0 6
0 0

1.2-现代控制理论的主要内容PPT优秀课件

1.2-现代控制理论的主要内容PPT优秀课件
6
最优控制(1/1)
1.2.2 最优控制
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最 优解的一门学科。 ➢ 具体地说就是研究被控系统在给定的约束条件和性能指 标下,寻求使性能指标达到最佳值的控制规律问题。 ➢ 例如要求航天器达到预定轨道的时间最短、所消耗的燃 料最少等。
该分支的基本内容和常用方法为 ➢ 变分法； ➢ 庞特里亚金的极大值原理； ➢ 贝尔曼的动态规划方法。
8
随机系统理论和最优估计(2/2)
最优估计讨论根据系统的输入输出信息估计出或构造出随机 动态系统中不能直接测量的系统内部状态变量的值。 ➢ 由于现代控制理论主要以状态空间模型为基础,构成反馈 闭环多采用状态变量,因此估计不可直接测量的状态变量 是实现闭环控制系统重要的一环。 ➢ 该问题的困难性在于系统本身受到多种内外随机因素扰 动,并且各种输入输出信号的测量值含有未知的、不可测 的误差。
系统辨识是重要的建模方法,因此亦是控制理论实现和应用 的基础。 ➢ 系统辨识是控制理论中发展最为迅速的领域,它的发展还 直接推动了自适应控制领域及其他控制领域的发展。
11
自适应控制(1/5)
1.2.5 自适应控制
自适应控制研究当被控系统的数学模型未知或者被控系统的 结构和参数随时间和环境的变化而变化时,通过实时在线修正 控制系统的结构或参数使其能主动适应变化的理论和方法。 ➢ 自适应控制系统通过不断地测量系统的输入、状态、输 出或性能参数,逐渐了解和掌握对象,然后根据所得的信息 按一定的设计方法,做出决策去更新控制器的结构和参数 以适应环境的变化,达到所要求的控制性能指标。 ➢ 该分支诞生于1950年代末,是控制理论中近60年发展最为 迅速、最为活跃的分支。
12
自适应控制(2/5)

概率论与数理参数估计

概率论与数理参数估计

概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。

参数估计分为点估计和区间估计两种方法。

点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。

常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。

最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。

矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。

这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。

最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。

区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。

常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。

置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。

置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。

预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。

在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。

样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。

样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。

参数估计在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。

在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。

在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。

综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。

参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。

现代控制理论_第11章_参数估计方法

现代控制理论_第11章_参数估计方法

第十一章 参数估计方法
本章讨论参数估计准则和估计方法，根据对被估值统计特性的掌 握程度不同，可提出不同的估计准则。依据不同的准则，就有相应 的估计方法，即最小方差估计、线性最小方差估计、极大似然估计、 极大验后估计、最小二乘估计等，本章将对这些估计方法进步不同 程度的讨论。
第一节 最小方差估计与线性最小方差估计
(11-18)
由式(11-18)可得
E xˆ E mx Cov x,zVarz1 E z mz mx E x
所以估计是无偏的。
估计误差的方差阵为
J Varx-Cov x、zVarz1 Cov z、x
(11-19)
第二节 极大似然法估计与极大验后法估计
中的 z ，则得
p zi ,1,2, ,n
i 1,2, ，k
将所得的k 个函数相乘，得
k
L z1, z2 , ，zk；1,2, ,n p zi ,1,2, ,n
i1
(11-20)
称函数 L为似然函数。当 z1, z2, , zk 固定时，L 是1,2, ,n 的函数。极
A A
2E x b AzzT
2E x b xT 2E AzzT
2 AE zzT bE zT E xxT 0
(11-15)
将式(11-14)代入式(11-15)得
AE zzT E xE zT AE zE zT E xzT 0 A E zzT E z E zT E xzT E x E zT 0
一、最小方差估计
最小方差准则，要求误差的方差为最小，它是一种最古典的估计
方法，这呼估计方法需要知道被估随机变量x 的概率分布密度 p x 和数学期望E x。这种苛刻的先验条件，使此方法在工程上的应用

现代控制理论参数估计方法

现代控制理论参数估计方法
一、最小方差估计
最小方差准则，要求误差的方差为最小，它是一种最古典的估计
方法，这呼估计方法需要知道被估随机变量x 的概率分布密度 p x 和数学期望E x。这种苛刻的先验条件，使此方法在工程上的应用
受到很大限制。这里只以一维随机变量的估计为例，介绍最小方差 估计方法。
设有一维随机变量x，它的概率密度 p x 和常数期望Ex mx，都
是已知的，求x 的估值xˆ 。评价估计优劣的准则是xˆ 与 x的误差的方
差为最小，即
J＝E
x
xˆ
2
x
xˆ
2
p
x
dx
min
将上式展开，得
J
E x
xˆ
2
E x2
2xˆE x
xˆ 2
(11-1)
求上式对 xˆ的偏导数，令偏导数等于零，得
则 x的最优估值为
J 2xˆ 2E x
xˆ
xˆ E x
二、状态估计
设系统的状态方程和观测方程分别为
x&t A tx t Btut Ft w t zt H txt vt
式中，x t 为状态变量，它是随时间而变的随机过程，u t 为控制 变量，wt 为系统噪声，vt为测量噪声， zt 为观测值。现要根据 观测值来估计状态变量 xt ，这就是状态估计问题。卡尔曼滤波是
式中h1 t、h2 t、L 、hn t为已知的时间函数，一般是 的t 幂函数、指
数函数或正余弦函数等等。x1、x2、L 、xn为 n个未知参数，它们不随时 间而变。
根据 m对观测值zi ,ti i 1,2,L ,m；m n来估计未知参数 x1、x2、L 、xn
。按照什么准则来估计这些参数呢？
这将是第十章讨论的主要问题。

现代控制理论完整版

现代控制理论HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵，特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。

答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数。

互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。

2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。

答：系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造，一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。

原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；（2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；（3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4）有尽可能低的维数，以便于物理实现。

3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。

答：基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。

（1）如果系统受扰后，其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时，能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定：（2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定。

方法步骤：定义一个正定的标量函数V（x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x）/dt的符号特征来判别系统的稳定性。

局限性：李雅普诺夫函数V(x)的选取需要一定的经验和技巧。

4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。

答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定，但输出稳定不一定状态稳定；（2）系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。

举例：A的特征值 =-1 =1 所以状态不是渐进稳点的，W(s)的极点S=-1，所以输出稳点。

5、什么是实现问题什么是最小实现说明实现存在的条件。

系统辨识综述

系统辨识课程综述作者姓名：王瑶专业名称：控制工程班级：研硕15-8班系统辨识课程综述摘要系统辨识是研究建立系统数学模型的理论与方法。

虽然数学建模有很长的研究历史，但是形成系统辨识学科的历史才几十年在这短斩的几十年里，系统辨识得到了充足的发展，一些新的辨识方法相继问世，其理论与应用成果覆盖了自然科学和社会科学的各个领域。

而人工神经网络的系统辨识方法的应用也越来越多，遍及各个领域。

本文简单介绍了系统辨识的基本原理，系统辨识的一些经典方法以及现代的系统辨识方法，其中着重介绍了基于神经网络的系统辨识方法：首先对神经网络系统便是方法与经典辨识法进行对比，显示出其优越性，然后再通过对改进后的算法具体加以说明，最后展望了神经网络系统辨识法的发展方向。

关键字：系统辨识；神经网络；辨识方法0引言辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个相互渗透的领域。

辨识和状态估计离不开控制理论的支持，控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计技术。

随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛，但其实际应用不能脱离被控对象的数学模型。

然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或者在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控制理论去解决实际问题时，首先需要建立被控对象的数学模型。

所以说系统辨识是自动化控制的一门基础学科。

图1.1 系统辨识、控制理论与状态估计三者之间的关系随着社会的进步 ,越来越多的实际系统变成了具有不确定性的复杂系统 ,经典的系统辨识方法在这些系统中应用 ,体现出以下的不足 :(1) 在某些动态系统中 ,系统的输入常常无法保证 ,但是最小二乘法的系统辨识法一般要求输入信号已知，且变化较丰富。

(2) 在线性系统中，传统的系统辨识方法比在非线性系统辨识效果要好。

(3) 不能同时确定系统的结构与参数和往往得不到全局最优解，是传统辨识方法普遍存在的两个缺点。

1系统辨识理论综述1.1系统辨识的基本原理根据L.A.Zadel的系统辨识的定义:系统辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。

现代控制理论

现代控制理论建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。

在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。

[1] 现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。

它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。

现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。

神经网络控制神经网络是由所谓神经元的简单单元按并行结构经过可调的连接权构成的网络。

神经网络的种类很多，控制中常用的有多层前向BP网络，RBF网络，Hopfield网络以及自适应共振理论模型（ART）等。

[4]神经网络控制就是利用神经网络这种工具从机理上对人脑进行简单结构模拟的新型控制和辨识方法。

神经网络在控制系统中可充当对象的模型，还可充当控制器。

常见的神经网络控制结构有：⑴参数估计自适应控制系统;⑵内模控制系统；⑶预测控制系统；⑷模型参考自适应系统；⑸变结构控制系统。

神经网络控制的主要特点是：可以描述任意非线性系统；用于非线性系统的辨识和估计；对于复杂不确定性问题具有自适应能力；快速优化计算能力；具有分布式储存能力，可实现在线、离线学习。

有人提出以Hopfield网络实现一种多分辨率体视协同算法，该算法以逐级融合的方式自动完成由粗到细，直至全分辨率的匹配和建立。

又有人提出一种网络自组织控制器，采用变斜率的最速梯度下降学习算法，应用在非线性跟踪控制中。

今后需进一步探讨的问题是提高网络的学习速度，提出新的网络结构，创造出更适用于控制的专用神经网络。

现代控制理论

现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。

空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。

这类控制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。

1958年，苏联科学家Л.С.庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。

在这之前，美国学者R.贝尔曼于1954年创立了动态规划，并在1956年应用于控制过程。

他们的研究成果解决了空间技术中出现的复杂控制问题，并开拓了控制理论中最优控制理论这一新的领域。

1960～1961年，美国学者R.E.卡尔曼和R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论，因而有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，把控制理论的研究范围扩大，包括了更为复杂的控制问题。

几乎在同一时期内，贝尔曼、卡尔曼等人把状态空间法系统地引入控制理论中。

状态空间法对揭示和认识控制系统的许多重要特性具有关键的作用。

其中能控性和能观测性尤为重要，成为控制理论两个最基本的概念。

到60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立，这标志着现代控制理论的形成。

学科内容现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要的方面有：线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。

线性系统理论它是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。

按所采用的数学工具，线性系统理论通常分成为三个学派：基于几何概念和方法的几何理论，代表人物是W.M.旺纳姆；基于抽象代数方法的代数理论，代表人物是R.E.卡尔曼；基于复变量方法的频域理论，代表人物是H.H.罗森布罗克。

非线性系统理论非线性系统的分析和综合理论尚不完善。

研究领域主要还限于系统的运动稳定性、双线性系统的控制和观测问题、非线性反馈问题等。

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即
ˆ E [ x] = E [ x]
ˆ ˆ 如果估值 x 的数学期望等于x 的数学期望，或者估计误差 x 的数学 期望为零，则最小方差估计是无偏的。因此 x 的估计是无偏估计。Leabharlann ˆ 估计误差 x 的方差为
2 2 2 E ( x − mx ) = ∫ ( x − mx ) p ( x ) dx = σ x −∞ +∞
一、参数估计 参数估计属于曲线拟合问题。例如做完某项试验之后，得到若干 个观测值 zi与相应时间 ti 的关系( zi , ti )( i = 1,2,L, m ) 。我们希望以一 条曲线来表示 z 和 t 的关系，设
z ( t ) = x1h1 ( t ) + x2 h2 ( t ) + L + xn hn ( t ) L t 式中h1 ( t )、h2 ( t )、 、hn ( t ) 为已知的时间函数，一般是 的幂函数、指 L 数函数或正余弦函数等等。x1、x2、 、xn为 n个未知参数，它们不随时 间而变。
第十一章 参数估计方法
本章讨论参数估计准则和估计方法，根据对被估值统计特性的掌 握程度不同，可提出不同的估计准则。依据不同的准则，就有相应 的估计方法，即最小方差估计、线性最小方差估计、极大似然估计、 极大验后估计、最小二乘估计等，本章将对这些估计方法进步不同 程度的讨论。
第一节 最小方差估计与线性最小方差估计
=
γ xzσ xσ z γ xzσ z = 2 2 σx σx
(11-9)
σ 式中， x、σ z 分别为随机变量 x 和 z 的均方根差，γ xz为 x 与z 的相关系 数 γ xz = a = Cov ( x, z ) / σ xσ z 。于是的估值为
Cov ( x, z )
ˆ x = az + b = mx +
{
T
} {
− E x − E ( x ) z − E ( z )
T
}= 0
因此
A = Cov ( x、z )( Varz )
−1
(11-16)
将式(11-16)代入式(11-14)，可得
b = E [x ] − Cov ( x、z )( Varz ) E [ z ]
−1
根据式(11-16)和式(11-17)求得 A和b 代入式(11-11)，得
一、最小方差估计 最小方差准则，要求误差的方差为最小，它是一种最古典的估计 方法，这呼估计方法需要知道被估随机变量x 的概率分布密度 p ( x ) 和数学期望 E ( x ) 。这种苛刻的先验条件，使此方法在工程上的应用 受到很大限制。这里只以一维随机变量的估计为例，介绍最小方差 估计方法。
设有一维随机变量 x ，它的概率密度 p ( x ) 和常数期望 E [ x ] = mx，都 ˆ ˆ 是已知的，求x 的估值 x 。评价估计优劣的准则是 x 与 x的误差的方 差为最小，即
人们希望估计出来的参数或状态愈接近真值愈好，因此提出了 最优估计问题。所谓最优估计，是指在某一确定的准则条件下， 从某种统计意义上来说，估计达到最优，显然，最优估计不是唯 一的，它随着准则不同而不同，因此在估计时，要恰当选择估计 准则。 在自动控制中，为了实现最优控制和自适应控制，遇到许多参 数估计或状态估计问题，促进了估计理论和估计方法的发展。另 外，由于电子计算机的迅猛发展和广泛使用，使得许多复杂的估 计问题的解决成为可能，这也促进了估计理论的发展。所以近二 十多年来最优估计理论及其应用得到迅速的发展。
−1
所以估计是无偏的。 估计误差的方差阵为
J = Varx-Cov ( x、z )( Varz ) Cov ( z、x )
−1
(11-19)
第二节
极大似然法估计与极大验后法估计
一 、极大似然法估计 极大似然法估计是以观测值出现的概率为最大作为估计准则的，它 是一种常用的参数估计方法。 设 z 是连续随机变量，其分布密度为 p ( z,θ1 ,θ2 ,L,θn ) ，含有 n 个未知 参数θ1 ,θ 2 ,L,θ n 。把 k 个独立观测值 z1 , z2 ,L, zk 分别代入 p ( z,θ1 ,θ 2 ,L,θ n ) 中的 z ，则得
p ( zi ,θ1 ,θ 2 ,L,θ n ) i = 1,2,L，k
将所得的 k 个函数相乘，得
L ( z1 , z2 ,L，zk；θ1 ,θ 2 ,L,θ n ) = ∏ p ( zi ,θ1 ,θ 2 ,L,θ n )
i =1 k
(11-20)
称函数 L为似然函数。当 z1 , z2 ,L, zk 固定时，L 是 θ1 ,θ2 ,L,θn 的函数。极 大似然法的实质就是求出使L 达到极大时的θ1 ,θ2 ,L,θn 的估值 ˆ1 ,θˆ2 ,L,θˆn θ 。从式(11-20)可看到θˆ1 ,θˆ2 ,L,θˆn 是观测值 z1 , z2 ,L, zk 的函数。
{
}
(11-15)
= 2 AE ( zzT ) + bE ( zT ) − E ( xxT ) = 0
将式(11-14)代入式(11-15)得
AE ( zzT ) + E [x ] E ( zT ) − AE [ z ] E zT − E ( xz T ) = 0 A E ( zzT ) − E ( z ) E ( zT ) − E ( xzT ) − E ( x ) E ( zT ) = 0 AE z − E ( z ) z − E ( z ) AVarz − Cov( x, z ) = 0
L 根据 m 对观测值 ( zi , ti )( i = 1,2,L, m；m > n )来估计未知参数 x1、x2、 、xn 。按照什么准则来估计这些参数呢？
这将是第十章讨论的主要问题。
二、状态估计 设系统的状态方程和观测方程分别为
& x (t ) = A (t ) x (t ) + B (t ) u (t ) + F (t ) w (t ) z (t ) = H (t ) x (t ) + v (t )
(11-3)
所以数学期望 mx 是 x 的最小方差估计。 这种方法可以推广到多维随机变量的估值，这里不再叙述。
二、线性最小方差估计
线性最小方差估计就是估计值为观测值的线性函数，估计误差 的方差为最小。在使用这种方法时，需要知道观测值和被估值的 一、二阶矩，即数学期望 E [ z ] 和 E [ x ] 、方差Varz和Varx及协方差 Cov [ x，z ]和 Cov [ z，x ] 。
式中，x ( t ) 为状态变量，它是随时间而变的随机过程，u ( t )为控制 变量，w ( t ) 为系统噪声，v ( t ) 为测量噪声， z ( t ) 为观测值。现要根据 观测值来估计状态变量 x ( t ) ，这就是状态估计问题。卡尔曼滤波是 一种最有效的状态估计方法，将在第十一章讨论这个问题。
σ
2 x
( z − mz )
(11-10)
估计误差为
ˆ x = x−x
E [ x ] = E [ x ] − E [ mz ] − = m x − mz −
γ xzσ z E ( z − mz ) σx
γ xzσ z ( mz − mz ) = 0 σx
因此 E [ x ] = E [ x ] 。所以估计是无偏的。
}
从式(11-7)可得
mx − amz − b = 0
式中 mx 和 mz 为 z 和 x 的数学期望，从此式可得
b = mx − amz
(11-8)
将式(11-8)代入式(11-6)得
E {( x − az − mx + amz ) z} = 0
把上式改写成
E ( x − m x ) − a ( z − mz ) ( z − mz + mz ) = 0
∂J ˆ = 2 x − 2E [ x] ˆ ∂x
则 x 的最优估值为
ˆ x = E [ x] = ∫
+∞ −∞
xp ( x ) dx = mx
(11-2)
因此 x 的最小方差估值为 mx ，估计误差为
ˆ E [ x ] = E [ x ] − R [ x ] = E [ x ] − [ mx ] = mx − mx = 0 ˆ x = x − x = x − mx
b = m z − Am z = E [x ] − AE [ x ]
(11-14)
∂J t ∂ T = E [ x − b − Az ] [ x − b − Az ] ∂A ∂A = −2 E [ x − b − Az ] zT = −2 E ( x − b ) x T + 2 E AzzT
q 下面讨论x 和 z 都是多维随机变量的估计问题。设 x为n 维， z 为维， x z 已知 和 的一、二阶矩，即
E [ x ]、E [ z ]、Var、Varz、Cov ( x, z ) 和Cov ( z , x )
ˆ 假定 x 的估值 x 是 z 的线性函数
ˆ x ( z ) = b + Az
ˆ ˆ J＝E ( x − x ) = ∫ ( x − x ) p ( x ) dx = min −∞
2 +∞ 2
(11-1)
将上式展开，得
2 ˆ ˆ ˆ J = E ( x − x ) = E x 2 − 2 xE [ x ] + x 2
ˆ 求上式对 x 的偏导数，令偏导数等于零，得
2
{
} {
2
} = min
(11-5)
的条件来确定系数 a 和 b 。
求式(11-5)对 a和 b的偏导数，令偏导数等于零，可求得 a和 b两个 系数。