2018年北京八中内蒙古乌兰察布市分校高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2017-2018学年北京八中内蒙古乌兰察布市分校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，3}2．（5分）复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣24．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之（不超过3%），现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n粒，若这批米合格，则n不超过（）A．6粒 B．7粒 C．8粒 D．9粒5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣36．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣17．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．B．C．D．8．（5分）已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=9．（5分）已知在平面直角坐标系中，曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，则a=（）A．1 B．e C．D．010．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=16，则S10等于（）A．18 B．24 C．30 D．6011．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．32 B．16 C．24 D．4812．（5分）已知，若13+23+33+43+…+n3=3025，则n=（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题（本大题共4小题．每小题5分，满分20分．）13．（5分）已知||=2，||=4，=﹣4，则向量与的夹角为．14．（5分）已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）=．15．（5分）已知函数（ω＞0），若函数f（x）图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则ω的值为．16．（5分）定义函数y=f（x），x∈I，若存在常数M，对于任意x1∈I，存在唯一的x2∈I，使得=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，已知f （x）=log2x，x∈[1，22014]，则函数f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”为．三.解答题（本大题共6个小题，满分60分，17-21题，每题12分，22题和23题各10分，其中解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设函数f（x）=cos2x﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，a=，b+c=3，求△ABC的面积．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1+2a n（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=log2a n+1且数列{b n}的前n项和为T n，求．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，A1A1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．（1）求证：EF∥平面BDC1；（2）求三棱锥D﹣BEC1的体积．20．（12分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求|AB|；（2）若直线l的斜率为1，求实数b的值．21．（12分）已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．（1）若曲线f（x）在x=1处的切线与2x﹣y+6=0平行，求a的值．（2）讨论函数f（x）的单调性．请在22题和23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题给分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C向左平移一个单位，再经过伸缩变换得到曲线C'，设M （x，y）为曲线C'上任一点，求的最小值，并求相应点M的直角坐标．23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）＞4；（2）若存在x0∈[﹣，1]，使不等式a+1＞f（x0）成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年北京八中内蒙古乌兰察布市分校高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，3}【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B={0，1，2}，故选：B．2．（5分）复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，化简得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1；∴a的值是2或﹣1．故选：B．4．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之（不超过3%），现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n粒，若这批米合格，则n不超过（）A．6粒 B．7粒 C．8粒 D．9粒【解答】解：由题意得，≤3%，解得n≤7.05，所以若这批米合格，则n不超过7粒．故选：B．5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点B时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z 最小，由，解得，即B（2，1），此时z min=2﹣1=1．故选：A．6．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1 【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵， ∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3． 故选：B ．7．（5分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=15，b=10，A=60°，则cosB=（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b ＜a ，可得B 为锐角，∴cosB==．故选：A ．8．（5分）已知f （x ）=2sin （2x +），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）图象的一条对称轴的方程为（ ）A ．x=B ．x=C ．x=D ．x=【解答】解：f （x ）=2sin （2x +），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g （x ）=2sin [2（x ﹣）+）]=2sin （2x ﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的图象的一条对称轴的方程为x=，故选：C．9．（5分）已知在平面直角坐标系中，曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，则a=（）A．1 B．e C．D．0【解答】解：∵f（x）=alnx+x，∴，∴，∵f（a）=alna+a，∴曲线f（x）在x=a处的切线方程为y﹣alna﹣a=2（x﹣a），∵曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，∴﹣alna﹣a=﹣2a，解得a=e．故选：B．10．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=16，则S10等于（）A．18 B．24 C．30 D．60【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d≠0．∵a4是a3与a7的等比中项，∴=（a1+2d）（a1+6d），化为：2a1+3d=0．∵S8=16，∴8a1+×d=16，联立解得a1=﹣，d=1．则S10=+=30．故选：C．11．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．32 B．16 C．24 D．48【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为4，底面为直角梯形，且直角梯形的高为4，两底边长分别为2、4，∴几何体的体积V=××4×4=16．故选：B．12．（5分）已知，若13+23+33+43+…+n3=3025，则n=（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵13+23=（）2=（）2，13+23+33=（）2=（）2，13+23+33+43=（）2=（）2，…∴13+23+33+…+n3=（）2=，∵13+23+33+43+…+n3=3025，∴=3025，∴n2（n+1）2=（2×55）2，∴n（n+1）=110，解得n=10，故选：C．二、填空题（本大题共4小题．每小题5分，满分20分．）13．（5分）已知||=2，||=4，=﹣4，则向量与的夹角为120°．【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，又由||=2，||=4，=﹣4，则cosθ==﹣，又由°≤θ≤180°，则θ=120°，故答案为：120°．14．（5分）已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）=1．【解答】解：由题意lg（6x2﹣5x+2）=0，可得6x2﹣5x+1=0，tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，∴tan（α+β）===1．故答案为：1．15．（5分）已知函数（ω＞0），若函数f（x）图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则ω的值为．【解答】解：根据三角函数的性质可知，函数f（x）图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为即则有T==所以故答案为：16．（5分）定义函数y=f（x），x∈I，若存在常数M，对于任意x1∈I，存在唯一的x2∈I，使得=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，已知f （x）=log2x，x∈[1，22014]，则函数f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”为1007．【解答】解：f（x）=log2x，x∈[1，22014]，是单调增函数，∴函数f（x）=log2x在[1，22014]上的“均值”为M=（log21+log222014）=1007，故答案为：1007．三.解答题（本大题共6个小题，满分60分，17-21题，每题12分，22题和23题各10分，其中解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设函数f（x）=cos2x﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，a=，b+c=3，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）=，…（3分）所以f（x）的最小正周期为T=π，…（4分）∵x∈R∴，故f（x）的值域为[0，2]，…（6分）（Ⅱ）由，得，又A∈（0，π），得，…（9分）在△ABC中，由余弦定理，得=（b+c）2﹣3bc，又，b+c=3，所以3=9﹣3bc，解得bc=2，…（12分）所以，△ABC的面积…（14分）18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1+2a n（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=log2a n+1且数列{b n}的前n项和为T n，求．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1+2a n，∴当n=1时，a1=S1=﹣1+2a1，解得a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1+2a n）﹣（﹣1+2a n﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，整理，得：a n=2a n﹣1，即=2，∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，{a n}的通项公式．（2）∵b n=log2a n+1==n，数列{b n}的前n项和为T n，∴T n=1+2+3+…+n=，∴==2（），∴=（1﹣）==．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，A1A1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．（1）求证：EF∥平面BDC1；（2）求三棱锥D﹣BEC1的体积．【解答】解：（1）取AB的中点O，连接A1O，∵AF=AB，∴F为AO的中点，又E为AA1的中点，∴EF∥A1O，∵A1D=，BO=，AB A1B1，∴A 1D∴四边形A1DBO为平行四边形，∴A1O∥BD，∴EF∥BD，又EF⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1，∴EF∥平面BDC1．（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∵A1C1=B1C1=A1B1=2，D为A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，C1D=，又AA 1⊂平面AA1B B，A1B1⊂平面AA1B B，AA1∩A1B1=A1，∴C1D⊥平面AA1B1B，∵AB=AA1=2，D，E分别为A1B1，AA1的中点，∴S=22﹣﹣﹣=．△BDE∴V=V===．20．（12分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求|AB|；（2）若直线l的斜率为1，求实数b的值．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=．（2）L的方程式为y=x+c，其中c=设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线AB的斜率为1，∴|AB|===．c2=1﹣b2．代入化简：b2=，解得b=．21．（12分）已知函数f（x）=a（x2+1）+lnx．（1）若曲线f（x）在x=1处的切线与2x﹣y+6=0平行，求a的值．（2）讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：（1）f′（x）=2ax+，f′（1）=2a+1=2，解得：a=；（2）f′（x）=2ax+=（x＞0），①当a≥0时，恒有f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=，当0＜x＜时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，）上是增函数；当x＞时，f'（x）＜0，则f（x）在（，+∞）上是减函数；综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．请在22题和23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题给分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C向左平移一个单位，再经过伸缩变换得到曲线C'，设M （x，y）为曲线C'上任一点，求的最小值，并求相应点M的直角坐标．【解答】解：（I）由（θ为参数）得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1得曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．…（4分）（Ⅱ）（x﹣1）2+y2=1，向左平移一个单位再经过伸缩变换，得到曲线C'的直角坐标方程为，设M（2cosα，sinα），则=…（7分）当（k∈Z）时，的最小值为﹣2，此时点M 的坐标为或．…（10分）23．设函数f （x ）=|2x +3|+|x ﹣1|． （1）解不等式f （x ）＞4；（2）若存在x 0∈[﹣，1]，使不等式a +1＞f （x 0） 成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）=|2x +3|+|x ﹣1|，∴f （x ）=，∴f （x ）＞4⇔ 或 或，⇔x ＜﹣2或0＜x ≤1或x ＞1，综上所述，不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）； （2）若存在x ∈[﹣，1]使不等式a +1＞f （x ）成立， ⇔a +1＞（f （x ））min ，由（1）知，x ∈[﹣，1]时，f （x ）=x +4， ∴x=﹣时，（f （x ））min =， a +1＞⇔a ＞，∴实数a 的取值范围为（，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。